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第一章随机事件及其概率
习题一
一、填空题
1．设样本空间{ x| 0 x 2} ，事件A { x | 1 x 1}, B { x | 1 x 3
}，则A B
2 4 2
{ x |0 x 1 3 1
x
1 3 } U { x | x 2} , AB { x | } U { x |1 x } .
4 2 4 2 2
2. 连续射击一目标，A i表示第i次射中，直到射中为止的试验样本空间，则
= A1； A1 A2； L ； A1 A2 L A n 1 A n；L .
3．一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为
1、 2、 3、4 概率为 1 .
12
4．一批 ( N个 ) 产品中有M个次品、从这批产品中任取n 个，其中恰有个 m 个次品的概率是 C M m C n n M m / C N n .
5．某地铁车站 , 每 5 分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过 3 分钟的概率为.
6．在区间（ 0, 1 ）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 6 ”的概率为.
5
7．已知P( A)=, P(B)=,
(1) 当 A, B互不相容时, P( A∪B)= ; P( AB)= 0 .
(2) 当B A时, P(A+B)= ; P( AB)= ；
8. 若 P(A) , P(B) , P( AB) , P(A B) 1 ; P( AB) ;
P(A B) = 1 .
9. 事件 A, B,C 两两独立 , 满足 ABC ，P( A) P( B) P (C) 1 , 且P( A+B+C)= 9 ，
2 16 则 P(A)=.
10．已知随机事件 A 的概率P( A) 0.5 ，随机事件B的概率 P( B) 0.6 ，及条件概率P(B | A) 0.8 ，则和事件A B的概率P(A B).
12．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中随机取一件结果不是三
2
等品，则取到一等品的概率为
.
3
13. 已知 P( A) a, P(B | A) b, 则 P （ AB ）
a a
b .
14. 一批产品共 10 个正品 ,2 个次品 , 任取两次 , 每次取一件 ( 取后不放回 ), 则第 2 次抽
取为次品的概率
1 .
6
15. 甲、乙、丙三人入学考试合格的概率分别是
2 , 1 , 2
，三人中恰好有两人合格的概
3 2 5
率为 2/5 .
16.
一次试验中事件 A 发生的概率为 p , 现进行 n 次独立试验 , 则 A 至少发生一次的
概率为
1 （1 n
； A 至多发生一次的概率为 （1 n
n 1
.
p ） p ） np(1 p)
17. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为和，现已知目标被击中，
则它是甲中的概率为.
二、选择题
1．以 A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”则其对立事件
A 为（ D ） .
（ A ）“甲种产品畅销，乙种产品滞销”; （ B ）“甲、乙两种产品均畅销” ;
（ C ）“甲种产品滞销” ;（D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”.
2. 对于任意二事件
A 和 B, 与A
B B 不等价的是 （ D ）.
(A) A B; (B) B A; (C) AB ; (D) AB .
3. 如果事件 A ， B 有 B A ，则下述结论正确的是（ C ） .
（A ） A 与 B 同时发生 ;
（ B ）A 发生， B 必发生；
（ C ） A 不发生 B 必不发生；
（ D ） B 不发生 A 必不发生 .
4. A 表示“五个产品全是合格品” ， B 表示“五个产品恰有一个废品” ， C 表示“五个
产品不全是合格品” ，则下述结论正确的是（
B ）.
(A) A B;
(B) A C; (C) B C; （D ）A B C.
5.
若二事件 A 和 B 同时出现的概率 P( AB )=0 则（ C ） .
（ A ） A 和 B 不相容；
（ B ） AB 是不可能事件；
（ C ） AB 未必是不可能事件；
（ D ）P( A )=0 或 P( B )=0.
6.对于任意二事件 A 和 B 有 P( A B)(C ).
(A) P( A) P(B) ;（B）P( A)P(B) P( AB) ;
（C） P( A) P(AB) ;（D）P( A)P(B) P(B)P( AB) .
8.设 A , B 是任意两个概率不为0的不相容的事件,则下列事件肯定正确的（D）.
(A) A与 B 不相容 ; (B) A与 B 相容 ; (C) P(AB)=P( A)P( B); (D) P(A- B)=P( A).
9.当事件 A、 B 同时发生时，事件 C必发生则（B）.
(A) P(C) P( A) P(B) 1; (B) P(C) P( A) P( B)1;
(C) P(C ) P( AB);(D) P(C) P(A B).
10.设A, B为两随机事件，且B A，则下列式子正确的是(A ).
（A） P( A B) P(A) ; (B)P( AB)P( A) ;
(C)P(B | A) P(B) ;(D)P(B A) P( B)P( A) .
11.设A、B、C是三随机事件，且P(C) 0,则下列等式成立的是( B).
(A) P(A|C) P(A| C) 1;(B) P(AUB|C) P(A|C) P(B| C) P(AB| C);
(C) P(A |C) P( A|C) 1;( D) P( AU B |C) P( A|C)P(B |C).
12.设A, B是任意两事件,且A B, P( B) 0 ,则下列选项必然成立的是（B） .
( A) P(A) P( A | B);( B) P( A) P(A | B);
(C) P(A) P(A|B);( D) P(A) P(A|B).
13．设 A,B 是任意二事件,且 P(B) 0, P(A |B) 1,则必有（C）.
(A)P( A B) P(A) ;(B)P(A B) P(B) ;
(C)P( A B) P(A) ;(D)P(A B) P(B) ．
14.袋中有5个球，其中2个白球和 3 个黑球，又
有 5 个人依次从袋中任取一球，取后
不放回，则第二人取到白球的概率为（D） .
1;(B)2;(C)1;(D)2.
(A)
445 5
15.设0P(A) 1, 0 P(B) 1, P(A|B) P(A |B) 1,则（D）.
(A)事件 A和B 互不相容；(B)事件A和B互相对立；
(C)事件 A和B 互不独立；(D)事件A和B相互独立.
16.某人向同一目标重复射击，每次射击命中目标的概率为p (0 p 1) ，则此人第 4
(A) 3p(1 p) 2 ; (B) 6p(1 p)2 ;
(C) 3p2 (1 p)2 ; (D) 6 p2 (1 p) 2.
三、解答题
1.写出下列随机实验样本空间：
(1)同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和；
(2) 10 只产品中有 3 次产品，每次从中取一只（取出后不放回），直到将 3 只次品都取出，记录抽取的次数；
(3)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品” ，如连
续查出二个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。
(4) 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度.
