矩阵的逆及其应用
矩阵的逆及其应用
姓名：刘欣
班级：14级数计1班
专业：数学与应用数学
学号：1408020129
一、矩阵的逆的概念
对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为
Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作Ａ１。
二、逆矩阵的性质和定理
㈠逆矩阵的性质
1、若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆矩阵为 ，
当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。
若Ａ
１，Ａ
２
，，Ａ
ｍ
都是ｎ阶可逆矩阵，则
Ａ
１Ａ
２
Ａ
ｍ
也可逆，且（Ａ
１
Ａ
２
Ａ
ｍ
）
１
＝
（Ａ
ｍ）
１
（Ａ
２
）
１
（Ａ
１
）
１
.
2、若A可逆，则 也可逆，且（ ）=A；
3、若A可逆，实数λ≠0，则λA可逆，且（λ ）=
λ
；
4、若A可逆，则 也可逆，且（ ）=（ ）；
5、=；
6、矩阵的逆是唯一的；
证明：运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都
是A的逆，则有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝ＢＥ
＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ（与Ｂ≠Ｃ矛
盾），所以是唯一的。
㈡逆矩阵的定理
１、初等变换不改变矩阵的可逆性。
２、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵Ｉ
ｎ
等价。
３、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等矩阵的乘积。
４、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。
５、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。
三、逆矩阵的计算方法
㈠定义法
定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那
么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为Ａ１。
例１、求矩阵Ａ＝２２３
１１０
１２１
的逆矩阵。
解：∵｜Ａ｜≠０
∴Ａ１
存在
设Ａ１
＝
ｘ
１１
ｘ
１２
ｘ
１３
ｘ
２１
ｘ
２２
ｘ
２３
ｘ
３１
ｘ
３２
ｘ
３３
，由定义知Ａ
１
Ａ＝Ｅ，
∴２２３
１１０
１２１
ｘ
１１
ｘ
１２
ｘ
１３
ｘ
２１
ｘ
２２
ｘ
２３
ｘ
３１
ｘ
３２
ｘ
３３
＝
由矩阵乘法得
２ｘ
１１＋２ｘ
２１
＋３ｘ
３１
２ｘ
１２
＋２ｘ
２２
＋３ｘ
３２
２ｘ
１３
＋２ｘ
２３
＋３ｘ
３３
ｘ
１１ｘ
２１
ｘ
１２
ｘ
２２
ｘ
１２
ｘ
２３
ｘ
１１＋２ｘ
２１
＋ｘ
３１
ｘ
１２
＋２ｘ
２２
＋ｘ
３２
ｘ
１３
＋２ｘ
２３
＋ｘ
３３
＝
由矩阵相乘可解得
ｘ
１１
＝１
ｘ
２１
＝１
ｘ
３１
＝１
；
ｘ
１２
＝４
ｘ
２２
＝５
ｘ
３２
＝６
；
ｘ
１３
＝３
ｘ
２３
＝３
ｘ
３３
＝４
故
㈡、伴随矩阵法
ｎ阶矩阵Ａ＝（ａ
ｉｊ
）可逆的充要条件｜Ａ｜≠０，而且当ｎ（ｎ＞＝２）阶矩阵Ａ有逆矩阵，
Ａ１
＝１
Ａ
Ａ，其中Ａ为伴随矩阵。
注释：①对于阶数较低（一般不超过３阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵，注意
Ａ＝（Ａ
ｊｉ）
ｎｍ
元素的位置及符号。特别对于２阶方阵Ａ
＝ａ
１１
ａ
１２
ａ
２１
ａ
２２
，其伴随矩阵Ａ＝
ａ
２２
ａ
１２
ａ
２１
ａ
１１
，
即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律。
②对于分块矩阵ＡＢ
ＣＤ
不能按上述规律求伴随矩阵。
例２、已知Ａ＝１０１
２１０
３２５
，求Ａ１。
解：∵｜Ａ｜＝２≠０
∴Ａ可逆，由已知得
Ａ
１１＝５，Ａ
１２
＝１０，Ａ
１３
＝７
Ａ
２１＝２，Ａ
２２
＝２，Ａ
２３
＝２
Ａ
３１＝１，Ａ
３２
＝２，Ａ
３３
＝１
Ａ１
＝
１
｜Ａ｜
Ａ＝
１
２
５２１
１０２２
７２１
＝
５
２
１
１
２
５１１
７
２
１
１
２㈢、行（列）初等变化法
设ｎ阶矩阵Ａ，作ｎ×２ｎ矩阵，然后对此矩阵施以行初等
变换，若把子块Ａ变为Ｉ
ｎ
，则子块Ｉ
ｎ
将变为Ａ
１
，即初等变换［Ｅ，Ａ
１
］。
注释：①对于阶数较高（ｎ≧３）的矩阵，采用初等行变换求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便，在用上述方法求逆矩阵时，
只允许施行初等行变换。
②也可以利用Ａ
Ｅ
初等列变换
Ｅ
Ａ
１
求得Ａ的逆矩阵。
③当矩阵Ａ可逆时，可以利用
Ａ，Ｂ初等行变换Ｅ，Ａ１Ｂ，Ａ
Ｃ
初等列变换
Ｅ
ＣＡ
１
求得
Ａ１
Ｂ和ＣＡ
１
，这一方法的优点是不需要求出Ａ的逆矩阵和进行矩阵乘法
仅通过初等变换，即求出了Ａ１
Ｂ和ＣＡ
１
。
例３、用初等行变换求矩阵Ａ＝２３１
０１３
１２５
的逆矩阵。
解：Ａ，Ｅ＝
２３１０１３１２５１００
０１０
００１
１２５
０１３
２３１
００１
０１０
１００
１２５０１３００６００１０１０１１２
１２５０１３０１９００１
０１０
１０２
→
１２５
０１３
００１
００１
０１０
１
６
１
６
１
３
→
１００
０１０
００１
–１
６
１３
６
４
３
１
２
３
２
１
１
６
１
６
１
３
㈣、用分块矩阵求逆矩阵
设Ａ、Ｂ分别为Ｐ、Ｑ阶可逆矩阵，则：
ＡＣ
ＯＢ
１
＝
Ａ
１
Ａ１ＣＢ１
ＯＢ
１
ＡＯ
ＤＢ
１
＝
Ａ
１
Ｏ
Ｂ１ＤＡ１Ｂ１
ＡＯ
ＯＢ
１＝
Ａ
１
Ｏ
ＯＢ
１
ＯＡ
ＢＯ
１
＝
ＯＢ
１
Ａ
１
Ｏ
例４、已知Ａ＝
００
００
５２
２１
１２
１１
００
００
，求Ａ
１
。
解：将Ａ分块如下：
Ａ＝
００
００
５２
２１
１２
１１
００
００
＝
ＯＡ
１
Ａ
２
Ｏ
其中Ａ
１
＝
５２
２１
Ａ
２＝
１２
１１
可求得
Ａ
１１
＝１
