流体力学习题解答 (解答)
习题一 场论和张量代数
(习题一中黑体符号代表矢量)
1．(一)用哈密顿符号法证明：
rot n n n n n n n n n n n n n n
C C ⨯=-⨯∇⨯=-⨯∇⨯=-∇⋅+⋅∇=-∇⋅+⋅∇()()()()()()C 1
2
因为n 为单位向量，n n ⋅=1，故 ∇⋅=()n n 0，于是rot n n n n ⨯=⋅∇(). 注意： 将rot n n ⨯写成rot n n n n ⨯=∇⨯⨯()是不正确的。右端表示矢量
][)(p
k q jpq
ijk x n n ∂∂εε.
直接写rot n n n n n n n n ⨯=-⨯∇⨯=-∇⋅+⋅∇()()()尽管也能给出证明，但由第二步(反用混合积公式)到第三步却是错误的，一定要引入辅助矢量n C 才能进行正确的推导。 (二)张量表示法证明：
()()1()()2n n n ijk jmn
k jik jmn k im kn km in k m m m
k i k k k k i k i
n n n
n n n x x x n n n n n n x x x εεεεδδδδ∂∂∂⨯==-=--∂∂∂∂∂∂⋅=-
+=-+⋅∇=⋅∇∂∂∂rot n n n n n n
2．(一)哈密顿符号法：
grad(a n a n n a n a ⋅=∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇)()()()； rot(a n a n n a n a ⨯=∇⨯⨯=⋅∇-∇⋅)()()().
于是
n a n a n n n a n a n n a a a ⋅⋅-⨯=⋅⨯∇⨯+∇⋅=⋅∇⋅=∇⋅=[()()][()()]()grad rot div
(二)张量表示法：
()()[grad()rot()]()j j j p k i ijk i j ijk kpq q i j i j j p j i
i j ip jq iq jp q i j j i j i j a n a a n n n n x x x x a a a a n n n n n n x x x x εεεδδδδ⎛⎫
⎛⎫∂∂∂∂⨯⋅⋅-⨯=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝
⎭⎡⎤∂∂∂∂=--=-⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦a n n a n a n div j i j j
i i j
a n x a Q n n Q x ⎡⎤∂+⎢⎥
∂⎢⎥⎣⎦∂=+=+∂ a
其中()0j j i i i j
j
i j j i i
j i j
a a a a
Q n n n n n n n x x x x ∂∂∂∂=-=-=∂∂∂∂(进行j i ,指标互换)，证毕。 3．(一)哈密顿符号法：
注意到哈密顿算子对它右端所有的矢量都起作用，有
()()()∇⨯⨯=∇⨯⨯+∇⨯⨯a b a b a b C C
根据矢量混合积的公式，上式右边第一项
b
a b a b a b a b a b a b a b a b a C C )(]
)()([)()()()(∇⋅-⨯-=∇⋅+⨯∇⨯-⋅∇=⋅∇-⋅∇=⨯⨯∇rot div C C C
上式右边第二项
b a a b a b b a C ⨯=⨯-=⨯∇⨯-=⨯⨯∇rot rot )()(C
两项相加即证。
(二)张量表示法：
左端可用张量记号表示和整理
j
j i i k k j j i k i k j
n k n j k ij nk ki nj j n k mjk
imn x b a x b
a b x a b x a x b
a b x a x b a ∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-
=∂∂+∂∂-=∂∂=⨯⨯∇ ))((])([)(δδδδεεb a
同理，右端可用张量记号表示和整理
-⋅∇-⨯⨯+()a b a b a b a b rot +rot div =
j
j i
k m n
jm n ijk m n km n j ijk j i j
x b a b x a x b a x b a ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-][][εεεε =j j i
k m n
m k in nk im m n j in jm jn im j i j
x b a b x a x b a x b a ∂∂+∂∂--∂∂--∂∂-)()(δδδδδδδδ =j
j i
k k i k i k j i j i j j j i j
x b a b x a
b x a x b a x b a x b a ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂- =j
j i
k k i
k i k i j
j
x b a b x a b x a x b a ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂- 4．证明：根据张量运算规则，
()()11,,22ij ij ji ij ij ji P S A s p p a p p =+=
+=- ，定义w 为 1
2
i ijk jk w p ε=。 ()()()i ij j i ij j ij i j i j P P u p p u p u u ⋅⋅-⋅⋅=-=-u v v u v v v v ，
另外，2()()()ijk jk imn m n jm kn km jn jk m n jk j k k j p u v p u v p u v u v εεδδδδ⋅⨯==-=-w u v
显然以上两等式右端相等，得证。
附：
()()()()()()12211331111213321
2223122123323131
32
331
1331233211
022
110
022
011022p p p p a a a w w A a a a p p p p w w a a a w w p p p p ⎛
⎫-- ⎪-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪==---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭
⎪----
⎪⎝⎭
22 5．必要性：设是反对称张量，则
,()()ij ji i ij j i j ij j i ji i j ij i j p p P a p a a a p a a p a a p P =-⋅⋅==-=-⋅⋅a a a a 互换
因此a a ⋅⋅=()P 0。
充分性：由a a ⋅⋅=()P 0可知，对任意矢量a ，
0ij i j p a a =
现在，令a =(,,)100，代入上式得到110p =；同理，令a =(,,)010和a =(,,)001，又可得到220p =，330p =。再分别令a =(,,)110、a =(,,)011、a =(,,)101并利用已得到的1122330p p p ===又可推出12210p p +=，23320p p +=，31130p p +=。综合这些结果就有ij ji p p =-，这说明P 是反对称张量。
习题二（流体运动描述）参考答案
1．1）欧拉表述下的速度场 v r ω=⨯
。
2）拉格拉朗日表述下，建立极坐标系，初始时刻（000,,z r θ）则⎪⎩
⎪
⎨⎧=+==000
z
z t r r ωθθ
3）流线为绕oz 轴的同心圆，轨迹为绕oz 轴的圆。
4）欧拉变量下
2()()dv d dr r r r dt dt dt
ωϖωωω=⨯=⨯=⨯⨯=-
。 2．1）加速度
211((1))(1)V dV d x V x V V dt dt L x L L
∂=+==+∂。 2）11(1)(1)x dx x V V V L dt L =+⇒
=+ 积分得1
(1)V t L x L e =- 对x 二次求导则121V t
L V a e L
=
3．不一定，dv v v v dt t ∂=+⋅∇∂ ，定常即0v t ∂=∂ ，但dv dt
不一定为0。
4．
2
2Yt dy
Xt dx = 对方程积分（t 为常数），得Ln Ln x y c =+即为流线。 ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=+=
+=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===003032
2
330z z y Yt y x Xt x dt dz Yt dt dy Xt dt dx 即为轨迹方程。 加速度dv a dt =
= 22v v v Xti Yti t
∂+⋅∇=+∂ 。 拉格朗日下轨迹方程求导⎪⎩
⎪⎨⎧===⇒02
2
z Yt v Xt u ，再对方程求导得22a Xti Ytj =+ 。
5．解： 流线
)
(t x k dy ky dx λ-=，t 为常数。积分得c y t x +=-22)(λ。 又t=0时流线经过（,,a b c ）2
2
b a
c -=⇒。
轨迹：⎪⎩⎪
⎨⎧+-=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==--t k e c e c y t e c e c x t x k dt
dy ky dt dx kt
kt kt
kt λλλ2121)( 。 又过t=0时质点经过（,,a b c ）⎪⎩
⎪⎨⎧+--+=+-++=⇒--t
k e b a e b a y t e b a e b a x kt kt kt kt λλ2222
6．解：
流线满足0C C y
Bt A x C dy Bt A dx +++⇒=+，可见是直线。
轨迹满足⎪⎩⎪
⎨⎧+=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=212
2c Ct y c Bt At x C dt
dy Bt A dt dx
可见是抛物线。
7．解： 流线：
0L n dx dy x y c a kyt a kt
=⇒=+， 轨迹：⎪⎩⎪⎨
⎧=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==2002
kt e y y x at x kyt dt
dy a dt dx
8．解：
极坐标下⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧===00z r v v r k v θ 流线和轨迹为绕oz 轴的圆。
加速度：
23r z r v dv v v v v k v v e dt t r r z r
θθ∂∂∂∂=+++=-∂∂∂∂ 9． 由坐标变换cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ c o s s i n s i n c o s r r x
u v v t
y u v v t
θθθθθθ∂⎧==-⎪⎪∂⇒⎨∂⎪==+⎪∂⎩
反解之可以得到另一组表达式。
10．由题得，速度的方向矢量为（1，y
x c 22
+），则速度两分量为
（
2
2
2
22242cx
x c y y x y ++++，
2
2
2
22224)(cx
x c y y x x c +++++）
11．
Ln Ln dx dy x y c x y
=⇒=-+- ， 又流线经过点（2，3），则Ln 6c =。
12． 定常0=∂∂⇒t v 又dv v v v dt t ∂=+⋅∇∂
由于变化均匀则，1 2.50.4
v ∇==， 所以起点处 2.51435a =⨯=，终点处 2.51537.5a =⨯=。
13．极坐标下，流线方程为θ
θ
v rd v dr r =
，轨迹方程为⎪⎩⎪⎨⎧==),,(),,(t r v dt
rd t r v dt dr
r θθθθ 柱坐标下，流线方程为z r v dz v rd v dr =
=θθ ，轨迹方程为⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧===)
,,,(),,,(),,,(t z r v dt dz t z r v dt
rd t z r v dt dr
z
r θθθθθ
球坐标下，流线方程为sin r dr rd r d v v v θφ
θθφ==
，轨迹方程为(,,,)(,,,)sin (,,,)r dr
v r t dt
rd v r t dt r d v r t dt
θφθφθ
θφθφ
θφ⎧=⎪⎪
⎪=⎨⎪
⎪=⎪⎩
14．由题意，4v i j =+
斜率为0.25。
15．由题意
0,20,5,6,5,2=∂∂=∂∂-=∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂t
v t u y v y u x v x u 则20(2010)50a i i j v j =++⋅∇=
