矩阵的逆及其应用

摘要

本文归纳了矩阵可逆的等价条件与可逆矩阵的相关性质，总结了几种可逆矩阵的判定及逆矩阵求解的方法，分类讨论了可逆矩阵在求方阵的幂、解矩阵方程和加密保密通信中的若干应用。

关键字：可逆矩阵；初等变换；分块矩阵；方阵的幂

Abstract

In this paper, the definition of the inverse of the matrix, theorems and properties, classification discussed several ways of solving inverse matrix and the inverse matrix in o power and encryption of the application of secret communication.

The keyword： invertible matrix；elementary transformation；block matrix；

powers of a matrix ；Encrypted secure communications

1 引言 (1)

2 可逆矩阵的定义和性质 (1)

2.1矩阵可逆的定义及等价条件 (1)

2.2可逆矩阵的相关性质 (2)

3 可逆矩阵的判定及逆矩阵的求解 (4)

3.1定义法求矩阵的逆 (4)

3.2用矩阵的秩判定其可逆性 (5)

3.3特征值法判定矩阵的逆 (6)

3.4 伴随矩阵法求矩阵的逆 (6)

3.5初等变换法求矩阵的逆 (7)

3.6可逆分块矩阵的逆矩阵求解 (10)

4 可逆矩阵的若干应用 (13)

4.1求方阵的幂 (13)

4.1.1方阵的幂及其运算律 (13)

4.1.2求方阵的幂 (13)

4.2 解矩阵方程 (15)

4.3构造通信模型 (16)

参考文献 (19)

1 引言

矩阵的研究历史悠久，而矩阵的现代概念是在19世纪才逐渐形成。被公认为矩阵的奠基人是凯利，矩阵被他作为独立的数学对象研究。他在《矩阵论的研究报告中》[1]研究了矩阵的运算、矩阵的逆以及转置和特征多项式.矩阵以简洁地形式表达了物质的关联，因此矩阵的应用十分广泛。

物理应用中主要是在几何光学和电子学的应用，在计算机中的应用主要体现在三维动画制作。而可逆矩阵在矩阵理论研究中占有非常重要的地位，在应用中更是举足轻重。可逆矩阵就像矩阵的左膀右臂，其应用越来越广泛，可逆矩阵解决了数理统计、线性规划、经济学、网络和测绘等许多领域的问题。比如在经济学中证券投资组合中的应用，在实际生活中解决电费分时段计费的应用，在解密保密通信中的应用等。

本文归纳了矩阵可逆的等价条件与可逆矩阵的相关性质，总结了几种可逆矩阵的判定及逆矩阵求解的方法，主要有定义法、伴随矩阵法、特征值法、初等变换法、分块矩阵的公式法等等，对应用数学软件MATLAB 求解可逆矩阵的逆矩阵方面也作了相关的阐述。逆矩阵的应用是本文的写作重点，着重讨论了可逆矩阵在求方阵的幂、解矩阵方程和构造通信模型中的若干应用。

本文也用有趣的实例说明了可逆矩阵在生活中的相关应用，让人再次加深对于矩阵逆的了解，体现可逆矩阵的美。

2 可逆矩阵的定义和性质

2.1矩阵可逆的定义及等价条件

定义2.1.1 设A 是一个n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵A ，使得AB BA I ==,则称A 矩阵是可逆矩阵，称B 是A 的逆矩阵.[2] 若矩阵A 可逆，则1A -的逆矩阵是唯一的，记为1A -.[3]

定义2.1.2 设()

n n

A a ?=,ij A 是A 中元素ij a 的代数余子式，矩阵

11211

222*

N N N N N N NN A A A A A A A adjA A A A ??

? ?

== ? ???

称为矩阵A 的伴随矩阵.[4] 定义2.1.3 设是A 矩阵，我们把A 的行与行之间及列与列之间，适当地加上一些横线及竖线，这样，A 就被分成若干个小块。我们把分成若干个小块的矩阵称为分块矩阵.

如：1112131421

2223243132333441

44a a a a a

a a a A a a a a a a a a ?? ? ?= ?

?? 可以按如下方式划分成4小块：1112

13142122

2324313233344142

44a a a a a a a a a a a a a a a a ?? ? ?

? ???

那么1112112122a a A a a ??

= ???,1314122324a a A a a ??=

???,3132214142a a A a a ??

= ???

342243

44a

a A a a ??= ???.这样，A 可以简写为11

1221

22A A A A A ??

= ???

. 给了一个矩阵，可以根据需要，作出各种不同的分块. 上面的矩阵A 还可以有如下的分块：

11121314212223243132333441424344a a a a a a a a A a a a a a a a a ?? ? ?= ? ? ???或 1112131421222324313233

34414243

44a a a a a a a a A a a a a a a a a ?? ? ?

= ? ? ???

等等. 设A 是一个n 阶矩阵，则下列断言等价：（1）A 可逆.

（2）存在方阵B 使AB I =(或I AB =). （3）0A ≠. （4）()r A n =.

（5）A 经行(列)初等变换可以化为单位矩阵. （6）A 可以表示成初等矩阵的乘积. （7）A 的特征值全不等于0.

（8）齐次线性方程组0AX =只有零解.[5]

2.2可逆矩阵的相关性质

命题2.2.1 设,A B 都是可逆矩阵，k 是非零数，则（1）()()'

1'A A --=.

（2）()1

11AB B A ---=. （3）()1

11kA k A ---=. （4）1*

1A A A

. （5）1

1A A --=. （6）**AA A A A I ==. （7）()()'

*'A

A =.

（8）()()-1

*1=A A -. （9）()*

**=B AB A . （10）1

*n A A

-=.

（11）()*1*n kA k A -=.

（12）()()()()*,;1,1;0, 1.n r A n r A r A n r A n =??

==-??<-?

命题2.2.2 初等矩阵是可逆矩阵，并且其逆矩阵是同类型的初等矩阵：

()()()()()()

()()()()1

1,,,P ,,,P i j P i j i c P i c P i j k P i j k ----===-.

命题2.2.3 （1）可逆分块初等矩阵，有

n m m

O E O

E E O E O -????= ? ?????,

n n P O P O O E O E --????= ? ?????,1

E O E O O

P O

P --????