解1（ 1） { 3,4,5, ,18} ；
（ 2） {3,4,5,,10} ；
（ 3）查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，
{00 ， 100， 0100， 0101，1010 ， 0110， 1100， 0111， 1011， 1101， 1110，
1111}; （ 4） {( x, y, z) | x 0, y 0, z 0, x y z 1} 其中 x, y, z 分别表示三段之长 .
2.设 A, B, C 为三事件，用 A, B, C 运算关系表示下列事件：
（1）A发生, B和C不发生；（2）A与B都发生,而C不发生；
（ 3） A, B, C 均发生；（4）A, B, C至少一个不发生；
（ 5） A, B, C 都不发生；（6）A, B, C最多一个发生；
（ 7） A, B, C 中不多于二个发生；（8）A, B, C中至少二个发生.
解（ 1） ABC 或A－ ( AB+AC)或A－ ( B+C) ；（ 2）ABC或AB－ABC或AB－C；（ 3） ABC ；（4）A B C；（5）ABC或A B C；
（6） ABC ABC ABC ABC ；（ 7） ABC ；（ 8） AB AC BC . 3．下
面各式说明什么包含关系
(1) AB A ； (2) A B A；(3) A B C A
解（1）A B；（2） A B；（3）A B C
4. 设{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A { 2,3,4}, B { 3,4,5}, C { 5,6,7} 具体写出下列各事件：
(1) AB， (2)A B， (3) A B ，(4) ABC ， (5) A(B C) .
(4) {1,5,6,7,8,9,10}；(5) {1,2,5,6,7,8,9,10}.
5.从数字 1,2,3 ，， 10 中任意取 3 个数字，
（ 1）求最小的数字为 5 的概率 ;
记“最小的数字为5”为事件 A
∵ 10 个数字中任选 3 个为一组：选法有C103种，且每种选法等可能 .
又事件 A 相当于：有一个数字为5，其余 2 个数字大于 5。这种组合的种数有 1 C52
∴
1 C5
2 1
. P(A)
3
12
C
10
（ 2）求最大的数字为 5 的概率。
记“最大的数字为 5”为事件 B，同上10 个数字中任选 3 个，选法有C103 种，且每种选法等可能，又事件 B 相当于：有一个数字为5，其余 2 数字小于 5，选法有1 C42 种
P(B) 1 C42 1 .
C103 20
6. 从 5 双不同鞋子中任取 4 只， 4 只鞋子中至少有 2 只配成一双的概率是多少
记 A 表“ 4 只全中至少有两支配成一
对”则 A 表“4只人不配对”
∵从 10 只中任取 4 只，取法有10
4种，每种取法等可能。
要 4 只都不配对，可在 5 双中任取 4 双，再在 4 双中的每一双里任取一只。取法有 5 2 4
4 C54 24 8
P( A) C104 21
P(A) 1 P( A)
8 13 1 .
21 21
7. 试证 P（ AB AB） P（ A） P（ B） 2P（ AB）.
。
8．已知 10 只晶体管中有2 只次品，在其中取二次，每次随机取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。
（ 1）两只都是正品 ；（ 2）两只都是次品 ；（ 3）一只是正品，一只是次品； （ 4）至少一只是正品。
解 （ 1） p 1
C 82 28 ;
(2) C 22 1
C 102
45 p 2
45
C 102
(3) p 3
C 81 C 21 16 ; (4) p 4 1 p 2
1
1 44 .
C 102
45
45 45
9. 把 10 本书任意放在书架上，求其中指定的 5 本书放在一起的概率。
解 所求概率 p
6! 5! 1 .
10 !
42
10. 某学生宿舍有 8 名学生，问（ 1） 8 人生日都在星期天的概率是多少（
2） 8 人生日
都不在星期天的概率是多少（
3） 8 人生日不都在星期天的概率是多少
1 8
解
1
(1) p 1
;
78
7
6 8
6
8
1
1
;
(3) p 3 1
1
8 8
( 2) p 2
8
.
11．从 0~9 中任取 4 个数构成电话号码（可重复取）求：
（ 1）有 2 个电话号码相同，另 2 个电话号码不同的概率 p ；
（ 2）取的至少有 3 个电话号码相同的概率 q . 解 (1) p
C 101C 42 A 92
0.432 ；
4
10
(2) q
C 101C 43 A 91 C 101
4
0.037.
10
12. 随机地将 15 名新生平均分配到三个班中，这 15 名新生有 3 名优秀生 . 求（ 1）每
个班各分一名优秀生的概率
p （ 2） 3 名优秀生在同一个班的概率 q .
解 基本事件总数有 15！
种
5！5！5！
(1) 每个班各分一名优秀生有 3! 种 , 对每一分法 ,12 名非优秀生平均分配到三个班中
！ ！
3 12
！
！ ！
！！！ 25
12
3 12
分法总数为
种,
所以共有
种分法 . 所以
p =
4 4 4
.
！
！！！
！！！
15 91
4 4 4
4 4 4
！！！
5 5 5
(2)3名优秀生分配到同一个班
, 分法有 3种, 对每一分法 ,12 名非优秀生分配到三个班
3
！
12
12！
3 12！
！！！ 6
中分法总数为
, 共有
种 , 所以 q =
2 5 5
.
！
！！！
！！！
15 91
2 5 5
2 5 5
！！！
5 5 5
13. 在单位园内随机地取一点
Q ，试求以 Q 为中点的弦长超过 1的概率 .
解 : 在单位园内任取一点 Q ，并记 Q 点的坐标为 ( x ，y ) ，由题意得样本空间
x, y x 2
y 2
1 ，记事件 A 为“以 Q 为中心的弦长超过 1”，则事件
1 2
3
Ax, y 1 x 2
y 2
，即 A
x, y x 2 y 2
2
4
3
3
由几何概率计算公式得
P(A)
4 .
1
4
14. 设 A ， B 是两事件且 P ( A )= ， P ( B )=. 问 (1) 在什么条件下 P ( AB ) 取到最大值，最大值是多少（ 2）在什么条件下 P ( AB ) 取到最小值，最小值是多少
解：由 P (A ) = ，P (B )=
即知 AB ≠φ，（否则 AB = φ依互斥事件加法定理，
(∪)=
( )+ ( )=+= >1 与
P ( ∪ )≤1矛盾） .