。
习题三（质量连续性方程）参考答案
1．不可压即0=dt d ρ，定常即0=∂∂t
ρ 0v ρ⇔⋅∇= 所以，速度必沿等密度面方向，反之亦然。 2． 不可压缩即0v ∇⋅=
则
00,022=⇒⎭⎬⎫==+--=⇒--=∂∂-=∂∂c v y c by axy v b ax x
u
y v
3． 0)(6)(6)sin()cos(=⋅∇⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==∂∂+==∂∂x a v y b u t ka e R v t
y t ka e R u t
x kb kb
σσσσ
4．拉格朗日变量下，初始0t 时刻选定流体微元的位置为0x ,选定拉格朗日变数为s ，则连续方程：00(,)
(,)x x x x
s t s t s s
ρρ=∂∂=∂∂
欧拉变量下，连续方程为：
0d v dt
ρρ+∇⋅=
5． 选取宽b(x)，水深为h(x,t).取长为x δ的微团为研究对象，有
()()()
000
0d d bh d x bh x x bh dt dt dt
d v
bh x bh x dt x d v dt x
ρδρδδρρδρδρρ=⇒
+=∂⇒+=∂∂⇒+=∂
6．不可压即
0=dt
d ρ
，据上题结论可得 s
b bhv dt s v bh s bh dt b x v bh dt bh d x v bh dt bh d ∂∂+∂⇒=∂∂+∂∂⋅+∂⇒=∂∂+⇒=∂∂+)
(00)(0)(ζζρρ
7．选取长为s δ的微元为研究对象，则
()()0()0()()0
()()0
d d ds s s dt dt dt v
v s t s s v t s
ρσρσδδρσδρσρσρσδρσρσ=⇒+=∂∂∂⇒+⋅+=∂∂∂∂∂⇒+=∂∂ 8．选取一层薄球壳为研究对象，则单位时间内流入的流体质量等于因密度变化引起的质量变化， 则：
()2
2()
vr r dr v r dr r dr r v r r r dr r t r t
ρρ
ρρπρππ∂∂∂+++-=-⇒
=-∂∂∂。 进一步变形可得20vr v t x r ρρ∂∂∂++=∂∂∂，即()2
0vr
d dt r
ρ∂+=∂。
若流体不可压缩，0d dt ρ
=，则()
20vr r
∂=∂，此式表示各同心球面上的流体质量和体积通量相等。
9．选取柱坐标系，则由题意知0=θv ， 则
0)
()(0)()()(=∂∂+∂∂+∂∂⇒=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z
v r r rv t z v r v r r rv t z r z r ρρρρθρρρθ。 10．选取柱坐标系，则由题意知0,0r z v v ==， 则
0)(0)()()(=∂∂+∂∂⇒=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂θ
ρρρθρρρθθr v t z v r v r r rv t z r 又ωθr v = 所以
0)
(=∂∂+∂∂θ
ρωρt 。 11．选取柱坐标系，则由题意知0=r v ，
则
0)()(0)()()(=∂∂+∂∂+∂∂⇒=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z
v r v t z v r v r r rv t z z r ρθρρρθρρρθθ。 12．不可压缩流体平面运动
22
()cos 00()0
cos cos r v v rv k v r r r r r r r v k k v c r r θθθθθθθ
θθθ∂∂∂∂∇⋅=⇒+=⇒-+=∂∂∂∂∂⇒=-⇒=-+∂
速度大小为22
2
r
k
v v r =
+θ 13． 选取球坐标系（z r ,,'θ），则,2
,'θπ
θλφ-=
=则
0sin )(sin )
sin (0)('''
'=∂∂+∂∂+∂∂⇒=⋅∇+∂∂λ
θρθθθρρρρλθr v r v t v t 0=r v 又θπ
θωθωλθ-=
==2
,sin ,''''r v r v ，代入得
0)cos ()cos (cos '=∂∂+∂∂+∂∂φ
θρωθθρωθρt 14． 选取球坐标系 则由题意知0=θv ，于是
0sin )()(0sin )(sin )sin ()(2222=∂∂+∂∂+∂∂⇒=∂∂+∂∂∂∂+∂∂λθρρρλθρθθθρρρλλθr v r
r v r t r v r v r r v r t r r 。 15．由连续方程
'''000()
()
0()()()0vt x vt x d u v vt x v u vt x vt x dt x u e
v c
φφρρρφρφρφ--
-∂+∇⋅=⇒-⋅-⋅-+-=∂⇒=++
又x=0时，'()()
00vt vt u v c v v e
φφ-
=⇒=-- 。
16．由题意02≠=⋅∇v ，所以为可压缩流动。 当为不可压时，c y v v +-=⇒=⋅∇0。
习题四（速度分析 有旋运动和无旋运动）参考答案
1．膨胀速度为0，转动角速度22
v
k k ω∇⨯==-
。
2．因为运动无旋，所以只有变形张量⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛31
2123
23
12
2
2222
εθθθεθ
θθε。 假设某流体质点0t 时刻相对于球心坐标为（ζηξ,,），t 时刻其坐标为（''',,ζηξ）,则
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++'
3
12'12
3'
231)22
()22()22(ζζζεηθξθηηζθηεξθξζθηθξεξdt dt dt ，解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧===⇒)
,,(),,(),,(''''
'''
''ζηξζζζηξηηζηξξξ 将其代入小球方程即得。
3．匀变形运动，即变形张量⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
31
2123
23
12
2
2222
εθθθεθ
θθε是常矩阵，不随空间位置变化，假设t 时刻的某一物质平面，以平面上某质点M 为参照点，考虑该质点附近的流体质点相对于它的运动。
在固定于质点M 上的坐标系中（M 为原点），设某流体质点t 时刻位于（,,x y z ），t d t +
时刻
其坐标为（'
'
'
,,z y x ），则
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧
=++++=++++=+++'
3
12'1
23'231)22
()22()22(z z dt z y x y y dt z y x x dt z y x x εθθθεθθθε，解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧===⇒)
,,(),,(),,('''''''
''z y x z z y x y z y x x ζηξ
将其代入平面方程即得。
4．不妨以x-y 坐标面上的12A 为例，则变形张量为⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛
02
20
33θθ，设初始时刻正方形对角线的端点坐标为M （z y x δδδ,,），则dt 时间以后M 点移动到)2
,2
(3
3
'
xdt y ydt x M δθδδθδ+
+
，
则正方形对角线的相对伸长速度为2
)()()2
()2
(
3
2
22
323
'θδδδθ
δθ=
++=
-xdt ydt xdt ydt OMdt
OM OM 。
5．选取柱坐标系，设n r kr e ω= ，则：n z r v kr e re =⨯
则：()n n z r z v kr e re kr e ∇⨯=∇⨯⨯=
自转角速度为12
n z kr e 6．
a)0=⋅∇v ，不可压 ； 0=∂∂-∂∂=
⨯∇y
u x v v ，无旋； 速度势kxy =ϕ。 b) k v 2=⋅∇，可压； 0=∂∂-∂∂=⨯∇y u
x v ，无旋， 速度势2)(22y x k +=ϕ。
c) 0=⋅∇v ，不可压 ； 0=∂∂-∂∂=⨯∇y
u
x v v ，无旋； 速度势2)(22y x k -=ϕ。
d) 0cos 322≠+++=⋅∇y b a bx ax ，可压； 0=∂∂-∂∂=
⨯∇y
u
x v ，无旋； 速度势y b ay bx ax cos 2
432
43-++=ϕ。 7．0)12(12=--++=∂∂+∂∂=
⋅∇x x y
v x u v ，不可压。 0)2(2=---=∂∂-∂∂=
⨯∇y y y
u x v ，无旋。 x y y x x 22
232
23--+=ϕ。
8．
a)ωϖ2=⨯∇⇒⨯=。 b) c -=⨯∇。
c)c z y dz
dy k z y ky j z y kz v v z
y =+⇒Ω=Ω⇒
+-
+=⨯∇⇒=222
22
2。 9．
a)dv
v yi xj a xi yj dt =+⇒==+ ，则流线为c y x x
dy y dx =+⇒=22。
b)22222222
2()()y x yx v i j x y x y -=-⇒++
''2222222'224
''22222'224
(22)()2()()(22)()(22)()4()(22)()dv a dt
yy xx x y x y x y yy xx i
x y xy yx x y xy x y yy xx j
x y =
-++-++=+-++++-+ 10．流体不可压缩并且流动空间单连通，取体积微元δσ，则
00d v v ds ds dt n
ϕδσδσ∂=⇒∇⋅=⋅==∂⎰⎰⎰⎰
11．假设速度势ϕ可以取得极值，无论是极大值还是极小值点M ，我们总可以在M 周围取到
包围M 的体积微元是的在这个体积微元的表面上n
∂∂ϕ
仅大于0或仅小于0，从而使得与上题
中的结论相矛盾，故在内点速度势不可能取得极值
习题五（量纲分析和相似理论）参考答案
1．解：2
12
Q a U π=
。 先确定U 与a 、μ、∆p l /的关系。设(,,/)U f a p l μ=∆，
[][][][/]U a p l αβγμ=∆
将[/]∆p l ML T
=--2
2
，[]a L =，[]U LT =-1，1
1--=T ML ][μ代入上式，比较两边的
基本量纲可得12120αβγ
βγβγ
=--⎧⎪
-=--⎨⎪=+⎩
，解得2, 1, 1αβγ==-=。于是2a p U l μ∆ 。
4212a p
Q a U l
πμ∆=
。 另解：按题意，
),,,(l p a f Q ∆=μ1
共有5个物理量，由∏定理可知，上式可简化为5－3＝2个无量纲量之间的函数关系。取
l p ,,∆μ为基本物理量，将Q 、a 与这3个量组合成无量纲量。设
γβαμ][][][][l p Q ∆=
由于[]Q L T
=-3
1
，[]∆p ML T
=--12
，1
1--=∆=T
ML T p ][][μ，代入上式可得
⎪⎩
⎪
⎨⎧-=--=+--=+1230
βαγβαβα，解得1-=α，1＝β，3＝γ.即31]][[][][l p Q ∆=-μ， 因此Q l p /(/)3∆μ构成一个无量纲量。显然a l /是另外一个无量纲量，于是
)(/l a
f p l Q 23
=∆μ
. 现在，本题前半部分条件∆p l /与l 无关还没有利用。为此，将体积流量关系改写为
)()/()())(/(
l
a f l p a l a f a l l
p a Q 34244⋅∆=⋅∆=μμ，注意到由于管子无限长，Q 不应与l 有关。现在已知∆p l /与l 无关，则必有f a
l
C 3()=(常数)，故
4
a l
p C Q )(
μ∆= 2．解：按题意，H V Q ∞=，且Q 与大气压p 0无关（如设0p p p -='，则p 0将不在问题中出现；p 0只影响静压分布）。设),,,,,(μρg h H f Q 1=，其中g 是重力加速度。取μρ,,h 为基本量，由∏定理，无量纲流量Q 是5－3＝2个无量纲量的函数。
列出[]Q L T =-21；[]H L =；[]ρ=-ML 3；11--=T ML ][μ；[]g LT =-2
。不难知
道Q 的无量纲量是Q /(/)μρ；g 的无量纲量是)/)//((h h g 2
ρμ，因此
),(212ππρ
μf Q
= 其中π1=H h /；)/)//((h h g 2
2ρμπ=。上式也可改写为下列形式
),(Re H f Q 2
2ν= (*)
其中νμρh V h V Re ∞∞=
=，gh
V
Fr 2
∞=分别是雷诺数、弗劳德数。 由于Q V H =∞，由(*)得
),(),(Fr Re f h
H
Fr Re h H f Re h H 3221=⇒= (**)
当然，已知V ∞时，(**)也可以通过设),,,,(g V h f H
μρ∞=用量纲分析法得到. 具体过程此处从略.