｜Ａ
１
｜
Ａ
１
＝
１２
２５
，Ａ
２
１
＝１
｜Ａ
２
｜
Ａ
２
＝１
３
１２
１１
Ａ１
＝
ＯＡ
２
１
Ａ
１
１
Ｏ
＝
００
００
１
３
２
３
１
３
１
３
１２
２５
００
００
㈤解方程组求逆矩阵
根据可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵，且上（下）三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上（下）三角矩阵对应的主对角元的倒数，可设出逆矩阵的待求元素；又由Ａ
１
Ａ＝Ｅ两端对应元素相等，依次可得只含有一个待求元素的方程，因而待求元素极易求得，此法常用元素待求上（下）三角矩阵的逆矩阵。
例５、求Ａ＝
１０
１２
００
００
２１
１２
３０
１４
的逆矩阵。
解：设Ａ１
＝
１０
ｘ
２１
１
００
００
ｘ
３１
ｘ
３２
ｘ
４１
ｘ
４２
１
３
０
ｘ
４３
１
４
，先求出Ａ
１
中主对角线
下的次对角线上的元素ｘ
２１，ｘ
３２
，ｘ
４３
，最后求ｘ
４１
，设Ｅ为
４阶单位矩阵，比较
１０
ｘ
２１１
２
００
００
ｘ
３１ｘ
３２
ｘ
４１ｘ
４２
１
３
０
ｘ
４３
１
４
１０
１２
００
００
２１
１２
３０
１４
＝Ｅ的两端对应
元素，得到
０ｘ
４１＋０ｘ
４２
＋３ｘ
４３
＋１
４
＝０；解得ｘ
４３
＝１
１２
；
１ｘ
３１＋１ｘ
３２
＋２
３
＋１０＝０；解得ｘ
４３
＝１
２
；
０ｘ
４１＋２ｘ
４２
＋１ｘ
４３
＋２
４
＝０；解得ｘ
４２
＝５
４
；
１ｘ
４１＋１ｘ
４２
＋２ｘ
４３
＋１
４
＝０；解得ｘ
４３
＝１
８
；
于是，所求的逆矩阵为：Ａ１
＝
１０
１
２
１
２
００
００
１
２
１
６
１
８
５
４
１
３
０
１
１２
１
４
㈥、用克莱姆法则求解
若线性方程组ａ
１１
ｘ
１
＋ａ
１２
ｘ
２
＋ａ
１ｎ
ｘ
ｎ
＝ｂ
１
ａ
２１
ｘ
１
＋ａ
２２
ｘ
２
＋ａ
２ｎ
ｘ
ｎ
＝ｂ
２
ａ
ｎ１
ｘ
１
＋ａ
ｎ２
ｘ
２
＋ａ
ｎｎ
ｘ
ｎ
＝ｂ
ｎ
的系数行列式Ｄ
＝｜ａ
ｉｊ｜
ｎ
０，则此方程组有唯一的一组解
ｘ
１＝
Ｄ
１
Ｄ
，ｘ
２
＝
Ｄ
２
Ｄ
，ｘ
ｎ
＝
Ｄ
ｎ
Ｄ
，这里Ｄ
ｉ
是将Ｄ中的第
ｉ列ａ
１ｉ，，ａ
ｎｉ
换成ｂ
１
，ｂ
ｎ
得到的行列式。
㈦、恒等变形法求逆矩阵
有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出矩阵的
逆矩阵才能算出来，而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形，且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式。
㈧、用Hamilton-Caley定理求逆矩阵
Hamilton-Caley定理：设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阶矩阵
ｆ(λ)=|λＥ－Ａ|＝λｎ
＋ａ
１
λ
ｎ１
＋ａ
ｎ
λ＋ａ
ｎ
为Ａ的
特征多项式，则：ｆ(A)=|λE-A|=+=0
于是－１
ａ
ｎ（Ａ
ｎ１
＋ａ
１
Ａ
ｎ２
＋＋ａ
ｎ１
Ｅ）
因此Ａ１
＝１
ａ
ｎ
（Ａ
ｎ１
＋ａ
１
Ａ
ｎ２
＋＋ａ
ｎ１
Ｅ）
㈨、三角矩阵的一种求逆法
如果ｎ阶矩阵Ｔ＝可逆，那么他
的逆矩阵是T=其中
，
ａ， ，
ｉ＜ｋ＜ｊ
㈩、拼接新矩阵
在可逆矩阵A的右方补上一个单位矩阵E，在A的下方补加上一个负
单位矩阵-E，再在A的右下方补加上一个零矩阵0，从而得到一个新
的方阵，对该方阵施行第三种行的初等变换，使其负单位矩阵-E化
为零矩阵，那么原来的零矩阵0所化得的矩阵就是所要求的那逆矩阵。
四、矩阵的逆的应用
(1)逆矩阵在解线性方程组中的应用
设用矩阵表示的方程组为ＡＸ＝Ｂ，其中Ａ＝ａ
X= B=若A可逆→X=
注：利用逆矩阵求解要求方程个数与未知数个数相等，且矩
阵A可逆，否则此法失效。而Gauss消元法对方程组个数与
未知元个数不等时仍适用（此时有可能不相容或有无穷多个
解）。且Gauss消元法特别适合于计算机计算。
(2)逆矩阵在求矩阵的秩中的应用
设A是m×n矩阵，P和Q分别是m阶和n阶可逆矩阵，则
r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)
n阶矩阵A的秩为n→|A|≠0→A可逆。
(3)逆矩阵在信息科学中的应
①算法的加密原理
信息发送端首先根据密钥矩阵A的阶数（||A||=n）,将明
文转换为n维数向量X，然后将X与A相乘得到密文Y，
既Y=AX，再将Y发送，信息端接受到Y后，则利用密钥
矩阵 Ｘ＝Ｘ。
②加密通信模型
基于加密技术的保密通信模型，发送方采用某种算法将明文数据加密转换成密文数据后发送给接收方，接收方则可以采用相对应的某种算法将密文数据解密转换成明文数据。
③密钥的生成
如何快速而有效地构造一个可逆矩阵作为加密密钥和求出其逆矩阵作为解密密钥是利用可逆矩阵实现保密通信的关键。
１，加密密钥的生成
初等矩阵都是可逆的，而且初等矩阵的乘积仍然是可逆的。因此通信中可以考虑利用若干个初等矩阵的乘积作为加密编码矩阵。它的生成方法如下：从单位矩阵出发，反复运用第一类和第三类初等变换矩阵去乘它，而其中的乘数Ｋ必须取整数。这样得到的矩阵将满足｜
Ａ｜＝±１，而Ａ１
也将具有整数元素。
通常所谓的矩阵的三种基本类型的初等变换如下：
ⅰ．交换两行或两列；
ⅱ．数乘某一行或某一列；
ⅲ．将某一行（或某一列）的Ｋ倍加到另一行（或另一列）上；实质上只有ⅱ和ⅲ两种是独立的，ⅰ可以通过ⅱ和ⅲ来表示。２，解密密钥的生成
设Ａ＝Ｐ
１Ｐ
２
Ｐ
３
Ｐ
ｎ
，其中Ｐ是初等矩阵，则
…… ，
其中 是 的逆矩阵。
设 是对单位矩阵I做初等变换K得到的初等矩阵，则只需对单位矩阵I做K的逆变换即可得到 。
显然，在实际应用，生成解密密钥只需要再次利用生成加密密钥时的变换矩阵对单位矩阵做一序列的初等变换即可。
矩阵的逆的研究及应用
