新人教版第十六章分式教案
16·1·1分式（1）
一、教学目标
知识目标
1、知道分式的概念，明确分式中分母不能为0是分式成立的条件。
技能目标
2、能求出分式有意义的条件。
情感目标
3、通过对分式的学习，培养学生严谨的学习态度，培养学生数学建模的思想。
二、教学重点、难点
重点：理解分式的概念，明确分式成立的条件。
难点：明确分式有意义的条件。
三、教学方法：分组讨论
四、教学过程
前提测评：1、在小学人们学习了分数，那么5÷3可以写成什么？
2、根据上面的问题，填空：
（1）长方形的面积为10cm2，长为7cm,宽 cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为。
（2）把体积为200cm的水倒入底面积为33cm2的圆柱形容器中，水面高度为cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为。
新课：请同学们根据问题1 的回答，回答出第2题的问题。教师与学生一起及时纠正学生出现的错误。
学生回答，教师写出答案：（1），。(2) ，。
新课：下面请同学们看一下这四个式了，看它们有什么相同点和不同点？
学生根据自己的观察，说出、是分数，是整式。而另两个式子，看他们有什么特点,请同学们自己总结一下,学生说出分母中有字母。
请大家归纳一下这个式子是什么式子,有什么特点?学生回答分母中含有字母。
学生归纳：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子
叫分式。
引导学生回答出，（1）分式与分数一样，A叫分子，B叫分母。那么小学学习过的分数中的分母有什么限制，（分母不能为零。）分式中对分母的要求也是分母不能为零。对于分式分母为零时分式才有意义。
（2）分母中含有字母。
请同学们再举出一些分式的例子。
例1 填空：
（1）当x 时，分式有意义。（2）当x 时，分式有意义。
（3）当b____时，分式有意义。
（4）当x、y满足关系时，分式有意义。
解：（1）当分母3x ≠ 0时，x ≠ 0时，分式有意义。
（2）当分母x-1≠ 0时，x ≠1时，分式有意义。
（3)当分母5-3b ≠ 0时，b ≠时，分式有意义。
(4)当分母x-y ≠ 0时，x ≠y 时，分式有意义。
教师与学生共同讨论完成。学生说出解题过程，教师板书。
学生归纳总结：（1）分式有意义，分母不能为0。这是分式有意义的前提。（2）注意解题格式，分式有意义与分子无关。
（3）请同学们总结一下分式什么条件下没有意义？
五、达标测评：教材第6页1、2、3题。
教师巡视，指出学生练习中的错误。师生、生生互批，不达标生生“一帮一”
六、小结：请同学们总结下本节课里你有哪些收获？
学生说出结论，教师补充。
七、作业：教材第11页2、3题。
八、教学反思：
这一课学生对什么是分式掌握较好，能区分整式与分式，对保证分式有意义需满足什么条件能很好地指出来。
16·1·2分式的基本性质(1)
一、教学目标
知识目标
1、熟记分式的基本性质。
技能目标
2、会运用分式的基本性质对分式进行恒等变形。
情感目标
3、通过对分式的基本性质的学习培养学生抽象概括的能力。
二、教学重点、难点
重点：理解分式的基本性质。
难点：分式基本性质的运用。
三、教学方法：启发式教学
四、教学过程
前提测评：：1、什么叫分式？
2、小学学习的分数的基本性质是什么？举例说明。
引言：我们小学学习了分数的基本性质，今天我们为学习分式的基本性质。新课：根据分数的基本性质，分式可仿照分数的性质
＝； = （C≠0）。
请同学们根据上面的式子和以前学过的分数的基本性质，总结出分式的基本性质是什么？学生回答出来，教师及学生补充完整。
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
＝； = （C≠0）
注意：分式的基本性质的条件是乘（除以）一个不等于0的整式。
指出分式的性质与分数的性质的不同，乘以（除以）一个不等于0的整式。分数是乘以（除以）一个不等于0的数。
例1 填空：
（1） = ； = 。
(2) = ； =。
分析：引导学生根据分式的基本性质，来对分式进行化简。（1）是乘以一个整式ab,注意是分子和分母都乘以这个整式。（2）是分子和分母都乘以b,分式的
值不变。（3）是分子x 2
+xy=x(x+y),对照分子，可以看出分子和分母都除以x,
分式的值不变，所以X。（4）把分母分解因式x 2
-2x=x(x-2),对照分母，可以看
出分子、分母都除以x，分式的值不变，所以填1。
解：略。
五、达标测评：教材第11页，4题。
教师巡视，与学生一起来完成练习。及时纠正练习中的错误。师生、生生互批，不达标生生“一帮一”
六、小结：请同学们总结下本节课里你有哪些收获？
分式的基本性质成立的条件是都乘以或除以一个不等于0的整式。
七、作业：教材第11页4题。
八、教学反思：
这一课学生能用类比的方法很快从分数的基本性质得到分式的基本性质。但在实际运用中还有些同学对用字母表示的式子不习惯。
16·1·2分式的基本性质(2)
一、教学目标
知识目标
1、记住分式的基本性质
技能目标
2、会进行分式通分和约分
情感目标
3、通过对分式化简的学习，渗透类比转化的数学思想。
二、教学重点、难点
重点：分式的通分和约分。
难点：灵活运用分式基本性质进行分式的通分和约分。
三、教学方法：启发式教学
四、教学过程
前提测评：：1、分式的基本性质是什么？
2、小学学习的分数的约分和通分的意义是什么？
把与通分，把约分。
3、写出乘法公式的平方差公式和完全平方公式。
学生回答问题,教师及时指出学生出现的错误。
引言：我们上节学习了分数的基本性质，今天我们来学习分式基本性质的运用。
新课：根据分数的基本性质，我们可看可以对分数进行通分和约分，怎样对分数进行约分和通分在练习中已经复习过了，下面我们利用分式的基本性质来对分式进行通分和约分。看下面的例题。
例1 约分：（1） ; (2)
分析：（1）-25a 2
bc
3
与15ab
2
c的公因式为5abc，与因式分解的公因式的确定
一样。
（2）分子x 2
-9=(x+3)(x-3);分母x
2
+6x+9=(x+3)
2
,这样分子与分母的公因式就
确定了，可以进行约分了。由例题知约分最关键的是把公因式约去，所以公因式的确定是主要的，多项式则先分解因式，然后约分。
解：略。
例2 通分：
（1）与；（2）与。
分析：
引导学生归纳出分式通分的过程和依据。
（1）先确定分母2a 2
b与ab
2
c 的最简公分母是2a
2
b
2
c。然后乘以一个适当的
整式。（2）最简分母是（x+5)(x-5).(3)解题时分子与分母同乘以或除以同一个整式。约分的关键是最简公分母的确定，对单项式来说，系数是最小公倍数，相同字母取指数最高次幂；对多项式来说，先分解因式，然后取相同项的最高次幂。
五、达标测评：教材第10页，1、2题。教师巡视，学生练习。师生、生生互批，不达标生生“一帮一”
六、小结：通过对分式的通分和约分的学习你有哪些收获？
在解题时应注意哪些问题？
七、作业：教材第11页6、7题。
八、教学反思：
这一课学生对通分和约分的基本步骤掌握的比较好，但约分的时候也有忘了遇到多项式要进行因式分解的，通分的时候找最简公分母找不准的。
16·2分式的运算(1)
分式的乘除法
一、教学目标
知识目标
1、记住分式的乘除法法则
技能目标
2会用法则进行运算.