= ? ?????

m m

n n E P E P O

E O

E --????= ? ?????,1

m n n E O E O P

E P E -????= ? ?-?

???.

(2)用分块初等矩阵左（右）乘A B C D ??

???

(要可乘，可加）相当于对其作相应的分块矩

阵行（列）初等变化：

n m O E A B A B E O C D C D ??????= ??? ???????,n P O A B PA PB O E C D C D ??????

= ??? ???????, m n E P A B A PC B PD O

E C D C D ++??????= ??? ???????,

m n E O A B A B P

E C D C PA D PB ??????

= ??? ?++??????

利用分块初等矩阵的上述结果，可以处理分块矩阵的有关命题.

命题2.2.4 若12,,

,S A A A 都是可逆矩阵，则

1S S A A A A A A ----????

? ?

? ?= ? ?

? ? ?????

, 1

1122

S S A A A A A A ----???? ? ?

? ?= ? ?

? ? ?????

. 3 可逆矩阵的判定及逆矩阵的求解

对于矩阵的逆，通常有两类问题：一是判定矩阵是否可逆.二是可逆时，矩阵逆的求解.两者的关系紧密相连.我们就对几种常用的方法进行介绍.

3.1定义法求矩阵的逆

设A 是一个n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵A ，使得AB BA I ==,则称A 矩阵是可逆矩阵，称B 是A 的逆矩阵.I 是单位矩阵，则矩阵A 的逆矩阵可以被表示成：

1A B -=.[6]

通常定义法一般适用于求抽象矩阵的逆.

例1 已知322,22A E B A A E ==-+,证明B 可逆，并求出1B -.

证：由题设知223222(2)()B A A E A A A A A E A E =-+=-+=+-,运用待定系数法.

由32A E =可得212A A E ??

= ???

()()2122410A E A A E E ??

+-+=?

???

,()()

2A E A A E E -++= 因此，矩阵,2A E A A E +-和均是可逆的，12

A A -=

, ()

()1

2122410

A E A A E -+=

-+，()1

2-A E A A E -=++,因此B 是可逆的，求得()()11112B A E A E A ----=-+()()222

11+A+E 24102

A A A E A =?-+?

()65432132410A A A A A =-+++()

213410

A A E =++. 例2 设满足O I A A =--22的n 阶矩阵A ,证明：（1）A 和A I -都是可逆矩阵，并求1-A 和()1

--A I ；(2)I A +和I A 2-不可能同时都是可逆的.

证（1）由O I A A =--22，得()O I A A =--22,()O I I A A =--2,

()I I A A =-21.因此，A 和A I -都是可逆矩阵，且()I A A -=-211,()A A I 2

11-=--. (2)由O I A A =--22，得()()O I A I A =+-2,

若I A 2-可逆，则()

()()()O O I A I A I A I A =-=+----11

222,

有O I A =+,即I A +为零矩阵，不可逆.

若I A +可逆，则()()()()O I A O I A I A I A =+=++---1

2, 有O I A =-2,即I A 2-为零矩阵，不可逆.

综上所诉，I A +和I A 2-不可能同时都是可逆矩阵.

3.2用矩阵的秩判定其可逆性

利用矩阵的秩是判定矩阵是否可逆的重要的手段；在线性空间中将矩阵转换成线性变换也可以判定其可逆性.

例3 设A 是n m ?实矩阵,证明：若A 的秩()m n A r <=，则A A '可逆.

证：先证齐次线性方程0=AX 与0'=AX A 同解.显然0=AX 的解都是0'=AX A 的解，

任取0'=AX A 的解()'21,,,n b b b =α，记()'

1,,n c c A =α，则

()00''''==?=αααααA A A A A A 所以()0,,11=????? ??n n c c c c ，即02

21=+n

c c ，于是01===n c c ，即α是0=AX 的解，故两方程组同解.

由0=AX 与0'=AX A 同解，则()()n A r A A r =='，故n 阶方阵A A '可逆.

3.3特征值法判定矩阵的逆

若A 的特征值全不为0，则A 是可逆矩阵，否则A 不可逆.

()0=-=A I f A λλ,如果00=?=A λ，则A 不可逆.

特征值法可以快速判定A 是否可逆，但是不能求出A 的逆矩阵.

例 4 设A 为n 阶实对称矩阵，B 为n 阶实矩阵，且'AB BA +的特征值全大于0，其中'B 为B 的转置，证明：A 可逆.

证由()

''''''''

'AB BA BA AB A B B A AB BA +=+=+=+,

知'

AB BA +是实对称矩阵.因为其特征值全大于0，所以'

AB BA +正定.

设X 是A 特征值λ的特征向量，则R ∈λ，n R X ∈≠0,于是 ()

()()X B AX BX X X B A X AX B X X AB BA X ''

'''''''0+=+=+<λ

()

X B B X X B X BX X '''''+=+=λλλ 故0≠λ，由A 的特征值全不为0，故A 可逆.[7]

3.4 伴随矩阵法求矩阵的逆

要判定n 阶方阵A 是否可逆,首先会想到伴随矩阵法，当0=A 时，A 不可逆，当0≠A 时，A 可逆，且*

11A A

A =

-. 如果方阵的阶数n 较低时，常用*

11A A

A =

-求矩阵的逆.特别是2=n 时，记

???

? ??=d c b a A ，结论就更为简单：???? ??--=-a c b d A A 11

. 例5 求A 的逆矩阵，其中???

?-=00210012310

0210

0A . 解记???? ??=3121B ,???? ??-=2112C ,则???

? ??--=-11231B ,???? ??-=-2112511

C , 故???????

---=???? ?

?=???? ??=----00110023525100515200

1B C C

B A . 解析：矩阵求逆的方法主要有三种：伴随矩阵求逆；初等变换求逆；分块矩阵求逆.伴随矩阵求逆法，当矩阵阶数较高时，往往计算量大且容易出错.因此，当阶数比较高的时候会考虑用初等变换求逆或者是分块矩阵求逆.本例中，A 可以分解为

???? ??=O A

A O A 21,从而???

? ??=---O A A O A 111

.求A 的逆转换为求更低阶矩阵1A ,2A 的逆，此时采用伴随矩阵求逆法.可见三种方法并不是绝对孤立的，有时候一个题目如果综合运用三种方法，便可以迅速求解.

