临界问题极值问题 答案版
临界与极值问题
一、运动学中的临界极值问题
1、2
120
()2v v a s -≥ 2、最短时间为50t s =，最大速度为v m 64/m s = 3、B
4、0.4 m/s
5、v 0≤6ax
6、a ≥g 12
212μμμμ+
7．（1）55s （2）N kv f F 52107.2300900?=?===- （3）N h kv mg W F 80010525.730sin /h ?=?+?=
二、动力学和平衡中的临界极值问题
1、分析；由于施力的方向没定，先假定一个方向：与斜面成α角向上，物体的受力分析如图2所示。
解：x 方向：cos sin F f mg αθ=+
y 方向： sin cos F N mg αθ+= 其中 F N μ=
联立以上三式求解得：/(cos )F mg αα==
，其中060?=。当030α=时F 有极值：
min F =。
2、分析：题设中没有说明P 、Q 质量的大小，可用假设法来判断这个问题中可能出现
的临界状态。
若Q 的重力大于P 的重力，则可不计P 的重力，P 的平衡转化为二力平衡，此时细绳的拉力与AB 对环P 的支持力几乎在同一直线上垂直于AB 的方向，即θ接近/2π。
若P 的重力远大于Q 的重力，则可不计Q 的重力，Q 的平衡转化为二力平衡，此时绳的拉力与AC 对环Q 支持力几乎在同一直线上垂直于AC 的方向，即θ接近α。 综上分析，θ的变化范围是：/2αθπ。
归纳：对于平衡状态问题，正确进行受力分析是找到临界条件、寻找问题突破口的关键。若题设中某些力是末知的，可根据题设条件进行恰当而又合理的假设。
3、分析：采用极限分析方法，把F 推向两个极端来分析，当F 很小时，物体将相对斜面下滑；当F 很大时，物体将相对斜面上滑，因此F 不能太小也不能太大，F 的取值是一个范围。 解：设物体处于相对斜面下滑的临界状态。推力为F ，此时物体的受力情况如图5所示，则
对m ：sin cos cos sin 0N N ma N N mg θμθθμθ-=??+-=?
对（m M +）：()F M m a =+
联立以上三式代入数据得： 4.78/a m s =2，14.3F N =。
归纳：求解此类问题的关键点是正确进行受力分析，找出临临界条件，列出动学方程和平衡方程。建立坐标系时，要注意以加速度方向为x 正方向。
设物体处于相对斜面向上滑的临界状态，推力为F '，此时物体的受力如图6所示，则
对m ：sin cos cos sin 0N N ma N N mg θμθθμθ'
+=??--=? 对（m M +）：()F M m a ''=+ 联立三式并代入数据得：11.2/a m s '=2，33.6F N '=。所以推力的范围是：14.333.6N F N ≤≤。
4、分析：题设中没有明显的临界条件。设动摩擦因数为μ，当物体在斜面上滑动时有：
sin cos a g g θμθ=-，可作如下的假设：
（1）当0θ=时，物体静止在水平面上，0a =； （2）当arctan θμ=时，物体沿斜面匀速下滑； （3）当arctan θ
μ时，物体加速下滑，
（4）当90θ=0时，0,f a g ==，物体做自由落体运动。综合以上几种假设易知D 正确。
归纳：进行合理假设是找出问题的临介条件的重要手段。
5、分析：用数学分析方法。设小物体从A 点沿倾角为θ的斜面滑下到B 点，则AB 长为：/cos s b θ=，
加速度为：sin a g θ=，则有
21
sin cos 2
b t g θθ= 解得：
t =
由以上结果分析可知：当45θ=0即h b =
时，下滑的时间最短，最短时间为：
min t =
归纳：数学法是解题的重要工具。
6、[]N 40,N 10
7、．绳2的拉力为零，绳1的拉力m g T A 2
6=
8、30．（1）a 0=g （2）g a m 3=
9、. 解：设每根绳的长度为L ，每根绳与竖直方向间的夹角为θ，则有：
mg T ≤θcos 2， T
mg
2cos ≤
θ， 因此：22)2(1cos 12/sin T
mg
L s -≤-==
θθ， 解得每根绳的长度：2
2
)
(4mg T Ts L -≥
。
10、. 解： ?????=+=+==-=-=N
f G F N
f G F 1404010060cos 604010060cos 0
max 0
min ， 解得 ：???==N F N F 280120max min ； 因此推力F 的大小范围为： N F N 280120≤≤ 。 11、Ta=4N TB=22N
12、D 13、
14、分析与解：
⑴在木块开始沿斜面匀速滑动时，由平衡条件有 mg sin θ0 = f = μ mg cos θ0 得 tan θ0 = μ 即发生滑动的临界角度为θ0 = tan —1μ .
⑵在木块处于翻倒的临界状态时，重力作用线通过木块边沿A ，支持力F N 的作用点移至A 点，即底面其他部分支持力为零，根据力矩平衡条件∑M = 0 有
21mg sin θ0 ? b = 2
1
mg cos θ0 ?a ta n θ0 = a / b 所以，木块翻转的临界角为θ0 = tan —1(a /b )
当μ ＜a /b 时，θ0 = tan —1 μ为物体开始滑动的临界条件；
当μ＞a /b 时，θ0 = tan —1 (a/b )为物体开始翻倒的临界条件．
15、分析与解：当板处于逆时针转动的临界状态时，绳的拉力F = 0．设这时人在O 点左侧x 1处，根据力矩平平衡条件，有
Ｇ?x 1= G 0? OC 得 x 1 =
OC G
G 0=3600200
?= 1m ． 当板处于顺时针转动的临界状态时，绳的拉力达到最大F max ，设这时人在O 点右侧x 2
处，同理有
F max ?OB sin θ=
G 0?OC + G ?x 2 求得x 2 =0.5m
所以，人只能在距O 点左侧1m 和右侧0.5m 的范围内安全行走。
16、分析与解：由于不计秤盘的质量，可以将物体和秤盘看成一个整体分析。 未用向上的力F 前，物体处于平衡状态，设弹簧压缩量为x 1，则有 M g = kx 1………⑴
物体做匀加速直线运动，a 为恒量，物体和秤盘受重力M g 、弹簧向上的弹力kx 、向上的拉力不从心Ｆ，物体向上运动，弹力减小，外力F 增大，相互调节，才能保证合力不变，加速度不变。0.2s 后Ｆ为恒力，则弹力必然为零，所以，在t =0.2s 时刻，物体与秤盘恰好分离，由于秤盘不计质量，所以，弹簧应恰好恢复到原长。物体在0.2s 内上升高度
h = x 1 =
2
1a t 2
………⑵ 从上两式可知：Ｍ、k 、t 已知，x 1可求，则a 可求。
当弹簧压缩量为x 时，由牛顿第二定律，得 F + kx —M g = Ma ………⑶
从⑶式分析可知：t = 0时， x = x 1 k x 1 =Mg ， 则 F 最小，且F min = Ma ………⑷ t = 0.2s 时，F 应为最大，且F max —Mg =M a ………⑸
从⑴⑵两式求出加速度a = 7.5m/s 2 ，由⑷式得 F min =90N ，由⑸式得F max = 210N 。
17、解：当物体恰好不下滑时，最大静摩擦力f m 沿斜面向上，则有 F 1 + f m =mg sin30° F 1 = 3N
当物体恰好不上滑时，最大静摩擦力f m 沿斜面向下，则有 F 2 = f m + mg sin30° F 2 =7N
