流体力学习题和解答

流体力学习题和解答

中国海洋大学海洋环境学院

流体力学教研室

习题一 场论和张量代数

1．证明 ()n n n n ⋅∇=⨯rot ,其中n 为单位向量。

2．证明n a n a n a ⋅⋅-⨯=[()()]grad rot div ，其中a 是变矢量，n 是单位常矢量。

3．用两种方法证明()()∇⨯⨯=-⋅∇-⨯⨯+a b a b a b a b a b rot +rot div 。

4．将其分解为对称的和反对称的两部分，并以w 表示相当于反对称部分的矢量，12

i ijk jk w p ε=。试证 ()()2()P P ⋅⋅-⋅⋅=⋅⨯u v v u w u v ，

其中u 及v 为任意矢量。

5．张量P 为反对称张量的充分必要条件是：对任意矢量a 有下述恒等式成立：

a a ⋅⋅=()P 0

习题二 流体运动描述

1． 流体质点绕oz 轴以等角速度ω 旋转，

（1）试以欧拉变量写出流体运动的速度场；

（2）试以拉哥朗日变量写出流体质点的运动规律；

（3）试分析流场的流线和轨迹；

（4）试求流体质点的加速度；

（5）用极坐标解此题。

2． 一维收缩管内的不可压缩流动，其速度分布为：)/1(1L x V V +=，试决定：

（1）流场内任一质点的加速度

（2）给出 t=0时刻位于0x x =点的质点的运动规律，并比较用两种方法得到的加速度。

3． 流体质点在定常流场内运动，流体质点是否具有加速度，为什么?

4． 设流场为：2Xt u =，2

Yt v =，0=w 。试求流场的流线，流体质点的轨迹和加速度，并以拉哥朗日变数表示质点的速度和加速度。

5． 设流场为：ky u =，)(t x k v λ-=，0=w ，其中k 和λ 均为常数。试求：t=0 时经过点M(a ，b ，c)的流线及t=0时经过M(a ，b ，c)处的流体质点的轨迹，最后考虑0=λ时的情形。

6． 考虑下述速度分量定义的二维流动： C

v Bt A u =+= 其中A 、B 、C 为常数。试证流线为直线，质点的轨迹为抛物线。

7． 二维流场kyt v a u ==,，试决定其流线与轨迹。

8． 设流场的速度分布为：

，，，02222=+=+-=w y

x kx v y x ky u 其中 k 为常数，试求流线、轨迹和流体质点的加速度，并用极坐标解上题。

9． 试证明由直角坐标系到极坐标系和由极坐标系到直角坐标系速度的变换公式如下：

⎩⎨⎧-=+=θθθθθ

sin cos cos sin u v v u v v r ⎩⎨⎧+=-=θ

θθθθθcos sin sin cos v v v v v u r r 10． 已知流体运动的速度大小和流线的方程分别为22y x V +=和=-22y x constant ，试

求速度场两速度分量。

11． 已知二维流动：y v x u -==,，试求流线方程和通过点（2，3）的流线。

12． 一定常流管，其中心线上的流速在40cm 的一段距离内由14m/s 变为15m/s 。若变化是

均匀的，求这段上起点和终点的对流加速度。

13． 试导出在极坐标，柱坐标及球坐标系中之流线和轨迹的微分方程。

14． 速度场为j i V b ay +=，其中，速度的单位为m/sec ，y 以米给出，a =2m/sec ，b =1m/sec ，

试决定场点（1，2，0）上的速度分量，，，w v u 以及通过该点的流线的斜率。

15． 在二维不定场流场内，同一时刻测的速度分量为：

x y u v

0 0 20 10

1 0 2

2 15

0 1 14 5

在x=0，y=0 点上，于不同时刻也进行了速度测量，测量结果为：

t u v

0 20 10

2/1 30 10

其中u 、v 的单位为 m/sec ，t 的单位为sec ，x 、y 的单位为 m ，试求出 x=y=0点上分别沿x 和y 方向的平均加速度分量。

习题三 质量连续性方程

1． 试证明不可压缩流体作定常流动时，速度必沿等密度面进行，反之亦然

2． 已知某平面不可压流场的速度沿x 轴方向的分量为：2u ax by =+

求沿y 轴方向速度分量v ，已知y=0时，v=0

3． 某流场，以拉哥朗日变数表示为：

)c o s ()

