第一章 随机事件与概率(中山大学)

第一章 随机事件与概率

1．从0,1,2,,9十个数字中，先后随机取出两数，写出下列取法中的样本空间：

(1)放回时的样本空间1Ω

(2)不放回时的样本空间2Ω 解：

(1)

100 01 02 0910 11 12 1990 91 92 99??????Ω=????????，(2)2

01 02 03 0910 12 13 1990 91 92 98??????Ω=???????? 2.一个袋内装有４个白球和５个红球，每次从袋内取出一球，直至首次取到红球为止。写出下列两种取法的样本空间： (1)不放回时的样本空间1Ω

(2)放回时的样本空间2Ω

解：(1)Ω１＝{红，白红，白白红，白白白红，白白白白红｝

(2)Ωn 个

２＝｛红，白红，，白白白红｝

5.设样本空间{0,1,2,,9},A Ω=事件＝{2,3,4},B={3,4,5},C={4,5,6}，求： (1)A B

(2) ()A

B

C 解：(1) {2,3,4,5}A B A

B A

B ===

(2)

()(){4,5}

{0,1,5,6,7,8,9}{4,5}

{0,1,4,5,6,7,8,9}A

B

C A BC A ====

11.小何买了高等数学、高等代数、解析几何、和大学英语四本书放到书架上，问各册自左向右或自右向左排列恰好是上述次序概率。

解：

214!12P ==

15.在整数0-9中，任取4个，能排成一个四位偶数的概率。

解：4105040n A ==，3112

94882296k A C C A =+=

22960.465040k p n ∴=

==

14. 设n 个人排成一行，甲与乙是其中的两个人，求这n 个人的任意排列中，甲与乙之间恰有r 个人的概率。如果n 个人围成一圈，试证明甲与乙之间恰有r

个人的概率与r 无关，都是1

1n -（在圆排列中，仅考虑从甲到乙的顺时针方向）。

解：(1)基本事件数为!n ，设甲排在第i 位，则乙排在第i+r+1位，

1,2,,1i n r =--，共1n r --中取法，其余n-2个位置是n-2个人的全排列，有（n-2）!种，甲乙位

置可调换，有12C 种，故有利事件数由乘法原理有

12C （n-r-1）(n-2)!，由古典概型的计算公式，得

1

22(1)(1)C n r P n n --==

-（n-r-1）(n-2)!n! 甲乙相邻的概率为：

12(1)!2!C n P n n -==

另解１：先固定甲，有n 种，再放置乙，有n-1,基本事件数有(1)n n -,有利事件

数为2(n-r-1).故有

2(1)(1)n r P n n --=

-

另解2:先在甲乙之间选出r 个人，然后将甲乙与这r 个人看成一个整体与剩下的n-r-2个人作全排列.

212212(1)!(1)r n r n n r A A A n r P n n n -------==

-

(2)环排列：甲乙按顺时针方向排列，中间相隔r 个人的基本事件数是 n 个位置取

2个人的排列，共有2n A 种，而甲的位置选取有n 种选法，故由古典概型的计算有

21

1n n P A n =

=-

甲乙相邻的情形：设甲乙合一个位置，甲乙可互换，则甲乙相邻有2(2)!n -种排

列，故

2(2)!2(1)!1n P n n -==

--. 另解：一圈有n 个位置，甲占一个后，乙还有n-1个，与甲相邻的共2个,故21P n =

-(只考虑乙)

16.口袋内有2个伍分,3个贰分,5个壹分的硬币,任取其中5个,求总值超过一角的概率.

解: 基本事件数为

5

10252n C ==,有利事件数为 1) 2个伍分,其他任意,有23

2856C C =

2) 1个伍分,2个贰分:12223560C C C =

3) 1个伍分,3个贰分: 13123510C C C =

故56601012522k P n ++===

17:箱中有α个白球和β个黑球,从其中任意地接连取出k+1(1k αβ+≤+)球,如果每次取出后不放回,试求最后取出的是白球的概率. 解:令{1()}A k =+第次最后取出的是白球,则

+1+1+(+1)!

(+1)!