所以，推力F 的取值范围是 3N ＜F ＜7N
18、解：A 受支持力 F N = G A —F B =G A —G B sin60°=1.34N 最大静摩擦力 f m = μF N =0.2×1.34 N = 0.27N
当F 较小时，f m 水向向右，有f m +F 1 = G B cos60° 得F 1 =4.73N 当F 较大时，f m 水平向左，有 f m +G B = F 2 得F 2 =5.27N ． 所以，水平拉力的应是一个取值范围 4.73N ＜F ＜5.27N
19、解：当M 恰好不上滑时，M 受到的最大静摩擦力f m 沿斜面向下，有平衡条件 Mgi sn θ + f m = T =mg f m = μ M gcos θ = 21N 得m 1 = 4.1kg
当M 恰好不上滑时，f m 沿斜面向上，则有 f m + m 2g = M gsin30°， m 2 = 0.1kg 所以，m 应取 0.1kg ．＜m ＜4.1kg
20、分析与解：当F A 单独使A 产生加速度，等于F B 单独使B 产生的加速度时，两车处于无相互作用的临界状态，即相互作用的弹力恰好为零的时刻。根据牛顿第二定律，得
B
B
A A m F m F =
622329t t +=- 求得 经历的时间为t = 8/3 s 以系统为研究对象，在两车分离前受到的合外力为 ∑F = F A +F B = 9—2 t +2+2t = 11N A 、B 一起运动的加速度 a = ∑F /(m A +m B ) = 11/9 m/s 2
两车一起做初速为零的匀加速直线运动的位移S =
2
1a t 2
=4.35m 21、分析与解：当M x 增大到使圆柱体绕A 点向后转动的临界状态时，B 点对圆柱体的支持力恰好为零．设此时的临界加速度为a 0 ,以圆柱体为研究对象，有
ＦAx = ma 0 = mg ctg θ ………⑴
以圆柱体、小车和砝码整体为研究对象，又有 M x g =(m+M+M x ) a 0………⑵
由以上两式可得砝码质量的取值范围是 M x ≤
θ
θ
ctg ctg m M -+1)(
22、分析与解：当圆木与拉绳位于一条直线的临界状态，地面对圆木的支持力和摩擦力刚好为零．圆木仅在绳的拉力和重力作用下加速运动．
设此时，圆木与地面的夹角为α，根据牛顿第二定律,
水平方向 ∑F x = Tcos α = ma 0 竖直方向 ∑F y = Tsin α— mg = 0 则加速度的临界值为a 0 = g ctg α =
g h
h L L 2
222)(-+
所以，卡车的加速度应为a ≥ g h
h L L 2
222)(-+
23、解：B 受A 施予的动摩擦力大小为f AB = μ mg ，方向水平向右，则B 对A 的动摩擦力f BA = μmg ,方向水平向左，地面对A 的滑动摩擦力f = μ( m + M )g 所以，要使A 保持原速度不变，则所需施加的水平向右的拉力 F = f BA + f =μmg , + μ( m + M )g = μ(2m + M )g
B 对地的位移S m =
t v 2
A 对地的位移S M =vt
当B 的速度增大到跟A 的速度相等时恰好滑到板的左端，则板长至少为 L = S M —S m =
t v 2
B 的加速度a m = μg, 所以，t = v /a m = v / μg L = v 2 / 2 μg
24、解：当m 处于不向上滑动的临界状态时，地面支持力恰好为零，对m 在竖直方向平衡 F
N cos θ = mg …………⑴
对整体应用牛顿第二定律得 F = (m+M ) a …………⑵ 对Ｍ应用牛顿第二定律得 F N cos θ = Ｍa …………⑶ 由以上三式可得最大推力F =
θtan mg M
M
m +
25、C 26、ABC
27、．2
22)
(8f mg h g m + 28、（1）1.15s （2）1.84s
三、曲线运动\ 机械能 临界极值问题
1、分析与解：当半圆球面对小物体A 的支持力为零时，物体以初速度v 0水平抛后做平抛运动。当支持力恰好为零时，对应的初速度为最小值。此时有
mg = m R
v 2
, 得 v 0 =
gR 水平距离 S = v 0 t =
gR ?
g R /2 =
2 R
2、分析与解：从图形可得下面一根绳的长度L ′=
2 L sin30°
= 2L / 2
当下面绳子的拉力恰好为零时，小球受重力和上面绳子的拉力 T 1 由力的矢量图可知 mg tan30° = m L sin30°ω12
ω1 =
o
L g
30
cos = 3
g =2.38 rad/s
当上面绳子拉力恰好为零时，小球受重力和下面绳子的拉力T 2,同理可得 ω2 =
o
L g
45
cos '= o
L g 45cos 2/2 =
L
g
= 2.236 r ad/s 角速度的取值范围： 2.236 r ad/s ＜ω＜2.38 rad/s
3、分析与解：⑴根据质点系牛顿第二定律，当系统受到最大静摩擦力等于B 球作匀速
圆周运动的向心力时，系统处于正好不滑动的临界状态，从而有： μ（m+M ）g = m ω12 R
所以，最大角速度为 ω1 =
0.1)(=+mR
g
M m μrak /s
当两球交换位置后，同理又有 μ（m+M ）g = M R ω22 所以，最大角速度为 ω2 =
=+MR
g
M m )(μ0.82rak /s
⑵当系统的质心位置位于盘心时，两球处于既不发生滑动，又不受到摩擦力的临界状态，两球仅由相互的拉力提供向心力，如图所示．系统所受外力合力为
零．所以对系统有 0 = M ω 2R 2 + m ω2 R 1 ………⑴
R 1 /R 2 = M /m ………⑵ ．由⑴⑵两式解得 OA =R 2 = 2 m ， OB = R 1 = 3m
4、解析：绳b 烧断前，竖直方向合力为零，即F a ＝mg ，烧断b 后，因惯性，要在竖直
面内做圆周运动，且F a ′－mg ＝m v 2
l
，所以F a ′＞F a ，A 错B 对，当ω足够小时，小球不
能摆过AB 所在高度，C 对，当ω足够大时，小球在竖直面内能通过AB 上方最高点，从
而做圆周运动，D 对． 答案：BCD
5、解析：当m 被水平抛出时只受重力的作用，支持力N ＝0.在圆周最高点，重力提供向
心力，即mg ＝mv 2r ，所以v ＝gr .而v ＝2πf ·r ，所以f ＝v 2πr ＝12π g
r ，所以每秒
的转数最小为12π g
r
，A 正确．
答案：A
6、解析：小球沿管上升到最高点的速度可以为零，故A 错误，B 正确；小球在水平线ab 以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力F N 与球重力在背离圆心方向的分力F mg 的合力提供向心力，即：F N －F mg ＝m v 2
R ＋r
，因此，外侧管壁一定对球有作用力，而
内侧壁无作用力，C 正确；小球在水平线ab 以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力
与小球速度大小有关，D 错误． 答案：BC
7、解析：(1)该同学在B 处，由牛顿第二定律得：F －Mg ＝M v 2
L
，
解得：F ＝Mg ＋M v 2L ，即他用的绳子能承受的最大拉力不小于Mg ＋M v 2
L
.