或：选h g ,,ρ为基本物理量，可以得到
),(
),(
Re
Fr h H f h
gh h
H f h
gh Q 11==ρμ
),(),(
Fr Re f h
H Re Fr h H f Fr
h
H 211=⇒= 3．解：从Stokes 方程组和边界条件可知，绕流物体的速度场V (,,)x y z 只与物体形状、μ和V ∞有关，由此可知阻力),,(∞=V L F F μ。由量纲分析，总物理量个数n =4，量纲独立物理量(基本物理量)个数r =3。其中∞V L ,,μ为基本物理量，易知无量纲阻力为
L
V F
∞μ，
故L V C F ∞⋅=μ，其中C 是只与物体形状有关的常数。因此，在很低的雷诺数下，物体所受阻力与其特征尺寸L 的1次方成正比。 4．研究摩阻时，相似准则为e R 数：γ
UL
R e =
故 knot L L U U 3002
1
1
2== 参见吴望一：方程232P ⎪
⎩⎪
⎨⎧'∇'+'∇'-='∇'⋅'+∂'∂='⋅∇'V R P E F V V t
V St V e 2
110
定常绕流t S 数消失，不计重力F 数消失，潜艇在水下，不考虑自由表面，E 数消失，只剩下Re 数。
5．重力波，要求r F 相等，gL
U F r 2
= 故模型内波速为s m U /280144.92=
模型内波浪尺寸：280/524.12=A 280/1 λ=波长 考虑重力起作用的表面波（重力波）：
z p g w V t w ∂∂-=∇⋅+∂∂
ρρ 特征量周期T ，T t t ='；波高H ，H z z ='；波速c ，c w w /='及2
c p p ρ='
无量纲化方程：z p k c
gH w V t w cT H '∂'
∂-='∇'⋅'+'∂'∂ 2
Strouhal 数：λ
H
cT H S t ==
自然满足； Froude 数：)(2
特征重力特征惯性力O gH
c F r ==。
习题六（理想流体动力学方程组和边界条件）参考答案
1． 1cot tan ),,(2
22222-+=t b
y t a x t y x f
边界面上任一点运动速度满足：
0=∇⋅+∂∂f t
f
V ， 故边界面上任一点运动的法向速度为：f t
f
V n ∇∂∂-=
2． 椭圆柱方程为2
20)(a t x-u +22
b
y =1 建立固壁上所对应的边界条件：
流体在固壁上满足的分离条件，i.e. n wn V V =或者为
0=∇⋅+∂∂f t
f
V 固壁表面方程为1//)(),,(22220-+-=b y a t u x t y x f 故有
02))((2200=+--b
vy
a t u x u u ——柱面上流点所必须满足的边界条件.
4． 水下爆炸问题
解法一：可利用Bernoulli 方程求解。
速度沿径向，且只是r 和t 的函数，故为无旋流动，有：
)(22t c p V t =++∂∂ρ
φ （略重力） （6-4-1）
如果半径为R 的球形空腔（R=R （t ））包含压力为))((00t ρρ=
的气体并且在周围无界液体
中开始迅速膨胀。这样可以相当精确的模拟水下爆炸效应。
根据质量连续方程有：/
222
/
2
44R r
R V V r R R =⇒=ππ
（6-4-2）
r
R R V /
2-=⇒=∇φφr e
（6-4-3）
（6-4-2）和（6-4-3）代入（6-4-1）得： )(2)(212
///222/2t c r
RR R R r R R p
=+-+ρ
∞→r 时，0)(0=⇒=t c p （略大气压）
。 当r 较大时，略4
-r 项可得： r
r
R RR R p 1
)
2(2///∝
+=
ρ 解法二，可直接用Lagrangian 方程
⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+=⇒=--∂∂=-+-+⋅∂∂⎰⎰
⎰
∞∞
∞
r r
r
dr t v v p p
v dr t v e i p v l d t v 202.
.,00202
22ρρ
ρ
将2)
(r
t c v =带入得：
r r t c r t c r
t c p 1)('))('2)((42∝≅+=ρρ
5． 解法一：用Lagrangian 方程。
开启瞬间，管中流体速度为零，但加速度不为零（t
v
∂∂很大），有：
0)(002
1
=-+-+⋅∂∂⎰
H g l d t v ρ
i.e. gH t v H
=∂∂2 g dt dv 2
1
=⇒ 取任意点3，高度为Z ，在1和3之间重复上面计算
)(2
1
0)()(Z H g p Z H g p Z H t v -=⇒=+-++-∂∂ρρ 得证。同理，在点4和2之间有：
)(2
100X H g p p X H t v -=⇒=-+-∂∂ρρ）（。 解法二：用动量方程。
对竖直段，设接头处压强为0p ，管截面积取1个单位，在竖直方向有，
⎰-=∂∂11
0CV p gH t
v
ρδτρ
（1CV 代表图中管竖直段内虚线边界包围的控制体）， i.e. 0
p gH H t
v
-=∂∂ρρ。 同理，对水平段在水平方向有0p H t
v
=∂∂ρ 。
两式相加得：gH t
v
H
ρρ=∂∂2 ⇒
g t v 21=∂∂ 。 位置3处的流体质点满足：p g dz dp e i k
g k g p
⇒--=-=-∇-ρρ2
1
.