s i n (t ka Re b y t ka Re a x kb kb σσ+-=++=

其中σ,,k R 为常数，a ， b 为拉哥朗日变数， 试证明此流场为不可压流场。

4． 流体在弯曲的细管中流动，试分别以拉哥朗日变数和欧拉变数给出连续方程式。

5． 设有一明渠，宽为 b(x )，水深为h(x ，t )，x 代表明渠任一界面的位置。如果认为同一截

面上速度相同，即v=v(x )，试求连续方程。

6． 在上题中，如果静止时h=h(x )（即渠底不平），由于外部扰动，使自由表面产生了一波

动，此时任一截面的水深可表为()(),h h x x t ζ=+， 其中，(),x t ζ为波剖面。设流体为不可压流体，试证明此时连续方程为：

0)(=∂∂+∂∂s

b t b t σζ 7． 设σ为一细流管的截面面积，试证明连续方程为：

0)()(=∂∂+∂∂s

t ρσυρσ 8． 流体质点的运动对于某固定中心对称，求其连续方程。如流体为不可压，阐明此连续方

程的物理意义。

9．流体质点在通过oz 轴的诸平面上运动，求连续方程式。

10．流体质点的轨迹为圆，且这些圆的圆心都位于某一固定轴上，试证明连续方程为：

()0t ρρωθ

∂∂+=∂∂ 式中ω为流体质点绕oz 轴转动的角速度。

11．如果流体质点的轨迹位于共轴的圆柱面上，试求其连续方程式。

12．不可压流体在一平面内运动，在极坐标系下，已知：

2cos r

k v r θ-= 其中k 为常量，试给出速度的θv 分量和速度的大小。

13．如果流体质点在一球面上运动，证明连续方程为：

0)cos '()cos (cos =∂∂+∂∂+∂∂θρφ

θρωθθρw t 此处φθ和分别为纬度和经度，ωω'和分别为质点位置经度和纬度的变化率。

14．流体质点的运动位于轴线与z 轴共轴并有共同顶点的圆锥面上，试求连续方程。

15．一脉冲在一均匀直管中传播，已知 )(0x vt -Φ=ρρ，求质点的速度分布，设原点处

质点的速度为0v 。

16．说明y v x u ==,是否为一不可压流动。假设一个不可压流动的速度x 分量为u=x ，那

么，其y 分量v 的函数形式是什么形式？

习题四 速度分析 有旋运动和无旋运动

1． 流速在平板附近的速度分布为：0,0,===w v ky u ，试求流体微团的膨胀速度，和转

动角速度。

2． 在无旋流动中，0t 时刻组成小球2222R =++ζ

ηξ的质点在d t 时间后必然构成椭球

面，试证之。

3． 在匀变形情况下，位于同一平面上的质点永远位于同一平面上，位于同一直线上的质点

永远位于同一直线上，试证之。

4． 以A 代表某个流动的变形速度张量，试证明剪切速度231312,A A A 和可分别被解释为由于

剪切变形引起的位于x-y ， x-z 和y-z 三个坐标面上的正方形对角线的相对伸长速度。

5． 流体运动时，流线为绕OZ 轴之同心圆，角速度与离OZ 轴距离的n 次方成正比，求旋度

及流体的自转角速度。

6． 验证下列平面流动是否为不可压缩流动。并证明哪一个是有旋的，哪一个是无旋的，对

于无旋场给出速度势函数。

a) ⎩⎨⎧==kx v ky u ， b) ⎩⎨⎧==ky v kx u ， c) ⎩⎨⎧-==ky v kx u ， d) ⎩

⎨⎧+=+=y b ay v bx ax u sin 32 7． 一平面流场：x y x u +-=22，y xy v --=2，证明其代表一不可压流场，并且是无