(2)对该同学做平抛运动的过程由运动学公式得：水平方向有：x ＝vt ，竖直方向有：
h ＝12gt 2，
解得：x ＝v
2h
g ，即这道山涧的宽度不超过v
2h g
.
答案：(1)Mg ＋M v 2
L
(2)v
2h g
8、解析：(1)分两种情况，当小球对管下部有压力时，则有mg －0.5mg ＝mv 21R ，v 1＝gR
2
.
当小球对管上部有压力时，则有mg ＋0.5mg ＝mv 22R ，v 2＝ 3
2gR
(2)小球从管口飞出做平抛运动，2R ＝12gt 2，t ＝2 R
g
，x 1＝v 1t ＝2R ，x 2＝v 2t ＝6
R .
9、（1）机械能守恒 mgl （1－cos ）＝
12
mv 2
① ） 圆周运动
F ′－mg ＝m 2
v l
解得 F ′＝（3－2cos α）mg 人对绳的拉力 F ＝F ′ 则 F ＝1080N （2）动能定理 mg （H －l cos α＋d ）－（f 1＋f 2）d ＝0 则d ＝
12(cos )
mg H l f f mg
α-+-[来源:学科网ZX 解得d ＝1.2m
（3）选手从最低点开始做平抛运动 x ＝vt H-l ＝212
gt 且有①式mgl （1－cos α）＝12
mv 2
解得 x ＝
当l ＝
2
H
时，x 有最大值 解得l ＝1.5m 因此，两人的看法均不正确.当绳长越接近1.5m 时，落点距岸边越远。
10、解：考虑两种临界情况：
⑴小球恰好沿台阶3的外边缘通过，此时 h 1 = 3 L = 21g t 21
t 1 =
g L /6=0.49s v 1 = 3L /t 2 =2.45m/s
⑵小球恰好沿台阶4 外边缘通过，则 h 2 = 4L =2
1g t 22 t 2 =
g L /8 v 2 = gL 2= 2.83m/s
2.45m/s ＜v ＜2..83m/s
11、解：设两次平抛初速度分别为v A 、v B . 两次恰好从屏上边缘飞过，作出两次平抛物体的轨迹图。
从A 点抛出：H =
2
21)2(2121A v s g gt =； 从B 点抛出：2H =
222)(2121B
v s
g gt =； 所以有：v A ∶v B = 22
设抛球处到档板的水平距离为x ， 则有：H －h =
2)(21A v x g ; 2H －h = 2)(21B
v x
g 8)(22==--B
A v v h H h
H ∴h =6H / 7
12、解：⑴ 设杆以ω1转动，物体做自由落体运动，恰好能追上杆的A 端与之相碰
杆转过的角度 φ1= ω1 t 1 . cos φ=2/3 φ1=π /6 ； t 1 =
g h /2
=g
L g L =
/60sin 2 ω1 =（π/6） /
L
g g L 6
π= 物体与杆发生碰撞的临界位置如图所示，所以，要物体与杆发生碰撞，角速度满足的条件是
ω1 <
L
g 6π
⑵当ω较大时，杆多转一周后，恰好能追上物体，与之发生碰撞，这时φ2 = φ+2π , t 2 = t 1
ω2 = φ2 /t 2 = (2π+ π/6) /
g L
=
L
g
613π， 要让杆多转一周后追上物体，则应取ω>ω2 13、解析： （1）tg60°＝
X Y v v ＝0
v gt ， H ＝
2
1gt 2
+v 0t ·tg30° v 0＝s m /12 （2）W 合＝△E K W F ＋W f 1＋W f 2＋W G ＝△E K
欲使拉力做功最少只要在第一阶段摩擦力做功为0 即W f 1=0即可 ， W F ＝F COS α·S ′＝29.25J ， F COS α＝5.85N ，
F sin α＝mg ＝5N ， α＝40.5° ， F ＝7.69N
14、解：质点从半圆弧轨道做平抛运动又回到A 点，设质点在C 点的速度为v C ,质点从C 点运
动到A 点所用的时间为t ，在水平方向x=v C t ① 竖直方向上2R =2
1gt 2
② 解①②有 v C =2
x
R
g ③
对质点从A 到C 由动能定理有W F -mg ·2R =1mv 2
c ④ 解W F =mg (16R 2+x 2
)/8R ⑤
(2)要使F 力做功最少，确定x 的取值，由W F =2mgR +2
1mv 2C 知，只要质点在C 点速度最小，则功W F 就最小，就是物理极值。若质点恰好能通过C 点，其在C 点最小速度为v ，
由牛顿第二定律有mg=R m 2
υ,则v=Rg ⑥ (1分)由③⑥有2
x
R
g
=Rg ,解得
x=2R 时， )
W F 最小，最小的功W F =2
5mg R 。
(3)由⑤式W F =mg (R x R 81622+)而F =8
1mg (R x x R
+
16) 因x R
16＞0，x ＞0，由极值不等式有
15、解析：（1）设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v 1根据动能定理
22
111011-222
mgL mgR mv mv μ-=
- ① 小球在最高点受到重力mg 和轨道对它的作用力F ，根据牛顿第二定律
21
1
v F mg m R += ②
由①②得 F 10.0N = ③ （2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v 2，由题意
22
2
v mg m R = ④
()22122011222
mg L L mgR mv mv μ-+-=
- ⑤ 由④⑤得 L 12.5m = ⑥
（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I ．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v 3，应满足
23
3
v mg m R = ⑦
()22
1330112222
mg L L mgR mv mv μ-+-=- ⑧ 由⑥⑦⑧得 3R 04.m =
II ．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R 3，根据动能定理 ()213012202
mg L L mgR mv μ-+-=- 解得 3R 1.0m = 为了保证圆轨道不重叠，R 3最大值应满足
()()2
2
2
2332R R L R -R +=+
解得 R 3=27.9m
综合I 、II ，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件 30R 0.4m <≤或 31.0m 27.9m R ≤≤
当30R 0.4m <≤时，小球最终焦停留点与起始点A 的距离为L ′，则
2
01-02
mgL mv μ'=- 36.0m L '=
当31.0m 27.9m R ≤≤时，小球最终焦停留点与起始点A 的距离为L 〞，则
()1L L 2226.0m L L L ''''=---= 16、（1）对小球从A→C 由机械能守恒定律有：mgh=mgR+
202
1
υm 代入数值解出 s m /20=υ （2）小球向上穿出圆筒所用时间为t
T k t 2
1
21-=
（k=1，2，3……） 小球从离开圆筒到第二次进入圆筒所用时间为2t 2.。2t 2=nT (n=1，2，3……) 对小球由C 竖直上抛的上升阶段，由速度公式得： 0=
)(210t t g +-υ 联立解得 T=
s n k 1
24
.0-+ 当n=k=1时， T max =0.2s
（3）对小球在圆筒内上升的阶段，由位移公式得：
2
1102
12gt t R -
='υ 代入数值解得 R '=0.075m
五、气体性质 问题中的极值与临界问题
1、解：(1)
2
2
0110273)(273)sin (t L h P t L h P ++=++θ解得：L 2=24.46cm
(2)3
010273)(273)sin (t h P t h P ++=++θ t 3=61.88℃
（3）管内气柱长度的变化与水温变化不否满足线性关系，因为不是等压变化。
2、解析：(T 2max =89.65℃ 87.5cm)
3、解析：(63.2 48.0)
4、解：温度降低：汞柱全部进入A 管，
2
22111T V p T V p =
，240
803005075T ?=? T 2=256K ，t 2= -170C
（2）封闭B 管管口后，对气体B ：/
/1B B V p V p = ） cmHg cmHg p 9050
60
75/
=?=
对气体A ：//11T
p T p = K K T 36075300
90/=?=
，C t 0/87=（ ）
5、4/3 25
6、C
四、电磁学中的临界问题
1、ACD
2、AC
3、先增大后减小，22
124V V g
+
4、．
2kQ