情感目标
3、通过对分式的乘除法的学习,在四、教学过程中体现类比的转化思想。
二、教学重点、难点
重点：分式的乘除法运算。
难点：分子与分母是多项式时的分式的乘除法。
三、教学方法：启发式教学
四、教学过程
前提测评：：1、分数的乘除法的法则是什么？计算：×；÷
2、什么是倒数？
学生计算并回答问题，教师及时纠正出现的错误。
引言：我们在小学学习了分数的乘除法，对于分式如何来进行计算呢？这就是我们这节要学习的内容。
新课：学生阅读教材13页引例。
由（1）分数的计算得：× = ；÷= ×
=
根据上面的计算，请同学们总结一下对分式的乘除法的法则是什么？学生说出自己的想法，师生共同总结分式的乘除法的法则。
分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
· =；÷ = · = 。
例1计算：
（1） (2) ÷
分析：这两题就是分式乘除法的运用。由学生根据法则来进行计算，教师与学生把解题过程补充完整。
解：略
例2计算：
（1） (2) ÷
分析：这两题是分子与分母是多项式的情况，首先要因式分解，然后运用法则。
解：（1）原式= =
（2）原式= ÷
= =-
例3：“丰收1号”小麦试验田边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田边长为（a-1)米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克。
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
分析：本题的实质是分式的乘除法的运用。
解：（1）(略)
（2）÷＝＝
“丰收2号”小麦单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的倍。
五、达标测评：教材第16页，1、2、3题。教师巡视，学生练习。教师及时纠正练习中的错误。指明错误的原因。师生、生生互批，不达标生生“一帮一”
六、小结：通过对分式的乘除法的学习在解题时应注意哪些问题？
七、作业：教材第27页1、2题。
八、教学反思：
这一课乘法法则与除法法则学生都掌握得很好，但有些学生遇到分子、分母是多项式时没有去因式分解。
16·2·1分式的运算(2)
分式的乘方
一、教学目标
知识目标
1、记住分式的乘除法法则
技能目标
2、会运用法则进行分式的乘除法混合运算。
情感目标
3、体会转化的数学思想
二、教学重点、难点
重点：分式的乘除混合运算和分式的乘方。
难点：对乘方运算性质的理解和运用。
三、教学方法：启发式教学
四、教学过程
前提测评：1、叙述分式的乘除法法则。
2、小学学习的乘除法运算法则是什么？
3、计算：(a
b
)
2
＝＿＿＿，（
a
b
）
3
＝＿＿＿，(
a
b
)
10
=____,（
a
b
）
n
=_________。
引言：我们在上节学习了分式的乘除法，对于分式乘除混合运算如何来进行计算呢？对于整式的乘方我们学习过，对分式来说如何计算呢？这就是我们这节要学习的内容。
新课：由复习提问3知：（a
b
）
2
＝
a
b
a
b
＝
a2
b2
,
（a
b
）
3
＝
a
b
a
b
a
b
=
a3
b3
,根据以上计算可以直接说出下面两题的结果.
(a
b
)
10
=
a10
b10
,(
a
b
)
n
=
an
bn
。
请同学们根据复习提问3总结出分式乘方的法则是什么，教师根据学生的
回答归纳总结出法则。
分式乘方，把分子、分母分别乘方。
（a
b
）
n
＝
an
bn
。
例1计算：
（1）
2x
5x-3
÷
3
25x2-9
·
x
5x+3
解：
原式＝2x
5x-3·
(5x+3)(5x-3)
3
·
x
5x+3
=2x2 3
分式的乘除法混合运算就是分子、分母先分解因式，然后把公因式约去。注意运算顺序。
例2计算：
（1） (-2a2b
3c
)
2
; (2) (
a2b
-cd3
)
3
÷
2a
d3
·(
c
2a
)
2
分析：(1)题是分式乘方的运用，可直接运用公式。（2）运算顺序是先乘方，然后是乘除。要注意运算时的符号。
解：
（1）原式= 4a4b2 9c2
（2）原式= - a6b3
c3d9
·
d3
2a
·
c2
4a2
=-a3b3 8cd6
注意在解题时正确地利用幂的乘方及符号。
五、达标测评：教材第18页，1、2题。教师巡视，学生练习。及时更正练习中出现的问题，师生、生生互批，不达标生生“一帮一”
。
六、小结：主要内容是分式的乘除混合运算和分式的乘方运算。
七、作业：教材第27页3题。
八、教学反思：
这一课学生在解决乘方的问题上还比较顺手，就是在符号问题上有些要弄错。
16·2·2分式的加减(1)
一、教学目标
知识目标
1、记住分式的加减法法则,
技能目标
2、会用分式的加减法法则进行运算。
情感目标
3、体会熟能生巧的道理
二、教学重点、难点
重点：分式的加减法运算。
难点：异分母分式的加减法运算。
三、教学方法：启发式教学
四、教学过程
前提测评：1、分数的加减法的法则是什么？
2、计算：1
5
+
2
5
，
1
5
-
2
5
,
1
2
+
1
3
,
1
2
－
1
3
。
3、分式的乘方性质是什么？用式子表示出来。
学生计算并回答问题，教师及时纠正出现的错误。
引言：我们在小学学习了分数的加减法，对于分式的加减如何来进行计算呢？这就是我们这节课要学习的内容。
新课：学生阅读教材18页引例，并写出式子来表示。
由复习提问1是根据分数加减法而得到的，与分数减法性质相同,分式也可以进行加减法运算，请同学们类比分数的加减法则，总结一下分式的加减法法则是什么?学生根据自己的理解说出分式加减法法则,最后教师把答案加以总结。
分式加减法法则：
同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。
异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减。
a c +
b
c
＝
a+b
c
；
a
b
+
c
d
=
ad
bd
+
bc
bd
=
ad+bc
bd
。
例1计算：
（1）5x+3y
x2-y2
－
2x
x2-y2
(2)
1
2p+3q
+
1
2p-3q
分析：这两题就是分式加减法的运用。（1）是同分母分式的加减法，直接用法则就可以了。（2）是异分母分式的加减法，过程是先通分，通分的依据是分式的基本性质，化为同分母分式，然后再加减。师生共同来解两个题。教师写出解题过程。
解：（1）原式＝5x+3y-2x
x2-y2
=
3x+3y
x2-y2
=
3(x+y)
(x+y)(x-y)
=
3
x+y
(2)原式＝1(2p-3q)
(2p+3q)(2p-3q) +
1(2p+3q) (2p+3q)(2p-3q)
=
2p-3q+2p+3q (2p+3q)(2p-3q)
=
4p
(2p+3q)(2p-3q)
=
4p
4p2-9q2
。
教师在解题时强调分式计算的结果必须化为最简分式。可以向学生简单介绍最简分式的有关知识，可与最简分数相类比。
五、达标测评：教材第20页，1、2、题。教师巡视，学生练习。师生、生生互批，不达标生生“一帮一”
六、小结：通过对分式的加减法的学习你有哪些收获？
七、作业：教材第27页4题。
八、教学反思：