旋的，并试给出其速度势函数。

8． 给出下述有旋运动的速度场及涡线：

a) 流体与刚体一样具有角速度ω绕OZ 轴旋转；

b) 流场：c w c v cy u ===,,；

c) 流体质点的速度与质点到OX 轴的距离成正比，并且与OX 轴平行。

9． 已知速度势ϕ如下，试求对应的速度场、流体质点加速度及流线。

a) xy =ϕ；

b) 22y

x x +=ϕ。 10． 不可压流体在单连通区域内做无旋运动，试证明对于任何的封闭曲面s 均有

0=∂∂⎰ds n s ϕ。

11． 在不可压缩无旋流动中，流场内任一内点上，速度势ϕ不可能取得极值，试证明之。

习题五 量纲分析和相似理论

1． 截面为半圆形的无限长直管中的不可压缩流体做层流运动，沿管轴方向某一长度l 上的

压降为∆p 。管中的平均流速U ，管的半径a ，流体粘性系数μ有关。试由量纲分析原理推出管中体积流量Q 如何随U 、a 、μ、∆p 和l 变化。

2．.右图示水坝溢流，水的密度与粘度为ρ和μ。试用量纲分析导出溢过单位宽度水坝的体

积流量Q 与那些量有什么无量纲关系。又若已知来流速度为V ∞，求H h /与什么无量纲量有关。

3．在很低雷诺数下, 绕某物体的流动服从下述Stokes 方程组: ∇⋅=V 0, V 2∇=∇μp ,在物面z L f x L y L

=(,)上V =0，在无穷远处V V =∞(沿x 轴方向)。试用量纲分析论证：此物体所受阻力的大小F 应该与特征尺寸L 的几次方成正比？

4．用１：30的模型在水槽中研究潜艇阻力问题。若实际潜艇水下航速为10knot ，试确定研

究摩阻时，模型拖拽速度多大。

5．一模型港尺度比为280：1，设真实storm wave 振幅1.524m ，波速9.144m/s ，那么模型

实验中的这振幅和波速分别是多少？

习题六 理想流体动力学方程组和边界条件

（本习题中除特殊说明外，流体均为均匀不可压理想流体）

1． 流体边界如下，求边界面的法向速度。

1cot tan 222

222=+t b

y t a x 2． 椭圆柱以速度u 作垂直于其轴线的直线运动，试写出椭圆柱的曲面方程式。

3． 试导出在柱坐标和球坐标系下，活动边界的边界条件。

4． 炸弹在水下很深的地方爆炸，证明水中任一点的压强与这点到炸弹中心的距离成正比。

5． 一垂直折管A B C （2/π=∠ABC ），C 端封闭， 并使AB 段竖直放置（如图4-1）。管中充满液体。

如果将C 端开放，试证明在开启的瞬间，垂直管

中的压强减少一半（如果 AB=BC ），并求水平

管中压强的变化（不计大气压强）。

6． 设有不可压重流体，盛在直立的圆柱形容器内，以等角速度ω绕圆柱轴线稳定旋转。若

已知流体静止时液面的高度为h ，圆柱半径为a ，不计大气压强，试求：

（1）流体内部的压强分布；

（2）自由表面的形状；

（3）容器底部受的总压力。

7． 设某流动的速度势在柱坐标系下可以表示为θϕk =，且自由表面压强为常值，于r 为

无穷远处，水面高为h ，试求自由表面的方程式。

A B C 图4-1

8． 水平直细管内有一长为2Ｌ的不可压缩流体，流体受管中点的吸引，引力与到管中点的

距离呈正比。求流体的速度及压强分布。不考虑大气压强。

9． 截面均匀的垂直细管 在下端分为水平的两个小管BC 和 CD ，其截面积为垂直管截面积一半，（见图4-2），在管子结合处各有龙头开关，关闭龙头并使液体在垂直管中的高度为a 。当两龙头打开后，试求液体的运动规律。 10．设空气中有一肥皂泡，成球状，如果肥皂泡以规律R=R(t)膨胀，且认为膨胀率很小，因而空气可以看作是不可压缩的，试求肥皂泡