3.5初等变换求矩阵的逆

定义3.5.1 行（列）初等变换是指一个矩阵施行的下列变换；（1）对矩阵的某两行（列）进行交换；

（2）对于一个非零的数乘矩阵的某一行（列），那么用非零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素[8]；

（3）给矩阵的某一行（列）乘以一个数后加到另一个行（列）上，即用某一个数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素后加到另一个行（列）的对应元素上. 定义初等矩阵是由单位矩阵I 经过一次行（列）初等变换得到的矩阵. （1）初等行变换

如果n 阶矩阵A 可逆，作一个2n n ?的矩阵(A,I)，然后对此矩阵进行初等变换，使矩阵A 化为单位矩阵I ,则同时I 就化为1A -了，即(A,I)经过初等行变换变为1(I,)A -. 备注：

1、对于阶数较高(3)n ≥的矩阵，采用伴随矩阵法比较麻烦，而采用初等行变换求矩阵的逆一般会比较简单.并且在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.

2、也可以利用1A I I A -????

????→ ? ?????

初等列变换求得A 的逆矩阵.

3、当矩阵A 可逆时，可以利用()()1A B I A B -????

→初等行变换

求得1A B -和1CA -.这一方法的不需要求出1A -，通过初等变换进行矩阵乘法，最后求出-11A B CA -或者.

例6 先判断矩阵A 是否可逆，如果可逆，求1-A .

???

?--=000200001201110

0121011101

A .

由0≠A 可知A 可逆，对分块矩阵()AE 施行初等变换将A 化为E ,

()34253

10000000

2001000000120010001110

00010012100000111

101???

???

?? ?

?--=AE

34253210

0000

01001

0000

00120010001110

00010012100000111101

1????????? ?

?--?→?r

32521273210

0000

10211000000022101000110021001001

000000111101)

4,3,2(5????????????

?-----????→?=-i r r i 32653423451252

1000061032310

10003103131000100

21000000010412100000001?????????????

?------

→→ . 即?????????????

------

=-1252

1324

6103231031031

21000041210001A . 分析对于三阶以上的矩阵作行初等变换十分考验计算能力和耐心，阶数越高越繁琐，越容易出错.为了避免计算的错误，采取加校正列的办法：把矩阵每一行的元素的和写在该行的右边，构成一个含校正列的矩阵，对其施行行初等变换，每一步都保持最后一个元素等于它前面的元素之和.如果发现某一行破坏了这个规律，那么说明该行的计算有误.这种方法能够有效的减少错误.

虽然，采取校正列求矩阵的逆在一定程度上减少了计算错误，但是随着科学计算的需求，矩阵的阶数也越来越高，简单的人工运算已经不能满足需求了，为了使计算更加简便、快捷，计算的精确度得到提升，矩阵的逆采用MATLAB 来求解. 运用MATLAB 软件求解[9]

[][]1,0,1,1,1;0,1,2,1,0;0,1,1,1,0;2,1,0,0,0;0,2,0,0,0;

C ,eye(5)0(C)V U 0C(:,6:10)

A A U C rref =--===

运行结果为：1

011

1100000

1210010000

1110001002100000010020

0000001C -??

? ?=- ?

? ??

10000000

0.50000.25000

100000000.500000

010000.33330.333300.33330001000.33330.666700.166700001

4.0000.66670.33330.50000.4167U C -??

? ?=- ?

- ? ?---?

其右边的五列就是逆阵V :

0000.50000.250000000.500000.33330.333300.333300.33330.666700.16674.00000.66670.33330.50000.4167V -?? ?

?=- ?

- ? ?---??

3.6可逆分块矩阵的逆矩阵求解

高阶矩阵运算一般都是非常繁琐，并且容易出错；如果将高阶矩阵按照某种规则划成若干部分，并将每一部分视为矩阵的元素，且每一小块的矩阵按照矩阵的运算法则进行运算，这样，矩阵的逆便可以求出了. 分块矩阵的相关性质

命题 3.6.1 如果方阵A ,D 可逆，那么分块矩阵???

? ??=D A T 001可逆，其逆矩

阵为

???

? ??=---111

00D A T

.[10]

命题 3.6.2 如果方阵B ,C 可逆，那么分块矩阵???

?=00

B T 可逆，其逆矩

阵为

???

??=---00111

B C T .

命题3.6.3 设方阵B ,C 可逆，那么分块矩阵???

? ??=0C B A T 可逆，其逆矩阵为

???

??-=-----11111

0AC B B C T

命题3.6.4 设方阵A ,D 可逆，那么分块矩阵???

? ??=D B A T 0可逆，

其逆矩阵为 ???

??-=-----11111

0D BD A A T

. 命题 3.6.5 设方阵A ,D 可逆，那么分块矩阵???

??=D C A T 0可逆，其逆矩阵

为???

? ??-=-----1111

0D CA D A T

命题3.6.6 设方阵B ,C 可逆，那么分块矩阵???

?=D C B T 0可逆，其逆矩阵为 ???

??-=-----011111

B C DB C T

. 例7 设r s +阶矩阵B D T O C ??

= ???

,其中,C B 分别是 ,r s 阶可逆矩阵，

证明A 可逆且1111

B B D

C T

O C -----??

-= ???

. 证法一：用广义行初等变换法

()11

11111r r

s s

B D I O I B D

C B O B B

D A I O C O I O I O

C C -------?????-?=→

? ??????

1111r s

I O

B B D

C O I O C ----??

-→

故1111

B B D

C A O C -----??

-= ???

法二：用广义列初等变换法

()1

1-1

11r r

B D

C s C s r s B

D I O I DC A O C O I O I I I O B B DC B O O

I O C O C ----------??????

? ? ?

?? ? ? ?=?????→??????→ ? ? ?

?-?? ?

? ? ??????

?第一列乘以第二列乘以第二列乘以

所以1111

B B D

C A O C -----??

-= ???

. 例8 设???

? ??=4321

A A

A A A ，其中1A 是r 级可逆矩阵，4A 是s 级矩阵.问：还应满足什么条件，A 才可逆，当A 可逆时，求1-A .

解如果把A 变成分块上三角矩阵，那么可利用例5的结果.于是作分块矩阵

的初等行变换：()???