矩阵的逆的研究及应用 摘要 本文主要是对高等代数中的矩阵的逆进行研究，更深一步地了解矩阵的逆在数学领域中的重要地位和各方面的应用。首先总结阐述矩阵的逆的相关定义、定理和性质，并且对其给出相应的证明，然后归纳了矩阵的逆的几种常见求法，最后讲述了矩阵的逆在以下两个方面的应用：解线性方程组和保密通信，而且例举了具体的应用实例。 关键词：矩阵矩阵的逆线性方程组保密通信 Research and application of inverse matrix Summary:This paper mainly research on the inverse of the matrix in higher algebra, deeper understanding of the inverse of the matrix in all aspects of the important position in the field of mathematics and application. First summarized in this paper, the related definitions, theorems and properties of the inverse of the matrix, and the corresponding proofs are given, and then sums up several kinds of common method of inverse of the matrix, and finally tells the inverse of the matrix in the application of the following two aspects: solving system of linear equations and secure communications, and illustrates the concrete application examples. Key Words: matrix , inverse of a matrix ,linear system of equaton, secure
分块矩阵求逆
一、分4块的矩阵求逆 对于分块矩阵A B 求其逆在计量经济学，马尔科夫链等科目中常常遇到，本文综合了 C D，格林等文件，提供一个一般的汇总性文件，方便查阅。 本文采用初等变化法求逆，假设先对矩阵进行了合适的分块并且灰色部分的逆存在： A B | I 0 C D | 0 I 第1行左乘-CA-1并加到第2行有： A B | I 0 0D-CA-1B | -CA-1I 第2行左乘-B(D-CA-1B)-1并加到第1行有： A 0 | I+ B(D-CA-1B)-1 CA-1-B(D-CA-1B)-1 0 D-CA-1B|-CA-1I 第1行左乘A-1，第2行左乘(D-CA-1B)-1后，右边的矩阵为原始矩阵的逆：
注意是左乘，右乘不行，因为右乘副对角线上的矩阵可能没法做矩阵乘法。 二、分9块的矩阵求逆 对于分9块的矩阵A=[A B C;D E F;G H K]求逆，可先把矩阵进行适当划分，使得以下各灰色部分可逆，然后分别左乘矩阵P和右乘矩阵Q，P、Q如下所示，易见P、Q均可逆。 P A Q I 0 0 | A B C | I -A-1B -A-1C -DA-1 I 0 | D E F | 0 I 0 = B(具体见下三行) -GA-10 I | G H K| 0 0 I A 0 0 0 E-DA-1B F-DA-1C [(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)] 0 H-GA-1B K-GA-1C 要求各灰色部分可逆
可见大矩阵B的逆主要是求其右下角的逆，而这是个分四块矩阵，用第一部分方法即可求得。因为PAQ=B，所以A=P-1BQ-1，A-1=QB-1P，经过最终计算，A-1表示如下: 其中： M=(E-DA-1B)-1+(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 (H-GA-1B)(E-DA-1B)-1 N=-(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 R=-[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 (H-GA-1B)(E-DA-1B)-1 S=[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 此方法原则上还可依此递推至分为n2块矩阵求逆。
广义逆矩阵及其应用
题目广义逆矩阵及其应用学院 专业通信与信息系统学生 学号
目录 第一章前言 (1) 第二章广义逆矩阵 (2) §2.1 广义逆矩阵的定义 (2) §2.2 广义逆矩阵的性质 (3) 第三章广义逆矩阵的计算 (12) §3.1 一般广义逆求解 (12) §3.2 Moore-Penrose 广义逆 (16) 结论 (19)
第一章前言 线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。 广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小数解。 逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。为此，人们提出了下述关于逆矩阵的推广： （1）该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在； （2）它具有通常逆矩阵的一些性质； （3）当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。 满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。 1903年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，他讨论了关于积分算子的一种广义逆。1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在1920年提出了任意矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。我国数学家曾远荣和美籍匈牙利数学家·诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955年，英国数学物理学家罗斯(Penrose)以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)等价的广义逆矩阵定义，因此通称为Moore-Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。现如今，Moore-Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。 第二章广义逆矩阵
