电大离散数学本科期末复习题
离散数学（本）
一、单项选择题
1．设P ：a 是偶数，Q ：b 是偶数。R ：a + b 是偶数，则命题“若a 是偶数，b 是偶数，则a + b 也是偶数”符号化为（D ． P Q →R ）。
2．表达式?x （P （x ，y ）∨Q （z ））∧
?y （Q （x ，y ）→?zQ （z ））中?x 的辖域是（P （x ，y ） Q （z ））。 3．设)(}),({},{,4321?=?=?=?=P S P S S S 则命题为假的是（42S S ∈）。
4．设G 是有n 个结点的无向完全图，则G 的边数（ 1/2 n （n-1））。
5．设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r=（ e-v+2）。
6．若集合A ={1，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是( {1}?A )．
7．已知一棵无向树T 中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T 的树叶数为( 5 )．
8．设无向图G 的邻接矩阵为则G 的边数为( 7 )．
9．设集合A ={a }，则A 的幂集为({?，{a }} )．
10．下列公式中 (?A ∧?B ? ?(A ∨B ) )为永真式．
11．若G 是一个汉密尔顿图，则G 一定是( 连通图 )．
12．集合A ={1, 2, 3, 4}上的关系R ={
13．设集合A ={1，2，3，4，5}，偏序关系≤是A 上的整除关系，则偏序集上的元素5是集合A 的（极大元 ）．
14．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( {(a, d ) ,(b, d )}是边割集 ) ．图一
15．设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（(?x )(A (x )∧B (x )) ）．
16．若集合A ={1，2}，B ={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是(A ?B ，且A ∈B )．
17．设有向图（a ）、（b ）、（c ）及（d ）如图一所示，则下列结论成立的是 ( （d ）是强连通的 )．
18．设图G 的邻接矩阵为则G 的边数为( 5 )．
19．无向简单图G 是棵树，当且仅当(G 连通且边数比结点数少1 )．
20．下列公式 ((P →(?Q →P ))?(?P →(P →Q )) )为重言式．
21．若集合A ＝{ a ，{a }，{1，2}}，则下列表述正确的是({a }?A )．
22．设图G ＝
v 2)deg(=∑∈ ) ．
23．命题公式（P ∨Q ）→R 的析取范式是 (（?P ∧?Q ）∨R )
24．下列等价公式成立的为(P →(?Q →P ) ??P →(P →Q ) )．
25．设A ={a , b }，B ={1, 2}，R 1，R 2，R 3是A 到B 的二元关系，且R 1={, }，R 2={, , }，R 3={, }，则（ R 2 ）不是从A 到B 的函数．
26．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 (无、2、无、2)．
27．若集合A 的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（1024）．
28．如图一所示，以下说法正确的是 (e 是割点)．图一
29．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ n 为奇数）时，K n 中存在欧拉回路．
30．已知图G 的邻接矩阵为 ，则G 有（ 5点，7边 ）．
二、填空题（每小题3分，共15分）
1．设A ，B 为任意命题公式，C 为重言式，若A ∧C ?B ∧C ，那么A ?B 是 重言 式（重言式、矛盾式或可满足式）。
2．命题公式（P →Q ）∨P 的主合取范式为 )()(Q P Q P ∨?∧∨ 。
3．设集合A={?，{a}}，则P （A ）= }}}{,{}},{{},{,{a a ??? 。 4．设图G =〈V ，E 〉， G ′=〈V ′，E ′〉，若 V ′=V,E ′ E ,则G ′是G 的生成子图。
5．在平面G =〈V ，E 〉中，则= 2|E| ，其中i r （i=1，2，…，r ）是G 的面。6．命题公式P P ?∧的真值是 假（或F ，或0） ．
7．若无向树T 有5个结点，则T 的边数为 4 ．
8．设正则m 叉树的树叶数为t ，分支数为i ，则(m -1)i = t-1 ．
9．设集合A ={1，2}上的关系R ＝{<1, 1>,<1, 2>}，则在R 中仅需加一个元素 <2, 1> ，就可使新得到的关系为对称的．
10．(?x )(A (x )→B (x ，z )∨C (y ))中的自由变元有 z ，y ．
11．若集合A={1，3，5，7}，B ={2，4，6，8}，则A ∩B = 空集（或?） ．
12．设集合A ={1，2，3}上的函数分别为：f ={<1,2>,<2,1>,<3,3>,}，g ={<1,3>,<2,2>,<3,2>,}，则复合函数g ?f = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 2>,} ．
13．设G 是一个图，结点集合为V ，边集合为E ，则G 的结点度数之和为 2|E |（或“边数的两倍”） ．
14．无向连通图G 的结点数为v ，边数为e ，则G 当v 及e 满足 e=v -1 关系时是树．
15．设个体域D ＝{1, 2, 3}， P (x )为“x 小于2”，则谓词公式(?x )P (x ) 的真值为 假（或F ，或0） ．
16．命题公式)(P Q P ∨→的真值是 T （或1） ．
17．若图G=
18．给定一个序列集合{000，001，01，10，0}，若去掉其中的元素 0 ，则该序列集合构成前缀码．
19．已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为 5 ．
20．(?x )(P (x )→Q (x )∨R (x ，y ))中的自由变元为 R (x ，y )中的y ．
21．设集合A ={0, 1, 2, 3}，B ={2, 3, 4, 5}，R 是A 到B 的二元关系，},,{B A y x B y A x y x R
?∈∈∈><=且且则R 的有序对集合为 {<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3, 3> ．
22．设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式 v -e +r =2 ．
23．设G ＝
24．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通且 所有结点的度数全为偶数 ．