??-????→????? ??-?-+-211342

4321

011132A A A A A A A A

A A r A A r 从而???

??-=???? ?????? ??---21

1342

143

211

0A A A A A A A A A A I A A I s r

. 两边取行列式，得211341A A A A A A I I s r --=.

由此得出，在满足21134A A A A --可逆的条件，则A 可逆.当A 可逆时,

???

? ??-??

?-=???? ??=-----s r

I A A I A A A A A A A A

A A A 1131

2113421

211

00 (

)

(

)

???

??-???? ?

?---=-------s r

I A A I A A A A A

A A A A A A 11

31211341

11342111100 (

)

(

)

(

)

()

???

?------+=-------------1

1341131211341

11342111

312113421111A A A A

A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A . 注计算分块矩阵的行列式

C B

A 时，把n 阶方阵A ,

B ,

C ,

D 当作数，直接从二阶行列式的定义得

BC AD D

A -=是错误的.若将分块矩阵D C B

A 作分块初等变换，

将其化为分块对角矩阵，再加上条件CA AC =,则有

()

CB AD B ACA AD B CA D A B CA D A D

C B

A -=-=-=-=---111. 例9 求矩阵Q 的逆矩阵，其中10030

104=00123

5Q ?? ?

? ? ???

. 解：将矩阵Q 分成四块，形如A B C D ?? ???,其中10

0=01000

1A ?? ? ? ???

，3=42B ??

? ???

,()342C =,()5D =,于是()

()1=-240D CA B --≠，所以矩阵Q 可逆，且()111=-24D CA B ---，1342A B B -??

?== ? ?

,()1342CA C -==, Q=A B C D ?? ???，()()()()11-111111-111111+=A A B D CA B CA A B D CA B Q D CA B CA D CA B ------------??

--- ? ? ?---??

. 得115-12-63-128-841-6-820224342-1Q -??

?= ? ???

. 4 可逆矩阵的若干应用

4.1求方阵的幂

4.1.1方阵的幂及其运算律

设A 是一个n 阶方阵，m 是正整数，则

个

m m A AA A =称为A 的m 次幂. l k l k A A A +=，()

kl l

k A A =，()k k k A A λλ=，k

k A A =，k

k A A ''=

4.1.2求方阵的幂

方法利用相似对角化：若求得n 阶可逆矩阵P ，使得

),,,(211n diag AP P λλλ =-，则1

21),,,(-=P Pdiag A k n k k k λλλ .

而对于分块对角矩阵

???

?=s A A A A

1，有????

? ?

?=k s k

k k

A A A A 2

1，其中()n i A i ,,2,1 =均为方阵. 例10 设???? ??=4121P ,???? ??=2001B ,PB AP =,求n

A . 解 2=P ,???

??--=-1124211

P , 1-=PBP A , ,12112---==P PB PBP PBP A ,1-=P PB A n n ,

而???? ??=2001B ,???

? ??=???? ?????? ??=22200120012001B ,???? ??=n n

B 2001, ，故????

?--???? ??=???? ??--???? ?????? ??=++1124212121

1124212001412121n n n n A ???

??----=???? ??----=++++++1222122222242224211122

n n n n n n n n . 例11 已知???

? ??=201021113A ,求k A .

解 ()()()4212

---=-------=-λλλλλλλA I 得A 的特征值为11=λ，22=λ，43=λ.可求得对应的特征向量分别为

()T

p ,1,1,11-=，()T

p 1,1,02-=，()T

p 1,1,23=

令????? ??--=111111201P ，则????

? ??==-4000200011

B AP P .故

????

??---?????

??????? ??--==-11230222614000200011111112011k k

k k P PB A ????

?+?++?-+-+?-+?++-+-+-+=+++++++k k k

k k k k k k k k k k 221

2121

2122

22232223222223222322222222261. 4.2 解矩阵方程

在实际的生产应用中，逆矩阵在解决生活中的问题扮演着重要角色，比如在电费的分时段计费、阶梯电费中的应用.

例12 某地为了让高峰用电更加合理，采取了分时段计费的方式，白天（AM7:00-PM10：00）；夜间（PM10：00-AM7：00)的电费标准为Q ，某两个用户某月的用电情况如下：

120150132174D N

A B ?? ?

所交电费为 90.29101.41M ??

= ???，利用矩阵的运算求出本地的电费标准

为多少？

解：令120150132174C ??= ???

.因为CQ M =，等式两边同时乘以矩阵-1

C ，可得到

本地的电费标准1Q C M -=,接下来我们利用初等变换求-1C .

12211133309

1145012015010450303013217401111321740109110r r r r -??

?? ??? ????→???→??→ ? ? ? ? ???- ???

?? 1

154

129529545040103045918036111111111010101909909109r r r -?

?-- ? ? ????

→??→

? ? ?

? ? ?---

? ? ??

? 故1

51803611

110

9C -??- ?= ? ?- ?

??.因此129590.290.462018036111101.410.2323109Q C M -??- ?????=== ? ? ? ?????- ???.

4.3构造通信模型

先设定26个英文字母与整数的对应关系： A B C D E F G H I J K L M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 N O P Q R S T U V W X Y Z 14

如果要发信息“I U Y ”,通过对应关系，则此信息的编码是：9,21,25，但是如果发的是“GIVE ME SOME MONEY ”这样叠字，那么是不是很容易密码就会被直接破译呢？在一连串的信息编码当中，人们会根据字母的出现的频率去假设这个字母是什么。通过一系列简单的推理便知道编码中各个数字所代表的意思.就如上述的“GIVE ME SOME MONEY ”,7,9，22，5，13，5,13,15，14,5,25，其中5代表的是E,5出现的频率较高，那么很容易被破译.从而截取我方的密码，对我发的信息进行掌握，并对我方采取的措施提出应对.初等矩阵是可逆的，并且初等矩阵的矩阵具有可逆性.我们可以使用矩阵的乘法对“明文”进行一个加密，通过加密使地“明文”变成“密文”，之后再进行传输，增添非法者的破译难度，从而保证暗码的安全性。它的生成方法如下：将矩阵左乘或者右乘一个同阶得矩阵，使其经过乘法进行一个变身，并且矩阵A 的矩阵均为整数，其行列式1A =±,那么由1*

1A A A

，1A -的元素均为整数. 如果要发信息“I U Y ”,使用上述代码，则此信息的编码是：9,21,25

可以写成一个向量92125b ??