.2
1
位置4处的流体质点满足：
p g dx dp ⇒-=2
1
解法三： 用微分形式动量方程。
任意时刻设两边水柱长H H H H H 22121=+，，。 竖直段： ))((11H z g dt
dv
p z p g dt dv --=⇒∂∂---=-
ρρ； 水平段： )(12//x H dt
dv
p x p dt dv -=⇒∂∂-=ρρ。
x=0，z=0时，
02212
1211/=+⇒⎪⎪⎭
⎪⎪
⎬⎫
-
==⇒=H H g dt H d dt dH V gH dt
dv H
p p t H g H H 2c o s 1=⇒ 开启瞬间：
2211g
H H g dt dv H H === 7．r
k
r v =∂∂=
θϕθ，0=r v ，0=z v 。 流体质点作圆周运动，向心加速度为32
2r
k r v =θ。 动量方程为：a p F
=∇-
ρ
， i.e.)(0113232
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=⇒=∂∂---=∂∂-gdz dr r k dp z p g r k r p ρρρc gz r k p +--=⇒ρρ222
h z r =∞→时，则有 gh p c ρ=-gh gz r k ρρρ=+⇒22
2 i.e. 2
2
2gr
k h z -= 8．设t 时刻液柱在O '处，O '坐标为0x ，液柱内任意质点坐标为x ，设截面积为一个单位。
另取固定在液柱上的坐标系，在此坐标系下液柱内任意质点坐标为x '，设F=-kx ，。
液柱此刻受到的合力为：
0002kx l kxdx l
x l
x ρρ⎰
+--=-。
由动量定理得：
考虑液柱内x '处流体微元，由动量方程得：
x p x x k t d x d '
∂∂-'+-=ρ)(2
2
， 其中t
d x d x 22
、是t 的函数，与x '无关。积分得：
x d dt x d x x k p '⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-'+-=⎰22)(ρ
C x k C x k x kx x t d x d +'-=+'+'+'
-=2222
2
1)21(ρρ
在l x ±='处，l k C p 2210ρ=
⇒=， 带入上式得： )(2
1
22x l k p '-=ρ。 解法二： 亦可在静系下求p 。
对微元x~x+dx ，有）（取0)cos(10022
=+-=∂∂--=φφρt k Ak x
p kx t d x d 积分得：
)(2
1
cos 2t C x k t k Akx p
+-=ρ 为利用边界条件改写上式：
)()c o s (21
)(21
c o s )(222200t C x t k A k C x x k t k x x Ak p
+'-=+'+-'+=ρ
)(2
1
)cos (210,22222x l k p t k A l k t C p l x '-=⇒-=
⇒=±='ρ）（。 9．用Lagrangian Eq.求解。流线长a ≈。在1与2之间建立Lagrangian Eq..：
0=+∂∂gz a t V
)(,t V V dt
dz
V =-=
)
cos(002
2
ϕραρα+=⇒=+t k A x kx l t
d x
d
l X
t
a
g
a z z a g
dt
z d cos 0
22
=⇒=+⇒ 11．合外力=0。设X 、Y 为单位质量流点受力，设z 方向长为一个单位。
合外力矩[]⎰⎰
----+++⨯+=R
R y R y
R dxdy j y x i y x j y i x 2
22
2)()()(
δγβαρ
)
(2
1)2
1
()(4
)2)(3
2(
442
223
22
βγωρπωβγπ
ρ
βγρ-=⇒==-=
--⎰-=-dt d R I dt d I
R dy
Y R y y R R
R
*附积分公式：
()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---+-+=
+c a x a a c c x a a cx c x a a
x
c x a x
arcsin 884223
2
2
2 （a<0）
()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+++=+c a x a c c x a c x a x c x a arcsin 835282223
2
(a<0) 动量方程：r dt
d r p j Y i X
⨯+-=∇-+ωωρ2，i.e.： ()()βωδγρβωβαρ--++=∂∂-+++=∂∂r y y x y P r x y x x P 2
1
121
122
()[]()
()
()[]
xy y x y x p y x d xy y x d dy y p dx x p dp βγδαωρωβγδαρρρ+++++=⇒+++++=∂∂+∂∂=⇒
222
222221
212
1
21111
22
12．t 时刻空穴半径R （t ）表面收缩速度)()(t R t v R '-=。 由质量连续性条件知：
()()()[]()()()t R r
t R t r v t R t R t r v r '-=
⇒'-=2
22
2
,4,4ππ
在1→∞之间建立Bernoulli Eq.：
2
21
R p l d t V '--=⋅∂∂∞∞⎰ρ
, i.e. 0232
=-''+'∞ρp R R R
作代换 dR R d R dt dR dR R d R '
'='=
''，积分得：c R p R +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+'∞32ln 2
3ln ρ 由t=0时，0,='=R a R ，得ρ
p a c ∞
=3
ln
。
⎪⎭
⎫
⎝⎛Γ⎪⎭⎫
⎝⎛Γ=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==⇒=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-='⇒⎰
⎰∞∞31653213212320
33
33
a R a p dR dt t dt dR p R a
R a ρπρ
ρτ
14. 考虑t 时刻在x 处的流点
ρ
p
dt V d ∇-
=
，i.e. x p dt dV ∂∂-=ρ1 ρρx V V x p t V ∂∂-∂∂-=∂∂⇒ ()0=⋅∇+∂∂V t ρρ，i.e. ()0=∂∂+∂∂x
V t ρρ
()x
t V t ∂∂∂-
=∂∂⇒ρρ2
22 ()()()[]
ρρρρρρk V x x p x V x x p x V V V x V x t V V t x +∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂-
=222
2
15．解：取一柱形微元体D C B A -ABCD ''''为欧拉控制体，其体积为dz d RdR ⋅⋅θ。A 点处速度为R R V e ，密度为ρ，质量力为F ，表面力为R -p 、θ-p 、z -p .
先计算系统的动量变化率。由于流动是定常的平面辐射流动，系统的动量变化率完全由流经径向控制面B B A A ''和与之相对的C C D D ''面元的动量迁移而产生。在B B A A ''面上，单位时间流入的动量是
dz Rd V V R R R ⋅⋅⋅θρe
在C C D D ''
dR R
dz Rd V V dz Rd V V R R R R R R ∂⋅⋅⋅∂+
⋅⋅⋅)
(θρθρe e
于是单位时间内由控制体净流出的动量，即系统总动量的变化率为
dR dz d R
R V R R ⋅⋅∂∂θρ)
(e 2
R 方向总动量的变化率为
dR dz d R
R V dR dz d R R V R R R R ⋅⋅∂∂=⋅⋅∂∂⋅θρθρ)()(2
2e e (6-15-1)
作用于微元控制体上的质量力在R 方向的分量为
dz d RdR F R ⋅⋅θρ (6-15-2)
作用于微元控制体六个面元上的应力分别计算如下：作用在B B A A ''面元上的面力为
dz Rd R ⋅-θp
作用在与之相对的C C D D ''面元上的面力为
R
dz Rd dz Rd R R ∂⋅∂+
⋅)
(θθp p
因此作用在B B A A ''和C C D D ''面元上的面力合力为
dz d R
R R dz Rd dz Rd dz Rd R R R R ⋅∂∂=∂⋅∂+
⋅+⋅-θθθθ)
()(p p p p
这里利用了关系R R p p -=-. 同理，作用在A D AD ''和B C BC ''上的面力合力为
dz dR ⋅∂∂θ
θ
p 作用在ABCD 和D C B A ''''上的面力合力为
dR Rd z
z
⋅∂∂θp
流体力学习题解答
习 题 六 1． 已知不可压缩平面流动的速度分布u=x 2+2x-4y ，v=-2xy-2y 。确定流动：（1）是否满足 连续性条件；（2）是否有旋；（3）驻点位置；（4）如存在速度势函数和流函数，求出它 们。4题 2． 已知不可压缩平面流动的速度势为：（1）?= r Q ln 2π；（2）?=x y arctan 2πΓ。求： （1）速度分布；（2）流函数和流动图案。5题图 3． 求以下平面流动的涡量场，并判断由给定涡量场能否唯一地确定相应的速度场。 （1） u=-y ，v=0；（2）u=-（x+y ），v=y ；（3）u=-y ，v=x ； 4． 已知平面流场的速度分布量为：r>a ，u=222y x y a +-ω，v=2 22y x x a +ω；r ≤a ，u=-y ω，v=x ω。ω为常数，a 为半径，求图中三条封闭曲线C 1，C 2，C 3的环量1Γ，2Γ，3Γ。 5． 证明以下分别用速度势和流函数表示的两个流场实际实际上是同一流场： 22y x x -+=?和y xy +=2ψ 6． 不压缩流体平面流动的速度势为x y x +-=2 2 ?，求其相应的流函数。 7． 在（1，0）和（-1，0）两点各有强度为4π的点源，试求在（0，0），（0，1），（0，-1）， （1，1）的速度。 8． 两个速度环量相等且为s m /102 =Γ的旋涡，分别位于y=3±处。求（1）原点处的分 速度u ，v ；（2）A （4，0）点处的u ，v ；（3）B （6，5）点处的u ，v ；（4）流线方程。15题图 9． 已知不可压缩流体平面流动的速度势为2 2 y x -=?，求在点（2，1.5）处的压强。设 驻点的压强为101kN/m 2 ，流体的密度为3 /19.1m kg =ρ。 10． 根据固定壁面可以和流线等价交换的原则，决定如下平面流动的速度势和沿壁面的 速度分布。 （1） 一强度为Q 的点源位于（a ，0）处，y 轴为固定壁面。 （2） 一强度为Q 的点汇位于（0，a ）处，x 轴为固定壁面。 11． x 轴上的两点（a ，0），（-a ，0）处分别放置强度为Q 的一个点源和一个点汇。证 明叠加后组合流动的流函数为： 2 222arctan 2a y x ay Q -+= πψ 12． 速度为V ∞的平行流和强度为Q 的点源叠加，形成绕半无穷体的流动。求其流函数 和速度势，并证明柱形体的外形方程为r=Q （θπθπsin 2/)∞-V ，它的宽度为Q/ V ∞。 13． 在平面xoy 上的点（a ，0），（-a ，0）处各放置一个强度为Q 的点源，在点（0，a ），