4L 2 ，（2＋4）kQ 4L 2
5、10 3.375
6、U BA =m[2g(H+h)-v 02]/2q
7、AC
8、C
9、D 10、C 11、BC 12、ABD 13、（12V 2.56W ）
14、解：由闭合电路欧姆定律作a P 两端的U ap —I 图像，因图上任意一点的U ap 与I 所对应的矩形面积是外电路电阻R x 的输出功率，从而由已知R x 的功率求出对应的R x 值。
根据闭合电路欧姆定律得Ir U -=ε
I I U ap 312)4.26.0(12-=+-=
作I U ap -图像如图所示，由图可分析找到滑动变阻器的发热功率为9W 的A 点和B 点，所以R x 有两个值。Ω=Ω=19021x x R R
15、A 16 ABC ） 17. B 18. D 19. A 20. BCD
21. 15Ω；2.5W 22. ．6.25， 6 23. 4.5 3 24. 1.5、2.25 25. 变大，变小
26. （1）V 6112131=?+?+=++=Ir IR U E L （2）A 22
16
1=+=+=
R r E I （公式2分，结果1分） （3）当外电路电流最大时，电源的总功率达到最大，此时外电路电阻最小,即R 3的滑片P
移到最右端时。（2分）
12W 62=?==IE P 总（2分）
27. 解析 （1）由楞次定律得电路中的感应电流方向是abcdefa ，感应电动势为
E ＝
?φ
?t ＝S ?B ?t
＝kL 2＝0.5?0.22 V ＝0.02 V ， 感应电流为I ＝E R ＝0.02
0.02
A ＝1 A 。
（2）此时线框的受力如图10-3-8所示，ab 段所受安培力为F ＝BIL ＝0.5t ?1?0.2＝0.1t ，由力矩平衡条件得：
FL ＝mgL （sin α＋cos α），即F ＝mg （sin α＋cos α），0.1t ＝0.01?10（0.6＋0.8），可解得：t ＝1.4 s 。
28.
高一物理力学专题提升专题05平衡中的临界问题
专题05 平衡中的临界问题 【专题概述】 1.临界状态：物体由某种物理状态变化为另一种物理状态时，中间发生质的飞跃的转折状态，通常称之为临界状态。 2.临界问题：涉及临界状态的问题叫做临界问题。 3. 解决临界问题的基本思路 （1）认真审题，仔细分析研究对象所经历的变化的物理过程,找出临界状态。 （2）寻找变化过程中相应物理量的变化规律，找出临界条件。 （3）以临界条件为突破口，列临界方程，求解问题 4.三类临界问题的临界条件 （1）相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零。 （2）绳子松弛的临界条件是：绳中拉力为零 （3）存在静摩擦的连接系统，当系统外力大于最大静摩擦力时，物体间不一定有相对滑动，相对滑动与相对静止的临界条件是：静摩擦力达最大值 临界现象是量变质变规律在物理学上的生动体现。即在一定的条件下，当物质的运动从一种形式或性质转变为另一种形式或性质时，往往存在着一种状态向另一种状态过渡的转折点，这个转折点常称为临界点，这种现象也就称为临界现象.如:静力学中的临界平衡；机车运动中的临界速度;振动中的临界脱离；碰撞中的能量临界、速度临界及位移临界；电磁感应中动态问题的临界速度或加速度；光学中的临界角；光电效应中的极限频率；带电粒子在磁场中运动的边界临界；电路中电学量的临界转折等. 解决临界问题，一般有两种方法，第一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界特殊规律和特殊解；第二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。 【典例精讲】 典例1：倾角为θ=37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G的物体A，物体A 与斜面间的动摩擦因数μ=0.5。现给A施加一水平力F，如图所示。设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等（sin37°=0.6，cos37°=0.8），如果物体A能在斜面上静止，水平推力F与G 的比值不可能是（）
动力学中的临界极值问题的处理
动力学中临界极值问题的处理及分析 物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与动力学、力学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。一．解决动力学中临界极值问题的基本思路 所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。 解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。动力学中的临界和极值是物理中的常见题型，同学们在刚刚学过的必修1中匀变速运动规律、共点力平衡、牛顿运动定律中都涉及到临界和极值问题。在解决临办极值问题注意以下几点：○1临界点是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达到极值。○2临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。○3许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。○4有时，某些临界问题中并不包含常见的临界术语，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，如运动中汽车做匀减速运动类问题，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。○5临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。○6确定临界点一般用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。 二．匀变速运动规律中与临界极值相关问题的解读 在质点做匀变速运动中涉及到临界与极值的问题主要有“相遇”、“追及”、“最大距离”、“最小距离”、“最大速度”、“最小速度”等。 【例1】速度大小是5m/s的甲、乙两列火车，在同一直线上相向而行。当它们相隔2000m 时，一只鸟以10m/s的速度离开甲车头向乙车头飞去，当到达乙车车头时立即返回，并这样连续在两车间来回飞着。问： （1）当两车头相遇时，这鸟共飞行多少时间？ （2）相遇前这鸟飞行了多少路程？ 【致远提示】甲、乙火车和小鸟运动具有等时性，要分析相遇的临界条件。 【思维总结】本题难度不大，建立物理情景，分清运动过程，找到相遇的临界条件、三个运动物体运动具有等时性和小鸟速率不变是解题的切入点。
高中物理常见临界问题
高中物理常见临界问题（极值问题）分析处理训练 一问题概述： 当物体由一种运动形式（物理过程与物理状态）变为另一种运动形式（物理过程与物理状态）时，可能存在一个过渡的转折点，即分界限的现象。这时物体所处的状态通常称为临界状态，与之相关的物理条件则称为临界条件。这是量变质变规律在物理中的生动表现。如:力学中的刚好滑动；正常行驶;宇宙速度，共振；电学中电源最大输出功率；光学中的临界角；光电效应中的极限频率等 解决临界问题，通常以定理、定律为依据，分析所研究问题的一般规律和一般解的形式及其变化情况，然后找出临界状态，临界条件，从而通过临界条件求出临界值，再根据变化情况，直接写出条件。 所谓极值问题，一般而言，就是在一定条件下求最值结果。求解极值问题的方法从大的角度可分为物理方法和数学方法。物理方法即用临界条件求极值。数学方法包括（1）利用矢量图求极值（2）用三角函数关系求极值；（3）用二次方程的判别式求极值；（4）用不等式的性质求极值。（5）导数法求解。一般而言，用物理方法求极值直观、形象，对构建模型及动态分析等方面的能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高.若将二者予以融合，则将相得亦彰，对增强解题能力大有裨益。极值问题与临界问题从本质上说是有区别的，但高考中极值问题通常都可用物理临界法求解。 解答临界问题的关键是找临界条件。许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语发掘其内含规律，找出临界条件。 