?= ? ???

，此刻任选一个加密矩阵，比方说：123112012A ??

?= ?

???

,我们对于原文进行一个简略的加密，然后在进行发送,即123912611221800122571Ab ?????? ? ? ?

== ? ? ? ? ? ???????

对方收到彼此的信息后，按照事前约定的加密矩阵的逆矩阵进行解密，

取1011 221 111

A-

=--

-??

,以从中规复明码，

11260111269 802218021 711117125

A-

???????? ? ??? ?=--=

? ??? ? ? ??? ?

????????

如此，便可以规复明码，即I U Y.

从上述例子来看，一种加密手段是不是有用，最为重要的在于将密文转换为明文，使相关的使用者能在相应较短的时间得到相应信息，并且能够保证密码在传递过程中的安全性.

可逆矩阵广泛地应用于密码学的保密和解密，那么我们是否能够保密通信是当今非常重要的问题，现在，人们愈来愈注意隐私的保护，因此，通信安全成为人们隐私保护的重要保障途径；也促成了科研人员对于网络安全与健康工作的投入.下面我们对于最为基本的通信模型基于加密进行一个简单的介绍，了解基于加密的工作原理.

基于加密模型：

密匙密匙

↓↓

明文→加密→解密→明文

例13小羊和小倩是正在热恋的情侣，又是数学专业的学生，他们想让自己的约会既浪漫又保密，因此，他们便想到了利用密文来传递，他有一个三阶矩

阵：

665375

126107151

785778

，他们约定：消息的每个英文字母用个整数来表示：

1,2,,y25,z26

a b

→→→→

约好的矩阵密码是：

111

323

223

，小羊发给小倩的内容是什么呢?

假设密信的内容是X,那么

矩阵的逆的研究及应用

矩阵的逆的研究及应用摘要本文主要是对高等代数中的矩阵的逆进行研究，更深一步地了解矩阵的逆在数学领域中的重要地位和各方面的应用。首先总结阐述矩阵的逆的相关定义、定理和性质，并且对其给出相应的证明，然后归纳了矩阵的逆的几种常见求法，最后讲述了矩阵的逆在以下两个方面的应用：解线性方程组和保密通信，而且例举了具体的应用实例。关键词：矩阵矩阵的逆线性方程组保密通信 Research and application of inverse matrix Summary:This paper mainly research on the inverse of the matrix in higher algebra, deeper understanding of the inverse of the matrix in all aspects of the important position in the field of mathematics and application. First summarized in this paper, the related definitions, theorems and properties of the inverse of the matrix, and the corresponding proofs are given, and then sums up several kinds of common method of inverse of the matrix, and finally tells the inverse of the matrix in the application of the following two aspects: solving system of linear equations and secure communications, and illustrates the concrete application examples. Key Words: matrix , inverse of a matrix ,linear system of equaton, secure

分块矩阵求逆

一、分4块的矩阵求逆对于分块矩阵A B 求其逆在计量经济学，马尔科夫链等科目中常常遇到，本文综合了 C D，格林等文件，提供一个一般的汇总性文件，方便查阅。本文采用初等变化法求逆，假设先对矩阵进行了合适的分块并且灰色部分的逆存在： A B | I 0 C D | 0 I 第1行左乘-CA-1并加到第2行有： A B | I 0 0D-CA-1B | -CA-1I 第2行左乘-B(D-CA-1B)-1并加到第1行有： A 0 | I+ B(D-CA-1B)-1 CA-1-B(D-CA-1B)-1 0 D-CA-1B|-CA-1I 第1行左乘A-1，第2行左乘(D-CA-1B)-1后，右边的矩阵为原始矩阵的逆：

注意是左乘，右乘不行，因为右乘副对角线上的矩阵可能没法做矩阵乘法。二、分9块的矩阵求逆对于分9块的矩阵A=[A B C;D E F;G H K]求逆，可先把矩阵进行适当划分，使得以下各灰色部分可逆，然后分别左乘矩阵P和右乘矩阵Q，P、Q如下所示，易见P、Q均可逆。 P A Q I 0 0 | A B C | I -A-1B -A-1C -DA-1 I 0 | D E F | 0 I 0 = B(具体见下三行) -GA-10 I | G H K| 0 0 I A 0 0 0 E-DA-1B F-DA-1C [(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)] 0 H-GA-1B K-GA-1C 要求各灰色部分可逆

可见大矩阵B的逆主要是求其右下角的逆，而这是个分四块矩阵，用第一部分方法即可求得。因为PAQ=B，所以A=P-1BQ-1，A-1=QB-1P，经过最终计算，A-1表示如下: 其中： M=(E-DA-1B)-1+(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 (H-GA-1B)(E-DA-1B)-1 N=-(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 R=-[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 (H-GA-1B)(E-DA-1B)-1 S=[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 此方法原则上还可依此递推至分为n2块矩阵求逆。

广义逆矩阵及其应用

题目广义逆矩阵及其应用学院专业通信与信息系统学生学号

目录第一章前言 (1) 第二章广义逆矩阵 (2) §2.1 广义逆矩阵的定义 (2) §2.2 广义逆矩阵的性质 (3) 第三章广义逆矩阵的计算 (12) §3.1 一般广义逆求解 (12) §3.2 Moore-Penrose 广义逆 (16) 结论 (19)

第一章前言线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小数解。逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。为此，人们提出了下述关于逆矩阵的推广：（1）该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在；（2）它具有通常逆矩阵的一些性质；（3）当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。 1903年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，他讨论了关于积分算子的一种广义逆。1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在1920年提出了任意矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。我国数学家曾远荣和美籍匈牙利数学家·诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955年，英国数学物理学家罗斯(Penrose)以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)等价的广义逆矩阵定义，因此通称为Moore-Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。现如今，Moore-Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。第二章广义逆矩阵