流体力学习题及答案
第一章 绪论 1-1 连续介质假设的条件是什么？ 答：所研究问题中物体的特征尺度L ，远远大于流体分子的平均自由行程l ，即l/L<<1。 1-2 设稀薄气体的分子自由行程是几米的数量级，问下列二种情况连续介质假设是否成立？ （1）人造卫星在飞离大气层进入稀薄气体层时； （2）假象地球在这样的稀薄气体中运动时。 答：（1）不成立。 （2）成立。 1-3 粘性流体在静止时有没有切应力？理想流体在运动时有没有切应力？静止流体没有粘性吗？ 答：（1）由于 0=dy dv ，因此0==dy dv μτ，没有剪切应力。 （2）对于理想流体，由于粘性系数0=μ，因此0==dy dv μ τ，没有剪切应力。 （3）粘性是流体的根本属性。只是在静止流体中，由于流场的速度为0，流体的粘性没有表现出来。 1-4 在水池和风洞中进行船模试验时，需要测定由下式定义的无因次数（雷诺数）ν UL = Re ， 其中U 为试验速度，L 为船模长度， ν为流体的运动粘性系数。如果s m U /20=，m L 4=，温度由C ︒10增到C ︒40时，分别计算在水池和风洞中试验时的Re 数。（C ︒10时水和空气的运动粘性系数为4 10013.0-⨯和4 10 014.0-⨯，C ︒40时水和空气的运动粘性系数为 4100075.0-⨯和410179.0-⨯）。 答：C ︒10时水的Re 为：()() 7 2 410154.6/10013.04)/(20Re ⨯=⨯⨯= = -s m m s m UL ν 。 C ︒10时空气的Re 为：()() 72410714.5/10014.04)/(20Re ⨯=⨯⨯= = -s m m s m UL ν 。 C ︒40时水的Re 为：()() 8 2 410067.1/100075.04)/(20Re ⨯=⨯⨯= = -s m m s m UL ν 。
流体力学—习题答案
一、选择题 1、流体传动系统工作过程中，其流体流动存在的损失有( A ) A、沿程损失和局部损失， B、动能损失和势能损失， C、动力损失和静压损失， D、机械损失和容积损失 2、液压千斤顶是依据（ C ）工作的。 A、牛顿内摩擦定律 B、伯努力方程 C、帕斯卡原理 D、欧拉方程 3、描述液体粘性主要是依据（ D ） A、液体静力学原理 B、帕斯卡原理 C、能量守恒定律 D、牛顿内摩擦定律 4、在流场中任意封闭曲线上的每一点流线组成的表面称为流管。与真实管路相比（C ）。 A、完全相同 B、完全无关 C、计算时具有等效性 D、无边界性 5、一般把( C )的假想液体称为理想液体 A、无粘性且可压缩， B、有粘性且可压缩， C、无粘性且不可压缩， D、有粘性且不可压缩 6、进行管路中流动计算时，所用到的流速是( D ) A、最大速度 B、管中心流速 C、边界流速 D、平均流速 7、( A )是能量守恒定律在流体力学中的一种具体表现形式 A、伯努力方程， B、动量方程， C、连续方程， D、静力学方程 8、（ A ）是用来判断液体流动的状态 A、雷诺实验 B、牛顿实验 C、帕斯卡实验 D、伯努力实验 9、黏度的测量一般采用相对黏度的概念表示黏度的大小，各国应用单位不同，我国采用的是（ D ） A、雷氏黏度 B、赛氏黏度 C、动力黏度 D、恩氏黏度 10、流体传动主要是利用液体的( B )来传递能量的 A、动力能 B、压力能， C、势能， D、信号 11、静止液体内任一点处的压力在各个方向上都( B ) A、不相等的， B、相等的， C、不确定的 12、连续性方程是( C )守恒定律在流体力学中的一种具体表现形式 A、能量， B、数量， C、质量 D、动量 13、流线是流场中的一条条曲线，表示的是（ B ） A、流场的分布情况， B、各质点的运动状态 C、某质点的运动轨迹， D、一定是光滑曲线 14、流体力学分类时常分为（ A ）流体力学 A、工程和理论， B、基础和应用 C、应用和研究， D、理论和基础 15、流体力学研究的对象（ A ） A、液体和气体 B、所有物质， C、水和空气 D、纯牛顿流体 16、27、超音速流动,是指马赫数在( B )时的流动 A、0.7 < M < 1.3 B、1.3 < M ≤5 C、M > 5 D、0.3 ≤M ≤0.7 17、静压力基本方程式说明：静止液体中单位重量液体的（A ）可以相互转换，但各点的总能量保持不变，即能量守恒。 A、压力能和位能， B、动能和势能， C、压力能和势能 D、位能和动能 18、由液体静力学基本方程式可知，静止液体内的压力随液体深度是呈( A )规律分布的 A、直线， B、曲线， C、抛物线 D、不变 19、我国法定的压力单位为（ A ） A、MPa B、kgf/cm2 C、bar D、mm水柱 20、理想液体作恒定流动时具有（ A ）三种能量形成，在任一截面上这三种能量形式之间可以相互转换。 A压力能、位能和动能，B、势能、位能和动能， C、核能、位能和动能， D、压力能、位能和势能 21、研究流体沿程损失系数的是（A） A、尼古拉兹实验 B、雷诺实验 C、伯努力实验 D、达西实验 22、机械油等工作液体随温度升高，其粘度( B ) A、增大， B、减小， C、不变 D、呈现不规则变化
流体力学习题解答
2．在现实生活中可视为牛顿流体的有水 和空气 等。 3．流体静压力和流体静压强都是压力的一种量度。它们的区别在于：前者是作用在某一面积上的总压力；而后者是作用在某一面积上的平均压强或某一点的压强。 4．均匀流过流断面上压强分布服从于水静力学规律。 5．和液体相比，固体存在着抗拉、抗压和抗切三方面的能力。 7．流体受压，体积缩小，密度增大 的性质，称为流体的压缩性 ；流体受热，体积膨胀，密度减少 的性质，称为流体的热胀性 。 8．压缩系数β的倒数称为流体的弹性模量 ，以E 来表示 12．液体静压强分布规律只适用于静止、同种、连续液体。 13．静止非均质流体的水平面是等压面，等密面和等温面。 14．测压管是一根玻璃直管或U 形管，一端连接在需要测定的容器孔口上，另一端开口，直接和大气相通。 16．作用于曲面上的水静压力P 的铅直分力z P 等于其压力体内的水重。 17．通过描述物理量在空间的分布来研究流体运动的方法称为欧拉法。 18． 流线不能相交（驻点处除外），也不能是折线，因为流场内任一固定点在同一瞬间只能有一个速度向量，流线只能是一条光滑的曲线或直线。 20．液体质点的运动是极不规则的，各部分流体相互剧烈掺混，这种流动状态称为紊流。 21．由紊流转变为层流的临界流速k v 小于 由层流转变为紊流的临界流速k v '，其中k v '称为上临界速度，k v 称为下临界速度。 23．圆管层流的沿程阻力系数仅与雷诺数有关，且成反比，而和管壁粗糙无关。
25．紊流过渡区的阿里特苏里公式为25.0)Re 68 (11.0+=d k λ。 26．速度的大小、方向或分布发生变化而引起的能量损失，称为局部损失。 29．湿周是指过流断面上流体和固体壁面接触的周界。 31．串联管路总的综合阻力系数S 等于各管段的阻抗叠加。 32．并联管路总的综合阻力系数S 与各分支管综合阻力系数的关系为 3 2 1 1111s s s s + + = 。管嘴与孔口比较,如果水头H 和直径d 相同，其流速比 V 孔口/V 管嘴等于 82.097.0,流量比Q 孔口/Q 管嘴等于82 .060 .0。 33．不可压缩流体的空间三维的连续性微分方程是0=??+??+??z u y u x u z y x 。 34．1=M 即气流速度与当地音速相等，此时称气体处于临界状态。 36．气体自孔口、管路或条缝向外喷射 所形成的流动，称为气体淹没射流。 37．有旋流动是指流体微团的旋转角速度在流场内不完全为零 的流动。 38．几何相似是指流动空间几何相似。即形成此空间任意相应两线段夹角相同，任意相应线段长度保持一定的比例 。 39．因次是指物理量的性质和类别。因次分析法就是通过对现象中物理量的因次以及因次之间相互联系的各种性质的分析来研究现象相似性的方法。他是一方程式的因次和谐性为基础的。 二、判 断 题 3．静止液体自由表面的压强，一定是大气压。错 4．静止液体的自由表面是一个水平面，也是等压面。对 6．当相对压强为零时，称为绝对真空。错
流体力学试题库(含答案)
流体力学试题库（含答案） 一、单选题（共40题，每题1分，共40分） 1、（）的分子间隙最小。 A、固体 B、流体 C、气体 D、液体 正确答案：A 2、金属压力表的读数值是()。 A、绝对压强 B、相对压强 C、绝对压强加当地大气压 D、相对压强加当地大气压 正确答案：B 3、当容器内工质的压力大于大气压力，工质处于（） A、标准状态 B、负压状态 C、临界状态 D、正压状态 正确答案：D 4、以绝对真空为基准点计算的压力值称为（）。 A、相对压力 B、真空压力 C、绝对压力 D、真空度 正确答案：C 5、将极细测压管插入水中，毛细现象会使得液位（） A、都有可能 B、不变 C、上升 D、下降 正确答案：C 6、在圆管流中，层流的断面流速分布为（）。 A、抛物线规律
B、均匀规律 C、对数曲线规律 D、直线变化规律 正确答案：A 7、露天水池，水深5m处的相对压强为（）。 A、5kPa B、49kPa C、147kPa D、205kPa 正确答案：B 8、按连续介质的概念，流体质点是指（） A、几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体 B、几何的点 C、流体的分子 D、流体内的固体颗粒 正确答案：A 9、沿程损失产生的原因是( )。 A、流体质点之间发生碰撞 B、紊流流动 C、流体与管壁面以及流体之间存在切应力 D、流动存在旋涡 正确答案：C 10、伯努利方程说明，流体在水平管内定常流动中，压力下降（） A、都可能 B、流速下降 C、流速不变 D、流速上升 正确答案：D 11、水沿水平放置的有压管道流动，已知管径为100毫米，流量为 0.0314立方米／秒，则平均流速为（） A、3.14米／秒 B、4米／秒 C、2米／秒 D、1米／秒
流体力学习题解答 (解答)
