导数与微分
第三章 导数与微分 1﹑学习要求 （1）应了解的内容
导数和微分的定义，高阶导数的计算。 （2）应熟悉的内容
利用导数的定义计算函数在一点处的导数，导数的几何意义，反函数求导法则，微分与导数之间的关系,隐函数的求导法则。 （3）应掌握的内容
基本求导公式，导数的四则运算，复合函数的求导法则，微分的运算法则。 2﹑本章重点难点分析
难点在导数的定义和复合函数、反函数的求导法则。导数是函数的增量与自变量的增量之比的极限，求复合函数的导数时要分清哪些是中间变量。运用反函数的求导法则时要注意成立的条件。 3﹑本章典型例题分析 例1．设)(0x f '存在，则=??--→?x
x x f x f x )
()(lim
000
（ ）
A . )(0x f '-
B .0
C . )(0x f '
D . ∞
分析：这是典型的有关导数定义的问题，导数定义主要有两种等价形式. 即)()
()(lim
0000
x f x
x f x x f x '=?-?+→?， 与)()
()(lim
0000
x f h
x f h x f h '=-+→。
本题用第二种形式较好，但常先需作恒等变形， 事实上，原式)()
())((lim
0000
x f x
x f x x f x '=?--?-+=→? （视为)x h ?-=， 故应选C .
例2．曲线2
x y =在其上横坐标为2=x 的点处切线的斜率是（ ）.
A . 4
B . 3
C . 2
D . 1
分析：由导数的几何意义知切线斜率为42)(2
2
2
2=='
='===x x x x
x y ，应选A
由此也可知过切点),(00y x 的切线方程为))((000x x x y y y -'=- 。 例3.一质点的运动方程为3
t s =，则该质点在2=t 时的瞬时速度为（ ）。
A . 12
B . 8
C . 4
D . 2
分析：由导数的物理意义知运动速度2
33)()()(t t t s t v ='='=，故2=t 时瞬时速度为
1223)2(2=?=v ，应选A .进一步可知质点运动加速度)()()(t s t v t a ''='=.
例4．设t t t y t
ln cos 44
---=，则='y . 分析：本题要应用函数和差的求导法则与相关的基本求导公式 1
)(-='αα
αx
x ，a a a x
x ln )(=' )1,0(≠>a a x x sin )(cos -='，x
x 1)(ln =
'。
)(ln )(cos )4()(4'-'-'-'='t t t y t t t t t 1
)sin (4ln 443-
---=t
t t t 1
sin 4ln 443-+-= 例5．设某商品的总成本函数为500201.02
++-=Q Q C T ，其中Q 为产量，则其边际成
本函数=M C .
分析：由导数的经济学中意义知边际成本函数)(Q C dQ
dC C T
T M '==
（总成本函数的导数），再应用幂函数求导公式与四则运算法则可求此导数为
)500()20()1.0(2
'+'+'-=Q Q C M 202.00202.0+-=++-=Q Q 。 由上例可知求经济学中边际函数就是求相应函数的导数， 例6．设122-+=
x x y ，求y '
分析：求复合函数的导数时，先要弄清函数的复合结构（确定中间变量），
再应用有关求导公式进行运算. 解：令122
-+=x x u ，则u y =
由公式
)12()(2'-+'=?=
x x u dx du
du dy dx
dy 1
211)22(212
-++=+=+=
x x x u
x x u 。
熟悉后，可不必写出中间变量u 来，直接运算如 )12(1
22122
'-+-+=
'x x x x y 1
211
22222
2
-++=
-++=
x x x x x x 。
例7．设x y sin ln =，求y '.