分块矩阵求逆公式及证明
分块矩阵求逆公式及证明 A 12 ,如果A ii (i=1,2)的逆存在，则 A 22 A 11 B 12 * A 12B 22 A 21B 11 A 22B 21 A 21 B 12 A 22B 22 将B 22代入方程(2)可以得到： B q 厂-A -1|A 12F 2 将B/弋入方程(1)可以得到： B qi = A ；；(I iq + A 12F 2A 21A ；1) 证毕。 同理可得，A ；1的另外一种表达形式为： F -F -1A A -1 1 A I ；；； ；； 1 12 22 ,其中 F 广(A ii-A i2A 22；；A 2i ) A - -1 -1 -1 化 1 A 11 (I + A 12F 2A 21A 11 ) _A 11A 12F 2 ； -F 2A 21A 11 F 2 其中 F 2= (A 2^A 21A 11A 12 F 1 证明: 设A 的逆为B 二 B 11 _B 21 B B ：，其中B 与A 分块形式相同'则: A 11 A 12 B 11 A 22 _ -B 21 B q? I 11 B 22H 22 - A 11B 11 A 12B 21 111 (1 ) 定理: A= A 11 A 21 ⑷- A 21A -?⑵二 A 22 B 22 -1 - A 21A 11B 22 -1 1 1 22 = B 22 二(A 22 一 A 21A 11A 12) F 2 (3) - A 21A 11 (1) — A 22B 21 - A 21A 11A 12B 21 =-A 21A -1 二 B 21 二一 B 22A 21A 11
矩阵的逆及其应用教学内容
矩阵的逆及其应用
矩阵的逆及其应用 姓名：刘欣 班级：14级数计1班 专业：数学与应用数学 学号：1408020129 一、矩阵的逆的概念 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得 ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为 Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作。 二、逆矩阵的性质和定理 ㈠逆矩阵的性质 1、若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆矩阵为 ，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。 若都是ｎ阶可逆矩阵，则 也可逆，且＝ . 2、若A可逆，则也可逆，且=A； 3、若A可逆，实数λ≠0，则λA可逆，且 =； 4、若A可逆，则也可逆，且=； 5、=；
6、矩阵的逆是唯一的； 证明：运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都 是A的逆，则有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝Ｂ Ｅ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ（与Ｂ≠Ｃ 矛盾），所以是唯一的。 ㈡逆矩阵的定理 １、初等变换不改变矩阵的可逆性。 ２、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵等价。 ３、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等矩阵的乘积。 ４、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。 ５、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。 三、逆矩阵的计算方法 ㈠定义法 定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为。 例１、求矩阵Ａ＝的逆矩阵。 解：∵｜Ａ｜≠０ ∴存在
设＝，由定义知，∴ 由矩阵乘法得 由矩阵相乘可解得；； 故 ㈡、伴随矩阵法 ｎ阶矩阵Ａ＝（）可逆的充要条件｜Ａ｜≠０，而且当 ｎ（ｎ＞＝２）阶矩阵Ａ有逆矩阵， 注释：①对于阶数较低（一般不超过３阶）或元素的代数余 子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵，注意 元素的位置及符号。特别对于２阶方阵Ａ＝，其伴随矩阵 ，即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律。
矩阵的分块求逆及解线性方程组
实验3 矩阵的分块求逆及解线性方程组 一、 问题 化已知矩阵为上三角矩阵，构作范德蒙矩阵，高阶非奇异矩阵的分块求逆，求非齐次线性方程组的通解。 二、 实验目的 学会用Matlab 语言编程，实施矩阵的初等变换将已知矩阵化为上三角矩阵；掌握 用循环语句由已知向量构造范德蒙矩阵；了解高阶非奇异矩阵用不同分块法求逆矩阵的误差分析；能根据由软件求得的非齐次线性方程组增广矩阵的阶梯型的最简形式写出线性方程组的通解。 三、 预备知识 1． 线性代数知识： （1） 向量},,,{21n x x x X =作出的 n 阶范德蒙矩阵为 ??? ?? ??? ??---112112222 1 21111 n n n n n n x x x x x x x x x （2）分块矩阵???? ??=2221 1211A A A A A ，其中11A 为方的可逆子块，求逆矩阵有如下公式： 设??? ? ??=-2221 1211 1 B B B B A ，则2212111121 12111212222,)(B A A B A A A A B ----=-=， 1 11211211111111212221,----=-=A A B A B A A B B （3）常用的矩阵范数为Frobenius 范数；2 1112||||||??? ? ??=∑∑==n i n j ij F a A 2． 本实验所用Matlab 命令提示： （1）输入语句：input('输入提示')； （2）循环语句：for 循环变量=初始值 ：步长 ：终值 循环语句组 end （3）条件语句： if(条件式1) 条件块语句组1 elseif(条件式2) 条件块语句组2 else 条件块语句组3 end （4）矩阵和向量的范数：norm(A)； （5）求矩阵A 的秩：rank （A ）； （6）求矩阵A 的阶梯型的行最简形式：rref(A)。