习题一 场论和张量代数 (习题一中黑体符号代表矢量) 1．(一)用哈密顿符号法证明： rot n n n n n n n n n n n n n n C C ⨯=-⨯∇⨯=-⨯∇⨯=-∇⋅+⋅∇=-∇⋅+⋅∇()()()()()()C 1 2 因为n 为单位向量，n n ⋅=1，故 ∇⋅=()n n 0，于是rot n n n n ⨯=⋅∇(). 注意： 将rot n n ⨯写成rot n n n n ⨯=∇⨯⨯()是不正确的。右端表示矢量 ][)(p k q jpq ijk x n n ∂∂εε. 直接写rot n n n n n n n n ⨯=-⨯∇⨯=-∇⋅+⋅∇()()()尽管也能给出证明，但由第二步(反用混合积公式)到第三步却是错误的，一定要引入辅助矢量n C 才能进行正确的推导。 (二)张量表示法证明： ()()1()()2n n n ijk jmn k jik jmn k im kn km in k m m m k i k k k k i k i n n n n n n x x x n n n n n n x x x εεεεδδδδ∂∂∂⨯==-=--∂∂∂∂∂∂⋅=- +=-+⋅∇=⋅∇∂∂∂rot n n n n n n 2．(一)哈密顿符号法： grad(a n a n n a n a ⋅=∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇)()()()； rot(a n a n n a n a ⨯=∇⨯⨯=⋅∇-∇⋅)()()(). 于是 n a n a n n n a n a n n a a a ⋅⋅-⨯=⋅⨯∇⨯+∇⋅=⋅∇⋅=∇⋅=[()()][()()]()grad rot div (二)张量表示法： ()()[grad()rot()]()j j j p k i ijk i j ijk kpq q i j i j j p j i i j ip jq iq jp q i j j i j i j a n a a n n n n x x x x a a a a n n n n n n x x x x εεεδδδδ⎛⎫ ⎛⎫∂∂∂∂⨯⋅⋅-⨯=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝ ⎭⎡⎤∂∂∂∂=--=-⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦a n n a n a n div j i j j i i j a n x a Q n n Q x ⎡⎤∂+⎢⎥ ∂⎢⎥⎣⎦∂=+=+∂ a 其中()0j j i i i j j i j j i i j i j a a a a Q n n n n n n n x x x x ∂∂∂∂=-=-=∂∂∂∂(进行j i ,指标互换)，证毕。 3．(一)哈密顿符号法：
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第1章 绪论 【1.1】 按连续介质的概念，流体质点是指：（a ）流体的分子；（b ）流体内的固体颗粒；（c ）几何的点；（d ）几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。 解：流体质点是指体积小到可以看作一个几何点，但它又含有大量的分子，且具有诸如速度、密度及压强等物理量的流体微团。 （d ） 【1.2】 与牛顿内摩擦定律直接相关的因素是：（a ）切应力和压强；（b ）切应力和剪切变形速度；（c ）切应力和剪切变形；（d ）切应力和流速。 解：牛顿内摩擦定律是 d d v y τμ =，而且速度梯度d d v y 是流体微团的剪切变形速度d d t γ ，故 d d t γ τμ =。 （b ） 【1.3】 流体运动黏度υ的国际单位是：（a ）m2/s ；（b ）N/m2；（c ）kg/m ；（d ）N 〃s/m2。 解：流体的运动黏度υ的国际单位是 /s m 2 。 （a ） 【1.4】 理想流体的特征是：（a ）黏度是常数；（b ）不可压缩；（c ）无黏性；（d ）符合RT p =ρ 。 解：不考虑黏性的流体称为理想流体。 （c ） 【1.5】当水的压强增加一个大气压时，水的密度增大约为：（a ）1/20 000；（b ）1/1 000；（c ）1/4 000；（d ）1/2 000。 解：当水的压强增加一个大气压时，其密度增大约 95d 1 d 0.51011020 000k p ρ ρ -==???= 。 （a ） 【1.6】 从力学的角度分析，一般流体和固体的区别在于流体：（a ）能承受拉力，平衡时不能承受切应力；（b ）不能承受拉力，平衡时能承受切应力；（c ）不能承受拉力，平衡时不能承受切应力；（d ）能承受拉力，平衡时也能承受切应力。 解：流体的特性是既不能承受拉力，同时具有很大的流动性，即平衡时不能承受切应力。 （c ） 【1.7】下列流体哪个属牛顿流体：（a ）汽油；（b ）纸浆；（c ）血液；（d ）沥青。 解：满足牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体。 （a ） 【1.8】15C 时空气和水的运动黏度6215.210m /s υ-=?空气， 621.14610m /s υ-=?水，这说明：在运动中（a ）空气比水的黏性力大；（b ）空气比水的黏性力小；（c ）空气与水的黏性力接近；（d ）不能直接比较。 解：空气的运动黏度比水大近10倍，但由于水的密度是空气的近800倍，因此水的黏度反而比空气大近50倍，而黏性力除了同流体的黏度有关，还和速度梯度有关，因此它们不能直接比较。 （d ） 【1.9】 液体的黏性主要来自于液体：（a ）分子热运动；（b ）分子间内聚力；（c ）易变形性；（d ）抗拒变形的能力。解：液体的黏性主要由分子内聚力决定。 （b ） 第2章 流体静力学 【2.1】 相对压强的起算基准是：（a ）绝对真空；（b ）1个标准大气压；（c ）当 地大气压；（d ）液面压强。 解：相对压强是绝对压强和当地大气压之差。 （c ） 【2.2】 金属压力表的读值是：（a ）绝对压强；（b ）相对压强；（c ）绝对压强加当地大气压；（d ）相对压强加当地大气压。 解：金属压力表的读数值是相对压强。 （b ） 【2.3】 某点的真空压强为65 000Pa ，当地大气压为0.1MPa ，该点的绝对压强为：（a ）65 000 Pa ；（b ）55 000 Pa ；（c ）35 000 Pa ；（d ）165 000 Pa 。 解：真空压强是当相对压强为负值时它的绝对值。故该点的绝对压强
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C (c) 盛有不同种类溶液的连通器 D C D 水 油 B B (b) 连通器被隔断 A A (a) 连通容器 1. 等压面是水平面的条件是什么 2. 图中三种不同情况，试问：A-A 、B-B 、C-C 、D-D 中哪个是等压面哪个不是等压面为什么 — 3 已知某点绝对压强为80kN/m 2，当地大气压强p a =98kN/m 2。试将该点绝对压强、相对压强和真空压强用水柱及水银柱表示。 4. 一封闭水箱自由表面上气体压强p 0=25kN/m 2，h 1=5m ，h 2＝2m 。求A 、B 两点的静水压强。
7．什么是过流断面和断面平均流速为什么要引入断面平均流速答：与流线正交的断面叫过流断面。 过流断面上点流速的平均值为断面平均流速。 引入断面平均流速的概念是为了在工程应用中简化计算。8．如图所示，水流通过由两段等截面及一段变截面组成的管道，试问：
(1)当阀门开度一定，上游水位保持不变，各段管中，是恒定流还是非恒定流是均匀流还是非均匀流 (2)当阀门开度一定，上游水位随时间下降，这时管中是恒定流还是非恒定流 (3)恒定流情况下，当判别第II 段管中是渐变流还是急变流时，与该段管长有无关系 ; 9 水流从水箱经管径分别为cm d cm d cm d 5.2,5,10321===的管道流 出，出口流速s m V /13=，如图所示。求流量及其它管道的断面平 均流速。 《
解：应用连续性方程 （1）流量：==33A v Q s l /10 3 -⨯ (2) 断面平均流速s m v /0625.01= , s m v /25.02= 。 10如图铅直放置的有压管道，已知d 1=200mm ，d 2=100mm ，断面1-1处的流速v 1=1m/s 。求（1）输水流量Q ；（2）断面2-2处的平均流速v 2；（3）若此管水平放置，输水流量Q 及断面2-2处的速度v 2是否发生变化（4）图a 中若水自下而上流动，Q 及v 2是否会发生变化 ！ 解：应用连续性方程 （1）4.31=Q s l / （2）s m v /42= （3）不变。 （4）流量不变则流速不变。 11. 说明总流能量方程中各项的物理意义。
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2.在现实生活中可视为牛顿流体的有水 与空气 等。 3.流体静压力与流体静压强都就是压力的一种量度。它们的区别在于:前者就是作 用在某一面积上的总压力;而后者就是作用在某一面积上的平均压强或某一点的 压强。 4.均匀流过流断面上压强分布服从于水静力学规律。 5.与液体相比,固体存在着抗拉、抗压与抗切三方面的能力。 7.流体受压,体积缩小,密度增大 的性质,称为流体的压缩性 ;流体受热,体积膨胀, 密度减少 的性质,称为流体的热胀性 。 8.压缩系数β的倒数称为流体的弹性模量 ,以E 来表示 12.液体静压强分布规律只适用于静止、同种、连续液体。 13.静止非均质流体的水平面就是等压面,等密面与等温面。 14.测压管就是一根玻璃直管或U 形管,一端连接在需要测定的容器孔口上,另一 端开口,直接与大气相通。 16.作用于曲面上的水静压力P 的铅直分力z P 等于其压力体内的水重。 17.通过描述物理量在空间的分布来研究流体运动的方法称为欧拉法。 18. 流线不能相交(驻点处除外),也不能就是折线,因为流场内任一固定点在同一 瞬间只能有一个速度向量,流线只能就是一条光滑的曲线或直线。 20.液体质点的运动就是极不规则的,各部分流体相互剧烈掺混,这种流动状态称 为紊流。 21.由紊流转变为层流的临界流速k v 小于 由层流转变为紊流的临界流速k v ',其中k v '称为上临界速度,k v 称为下临界速度。 23.圆管层流的沿程阻力系数仅与雷诺数有关,且成反比,而与管壁粗糙无关。 25.紊流过渡区的阿里特苏里公式为25.0)Re 68(11.0+=d k λ。 26.速度的大小、方向或分布发生变化而引起的能量损失,称为局部损失。 29.湿周就是指过流断面上流体与固体壁面接触的周界。 31.串联管路总的综合阻力系数S 等于各管段的阻抗叠加。 32.并联管路总的综合阻力系数S 与各分支管综合阻力系数的关系为 321111 1 s s s s ++=。管嘴与孔口比较,如果水头H 与直径d 相同,其流速比V