解法一：令x u sin =，则u y ln =，由复合函数求导法则有
x x x x u x u dx du du dy dx
dy cot sin cos cos 1)(sin )(ln ==='?'=?=
。 解法二：直接求导有 x x
x x x
y cot sin cos )(sin sin 1=='=
'。
注：解法二形式上比解法一简单.但要注意不能弄错了中间变量. 例8．=)3(sin x d 。
分析：由微分与导数关系，有dx x f x df dx y dy )()('='=或. 故xdx dx x x dx x x d 3cos 3)3)(3(cos )3(sin )3(sin ='='= 第四章 中值定理与导数的应用 1、学习要求 （1）应了解的内容
函数的极值的概念。曲线的渐近线的求法。经济函数的边际函数的概念及其计算。 （2）应熟悉的内容
函数的单调性的判断，函数的极值存在的必要条件。曲线的凸性的判别，曲线的拐点的计算。
（3）应掌握的内容
罗必达法则；函数的极值存在的一阶导数判别和二阶导数判别；函数的极值的计算和最大值、最小值的计算。 2、本章重点难点分析
中值定理的三种形式成立的共有条件是：函数在闭区间上连续，在开区间内可导。就是说罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况（)()(b f a f =）。在应用这些定理时一定要掌握住它们成立的条件的异同。
洛必达法则的应用对各种未定式一定要将它们转化为熟知的两种形式∞
∞
，00型，在求导数时是对分子和分母分别求导数（不要对整个商进行求导），在一个问题中洛必达法则可以运用多次，直到分母的极限不为零为止。
函数单调性判别法：
假设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上可导，则当)),((0)(b a x x f ∈?>'时，)(x f 在],[b a 上单调增加；当)),((0)(b a x x f ∈?<'函数)(x f 在],[b a 上单调减少。
极值的必要条件：设函数)(x f 在点0x 可导，且0x 是)(x f 的极值点，则必有0)(0='x f 极值的第一充分判别法：设函数在点0x 的某领域),(0δx U 中连续，在),(00
δx U 中可导，则当x 自0x 的左侧变到右侧时1）若)(x f '的符号由负变正，则)(0x f 是)(x f 的极小值；2）若)(x f '的符号由正变负，则)(0x f 是)(x f 的极大值；3）若)(x f '的符号保持不变，则
)(0x f 不是)(x f 的极值；
极值的第二充分判别法：设函数)(x f 在点0x 有二阶导数，且0)(0='x f ，则1）当
0)(0>''x f 时，)(0x f 是)(x f 的极小值；2）当0)(0<''x f 时，)(0x f 是)(x f 的极大值；
3）当0)(0=''x f 时，不能判定)(0x f 是否为极值。
最值的判别法：设函数)(x f 在区间I 上连续，且在内部只有一个驻点或不可导点，则1）当)(0x f 是极小值时，)()(min 0x f x f I
x =∈；2）当)(0x f 是极大值时，)()(max 0x f x f I
x =∈；
3、本章典型例题分析
例1．下列函数中，在区间]1,1[-上满足罗尔定理的是（ ） A .
x
1 B . x C . 12
-x D . 12+x
分析：罗尔定理条件有三个⑴[]b a x f ,)(在上连续，
⑵内可导（或可微）在),()(b a x f ， ⑶)()(b f a f =，
结论是在),b a （内至少存在一点ξ，使0)(='ξf .可逐一检查D C B A ,,,四个选项中函数而得到结论，这类题有一定难度. 事实上，对x
x f 1)(=
言，它在0=x 处不连续，条件⑴不成立，A 错.
对x x f =)(言，它在]1,1[-上连续但在0=x 处不可导，故不满足条件⑵，B 不对 对1)(2
-=x x f 言，它在]1,1[-上连续，在)1,1(-内可导且)1(0)1(-==f f ，选C 对12)(+=x x f 言，它在]1,1[-上连续，也在)1,1(-内可导，3)1(1)1(=≠-=-f f ，条件⑶不满足，故D 也不对 例2．求极限x
e e x x x tan lim
-→-。
分析：此题因为是“
0”型，故不能用商的极限法则，可用洛必达法则求解，把函数比的
极限转化为导数比的极限。即
)
()
(lim
)
()(lim
x g x f x g x f a
x a
x ''=→→ )0)(lim ,0)(lim (==→→x g x f a x a x ，
有时还要与极限的四则运算法则相结合使用以简化运算. 解：由洛必达法则有
原式)(tan )(lim 0''-=-→x e e x x x x e e x
x x 20sec lim -→+= 1
11+= 2= 。 例3．求极限x
x x 4sin 1tan lim
4
-→
π
。
解：同上例，因极限为“
0”型，用洛必达法则求解，有
原式)4(sin )1(tan lim
4
''-=→
x x x π
x
x x 4cos 4sec lim 2
4
π→= 21cos 44sec 2
-==
ππ
。 例4．求函数5932
3+--=x x x y 的增减区间和极值.
分析：确定可导函数的增减区间主要根据导数符号（恒正或恒负）.极值点应是求出驻点，
再观察一阶导数在驻点两侧是否异号来确定. 解：
1先求出函数的驻点.令
0)3)(1(39632
=-+=--='x x x x y ， 得驻点31与-=x .
2再讨论相应区间上y '得符号，事实上 当1-
3结论：函数单增区间为)1,(--∞与),3(+∞
函数单减区间为)3,1(-. 极大值为10)1(=-y ，极小值为22)3(-=y .
例5．欲做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为3
288cm ，其底边长成1︰3关系，
问各边的长为多少时，才能使箱子的表面积为最小？
分析：这是有关函数最大值或最小值的实际应用问题，简称最大最小问题。其要点是设出自
变量与目标量，求出目标量与自变量的函数关系（目标函数），再求目标函数在相应区间内的最值。 解：
1设出自变量.
设箱子底面边长为xcm x 3与，则由设其高为cm x x x 2
2
963288=
?
2建立目标函数.
箱子表面积为)963963(2)(2
2
x
x x
x x x x S ?