25．设个体域D ＝{1,2}，则谓词公式)(x xA ?消去量词后的等值式为 A (1)∨A (2) ．
26．设集合A ＝{a ，b }，那么集合A 的幂集是 {?,{a ,b },{a },{b }} ．
27．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，则R 1∪R 2，R 1∩R 2，R 1-R 2中自反关系有 2 个．
28．设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去 4 条边后使之变成树．
29．设连通平面图G 的结点数为5，边数为6，则面数为 3 ．
30．设个体域D ＝{a , b }，则谓词公式(?x )A (x )∧（?x ）B （x ）消去量词后的等值式为 (A (a )∧A (b ))∧(B （a ）∨B （b ）) ．
31. 设集合A={0，1 ，2} ，B={l ，2 ，3 ， 剖，R 是A 到B 的二元关系，R= {
32. 设G 是连通平面图，v ， e ， r 分别表示G 的结点数， 边数和面数， 则 v ， e 和r 满足的关系式__v-e+r=2_____
33.G=
34. 无向图G 存在欧拉回路， 当且仅当G 所有结点的度数全为偶数且_ 连通____
35. 设个体域D={ 1, 2 } ， 则谓词公式? xA(x)消去量词后的等值式为__A(1)∧A(2)___
三、化简解答题
11．设集合A={1，2，3，4}，A 上的二元关系R ，R={〈1，1〉，〈1，4〉，〈2，2〉，〈2，3〉，〈3，2〉，〈3，3〉，〈4，1〉，〈4，4〉}，说明R 是A 上的等价关系。
解 从R 的表达式知，
,),(,R x x A x ∈∈?即R 具有自反性；
三、逻辑公式翻译
1．将语句“今天上课．”翻译成命题公式．
设P ：今天上课， 则命题公式为：P ．
2．将语句“他去操场锻炼，仅当他有时间．”翻译成命题公式．
设 P ：他去操场锻炼，Q ：他有时间， 则命题公式为：P Q ．
3．将语句“他是学生．”翻译成命题公式．
设P：他是学生，则命题公式为：P．
4．将语句“如果明天不下雨，我们就去郊游．”翻译成命题公式．
设P：明天下雨，Q：我们就去郊游，则命题公式为：?P→Q．
5．将语句“他不去学校．”翻译成命题公式．
设P：他去学校，?P．
6．将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．
设P：他去旅游，Q：他有时间，P→Q．
7．将语句“所有的人都学习努力．”翻译成命题公式．
设P(x)：x是人，Q(x)：x学习努力，（?x）(P(x)→Q(x))．
8．将语句“如果你去了，那么他就不去．”翻译成命题公式．
设P：你去，Q：他去，P→?Q．
9．将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．
设P：小王去旅游，Q：小李去旅游，P∧Q．
10．将语句“所有人都去工作．”翻译成谓词公式．
设P(x)：x是人，Q(x)：x去工作，(?x)(P(x)→Q(x))．
11．将语句“如果所有人今天都去参加活动，则明天的会议取消．”翻译成命题公式．设P：所有人今天都去参加活动，Q：明天的会议取消，P→Q．
12．将语句“今天没有人来．”翻译成命题公式．
设P：今天有人来，?P．
13．将语句“有人去上课．”翻译成谓词公式．
设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，(?x)(P(x)∧Q(x))．
1 1. 将语句"如果小李学习努力，那么他就会取得好成绩. "翻译成命题公式.
设P：小李学习努力，Q:小李会取得好成绩，P→Q
12. 将语句"小张学习努力,小王取得好成绩. "翻译成命题公式.
设P：小张学习努力，Q:小王取得好成绩，P∧Q
四、判断说明题
1．设集合A={1，2}，B={3，4}，从A到B的关系为f={<1, 3>}，则f是A到B的函数．错误．因为A中元素2没有B中元素及之对应，故f不是A到B的函数．
2．设G是一个有4个结点10条边的连通图，则G为平面图．
错误．不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v≥3，则e≤3v-6．”
3．设N、R分别为自然数集及实数集，f：N→R，f (x)=x+6，则f是单射．
正确．设x1，x2为自然数且x1≠x2，则有f(x1)= x1+6≠x2+6= f(x2)，故f为单射．
4．下面的推理是否正确，试予以说明．
(1) （?x）F（x）→G（x）前提引入
(2) F（y）→G（y）US（1）．
错误．
（2）应为F（y）→G（x），换名时，约束变元及自由变元不能混淆．
5．如图二所示的图G存在一条欧拉回路．
图二
错误．因为图G为中包含度数为奇数的结点．
6．设G是一个有6个结点14条边的连通图，则G为平面图．
错误．不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v≥3，则e≤3v-6．”
7．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，则R 1∪R 2是自反的．
正确． R 1和R 2是自反的，?x ∈A ，
8．如图二所示的图G 存在一条欧拉回路．
正确． 因为图G 为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数．
9．┐P ∧（P →┐Q ）∨P 为永真式．
正确．
┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是由┐P ∧（P →┐Q ）及P 组成的析取式，
如果P 的值为真，则┐P ∧（P →┐Q ）∨P 为真，
如果P 的值为假，则┐P 及P →┐Q 为真，即┐P ∧（P →┐Q ）为真，
也即┐P ∧（P →┐Q ）∨P 为真，
所以┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是永真式．
另种说明：
┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是由┐P ∧（P →┐Q ）及P 组成的析取式，
只要其中一项为真，则整个公式为真．
可以看到，不论P 的值为真或为假，┐P ∧（P →┐Q ）及P 总有一个为真，
所以┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是永真式．
或用等价演算┐P ∧（P →┐Q ）∨P ?T
10．若偏序集的哈斯图如图一所示，则集合A 的最大元为a ，最小元不存在．
图一
正确．
对于集合A 的任意元素x ，均有
11. 如果R 1和R 2是A 上的自反关系， 则R 1∩R 2是自反的。
正确，R 1和R 2，是自反的，?x ∈A,
12. 如图二所示的图中存在一条欧拉回路.