(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证
A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001
矩阵及逆矩阵的求法
矩阵的可逆性与逆矩阵的求法 目录 摘要 (1) 第1章．矩阵 (2) 1.1矩阵的定义 (2) 1.2矩阵的运算 (2) 第2章．矩阵的可逆性及逆矩阵 (5) 2.1矩阵的基本概念 (5) 2.2矩阵可逆的判断方法 (6) 2.3矩阵可逆性的求法 (10) 第3章．逆矩阵的拓展 (17) 3.1广义逆矩阵的引入 (17) 3.2广义逆矩阵的定义及存在 (17) 第4章．总结 (21) 参考文献 (22) 致谢 (23) 附件：论文英文简介
矩阵的可逆性与逆矩阵的求法 [摘要]：矩阵理论是现代代数学的重要分支理论之一，它也为现代科技及现代经济理论研究提供不可或缺的数学支持。在线性代数研究中引入矩阵的目的之一就是为了研究线性方程组B AX 求解及更一般的矩阵方程求解提供数学工具，其中矩阵的可逆性及逆矩阵的求法是最主要的内容。本文从矩阵的基本概念及运算入手，主要探讨和归纳矩阵可逆性的四种判定方法和求逆矩阵的五种方法，并引进Matlab这一数学软件求逆矩阵的程序，同时关注广义逆矩阵意义及求法。 [关键词]：矩阵可逆性逆矩阵广义逆求法
矩阵可逆性的判断和可逆矩阵的求法是矩阵理论学习的重点与难点，也是研究矩阵性质及运算中必不可少的一部分。本文在分析和归纳判断矩阵的可逆性和逆矩阵的求法，给出了四种判断矩阵可逆的方法，其中有初等矩阵的应用，有行列式的应用，还有向量的线性无关和线性方程组的应用。逆矩阵的求法给出了五种方法：分别是行变换、列变换、伴随矩阵、分块矩阵法以及Matlab 软件的解法，同时也讨论了广义逆矩阵的求法。对矩阵可逆性的判断与逆矩阵的求法将会给矩阵的学习带来很大的帮助。 第1章 矩 阵 1.1矩阵的定义 定义1 由st 个数ij c 排成一个s 行t 列的表 ???? ?? ? ??st s s t t c c c c c c c c c 2 1 2222111211 叫作一个s 行t 列（或t s ?）矩阵，ij c 叫作这个矩阵的元素。 定义2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换： )(i 交换矩阵的两行（列）； )(ii 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的元素； )(iii 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一元素后加到另一行（列）的对应元素上。 矩阵的初等变换在线性方程组求解，求矩阵的秩及求矩阵的逆矩阵方面都有重要的作用。 1.2矩阵运算 定义1 数域F 的数a 与F 上一个n m ?矩阵)(ij a A =的乘积aA 指的是n m ?矩阵 )(ij aa ，求数与矩阵的乘积的运算叫作数与矩阵的乘法。 定义2 两个n m ?矩阵)(),(ij ij b B a A ==的和B A +指的是n m ?矩阵)(ij ij b a +，求两
分块矩阵及其应用汇总
分块矩阵及其应用 徐健,数学计算机科学学院 摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量， 而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理. 关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩 On Block Matrixes and its Applications Xu Jian, School of Mathematics and Computer Science Abstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc. Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix
矩阵的逆及其应用
摘要 本文归纳了矩阵可逆的等价条件与可逆矩阵的相关性质，总结了几种可逆矩阵的判定及逆矩阵求解的方法，分类讨论了可逆矩阵在求方阵的幂、解矩阵方程和加密保密通信中的若干应用。 关键字：可逆矩阵；初等变换；分块矩阵；方阵的幂
Abstract In this paper, the definition of the inverse of the matrix, theorems and properties, classification discussed several ways of solving inverse matrix and the inverse matrix in o power and encryption of the application of secret communication. The keyword： invertible matrix；elementary transformation；block matrix； powers of a matrix ；Encrypted secure communications
目录 1 引言 (1) 2 可逆矩阵的定义和性质 (1) 2.1矩阵可逆的定义及等价条件 (1) 2.2可逆矩阵的相关性质 (2) 3 可逆矩阵的判定及逆矩阵的求解 (4) 3.1定义法求矩阵的逆 (4) 3.2用矩阵的秩判定其可逆性 (5) 3.3特征值法判定矩阵的逆 (6) 3.4 伴随矩阵法求矩阵的逆 (6) 3.5初等变换法求矩阵的逆 (7) 3.6可逆分块矩阵的逆矩阵求解 (10) 4 可逆矩阵的若干应用 (13) 4.1求方阵的幂 (13) 4.1.1方阵的幂及其运算律 (13) 4.1.2求方阵的幂 (13) 4.2 解矩阵方程 (15) 4.3构造通信模型 (16) 参考文献 (19)
分块矩阵的若干性质及其应用