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流体力学试题库（含参考答案） 一、单选题（共70题，每题1分，共70分） 1、离心泵的扬程是指（） A、从泵出口到管路出口间的垂直高度，即压出高度 B、IN液体经泵后获得的能量 C、Ikg液体经泵后获得的能量 D、液体的升扬高度 正确答案：B 2、采用出口阀门调节离心泵流量时，开大出口阀门扬程（） A、增大 B、不变 C、先增大后减小 D、减小 正确答案：D 3、试比较离心泵下述三种流量调节方式能耗的大小：①阀门调节（节流法）；②旁路调节；③改变泵叶轮的转速或切削叶轮（） A、②>③>① B、①>③>② C、②>①〉③ D、①>②>③ 正确答案：C 4、某气体在等径的管路中作稳定的等温流动，进口压力比出口压力大，则进口气体的平均流速（）出口处的平均流速 A^不能确定 B、大于 C、等于 D、小于 正确答案：D 5、8B29离心泵（） A、流量为29m3∕h,效率最高时扬程为8m B、泵吸入口直径为8cm,效率最高时扬程约为29m C、效率最高时扬程为29m,流量为8
D、泵吸入口直径为20Omnb效率最高时扬程约为29m 正确答案：D 6、影响流体压力降的主要因素是（） A、流速 B、密度 C、压力 D、温度 正确答案：A 7、下列流体输送机械中必须安装稳压装置和除热装置的是（） A^旋转泵 B、离心泵 C、往复泵 D、往复压缩机 正确答案：D 8、离心泵的特性曲线不包括（） A、流量功率线 B、功率扬程线 C、流量扬程线 D、流量效率线 正确答案：B 9、转子流量计的设计原理是依据（） A、流动的速度 B、液体对转子的浮力 C、流体的密度 D、流动时在转子的上、下端产生了压强差 正确答案：D 10、泵若需自配电机，为防止电机超负荷，常按实际工作的（）计算轴功率N,取（1.1-1.2）N作为选电机的依据。 A、最小流量 B、最大扬程 C、最小扬程 D、最大流量 正确答案：D 11、下列四种流量计，哪种不属于差压式流量计的是（） A、文丘里流量计
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流体力学习题和解答 中国海洋大学海洋环境学院 流体力学教研室
习题一 场论和张量代数 1．证明 ()n n n n ⋅∇=⨯rot ,其中n 为单位向量。 2．证明n a n a n a ⋅⋅-⨯=[()()]grad rot div ，其中a 是变矢量，n 是单位常矢量。 3．用两种方法证明()()∇⨯⨯=-⋅∇-⨯⨯+a b a b a b a b a b rot +rot div 。 4．将其分解为对称的和反对称的两部分，并以w 表示相当于反对称部分的矢量，12 i ijk jk w p ε=。试证 ()()2()P P ⋅⋅-⋅⋅=⋅⨯u v v u w u v ， 其中u 及v 为任意矢量。 5．张量P 为反对称张量的充分必要条件是：对任意矢量a 有下述恒等式成立： a a ⋅⋅=()P 0 习题二 流体运动描述 1． 流体质点绕oz 轴以等角速度ω 旋转， （1）试以欧拉变量写出流体运动的速度场； （2）试以拉哥朗日变量写出流体质点的运动规律； （3）试分析流场的流线和轨迹； （4）试求流体质点的加速度； （5）用极坐标解此题。 2． 一维收缩管内的不可压缩流动，其速度分布为：)/1(1L x V V +=，试决定： （1）流场内任一质点的加速度 （2）给出 t=0时刻位于0x x =点的质点的运动规律，并比较用两种方法得到的加速度。 3． 流体质点在定常流场内运动，流体质点是否具有加速度，为什么? 4． 设流场为：2Xt u =，2 Yt v =，0=w 。试求流场的流线，流体质点的轨迹和加速度，并以拉哥朗日变数表示质点的速度和加速度。 5． 设流场为：ky u =，)(t x k v λ-=，0=w ，其中k 和λ 均为常数。试求：t=0 时经过点M(a ，b ，c)的流线及t=0时经过M(a ，b ，c)处的流体质点的轨迹，最后考虑0=λ时的情形。 6． 考虑下述速度分量定义的二维流动： C v Bt A u =+= 其中A 、B 、C 为常数。试证流线为直线，质点的轨迹为抛物线。 7． 二维流场kyt v a u ==,，试决定其流线与轨迹。 8． 设流场的速度分布为：
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《流体力学》1-4章作业讲评 1-6．当空气温度从00C 增加至020C 时，ν值增加15%，容重减少10%，问此时μ值增加多少 1-7．图示为一水平方向运动的木板，其速度为1m s ，平板浮在油面上，油深 1mm δ=，油 的0.09807Pa s μ=，求作用于平板单位面积上的阻力 1-9．一底面积为4045cm ⨯，高为1cm 的木板，质量为5kg ，沿着涂有润滑油的斜面等速向下运动，已知1m v s =，1mm δ=，求润滑油的动力粘滞系数 1-10．一个圆锥体绕其铅直中心轴等速旋转，锥体与固定壁的间距为δ＝1mm ，全部为润滑油充满，μ＝ ，当旋转角速度ω＝16s －1，锥体底部半径R ＝,高H ＝时，求：作用于圆锥的阻力矩。 解： 取微元体， 微元面积： 切应力： 阻力： 5 12 13 G V 22cos 0dh dA r dl r du r dy dT dA dM dT r ππθ ωτμ μδτ=⋅=⋅ -====⋅
阻力矩 1-14．图示为一采暖系统图，由于水温升高引起水的体积膨胀，为了防止管道及暖气片胀裂，特在顶部设置一膨胀水箱，使水的体积有自由膨胀的余地，若系统内水的总体积 38V m =，加热前后温度差050t C =，水的热胀系数0.0005α=，求膨胀水箱的最小容积 ⎡⎤⎣⎦解因为 dV V dt α= 所以 30.00058500.2dV Vdt m α==⨯⨯= 2-2．在封闭管端完全真空的情况下，水银柱差250Z mm =，求盛水容器液面绝对压强1p 及测压管中水面高度1Z 2-6．封闭容器水面的绝对压强2 0107.7KN p m =，当地大气压强2 98.07a KN p m =，试求（1） 水深0.8h m =的A 点的绝对压强和相对压强（2）若容器水面距基准面高度5Z m =，求A 点的测压管高度和测压管水头。并图示容器内液体各点的测压管水头线；（3）压力表M 和酒精（2 7.944KN m γ=）测压计h 的读数值 ⎡⎤⎣⎦解（1）201107.79.8070.8115.55A KN p p h m γ'=+=+⨯=
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流体力学习题库（含答案） 一、单选题（共70题，每题1分，共70分） 1、低温泵的气相平衡线的作用是防止泵的( )。 A、憋压 B、超温 C、汽蚀 D、汽缚 正确答案：D 2、若被输送液体的黏度增大时，离心泵的效率( )。 A、减小 B、增大 C、不变 D、不定 正确答案：A 3、当地大气压为745mmHg测得一容器内的绝对压强为350mmHg，则真空度为( ) A、395mmHg B、350mmHg C、410mmHg 正确答案：A 4、单位质量的流体所具有的( )称为流体的比容。 A、位能 B、动能 C、体积 D、黏度 正确答案：C 5、喷射泵是利用流体流动时的( )的原理来工作的。 A、动能转化为静压能 B、热能转化为静压能 C、静压能转化为动能 正确答案：C 6、机械密封与填料密封相比( )的功率消耗较大。 A、填料密封 B、机械密封
C、差不多 正确答案：A 7、下列不属于离心泵的主要构件是 ( ) A、泵轴 B、泵壳 C、叶轮 D、轴封装置 正确答案：A 8、一台离心泵开动不久，泵入口处的真空度正常，泵出口处的压力表也逐渐降低为零，此时离心泵完全打不出水。发生故障的原因是( ) A、吸入管路堵塞 B、忘了灌水 C、吸入管路漏气 D、压出管路堵塞 正确答案：A 9、某液体在内径为D0的水平管路中稳定流动，其平均流速为u0，当它以相同的体积流量通过等长的内径为D2（D2=D0/2）的管子时，若流体为层流，则压降ΔP为原来的( )倍。 A、32 B、8 C、4 D、16 正确答案：A 10、造成离心泵气缚原因是( ) A、泵不能抽水 B、安装高度太高 C、入口管路阻力太大 D、泵内流体平均密度太小 正确答案：D 11、离心泵的轴功率N和流量Q的关系为( ) A、Q增大，N增大 B、Q增大，N先增大后减小 C、Q增大，N减小 D、Q增大，N先减小后增大
(完整版)流体力学练习题及答案
(完整版)流体力学练 习题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
流体力学练习题及答案 一、单项选择题 1、下列各力中，不属于表面力的是（ ）。 A ．惯性力 B ．粘滞力 C ．压力 D ．表面张力 2、下列关于流体粘性的说法中，不准确的说法是（ ）。 A ．粘性是实际流体的物性之一 B ．构成流体粘性的因素是流体分子间的吸引力 C ．流体粘性具有阻碍流体流动的能力 D ．流体运动粘度的国际单位制单位是m 2/s 3、在流体研究的欧拉法中，流体质点的加速度包括当地加速度和迁移加速度，迁移加速度反映（ ）。 A ．由于流体质点运动改变了空间位置而引起的速度变化率 B ．流体速度场的不稳定性 C ．流体质点在流场某一固定空间位置上的速度变化率 D ．流体的膨胀性 4、重力场中平衡流体的势函数为（ ）。 A ．gz -=π B ．gz =π C ．z ρπ-= D ．z ρπ= 5、无旋流动是指（ ）流动。 A ．平行 B ．不可压缩流体平面 C ．旋涡强度为零的 D ．流线是直线的 6、流体内摩擦力的量纲[]F 是（ ）。
A . []1-MLt B . []21--t ML C . [] 11--t ML D . []2 -MLt 7、已知不可压缩流体的流速场为xyj zi x 2V 2+= ，则流动属于（ ）。 A ．三向稳定流动 B ．二维非稳定流动 C ．三维稳定流动 D ．二维稳定流动 8、动量方程 的不适用于(??? ??) 的流场。 A ．理想流体作定常流动 B ．粘性流体作定常流动 C ．不可压缩流体作定常流动 D ．流体作非定常流动 9、不可压缩实际流体在重力场中的水平等径管道内作稳定流动时，以下陈述错误的是：沿流动方向 ( ) 。 A ．流量逐渐减少 B ．阻力损失量与流经的长度成正比 C ．压强逐渐下降 D ．雷诺数维持不变 10、串联管道系统中,其各支管内单位质量流体的能量损失（ ）。 A ．一定不相等 B ．之和为单位质量流体的总能量损失 C ．一定相等 D ．相等与否取决于支管长度是否相等 11、边界层的基本特征之一是（ ）。 A ．边界层内流体的流动为层流 B ．边界层内流体的流动为湍流 C ．边界层内是有旋流动 D ．边界层内流体的流动为混合流 in out QV QV F )()(ρρ∑-∑=∑