(A)=

(+)!A +(+1)!k A k P k ααβαβ

αβα

ααβαβαβαβ----==

--1k C

另解:只考虑第k+1次取球的情况,显然每个球都可能排列在第k+1个位置,基本事件数为αβ+,有利于A 的基本事件数为α,故

()P A ααβ=

+

18.一架电梯开始有6位乘客并等可能地停于10层楼的每一层，求下列事件的概

率：

(1)某一层有两位乘客离开。

(2)没有两位及两位以上乘客在同一层离开。 (3)恰有两位乘客在同一层离开。 (4)至少有两位乘客在同一层离开。 解：

(1) 某有2位乘客离开，6个乘客选2名有26C 种选法，其余4人在其余9层下有49

种，故共有：

24

66910C p =

(2) 没有2人或2人以上的乘客在同一层离开，即只有一个人在某层离开，从而

610

6

10A P = (3) 恰好有2位乘客在同一层离开

基本事件数为6

10n =.考虑有利事件数，“有2位乘客在同一层”种数为12

106C C ，其余4人有以下几种情况

a) 其余9层，4个人单独在某层下，有49A 种。

b) 4人一起在其余9层中的某层下，有19C 种。

c) 9层中的某层下3人，其余8层下1人，共有131

948C C C

所以1241131

106999486[]10C C A C C C C P ++=

(4) 为(2)的逆事件，从而

610

6

110A P =- 19．一列火车共有n 节车厢，有k n ≥个旅客上火车并随意地选择车厢，求每一节车厢内至少有一个旅客的概率。

解：设{}A =每一节车厢至少有一个旅客，则{}A =存在空车厢

{}i A i =存在节空车厢，1,2,

,i n =，则

1

=1

=

n i

I A A -,以下计算()i P A

指定的i 节车厢空的概率为

1k

i n （－）

,(因为每个人进入其他n-i 节车厢的概率为1n i i n n -=-),所以()(1)(1,2,,1)

i

k i n i P A C i n n =-=-,利用多除少补原理，有

121

121()(1)(1)(1)(1),()1()k k n n k

n n n n P A C C C P A P A n n

n --=---+

+--

=-

注：错解：

k k n

n k A n P n -=

（有重复情形） 20.某人从鱼池中捕得1200条鱼，做了记号后放回该鱼池中，经过一段时间后，再从池中捕1000条鱼，数得有记号的有100条。试估计鱼池中共有多少条鱼？ 解：设鱼池中共有n 条鱼，则，由古典概率的定义有：

1200100

120001000k p n n n =

==?=

21．将线段(0,a)任意折成三段，试求此三段能够成三角形的概率 解：设0x y a <<<,如图

能够三角形，必须有y a y >-,即

12y >

.如图

0 x y a X

22．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内达到的时刻是等可能的，如果甲般的停泊时间是1小时，乙船停泊的时间是2小时，求它们中的任何一艘都不需等待码头空出的概率。

解： 设x,y 分别表示甲乙船到达码头的时刻，024x y <<≤不需等待码头空出，若甲先到，则1y x ->，若乙先到，则2x y ->，如图

2221

(2322)20.87934

24P +==

23. 在一个半径为1的圆周上，男乙两人各自独立地从圆周上随机地各取一点，

将两点连成一条弦L,求圆心到弦L 的距离不大于1

2这一事件A 的概率。

解：由运动的相对性，不妨将甲固定，则基本事件为“（乙可取的点）整个圆周”，

有利于A 的事件对应为：（乙可取点）甲的左边13圆周和甲的右边13圆周,故

2 244444

23

2223p ππ=

=.

24.解：三角形a,b,c 任一边与平行线相交的概率分别为

222,,a b c

d d d πππ, 而“三角形与平行线相交”等价于“任意两个边与平行线相交”。故

1222()2a b c a b c

p d d d d ππππ++=++=

28.一个袋内有n-1个黑球和一个白球，每次从袋中随机取出一球并换入一个黑球，这样继续下去，求第k 次取到黑球的概率。

解：记{}{}A k A k ==第次摸到黑球，则第次摸到白球，因为袋中只有一只白球，故了在第k 次摸到白球，则前面的k-1次不能摸到白球，只能摸到黑球，故

11111(1)k k k N P A N N N --?=-?()＝，111()1(1)k P A N N -=--?

.

34．袋中有编号为1,2,…,n 的n 个球，从中有放回地随机选取m 个，求取出的m 个球的最大号码为k 有概率。并计算n=6,m=3,时，k=1和k=3的值。

解：基本事件的可能数为m

n ,记k A ＝｛取到这最大号码为k ｝,k B ={取到的最大号

码不超过k 这一事件}，则有1,k k k A B B -=-又1,k k B B -?()m

k m

k p B n =,故有 1(1)()()(),1,2,,m m

k k k m

k k P A P B P B k n

n ---=-==

(1)0.00463p =,(2)0.421296p =

36.n 个人参加同学聚会，每个人都带了一件礼物，并附上祝福词和签上自己的名字，聚会时每人从放在一起的礼物中随机取出一件礼品，至少有一人取到自己礼物的概率，并计算出当n=2和n=1000时的概率。 解：先求事件A={没有人取到自己的礼物}的概率。令