这一课学生在同分母分式相加减显得很轻松，但在异分母分式相加减通分的时候还是容易出错。
16·2·2分式的加减(2)
一、教学目标 知识目标
1、熟记分式的加减法法则 技能目标
2、较熟练用法则进行分式的混合运算。。 情感目标
3、体会代数化归思想，感受乐于探究、合作交流的好处，进一步培养学生“用数学的意识”。 二、教学重点、难点
重点：分式的加减法混合运算。 难点：正确熟练进行分式的运算。 三、教学方法：启发式教学 四、教学过程
前提测评：1、分式的加减法的法则是什么？ 2、有理数的混合运算法则是什么？
学生回答问题，教师及时纠正出现的错误。
引言：我们在上节学习了分式的加减法，这就是我们学习分式混合运算。 新课：
在实际生活中我们会经常用到电，在电路中的并联和串联，对于并联电路总电阻与各分电阻之间有什么关系呢？学生回答。在下面的问题就是一个与生活密切相关的实际问题。
例1、如图的电路中，已测定CAD 支路的电阻R1欧姆，又各CBD 支路的电阻R2
比R1大50欧姆，根据电学定律可知总电阻R 与R1、R2满足关系式1R =1R1 +1
R2
试用含R1的式子表示总电阻R 。
分析：学生已经学习了电学，可知关系式了1R =1R1 +1R2 +…+1
Rn
。
解：因为：1R =1R1 +1R2 = 1R1 +1
R1+50
=R1+50R1(R1+50) +R1R1(R1+50) =2R1+50
R1(R1+50)
即：1R =2R1+50R1(R1+50)
所以R=R1(R1+50)2R1+50 =R12+50R1
2R1+50
。
教师在解题时引导学生把R1看作是已知数，分清已知和未知是主要的。
例2、计算：(
2a b )2·1a-b －a b ÷b 4
解：(略)
分式的混合运算与有理数的运算顺序相同，先乘方，然后乘除，最后加减。 五、达标测评：教材第22页，1、2、题。学生练习，教师巡视。教师及时更正学生练习中出现的错误并找出出现错误的原因。
六、小结：通过对分式的混合运算的学习你觉得在本节中最大的收获是什么？ 七、作业：教材第27页5题。 八、教学反思：
这一课学生对数与式有相同的混合运算顺序掌握得较好，但有个别不够细心。
16.2.3整数指数幂(1)
一、教学目标 知识目标
1、记住负整数指数的概念， 技能目标
2、经历探索和应用负整数指数幂和零指数幂的运算性质的过程并会进行负整数指数幂和零指数幂的运算 情感目标
2、感受数学知识是可以推广的道理 二、教学重点
负整数指数幂的概念
三、教学难点
认识负整数指数幂的产生过程及幂运算法则的扩展过程。 四、教学过程 前提测评：
你还记得下面这些算式的算式的算法吗？比一比，看一看谁做得又快又好：
（1）3533? （2）40a a ?（3）33()x （4）4()mn （5）53a a ÷（6）77x x ÷（7）
7833÷
2、你还记得0
1(0)a a =≠是怎么得到的吗？
探究新知
根据除法的意义填空，看看计算结果有什么规律？
（1）
()781333÷== （2）()571
101010÷==（3）()351
a a a ÷=
=
如果我们要使运算性质m n m n
a a a -÷=在这里（m n 即时）也可以适用，你认为该作怎样的规定呢？
教师可以鼓励学生先运用自己的语言进行描述，然后自学课本第P23页。要指
出有了这一新规定后，m n m n
a a a -÷=的适用范围就扩大到所有整数指数。 应用新知
课本第25页练习第1题。 对第（2）小题的计算要求学生看明底数，并写出中间的转化过程，教师可示范。 再探新知
现在我们考虑：在引入负整数指数和零指数后，m n m n
a a a +?=（m 、n 是正整数）这条性质能否扩大到m 、n 是整数的情形？请完成下列填空：
()()()()()
35311a a a a a +
-?=?=== 即()()35
a a a +-?=
()()()()()()
35111a a a a a a a +
--?=?===
即()()35
a a a +--?=
()()()()
051a a a a a +
-?=?== 即()()05
a a a +-?= 从中你想到了什么？
举例：再换其他整数指数验证这个规律。
归纳：m n m n
a a a +?=这条性质对m 、n 是任意整数的情形都适用。
继续举例探究：
(),(),()n
m n mn n n n n n
a a
a a a
b a b b b ===在整数指数幂范围内
是否适用。
第4环节由学生在小组内合作完成，并抽取其中一个小组板演。 达标测评 计算：
（1）022008(2)-?- （2）33.610-? （3）33(4)(4)--?-
（4）2122()()33--? （5）336a a a --÷? （6）
23(2)b --师生、生生互批，不达标生生“一帮一”
六、小结：你这节学会了什么？ 七、教学反思：
这一课学生对负整数指数幂有点不习惯，需再继续不断的强调，以加深学生的印象。
16．2．3 整数指数幂（2）
一、教学目标 知识目标
1、熟记负指数幂的性质，记住科学记数法表示绝对值较小的数规定． 技能目标
2．会用科学记数法表示绝对值较小的数． 情感目标
3．感受数学公式中渗透公式的简洁美、和谐美 教学重点难点
重点：理解和应用负整数指数幂的性质，用科学记数法表示绝对值较小的数． 难点：负整数指数幂公式中字母的取值范围，用科学记数法表示绝对值较小的数时，a ×10-n
形式中n 的取值与小数中零的关系． （一）创设情境，导入新课
问题 ：一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？以前学过大于10以上的数的科学记数法，那么现在较小的数纳米直径也能用科学记数法来表示吗？
做一做：（1）用科学记数法表示745 000 = 7.45×105
，2 930 000= 2.93×106
．
（2）绝对值大于10的数用a ×10n
表示时， 1 ≤│a │< 10 ，n 为 整数 ．
（3）零指数与负整数指数幂公式是 a 0
=1（a ≠0），a -n
= 1/a n
（a ≠0）． （二）合作交流，解读探究 明确：
（1）我们曾用科学记数法表示绝对值大于10的数，表示成a ×10n
的形式，其中1≤│a │<10，n 为正整数． （2）类似地用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，?将它们表示成a ×10-n
形式，其中1≤│a │<10．
（3）我们知道1纳米= 9110米，由 9
1
10=10-9可知，1纳米=10-9米，所以35纳米=35×10-9
米．
而35×10-9
=（3.5×10）×10
-3
= 3.5×10
-8
所以这个纳米粒子的直径为3.5×10-8
米．
试一试把下列各数用科学记数法表示
（1）100 000=1×105
（2）0.000 01=1×10
-5
（3）-112 000=－1.12×105
（4）-0.000 001 12=－1.12×10
-6
议一议
（1）当绝对值大于10的数用科学记数法表示a×10n
形式时，1?≤│a?│
<10，n的取值与整数位数有什么关系？
（2）当绝对值较小的数用科学记数法表示中，a、n有什么特点呢？
明确：绝对值较小的数的科学记数法表示形式a×10-n
中，n是正整数，a?