有时，有些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，耐心讨论状态的变化，可用极限法（把物理问题或过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显露出来）假设法（即假设出现某种临界状态，物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理。）数学函数极值法等方法找出临界状态。然后抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。 ※为了提高解题速度，可以理解记住一些重要的临界条件及状态： 物体自由地沿斜面刚好匀速下滑则μ=tgα。 物体刚好滑动静摩擦力达到最大。 两个物体沿同一直线运动，在速度相等时距离最大或最小。 两物体刚好相对静止必速度相等、加速度相等。 两个物体距离最近（远），相对速度相等。 速度达到最值——沿速度方向的合外力为零(曲线运动时则切向合外力为零) 两个一同运动的物体刚好(不)脱离时，两物体间的弹力刚好为零，速度、加速度相等。 刚好到达某点——速度为零（速度不一定为零） 物体刚好(不)滑出——物体到达末端时二者等速。 在竖直面内做圆周运动，绳端物体刚好到达最高点——绳拉力为零，重力是向心力， 杆端物体刚好到达最高点——物体速度等于零。 两个物体刚好(不)分离——两物接触且弹力为零，速度加速度（垂直接触面方向）相等。绳刚好拉直——绳直且拉力为零，绳刚好拉断——张力等于绳所能承受最大拉力。 刚好不相撞——两物体间距为零时等速。 碰撞过程碰后相对速度为零时，损失的动能最大 粒子刚好(不)飞出两极板间匀强电场或匀强磁场——轨迹与板边缘相切，粒子刚好(不)飞出磁场区——轨迹与磁场边界相切。
在学习物理中有关临界极值问题的处理
在动力学中临界极值问题的处理 佛山市高明第一中学（528500）周兆富 物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的 问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与动力学、电磁学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。 一．解决动力学中临界极值问题的基本思路 所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。 解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。动力学中的临界和极值是物理中的常见题型，同学们在刚刚学过的必修1中匀变速运动规律、共点力平衡、牛顿运动定律中都涉及到临界和极值问题。在解决临办极值问题注意以下几点：○1临界点是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达到极值。○2临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。○3许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。○4有时，某些临界问题中并不包含常见的临界术语，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，如运动中汽车做匀减速运动类问题，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。○5临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。○6确定临界点一般用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。 二．匀变速运动规律中与临界极值相关问题的解读 在质点做匀变速运动中涉及到临界与极值的问题主要有“相遇”、“追及”、“最大距离”、“最小距离”、“最大速度”、“最小速度”等。 ?例1?速度大小是5m/s的甲、乙两列火车，在同一直线上相向而行。当它们相隔2000m时，一只鸟以10m/s的速度离开甲车头向乙车头飞去，当到达乙车车头时立即返回，并这样连续在两车间来回飞着。问： （1）当两车头相遇时，这鸟共飞行多少时间？ （2）相遇前这鸟飞行了多少路程？ ?灵犀一点?甲、乙火车和小鸟运动具有等时性，要分析相遇的临界条件。 ?解析?飞鸟飞行的时间即为两车相遇前运动的时间，由于飞鸟在飞行过程中速率没有变化，可用s=vt求路程。 （1）设甲、乙相遇时间为t，则飞鸟的飞行时间也为t，甲、乙速度大小相等v甲= v乙=5m/s，同相遇的临界条件可得：s = (v甲+v乙)t 则： 2000 =200 10 s t s s v v == + 乙 甲
圆周运动临界问题 极值问题
圆周运动临界问题 极值问题 相关知识复习： 一、由于受静摩擦力作用 二、绳 杆等恰好无作用力或者有承受最大力 三、两个典型模型 1、绳球模型（已知绳长L ，小球质量m ，线速度V ） 1）画出小球的受力示意图 2）写出小球过最高点的动力学方程 3）若小球刚好过最高点，F =拉 ，此时 V= 2、杆球模型 （已知杆长L ，小球质量m ，线速度V ） 1）若小球刚好过最高点，杆对球的作用力F = ，方向 此时 V= 2 ）若v = F = 。 3 ）若v >F = ，方向 。 4 ）若0v 高中物理中的临界与极值问题 宝鸡文理学院附中何治博 一、临界与极值概念所谓物理临界问题是指各种物理变化过程中，随着条件的逐渐变化，数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生，即从一种状态变化为另一种状态发生质的变化（如全反射、光电效应、超导现象、线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等），这种物理现象恰好发生（或恰好不发生）的过度转折点即是物理中的临界状态。与之相关的临界状态恰好发生（或恰好不发生）的条件即是临界条件，有关此类条件与结果研究的问题称为临界问题，它是哲学中所讲的量变与质变规律在物理学中的具体反映。极值问题则是指物理变化过程中，随着条件数量连续渐变越过临界位置时或条件数量连续渐变取边界值（也称端点值）时，会使得某物理量达到最大（或最小）的现象，有关此类物理现象及其发生条件研究的问题称为极值问题。临界与极值问题虽是两类不同的问题，但往往互为条件，即临界状态时物理量往往取得极值，反之某物理量取极值时恰好就是物理现象发生转折的临界状态，除非该极值是单调函数的边界值。因此从某种意义上讲，这两类问题的界线又显得非常的模糊，并非泾渭分明。 高中物理中的临界与极值问题，虽然没有在教学大纲或考试说明中明确提出，但近年高考试题中却频频出现。从以往的试题形式来看，有些直接在题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等 词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，要抓住这些特定的词语发掘其内含的物理规律，找出相应的临界条件。也有一些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，周密讨论状态的变化。可用极限法把物理问题或物理过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显性化；或用假设的方法，假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理；也可用数学函数极值法找出临界状态，然后抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。从以往试题的内容来看，对于物理临界问题的考查主要集中在力和运动的关系部分，对于极值问题的考查则主要集中在力学或电学等权重较大的部分。 二、常见临界状态及极值条件解答临界与极值问题的关键是寻找相关条件，为了提高解题速度，可以理解并记住一些常见的重要临界状态及极值条件： 1.雨水从水平长度一定的光滑斜面形屋顶流淌时间最短——屋面倾角 为0 45 2.从长斜面上某点平抛出的物体距离斜面最远——速度与斜面平行时 刻 3.物体以初速度沿固定斜面恰好能匀速下滑（物体冲上固定斜面时恰 好不再滑下）—μ=tgθ。 4.物体刚好滑动——静摩擦力达到最大值。 动力学的临界和极值问题 教学目标： 教学重点、难点： 新课引入： 教学过程： 一、临界和极值 在应用牛顿定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体 有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，往往会有临界现象。