PABP
A P B
A B
从而由加法定理得
P (AB )=P (A )+P (B )－P ( A ∪B ) (*)
（ 1）从 0≤ P ( AB ) ≤ P ( A ) 知，当 AB =A ，即 A ∩B 时 P ( AB ) 取到最大值，最大值为
P ( AB )= P ( A )= ，
（ 2）从 (*) 式知，当 A ∪B= 时， P ( AB ) 取最小值，最小值为
P ( AB )=+ － 1= .
15.设，
B 是两事件 , 证明 :
P （AB AB ） P （A) P(B)
2P(AB)
A
证 P （ AB AB ） P （ AB) P( AB)
P(ABAB)
P(A B)
P(B A)
P( A) P( AB) P( B) P( AB) P( A) P(B) 2P(AB) .
16. 某门课只有通过口试及笔试两种考试，方可结业
. 某学生通过口试概率为
80%，
通过笔试的概率为
65%，至少通过两者之一的概率为 75%，问该学生这门课结业的可能性有
多大
解 A= “他通过口试” ， B=“他通过笔试” , 则 P(A)=, P(B)=, P(A+B)=
即该学生这门课结业的可能性为70%.
17.某地有甲、乙、丙三种报纸，该地成年人中有 20%读甲报， 16%读乙报， 14%读丙报，其中 8%兼读甲和乙报， 5%兼读甲和丙报， 4%兼读乙和丙报，又有 2%兼读所有报纸，问成年人至少读一种报纸的概率 .
解设A， B， C分别表示读甲，乙，丙报纸
P( A B C )
P( A) P( B) P (C) P( AB) P(AC) P(BC ) P( ABC )
0.2 0.16 0.14 0.08 0.05 0.04 0.02 0.35 .
18. 已知 P( A) P( B) P(C) 1
P( BC)
1
A, B,C 全不发, P( AB) 0, P( AC) ，求事件
4 16
生的概率 .
解 P(ABC) P( A B C ) 1 P(A B C)
1 [P(A) P (B) P(C) P(AB) P( AC) P( BC) P( ABC )] 1
3 1 3
4 8 8 .
19．某厂的产品中有4%的废品，在100 件合格品在有75 件一等品，试求在该产品任取一件的是一等品的概率.
解令 A “任取一件是合格品”，B“任取一件是一等品”
P(AB ) P( A)P( B | A) (1 0.04) 0.750.72 .
20.在 100 个次品中有 10 个次品，每次从任取一个（不放回），求直到第 4 次才取到正品的概率 .
解 A i=“第i次取到正品”i =1，2，3，4.
P(A1 A2 A3 A4 )P( A1 )P( A2 | A1 )P(A3 | A1 A2) P(A4 | A1 A2 A3 )
1098 90
100 99 98 97
0.00069
21.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而
接通所需的电话的概率是多少
记 H表拨号不超过三次而能接通,A i表第 i 次拨号能接通.
注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码.
H A1 A1A2 A1 A2 A3 三种情况互斥
P(H ) P( A1 ) P( A1) P( A2 | A1) P( A1) P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 )
1 9 1 9 8 1 3 .
10 10 9 10 9 8 10
22. 若 P(A) 0, P( B) 0，且 P(A| B) P(A) ，证明 P( B | A) P(B) .
证
因为 P( A |B) P( A), 则P( AB) ( ) (
AB
) ( ) ( ) P(B) P A P P A P B
所以P(B | A) P( AB) P(A)P( B)
P(B) . P(A) P( A)
23. 证明事件 A 与 B 互不相容，且0< P( B) <1, 则P（A | B）
P（ A）
1 。
P（B）
证
P(AB) P(A)
. 。P（A | B)
P(B) 1 P(B)
24. 设一仓库中有 10 箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有 5 箱、3 箱、 2 箱，三厂产品的废品率依次为、、，从这 10 箱中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，
求取得正品的概率 .
解设 A =｛取得的产品为正品｝，B i , i 1, 2, 3 分别为甲、乙、丙三厂的产品
P(B1) = 0.5，P(B2) = 0.3，P(B3 ) = 0.2，P( A |B1) 0 .9 ，P(A|B2) 0.8, P(A|B3) 0.7
3
所以 P（ A）P B i P A B i .
i 1
25.某一工厂有 A, B, C 三个车间生产同一型号螺钉，每个车间的产量分别占该厂螺钉
总产量的25 %、 35 %、 40 %，每个车间成品中的次品分别为各车间产量的 5 %、 4 %、2 %，如果从全厂总产品中抽取一件产品螺钉为次品，问它是A, B, C 车间生产的概率.
解 A、B、C 分别表示 A、B、 C 三车间生产的螺钉，D=“表示次品螺钉”
P（ A） 25% P（ B） 35% P（C） 45%
P（D | A） 5% P（D | B） 4% P（D |C） 2%
PAPDA
P A D
P D
= PAPDA = 25 5 25
PAPDA PBPDB PCPDC 25 5 35 4 40 2 69
同理 P（B | D）= 28
； P（C | D）=
16
.
69 69
26.已知男人中有 5 %的色盲患者，女人中有%的色盲患者，今从男女人数中随机地挑
选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少
解 B =｛从人群中任取一人是男性｝， A =｛色盲患者｝
因为P（B） P B 0.5 P(A | B) 5%， P(A | B) 0.25%
P( A) P( B)P( A | B) P(B)P( A | B) 0.5 0.05 0.5 0.0025 0.02625
所以
P(B)P( A | B) 0.5 0.05 20 P(B | A)
0.02625
.
P( A) 21
27. 设 A, B是任意二事件 , 其中 A 的概率不等于0和 1, 证明, P(B | A) P(B|A) 是事件
A与 B 独立的充分必要条件 .
证因为 A的概率不等于 0 和 1, 所以 A的概率不等于 0 和1，
P( AB) P(AB)
P(B | A) P(B | A)
P( A)
P( A)
[1 P( A)] P( AB) P( A)[ P(B) P( AB)]
P( AB) P( A) P( B), 即A和B独立 .
28.设六个相同的元件 , 如下图所示那样
安置在系统中 , 设每个元件正常工作的概率
为 p ,求这个系统正常工作的概率。假定各
个能否正常工作是相互独立的 .
解:设A i{ 第 i条线路正常工作}，i 1,2,3, A { 代表这个系统正常工作} ,
A{ 代表这个系统正常工作 } ，
由条件知， P( A i ) p2 ， P( A i ) 1 p2，
1 2 3 2 3
.