分类号密级 U D C 编号 本科毕业论文(设计) 题目分块矩阵的若干性质及其应用 学院数学与经济学院 专业名称应用统计学 年级 学生姓名 2017 年 4 月
文献综述 一、概述 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。分块矩阵是矩阵的一种特殊形式，对于一些高阶矩阵，形式表达上就比较抽象，运算上就更为繁杂，然而通过矩阵分块的方法达到降阶的目的。分块矩阵的若干性质及其应用是一个应用型的课题，是通过对分块矩阵的若干性质的掌握并应用于现实生活上的实际问题，它的应用范围非常广，远远不止于本文所列出的这几个方面，还有更广阔的应用有待于我们更加深入地去研究与探索。 二、正文 通过阅读居余马著作的《线性代数》一书中了解到，“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。但是追根溯源，矩阵最早是出现在我国的《九章算术》中，在《九章算术》方程一章中，就提出了解线性方程各项系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状，随后移动，就可以求出这个方程。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。 现阶段，分块矩阵的性质及其应用在各个方面都起着至关重要的作用，分块矩阵的应用非常广泛和深刻，特别是在高等代数和线性代数中的应用更加广阔，例如在计算行列式以及矩阵的秩等方面，都有着很重要的应用。但国内一些专家对其研究主要还是在证明和计算方面。 林瑾瑜在《分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用》中，从行列式计算中的经常用到的性质出发，推导出分块矩阵的若干性质，并举例说明这些性质在行列式计算和证明问题中的应用。 蔡铭晶在《例说分块矩阵的应用》中论述了分块矩阵的概念，举例说明和分析了分块矩阵在线性代数中的应用，包括利用分块矩阵求逆矩阵、求高阶行
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且 （E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K 证明因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K, 因A K= 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E， 同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E， 因此E-A是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K. 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K. 由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.
例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???000030000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证 A 2=???? ????? ???0000 000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???0000 0000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3 =? ? ?? ? ???? ???1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.
矩阵的逆及其应用
矩阵的逆及其应用 姓名：刘欣 班级：14级数计1班 专业：数学与应用数学 学号：1408020129 一、矩阵的逆的概念 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为 Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作Ａ１。 二、逆矩阵的性质和定理 ㈠逆矩阵的性质 1、若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆矩阵为 ， 当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。 若Ａ １，Ａ ２ ，，Ａ ｍ 都是ｎ阶可逆矩阵，则 Ａ １Ａ ２ Ａ ｍ 也可逆，且（Ａ １ Ａ ２ Ａ ｍ ） １ ＝ （Ａ ｍ） １ （Ａ ２ ） １ （Ａ １ ） １ . 2、若A可逆，则 也可逆，且（ ）=A； 3、若A可逆，实数λ≠0，则λA可逆，且（λ ）= λ ； 4、若A可逆，则 也可逆，且（ ）=（ ）； 5、=； 6、矩阵的逆是唯一的；
证明：运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都 是A的逆，则有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝ＢＥ ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ（与Ｂ≠Ｃ矛 盾），所以是唯一的。 ㈡逆矩阵的定理 １、初等变换不改变矩阵的可逆性。 ２、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵Ｉ ｎ 等价。 ３、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等矩阵的乘积。 ４、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。 ５、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。 三、逆矩阵的计算方法 ㈠定义法 定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那 么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为Ａ１。 例１、求矩阵Ａ＝２２３ １１０ １２１ 的逆矩阵。 解：∵｜Ａ｜≠０ ∴Ａ１ 存在