此时要采用极限分析法，看物体在不同加速度时，会有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。 在某些物理情境中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值。这类问题称为临界问题。在解决临界问题时，进行正确的受力分析和运动分析，找出临界状态是解题的关键。 1、相互接触的物体，它们分离的临界条件是：它们之间的弹力0 N ，而且此时它们的速度相等，加速度相同。 【例】如图，在竖直立在水平面的轻弹簧上面固定一块质量不计的薄板，将薄板上放一重物，并用手将重物往下压，然后突然将手撤去，重物即被弹射出去，则在弹射过程中，（即重物与弹簧脱离之前），重物的运动情况是（ ） A 、一直加速 B 、先减速，后加速 C 、先加速、后减速 D 、匀加速 【例】如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧竖直固定在水平面上，上端固定一质量为0m 的托盘，托盘上有一个质量为m 的木块。用竖直向下的力将原长为0l 的弹簧压缩后突然撤去外力，则m 即将脱离0m 时的弹簧长度为（ ） A 、0l B 、()k g m m l +- C 、k mg l -0 D 、k g m l 00- 【例】如图所示，一细线的一端固定于倾角为?45的光滑楔形滑块A 的顶端P 处，细线的另一端拴一质量为m 的小球。当滑块至少以加速度______=a 向的 左运动时，小球对滑块的压力等于零。当滑块以g a 2=加速度向左运动时，线的拉力大小______=F 。 平衡中的临界和极值问题 所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。 平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要被破坏但尚未被破坏的状态。 求解平衡的临界问题一般用极限法。极限分析法是一种预测和处理临界问题的有效方法，它是指：通过恰当选择某个变化的物理量将其推向极端（“极大”、“极小”、“极右”或“极左”等）,从而把比较隐蔽的临界现象（或“各种可能性”）暴露出来，使问题明朗化，以便非常简捷地得出结论。在平衡中最常见的临界问题有以下两类： 一、以弹力为情景 1. 两接触物体脱离与不脱离的临界条件是：相互作用力为零。 2. 绳子断与持续的临界条件是：作用力达到最大值； 绳子由弯到直（或由直变弯）的临界条件是：绳子的拉力等于零。 例1：如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60°的拉力F ，若要使两绳都能伸直，求拉力F 的大小范围。 解：作出A 受力图如图所示，由平衡条件有： F ．cos θ-F 2-F 1cos θ=0, F sin θ+F 1sin θ-mg =0 要使两绳都能绷直，则有：F 10,02≥≥F 由以上各式可解得F 的取值范围为： N F N 3 3 403320≤≤ 变式训练1：两根长度不一的细线a 和b ，一根连在天花板上，另一端打结连在一起，如图，已知a 、b 的抗断张力（拉断时最小拉力）分别为70N ，80N.它们与天花板的夹角分别为37°、53°， 现在结点O 处加一个竖直向下的拉力F ，(sin37°=cos53°=0.6, cos37°=sin53°=0.8) 求： (1)当增大拉力F 时，哪根细绳先断? (2)要使细线不被拉断，拉力F 不得超过多少？ 变式训练2两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m 的物体，上端分别固定在水平天花板上的M 、N 点，M 、N 两点间的距离为s ，如图所示，已知两绳所能承 受的最大拉力均为T ，则每根绳的长度不得短于__ ____． 例2：如图所示，半径为R ，重为G 的均匀球靠竖直墙放置，左下方有厚为h 的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F 推木块才能使球离开地面。 解析 以球为研究对象，如图所示。有 R h Rh 2cos R h R sin F cos F G sin F 2 2N 1N 1N -= θ-= θ=θ=θ 再以整体为研究对象得F F 2N = 即 G ·h R )h R 2(h F --= 变式训练3：如图所示，平台重600N ，滑轮重不计，要使系统保持静止，人重不能小于（ B ） A ．150N B ．200N C ．300N D ．600N 二、以最大静摩擦力为情景 靠摩擦力连接的物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。 例3：如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端分别系着物体A 和B ，物体A 放在倾角为θ的斜面上。已知物体A 的质量为m ，物体A 与斜面间的动摩擦因数为μ（μ 极值与临界问题专题 常州二中徐展 临界现象是量变质变规律在物理学上的生动体现。即在一定的条件下，当物质的运动从一种形式或性质转变为另一种形式或性质时，往往存在着一种状态向另一种状态过渡的转折点，这个转折点常称为临界点，这种现象也就称为临界现象.如:静力学中的临界平衡；机车运动中的临界速度；碰撞中的能量临界、速度临界及位移临界；电磁感应中动态问题的临界速度或加速度；光学中的临界角；带电粒子在磁场中运动的边界临界；电路中电学量的临界转折等. 解决临界问题，一般有两种方法，第一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界特殊规律和特殊解；第二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。 所谓极值问题，一般而言，就是在一定条件下求最佳结果所需满足的极值条件.求解极值问题的方法从大的角度可分为物理方法和数学方法。物理方法包括（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值。数学方法包括（1）用三角函数关系求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值。一般而言，用物理方法求极值直观、形象，对构建模型及动态分析等方面的能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高.若将二者予以融合，则将相得亦彰，对增强解题能力大有裨益。 在中学物理问题中，有一类问题具有这样的特点，如果从题中给出的条件出发，需经过较复杂的计算才能得到结果的一般形式，并且条件似乎不足，使得结果难以确定,但若我们采用极限思维的方法，将其变化过程引向极端的情况，就能把比较隐蔽的条件或临界现象暴露出来，从而有助于结论的迅速取得。 在应用牛顿运动定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词句时，往往会有临界现象。此时要用极限分析法，看物体不同加速度时，会有哪些现象发生，找出临界点，求出临界条件。 解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。在解决临办极值问题注意以下几点： 1.许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。 2.临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。 3.临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。 4.确定临界点一般用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。 【典型例题与练习】 运动学中的极值与临界问题： 1．一车处于静止状态，车后相距s0=25m处有一个人，当车开始起动以1m/s2的加速度前进的同时，人以6m/s速度匀速追车，能否追上？若追不上，人车间的最小距离为多少？人不可能追上车 18 m。A、B 两车停在同一点，某时刻A车以2m/s2的加速度匀加速开出，2s后B车同向以3m/s2的加速度开出。问：B车追上A车之前，在启动后多长时间两车相距最远，距离是多少？ 考点二 动力学中的临界与极值问题 动力学中的临界问题一般有三种解法： 1.极限法 在题目中如出现“最大”“最小”“刚好”等词语时，一般隐含着临界问题，处理这类问题时，应把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，达到尽快求解的目的． 2．