正确，因为图G 为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数。
五．计算题（每小题12分，本题共36分）
1．试求出（P ∨Q ）→（R ∨Q ）的析取范式．
（P ∨Q ）→（R ∨Q ）? ┐(P ∨Q )∨（R ∨Q ）
? (┐P ∧┐Q )∨（R ∨Q ）
? (┐P ∧┐Q )∨R ∨Q （析取范式）
2．设A ={{1}, 1, 2}，B ={ 1, {2}}，试计算（1）（A ∩B ） （2）（A ∪B ） （3）A -（A ∩B ）．
（1）（A ∩B ）={1}
（2）（A ∪B ）={1, 2, {1}, {2}}
（3） A -（A ∩B ）={{1}, 1, 2}
3．图G =
（1）画出G 的图形；
（2）写出G 的邻接矩阵；
（3）求出G 权最小的生成树及其权值．
ο ο a d
3 v 1
v 5 v 4 d 图二
（1）G 的图形表示如图一所示：
（2）邻接矩阵：
（3）最小的生成树如图二中的粗线所示：
权为：1+1+3=5
4．画一棵带权为1, 2, 2, 3, 4的最优二叉树,计算它们的权． 最优二叉树如图三所示
图三 权为1?3+2?3+2?2+3?2+4?2=27
5．求（P ∨Q ）→R 的析取范式及合取范式．
（P ∨Q ）→R ? ?（P ∨Q ）∨R
? (?P ∧?Q )∨R （析取范式）
? (?P ∨R )∧(?Q ∨R) （合取范式）
6．设A ={0，1，2，3}，R ={
R =?, S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<2,0>}
R ?S =?，
S -1= S ，
r (R )=I A ={<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,3>}．
7．试求出（P ∨Q ）→R 的析取范式，合取范式，主合取范式．
（P ∨Q ）→R ?┐(P ∨Q )∨R ? (┐P ∧┐Q )∨R （析取范式）
? (┐P ∨R )∧ (┐Q ∨R )（合取范式）
? ((┐P ∨R )∨(Q ∧┐Q ))∧ ((┐Q ∨R )∨(P ∧┐P ))
? (┐P ∨R ∨Q )∧(┐P ∨R ∨┐Q )∧ (┐Q ∨R ∨P )
∧(┐Q ∨R ∨┐P )
? (┐P ∨Q ∨R )∧(┐P ∨┐Q ∨R )∧ (P ∨┐Q ∨R )
8．设A ={{a , b }, 1, 2}，B ={ a , b , {1}, 1}，试计算
（1）（A -B ） （2）（A ∪B ） （3）（A ∪B ）-（A ∩B ）．
（1）（A -B ）={{a , b }, 2}
（2）（A ∪B ）={{a , b }, 1, 2, a , b , {1}}
（3）（A ∪B ）-（A ∩B ）={{a , b }, 2, a , b , {1}}
9．图G =
（1）画出G 的图形；
（2）写出G 的邻接矩阵；
（3）求出G 权最小的生成树及其权值．
（1）G 的图形表示为：
图二 ο
ο ο ο a b c d 1 1 2 4 5 3 ο ο ο ο ο ο ο ο ο 1 2
2 3 3 4 7 5 12
（2）邻接矩阵：
（3）粗线表示最小的生成树，
权为7：
10．设谓词公式)(),()),,(),((y F z y yR z x y zQ y x P x ??∧?→?，试（1）写出量词的辖域；
（
2）指出该公式的自由变元和约束变元．
（1）?x 量词的辖域为)),,(),((z x y zQ y x P ?→，
?z 量词的辖域为),,(z x y Q ,
?y 量词的辖域为),(z y R ．
（2）自由变元为)),,(),((z x y zQ y x P ?→及)(y F 中的y ，以及),(z y R 中的z
约束变元为x 及),,(z x y Q 中的z ，以及),(z y R 中的y ．
11．设A ={{1},{2},1,2}，B ={1,2,{1,2}}，试计算
（1）（A -B ）； （2）（A ∩B ）； （3）A ×B ．
（1）A -B ={{1},{2}}
（2）A ∩B ={1,2}
（3）A ×B={<{1},1>，<{1},2>，<{1},{1,2}>，<{2},1>，<{2},2>，
<{2},{1,2}>，<1,1>，<1,2>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2,2>,
<2, {1,2}>}
12．设G =
（1）给出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵；
（3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形．
（1）G 的图形表示为：
（2）邻接矩阵：
（3）v 1，v 2，v 3，v 4，v 5结点的度数依次为1，2，4，3，2
（4）补图如下：
13．设集合A ={1，2，3，4}，R ={
（1）写出R 的有序对表示；
（2）画出R 的关系图；
（3）说明R 满足自反性，不满足传递性．
（1）R ={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>}
（2）关系图为
3）因为R ，即A 的每个元素构成的有序对均在R 中，故R 在A 上是自反的。 因有<2,3>及<3,4>属于R ，但<2,4>不属于R ，所以R 在A 上不是传递的。
14．求P →Q ∨R 的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．
P →（R ∨Q ）
?┐P ∨(R ∨Q )
? ┐P ∨Q ∨R （析取、合取、主合取范式）
?(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R ) ∨(┐P ∧Q ∧R ) ∨(P ∧┐Q ∧┐R )
∨(P ∧┐Q ∧R ) ∨(P ∧Q ∧┐R ) ∨(P ∧Q ∧R ) （主析取范式）