+?+?= )3843(22
x
x += )),0((+∞∈x 。
3求目标函数驻点 令0)3846(2)(2
=-
='x
x x S .即643=x ，得4=x ，此时123=x ，
6962
=x
。
4结论
因在）
，（∞+0内驻点唯一，由问题的实际意义知该驻点（即4=x ）必定是所求的最小值点，即当箱子的长为cm 12，宽为cm 4，高为cm 6时，可使箱子的表面积最小。 注：实际问题中，当驻点唯一时，该驻点必为所求的最大值点或最小值点。可不再用极
值充分条件判别驻点是否为极值点。
一、选择题
1、曲线13
-=x y 在点)0,1(处的法线的斜率为（ ） A 3 B 3
1-
C 2
D 2
1-
2、)(0x f -'与)(0x f +'都存在是)(0x f '存在的（ ）
A 充分必要条件
B 充分非必要条件
C 必要非充分条件
D 既非充分也非必要条件
3、设x x y +=3
，则
==2
y dy
dx （ ）
A 2 B
2
1 C 4 D
4
1
4、0)(0='x f 是可导函数)(x f 在0x 点处有极值的（ ）
A 充分条件
B 必要条件
C 充要条件
D 既非充分也非必要条件 5、若0)(0='x f ，0)(0=''x f ，则函数)(x f 在0x 点处（ ） A 一定有极大值 B 一定有极小值 C 可能有极值 D 一定无极值
二、填空题
1、导数的几何意义是函数)(x f y =在点x 处的
2、设曲线2
x y =在某点的非水平的切线过点（2，0），则切线方程为
3、=')2(sin x
4、2
2x e
y =的导数为
5、 132
4
--+=x x x y ，求='y 6、x x y sin =
，求='y
7、,sin x
x e y x =
求='y
8、)21ln(x y -=，求='y 9、2
sin x x y =，求='y 10、,3
12arcsin
-=x y 求='y
11、=)
(sin n x
12、x
e x y 2
=，求=''y 13、,2sin x e y x
=求=dy 14、,ln x y =求=dy
15、=--→1
1lim
21
x x x
16、=-∞
→x
x x 1arctan 2
lim π
＋
17、=++→)
1ln()1ln(lim
2
x x x
18、=++∞
→x
x x x x sin 2cos lim
19、 =→1
)(cos lim x x x
三、计算题 1、设,11arctan
x
x y -+=求y '
2、设,arctan x x y =求y ''
3、求x
e e x x x sin lim
-→-
4、求x
x x e e x x x sin 2lim
----→
5、求出函数32
2
)1()2(+-=x x y 的单调区间 6、求133
+-=x x y 的极值 7、求函数x
e
x x f -=2)(的极值
8、求函数58)(2
4
+-=x x x f 在区间[-1，3]上的最大值和最小值 9、3
2)1(-=
x x y 在区间[-1，2]上的最大值和最小值
10、证明：当0>x 时，2
1arctan
arctan π
=
+x
x
导数与微分(经典课件)
导数与微分 引 言 导数与微分是数学分析的基本概念之一。导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。导数的概念在于刻划瞬时变化率。微分的概念在于刻划瞬时改变量。 求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。本章主要内容如下： 1． 以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义； 2． 给出求导法则、公式，继而引进微分的概念； 3． 讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。 4． 可导与连续，可导与微分的关系。 §1 导数的概念 教学内容：导数的定义、几何意义，单侧导数，导函数，可导与连续的关系，函数的极值。 教学目的：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义 出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连 续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线 方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。 教学重点：导数的概念，几何意义及可导与连续的关系。 教学难点：导数的概念。 教学方法：讲授与练习。 学习学时：3学时。 一、导数的定义： 1．引入（背景）： 导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿（Newton ）在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹（Leibuiz ）在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。 在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。 问题1。直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为)(t s s =，若0t 为某一确 定时刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。 取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在[]t t ,0或[]0,t t 时间段的平均速度为：00) ()(t t t s t s v --= ， 当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：0 0) ()(lim t t t s t s v t t --=→。 问题2。曲线上一点处切线的斜率：已知曲线方程为)(x f y =，求此曲线在点),(00y x P 处的切线。 在曲线上取临近于P 点的某点),(y x Q ，则割线PQ 的斜率为：0 0) ()(tan x x x f x f k --= =α， 当Q 越接近于P ，割线PQ 斜率就越接近于曲线在点P 处的斜率，于是曲线在点P 处的斜率： 0 0) ()(lim x x x f x f k x x --=→.