假设法 有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答这类题，一般用假设法． 3．数学法 将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式求解得出临界条件． 命题点1 接触与脱离的临界条件 3．一个弹簧测力计放在水平地面上，Q 为与轻弹簧上端连在一起的秤盘，P 为一重物，已知P 的质量M ＝10.5 kg ，Q 的质量m ＝1.5 kg ，弹簧的质量不计，劲度系数k ＝800 N/m ，系统处于静止．如图所示，现给P 施加一个方向竖直向上的力F ，使它从静止开始向上做匀加速运动，已知在前0.2 s 内，F 为变力，0.2 s 以后，F 为恒力．求力F 的最大值与最小值．(取g ＝10 m/s 2) 【解析】 设开始时弹簧压缩量为x 1，t ＝0.2 s 时弹簧的压缩量为x 2，物体P 的加速度为a ，则有 kx 1＝(M ＋m )g ① kx 2－mg ＝ma ② x 1－x 2＝12 at 2③ 由①式得x 1＝(M ＋m )g k ＝0.15 m ， 由②③式得a ＝6 m/s 2. F min ＝(M ＋m )a ＝72 N ， F max ＝M (g ＋a )＝168 N. 【答案】 F max ＝168 N F min ＝72 N 命题点2 相对滑动的临界条件 4.如图所示，12个相同的木块放在水平地面上排成一条直线，相邻两木块接触但不粘连，每个木块的质量m ＝1.2 kg ，长度l ＝0.5 m ．木块原来都静止，它们与地面间的动摩擦因数均为μ1＝0.1，在左边第一个木块的左端放一质量M ＝1 kg 的小铅块(可视为质点)，它与各木块间的动摩擦因数均为μ2＝0.5，现突然给小铅块一个向右的初速度v 0＝9 m/s ，使其在木块上滑行．设木块与地面间及小铅块与木块间的最大静摩擦力均等于滑动摩擦力，重力加速度g ＝10 m/s 2.求： (1)小铅块相对木块滑动时小铅块的加速度大小； (2)小铅块下的木块刚发生运动时小铅块的瞬时速度大小． 【解析】 (1)设小铅块相对木块滑动时加速度大小为a ，由牛顿第二定律可知μ2Mg ＝Ma 解得a ＝5 m/s 2. (2)设小铅块最多能带动n 个木块运动，对n 个木块整体进行受力分析，当小铅块下的n 个木块发生运动时，则有μ2Mg ≥μ1(mgn ＋Mg ) 解得n ≤3.33 即小铅块最多只能带动3个木块运动 设当小铅块通过前面的9个木块时的瞬时速度大小为v ，由动能定理可知－μ2Mg ×9l ＝12 M (v 2－v 20) 解得v ＝6 m/s. 【答案】 (1)5 m/s 2 (2)6 m/s 命题点3 数学方法求解极值问题 5．如图所示，一质量m ＝0.4 kg 的小物块，以v 0＝2 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝10 m ．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝33 .重力加速度g 取10 m/s 2.求： 【专题概述】 1.临界状态：物体由某种物理状态变化为另一种物理状态时，中间发生质的飞跃的转折状态，通常称之为临界状态。 2.临界问题：涉及临界状态的问题叫做临界问题。 3. 解决临界问题的基本思路 （1）认真审题，仔细分析研究对象所经历的变化的物理过程,找出临界状态。 （2）寻找变化过程中相应物理量的变化规律，找出临界条件。 （3）以临界条件为突破口，列临界方程，求解问题 4.三类临界问题的临界条件 （1）相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零。 （2）绳子松弛的临界条件是：绳中拉力为零 页脚内容1 （3）存在静摩擦的连接系统，当系统外力大于最大静摩擦力时，物体间不一定有相对滑动，相对滑动与相对静止的临界条件是：静摩擦力达最大值 临界现象是量变质变规律在物理学上的生动体现。即在一定的条件下，当物质的运动从一种形式或性质转变为另一种形式或性质时，往往存在着一种状态向另一种状态过渡的转折点，这个转折点常称为临界点，这种现象也就称为临界现象.如:静力学中的临界平衡；机车运动中的临界速度;振动中的临界脱离；碰撞中的能量临界、速度临界及位移临界；电磁感应中动态问题的临界速度或加速度；光学中的临界角；光电效应中的极限频率；带电粒子在磁场中运动的边界临界；电路中电学量的临界转折等.解决临界问题，一般有两种方法，第一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界特殊规律和特殊解；第二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。 【典例精讲】 典例1：倾角为θ=37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数μ=0.5。现给A施加一水平力F，如图所示。设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等（sin37°=0.6，cos37°=0.8），如果物体A能在斜面上静止，水平推力F与G的比值不可能是（） 页脚内容2 板块模型的临界极值问 题 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN# 板块模型的临界极值问题 1【经典模型】 如图甲所示，M 、m 两物块叠放在光滑的水平面上，两物块间的动摩擦因数为μ，一个恒力F 作用在物块M 上． (1)F 至少为多大，可以使M 、m 之间产生相对滑动 (2)如图乙所示，假如恒力F 作用在m 上，则F 至少为多大，可以使M 、m 之间产生相对滑动 练1、如图所示，物体A 、B 的质量分别为2kg 和1kg ，A 置于光滑的水平地面上，B 叠加在A 上。已知A 、B 间的动摩擦因数为，水平向右的拉力F 作用在B 上， A 、 B 一起相对静止开始做匀加速运动。加速度为2/s m 。 （2/10s m g =）求： （1）力F 的大小。 （2）A 受到的摩擦力大小和方向。 （3）A 、B 之间的最大静摩擦力A 能获得的最大加速度 （4）要想A 、B 一起加速（相对静止），力F 应满足什么条件 （5）要想A 、B 分离，力F 应满足什么条件 练2、物体A 放在物体B 上，物体B 放在光滑的水平面上，已知6=A m kg ， 2=B m kg ，A 、B 间动摩擦因数2.0=μ，如图所示。现用一水平向右的拉力F 作用于物体A 上，则下列说法中正确的是（10=g m/s 2）（ ） A ．当拉力F <12N 时，A 静止不动 B ．当拉力F =16N 时，A 对B 的摩擦力等于4N C ．当拉力F >16N 时，A 一定相对B 滑动 D ．无论拉力F 多大，A 相对B 始终静止 2、如图，物体A 叠放在物体B 上，B 置于光滑水平面上，A 、B 质量分别为m A ＝6 kg 、m B ＝2 kg ，A 、B 之间的动摩擦因数是，开始时F ＝10 N ，此后逐渐增加，在增大到45 N 的过程中，则( ) A ．当拉力F ＜12 N 时，两物体均保持静止状态 B ．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N 时，开始相对滑动 C ．两物体间从受力开始就有相对运动 D ．两物体间始终没有相对运动 热点综合专题四牛顿运动定律的综合应用 热点一超重和失重问题 超重、失重和完全失重的比较 【典例】(2018·福建福州期末)广州塔，昵称小蛮腰，总高度达600米，游客乘坐观光电梯大约一分钟就可以到达观光平台．若电梯简化成只受重力与绳索拉力，已知电梯在t＝0时由静止开始上升，a －t图象如下图所示．则下列相关说法正确的是() A．t＝4.5 s时，电梯处于失重状态 B．5～55 s时间内，绳索拉力最小 C．t＝59.5 s时，电梯处于超重状态 D．t＝60 s时，电梯速度恰好为零 [审题指导](1)判断超重与失重，仅看加速度方向即可，与加速度大小如何变化无关． (2)a－t图线与t轴所围的“面积”代表速度的变化量． [解析]利用a－t图象可判断：t＝4.5 s时，电梯有向上的加速度，电梯处于超重状态，则A错误；0～5 s时间内，电梯处于超重状态，拉力>重力，5～55 s时间内，电梯处于匀速上升过程，拉力＝重力，55～60 s时间内，电梯处于失重状态，拉力<重力，综上所述，B、C错误；因a－t图线与t轴所围的“面积”代表速度改变量，而图中横轴上方的“面积”与横轴下方的“面积”相等，则电梯的速度在t＝60 s时为零，D正确． [答案]D 判断超重和失重的方法 [针对训练] 1．