分块矩阵求逆公式及证明
分块矩阵求逆公式及证明 12:,1,2)()()i -??=???? ??+-==- ?-?? 1112ii 2122-1-1-1-1-11112221111112222211112-1221112A A A =A A A A I A F A A A A F A F A A A A F A A F 定理 如果（的逆存在，则，其中??=???? ??????=?=???????????? +=??+=???+=?+=?1112212211121112112122212222111112211111121222211122212112222222B B A B B A B B A A B B I 0AB I A A B B 0I A B A B I A B A B 0A B A B 0A B A B I 证明: 设的逆为，其中与分块形式相同，则：(1) (2)(3) (4) ? 11(4)(2)()--??-=?=-=-1-1-122111222221112222222221112A A A B A A B I B A A A A F 11121(3)(1)-??-=-?=--1-1-1-121112222111122211122211 A A A B A A A B A A B B A A 2 2(2)(1)()=-=+-122121112-1-121111*********B B A A F B B A I A F A A 将代入方程可以得到： 将代入方程可以得到： 证毕。 同理可得，A -1的另外一种表达形式为： 11,()()--??-==-??-+??-1-1-1111222111122221-1-122211 222221112F F A A A F A A A A A A F A I A F A 其中
分块矩阵求逆及其应用
. . . . . 目录 摘要 (1) 引言 (2) 一、概述 (2) 二、分块矩阵的求逆及其应用 (5) 第一节２×２分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (5) 第二节3×3分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (14) 结束语 (21)
分块矩阵求逆及其应用 东生 （渤海大学数学系 121000 中国） 摘要：对于分块矩阵，我们比较熟悉分块矩阵的乘法，而对于分块矩阵的求逆，经常遇到的是22?分块矩阵的逆的证明问题，很少涉及分块矩阵逆的计算，并且我们在实际问题中还会遇到33?分块矩阵（或更高阶的分块矩阵）的求逆问题，所以我们研究这样的分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式显得很有意义。分块是否合理是分块矩阵运算是否简便的关键，所以本文开头便对分块方法做了总结。接着，本文研究了较为简单的22?分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并予以证明，总结了研究方法，还深入探讨了22?分块矩阵中含有零块时的可逆性存在条件以及求逆公式。以22?分块矩阵的研究方法为基础，探讨研究了33?分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并试证成功，还总结出研究更高阶分块矩阵求逆方法。此外本文不仅侧重理论研究，而且侧重于实际应用，在文中列举了大量典型的阶数较高的矩阵，对他们如何分块才能使求逆过程更为简单作出分析，并给出了求解过程，真正做到了“理论联系实际”。 关键字：分块方法，分块矩阵，逆矩阵，可逆条件 Begging the negative matrix to a matrix of the cent and it ′s applying Li Dongsheng (Department of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract: For a matrix of the cent, we relatively know with the multiplication of dividing a matrix. But for begging the negative matrix to a matrix of the cent, we usually meet is 2 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank. It is seldom to involve to divide the calculation that a matrix inverse, and we also will meet in actual problem begging 3 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank.(or a matrix of more high-level cent).So it is very meaningfully to study this character of inverse of existence condition of such a matrix of cent; to beg the negative formula whether cent is reasonable is the key of whether a matrix operation is simple. What is more, the beginning of thesis does the summary to a method of cent. Immediately, the thesis has studied simple 2 ranks to divide a piece of matrix and the existence condition of inverse character. Finally the thesis gives the evidence. The method has been given, and when there are zero-pieces in a matrix, the character of inverse condition and begging the