{}1,2,

,i A i i n ==第个人取到自己的礼物，，由P46例1.4.4（配对问题）的结论，

有

01(1)()1()!k

n

n

i k i P A P A k ==-=-=∑

，1

(1)11

1

()1()11(1)!2!3!!k n

n k P A P A k n -=-=-=-=-++

+-∑

,(2)0.05,(1000)0.73p p ==

42 已知()0.3,(|)0.4,()0.5,P A P B A P A B ===求 P(B ｜A B ）。 43．试证：如果(|)(),(|)()P A B P A P B A P B >>则 证：

()

(|)()()()()()

()()()

(|)()

()()P AB P A B P A P AB P A P B P B P AB P A P B P B A P B P A P A =

>?>∴=>= 44.一批产品共100件，对其进行抽象检查，整批产品看作不合格的规定如下：在被检查的5件产品中只要有一件是废品。如果在该批产品中有5%是不合格品，试问该批产品被认为不合格的概率是多少？

解：共100件产品，其中的5件废品，95件合格品。

5

95

5100

10.23

C P C =-=

45.全部产品中4%是废品，而合格品中的75%为一级品，求任选一个产品为一级品的概率。

解：记A={任选一个产品为合格品}B ＝｛任选一个产品为一级品｝，则

()()()(|)(10.04)*0.750.72P B P AB P A P B A ===-=

46.证明：当(),()P A a P B b ==时，1

a b P b +-≥

（A ｜B ）

证：

47.进行摩托车竞赛，在地段甲乙间布设了三个故障，在第一故障前停车的概率为0.1,从乙地到丙地竞赛者不停车的概率为0.7，求在地段甲丙间竞赛者不停车的概率。

解：3

(10.1)*0.70.5103P =-=

49.解：A 个球中有a 个红球，每次抽取一个球后不放回，考虑最终取到红球的概率。令{}1,2,

, 1.i A i i A a ==-+直到第次抽到红球，

1()a P A A =

，2312

(),(),112A a a A a a a P A P A A A A A A ----=?=??---

412(),123

A a A a A a a

P A A A A A -----=

???--

-

112(2)()12(2)(1)

1221221

1221()1221A a A a A a A a A a A a A a a P A A A A A A a A A a A a A a A a a A A A a a A a A a A a a

P A A A A a a a --+---

------=

-------------=

--++-----=

--++ ()(1)

()11(1)(2)()(1)211(1)(2)(2)(1)i i

a a A a a A a A a P A A A A A A A A a A a A A A a a a

----=?

+++------?+=--++∑，?

()(1)

()32111(1)(2)

(1)(1)A a A a A a A a A

A A A A a a a -----??+

++=

----+

50.解：设10{}A =从第一批中抽到废品，A ＝｛从第一批中抽到正品｝，

B ＝｛从第二批产品中抽出废品｝

则

101011121

12121111P P P P （A ）＝，（A ）＝，（B ｜A ）＝，（B ｜A ）＝

1100)(|))(|)12111130.09848512111211132

P P B A P B A ∴+=

?+?==（B ）＝P(A P(A

51.解：设A 0={第一次比赛取出的是2个旧球}， A 1={第一次比赛取出的是1个新球，2个旧球}， A 2={第一次比赛取出的是2个新球，1个旧球} A 3={第一次比赛取出的是3个新球}， B ＝｛第二次取出3个新球｝，则

33

69

0033

1515213

6981133

1515123697

2233

15153396

3333

1515

()0.043956,(|)()0.296703,(|)()0.474725,(|)()0.184615,(|)C C P A P B A C C C C C P A P B A C C C C C P A P B A C C C C P A P B A C C ============

由全概率公式得

2

()()(|)0.089265

i i i P B P A P B A ==?=∑

53.解：A 1＝{发出点}，B 1＝{接收点}

A 2＝{发出划}，

B 2＝{接收划}

1211125331

(),(),(|),(|)8853P A P A P B A P B A ====

,以下求1122(|),(|)P A B P A B

1111111111121253

855331

85

83

()()(|)

(|)()()(|)()(|)

34P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A =

=+?==?+?

221212*********

2

855322

85

83

()()(|)

(|)()()(|)()(|)

12P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A =

=

+?==?+?