的取值一样为1≤│a│<10，但n的取值为小数中第一个不为零的数字前面所
有的零的个数．比如：0.000 05=5×10-5
（前面5个0）；0.000 007 2=7.2×10
-6
（前面6个0）．
（三）应用迁移，巩固提高
例1 用科学记数法表示下列各数
（1）0.001=1×10-3
．（2）-0.000 001=－1×10
-3
．
（3）0.001 357=1.357×10-3
．（4）-0.000 034=－3.4×10
-5
．
例2用科学记数法填空
（1）1秒是1微秒的1 000 000倍，则1微秒=1×10-6
秒；
（2）1毫克=1×10-6
千克；
（3）1微米=1×10-6
米；
（4）1纳米=1×10-4
微米；
（5）1平方厘米=1×10-4
平方米；
（6）1毫升=1×10-6
立方米．
例3用科学记数法表示下列结果：
（1）地球上陆地的面积为149 000 000km 2
，用科学记数法表示为______；
（2）一本200页的书的厚度约为1.8cm，用科学记数法表示每一页纸的厚度约等于_______cm．
【分析】用科学记数法表示数关键是确定a×10n
中的两个数值a和n，第
（2）?题要先计算，再用科学记数法表示计算结果．解：（1）149 000 000=1.49×10
8
即地球上陆地的面积约为1.49×108km 2
． （2）因为1.8÷200=0.009=9×10-3
．
所以每一页纸的厚度约为9×10-3
cm ．
明确：用科学记数法表示数A ，首先要考虑│A │的情况，再来确定n 的值．而a?×10n 中的a 的绝对值是只含有一位整数的数．顺便指出：用a ×10n 表示的数，?其有效数字由a 来确定，其精确度由原数来确定．如3.06×105
的有效数字为3、0、6，精确到千位；而3.06×10-2
的有效数字为3、0、6，精确到万分位．
（四）小结
引入零指数幂和负整数指数幂后，幂的范围从正整数指数幂推广到整数指数幂，幂的运算法则同样适用于科学记数法有关计算，最后结果一般用科学记数法表示．
（五）达标测评：
1．教科书P26页练习1——2题。
2．习题16.2师生、生生互批，不达标生生“一帮一”
（六）教学反思：
这一课学生对用科学记数法记较小的数兴趣很浓烈，掌握得都比较好。
16.3 分式方程
一、教学目标 知识目标
1．记住分式方程的定义．可化为一元一次方程的分式方程的一般解法 技能目标
2．会解分式方程． 情感目标
3、 渗透数学的转化思想． 二、教学重点和难点
1．教学重点：(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法． (2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想． 2．教学难点：检验分式方程解的原因 3．疑点及分析和解决办法：解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．让学生在学习中讨论从而理解、掌握．
三、教学方法：启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法．
四、教学手段：演示法和同学练习相结合，以练习为主．
五、教学过程
第一课时
(一)前提测评：
1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？
答：含有未知数的等式叫做方程．
使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
(二)新课
板书课题：分式方程的定义．
分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．
练习：判断下列各式哪个是分式方程．
在同学讨论的基础上分析：由于我们比较熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母．
（三）应用
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
分析：设江水的流速为v千米/时，则轮船顺流航行的速度为（20＋v）千米/时，逆流航行的速度为（20－v）千米/时，顺流航行100千米所用的时间为
100
20v+小时，逆流航行60千米所用的时间为
60
20v-小时。
可列方程100
20v+=
60
20v-
方程两边同乘（20+V）（20－V），得
100（20－V）= 60（20＋V）
解得 V=5
检验：将V=5代入方程，左边=右边，所以v＝5为方程的解。
所以水流速度为5千米/时。
(四)总结
解分式方程的一般步骤：
1．在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．
2．解这个方程．
3．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零；使最简公分母为零的根不是原方程的解，必须舍去．
（五）教学反思：
这一课学生对解决分式方程的步骤都比较熟练，但常有学生忘记检验。
第二课时
一、教学目标：
知识目标
1、使学生更加深入理解分式方程的意义，知道解分式方程须验根并掌握验
根的方法
技能目标
2、会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.
使学生检验解的原因，
情感目标
3、体会转化的数学思想
二、重点难点：
1. 了解分式方程必须验根的原因；
2. 培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力。
三、教学过程：
（一）．前提测评：
解方程：
思考：上面两个分式方程中，为什么(1)去分母后所得整式方程的解就是（1）的解，而（2）去分母后所得整式的解却不是（2）的解呢？
学生活动：小组讨论后总结
（二）．总结
（1）为什么要检验根？
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根）。对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方程则没有这个要求.如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合原方程，则不是原方程的解。
（2）验根的方法
一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解。
（三）．应用
例1 解方程
3 2
3
x x -
=
解：方程两边同乘x（x－3），得
2x＝3x－9
解得 x＝9
检验：x＝9时 x（x－3）≠0，9是原分式方程的解。
例2 解方程
3
1(1)(2)
1
x
x x x
--+
-=
解：方程两边同乘（x－1）（x＋2），得
x（x＋2）－（x－1）（x＋2）＝3
化简，得 x＋2＝3
解得 x＝1
检验：x＝1时（x－1）（x＋2）＝0，1不是原分式方程的解，原分式方程无解。
四．达标测评：
课本P35师生、生生互批，不达标生生“一帮一”
五．课时小结：解分式方程的一般步骤。
六.教学反思：
这一课学生对分式方程都解决得较好，能完整地把检验过程写出来。
第三课时
一、教学目标：
知识目标
1、使学生更加深入理解分式方程的意义，知道解分式方程须验根并掌握验
根的方法
技能目标
2、会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.
使学生检验解的原因，
情感目标
3、体会转化的数学思想
二、重点难点：
1. 了解分式方程必须验根的原因；
2. 培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力。
三、教学过程
(一)前提测评：
1．解分式方程的步骤(1)能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．
2．列方程应用题的步骤是什么？
(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．
3．由学生讨论，我们现在所学过的应用题有几种类型？每种类型题的基本公式是什么？
在学生讨论的基础上，教师归纳总结基本上有五种：
(1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间
而行程问题中又分相遇问题、追及问题．
(2)数字问题
在数字问题中要掌握十进制数的表示法．
(3)工程问题
基本公式：工作量=工时×工效．
(4)顺水逆水问题
v顺水=v静水+v水．
v逆水=v静水-v水．
四、新课
例3．两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个队的施工速度快？
分析：甲队一个月完成总工程的1
3，设乙队如果单独施工1个月能完
成总工程的1
x，那么甲队半个月完成总工程的
1
6，乙队半个月完成总工程
的
1
2x，两队半个月完成总工程的
1
6＋
1
。
等量关系为：甲、乙两个工程总量＝总工程量，则有
1
3＋
1
6＋
1
2x＝1 （教师板书解答、检验过程）
例4：从2004年5月起某列列车平均提速v千米/时，用相同的时间，列
车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度是多少？
分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前的平均速度为x千米/时，
则提速前列车行驶s千米所用的时间为s
x小时，提速后列车的平均速度为（x
＋v）千米/时，提速后列车行驶（s＋50）千米所用的时间为
50
s+
小时。
等量关系：提速前行驶50千米所用的时间＝提速后行驶（s＋50）千米所用的时间
列方程得：s
＝
50
s
x v
+
+
（教师板书解答、检验过程）
五、达标测评：课本P37 1.2师生、生生互批，不达标生生“一帮一”
六、小结
对于列方程解应用题，一定要善于把生活语言转化为数学语言，从中找出等量关系．对于我们常见的几种类型题,我们要熟悉它们的基本关系式．
七、教学反思:
新人教版八年级(上)数学 第15章 分式 单元测试卷 (解析版)
第15章分式单元测试卷 一、选择题（共10小题）. 1．分式有意义的条件是（） A．x≠3B．x≠9C．x≠±3D．x≠﹣3 2．关于x的分式方程＝0的解为x＝2，则常数a的值为（）A．a＝﹣1B．a＝1C．a＝2D．a＝5 3．计算（x3y2）2?，得到的结果是（） A．xy B．x7y4C．x7y D．x5y6 4．若分式的值总是正数，a的取值范围是（） A．a是正数B．a是负数C．a＞D．a＜0或a＞5．分式可变形为（） A．B．﹣C．D．﹣ 6．若分式的值等于0，则x的值为（） A．±1B．0C．﹣1D．1 7．某工程公司开挖一条500米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么所列方程正确的是（） A．B． C．D． 8．某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（）A．1600元B．1800元C．2000元D．2400元 9．甲，乙两个工程队，甲队修路300米与乙队修路400米所用的时间相等，乙队每天比甲队多修10米．若可列方程＝表示题中的等量关系，则方程中x表示（）A．甲队每天修路的长度
B．乙队每天修路的长度 C．甲队修路300米所用天数 D．乙队修路400米所用天数 10．若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程 有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．7B．8C．14D．15 二、填空题（共6小题）. 11．化简：﹣＝． 12．计算：＝． 13．计算：+＝． 14．当x＝时，分式的值为0． 15．当x时，分式无意义；当x时，分式值为零． 16．若分式的值是负数，则x的取值范围是． 三、解答题 17．解分式方程：． 18．某校庆为祝建国70周年举行“爱国读书日”活动，计划用500元购买某种爱国主义读书，现书店打八折，用500元购买的爱国主义读本比原计划多了5本，求该爱国主义读本原价多少元？ 19．某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同． （1）求A，B两种书架的单价各是多少元？ （2）学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A种书架？
新人教版第十五章分式教案
第十五章分式 教材分析 本章的主要内容包括：分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。 全章共包括三节： 15．1分式 15．2分式的运算 15．3分式方程 其中，15．1 节引进分式的概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分。11．2节讨论分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利。11．3节讨论分式方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。 分式是不同于整式的另一类有理式，是代数式中重要的基本概念；相应地，分式方程是一类有理方程，解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而，分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。
借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，这在本章学习中经常使用。解分式方程时，化归思想很有用，分式方程一般要先化为整式方程再求解，并且要注意检验是必不可少的步骤。 （二）本章知识结构框图 （三）课程学习目标 本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点： 1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。 2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则。 3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则。 4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系。 5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想。 （四）课时安排
第十六章分式教案
第十六章分式 16．1 分式 16.1.1 从分数到分式 一、教学目标 1．了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考] ，学生自己依次填出：，，，. 2．学生看P3 的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20 千米/ 时，它沿江以最大航速 顺流航行100 千米所用实践，与以最大航速逆流航行60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/ 时 . 轮船顺流航行100 千米所用的时间为小时，逆流航行60 千米所用时间小时，所以=. 3. 以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？ 五、例题讲解 P5 例1. 当x 为何值时，分式有意义. [ 分析] 已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [ 提问] 如果题目为：当x 为何值时，分式无意义. 你知道怎么解题吗？这样可以使学生 一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. ( 补充) 例2. 当m为何值时，分式的值为0？ （1）（2）(3) [ 分析] 分式的值为0 时，必须同时满足两个条件：○ 1 分母不能为零；○ 2 分子为零， 这样求出的m的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [ 答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 16.1.2 分式的基本性质 一、教学目标 1．理解分式的基本性质. 2．会用分式的基本性质将分式变形. 二、重点、难点 1．重点: 理解分式的基本性质. 2．难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形. 三、例、习题的意图分析 1．P7 的例 2 是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以了什么整式， 然后应用分式的基本性质，相应地把分子（或分母）乘以或除以了这个整式，填到括号里作 为答案，使分式的值不变. 2．P9 的例3、例4 地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分. 值得注意的是： 约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分 母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公
初中数学八年级第十五章《分式》教案
第十五章 分式 15．1分式 15.1.1从分数到分式 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 重点难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 一、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：，，，. 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间小时， 所以=. 3. 以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 二、例题讲解 P128例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 三、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, , , , ， 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 四、布置作业 课本P133习题15.1第1、2、3题 7 10a s 33 200s v v +20100v -2060v +20100v -2060v +20100v -2060a s s v x 7209y +54-m 238y y -91-x 1-m m 3 2 +-m m 112+-m m 4522--x x x x 235-+2 3+x x x 57+x x 3217-x x x --2 21
八年级下第16章分式教案
第十六章分式 单元规划 本章内容：分式的概念；分式的基本性质；分式的约分与通分；分式的四则运算；整式指数幂的概念及运算性质；分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。 本章重点：分式的四则运算。 本章难点：分式的四则混合运算；列分式方程解应用题。 课时安排：本章教学时间约需13课时，具体分配如下： 16.1分式2课时; 16.2分式的运算6课时; 16.3分式方程3课时; 数学活动 本章小结2课时. 第一节分式 一、课程学习目标 （一）知识目标： 1、以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式. 2、类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则. （二）能力目标： 1、能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，进一步培养符号感。 2、认识和体会特殊与一般的辩证关系，提高数学运用能力。 （三）情感目标： 通过类比分数、分数的基本性质及分数的约分、通分，推测出分式、分式的基本性质及分式约分、通分，在学生已有数学经验的基础上，提高学生学数学的乐趣。 二、本节教学重点：是分式的意义、分式的基本性质 三、本节教学难点：分式的特点及要求；分子、分母是多项式的约分、通分。 四、主要教学思路：在教师的指导下，利用多媒体，让学生自主探究、分组合作交 流等方式展开教学活动。