P(A) 1 P(A) 1 P(A A A ) 1 (1 p )
[ 二十六（ 1）] 设有 4 个独立工作的元件1， 2，3，4。它们的可靠性分别为P1，P2，P3，P4，将它们按图（1）的方式联接，求系统的可靠性。
记 A 表示第 i 个元件正常工作，i= 1，2，3，4，
i
2 3
A 表示系统正常。
1
4 ∵A=AA A + A A 两种情况不互斥
1 2 3 1 4
∴ P( A)= P (AAA) +P( AA)－P ( AAA A ) ( 加法公式 )
1 2 3 1 4 1 2 3 4
= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)－P (A1) P (A2)P (A3)P (A4)
= P1P2P3+ P1P4－P1P2P3P4( A1,A2,A3, A4独立)
29.某类电灯泡使用时在 1000 小时以上的概率为，求三个灯泡在使用 1000 小以后最多只有一个坏的概率 .
解 A 表示一个灯泡使用时数在1000 小时以上
P（A） 0.2
P ｛三灯泡中最多有一个坏｝= P｛三个全好｝ + P｛只有一个坏｝
=C333+ C322(1 – =.
80 , 求该射
30.一射手对同一目标独立进行了四次射击, 若至少命中一次的概率为
81
手的命中率 .
4
解80 命中次）（ 4 4 1 2 .
1 P( 0 (1 p) p
81 1 1 p) , 3 3
31.某型号的高射炮，每门炮发射一发击中的概率为，现若干门炮同时发射一发，问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机至少需要配置几门炮
解设需要配置n 门高射炮
A =“高炮击中飞机”，则P（A） 0.6
P ｛飞机被击中｝= P｛n门高射炮中至少有一门击中｝
=1– P ｛ n 门高射炮全不命中｝
1 (1 P | A |)n 1 0.4n 99%
0.4n 0.01 n lg 0 01 5 026
lg 0 4
至少配备6门炮.
32.设有三门火炮同时对某目标射击，命中概率分别为、、，目标命中一发被击毁的概率为，命中二发被击毁的概率为，三发均命中被击毁的概率为，求三门火炮在一次射击中击毁
目标的概率 .
解设 A =｛目标一次射击中被击毁｝B i =｛目标被击中的发数｝，（i0， 1，2， 3，）则 P(B0 ) 0.8 0.7 0.5 0.28 P(B1 )
=×× +×× +×× = P(B2 )
=×× +×× +×× =
P(B3) =×× =
P(A|B0) 0P(A|B1) 0.2P(A|B2) 0.6P(A|B3)0.9
3
所以P( A)P B i P A B i× +× +× =.
i 0
随机事件的概率第一课时频率与概率
§3.1.1频率与概率 （韦文月陕西师范大学 710062） 【教材版本】北师大版 【教材分析】 本节课的教学内容是《数学必修3》第三章§1.1节互斥事件，教学课时为1课时．《标准》要求学生在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别．本节课主要是通过具体实例，理解概率与频率的联系与区别，进一步辨别随机试验结果的随机性与规律性的关系． 概率研究随机事件发生的可能性大小问题，这里既有随机性，又有随机中表现出的规律性，这是学生理解的难点．突破难点的最好办法是给学生亲自动手操作的机会，使学生在实践过程中形成对随机事件的随机性以及随机性中表现出的规律性的直接感知．通过试验，观察随机事件发生的频率，可以发现随着试验次数的增加，频率稳定在某个常数附近，然后再给出概率的定义．在这个过程中，体现了试验、观察、归纳和总结的思想方法．对随机事件的概率教学可以分为下面几个层次： 第一，由学生实际动手操作投掷硬币试验 第二，计算机模拟，使学生感受到随着试验次数的增加，正面朝上的频率在0.5附近摆动． 第三，展示历史上一些掷硬币的试验，使学生感受到随着试验次数的增加，正面朝上的频率在0.5附近摆动． 第四，解释这个常数代表的意义：这个常数越接近1，表明事件发生的频率越大，也就是它发生的可能性越大；这个常数越接近0，表明事件发生的频率越小，也就是发生的可能性越小．所以可以用这个常数度量事件发生的可能性的大小． 第五，引导学生对概率与频率的关系进行比较．频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．频率是随机的，在试验前不能确定，但概率是一个确定的数，与每次试验无关． 【学情分析】
随机事件的概率知识点总结
随机事件的概率 一、事件 1．在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件． 2．在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件． 3．在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件． 二、概率和频率 1．用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据． 2．在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现 的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝n A n 为事件A出现的频率． 3．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A)． 三、事件的关系与运算
四、概率的几个基本性质 1．概率的取值范围：0≤P(A)≤1. 2．必然事件的概率P(E)＝1. 3．不可能事件的概率P(F)＝0. 4．概率的加法公式： 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 5．对立事件的概率： 若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)． 1.掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上．则下列结果正确的是( ) A．P(M)＝1 3 P(N)＝ 1 2 B．P(M)＝1 2 P(N)＝ 1 2 C．P(M)＝1 3 P(N)＝ 3 4 D．P(M)＝1 2 P(N)＝ 3 4 解析：选D 由条件知事件M包含：(正、反)、(反、正)．事件N包含：(正、正)、(正、反)、(反、正)． 故P(M)＝1 2 ，P(N)＝ 3 4 . 2．(2012·)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( ) A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有二个红球 解析：选D A中的两个事件不互斥，B中两事件互斥且对立，C中的两个事件不互斥，D
北师大版高中数学必修三第二课时随机事件的频率与概率教案(精品教学设计)
第二课时随机事件的频率与概率 一、教学目标：1．理解随机事件在大量重复试验的情况下，它的发生呈现的规律性；2．掌握概率的统计定义及概率的性质． 二、教学重点：随机事件的概念及其概率．教学难点：随机事件的概念及其概率． 三、探究讨论法 四、教学过程 （一）、新课引入 1．观察下列日常生活中的事件发生与否，各有什么特点？（1）金属丝通电时，发热；（2）抛一块石头，下落；（3）在常温下，焊锡熔化；（4）在标准大气压下且温度低于00C时，冰融化；（5）掷一枚硬币，出现正面；（6）某人射击一次，中靶． 分析结果： （1）（2）是必然要发生的，（3）（4）不可能发生，（5）（6）可能发生也可能不发生 2．（1）“如果a＞b，那么a－b＞0”; （2）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”； （3）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；
（4）“没有水份，种子能发芽”； 分析结果：（略） 3．男女出生率 一般人或许认为：生男生女的可能性是相等的，因而推测出男婴和女婴的出生数的比因当是1：1，可事实并非如此．公元1814年，法国数学家拉普拉斯（Laplace 1794---1827）在他的新作《概率的哲学探讨》一书中，记载了一下有趣的统计．他根据伦敦，彼得堡，柏林和全法国的统计资料，得出了几乎完全一致的男婴和女婴出生数的比值是22：21，即在全体出生婴儿中，男婴占51．2%，女婴占48．8%．可奇怪的是，当他统计1745---1784整整四十年间巴黎男婴出生率时，却得到了另一个比是25:24，男婴占51．02%，与前者相差0．14%．对于这千分之一点四的微小差异！拉普拉斯对此感到困惑不解，他深信自然规律，他觉得这千分之一点四的后面，一定有深刻的因素．于是，他深入进行调查研究，终于发现：当时巴黎人”重男轻女”，又抛弃女婴的陋俗，以至于歪曲了出生率的真相，经过修正，巴黎的男女婴的出生比率依然是22：21． 4．π中数字出现的稳定性（法格逊猜想） 在π的数值式中，各个数码出现的概率应当均为1/10．随着计算机的发展，人们对π的前一百万位小数中各数码出现的频率进行了统计，得到的结果与法格逊猜想非常吻合．
第一章 随机事件及其概率课后习题参考答案