的表面压强，设无穷远处气体的压强为0p ，且不计质量力。

11．液体置于封闭的圆柱形筒内，受外力的作用自静止开始绕筒的轴线运动，已知外力在

y x 和方向的两分力分别为y x X βα+=，y x Y δγ+=证明：

)(2

1βγω-=dt d ()[]

C y xy x y x p ++++++=22222)(22121δγβαωρ 已知角速度ω仅为时间t 的函数，且δγβα，，，均为常数，不考虑重力的作用。

12．在流体内部突然形成了一个半径为a 的球形空穴，假定流体为不可压缩并且充满整个

空间，试决定流体充满空穴所需要的时间。（假定无穷远处流体的速度为0，压强为 P 0）

13．一完全浸没在不可压缩流体内部的球照规律R=R(t) 膨胀，试决定球面上的流体压力。

14．均匀截面直细管内的气体服从Boyle 定律(ρk p =)，试证明：

])[(222

22ρρk v x

t +∂∂=∂∂ 式中ρ为密度，v 为速度，x 为离开参考点的距离。

15．试从欧拉观点出发，对于小微元推导平面辐射流动[V V R V V R R z ===(),θ0]沿径向(R 方向)的运动方程(应力形式)。

16．在直角坐标系()x y z ,,下，均质不可压缩流体定常运动的速度为ay u =, 0=v ，0 =w (a 是常数)，流体内能U 和温度T 只是y 的函数。设流体粘度μ等于常数，热传导系数k k T =()，质量力只考虑重力g (沿z 方向)，无其它热源()q =0。试从欧拉观点出发，取一小微元，推导出能量方程。

17．一个无限大的平板原来静止，其一侧的半空间充满原来也是静止的均质不可压缩粘性流体（粘度为常数）。0=t 时刻此平板突然以常速度U 沿板面某一方向滑移。假设半空间中流体速度都与U 平行，且只与到平板的距离及时间t 有关，压强p 处处均匀，不计质量力。图4-2

（1）请选择适当的坐标系，画图注明；（2）指出应力张量中哪些分量恒为零，并把全部非零分量用流体速度和压强表示出来；（3）选择适当的小微元体积（画图），从欧拉观点出发，推导运动方程（最后的方程用速度表达），并列出定解条件。

习题七 理想流体动力学方程的积分

（本习题中，除特殊说明外，流体均为理想不可压流体）

1． 绝热气体（γ

ρk p =）沿一直细管流动，如果不计质量力，试证明多项式 ⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+ργγp V 122 沿管子为常值。式中v 为流体的流速，ρ、p 分别表示压强和密度。如果沿流动方向管子是收缩的，那么当p V γρ<2时，V 将沿流动的方向增加，ρ/p 将沿流动的方向减少。

2． 设气体状态满足γ

ρk p =，气体通过一细导管流出一大的密闭容器。已知容器内的压强

为大气压强0p 的n 倍。不考虑容器内流体的势能，证明流出的速度V 由下式给出：

()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1121102γργγn p V ， 式中ρ为出口处的密度。

3． 有一截面变化的长方形沟渠，底部水平，水定常地通过此渠。如果V ，h 分别为流体的

速度和流体表面的高度，当gh V <2时，则高度h 将随沟渠宽度的增加而增加，而流速将随沟渠宽度的增加而减少，试证明之。

4． 在一流管中取两个断面，两断面间流体总质量为

M ，两个断面上的速度势分别为

2211c c ==ϕϕ、，试证明此两断面间流体的动能可写为：()212c c M T -=。 5． 如图5-1，虹吸管 y=2m ，h=6m ，管的直径为15cm ，求