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《流体力学》1-4章作业讲评 1-6 •当空气温度从00C 增加至200C 时, 加多少 值增加15%，容重减少10%，问此时 值增 油的 0.09807 Pags ，求作用于平板单位面积上的阻力 解 T GSin 0 0 0 ) (115% 1-7 •图示为一水平方向运动的木板，其速度为 0 du dy 1 0.09807 98.07 Pa 0.001 1-9 .一底面积为 40 45cm ，高为1cm 的木板，质量为5kg ，沿着涂有润滑油的斜面等 速向下运动，已知v 1少［, 1mm ，求润滑油的动力粘滞系数
5所以GSin 5 25 13 du dy 0.40 0.45 0.001 180 所以 25 9.807 13 180 一个圆锥体绕其铅直中心轴等速旋转，锥体与固定壁的间距为3= 1mm全部为润 锥体底部半径R=,高日=时，求：作用于 0.105Pa s 1-10 • 滑油充满，卩= ，当旋转角速度3= 16s —1, 圆锥的阻力矩。 解：取微元体， 微元面积： dA dl 切应力: 阻力: 阻力矩dT dM dM du dy dA dT rdT r dA 1 dh cos cos 3 r dh(r tg h) 1-14 •图示为一采暖系统图，由于水温升高引起水的体积膨胀, 裂，特在顶部设置一膨胀水箱，为了防止管道及暖气片胀 使水的体积有自由膨胀的余地，若系统内水的总体积 t 500C，水的热胀系数0.0005，求膨胀水箱的最小容积 dV 解因为V dt 所以dV Vdt 0.0005 8 50 0.2m3 V 8m3，加热前后温度差
水银柱差Z 2 50mm ,求盛水容器液面绝对压强 p 1 及测压管中水面高度乙 解 Pl 0 Z 2 13.6 103 9.8 0.05 6664 p 乙 6.664 0.68m 680mm 9.8 Z 5m ，求A 点的测压管高度和测压管水头。 并图示容器内液体各点的测压管水头线; 散热片 膨胀水箱 (3) 压力表M 和酒精（ 7.944 测压计h 的读数值 2-2 .在封闭管端完全真空的情况下, 2-6 .封闭容器水面的绝对压强 p 0 107.7 K%?，当地大气压强 P a 98.07 , 试求（1）水深h 0.8m 的A 点的绝对压强和相对压强（ 2）若容器水面距基准面高度
流体力学习题和解答
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习题一 场论和张量代数 1．证明 ()n n n n ⋅∇=⨯rot ,其中n 为单位向量。 2．证明n a n a n a ⋅⋅-⨯=[()()]grad rot div ，其中a 是变矢量，n 是单位常矢量。 3．用两种方法证明()()∇⨯⨯=-⋅∇-⨯⨯+a b a b a b a b a b rot +rot div 。 4．有一张量，将其分解为对称的和反对称的两部分，并以w 表示相当于反对称部分的矢量， 12 i ijk jk w p ε=。试证 ()()2()P P ⋅⋅-⋅⋅=⋅⨯u v v u w u v ， 其中u 及v 为任意矢量。 5．张量P 为反对称张量的充分必要条件是：对任意矢量a 有下述恒等式成立： a a ⋅⋅=()P 0 习题二 流体运动描述 1． 流体质点绕oz 轴以等角速度ω 旋转， （1）试以欧拉变量写出流体运动的速度场； （2）试以拉哥朗日变量写出流体质点的运动规律； （3）试分析流场的流线和轨迹； （4）试求流体质点的加速度； （5）用极坐标解此题。 2． 一维收缩管内的不可压缩流动，其速度分布为：)/1(1L x V V +=，试决定： （1）流场内任一质点的加速度 （2）给出 t=0时刻位于0x x =点的质点的运动规律，并比较用两种方法得到的加速度。 3． 流体质点在定常流场内运动，流体质点是否具有加速度，为什么? 4． 设流场为：2Xt u =，2 Yt v =，0=w 。试求流场的流线，流体质点的轨迹和加速度，并以拉哥朗日变数表示质点的速度和加速度。 5． 设流场为：ky u =，)(t x k v λ-=，0=w ，其中k 和λ 均为常数。试求：t=0 时经过点M(a ，b ，c)的流线及t=0时经过M(a ，b ，c)处的流体质点的轨迹，最后考虑0=λ时的情形。 6． 考虑下述速度分量定义的二维流动： C v Bt A u =+= 其中A 、B 、C 为常数。试证流线为直线，质点的轨迹为抛物线。 7． 二维流场kyt v a u ==,，试决定其流线与轨迹。 8． 设流场的速度分布为：
流体力学习题解答
第2章流体静力学 大气压计的读数为(755mmHg),水面以下7.6m深处的绝对压力为多少 知：P a 100.66KP a 水1000kg /m h 7.6m 求：水下h处绝对压力P P P a gh 解100.6 9.807 1000 7.6 解: 175KP a 烟囱高H=20m,烟气温度t s=300C，压力为p s,确定引起火炉中烟气自动流通的压力差。烟气的密度可按下式计算：p= () kg/m3, 空气p =1.29kg/m3。 解：把t s 300 C 代入s (1.25 0.0027t s)kg/m3得 (1.25 0.0027t s)kg/m3 s (1.25 0.0027 300)kg / m3 0.44kg/m3 压力差p= ( a- s) gH ，把a 1.29kg/m3, 3 s 0.44kg/m , g 9.8N/kg, H 20m分别代入上式可得 P= (a- S)gH =(1.29-0.44) 9.8 20Pa 166.6Pa 已知大气压力为m2。求以水柱高度表示时：(1)绝对压力为m2时的相对压力； (2)绝对压力为m2时的真空值各为多少 解：(1)相对压力：p a =p-p大气=m2以水柱高度来表示：h= p a/ g=* 103/ (* 103) =2.0m 2 (2)真空值：p v=p a p=98.1 68.5=29.6 KN / m 3 3 以水柱高度来表示：h= p a/ g=* 10 / (* 10 ) =3.0m 如图所示的密封容器中盛有水和水银，若A点的绝对压力为300kPa表面的空气压力为180kPa则水高度为多少压力表B的读数是多少
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1、流体与固体的最大区别是流体______。 (第01章流体力学:1) A．易流动 B．可压缩 C．A和 B D．不可压缩 流体与固体的根本区别在于流动性。正是由于流体具有流动性， 所以流体没有固定的形状。 3、下列是______流体的物理性质。 (191079:第01章流体力学:3) A．粘度，流动速度，流体质量 B．密度，压缩性，表面张力 C．流体速度，流体重量，密度 D．粘度，流体重量，表面张力 流体主要的力学性质有:重度、密度、压缩性、膨胀性、粘滞性、 表面张力、含气量及空气分离压等。 6、如图 (191082:第01章流体力学:6) A B C D
16、同种流体的密度随_____的变化而变化。 (191092:第01章流体力学:16) A．温度 B．压力 C．温度和压力 D．A、B、C都不对 这是由流体膨胀性和压缩性所决定的。 17、如图 (191093:第01章流体力学:17) A B C D
22、若200cm3待测液从恩氏粘度计流出的时间为102s，则恩氏粘度为_____． (191098:第01章流体力学:22) A．102 B．200 C．2 D．l 26、流体的运动一停止，流体_____。 (191102:第01章流体力学:26) A．就具有可压缩性 B．就不呈现粘滞性 C．粘度就随温度升高而降低 D．内压力就消失 31、牛顿内摩擦定律适用于_____。 (191107:第01章流体力学:31) A．层流流动 B．紊流流动 C．A和B
D．任意流动 牛顿内摩擦定律仅仅适用于层流流动。 36、当其他条件不变，流体的温度升高时，其动力粘度_____。A．增大 B．减小 C．不变 D．不一定 液体和气体的粘度随温度的变化规律不同。液体的粘度随温度的升高 而减小，而气体的粘度随温度的升高而增大。这是因为液体分子间距小，不规则运动弱，因此内摩擦力主要取决于分子间的内聚力。温度 升高时，分子间距增大，内聚力相应减小，因而粘度就要减小。对于 气体内摩擦力主要取决于分子间不规则运动的动量交换。温度升高时，不规则运动加剧，从而各层之阿的内摩擦力加大，因而粘度增大。 41、下列_____的单位是Pa· s。 (191117:第01章流体力学:41) A．动力粘度 B．运动粘度 C．恩氏粘度 D．都不是
《流体力学》课后习题答案详解
习题【1】 1-1 解：已知：120t =℃，1 395p kPa '=，250t =℃ 120273293T K =+=，250273323T K =+= 据p RT ρ=，有：1 1p RT ρ'=，22p RT ρ'= 得： 2211p T p T '='，则2211323395435293 T p p kPa T ''=⋅=⨯= 1-2 解：受到的质量力有两个，一个是重力，一个是惯性力。 重力方向竖直向下，大小为mg ；惯性力方向和重力加速度方向相反为竖直向上，大小为mg ，其合力为0，受到的单位质量力为0 1-3 解：已知：V=10m 3，50T ∆=℃，0.0005V α=℃-1 根 据 1V V V T α∆= ⋅∆， 得 ： 30 .0 005 1 0V V V T α∆= ⋅ ⋅∆= ⨯⨯ 1-4 解：已知：41 9.806710Pa p '=⨯，52 5.884010Pa p '=⨯，150t =℃，278t =℃ 得： 1127350273323T t K =+=+=， G ＝mg 自由落体： 加速度a ＝g
2227378273351T t K =+=+= 根据mRT p V = ，有：111mRT p V '=，222mRT p V '= 得：421 25 1219.8067103510.185.884010323V p T V p T '⨯=⋅=⨯='⨯，即210.18V V = 体积减小了()10.18100%82%-⨯= 1-5 解：已知：40mm δ=，0.7Pa s μ=⋅，a =60mm ，u =15m/s ， h =10mm 根据牛顿内摩擦力定律：u T A y μ∆=∆ 设平板宽度为b ，则平板面积0.06A a b b =⋅= 上表面单位宽度受到的内摩擦力： 1100.70.06150210.040.01T A u b N b b h b μτδ-⨯-==⋅=⨯=--/m ，方 向水平向左 下表面单位宽度受到的内摩擦力： 2200.70.061506300.010T A u b N b b h b μτ-⨯-==⋅=⨯=--/m ，方向 水平向左 平板单位宽度上受到的阻力： 12216384N τττ=+=+=，方向水平向左。