第一章 随机事件及其概率 1. 1) {}01001,,,.n n n n Ω=L 2) {}{}10,11,12,13,,10.n n Z n Ω==∈≥L 3) 以"'',''"+-分别表示正品和次品，并以""-+--表示检查的四个产品依次为次品，正品，次品，次品。写下检查四个产品所有可能的结果S ，根据条件可得样本空间Ω。 , ,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,. , ,,,S ++--++-++++-+++++---+--++-+-+-++?? =? ?-+---+-+-++--+++-------+--+---++??++--++-++++-+++++--+-+-+-++?? Ω=? ?-+---+-+-++--+++--?? 4) {}22(,)1.x y x y Ω=+< 2. 1) ()A B C ABC --=， 2) ()AB C ABC -=， 3) A B C A B C ++=U U ， 4) ABC ， 5) ()A B C ABC Ω-++=， 6) ()AB BC AC AB BC AC Ω-++=++， 7) ()ABC A B C Ω-=U U ， 8) AB AC BC ++. 3. 解：由两个事件和的概率公式()()()()P A B P A P B P AB +=+-，知道 ()()()() 1.3(),P AB P A P B P A B P A B =+-+=-+ 又因为()(),P AB P A ≤ 所以 （1）当()()0.7P A B P B +==时，()P AB 取到最大值0.6。 （2）当()1P A B +=时，()P AB 取到最小值0.3。 4. 解：依题意所求为()P A B C ++，所以 ()()()()()()()() 1111 000(0()()0)44485.8 P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC P ABC P BC ++=++---+=++---+≤≤==Q 5. 解：依题意， ()()() () ()()()() ()()()() ()()0.70.5 0.25. ()()()0.70.60.5 P B A B P BA P B A B P A B P A B P BA BA BA A P A P B P AB P A P BA P A P B P AB ++= = ++=+=+---= ==+-+-Q 6. 解：由条件概率公式得到111()1()()(),(),34 12()2 P AB P AB P A P B A P B P A B ==?=== 所以1 111 ()()()().4 6123 P A B P A P B P AB +=+-=+-= 7. 解：
随机事件的频率与概率
随机事件的频率与概率 1.随机事件的频率 随机事件的频数与频率：在相同的条件下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例n n A f A n )(为事件A 出现的频率． 2.随机事件的概率 一般来说，随机事件A 在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会逐渐稳定在区间[0，1]中的某个常数上，这个常数可以用来度量事件A 发生的可能性的大小，称为事件A 的概率，记作P(A)． 3.频率与概率的区别和联系 (1) 频率本身是随机的，在试验前不能确定．做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同． (2) 概率是一个确定的数，与每次试验无关．是用来度量事件发生可能性大小的量． (3) 频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． 例1.某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示： (1)计算表中击中10环的各个频率； (2)这名运动员射击一次，击中10环的概率是多少？ 分析：(1)分清m ，n 的值，用公式n m 计算； (2)观察各频率是否与某一常数接近，且在它附近摆动． 解：(1)
(2)从上表可以看出，这名运动员击中10环的频率在0.9附近波动，且射击次数越多，频率越接近0.9，故可以估计，这名运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9． 点评：在相同条件下，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们就可以用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性的大小，而将频率作为其近似值．从中要进一步体会频率与概率的定义及它们的区别与联系．如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，当试验的次数n 很大时，我们可以将事件A 发生的频率 n m 作为事件A 发生的概率的近似值，即P(A)≈n m ． 例2.为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下方法： 先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数． 分析：用样本估计总体． 解：设水库中鱼的尾数为n,n 是未知的，现在要估计n 的值，将n 的估计值 记作n ?． 假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从库中任捕一尾鱼，设事件A 为“带有记号的鱼”，易知P(A)＝n 2000． 第二次从水库中捕出500尾鱼，其中带有记号的鱼有40尾，即事件A 发生的频数n A =40，由概率的统计定义知50040)(≈ A P ． 所以500 402000≈n ．
随机事件与概率 考研试题
第一章 随机事件与概率 一、填空题 1．（1990年数学一）设随机事件A ，B 及其和事件A B 的概率分别是0.4，0.3和0.6若B 表示B 的对立事件，那么积事件AB 的概率P AB （） =_________． 【解题分析】要求P AB （）时,一般应想到AB A B A AB =-=-，这是事件的差与事件的积之间常见的转化关系，AB A ?而,所以有, () ()()P AB P A P AB =-,这时只需要求出 ()P AB 即可. 解: ()()()()P A B P A P B P AB =+- ， 又 () ()()P AB P AB P A +=， 所以 () ()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= . 本题用文氏图考虑求解思路更为直观,见图10-1. 图10-1 注:本题()0.4P A =是多余的. 2．（1991年数学四）设A ，B 为随机事件，()0.7,P A =()0.3P A B -=,则 () P AB =________． 【解题分析】 要求() P AB ,由于AB AB 与是对立事件,只要求出()P AB 即可.利用关系A B A AB -=-，()()()P A B P A P AB -=-，可得()P AB . 解:由题设()()() 0.7,0.3P A P A B P AB =-==， 利用公式 AB AB A +=，知 ()()()0.70.30.4P AB P A P AB =-=-=, 故 () ()110.40.6P AB P AB =-=-=． 本题也可利用图10-1考虑求解思路. 3．（2000年数学一）设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1 9 ，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =________．
概率论与数理统计教程习题(第一章随机事件与概率)
习题1（随机事件及其运算） 一．填空题 1. 设A ，B ，C 是三个随机事件，用字母表示下列事件： 事件A 发生，事件B ，C 不都发生为 ； 事件A ，B ，C 都不发生为 ； 事件A ，B ，C 至少一个发生为 ； 事件A ，B ，C 至多一个发生为 . 2. 某人射击三次，用A i 表示“第i 次射击中靶”(i =1,2,3).下列事件的含义是： 1A 表示 ； 321A A A 表示 ； 321321321A A A A A A A A A ++表示 ； 321A A A 表示 . 3. 在某学院的学生中任选一人，用A 表示“选到的是男生”，用B 表示“选到的是二年级的学生”，用C 表示“选到的是运动员”。则式子ABC=C 成立的条件是 . 二．选择题 1. 在事件A ,B ,C 中，B 与C 互不相容，则下列式子中正确的是（ ）. ① A BC A = ； ② A BC A = ； ③ Φ=BC A ； ④ Ω=BC A . 2. 用A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则A 表示（ ）. ① “甲产品滞销，乙产品畅销”； ② “甲、乙产品都畅销”； ③ “甲产品滞销或乙产品畅销”； ④ “甲、乙产品都滞销”. 3. 若概率0)(=AB P ，则必有（ ）. ① Φ=AB ； ② 事件A 与B 互斥； ③ 事件A 与B 对立； ④ )()()(B P A P B A P += .