分块矩阵求逆公式及证明

分块矩阵求逆公式及证明 A 12 ,如果A ii (i=1,2)的逆存在，则 A 22 A 11 B 12 * A 12B 22 A 21B 11 A 22B 21 A 21 B 12 A 22B 22 将B 22代入方程(2)可以得到： B q 厂-A -1|A 12F 2 将B/弋入方程(1)可以得到： B qi = A ；；(I iq + A 12F 2A 21A ；1) 证毕。同理可得，A ；1的另外一种表达形式为： F -F -1A A -1 1 A I ；；；；； 1 12 22 ,其中 F 广(A ii-A i2A 22；；A 2i ) A - -1 -1 -1 化 1 A 11 (I + A 12F 2A 21A 11 ) _A 11A 12F 2 ； -F 2A 21A 11 F 2 其中 F 2= (A 2^A 21A 11A 12 F 1 证明: 设A 的逆为B 二 B 11 _B 21 B B ：，其中B 与A 分块形式相同'则: A 11 A 12 B 11 A 22 _ -B 21 B q? I 11 B 22H 22 - A 11B 11 A 12B 21 111 (1 ) 定理: A= A 11 A 21 ⑷- A 21A -?⑵二 A 22 B 22 -1 - A 21A 11B 22 -1 1 1 22 = B 22 二(A 22 一 A 21A 11A 12) F 2 (3) - A 21A 11 (1) — A 22B 21 - A 21A 11A 12B 21 =-A 21A -1 二 B 21 二一 B 22A 21A 11

矩阵的逆及其应用教学内容

矩阵的逆及其应用

矩阵的逆及其应用姓名：刘欣班级：14级数计1班专业：数学与应用数学学号：1408020129 一、矩阵的逆的概念对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作。二、逆矩阵的性质和定理㈠逆矩阵的性质 1、若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆矩阵为，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。若都是ｎ阶可逆矩阵，则也可逆，且＝ . 2、若A可逆，则也可逆，且=A； 3、若A可逆，实数λ≠0，则λA可逆，且 =； 4、若A可逆，则也可逆，且=； 5、=；

6、矩阵的逆是唯一的；证明：运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都是A的逆，则有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝ＢＥ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ（与Ｂ≠Ｃ矛盾），所以是唯一的。㈡逆矩阵的定理１、初等变换不改变矩阵的可逆性。２、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵等价。３、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等矩阵的乘积。４、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。５、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。三、逆矩阵的计算方法㈠定义法定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为。例１、求矩阵Ａ＝的逆矩阵。解：∵｜Ａ｜≠０ ∴存在

设＝，由定义知，∴ 由矩阵乘法得由矩阵相乘可解得；；故㈡、伴随矩阵法ｎ阶矩阵Ａ＝（）可逆的充要条件｜Ａ｜≠０，而且当ｎ（ｎ＞＝２）阶矩阵Ａ有逆矩阵，注释：①对于阶数较低（一般不超过３阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵，注意元素的位置及符号。特别对于２阶方阵Ａ＝，其伴随矩阵，即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律。

矩阵的分块求逆及解线性方程组

实验3 矩阵的分块求逆及解线性方程组一、问题化已知矩阵为上三角矩阵，构作范德蒙矩阵，高阶非奇异矩阵的分块求逆，求非齐次线性方程组的通解。二、实验目的学会用Matlab 语言编程，实施矩阵的初等变换将已知矩阵化为上三角矩阵；掌握用循环语句由已知向量构造范德蒙矩阵；了解高阶非奇异矩阵用不同分块法求逆矩阵的误差分析；能根据由软件求得的非齐次线性方程组增广矩阵的阶梯型的最简形式写出线性方程组的通解。三、预备知识 1．线性代数知识：（1）向量},,,{21n x x x X =作出的 n 阶范德蒙矩阵为 ??? ?? ??? ??---112112222 1 21111 n n n n n n x x x x x x x x x （2）分块矩阵???? ??=2221 1211A A A A A ，其中11A 为方的可逆子块，求逆矩阵有如下公式：设??? ? ??=-2221 1211 1 B B B B A ，则2212111121 12111212222,)(B A A B A A A A B ----=-=， 1 11211211111111212221,----=-=A A B A B A A B B （3）常用的矩阵范数为Frobenius 范数；2 1112||||||??? ? ??=∑∑==n i n j ij F a A 2．本实验所用Matlab 命令提示：（1）输入语句：input('输入提示')；（2）循环语句：for 循环变量=初始值：步长：终值循环语句组 end （3）条件语句： if(条件式1) 条件块语句组1 elseif(条件式2) 条件块语句组2 else 条件块语句组3 end （4）矩阵和向量的范数：norm(A)；（5）求矩阵A 的秩：rank （A ）；（6）求矩阵A 的阶梯型的行最简形式：rref(A)。

(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)

逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ，同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解容易验证

A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使（1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001

矩阵及逆矩阵的求法

矩阵的可逆性与逆矩阵的求法目录摘要 (1) 第1章．矩阵 (2) 1.1矩阵的定义 (2) 1.2矩阵的运算 (2) 第2章．矩阵的可逆性及逆矩阵 (5) 2.1矩阵的基本概念 (5) 2.2矩阵可逆的判断方法 (6) 2.3矩阵可逆性的求法 (10) 第3章．逆矩阵的拓展 (17) 3.1广义逆矩阵的引入 (17) 3.2广义逆矩阵的定义及存在 (17) 第4章．总结 (21) 参考文献 (22) 致谢 (23) 附件：论文英文简介

矩阵的可逆性与逆矩阵的求法 [摘要]：矩阵理论是现代代数学的重要分支理论之一，它也为现代科技及现代经济理论研究提供不可或缺的数学支持。在线性代数研究中引入矩阵的目的之一就是为了研究线性方程组B AX 求解及更一般的矩阵方程求解提供数学工具，其中矩阵的可逆性及逆矩阵的求法是最主要的内容。本文从矩阵的基本概念及运算入手，主要探讨和归纳矩阵可逆性的四种判定方法和求逆矩阵的五种方法，并引进Matlab这一数学软件求逆矩阵的程序，同时关注广义逆矩阵意义及求法。 [关键词]：矩阵可逆性逆矩阵广义逆求法