把体积v的水倒入底面积为s的圆柱形容器中水面高度为。 师生行为：学生分组讨论、思考归纳；教师纠正，指出正确答案。
活动(五)课后作业，学习延伸 教材第10页第1、2、3、8、13题，学习阶梯练中的练习。师生行为：布置作业，学生记录作业。 板书设计： 教学反馈：
人教版初中数学八年级上册第十五章：分式(全章教案)
第十五章分式 本章的内容包括：分式、分式的运算、分式方程． 本章我们将类比分数学习分式，解一些分式方程，并学会解能化为一元一次方程的分式方程及利用分式的知识解决一些实际问题．在中考中，本章重点在考查分式有意义的条件、分式的化简与求值、分式方程及其应用． 【本章重点】 利用分式的基本性质进行约分和通分、分式的混合运算及列分式方程解决实际问题．【本章难点】 分式的混合运算及列分式方程解决实际问题． 【本章思想方法】 1．掌握类比思想．如：类比分数的概念及性质理解分式的概念及性质，类比分数的运算法则理解分式的运算法则．
2．掌握转化思想．如：把除法转化为乘法，把异分母分式加减法转化为同分母分式加减法，把分式方程转化为整式方程． 3．体会数学建模思想．如：在利用分式方程解决实际问题时，需根据实际问题建立数学模型，从而列出分式方程求解． 15．1分式2课时 15．2分式的运算5课时 15．3分式方程2课时
15．1分式 15．1.1从分数到分式(第1课时) 一、基本目标 【知识与技能】 1．理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式． 2．能够确定一个分式有意义、无意义的条件． 3．能用分式表示现实情境中的数量关系． 【过程与方法】 经历类比、探究的过程，理解分式的概念和分式有意义的条件，在此基础上，利用分式有意义的条件求分式中未知数的值． 【情感态度与价值观】 类比分数的概念理解分式的概念，养成类比思考的习惯，探究分式有意义的条件，形成缜密的思维方式． 二、重难点目标 【教学重点】 分式的概念及分式有意义、无意义的条件． 【教学难点】 利用分式有意义的条件求未知数的值．
八年级数学上册第十五章分式15.3分式方程第1课时分式方程及其解法教案人教版
15.3 分式方程 第1课时分式方程及其解法 【知识与技能】 1.理解分式方程的意义； 2.掌握解分式方程的基本思路和解法； 3.理解解分式方程可能无解的原因,掌握解分式方程的验根方法. 【过程与方法】 通过探索实际问题中的数量关系,体会分式方程的模型作用,在经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题,解决问题的能力,渗透转化的数学思想,培养学生的应用意识. 【情感态度】 在活动中培养学生乐于探索、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值. 【教学重点】 解分式方程的基本思路和解法. 【教学难点】 理解解分式方程可能无解的原因,及增根的含义. 一、情境导入,初步认识 问题一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少？ 【教学说明】让学生求出江水流速为v千米/时后,自主探究,获得方程.然后师生共同评析.教师讲课前,先让学生完成“自主预习”. 思考 (1)方程 9060 3030 v v = +- 与以往学过的方程有什么不同之处？ （2）什么叫分式方程？分式方程的特征是什么？ （3）怎样解分式方程 9060 3030 v v = +- 呢？ 【教学说明】教师提出问题后,学生自主探究,相互交流,得出相应结论.教师应关注学生的参与情况及解决问题的情形,适时予以点拨,最后师生共同评析. 二、思考探究,获取新知 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
解分式方程的基本思路是将分式方程运用去分母的方法化成为整式方程. 如：解方程90603030v v =+-. 解：在方程两边乘的最简公分母(30+v)（30-v ）,得 90(30-v)=60（30+v ）. 解得v=6. 检验：将v=6代入方程,左边=5/2=右边,所以v=6是原分式方程的解. 试一试 解方程2110525 x x =-- . 思考 上面两个分式方程中,为什么 90603030v v =+-去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解,而2110525 x x =--去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 【教学说明】教师提出问题后,学生先独立解决问题,然后在小组中提出自己的看法并讨论.在学生讨论时,教师可参与交流,鼓励学生勇于探索、实践,解释产生这一现象的原因,并让学生明白解分式方程时一定要验根. 【归纳结论】 一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此；解分式方程时必须检验.检验方法可以如下：将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；如果使最简公分母为0,则整式方程的解不是原分式方程的解,它是原分式方程增根,原分式方程无解. 三、典例精析,掌握新知 例1解方程233x x =- . 解：方程两边同乘以x(x-3),得 2x=3(x-3). 解得x=9. 检验：x=9时,x(x-3)=54≠0,∴x=9是原分式方程的解. 例2解方程() 31112x x x x -=--+（） . 解：方程两边同乘以（x-1）(x+2),得 x （x+2）-（x-1）(x+2)=3 化简,得x+2=3. 解得x=1.
八年级数学16分式16.1分式及其基本性质16.1.1分式教案新版华东师大版
16.1.1分式 教学内容 16.1.1分式 上课时间 月 日 第 节 教具 多媒体 课型 新授课 教 学 目 标 知识与技能 1、使学生了解分式的概念，明确分母不得为零是分式概念的组成部分．2、使学生能够求出分式有意义的条件. 过程与方法 1、能用分式表示现实情境中的数量关系，体会分式是表示现实世界中一类量的数学模型，进一步发展符号感。2、通过类比分 数研究分式的教学，引导学生运用类比转化的思想方法研究解 决问题． 情感态度与价值观 通过研究解决问题的过程，培养学生古做交流意识与探究。 教学重点 分式的概念与意义 。 教学难点 分式有意义的条件及分式的值为零 。 教学内容与过程 教法学法设计 一. 复习提问，回顾知识，请看下面的问题： 1、两个整数相除如何表示成分数的形式？ （1）3÷4= , （2）10 ÷ 3= , （3）12 ÷11= , （4） -7 ÷2= 2、填空： （1）面积为2平方米的长方形一边长为3米，则它的另一边长为 米。 （2）面积为S 平方米的长方形一边长为a 米，则它的另一边长为 米。 （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的住售价是 元。 （4）根据一组数据的规律填空：1，16 1,91,41…… （用n 表示） 二. 导入课题，研究知识： 探究任务一： 新知： 观察你列出的式子（复习中），与以前学过的有什么不同？ 概括：（观察出它们的共性：分母中含字母的式子。） 1、分式定义： 观察出它们的共性：分母中含字母的式子。 ※ 典型例题 例1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）x 1； （2）2x ； （3）y x xy +2； （4）3 3y x -. 学生自主探究，发现问 题，并尝试解决问题 通过交流达到理解的目的，同时也解决本节重点。
人教版 八年级数学上册 第15章 分式 同步训练
人教版 八年级数学 第15章 分式 同步训练 一、选择题 1. 计算(－2a b2 )3的结果是( ) A.2a6b2 B ．－8a3b2 C.8a3b6 D ．－8a3b6 2. 把分式方程2 x ＋4 ＝1x 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘( ) A ．x B ．2x C ．x ＋4 D ．x (x ＋4) 3. 下列各式中是最简分式的是 ( ) A . B . C . D . 4. 下列分式中，最简分式是 ( ) A . B . C . D . 5. 将分式3a a2－b2 通分后分母变成2(a －b)2(a ＋b)，那么分子应变为( ) A ．6a(a －b)2(a ＋b) B ．2(a －b) C ．6a(a －b) D ．6a(a ＋b)
6. 若把分式3xy x－y (x，y均不为0)中的x和y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值() A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的1 3 C．不变D．扩大为原来的6倍 7. 把通分后，各分式的分子之和为() A.2a2+7a+11 B.a2+8a+10 C.2a2+4a+4 D.4a2+11a+13 8. A，B两地相距m米，通信员原计划用t小时从A地到达B地，现因有事需提前n小时到达，则每小时应多走() A.米 B.米 C.米 D.米 9. 关于x的方程+=0可能产生的增根是() A.x=1 B.x=2 C.x=1或x=2 D.x=-1或x=2 10. 若m+n-p=0，则m-+n--p+的值是. 二、填空题 11. 当x＝________时，分式x－2 2x＋5的值为0.