a ）管内的流量

b ）最高点s 处的压强

c ）假如y 为未知，求虹吸管吸不出水时之y 为

何值。 6．任意形状的物体置于等速定常流动的无限流体

中。试证明流体不受任何阻力。

7．有一均匀截面之折管内充以不可压缩流体（图5-2），Ｂ处有一开关，当 t ＜0 时，开关

紧闭， CA=AB=h ，截面积为单位面积。求刚打开开关时 (t=0) 及打开开关后(t>0 )压强之分布规律。

8．匀速地将水注入直立的圆柱形盆内，注入流量为 q=15cm 3/s 。盆底有一极小的孔，其截

面积为s=0.5cm 2 ，问盆中水面保持多大的高度。

9．两个截面积相等的高度为C 的封闭圆柱，将其放在同一水平面上，一管充满水，一管充

以空气。空气压强为p ，与水柱h 平衡（h ＜c ）。如果连通两管之底部（图5-3），设空气s h

y

h 图5-1

运动时是等温压缩的，求X 最大值。

习题八 理想流体势流问题

1．已知速度势φ及流函数ψ：

（a ）φ=π

2θΓ ψ=－r ln 2πΓ （b ）φ=－2xy ψ=x 2－y 2

试写出复势 W=W(z) 的表达式。

2． 如果速度势()r ln 2m πφ=，求此流动之复势。

3． 对于二维可压缩流动，相应流函数存在的条件是定常运动，试证之。

4． 设2

Az W =，试证明质点的速度和加速度与到原点的距离成正比。

5． 求偶相对于某一直线的像。

6． 求偶相对于半径为a 之圆的像，并证明其强度与原偶之强度的比为a 2/Ｆ2，此处F 为原

偶至圆中心的距离。

7． 试研究由复势： ⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=z z W 1ln m （m ＞0） 所确定的流动。源和汇在哪些点上？设θ

i re z =，求速度势及流函数，并证明可以将运动看作在坐标轴及半径为1的圆所围绕的象限之内；求通过连接5.0121==z z 和两点的线段的流体体积通量。

8． 如果i z +=1点有强度为m 的源，在z=0点有同等强度的汇，求在 x ，y 坐标轴所限的

象限内流体运动的复势以及极坐标系下的流线方程，并求在z=1点的速度值。

9． 平面边界附近有强度为m 的源，求：

a) 边界上的速度分布及最大值点；

b) 边界上的压强分布及压强最小值点；

c) 设边界为单位宽度且无限长，求源对边界的作用力。

10． 求圆柱外之源作用在圆柱上的力，取圆柱高为一个单位。

11． 求圆柱外之偶作用在圆柱上的力，取圆柱高为一个单位。

12． 设半径为a 的圆外有一源m 和汇(m -)，在极坐标系下，它们分别位于)

,()0,(21αr r 和处，求流场的复势，并研究21r r ==且πα的情况。

13． 一截面半径为a 的圆柱横置于速度为V 且无限远处压强为0p 的均匀水流中，试求作用

在0=θ到2/πθ=之间的柱体上的作用力。式中0=θ指向上游。 C

A B α 图5-2 图5-3

14． 两个强度为m 的源分别在(-a ，0) 和 (a ，0)处，另有一个强度为2m 的汇在原点，证

明流线为： ()()222222x y a x y xy λ+=-+；

再证明任意一点的速率为：

2

123

2ma V r r r =， 其中321r r r 和、分别为该点到两个源和汇的距离。

15． 设在(-a ，0) 和 (a ，0)两点有强度均为m 的源，在 (0，a )和(0，-a ) 点有相同强度的

汇，证明过此四点的圆及两坐标轴皆为流线；进一步证明任一点的速率为

()21/28844442cos ma r

q r a r a θ=+-。

16． 半径为a 的圆内有偏心涡，求复势，速度分布和流线。

17． 两个同心的无穷长圆柱面之间充满均质不可压缩理想流体做无旋运动。外柱面R b

=不动，内柱面R a =以常速度U 沿x 轴做直线运动。现在欲求这一瞬时的流体速度分布。试用(a)速度势(b)流函数和(c)复势分别给出问题的完整数学提法，但不必求解。

18． 设半径为a 的无穷长的圆柱在无穷的理想不可压静止流体中沿x 轴(与柱轴垂直的方向)