三．解答题 1. 将一枚骰子掷两次，记录点数之和，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为偶数}；=B {点数之和能被3整除}. 2. 将一枚骰子掷两次，观察点数的分布，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为6}；=B {点数之差为2}. 3. 某城市发行日报和晚报两种报纸。有15%的住户订日报，25%的住户订晚报，同时订两种报纸的住户有8%，求下列事件的概率：C ={至少订一种报}；D ={恰订一种报}；E ={不订任何报}. 4. 若已知,2.0)(,0)()(,3.0)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P 求概率)(ABC P ；)(C B A P ；).(C B A P
高中数学随机事件的频率与概率
《随机事件的频率与概率》教案 一、[教学目标] 1、知识与技能：理解随机事件在大量重复试验的情况下，它的发生呈现的规律性；掌握概率的统计定义及概率的性质。 2、过程与方法目标：通过创设问题情境，引发学生思考、探究，在这个过程中体会学习条件概率的必要性，探寻解决问题的方法，培养学生分析问题、解决问题的能力。 3、情感态度价值观：在问题的解决过程中，学会探究、学会学习；体会数学的应用价值，发展学生学数学用数学的意识。 二、[教学重点] 随机事件的概念及其概率． 三、[教学难点] 随机事件的概念及其概率． 四、[教学方法] 探究讨论法。 五、[教学过程] （一）新课引入 1．观察下列日常生活中的事件发生与否，各有什么特点？（1）金属丝通电时，发热；（2）抛一块石头，下落；（3）在常温下，焊锡熔化；（4）在标准大气压下且温度低于00C时，冰融化；（5）掷一枚硬币，出现正面；（6）某人射击一次，中靶． 分析结果： （1）（2）是必然要发生的，（3）（4）不可能发生，（5）（6）可能发生也可能不发生 2．（1）“如果a＞b，那么a－b＞0”; （2）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；（3）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”； （4）“没有水份，种子能发芽”；
分析结果：（略） （二）探究新课 1．事件的定义： 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件． 说明：三种事件都是在“一定条件下”发生的，当条件改变时，事件的性质也可以发生变化． 2．随机事件的概率： （1）实验:随机事件在一次试验中是否发生是不确定，但在大量重复的试验情况下，它的发生呈现出一定的规律性． 实验一：抛掷硬币试验结果表： m n） 抛掷次数（n）正面朝上次数（m）频率（/ 2048 1061 0．5181 4040 2048 0．5069 12000 6019 0．5016 24000 12012 0．5005 30000 14984 0．4996 72088 36124 0．5011 当抛掷次数很多时，出现正面的频率值是稳定的，接近于常数0.5，并在它附近摆动． 实验二：某批乒乓球产品质量检查结果表： 抽取球数n50 100 200 500 1000 2000 优等品数m45 92 194 470 954 1902 m n0．9 0．92 0．97 0．94 0．954 0．951 频率/ 当抽查的球数很多时，抽到优等品的频率接近于常数0.95，并在它附近摆动
随机事件的概率教案(绝对经典)
§12.1 随机事件的概率 会这样考 1.考查随机事件的概率，以选择或填空题形式出现；2.考查互斥事件、对立事件的概率；3.和统计知识相结合，考查概率与统计的综合应用． 1．随机事件和确定事件 (1)在条件S 下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S 的必然事件． (2)在条件S 下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S 的不可能事件． (3)必然事件与不可能事件统称为确定事件． (4)在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S 的随机事件． (5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A ，B ，C …表示． 2．频率与概率 (1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n A n 为事件A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率，简称为A 的概率． 3． 4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．
②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )． ③事件A 的对立事件一般记为A , 则P (A )＝1－P (A ) [难点正本 疑点清源] 1．频率和概率 (1)频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次 数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率． (2)概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小；概率的定义实际上也是求一个事件的概率的基本方法． 2．互斥事件与对立事件 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件． 1．给出下列三个命题，其中正确命题有________个． ①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验， 结果3次出现正面，因此正面出现的概率是3 7 ；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． 答案 0解析 ①错，不一定是10件次品；②错，3 7 是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两 个不同的概念． 2．在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率为m n ，当n 很大时，P (A )与m n 的关系是( ) A ．P (A )≈m n B ．P (A )
概率论第一章随机事件及其概率答案2
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A AB - （B ）()A B B ?- （C ）AB （D ）AB 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C ] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D ] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A ] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<
随机事件及其概率(知识点总结)
随机事件及其概率 一、随机事件 1、必然事件 在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件. 2、不可能事件 在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不可能事件. 3、随机事件 在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母A，B，C来表示随机事件. 4、确定事件 必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件. 5、试验 为了探索随机现象发生的规律，就要对随机现象进行观察或模拟，这种观察或模拟的过程就叫作试验. 【注】（1）在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先并不能判断将出现哪种结果，这种现象就叫作随机现象. 应当注意的是，随机现象绝不是杂乱无章的现象，这里的“随机”有两方面意思：①这种现象的结果不确定，发生之前不能预言；②这种现象的结果带有偶然性. 虽然随机现象的结果不确定，带有某种偶然性，但是这种现象的各种可能结果在数量上具有一定的稳定性和规律性，我们称这种规律性为统计规律性. 统计和概率就是从量的侧面去研究和揭示