12. 若a＝2b≠0，则a2－b2 a2－ab的值为________． 13. 若式子1 x－2和 3 2x＋1 的值相等，则x＝________． 14. 分式方程的解是． 15. 约分：a2＋2ab a2b＋2ab2 ＝________． 16. 请你写出一个分母是二项式且能约分的分式:. 17. 拓广应用已知关于x的分式方程k x＋1＋ x＋k x－1 ＝1的解为负数，则k的取值范围 是________________． 三、解答题 18. 如图①，“惠民一号”玉米试验田是半径为R m(R>1)的圆去掉宽为1 m的出水沟剩下的部分；如图②，“惠民二号”玉米试验田是半径为R m的圆中间去掉半径为1 m的圆剩下的部分，两块试验田的玉米都收了450 kg. (1)哪块试验田的玉米的单位面积产量高？ (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
八年级数学下册第十六章《分式》单元 填空题 大全 新课标人教版 (12)
八年级数学下册第十六章《分式》单元 填 空题 大全 新课标人教版 1. 已知20 )1(-3x 2x --+++x ） （有意义，则x 的取值范围是____________. 2. 若 1 3 +a 表示一个整数，则整数a ＝______________. 3. 已知 322(2)(5)25 x a b x x x x -=-+-+-，则a =________．b =________． 4. 则=a __________，=b _____________. 5. 化简 的结果是_________．化简：?? ? ? ?+-111x ÷1 2 -x x ＝__________。 6. 已知2+,,15441544,833833,32232 222 ?=+ ?=+?=若10+b a b a b a ,(102?=为正整数） 7. 关于x 的分式方程113 1=-+-x x m 的解为正数，则m 的取值范围是 ________. 8. 计算：（1）22255(2)3a b a b --＝_________； （2）42321 ()()x y x y y --÷＝_________ 9. 要使 2 415--x x 与 的值相等，则x ＝__________；方程x x 5 27=-的解是____________． 10. 化简：a b a b b a a -??-÷= ??? _________；化简：b a a a b a -?-)(2＝ ____________． 11. 若方程 322x m x x -=--无解,则m =____________________.
12. 已知31=+x x ，分式221 x x +=________； 13. 计算：2 22a a b b b a ??-÷ = ??? _________． 14. 当x ____________时，分式7 25 3-+÷-+x x x x 有意义； 15. 已知分式的值为零，那么x 的值是___________． 16. 已知2242141x y y x y y +-=-+-，则24y y x ++＝ ______．计算：x x -++1111＝__________． 17. 若分式21 -x 无意义，则实数x 的值是_________________. 18. 当x___________时，分式3 3+-x x 的值为0. 19. 方程的根是___________． 20. 若 0234x y z ==≠，则23x y z +=______；已知２a=3b ，则a b =___________ 21. 若x 2－4x ＋1＝0，则分式2 21 x x + =________；2 421 x x x ++=________； 22. 分式方程 2 2111 x x x +=--，去分母时两边同乘以_________，可化整式方程________ 23. 代数式 1 1 x -有意义时，x 应满足的条件是_____________. 24. 已知1=ab ，2=+b a 则式子b a a b +＝________；2 211b a +＝________； 25. 当x ________时，分式 x -51 的值为正。
人教版初中数学第十五章分式知识点
第十五章 分式 15.1 分式 15.1.1 从分式到分式 1、一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 2、与分式有关的条件 （1）分式有意义：分母不为0（0B ≠） （2）分式无意义：分母为0（0B =） （3）分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） （4）分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或? ??<<00B A ） （5）分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或???><0 0B A ） （6）分式值为1：分子分母值相等（A=B ） （7）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 例1．若24 x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞4 B ．x≠4 C ．x≥4 D ．x ＜4 【答案】B ． 【解析】 试题解析：由题意得，x-4≠0， 解得，x≠4， 故选B ． 考点：分式有意义的条件． 考点：分式的基本性质． 例2．要使分式1(1)(2) x x x ++-有意义，则x 应满足 （ ） A ．x≠-1 B ．x≠2 C ．x≠±1 D ．x≠-1且x≠2 【答案】D ． 【解析】 试题分析：∵（x+1）（x ﹣2）≠0，∴x+1≠0且x ﹣2≠0，∴x≠﹣1且x≠2．故选D ． 考点：分式有意义的条件．
例3．下列各式：，，，，中，是分式的共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C ． 【解析】 试题分析：，，中分母中含有字母，因此是分式．故分式有3个．故选C ． 考点：分式的定义． 例4．当x= 时，分式0． 【答案】1 【解析】 试题分析：由题意得：210x -=，且x+1≠0，解得：x=1，故答案为：1． 考点：分式的值为零的条件． 15.1.2 分式的基本性质 1、分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：A A B C B C ?=?，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 例1 x 、y 都扩大到原来的10倍，则分式的值（ ） A ．扩大100倍 B ．扩大10倍 C ．不变 D 【答案】C ． 【解析】 x 、y 都扩大到原来的10 故选C ． 2b a -x x 3+πy +5b a b a -+)(1y x m -x x 3+b a b a -+)(1y x m -
第十六章 分式 复习教学案
第十六章分式 一、知识目标： 1、进一步理解分式的概念，掌握分式有意义、值为零、值为正（负）的条件。 2、进一步理解并掌握分式的基本性质。 3、能灵活地运用加、减、乘、除、乘方法则和运算律正确地进行计算。 4、加深对分式方程的概念的理解和应用。 5、总结优化解分式方程的方法，进一步提高计算的能力。 6、进一步提高列分式方程解决实际问题的能力。 二、能力目标：1、进一步培养学生的运算能力及有条理地思考问题的能力。 2、熟练准确的列与解分式方程。 三、本章知识结构框图： 四、知识要点———经典例题———跟踪练习 16.1 分式的意义： （一）知识要点： 1、判别一个式子是分式的条件：。 2、①分式有意义的条件：。 ②分式无意义的条件：。 ③分式值为0的条件：。 ④分式值为正的条件：。 ⑤分式值为负的条件：。 3、分式基本性质： 4、分式的约分 ①定义 ②确定公因式的步骤 5、分式的通分
①定义 ②确定最简公分母的步骤 6、最简分式的定义 7、分式的符号法则： （二）经典例题： 例1：下列式子：① a 2 ，② 5 y x +， ③ a -21，④ 1 -πx 中，是分式的为 。 例2：写出分式 2 22 ---x x x 有意义、无意义及值为0的条件？ 例3：当 时，分式 5 2 +-x x 的值为正。 例4：下列等式从左到右的变形正确的是（ ） A 1 1++=a b a b B am bm a b = C a b a ab = 2 D 2 2a b a b = 例5：将分式的分子与分母中各项系数化为整数，则b a b a 2 1323 1 ++ = 。 例6：若把分式 xy y x 2+中的x 和y 都缩小3倍，那么分式的值（ ） A 扩大3倍 B 不变 C 缩小3倍 D 缩小6倍 例7：把下列各式通分 （1） 4 2 -x x ， 4 412 ++-x x x （2） 2 2 1 , , b a b a b b a --- 16.2分式的运算： （一）知识要点： 1、加、减、乘、除、乘方运算法则 （1）同分母 （2）异分母 （3）乘法 （4）除法 （5）乘方 2、两个规定：① ② 。 3、五条性质：① ② ③ ④ ⑤
人教版数学八年级上册第15章分式教案
第十五章分式 §15.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1.了解分式概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、教学过程 （一）让学生填写[思考]，学生自己依次填出：，，，. （二）问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间 小时，所以=. （三） 以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什 么相同点和不同点？ 可以发现，这些式子都像分数一样都是 （即A ÷B ）的形式.分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式子中的A 、B 都是整式，并且B 中都含有字母. [思考]引发学生思考分式的分母应满足什么条件，分式才有意义？由分数的分母不能为零，用类比的方法归纳出：分式的分母也不能为零.注意只有满足了分 式的分母不能为零这个条件，分式才有意义.即当B ≠0时，分式 才有意义. （四）例题讲解 例1. 当x 为何值时，分式 有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出字母x 的取值范围. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. （五）随堂练习 1.判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, , , , ， 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 7 10a s 33 200s v v +20100v -2060v +20100v -2060v +20100v -2060a s s v B A x 720 9y +5 4-m 2 38y y -9 1-x 1 -m m 32+-m m 112+-m m 4 5 22--x x x x 235-+2 3+x 2 31 2-+x x