高数第三章一元函数的导数和微分
第三章一元函数的导 数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题
二、导数的定义 设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为 即 其它形式 关于导数的说明： 在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。 对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）
的导函数，记作 注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求： （1） 【答疑编号11030101：针对该题提问】 （2） 【答疑编号11030102：针对该题提问】
三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数： 函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103：针对该题提问】 解
闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤： 例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。 【答疑编号11030104：针对该题提问】 解 例4、设函数 【答疑编号11030105：针对该题提问】 解
浅谈微积分与化学的关系
浅谈微积分与化学的关系 说到微积分与化学的关系，首先要从微积分的创造与发展说起。 微积分是微分和积分两门学问的统称，研究的范畴有三，包括微分、积分，以及微分和积分两者之间的关系。微分主要讨论一个变量怎样随时间（或其他变量）改变，而积分则主要讨论计算面积的方法。它们两者的关系由「微积分基本定理」（或称「牛顿－莱布尼茨公式」）给出：简单来说，这条定理说明，在适当的条件下，求积分是求微分之逆，求微分也是求积分之逆。以下简称微积分的历史。一微积分发展的蒙芽时期早在希腊时期，人类已经开始讨论「无穷」、「极限」以及「无穷分割」等概念。这些都是微积分的中心思想；虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞，有时现代人甚至觉得这些讨论的论証和结论都很荒谬，但无可否认，这些讨论是人类发展微积分的第一步。例如公元前五世纪，希腊的德謨克利特（Democritus）提出原子论：他认為宇宙万物是由极细的原子构成。在中国，《庄子．天下篇》中所言的「一尺之捶，日取其半，万世不竭」，亦指零是无穷小量。这些都是人类对早期的极限以及无穷等概念的原始认识。其他关於无穷、极限的论述，还包括芝诺（Zeno）几个著名的悖论1：其中一个悖论说一个人永远都追不上一隻乌龟2，因為当那人追到乌龟的出发点时，乌龟已经向前爬行了一小段路，当他再追完这一小段，乌龟又已经再向前爬行了一小段路。芝诺说这样一追一赶的永远重覆
下去，任何人都总追不上一隻最慢的乌龟－－当然，从现代的观点看，芝诺说的实在荒谬不过；他混淆了「无限」和「无限可分」的概念。人追乌龟经过的那段路纵然无限可分，其长度却是有限的；所以人仍然可以以有限的时间，走完这一段路。然而这些荒谬的论述，开啟了人类对无穷、极限等概念的探讨，对后世发展微积分有深远的歷史意味。 另外值得一提的是，希腊时代的阿基米德（Archimedes）已经懂得用无穷分割的方法正确地计算一些面积，这跟现代积分的观念已经很相似。由此可见，在歷史上，积分观念的形成比微分还要早－－这跟课程上往往先讨论微分再讨论积分刚刚相反。 二、十七世纪的大发展－－牛顿和莱布尼茨的贡献 中世纪时期，欧洲科学发展停滞不前，人类对无穷、极限和积分等观念的想法都没有甚麼突破。中世纪以后，欧洲数学和科学急速发展，微积分的观念也於此时趋於成熟。在积分方面，一六一五年，开普勒（Kepler）把酒桶看作一个由无数圆薄片积累而成的物件，从而求出其体积。而伽利略（Galileo）的学生卡瓦列里（Cavalieri）即认為一条线由无穷多个点构成；一个面由无穷多条线构成；一个立体由无穷多个面构成。这些想法都是积分法的前驱。
一元函数(导数与积分)课堂训练题
填空题 1.下列各极限正确的是 （ ） A 、e x x x =+ →) 11(lim 0 B 、e x x x =+ ∞ →1 )11(lim C 、11sin lim =∞ →x x x D 、 11sin lim 0 =→x x x 2.不定积分=-? dx x 2 11 （ ） A 、2 11x - B 、 c x +-2 11 C 、x arcsin D 、 c x +arcsin 3.若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有 （ ） A 、0)('
导数和微分的概念
一元函数微分学 §1 导数和微分的概念 基本概念 1. 导数定义 00000)()(lim lim )()(lim 0x x x f x f x y x x f x x f x x x x --=??=?-?+→→?→? 0|)()(00x x dx dy x y x f =='='= 几种极限形式都要掌握 函数在某点可导即上述极限存在，极限存在?左右极限都存在且相等，左极限为左导，右极限为右导， )(lim 00x f x y x --→?'=??， )(lim 00x f x y x ++→?'=?? 导数定义是非常重要的概念，一定要灵活掌握。 2. 导函数)(x f ',dx dy . f (x )在（a , b ）可导, f (x )在[a , b ]可导 3. 可导与连续的关系 可导一定连续，但连续不一定可导（如函数||x y =在x =0点处连续，但是不可导） 4. 导数的几何意义 切线方程：))((000x x x f y y -'=-； 法线方程：)() (1000x x x f y y -'- =- 0)(0≠'x f ， 5. 微分的定义
微分的几何意义 6. 微分与导数的关系 )(x f 在x 处可微?)(x f 在x 处可导，且dx x f dy )('= 同时 dx x f dy x x )(|00'==。 §2 导数与微分的计算 基本概念 1. 基本初等函数的导数、微分公式（书159页，166页） 2. 导数（微分）四则运算公式 )()())()((x g x f x g x f '±'='±， )()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='， 特别地 )())((x f k x kf '='， ) ()()()()())()((2x g x g x f x g x f x g x f '-'=' 特别地 ) ()())(1(2x f x f x f '-='。 后面两个公式不要记错。 3. 复合函数的求导法则 如何正确运用好复合函数求导法则（必须明确函数的复合过程），并且应到最后一层复合 4．高阶导数（计算同一阶导数）。
数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型