15．设图G =
(1) 画出G 的图形表示；
(2) 写出其邻接矩阵；
(3) 求出每个结点的度数；
(4) 画出图G 的补图的图形．
（1）关系图
（2）邻接矩阵 ? ? ? ? 1 2 3 4 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 ο ο
ο ο ο
（3）deg(v 1)=2 deg(v 2)=3 deg(v 3)=4 deg(v 4)=3 deg(v 5)=2 （4）补图
16．设谓词公式?x(A(x,y)∧? zB(x,y, z)) ∧? yC(y,z) 试
(1)写出量词的辖域;
?x 量词的辖域为(A(x,y)∧? zB(x,y, z)), ? z 量词的辖域为B(x,y,z), ? y 量词的辖域为C(y,z) (2)指出该公式的自由变元和约束变元.
自由变元为(A(x,y) ∧? zB(x,y, z))中的y,以及C(y,z)中的z.
约束变元为(A(x,y) ∧? zB(x,y, z))中的x 及B(x,y,z)中的z,以及C(y,z)中的y 。 六、证明题
1．试证明：若R 及S 是集合A 上的自反关系，则R ∩S 也是集合A 上的自反关系．
证明：设?x ∈A ，因为R 自反，所以x R x ，即< x , x >∈R ；
又因为S 自反，所以x R x ，即< x , x >∈S ．
即< x , x >∈R ∩S
故R ∩S 自反．
2．试证明集合等式A ? (B ?C )=(A ?B ) ? (A ?C ) ．
证明：设S = A ? (B ?C )，T =(A ?B ) ? (A ?C )，若x ∈S ，则x ∈A 或x ∈B ?C ，即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ．
也即x ∈A ?B 且 x ∈A ?C ，即 x ∈T ，所以S ?T ．
反之，若x ∈T ，则x ∈A ?B 且 x ∈A ?C ， 即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ，
也即x ∈A 或x ∈B ?C ，即x ∈S ，所以T ?S ．
因此T =S ．
3．试证明集合等式A ? (B ?C )=(A ?B ) ? (A ?C )．
证明：设S =A ∩(B ∪C )，T =(A ∩B )∪(A ∩C )， 若x ∈S ，则x ∈A 且x ∈B ∪C ，即 x ∈A 且x ∈B 或 x ∈A 且x ∈C ，
也即x ∈A ∩B 或 x ∈A ∩C ，即 x ∈T ，所以S ?T ．
反之，若x ∈T ，则x ∈A ∩B 或 x ∈A ∩C ，
即x ∈A 且x ∈B 或 x ∈A 且x ∈C
也即x ∈A 且x ∈B ∪C ，即x ∈S ，所以T ?S ．
因此T =S ．
4．试证明集合等式A ? (B ?C )=(A ?B ) ? (A ?C ) ．
证明：设S = A ? (B ?C )，T =(A ?B ) ? (A ?C )，若x ∈S ，则x ∈A 或x ∈B ?C ，即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ．
也即x ∈A ?B 且 x ∈A ?C ，即 x ∈T ，所以S ?T ．
反之，若x ∈T ，则x ∈A ?B 且 x ∈A ?C ，
即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ，
也即x ∈A 或x ∈B ?C ，即x ∈S ，所以T ?S ．
因此T =S ．
5．试证明（?x ）（P （x ）∧R （x ））? （?x ）P （x ）∧（?x ）R （x ）．
证明：
（1）（?x ）（P （x ）∧R （x ）） P
（2）P （a ）∧R （a ） ES(1)
（3）P （a ） T(2)I
（4）（?x ）P （x ） EG(3)
（5）R （a ） T(2)I
（6）（?x ）R （x ） EG(5)
（7）（?x ）P （x ）∧（?x ）R （x ） T(5)(6)I
6．设m 是一个取定的正整数，证明：在任取m ＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m 的整数倍
证明 设1a ，2a ，…，1+m a 为任取的m ＋1个整数，用m 去除它们所得余数只能是0，1，…，m －1，由抽屉原理可知，1a ，2a ，…，1
+m a v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 ο ο ο ο ο
这m ＋1个整数中至少存在两个数s a 和t a ，它们被m 除所得余数相同，因此s a 和t a 的差是m 的整数倍。
7．已知A 、B 、C 是三个集合，证明A-(B ∪C)=(A-B)∩(A-C)
证明 ∵x ∈ A-（B ∪C ）? x ∈ A ∧x ?（B ∪C ）? x ∈ A ∧（x ?B ∧x ?C ）? （x ∈ A ∧x ?B ）∧（x ∈ A ∧x ?C ）? x ∈（A-B ）∧x ∈（A-C ）? x ∈（A-B ）∩（A-C ）∴A-（B ∪C ）=（A-B ）∩（A-C ）
8．（15分）设是半群，对A 中任意元a 和b ，如a ≠b 必有a*b ≠b*a ，证明：
(1)对A 中每个元a ，有a*a ＝a 。 (2)对A 中任意元a 和b ，有a*b*a ＝a 。 (3)对A 中任意元a 、b 和c ，有a*b*c ＝a*c 。
证明 由题意可知，若a*b ＝b*a ，则必有a ＝b 。
(1)由(a*a)*a ＝a*(a*a)，所以a*a ＝a 。
(2)由a*(a*b*a)＝(a*a)*(b*a)＝a*b*(a*a)＝(a*b*a)*a ，所以有a*b*a ＝a 。
(3)由(a*c)*(a*b*c)＝(a*c*a)*(b*c)＝a*(b*c)＝(a*b)*c ＝(a*b)*(c*a*c)＝(a*b*c)*(a*c)，所以有a*b*c ＝a*c 。
13. 设A,B 为任意集合，证明：(A-B)-C = A-(B ∪C).