矩阵可逆性的判断和可逆矩阵的求法是矩阵理论学习的重点与难点，也是研究矩阵性质及运算中必不可少的一部分。本文在分析和归纳判断矩阵的可逆性和逆矩阵的求法，给出了四种判断矩阵可逆的方法，其中有初等矩阵的应用，有行列式的应用，还有向量的线性无关和线性方程组的应用。逆矩阵的求法给出了五种方法：分别是行变换、列变换、伴随矩阵、分块矩阵法以及Matlab 软件的解法，同时也讨论了广义逆矩阵的求法。对矩阵可逆性的判断与逆矩阵的求法将会给矩阵的学习带来很大的帮助。第1章矩阵 1.1矩阵的定义定义1 由st 个数ij c 排成一个s 行t 列的表 ???? ?? ? ??st s s t t c c c c c c c c c 2 1 2222111211 叫作一个s 行t 列（或t s ?）矩阵，ij c 叫作这个矩阵的元素。定义2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换： )(i 交换矩阵的两行（列）； )(ii 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的元素； )(iii 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一元素后加到另一行（列）的对应元素上。矩阵的初等变换在线性方程组求解，求矩阵的秩及求矩阵的逆矩阵方面都有重要的作用。 1.2矩阵运算定义1 数域F 的数a 与F 上一个n m ?矩阵)(ij a A =的乘积aA 指的是n m ?矩阵 )(ij aa ，求数与矩阵的乘积的运算叫作数与矩阵的乘法。定义2 两个n m ?矩阵)(),(ij ij b B a A ==的和B A +指的是n m ?矩阵)(ij ij b a +，求两

分块矩阵及其应用汇总

分块矩阵及其应用徐健,数学计算机科学学院摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量，而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理. 关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩 On Block Matrixes and its Applications Xu Jian, School of Mathematics and Computer Science Abstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc. Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix

矩阵的逆及其应用

摘要本文归纳了矩阵可逆的等价条件与可逆矩阵的相关性质，总结了几种可逆矩阵的判定及逆矩阵求解的方法，分类讨论了可逆矩阵在求方阵的幂、解矩阵方程和加密保密通信中的若干应用。关键字：可逆矩阵；初等变换；分块矩阵；方阵的幂

Abstract In this paper, the definition of the inverse of the matrix, theorems and properties, classification discussed several ways of solving inverse matrix and the inverse matrix in o power and encryption of the application of secret communication. The keyword： invertible matrix；elementary transformation；block matrix； powers of a matrix ；Encrypted secure communications

目录 1 引言 (1) 2 可逆矩阵的定义和性质 (1) 2.1矩阵可逆的定义及等价条件 (1) 2.2可逆矩阵的相关性质 (2) 3 可逆矩阵的判定及逆矩阵的求解 (4) 3.1定义法求矩阵的逆 (4) 3.2用矩阵的秩判定其可逆性 (5) 3.3特征值法判定矩阵的逆 (6) 3.4 伴随矩阵法求矩阵的逆 (6) 3.5初等变换法求矩阵的逆 (7) 3.6可逆分块矩阵的逆矩阵求解 (10) 4 可逆矩阵的若干应用 (13) 4.1求方阵的幂 (13) 4.1.1方阵的幂及其运算律 (13) 4.1.2求方阵的幂 (13) 4.2 解矩阵方程 (15) 4.3构造通信模型 (16) 参考文献 (19)

分块矩阵的若干性质及其应用

分类号密级 U D C 编号本科毕业论文(设计) 题目分块矩阵的若干性质及其应用学院数学与经济学院专业名称应用统计学年级学生姓名 2017 年 4 月

文献综述一、概述矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。分块矩阵是矩阵的一种特殊形式，对于一些高阶矩阵，形式表达上就比较抽象，运算上就更为繁杂，然而通过矩阵分块的方法达到降阶的目的。分块矩阵的若干性质及其应用是一个应用型的课题，是通过对分块矩阵的若干性质的掌握并应用于现实生活上的实际问题，它的应用范围非常广，远远不止于本文所列出的这几个方面，还有更广阔的应用有待于我们更加深入地去研究与探索。二、正文通过阅读居余马著作的《线性代数》一书中了解到，“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。但是追根溯源，矩阵最早是出现在我国的《九章算术》中，在《九章算术》方程一章中，就提出了解线性方程各项系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状，随后移动，就可以求出这个方程。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。现阶段，分块矩阵的性质及其应用在各个方面都起着至关重要的作用，分块矩阵的应用非常广泛和深刻，特别是在高等代数和线性代数中的应用更加广阔，例如在计算行列式以及矩阵的秩等方面，都有着很重要的应用。但国内一些专家对其研究主要还是在证明和计算方面。林瑾瑜在《分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用》中，从行列式计算中的经常用到的性质出发，推导出分块矩阵的若干性质，并举例说明这些性质在行列式计算和证明问题中的应用。蔡铭晶在《例说分块矩阵的应用》中论述了分块矩阵的概念，举例说明和分析了分块矩阵在线性代数中的应用，包括利用分块矩阵求逆矩阵、求高阶行

逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)

逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且（E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K 证明因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K, 因A K= 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E，同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K. 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K. 由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.

例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???000030000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解容易验证 A 2=???? ????? ???0000 000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???0000 0000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3 =? ? ?? ? ???? ???1000 31006210 6211. 2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使（1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.

矩阵的逆及其应用

矩阵的逆及其应用姓名：刘欣班级：14级数计1班专业：数学与应用数学学号：1408020129 一、矩阵的逆的概念对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作Ａ１。二、逆矩阵的性质和定理㈠逆矩阵的性质 1、若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆矩阵为，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。若Ａ１，Ａ２，，Ａｍ都是ｎ阶可逆矩阵，则Ａ１Ａ２Ａｍ也可逆，且（Ａ１Ａ２Ａｍ）１＝（Ａｍ）１（Ａ２）１（Ａ１）１ . 2、若A可逆，则也可逆，且（）=A； 3、若A可逆，实数λ≠0，则λA可逆，且（λ ）= λ ； 4、若A可逆，则也可逆，且（）=（）； 5、=； 6、矩阵的逆是唯一的；

证明：运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都是A的逆，则有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝ＢＥ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ（与Ｂ≠Ｃ矛盾），所以是唯一的。㈡逆矩阵的定理１、初等变换不改变矩阵的可逆性。２、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵Ｉｎ等价。３、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等矩阵的乘积。４、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。５、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。三、逆矩阵的计算方法㈠定义法定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为Ａ１。例１、求矩阵Ａ＝２２３１１０１２１的逆矩阵。解：∵｜Ａ｜≠０ ∴Ａ１存在