数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义(数三经济意义)，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。
5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解)，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。
论文浅谈导数的应用
浅谈导数的应用 摘要：法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，导数是我们进一步学习数学和其他自然科学的基础，是研究现代科学技术中必不可少的工具．我们要明确导数的内涵，知道运用导数思想解题的方法，从而通过提出问题的数学特征，建立导数关系的数学模型．一般地，导数思想是从构造函数利用导数函数的性质，解决不同类型的问题，导数思想在中学数学、高等数学以及我们日常生活中占有极其重要的地位，本文详细介绍导数思想的内涵和本质，使人们对导数的内容有更深的理解，以便在遇到各种问题时能够考虑到导数思想，从而优化解决问题的过程． 关键词：极限;导数;微分
Shallowly Discusses the Application of Derivative Abstract:To study extremely problems, French mathematician Fermat brought in derivative idea. Derivative is the basis for us to learn math and other natural science further, an indispensable tool in research of modern science and technology. We should understand the concept and acquire the capacity of solving problems with mathematical ideas and create derivative model according to the mathematical feature of the given problem. On average, we use specific derivative in accordance with definite trait of the various problems. The derivative idea plays an important part in middle school math, advanced math and our daily life. In this chapter, the concept and essence of derivative are introduced to deepen people's understanding in math and help to simplify people's derivative. Key words:Limit; Derivative; Differential
最新导数和微分的概念
导数和微分的概念
一元函数微分学 §1 导数和微分的概念 基本概念 1.导数定义 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 几种极限形式都要掌握 函数在某点可导即上述极限存在，极限存在?Skip Record If...?左右极限都存在且相等，左极限为左导，右极限为右导， ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...? 导数定义是非常重要的概念，一定要灵活掌握。 2.导函数?Skip Record If...?,?Skip Record If...?. f(x)在（a, b）可导, f(x)在[a, b]可导 3.可导与连续的关系 可导一定连续，但连续不一定可导（如函数?Skip Record If...?在x=0点处连续，但是不可导） 4.导数的几何意义 切线方程：?Skip Record If...?； 法线方程：?Skip Record If...? ?Skip Record If...?， 5.微分的定义 微分的几何意义 6.微分与导数的关系
?Skip Record If...?在x处可微?Skip Record If...??Skip Record If...?在x处可导，且?Skip Record If...? 同时 ?Skip Record If...?。 §2 导数与微分的计算 基本概念 1.基本初等函数的导数、微分公式（书159页，166页） 2.导数（微分）四则运算公式 ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?， 特别地 ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...? 特别地 ?Skip Record If...?。 后面两个公式不要记错。 3.复合函数的求导法则 如何正确运用好复合函数求导法则（必须明确函数的复合过程），并且应到最后一层复合 4．高阶导数（计算同一阶导数）。 §3 中值定理 基本概念
一元函数微分学知识点
第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞ ∞或00型，)()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算：
基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法
浅谈导数在高中数学中的应用
浅谈导数在高中数学中的应用 浅谈导数在高中数学中的应用 【关键词】高中数学中的导数；应用 导数是高中数学新教材中新增内容之一，它的引入给传统的中学数学内容注入了新的生机和活力，也为中学数学解决问题注入了新的途径和方法。导数是高等数学的内容，是对函数图像和性质的总结和拓展，是研究函数单调性、极值、最值的重要工具。利用导数可以解决现实生活中的最优化问题。由此可见，它在高中教学中起着非常重要的作用。本从几个方面出发，谈一谈导数的应用。 1 几何方面的应用在导数概念的基础上，结合函数图像研究导数的几何意义是导数概念的延伸，是导数知识的重要内容。导数是微积分中的重要基础概念，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。 在解析几何中，我们求曲线的切线，只需要知道曲线的方程=f （x）和曲线上的任意一点，利用对函数求导就可以得到这一点的切线方程。