随机现象的这种规律性，从而实现随机性和确定性之间矛盾的统一. （2）必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是在一定条件下的随机现象. （3）随机试验满足的条件：可以在相同条件下重复进行；所有结果都是明确可知的，但不止一个；每一次试验的结果是可能结果中的一个，但不确定是哪一个. 随机事件也可以简称为事件，但有时为了叙述的简洁性，也可能包含不可能事件和必然事件. 二、基本事件空间 1、基本事件 在试验中不能再分的最简单的随机事件，而其他事件都可以用它们进行描述，这样的事件称为基本事件. 2、基本事件空间 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写字母Ω来表示，Ω中的每一个元素都是一个基本事件，并且Ω中包含了所有的基本事件. 【注】基本事件是试验中所有可能发生的结果的最小单位，它不能再分，其他的事件都可以用这些基本事件来表示；在写一个试验的基本事件空间时，应注意每个基本事件是否与顺序有关系；基本事件空间包含了所有的基本事件，在写时应注意不重复、不遗漏. 三、频率与概率 1、频数与频率 在相同条件S下进行了n次试验，观察某一事件A是否出现，则称在n次试验中
《随机事件的概率》教学设计
《随机事件的概率》 教学目标： 1、知识与技能 （1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解频率的意义及频率与概率的区别； （2）在正确理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性的基础上，能辨析生活中的随机现象，澄清生活中对概率的一些错误认识，并通过做大量重复试验，用频率对某些随机事件的概率进行估计。 2、过程与方法 通过对现实生活中“掷硬币”“游戏公平性”“彩票中奖”等问题的探究，体会随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，理解概率的统计定义在实际生活中的作用，初步掌握利用数学知识思考和解决实际问题的方法。 3、情感、态度与价值观 通过本节的教学，引导学生用随机的观点认识世界，使学生了解偶然性与必然性的辩证统一，培养辩证唯物主义思想。 教学重点：通过实验活动丰富对频率与概率关系的认识，知道当试验次数较大时，频率稳定于理论概率。 教学难点：收集数据、分析折线图、辩证的理解频率与概率的关系。 教学方法：本节课采用交流合作法，辅之以其它教学法，在探索新知的过程中，通过抛硬币活动来组织学生进行有效的学习，调动学生的积极性，在实验的过程中实现对数据的收集、整理、观察、分析、讨论，最后通过合作交流等方式，归纳出当试验次数大很大时，事件发生的频率稳定一个常数附近。 教学手段：采用多媒体辅助教学,促进学生自主学习，丰富完善学生的认知过程，使有限的时间成为无限的空间。事先教师准备图表、电脑、硬币等。 教学流程： 一、情境导入 “兴趣是最好的老师”.教师首先让学生观看“马航祈福”的一段视频，问学生你能预先知道“飞机失事”一定会发生吗？黑匣子一定能找到吗？ [设计意图]：这样从实际问题抽象出数学问题，充分体现了数学来源于生活，又服务于生活的数学应用意识，既能激发学生的好奇心和求知欲，也能增强爱国主义情感，为顺利实施本节课的教学目标打下了良好的基础. 接着教师提出 生活实例1：抛一枚硬币，在落地前，你能确定那个面朝上吗？ 生活实例2：班级组织篮球赛，甲同学找到合适机会，很漂亮地投出一个三分球，那么
人教A版高中数学必修三随机事件的概率教案
3.1.1随机事件的概率 (第一课时) 一、教学目标： 1、知识与技能：（1）了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；（2）正确理解事件A 出现的频率的意义；（3）正确理解概率的概念和意义，明确事件A 发生的频率f n （A ）与事件A 发生的概率P （A ）的区别与联系； 2、过程与方法：发现法教学，通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高； 3、情感态度与价值观：（1）通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；（2）培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识． 二、重点与难点：（1）教学重点：事件的分类；概率的定义以及和频率的区别与联系；（2） 教学难点：用概率的知识解释现实生活中的具体问题． 三、学法与教学用具：1、引导学生对身边的事件加以注意、分析，结果可定性地分为三 类事件：必然事件，不可能事件，随机事件；指导学生做简单易行的实验，让学生无意识地发现随机事件的某一结果发生的规律性；2、教学用具：硬币数枚，计算机及多媒体教学． 四、教学设想： 1、创设情境：日常生活中，有些问题是很难给予准确无误的回答的。例如，你明天什么时间起床？7：20在某公共汽车站候车的人有多少？你购买本期福利彩票是否能中奖？等等。 2、基本概念： （1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件； （4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件； （5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A)= n n A 为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。 （6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数n A 与试验总次数n 的比值 n n A ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 3、例题分析： 例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ （1）“抛一石块，下落”. （2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”； （3）“某人射击一次，中靶”； （4）“如果a ＞b ,那么a －b ＞0”; （5）“掷一枚硬币，出现正面”； （6）“导体通电后，发热”； （7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；
随机事件及其概率习题
第一章 随机事件及其概率 习题一 一、填空题 1．设样本空间}20|{≤≤=Ωx x ，事件}2 3 41|{ },121|{<≤=≤<=x x B x x A ，则B A Y 1 3{|0}{| 2}42x x x x =≤<≤≤U , B A 113{|}{|1}422 x x x x =≤≤<频率与概率的关系
频率与概率的关系 在我们的日常生活中存在着大量随机事件，我们已经学习了用列表法和树形图法求某些随机事件发生的概率，但是当试验的所有可能结果不是有限个，或者各种可能结果发生的可能性不相等时，如何确定某些随机事件发生概率的大小呢?25.3节我们主要学习通过试验体会“某一随机事件发生的频率无限的接近于理论概率”这一重要规律，以及运用随机事件出现的频率估计随机事件发生的概率大小的重要方法. 一、关于在试验中感悟“频率稳定于概率”这一规律 通过大量的课内和课外的反复试验，我们发现尽管随机事件在每次试验中发生与否具有不确定性，但只要保持试验不变，当试验次数很大时，那么这一事件出现的频率就会随着试验次数的增大而趋于稳定，这个稳定值就可以作为该事件在每次试验中发生的可能性(即概率)的一个估计值．例如从一副52张(没有大小王)的牌中每次抽出一张，然后放回洗匀再抽，在这个试验中，我们可以发现，虽然每次抽取的结果是随机的、无法预测的，是一个随机事件，但是随着试验次数的增加，出现每一种花色牌的频率都稳定在25％左右，因此我们可以用平稳时的频率估计牌在每次抽出时的可能性，即概率的大小. 二、关于用频率估计概率的大小 在随机事件中。虽然每次试验的结果都是随机的、无法预测的，但是不确定事件的发生并非完全没有规律.随着试验次数的增加，隐含的规律会逐渐显现，事件出现的频率会逐渐稳定到某一个值.大量试验表明：当试验次数足够多时，事件A 发生的频率会稳定到它发生的概率的大小附近，所以，我们常用频率估计事件发生的概率．用频率估计事件发生的概率时，需要说明以下几点： (1)频率和概率是两个不同的概念，二者既有区别又有联系.事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近. (2)通过试验用频率估计概率的大小，方法多种多样，但无论选择哪种方法，都必须保证试验应在相同的条件下进行，否则结果会受到影响.在相同条件下，试验的次数越多，就越有可能得到较准确的估计值，但每个人所得的值并不一定相同. (3)频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.如随机抛掷一枚硬币时，理论上“落地后国徽面朝上”发生的概率为21，可抛掷1000次硬币，并不能保证落地后恰好500次围徽面朝上，但经大量的重复试验发现，“落地后国徽面朝上”发生的频率就在2 1附近波动．