(2018·吉林省白城市通榆一中考试)某运动员(可看成质点)参加跳台跳水比赛，t＝0时，为其向上起跳离开跳台的瞬间，其速度与时间关系图象如图所示，不计空气阻力，则下列说法错误的是() A．可以求出水池的深度 B．可以求出跳台距离水面的高度 C．0～t2时间内，运动员处于失重状态 D．t2～t3时间内，运动员处于超重状态 [解析]跳水运动员在跳水过程中的v－t图象不能反映是否到达水底，所以不能求出水池的深度，故A错误；应用v－t图象中，图线与横轴围成的面积表示位移大小，可以求出跳台距离水面的高度，故B正确；t＝0时刻是运动员向上起跳离开跳台的瞬间，速度是负值时表示速度方向向上，则知0～t1时间内运动员做匀减速运动，t1～t2时间内向下做匀加速直线运动，0～t2时间内，运动员一直在空中具有向下的加速度，处于失重状态，故C正确；由题图可知，t2～t3时间内，运动员向下做减速运动，则加速度的方向向上，处于超重状态，故D正确． [答案]A 2．(多选)飞船绕地球做匀速圆周运动，宇航员处于完全失重状态时，下列说法正确的是() A．宇航员不受任何力作用 B．宇航员处于平衡状态 C．地球对宇航员的引力全部用来提供向心力 D．正立和倒立时宇航员一样舒服 [解析]飞船绕地球做匀速圆周运动时，飞船以及里面的宇航员都受到地球的万有引力，选项A错误；宇航员随飞船绕地球做匀速圆周运动，宇航员受到地球的万有引力提供其做圆周运动的向心力，不是处于平衡状态，选项B错误，选项C正确；完全失重状态下，重力的作用效果完全消失，正立和倒立情况下，身体中的器官都是处于悬浮状态，没有差别，所以一样舒服，选项D正确． [答案]CD 动力学中的临界极值问题的处理 动力学中临界极值问题的处理及分析 物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与动力学、力学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。 一．解决动力学中临界极值问题的基本思路 所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。 解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。动力学中的临界和极值是物理中的常见题型，同学们在刚刚学过的必修1中匀变速运动规律、共点力平衡、牛顿运动定律中都涉及到临界和极值问题。在解决临办极值问题 注意以下几点：○1临界点是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达到极值。○2临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。○3许多临界问题 常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语 其内含规律就能找到临界条件。○4有时，某些临界问题中并不包含常见的临界 术语，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，如运动中汽车做匀 减速运动类问题，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。○5临界问 题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情 景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。○6确定临界点一般用极端分 析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。 二．匀变速运动规律中与临界极值相关问题的解读 在质点做匀变速运动中涉及到临界与极值的问题主要有“相遇”、“追及”、“最大距离”、“最小距离”、“最大速度”、“最小速度”等。 【例1】速度大小是5m/s的甲、乙两列火车，在同一直线上相向而行。当它们相隔2000m时，一只鸟以10m/s的速度离开甲车头向乙车头飞去，当到达乙车车头时立即返回，并这样连续在两车间来回飞着。问： （1）当两车头相遇时，这鸟共飞行多少时间？ 动力学的临界和极值问题 教学目标： 教学重点、难点： 新课引入： 教学过程： 一、临界和极值 在应用牛顿定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体 有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，往往会有临界现象。此时要采用极限分析法，看物体在不同加速度时，会有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。 在某些物理情境中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值。这类问题称为临界问题。在解决临界问题时，进行正确的受力分析和运动分析，找出临界状态是解题的关键。 1、相互接触的物体，它们分离的临界条件是：它们之间的弹力0 N ，而且此时它们的速度相等，加速度相同。 【例】如图，在竖直立在水平面的轻弹簧上面固定一块质量不计的薄板，将薄板上放一重物，并用手将重物往下压，然后突然将手撤去，重物即被弹射出去，则在弹射过程中，（即重物与弹簧脱离之前），重物的运动情况是（ ） A 、一直加速 B 、先减速，后加速 C 、先加速、后减速 D 、匀加速 【例】如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧竖直固定在水平面上，上端固定一质量为0m 的托盘，托盘上有一个质量为m 的木块。用竖直向下的力将原长为0l 的弹簧压缩后突然撤去外力，则m 即将脱离0m 时的弹簧长度为（ ） A 、0l B 、()k g m m l +- C 、k mg l -0 D 、k g m l 00- 【例】如图所示，一细线的一端固定于倾角为?45的光滑楔形滑块A 的顶端P 处，细线的另一端拴一质量为m 的小球。当滑块至少以加速度______=a 向的 左运动时，小球对滑块的压力等于零。当滑块以g a 2=加速度向左运动时，线的拉力大小______=F 。 力的平衡问题中的临界和极值问题 例8：如图所示，绳子AO 的最大承受力为150N ，绳子BO 的最大承受力为 100N ，绳子OC 强度足够大.要使绳子不断，悬挂重物的重力最多为 （ ） A ．100N B.150N C. D.200N 例9：物体的质量为2 kg,两根轻细绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙上,另一端系于 物体上,在物体上另施加一个方向与水平线成θ角的拉力F,相关几何关系如图所示, θ=60°,若要使绳都能伸直,求拉力F 的大小范围。(g 取10 m/s 2) 课后针对性训练： 1、如右图所示，物体B 靠在竖直墙面上，在竖直轻弹簧的作用下，A 、B 保持静止，则物体A 、B 受力的个数分别为( ) A ．3,3 B ．4,3 C ．4,4 D ．4,5 2、如图所示，一个质量为m 的滑块静止置于倾角为30°的粗糙斜面上，一根轻 弹簧一端固定在竖直墙上的P 点，另一端系在滑块上，弹簧与竖直方向的夹角为 30°．则（ ） A ．滑块可能受到三个力作用 B ．弹簧一定处于压缩状态 C ．斜面对滑块的支持力大小可能为零 D ．斜面对滑块的摩擦力大小可能等于mg 3、如图所示,在水平力F 的作用下,木块A 、B 保持静止。若木块A 与B 的接触 面是水平的,且F≠0。则关于木块B 的受力个数可能是( )。 A.3个或4个 B.3个或5个 C.4个或5个 D.4个或6个 4、如图1－3所示，一光滑的半圆形碗固定在水平面上，质量为m1的小球 用轻绳跨过光滑碗连接质量分别为m2和m3的物体，平衡时小球恰好与碗 之间没有弹力作用，两绳与水平方向夹角分别为60°、30°。则m1、m2、 m3的比值为 ( ) A ．1：2：3 B ．2：：1 C ．2：1：1 D ．2：1： 5、两个相同的可视为质点的小球A 和B ，质量均为m ，用长度相同的两根细 线把A 、B 两球悬挂在水平天花板上的同一点O ，并用长度相同的细线连接A 、 B 两个小球，然后，用一水平方向的力F 作用在小球A 上，此时三根线均处 于伸直状态，且OB 细线恰好处于竖直方向如图所示．如果两小球均处于静止 状态，则力F 的大小为( ) A ．0 B ．mg C.3mg 3 D.3mg高中物理中的临界与极值问题
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