下面给出求曲线的切线方程的方法步骤： （1）求导数，得到曲线在该点的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条下，利用点斜式求出切线方程：-f（x0）=f’（x0）（x-x0） 例1 试求曲线=xlnx上点（1，2）的切线方程 解：对函数f（x）=xlnx 求导得f’（x）=lnx+1 所以f’（1）=ln1+1=1，所以在点（1，2）的切线方程为 -2=1（x-1） 即=x+1 切线方程：=x+1 先求出函数=f（x）在x=x0处的导数，即曲线在该点处的切线斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程。 例2 求垂直于直线2x-6+1=0并且和曲线=x3+3x2-相切的直线方程。 解因为所求的直线与已知直线2x-6+1=0垂直 所以所求直线的斜率1=-3 又因为所求直线与=x3+3x2-相切， 所以它的斜率2=‘=3x2+6x 因为1=2 即3x2+6x=-3 所以（x+1）2=0 即x=-1 代入曲线方程得=（-1）3+3（-1）2-=-3
高考真题第十四篇一元函数的导数及其应用
高考真题第十四篇一元函数的导数及其应用 一、导数的几何意义、定积分与微积分基本定理 二、导数的综合应用 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理 2019年 1.（2019全国Ⅰ理13）曲线在点处的切线方程为____________． 2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线在点处的切线方程为y =2x +b ，则 A ． B ．a=e ，b =1 C ． D ． ， 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线() y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 2．(2016年四川)设直线1l ,2l 分别是函数()f x = ln ,01, ln ,1, x x x x -<?图象上点1P ，2P 处的切 线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,+∞) D ．(1,+∞) 3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线 互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是 A ．sin y x = B ．ln y x = C ．x y e = D ．3 y x = 4．(2015福建)若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足 2 3()e x y x x =+(0)0， e ln x y a x x =+1e a （，）e 1a b ==-，1e 1a b -==，1e a -=1b =-
浅谈导数与微分
学校：贵阳学院 系别: 数学与信息科学学院专业：数学与应用数学 班级：09应数班 科目：数学分析选讲 老师：姚老师 姓名：郑刚 学号：090501401007
浅谈导数与微分 一、引言 我们知道一个函数在某点可导和可微是等价的，那我就分别从导数和微分的定义与应用来讨论它们的联系与区别。 二、导数的定义 1. 函数在一点处可导的概念 1【】 定义 设函数y =f (x )在x 0的某个邻域内有定义．对应于自变量x 在x 0处有改变量?x ，函数y =f (x )相应的改变量为?y =f (x 0+?x )-f (x 0)，若这两个改变量的比 ()() x x f x x f x y ????00-+= 当?x →0时存在极限，我们就称函数y =f (x )在点x 0处可导，并把这一极限称为函数y =f (x )在点x 0处的导数(或变化率)，记作0 |x x y ='或f '(x 0) 或0 x x dx dy =或0 ) (x x dx x df =．即 0 |x x y ='=f '(x 0)=x x f x x f x y x x ??????) ()(lim lim 000 -+=→→ 比值x y ??表示函数y =f (x )在x 0到x 0+?x 之间的平均变化率，导数 |x x y ='则表示了函数在点x 0处的变化率，它反映了函数y =f (x )在点x 0 处的变化的快慢． 如果当?x →0时x y ??的极限不存在，我们就称函数y =f (x )在点x 0 处不可导或导数不存在． 在定义中，若设x =x 0+?x ，则(2-1)可写成 f '(x 0)=()()0 lim x x x f x f x x --→
一元函数的导数公式和微分
一、一元函数微分学 一元函数微分学由导数和微分组成。导数：样本量随自变量的变化而变化的快慢程度；微分：曲线的切线上的纵坐标的增量。 二、常数和基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1)(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1)(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 2 11)(arcsin x x -= ' (14) 2 11)(arccos x x -- =' (15) 2 1(arctan )1x x '= + (16) 2 1(arccot )1x x '=- + 三、函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'= ' ??? ?? 四、反函数求导法则
若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y = 在对应区间x I 内也可导，且 )(1 )(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 五、复合函数求导法则 设)(u f y = ，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数 )]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= 六、高阶导数的莱布尼兹公式 七、隐函数的导数 一般地，如果变量x ，y 之间的函数关系是由某一个方程 ()0,=y x F 所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数. 对数求导法 根据隐函数的求导法，我们还可以得到一个简化求导运算的方法.它适合由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的求导.这个方法是先取对数，化乘、除为加、减，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导法求导，
导数在经济学中的应用