分块矩阵求逆公式及证明

分块矩阵求逆公式及证明 12:,1,2)()()i -??=???? ??+-==- ?-?? 1112ii 2122-1-1-1-1-11112221111112222211112-1221112A A A =A A A A I A F A A A A F A F A A A A F A A F 定理　如果（的逆存在，则，其中??=???? ??????=?=???????????? +=??+=???+=?+=?1112212211121112112122212222111112211111121222211122212112222222B B A B B A B B A A B B I 0AB I A A B B 0I A B A B I A B A B 0A B A B 0A B A B I 证明: 设的逆为，其中与分块形式相同，则：(1) (2)(3) (4) ? 11(4)(2)()--??-=?=-=-1-1-122111222221112222222221112A A A B A A B I B A A A A F 11121(3)(1)-??-=-?=--1-1-1-121112222111122211122211 A A A B A A A B A A B B A A 2 2(2)(1)()=-=+-122121112-1-121111*********B B A A F B B A I A F A A 将代入方程可以得到：　将代入方程可以得到：　证毕。同理可得，A -1的另外一种表达形式为： 11,()()--??-==-??-+??-1-1-1111222111122221-1-122211 222221112F F A A A F A A A A A A F A I A F A 其中

分块矩阵求逆及其应用

. . . . . 目录摘要 (1) 引言 (2) 一、概述 (2) 二、分块矩阵的求逆及其应用 (5) 第一节２×２分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (5) 第二节3×3分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (14) 结束语 (21)

分块矩阵求逆及其应用东生（渤海大学数学系 121000 中国）摘要：对于分块矩阵，我们比较熟悉分块矩阵的乘法，而对于分块矩阵的求逆，经常遇到的是22?分块矩阵的逆的证明问题，很少涉及分块矩阵逆的计算，并且我们在实际问题中还会遇到33?分块矩阵（或更高阶的分块矩阵）的求逆问题，所以我们研究这样的分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式显得很有意义。分块是否合理是分块矩阵运算是否简便的关键，所以本文开头便对分块方法做了总结。接着，本文研究了较为简单的22?分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并予以证明，总结了研究方法，还深入探讨了22?分块矩阵中含有零块时的可逆性存在条件以及求逆公式。以22?分块矩阵的研究方法为基础，探讨研究了33?分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并试证成功，还总结出研究更高阶分块矩阵求逆方法。此外本文不仅侧重理论研究，而且侧重于实际应用，在文中列举了大量典型的阶数较高的矩阵，对他们如何分块才能使求逆过程更为简单作出分析，并给出了求解过程，真正做到了“理论联系实际”。关键字：分块方法，分块矩阵，逆矩阵，可逆条件 Begging the negative matrix to a matrix of the cent and it ′s applying Li Dongsheng (Department of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract: For a matrix of the cent, we relatively know with the multiplication of dividing a matrix. But for begging the negative matrix to a matrix of the cent, we usually meet is 2 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank. It is seldom to involve to divide the calculation that a matrix inverse, and we also will meet in actual problem begging 3 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank.(or a matrix of more high-level cent).So it is very meaningfully to study this character of inverse of existence condition of such a matrix of cent; to beg the negative formula whether cent is reasonable is the key of whether a matrix operation is simple. What is more, the beginning of thesis does the summary to a method of cent. Immediately, the thesis has studied simple 2 ranks to divide a piece of matrix and the existence condition of inverse character. Finally the thesis gives the evidence. The method has been given, and when there are zero-pieces in a matrix, the character of inverse condition and begging the

分块矩阵及其应用汇总

分块矩阵及其应用徐健, 数学计算机科学学院摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量，而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块. 分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理. 关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩 On Block Matrixes and its Applications Xu Jian, School of Mathematics and Computer Science Abstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc. Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix

分块矩阵求逆及其应用

目录摘要 (1) 引言 (2) 一、概述 (2) 二、分块矩阵的求逆及其应用 (5) 第一节２×２分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (5) 第二节 3×3分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (14) 结束语 (21)

分块矩阵求逆及其应用李东生（渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国）摘要：对于分块矩阵，我们比较熟悉分块矩阵的乘法，而对于分块矩阵的求逆，经常遇到的是22?分块矩阵的逆的证明问题，很少涉及分块矩阵逆的计算，并且我们在实际问题中还会遇到33?分块矩阵（或更高阶的分块矩阵）的求逆问题，所以我们研究这样的分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式显得很有意义。分块是否合理是分块矩阵运算是否简便的关键，所以本文开头便对分块方法做了总结。接着，本文研究了较为简单的22?分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并予以证明，总结了研究方法，还深入探讨了22?分块矩阵中含有零块时的可逆性存在条件以及求逆公式。以22?分块矩阵的研究方法为基础，探讨研究了33?分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并试证成功，还总结出研究更高阶分块矩阵求逆方法。此外本文不仅侧重理论研究，而且侧重于实际应用，在文中列举了大量典型的阶数较高的矩阵，对他们如何分块才能使求逆过程更为简单作出分析，并给出了求解过程，真正做到了“理论联系实际”。关键字：分块方法，分块矩阵，逆矩阵，可逆条件 Begging the negative matrix to a matrix of the cent and it ′s applying Li Dongsheng (Department of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract: For a matrix of the cent, we relatively know with the multiplication of dividing a matrix. But for begging the negative matrix to a matrix of the cent, we usually meet is 2 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank. It is seldom to involve to divide the calculation that a matrix inverse, and we also will meet in actual problem begging 3 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank.(or a matrix of more high-level cent).So it is very meaningfully to study this character of inverse of existence condition of such a matrix of cent; to beg the negative formula whether cent is reasonable is the key of whether a matrix operation is simple. What is more, the beginning of thesis does the summary to a method of cent. Immediately, the thesis has studied simple 2 ranks to divide a piece of matrix and the existence condition of inverse character. Finally the thesis gives the evidence. The method has been given, and when

广义逆矩阵及其应用【文献综述】

毕业论文文献综述数学与应用数学广义逆矩阵及其应用一、前言矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。 1855 年，埃米特(C.Hermite，1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch，1831～1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。 1854 年，