作不定常平动，速度为)(t u ，求流体对圆柱的惯性阻力，并写出该圆柱体的运动微分方程。

19． 半径为a 和b 的两球面间充满密度为ρ的理想不可压缩流体)(a b >。设外球面静止，

内球面沿x 轴以速度)(t U 平移，某一瞬时恰好两球面同心。若流体运动无旋，试求流场所含动能。

习题九 粘性流体的运动

1． 粘性系数为μ的流体沿水平圆截面管子做定常流动，设速度为q ，压强梯度为p ，

（1） 证明，μ

pr r q r r -=∂∂∂∂)(

式中，r 是流体质点到管子中心轴线的距离。

（2） 给出通过管子的体积流量。

2． 粘性流体在两共轴圆柱面之间的区域内作平行于轴线的定常运动，两共轴圆柱面的半径

分别为)1(>n na a 和。证明流量为：

()⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡---n n n pa ln 1182244

μπ 式中，p 为压强梯度；求平均速度。

3． 讨论两无限长水平平行平板间的定常层流运动。如其中一平板固定另一平板以速度U 在

其所在平面内等速平移运动，求作用在上下平板上的摩擦应力。

4． 把上题的平行平板倾斜放置，与水平成α角，运动情况如何？如设下平板固定，上平板

平移的速度为何值时可使作用在下平板上的摩擦应力为零？分别就在水平方向上有无压强差两种情况进行讨论。

5． 一皮带通过一液体池铅直向上以匀速0V 运动，由于粘性带走一层流体（厚度h ，密度ρ，

粘性系数μ），而重力使这层流体下流。试给出流体运动速度应满足的边界条件，流体层内的速度分布。假定保持定常层流状态，铅直方向无压力差，略去大气对流体表面的摩擦。

6． 两无限大平行平板间有两层不同密度、不同粘性的流体。已知上层流体厚度、密度和粘

性系数分别为111μρ和、h ，下层流体厚度、密度和粘性系数分别为222μρ和、h 。设水平方向无压力差，上平板以速度0V 匀速运动，讨论：

（1） 边界条件如何给定？

（2） 速度分布。

7． 半径分别为a 和b （a

以角速度ω绕其轴匀速转动；或者（2）内管以角速度ω绕其轴匀速转动而外管固定，分别求出流体中速度的分布和作用在管壁上的摩擦力矩。仅考虑流动为定常层流情形。

8． 在上题中，若内外两管壁以不同角速度旋转，求流体速度分布，及管壁所受的摩擦力矩。

9． 粘性流体在上题所设的共轴管中沿轴线方向定常层流运动，分别就以下两种情况讨论流

体速度分布、平均速度和流量：（1）两管不动；（2）一管以0V 沿轴平移。

10． 粘性流体定常流过与水平成α角的圆管，证明流量为：

)sin (8αρμ

g p na Q +=， 式中p 为压强梯度。

11． 在题7中，如令b →∞，就成为圆柱在无限流体中的匀速转动，这时流体的速度分布如

何？求维持这种运动所需加在圆柱上的力矩。

12． 考虑一稳定的边界层，其外部流动为均匀的（U const =），假定对所有x 截面速度分布于y

ηδ=，（δ为边界层厚度），具有相同的形式：

sin ,0121,1

u U πηηη⎧≤≤⎪=⎨⎪≥⎩ 该速度分布满足边界条件：u U =，y δ>；0u =，0y =；并且0u y

∂=∂，y δ=。

应用该速度分布给出定常情况下动量积分的解，证明：1δ= 13． 如果平板附近稳定状态边界层外的外部流动为m U cx =，式中0c >与m 为常数，引入

变换：

()ψη=

，η=。 证明边界层方程可以化为：

'2'''''1()(1)2

m f m ff f -+=。 其中'(0)(0)0f f ==，''()0f δ=；'

()1f η→，η→∞。 14．考虑两平行平板间的不可压缩粘性流体的二维定常湍流运动，不计重力，并假定除压强以外所有物理量均与沿板面方向的坐标x 无关。

1) 试导出其雷诺方程；

2) 试证明任一x =常数截面上的时均压力在板面达到最大值；

试证明从对称面到平板边界，分子粘性力与雷诺应力之和呈线性变化。

x