引言 近年来，随着市场经济的不断发展、经济的不断繁荣，经济活动中的实际问题也愈加复杂，简单的分析已经不足以满足企业管理者对经济分析的需求。因此，有必要将高等数学应用于简单的数学函数所不能解决的实际经济问题中，对其进行定量分析，这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位。而导数作为高等数学中的重要概念，同样也是解决经济问题的一个有力工具。在高等数学中，导数通常被用于判断函数的单调性，求函数的最值、极值等。在实际经济问题中，导数可作为经济分析的工具，广泛地应用到经济研究和企业管理之中，促进经济理论朝着更加精确的方向发展。本文从边际分析，弹性分析，优化分析三个方面论述导数在经济分析方面的应用。 1、导数的概念 早在法国数学家费马探究极值问题时就将导数的思想引入了，但导数思想是在英国数学家牛顿研究力学和德国数学家莱布尼茨研究几何学的过程中正式建 2、经济分析中常用的函数 由于导数主要应用于探究经济领域中出现的一些函数关系问题，所以，我们必需对经济分析中的一些常用的函数具有一定的了解，以便更好的理解和使用它们。经济分析中常用的函数主要有以下四类： 2.1需求函数 需求函数指在特定的时间，各种可能的价格条件下，消费者愿意并且能够购买该商品的数量。（出处？）为了使问题简单化，我们一般假设需求函数的诸多
自变量中除价格外其他均为常量，则函数表示为()P f Q d =，其中，P 为商品的价格，Q d 为商品的需求量。这个函数表示一种商品的需求量与价格之间存在一 一对应的关系，并且通过观察可以知道商品（除某些抵挡商品、某些炫耀性商品、某些投资性商品除外）的需求量与价格成反方向变动关系，即商品本身价格上升，需求量随之减少，反之亦然。 例1：服装店销售某种衬衫的件数Q 与价格P 是线性关系，当价格为100元一件时，可销售120件，当价格为80元时，可销售200件，求需求函数。 解:设衬衫的件数与价格的函数关系为：b aP Q += 则b a +=100120；b a +=80200 解得4-=a ；520=b 所以需求函数为5204+-=P Q 。 2.2供给函数 一种商品的供给函数，是指单个生产者在一定时期在各种可能的价格下，愿意且能够提供出售的该种商品数量。[3]我们通常通过将除价格外的其他因素看成常量以达到化简问题的目的。所以，供给函数可以用()P f Q s =表示，其中，P 为商品的价格，Q S 为商品的供给量。可以看出，商品（除单个劳动力商品、古董商品、某些投资性商品外）的价格与供给量之间成同方向变动的关系。 例2：已知大蒜的收购价为每千克4元，每星期能收购2000千克，若收购价每千克提高0.5元，每星期可收购2500千克，求大蒜的供给函数。 解：设大蒜的线性供给函数为：b aP Q += 则b a +=42000；b a +=5.42500 得1000=a ；2000-=b 所以供给函数为为：20001000-=P Q 2.3成本函数 产品成本一般情况下是用货币的形式来表现的企业生产和出售产品的所用度支出。成本函数所表示的是企业成本总额与产出总量之间关系的公式。产品成
浅谈导数在解决实际问题中的应用文献综述
毕业论文文献综述 数学与应用数学 浅谈导数在解决实际问题中的应用 一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念，综述范围，简要说明有关主题的或争论焦点） 本论文的主要目的是通过查阅各种相关文献，寻找各种相关信息，来研究导数在几何、物理及其经济上的一些应用，首先我们来介绍一些概念： 定义1[] 1 设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若极限 ()()000 lim x x f x f x x x →-- (1) 存在，则称函数f 在点0x 处的导数，记作()'0f x . 令0x x x =+?,()()00y f x x f x ?=+?-,则(1)式可改写为 ()()()00'000 lim lim x x f x x f x y f x x x ?→→+?-?==??V (2) 所以,导数是函数增量y ?与自变量增量x ?之比 y x ??的极限.这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称差商),而导数()'0f x 则为 f 在0x 处关于x 的变化率.若(1)(或(2)式极限不存在,则称f 在点0x 处不可导. 定义2[] 1 设函数()y f x =在点0x 的某右邻域[)00,x x δ+上有定义，若右极限 ()()0000 lim lim x x f x x f x y x x ++?→?→+?-?=?? ()0x δ
一元函数的导数及其应用作业手册答案
课时作业(十四) 1.D [解析] 依题意有f'(x )= 1x ·√2x -2×1 2 ×(2x )-12·lnx 2x ,故f' 1 2 = 2+ln2 1 =2+ln 2,故选D . 2.A [解析] 当x=1时,f (1)=-2+0=-2,所以切点为(1,-2),由题得f'(x )=-2+1x ,所以f'(1)=-2+11 =-1,所以切线方程为y+2=-1×(x-1),即x+y+1=0,故选A . 3.A [解析] 由题意,f'(x )=2x+2f'(1),则f'(1)=2+2f'(1),解得f'(1)=-2,故f (x )=x 2-4x.故选A . 4.B [解析] f'(x )=-sin x-f' π2 ,令x=π2,得f' π2 =-12,即f (x )=cos x+12x.f (0)=1,f'(0)=12 ,所以l 的方程为 y=12 x+1,结合选项可知直线2x+y+1=0与直线l 垂直.故选B . 5.32 [解析] ∵f'(x )=2x -x ,f'(1)=-1 2 ,又∵f (1)=1,∴切点是(1,1),∴切线方程是y-1=-1 2 (x-1),将点(0,a )代入, 解得a=12 +1=32 . 6.D [解析] 令f (x )=x 3-4x+4,则f'(x )=3x 2-4,f'(1)=-1,设切线的倾斜角为α,则tan α=-1,可得α=135°.故选D . 7.A [解析] 由题意,得f'(x )=ln x+1,∴f'(1)=1,又f (1)=a ,∴切线方程为y=x-1+a.∵切线过原点,∴0=0-1+a ,解得a=1.故选A . 8.A [解析] 由题意知,函数f (x )是定义在R 上的奇函数,可得f (0)=0,即f (0)=-m=0,解得m=0,即当x ≤0时,函数f (x )=x 3-2x ,则f'(x )=3x 2-2,所以f'(-2)=3×(-2)2-2=10,由奇函数的导函数为偶函数,可知f'(-2)=f'(2)=10,即曲线y=f (x )在点P (2,f (2))处的切线斜率为10.故选A . 9.B [解析] 由y=2x ln x ,得y'=2×ln x+2x×1x =2ln x+2,所以y'|x=e =2+2=4,且y|x=e =2e,所以切线方程为y-2e =4(x-e),即y=4x-2e,此切线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为e 2 ,0,(0,-2e),所以切线与坐标轴围成的三 角形面积S=12×e 2 ×2e =e 22 .故选B . 10.C [解析] 设直线与曲线切于点(x 0,y 0)(x 0≠0),则切线的斜率k= y 0-1x 0-1=x 03-1x 0-1 =x 02 +x 0+1,又∵y'=3x 2,∴y'|x=x 0 =3x 02,∴2x 02 -x 0-1=0,解得x 0=1或x 0=-12 ,∴过点P (1,1)与曲线y=x 3相切的直线方程为3x-y-2=0或 3x-4y+1=0.故选C . 11.C [解析] y'=1+1x ,当x=1时,切线的斜率k=2,切线方程为y=2(x-1)+1=2x-1,因为它与抛物线相切.所以ax 2+(a+2)x+1=2x-1有唯一解,即ax 2+ax+2=0,故{a ≠0,a 2-8a =0,解得a=8.故选C . 12.3 [解析] ∵f (x )=(x 2-a )ln x ,∴f'(x )=2x ln x+ x 2-a x ,∴f'(1)=1-a=-2,得a=3.