16-1-1分式教案
§16.1 分式 一、教科书内容和课程学习目标 （一）教科书内容 本章的主要内容包括：分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的 分式方程的解法。 全章共包括三节： 16．1 分式16．2 分式的运算16．3 分式方程 （二）本章知识结构框图 三）课程学习目标 本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点： 1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。 2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则。 3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则。 4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系。 5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想。 §16.1.1 从分数到分式 一．教学目标 （1）知识与技能目标：掌握分式概念，学会判别分式何时有意义，能用分式表示数量关系。 （2）过程与方法目标：经历分式概念的自我建构过程及用分式描述数量关系的过程，学会与人合作，并获得代数学习的一些常用方法：类比转化、合情推理、抽象概括等。 （3）情感与态度目标：通过丰富的数学活动，获得成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会分式的模型思想。 二．教学重难点
重点：分式的概念 难点：识别分式有无意义；用分式描述数量关系 三．教法与学法 基于以上教材特点和学生情况的分析，我在本节课主要采用“引导—发现教学法”，借助于计算机课件，通过“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式展开教学。 四．教学过程 《数学课程标准》明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人。”为能更多地向学生提供从事数学活动的机会，我将本节课设为以下五个环节：发现新知—再探新知—应用新知—深化拓展—小结巩固，以期在多样的活动中激发学生的学习潜能，引导学生积极自主探索、合作交流与实践创新。 （一） 发现新知 在这儿我对教材进行了处理，课本引例是 “土地沙化、固沙造林”问题，设问是“这一问题中有哪些等量关系？”我将引课方式改为通过学生自己构造代数式去发现分式，创设了这样的情境： 1.创设情境： 教师给出探究要求： “代数式”庄园的果树上挂满了“整式”的果子：t ，300，s ，n ，a-x ，0，180(n-2)，请你任选其中的两个，分别运用整式的四则运算，合成四个代数式；并与同组的伙伴交流你的成果。其中有新的一类代数式吗？请说一说。 作这样的改动，是基于以下考虑：原有引例不仅要求学生用分式表示数量关系，还需要列出分式方程。针对我校学生的实际情况，我认为在起始课上这样的要求过高，而从学生熟悉的整式及其运算入手，引导学生从旧知中发现新知，与学生的原有认知水平更相吻合，有利于探索活动的展开，培养学生的创新意识。 “好的教师不是在教数学而是激发学生自己去学数学”。用已给的7个整式进行代数式的构造时，学生可以写出多种多样的式子，里面既有单项式，也有多项式，还有分式。通过学生对自己所构造的代数式进行观察，创设发现情境，学会把自己的活动作为思考的对象，更好地进行分式概念的建构活动。 2.探索交流 ： （1）议一议：你们所发现的这一类新代数式：s t ，n a x -，……它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？ （2）类比分数，概括分式的概念及表达形式 （3）小组内互举例子，判定是否分式 针对学生的发现，采用“议一议”的方式引导学生观察新式子的特征，类比分数，合理联想，从而获得分式的概念及一般表示形式，可谓水到渠成。通过列举具体例子，互说判别过程，鼓励学生积极参与活动，在活动过程中强化分式概念，并及时纠正学生可能因分数负迁移所造成的认知障碍，注意辨析300s 与s t 的本质区别，强调分式的分母中必须含有字母。 （二）再探新知 如何识别分式有意义，是本节课的难点，也是探究学习的好素材。课本中分式有意义的
人教版 八年级数学上册 第15章 分式 课时训练(含答案)
人教版 八年级数学 第15章 分式 课时训练 一、选择题 1. 分式2x2－4与x 4－2x 的最简公分母是( ) A ．(x2－4)(4－2x) B ．(x ＋2)(x －2) C ．－2(x ＋2)(x －2)2 D ．2(x ＋2)(x －2) 2. (2020·成都)已知x ＝2是分式方程 1的解，那么实数k 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3. （2020·福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 4. （2020·牡丹江）若关于x 的分式方程有正整数解，则整数m 的值是（ ） A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 3或4 5. 若关于x 的方程x ＋m x －3＋3m 3－x ＝3的解为正数，则m 的取值范围是( ) A. m <92 B. m <92且m ≠32
C. m>－9 4 D. m>－ 9 4且m≠－ 3 4 6. （2020·长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得··············································································（） A．B．C．D． 7. 若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是 () A.B.C.D. 8. 把分式中的x，y的值都扩大为原来的2倍，则分式的值() A.不变 B.扩大为原来的2倍 C.扩大为原来的4倍 D.缩小为原来的 二、填空题 9. 计算(－b 2a) 3的结果是________． 10. （2020·郴州）若分式的值不存在，则． 11. 分式方程5 y－2＝ 3 y的解为________．
八年级数学上册第十五章分式15.3分式方程教案(新版)新人教版
八年级数学上册第十五章分式15.3分式方程教案（新版）新人教版 教学目标： 1．了解分式方程的概念和产生增根的原因. 2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 重点难点 1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 教学过程 一、例、习题的意图分析 1．P149思考提出问题，引发学生的思考，从而引出解分式方程的解法以及产生增根的原因. 2．P149的归纳明确地总结了解分式方程的基本思路和做法. 3．P150思考提出问题，为什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就是原方程的解，而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的解，引出分析产生增根的原因，及P151的归纳出检验增根的方法. 4．P150思考归纳出检验增根的方法的理论根据是什么？ 5．教材P154习题第2题是含有字母系数的分式方程，对于学有余力的学生，教师可以点拨一下解题的思路与解数字系数的方程相似，只是在系数化1时，要考虑字母系数不为0,才能除以这个系数. 这种方程的解必须验根. 二、课堂引入 1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程163242=--+x x . 2．提出本章引言的问题： 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v 千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程v v -=+206020100. 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 三、例题讲解 （P151）例1.解方程x x 332=-. [分析]找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化为整式方程，整式方程的解
初中数学八年级《第十六章分式》全章优秀教案设计
第十六章 分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 16.1.2分式的基本性质 16．2分式的运算 16．2．1分式的乘除(一) 16．2．1分式的乘除(二) 16．2．1分式的乘除(三) 16．2．2分式的加减（一） 16．2．2分式的加减（二） 16．2．3整数指数幂 16．3分式方程(一) 16．3分式方程(二) 第十六章 分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200，s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60千米所用时间v -2060小时， 所以v +20100=v -2060.
3. 以上的式子v +20100，v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 七、课后练习 1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？ (1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时. （2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时. (3)x 与y 的差于4的商是 . 2．当x 取何值时，分式 无意义？ 3. 当x 为何值时，分式 的值为0？ 八、答案： 六、1.整式：9x+4, 209y +, 54-m 分式： x 7 , 2 38y y -，91-x 2．(1）x ≠-2 （2）x ≠ （3）x ≠±2 3．（1）x=-7 （2）x=0 (3)x=-1 七、1．18x, ,a+b, b a s +,4y x -; 整式：8x, a+b, 4y x -; 分式：x 80, b a s + 2． X = 3. x=-1 1-m m 3 2+-m m 112 +-m m 45 2--x x x x 235 -+2 3 +x x x 57+x x 3217-x x x --221x 80 2 3 3 2 x x x --212 31 -+x x