分块矩阵及其应用汇总
分块矩阵及其应用 徐健, 数学计算机科学学院 摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量，而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块. 分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理. 关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩 On Block Matrixes and its Applications Xu Jian, School of Mathematics and Computer Science Abstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc. Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix
分块矩阵求逆及其应用
目录 摘要 (1) 引言 (2) 一、概述 (2) 二、分块矩阵的求逆及其应用 (5) 第一节２×２分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (5) 第二节 3×3分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (14) 结束语 (21)
分块矩阵求逆及其应用 李东生 （渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国） 摘要：对于分块矩阵，我们比较熟悉分块矩阵的乘法，而对于分块矩阵的求逆，经常遇到的是22?分块矩阵的逆的证明问题，很少涉及分块矩阵逆的计算，并且我们在实际问题中还会遇到33?分块矩阵（或更高阶的分块矩阵）的求逆问题，所以我们研究这样的分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式显得很有意义。分块是否合理是分块矩阵运算是否简便的关键，所以本文开头便对分块方法做了总结。接着，本文研究了较为简单的22?分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并予以证明，总结了研究方法，还深入探讨了22?分块矩阵中含有零块时的可逆性存在条件以及求逆公式。以22?分块矩阵的研究方法为基础，探讨研究了33?分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并试证成功，还总结出研究更高阶分块矩阵求逆方法。此外本文不仅侧重理论研究，而且侧重于实际应用，在文中列举了大量典型的阶数较高的矩阵，对他们如何分块才能使求逆过程更为简单作出分析，并给出了求解过程，真正做到了“理论联系实际”。 关键字：分块方法，分块矩阵，逆矩阵，可逆条件 Begging the negative matrix to a matrix of the cent and it ′s applying Li Dongsheng (Department of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract: For a matrix of the cent, we relatively know with the multiplication of dividing a matrix. But for begging the negative matrix to a matrix of the cent, we usually meet is 2 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank. It is seldom to involve to divide the calculation that a matrix inverse, and we also will meet in actual problem begging 3 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank.(or a matrix of more high-level cent).So it is very meaningfully to study this character of inverse of existence condition of such a matrix of cent; to beg the negative formula whether cent is reasonable is the key of whether a matrix operation is simple. What is more, the beginning of thesis does the summary to a method of cent. Immediately, the thesis has studied simple 2 ranks to divide a piece of matrix and the existence condition of inverse character. Finally the thesis gives the evidence. The method has been given, and when
广义逆矩阵及其应用【文献综述】
毕业论文文献综述 数学与应用数学 广义逆矩阵及其应用 一、前言 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。 先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。 1855 年，埃米特(C.Hermite，1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch，1831～1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。 在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。 1854 年，