证明：(A-B)-C = (A ∩~B)∩~C
= A ∩(~B ∩~C)
= A ∩~(B ∪C) = A-(B ∪C)
9．求命题公式(?P →Q)→(P ∨?Q) 的主析取范式和主合取范式
解：(?P →Q)→(P ∨?Q)??(?P →Q)∨(P ∨?Q)??(P ∨Q)∨(P ∨?Q)?(?P ∧?Q)∨(P ∨?Q) ?(?P ∨P ∨?Q)∧(?Q ∨P ∨?Q)?(P ∨?Q)?M1?m0∨m2∨m3
10．例5在边长为1的正方形内任意放置九个点，证明其中必存在三个点，使得由它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超过1/8。
证明：把边长为1的正方形分成四个全等的小正方形，则至少有一个小正方形内有三个点，它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超过小正方形的一半，即1/8。
11. 试证明集合等式AU( B ∩C)=(AUB) ∩(AUC).
证明：设S=AU(B ∩C),T=(AUB) ∩(AUC),若x ∈S,则x ∈A 或x ∈B ∩C ，
即x ∈A 或x ∈B 且x ∈A 或x ∈C,也即x ∈AUB 且x ∈AUC,
即x ∈T,所以s ?T.
反之，若x ∈T,则x ∈AUB 且x ∈AUC,
即x ∈A 或x ∈B 且x ∈A 或x ∈C,
也即x ∈A 或x ∈B ∩C ，即x ∈S,所以T ?S.
因此T=S.
12. 利用形式演绎法证明：{P →Q , R →S , P ∨R }蕴涵Q ∨S 。
证明：{P →Q , R →S , P ∨R }蕴涵Q ∨S
(1) P ∨R
P (2) ?R →P
Q(1) (3) P →Q
P (4) ?R →Q
Q(2)(3) (5) ?Q →R
Q(4) (6) R →S
P (7) ?Q →S
Q(5)(6) (8) Q ∨S Q(7)
14.利用形式演绎法证明：{?A ∨B, ?C →?B, C →D}蕴涵A →D 。
证明：{?A ∨B, ?C →?B, C →D}蕴涵A →D
(1) A
D(附加) (2) ?A ∨B P (3) B Q(1)(2)
(4) ?C →?B
P (5) B →C
Q(4) (6) C Q(3)(5) (7) C →D
P (8) D Q(6)(7)
(9) A →D D(1)(8)
所以{?A∨B, ?C→?B, C→D}蕴涵A→D.
15. A, B为两个任意集合，求证：A－(A∩B) = (A∪B)－B . 证明：A－(A∩B)
= A∩~(A∩B)
＝A∩(~A∪~B)
＝(A∩~A)∪(A∩~B)
＝?∪(A∩~B)
＝(A∩~B)
＝A－B
而(A∪B)－B
= (A∪B)∩~B
= (A∩~B)∪(B∩~B)
= (A∩~B)∪?
= A－B 所以：A－(A∩B) = (A∪B)－B.
电大离散数学形成性考核作业集合
离散数学形成性考核作业( 一) 集合论部分 分校_________ 学号____________________ 姓名__________________ 分数 本课程形成性考核作业共 4 次, 内容由中央电大确定、统一布置。本次形考作业是第一次作业, 大家要认真及时地完成集合论部分的形考作业, 字迹工整, 抄写题目, 解答题有解答过程。 第 1 章集合及其运算 1．用列举法表示”大于2而小于等于9 的整数” 集合． 2．用描述法表示”小于5 的非负整数集合” 集合． 3 ．写出集合B={1, {2, 3 }} 的全部子集． 4 ．求集合A={ ,{ } } 的幂集． 5 ．设集合A={{ a }, a }, 命题: { a } P(A) 是否正确, 说明理由． 6 ．设 A {1,2,3}, B { 1,3,5}, C { 2,4,6}, 求 (1) A B (2) A B C (3) C - A (4) A B 7 ．化简集合表示式: (( A B ) B) - A B．
试证：A - ( B C ) = ( A - B ) - C. 9 .填写集合{4, 9 } {9, 10, 4} 之间的关系. 10 .设集合A = {2, a , {3}, 4}, 那么下列命题中错误的是（） A .{a } A B . { a , 4, {3}} A C . {a } A D . A 11 .设B = { {a }, 3, 4, 2}, 那么下列命题中错误的是（） 第2章关系与函数 并验证 A (B C ) = ( A B ) (A C ). 4 .写出从集合A = { a , b , c }到集合B = {1}的所有二元关系. 8 .设A B C 是三个任意集合 A . {a } B B .{2, { a }, 3, 4} B C . {a } B D .设集合A = {a , b }, B = {1, 2, 3}, C = {3, 4}, 求 A (B C ), (A B) (A C ) .对任意三个集合 B 和 C 若ABA C 是否一定有B C ?为什么？ .对任意三个集合 B 和 C 试证若A B = AC 」A
离散数学期末试题及答案
326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定是( )图，且其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ).