排列组合 随机事件的概率—复习归纳(教师)
1．对同一事件来说，若事件A 是必然事件，事件B 是不可能事件，则事件A 与事件B 的关系是 ( ) A ．互斥不对立 B ．对立不互斥 C ．互斥且对立 D ．不互斥、不对立 解析：必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A 与事件B 的关系是互斥且对立． 答案：C 2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为 ( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7 D ．0.8 解析：因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3. 答案：B 3．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为 ( ) A.15 B.25 C.35 D.45 解析：记录取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ，则A 、B 、C 、D 、E 是彼此互斥的，取到理科书的概率为事件B 、D 、E 的概率的并．P (B ∪D ∪E )＝P (B )＋P (D )＋P (E )＝15＋15＋15＝3 5 . 答案： C 4．某产品分甲、乙、丙三级，其中甲属正品，乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对产品抽查，抽得正品的概率为________． 解析：抽得正品的概率为P ＝1－0.03－0.01＝0.96. 答案：0.96 5．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙两人下成和棋的概率为________． 解析：∵甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，∴甲、乙两人下成和棋的概率为P ＝
(第一章)随机事件与概率习题
第一章 随机事件与概率 亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策。 ──祖冲之 内容提要 1. 事件间的关系与运算（四种关系：包含关系、互不相容、对立和相互独立；三种运算：和、积与差；若干运算规律：交换律、结合律、分配律和对偶律：1111,n n n n i i i i i i i i A A A A ===== = ） 2. 确定概率的三种方法：频率方法（(()(),n k A P A f A n n ≈=出现的次数)充分大(试验的总次数) ）；古典方法（用于求古典概型的随机试验中各种结果出现的概率：()k A P A n =（中的样本点数）（样本点总数））； 几何方法（用于求几何概型的随机试验中各种结果出现的概率：()A S A P A S Ω=Ω（的度量）（的度量） ）； 3. 概率的公理化定义及其简单性质 （1） 公理化定义：概率是定义在事件域Φ 上的非负、规范、可列可加的实值函数： ()()()()()o o 1:P A 021 o 3,,() 1212P P A A P A P A A A i j i j ≥Ω==++=?≠ 非负性规范性：可列可加性： （2） 性质： 11 1111. ()0,2.:,,()3.()()()()() 4.()1(), 5. 6.()()()()()(n n n i i i i n n i i i j i i i P A A P A P A A B P B A P B P A P A P B P A P A P A B P A P AB P A B P A P B P AB P A P A P A A ===≤=?=??= ?????-=-≤=--=-=+-??=- ???∑∑ o o o o o o 1有限可加性若互不相容，则单调性：且（）（）（），加法公式:，一般地 111)()(1)n n i j k i j n i j k n i P A A A P A -<≤≤<<≤=??+++- ??? ∑∑ 4. 条件概率及三大公式（乘法公式，全概率公式，Bayes 公式） （1） 条件概率的定义 直观上的定义：已知A 出现的条件下B 发生的概率称为在A 发生的条件下B 的条件概率，记
随机事件的频率与概率专题
1．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表： A ．0.35 B ．0.45 C ．0.55 D ．0.65 2．(优质试题·山西四校联考)从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个，则取出的两个数之和为偶数的概率是( ) A.16 B.13 C.12 D.15 3．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件．那么( ) A ．甲是乙的充分不必要条件 B ．甲是乙的必要不充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 4．掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数为a ，设事件A ＝“a 为3”，B ＝“a 为4”，C ＝“a 为奇数”，则下列结论正确的是( ) A ．A 与B 为互斥事件 B ．A 与B 为对立事件 C ．A 与C 为对立事件 D ．A 与C 为互斥事件 5．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”中的( )
A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 6．(优质试题·沈阳四校联考)任取一个三位正整数N ，则对数log 2N 是一个正整数的概率是( ) A.1225 B.3899 C.1300 D.1450 7．掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N ：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是( ) A ．P (M )＝13，P (N )＝1 2 B ．P (M )＝12，P (N )＝1 2 C ．P (M )＝12，P (N )＝1 4 D ．P (M )＝12，P (N )＝3 4 8．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为( ) A.1 5 B.2 5 C.1 6 D.18 二、填空题 9．在一场比赛中，某篮球队的11名队员共有9名队员上场比赛，其得分的茎叶图如图所示．从上述得分超过10分的队员中任取2名，则这2名队员的得分之和超过35分的概率为________． 10．从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个数记为x ，则log 2x 为整数的概率为________． 11．将一枚骰子(一种六个面上分别标有1,2,3,4,5,6的正方体玩具)先后抛掷2次，向上的点数分别记为m ，n ，则点P (m ，n )落在区域|x －2|＋|y －2|≤2内的概率是________． 12．设m ，n 分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－1)，则向量a ，b 的夹角为锐角的概率是________.