54.解：记D ＝{取出的是废品}，A ＝{机器A 生产}，B ＝{机器B 生产}，C ＝{机器C 生产}，则

()0.25,(|)0.05,()0.35,(|)0.04,()0.4,(|)0.02P A P D A P B P D B P C P D A ======

由Bayes 公式得

()()(|)

(|)()()(|)()(|)()(|)0.25*0.05

0.3623190.25*0.050.35*0.040.4*0.02P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C =

=++==++ ()()(|)

(|)()()(|)()(|)()(|)0.35*0.04

0.4057970.25*0.050.35*0.040.4*0.02P BD P B P D B P B D P D P A P D A P B P D B P C P D C =

=++==++ ()()(|)

(|)()()(|)()(|)()(|)0.4*0.02

0.2318840.25*0.050.35*0.040.4*0.02P CD P C P C B P C D P D P A P D A P B P D B P C P D C =

=++==++ 56.记A ＝{男}，B ＝{女}，D ＝{色盲}，则

57

()0.537736,()0.462264,(|)0.02,(|)0.0025

5749P A P B P D A P D B =

====+

()(|)

(|)()(|)()(|)0.537736*0.02

0.902970.537736*0.020.462264*0.0025P A P D A P A D P A P D A P B P D B =

+==+ 57.证明：

()()()()

(|)(|)()1()()

()()()()()()()()()(),.

P BA P B A P B P AB P B A P B A P A P A P A P BA P A P BA P A P B P A P AB P AB P A P B A B -=?

==-?-=-?=?相互独立

58 解：设A ＝{甲获胜}，B ＝{乙获胜},(),()P A p P B q ==. A 1＝{第一次比赛甲获胜}，B 1＝{第一次比赛乙获胜} A 2＝{第二次比赛甲获胜}，B 2＝{第二次比赛乙获胜}

(),(),1,2i i P A P B i αβ===，

12121212121212121212121222

2

()()(|)()(|)()(|)()()()()()

2,,

1212A A B A B A A A A A p P A P A B P A A B P B A P A B A P A A P A A A P A B P A P B A P A P A A p p q αβαβααβαβ

=++?

==++=++=+?==--同理

59.(小概率事件)：

()(1)1(0)1(1)1()r r

n r n n P r C p P n ξεεξε-==-?

=-==--→→∞ 60.解：

4444132223344444412

,1,433

()(1)0.6(2)(3)(4)0.30.70.6(0.30.70.30.70.3)

0.59526p q p n P B P P P P ==-==?

=++???+?+?+=＋（）1

=C C C C

61.解：

4

4441

4(1)0.59(0)10.590.41

(1)0.410.2r

r r r C

p p P p p -=-=?=-=-=?=∑即

62:解：

4

4

4

4

044

224433

13222

32

1212244444333333313

440

812121444433333312

,,4

33

(0)()()(1)(),(2)()()(3)()(),(4)()()p q n P C P C P C P C P C =======

====

==

可知，负值误差次数为1时概率取到最大值32

810.395062= 63．解：

(1)由k 1或者k 2发生故障而断电的概率为P(A)

121212

()0.60.

40.40.50.60.5

0.8

A k k k k k k P A =++?=?+?++= (2)123,,A A A 同时发生故障而断电的概率为

123123()()()()0.40.70.90.252P A A A P A P A P A ==??=

(3)

121231

2

12312123121123212312123,,)))))))0.60.50.2520.60.50.60.2520.50.2520.60.50.2520.8504k k A A A k k A A A k k A A A k k k A A A k A A A k k A A A ++---+=++-?-?-?+??=或或同时发生故障而断电的概率为P()

=P(P(P(P(P(P(P(

64解：4，5，6中有两个是备用件，当正在工作的一个失效时，其中一个立即补上去。设

(1,2,3),{4}{5}{6}i P i i P P P p ==｛正常工作｝＝p 正常工作＝正常工作＝正常工作

并联下部系统B 正常工作的概率

3()1(1)(4,5,6)P B p =--不同时出现故障的概率

并联上部系统C 正常正常工作的概率：23()P C P P =

1133123233123(A)P (B C)=P ((B)+(C)-(BC))=P [1-(1-P))+P P -P P (1-(1-P)]=P [1-(1-P P )(1-P)]

P P P P P ∴＝

65解：记{},n p P n A =在次试验中，事件出现偶数次则有

111(1)(1)(12)n n n n P p P p p p p p ---=-+-=+-,其中11,1n p p ≥=-

2132

1(12)(12)(12)n n p p p p p p p p p p p p -=+-=+-=+

-依次乘以23(12),(12),

,(12)n n p p p -----相加得

221(1(12)(12)(12))(12)(1)

1(12)2

n n n n p p p p p p p p --=+-+-++-+--+-=

另解：

0{}

() (1)

()() (2)

(1)+(2)2()1()1(12)22n

n

k k n k

n k n

n

k k n k n k n n p p A p q C p q p q C p q p p q p p -=-==+=-+=-?+-++-∴==

∑∑记事件出现偶数次奇数次的项相加为零