离散数学期末考试试卷(A卷)
离散数学期末考试试卷(A卷) 一、判断题：（每题2分，共10分） （1） （1） （2）对任意的命题公式, 若, 则 （0） （3）设是集合上的等价关系, 是由诱导的上的等价关系，则。（1） （4）任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等价。 （0） （5）设是上的关系，分别表示的对称和传递闭包，则 （0） 二、填空题：（每题2分，共10分） (１) 空集的幂集的幂集为（）。 (２) 写出的对偶式（）。 （３）设是我校本科生全体构成的集合，两位同学等价当且仅当他们在 同一个班，则等价类的个数为（），同学小王所在 的等价类为（）。 （４）设是上的关系，则满足下列性质的哪几条：自反的，对称的，传递的，反自反的，反对称的。 （） (5)写出命题公式的两种等价公式( ）。 三、用命题公式符号化下列命题（１）（２）（３），用谓词公式符号化下列命题（４）（５）（６）。（12分） （１）（１）仅当今晚有时间，我去看电影。 （２）（２）假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书。 （3）你能通你能通过考试，除非你不复习。 （４）（４）并非发光的都是金子。 （５）（５）有些男同志，既是教练员，又是国家选手。 （６）（６）有一个数比任何数都大。 四、设，给定上的两个关系和分别是
（１）（１）写出 和 的关系矩阵。（２）求 及 （1２分） 五、求 的主析取范式和主合取范式。（１０分） 六、设 是 到 的关系， 是 到 的关系，证明： （8分） 七、设 是一个等价关系，设 对某一个 ,有 ，证明： 也是一个等价关系。（10分） 八、（1０分）用命题推理理论来论证 下述推证是否有效？ 甲、乙、丙、丁四人参加比赛，如果甲获胜，则乙失败；如果丙获胜，则乙也获 胜，如果甲不获胜，则丁不失败。所以，如果丙获胜，则丁不失败。 九、（１０分） 用谓词推理理论来论证下述推证。 任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车，每一个人或喜欢乘汽车，或喜欢骑 自行车（可能这两种都喜欢）。有的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行 (论 域是人)。 十、(8分) 利用命题公式求解下列问题。 甲、乙、丙、丁四人参加考试后，有人问他们，谁的成绩最好， 甲说：“不是我，”乙说：“是丁，”丙说：“是乙，” 丁说：“不是我。” 四人的回答只有一人符合实际，问若只有一人成绩最 好，是谁？ 离散数学期末考试试卷答案(A 卷) 一、判断题：（每题2分，共10分） （1）}}{{}{x x x -∈ （ ∨） (2) 对任意的命题公式C B A ,,, 若 C B C A ∧?∧, 则B A ? ( ? ) （3）设R 是集合A 上的等价关系, L 是由 R A 诱导的A 上的等价关系，则L R =。 ( ∨ ) （4） 任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等 价。 （ ? ） （5）设R 是A 上的关系，)(),(R t R s 分别表示R 的对称和传递闭包，则 )()(R st R ts ? （ ? ） 二、填空题：（每题2分，共10分）
电大 离散数学作业7答案
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第17周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1或T ． 2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如 果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 （P ∨Q ）→R ． 3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 (P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧?R) ． 4．设P (x )：x 是人，Q (x )：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 ?x(P(x) ∧Q(x)) ． 5．设个体域D ＝{a , b },那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 (A(a) ∨A(b)) ∨((B(a) ∧B(b)) ． 6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A (x )为“x 大于3”，则谓词公式(?x )A (x ) 的真值为 0(F) ． 7．谓词命题公式(?x )((A (x )∧B (x )) ∨C (y ))中的自由变元为 y ． 8．谓词命题公式(?x )(P (x ) →Q (x ) ∨R (x ，y ))中的约束变元为 x ． 三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 设P ：今天是晴天。 姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名：
离散数学期末试卷A卷及答案
《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???.