浅谈微积分
微积分 微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。 什么是微积分？它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念 如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。 牛顿在1665年5月20目的一份手稿中提到“流数术”，因而有人把这一天作为诞生微积分的标志。牛顿关于微积分的著作很多写于 1665 - 1676 年间，但这些著作发表很迟。他完整地提出微积分是一对互逆运算，并且给出换算的公式，就是后来著名的牛顿-莱布尼茨公式。牛顿是那个时代的科学巨人。在他之前，已有了许多积累：哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现行星运动规律--航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，微积分在这样的条件下诞生是必然的。
德国数学家莱布尼茨使微积分更加简洁和准确，他从几何方面独立发现了微积分，在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数学家研究过，他们为微积分的诞生作了开创性贡献。但是池们这些工作是零碎的，不连贯的，缺乏统一性。莱布尼茨创立微积分的途径与方法与牛顿是不同的。莱布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较莱布尼茨高一筹，但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹，既简洁又准确地揭示出微积分的实质，强有力地促进了高等数学的发展。 如果说牛顿从力学导致“流数术”，那莱布尼茨则是从几何学上考察切线问题得出微分法。 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。 牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了，而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用。莱布尼茨比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。 微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。 前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。 不幸的是，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的
导数与微分重点知识归纳
导数的概念 例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，，求质点在t0的瞬时速 度？ 我们知道时间从t0有增量△t时，质点的位置有增量 这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为： 若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。 我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度， 即：质点在t0时的瞬时速度= 为此就产生了导数的定义，如下 导数的定义 设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地 函数有增量 ， 若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。 记为：还可记为：， 函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。 若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数 对于区 间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数， 我们就称这个函数为原来函数的导函数。 注：导数也就是差商的极限左、右导数 前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的
概念。 若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的左导数。 若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的右导数。 注：函数在x0处的左右导数存在且相等是函数在x0处的可导的充分必要条件 函数的和差求导法则 法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差). 用公式可写为：。其中u、v为可导函数。 常数与函数的积的求导法则 法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成： 函数的积的求导法则 法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数。用公式可写成： 函数的商的求导法则 法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积，在除以分母导数的平方。用公式可写成： 复合函数的求导法则 例题：求=? 解答：由于，故这个解答正确吗? 这个解答是错误的，正确的解答应该如下： 我们发生错误的原因是是对自变量x求导，而不是对2x求导。 下面我们给出复合函数的求导法则
一元函数微分学习题
第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
5．设函数)(x f 在)1,1(-内有定义，且满足)1,1(,)(2-∈?≤x x x f ，则0=x 必是 )(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C