2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？
大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)
1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项，这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 3.谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 4.集合 1.N ，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A 中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A ，以集合A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A 有n 个元素，幂集P(A)有n 2个元素，|P(A)|=||2A =n 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 5.关系 1.若集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则笛卡尔A ×B 的基数为mn ，A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系； 2.若集合A 有n 个元素，则|A ×A|=2n ，A 上有22n 个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x 组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y 组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU Ix ; 对称闭包：s(R)=RU 1-R ; 传递闭包：t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系：集合A 上的二元关系R 满足自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A 上的关系R 满足自反性，反对称性和传递性，则称R 是A 上的一个偏序关系； 8.covA={
国家开放大学2020年春季学期电大《离散数学》形成性考核三
一、单项选择题（每小题2分，共38分） 题目1 正确 获得2.00分中的2.00分 未标记标记题目 题干 假定一棵二叉树中，双分支结点数为15，单分支结点数为30，则叶子结点数为（）。 选择一项： A. 16 B. 47 C. 15 D. 17 题目2 正确 获得2.00分中的2.00分 未标记标记题目 题干 二叉树第k层上最多有（）个结点。 选择一项： A. 2k-1 B. 2k-1 C. 21 k D. 2k 题目3 正确 获得2.00分中的2.00分 未标记标记题目 题干 将含有150个结点的完全二叉树从根这一层开始，每一层从左到右依次对结点进行编号，根结点的编号为1，则编号为69的结点的双亲结点的编号为（）。 选择一项： A. 34 B. 35 C. 33 D. 36 题目4 正确 获得2.00分中的2.00分 未标记标记题目
如果将给定的一组数据作为叶子数值，所构造出的二叉树的带权路径长度最小，则该树称为（）。 选择一项： A. 二叉树 B. 哈夫曼树 C. 完全二叉树 D. 平衡二叉树 题目5 正确 获得2.00分中的2.00分 未标记标记题目 题干 在一棵度具有5层的满二叉树中结点总数为（）。 选择一项： A. 33 B. 32 C. 31 D. 16 题目6 正确 获得2.00分中的2.00分 未标记标记题目 题干 一棵完全二叉树共有6层，且第6层上有6个结点，该树共有（）个结点。 选择一项： A. 37 B. 72 C. 38 D. 31 题目7 正确 获得2.00分中的2.00分 未标记标记题目 题干 利用3、6、8、12这四个值作为叶子结点的权，生成一棵哈夫曼树，该树中所有叶子结点中的最长带权路径长度为（）。 选择一项： A. 18 B. 30
安徽大学期末试卷离散数学上卷及参考答案.doc
安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《离散数学（上）》考试试卷（A 卷） （时间120分钟） 院/系 专业 姓名 学号 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 一、单选题（每小题2分，共20分） 1. 设A={a,b,c}，A 上二元关系R={〈a,a 〉，〈b,b 〉,〈a,c 〉}，则关系R 的对称闭包S(R)是( ) A.R ∪I A B.R C.R ∪{〈c,a 〉} D.R ∩I A 2. 设X={a,b,c},I x 是X 上恒等关系，要使I x ∪{〈a,b 〉，〈b,c 〉，〈c,a 〉，〈b,a 〉}∪R 为X 上的等 价关系，R 应取( ) A. ｛〈c,a 〉，〈a,c 〉｝ B.{〈c,b 〉，〈b,a 〉} C. {〈c,a 〉，〈b,a 〉} D.{〈a,c 〉，〈c,b 〉} 3. 下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 4. 设解释R 如下：论域D 为实数集，a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x 离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 计算机科学与技术专业级第二学期离散数学试题 2012年1月 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1. C 2. C 3. B 4. A 5. D 1-若集合4的元素个数为10,则其幕集的元素个数为（）? A. 10 B. 100 C. 1024 D. 1 2. 设A={a, d},伊{1,2}, R、,电、足是刀到8的二元关系，旦用二{＜Q, 2＞,＜。】＞},他二{＜。 1＞,＜。2＞,＜》，】＞},足={＜。，】＞,＜/?, 2＞）,则（）是从/到8的函数. A. R［和R? B . R仁 C. R3 D. R\和足 3. 设木{1,2,3,45,6,7,8}, /?是/上的整除关系，位{2, 4, 6},则集合8的最大元、最小元、上界、下界依次为（）? A. 8、2、8、2 B.无、2、无、2 C. 6、2、6、2 D. 8、1、6、1 4.若完全图G中有77个结点777条边，则当（）时，图G中存在欧拉回路. A.。为奇数 B. ”为偶数 C. "7为奇数 D. s为偶数 5.已知图G的邻接矩阵为 % o o 1 T 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 10 10 1 11110 则。有（）. A. 6 点，8 边 B.6点，6边 C. 5 点，8 边 D.5点，6边 二、埴空题（每小题3分，本题共15分） 6. 设集合乂 = {况，那么集合/的富集是{。腥}}. 7. 若吊和％是/上的对称关系，则R\U电,R、nw R'-电，传用中对称关系有个. 8. 设图G是有5个结点的连通图，结点度数总和为10,则可从G中删去1 条边后使之变成树. 9. 设连通平面图G的结点数为5,边数为6,贝1|面数为 3 . 10. 设个体域D = G d},则谓词公式（VA）MW A B（X））消去重词后的等值式为（乂（Q） A8（Z?））A（4 （。）AB（/?）） . 三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分） 11. 将语句“今天有联欢活动，明天有文艺晚会翻译成命题公式. 设户：今天有联欢活动，Q：明天有文艺晚会，（2分） PN Q.（6 分） 离散数学期末测验试题（有几套带答案1) ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: ? 离散数学试题(A卷及答案） 一、证明题（10分） １)(?P∧(?Q∧Ｒ)）∨(Q∧R）∨(P∧R）?Ｒ 证明：左端?(?P∧?Q∧R)∨（(Q∨Ｐ)∧R)?（(?P∧?Q)∧R))∨((Ｑ∨Ｐ)∧R） ?(?(P∨Q）∧R)∨((Q∨P)∧Ｒ)?(?(P∨Q)∨(Ｑ∨Ｐ))∧R ?(?(P∨Q)∨(Ｐ∨Ｑ))∧R?T∧R(置换）?R 2）?x(Ａ（ｘ)→B(x)）??xＡ(x）→?xB(x) 证明:?x(A(x)→Ｂ(x））??x（?A（x)∨B(x))??x?A(x)∨?xB(x)???xA（x)∨?xB(x)??xA(x)→?xＢ(ｘ） 二、求命题公式(P∨(Q∧Ｒ))→(Ｐ∧Q∧R）的主析取范式和主合取范式(１０分) 证明:(P∨（Ｑ∧Ｒ））→(P∧Q∧R)??(P∨(Ｑ∧Ｒ）)∨（P∧Q∧R)) ?（?P∧（?Q∨?R)）∨(Ｐ∧Q∧Ｒ） ?(?P∧?Ｑ)∨(?P∧?R)）∨(Ｐ∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Ｑ∧?R）∨(?Ｐ∧Q∧?R)）∨(?P∧?Q∧?R)）∨(Ｐ∧Ｑ∧R) ?m0∨ｍ1∨m2∨ｍ７ ?Ｍ3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题(10分) 1）Ｃ∨D， (C∨D)→?E, ?Ｅ→(A∧?B), (A∧?B)→(R ∨S)?R∨S 证明:(1) (C∨D）→?E (２) ?E→（A∧?Ｂ) ?? (3）（C∨D）→（A∧?Ｂ) （４) （Ａ∧?B)→(R∨Ｓ) ?? (5) （C∨D）→（R∨Ｓ) ? (6) C∨Ｄ?? (7) R∨S 2) ?x(P(ｘ)→Q(ｙ）∧R(x)），?xP(x)?Q(y）∧?x（P(x)∧R(x)) 证明（1)?xP(ｘ) (2）P(a) （3)?ｘ(P(x)→Q(y）∧R(x)) (4）P（a)→Q(y)∧R(a) (５)Q(y)∧Ｒ(a) (6)Q(y) （７)R(a） (8)P(a) (9)P(ａ)∧R(a) （10)?x(Ｐ(x)∧R(ｘ)) (11)Q（ｙ)∧?x(P（x）∧R(x)） 五、已知Ａ、B、C是三个集合,证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （１5分) 证明∵x∈A-（Ｂ∪C)?x∈A∧x?（Ｂ∪C)?x∈A∧(x?Ｂ∧ｘ?C）?(x∈A∧x?B)∧（x∈A∧x?C）?x∈（Ａ-B)∧ｘ∈(A－C）?x∈(A－B）∩（A-Ｃ)∴A-(B∪Ｃ）=（A-B)∩(A-C） 六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：Ｒ=｛＜x，ｙ>| x，y∈N∧y=x2｝，Ｓ={ 离散数学期末考试试题及答案 一、（单项选择题） 本大题共15小题，每小题3分，共45分在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、在由3个元素组成的集合上，可以有种不同的关系。 [A] 3 [B] 8 [C]9 [D]27 2、设A1,2,3,5,8,B1,2,5,7,则AB 。 [A] 3,8 [B]3 [C]8 [D]3,8 3、若X是Y的子集，则一定有。 [A]X不属于Y [B]X∈Y [C]X真包含于Y [D]X∩Y=X 4、下列关系中是等价关系的是。 [A]不等关系 [B]空关系 [C]全关系 [D]偏序关系 5、对于一个从集合A到集合B的映射，下列表述中错误的是。 [A]对A的每个元素都要有象 [B] 对A的每个元素都只有一个象 [C]对B的每个元素都有原象 [D] 对B的元素可以有不止一个原象 6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为。 [A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q 7、设A={a,b,c},则A到A的双射共有。 [A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个 8、一个连通G具有以下何种条件时，能一笔画出：即从某结点出发，经过中每边仅一次回到该结点。 [A] G没有奇数度结点 [B] G有1个奇数度结点 [C] G有2个奇数度结点 [D] G没有或有2个奇数度结点 9、设〈G,*〉是群，且|G|>1，则下列命题不成立的’是。 [A] G中有幺元 [B] G中么元是唯一的 [C] G中任一元素有逆元 [D] G中除了幺元外无其他幂等元 10、令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为 [A] p→┐q [B] p∨┐q [C] p∧q [D] p∧┐q 11、设G=的结点集为V={v1,v2,v3},边集为E={,}.则G的割点集是。 [A]{v1} [B]{v2} [C]{v3} [D]{v2,v3} 12、下面4个推理定律中，不正确的为。 [A]A=>A∨B 附加律[B]A∨B∧┐A=>B 析取三段论 [C]A→B∧A=>B 假言推理[D]A→B∧┐B=>A 拒取式 13、在右边中过v1,v2的初级回路有多少条 [A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4 14、若R,,是环，且R中乘法适合消去律，则R是。 [A]无零因子环 [C]整环 [B]除环 [D]域 15、无向G中有16条边，且每个结点的度数均为2，则结点数是。 [A]8 [B]16 [C]4 [D]32 二、（判断题） 本大题共8小题，每小题3分，共24分正确的填T，错误的填F，填在答题卷相应题号处。 16、是空集。离散数学期末试题及答案完整版
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