无标度网络的争议

无标度网络的争议*

史定华

上海大学数学系

摘要：所有无标度网络都是稀疏的吗？从无标度网络随机抽样所得的子网络是否无标度呢？阿波罗尼斯(Apollonius)网络度指数要不要加1？如何判断一个实际网络是否无标度以及估计其度指数？等等，这些问题都涉及到无标度网络的界定。通过对提出无标度网络原创论文的研究，结合概率论中的相关分布概念，我们的理解是：无标度网络不应仅限于其网络度分布为幂律分布，而应该是指其网络度分布具有幂律行为的一大类网络。

关键词：幂律分布，幂律度序列，幂律行为，无标度网络。

1. 引言

自从1999年Barabási和Albert[1]在《科学》上提出无标度网络起，迄今为止，普遍认为无

P k kγ?(这里记号~指渐近正比)。由于标度网络是指度分布有(或至少近似地有)幂律形式()~

人们对这个幂律形式的认识和理解不同，以及网络尺度上有限与无限的巨大差异，关于无标度网络概念的讨论一直没有停止过。发表讨论文章的都是一些大人物或名单位，我们按时间倒叙的方式择其要者来介绍。2011年德国马普研究所的Genio等人和美国休斯顿大学物理系的Bassler[2]在PRL上以“所有无标度网络都是稀疏的”为题阐述了他们对无标度网络的理解。

γ>。2005年，混沌领军人物之一、牛津大学的May[3]等人这里网络稀疏是指度分布指数2

在PNAS上曾抛出了一篇重磅炸弹文章“无标度网络的子网络都不是无标度网络”，以说明他们对无标度网络的看法。更具戏剧性的是从2005年到2011年为确定阿波罗尼斯网络度指数在PRL上先后发表了三篇文章[4~6]。其中争议的焦点是度指数要不要加1，起因是Barabási 等人[7,8]提出的确定性几何增长模型网络度指数曾出现过反复。可见在物理学界关于什么是无标度网络认识并不一致。事实上，在此之前加州理工学院的Li等人和AT&T实验室的Willinger[9]就质疑过无标度网络的定义，但由于不是物理学家，他们的长文2005年发表在Internet Math.上。而在无标度网络提出不久，随机图论的权威人物剑桥大学的Bollobás和牛津大学的Riordan等人[10]就指出，作为无标度网络典型代表的BA模型“不明确”。他们修改了模型并给出了严格的数学证明，文章2001年发表在Random Structures and Algorithms上。鉴于无标度网络概念在网络科学中的基本重要性，概念的含混不清会引发许多其它连带的问题。例如，网络科学界名人Newman所提出的度相关系数测度[11]和度指数极大似然估计公式[12]就值得商榷。因此有必要进一步探讨无标度网络的界定，通过对提出无标度网络原创论文的研究，我们的理解是：无标度网络泛指网络度分布具有幂律行为比较合适。度分布有幂律分布的网络只是其中的一部分，难怪网络世界似乎是无标度网络的天下。

在文献上我们经常会见到产生无标度网络的多种情况：(1)给定幂律度序列的网络；(2) 来自实际网络的数据子网络；(3)确定的几何增长模型网络；(4)类似于BA随机模型的网络；

P k kγ?，人们通常就认为是无标度网络，从而等等。如果它们的度分布近似幂律形式()~

据此得出种种无标度网络性质的推论。“近似”是科学的研究手段之一，采用近似方法无可非议，但用在这里则是造成许多误解和争议的根源。在科学研究中，虽然方法可以近似，但概念则必须明确，当涉及部分与全体时，两者在逻辑上不能混淆。

我们将依次展开讨论，阐明文献上对无标度网络的理解和认识，着重挖掘无标度网络原

创论文的思想，然后说明无标度网络大家庭不同兄弟特性上的重要区别。

2. 给定幂律度序列的网络

将网络N 个节点的度按大小排序得12N d d d ≥≥≥ ，称1{,,}N d d 为节点度序列。

2.1 给定度序列的图实现

现在任意给定一个度序列1{,,}N d d ，其中都是自然数。假定已按非增顺序排列，问该度序列能否用简单无向图实现？图论中有如下两个定理。

Erd?s-Gallai 定理 度序列1{,,}N d d 可用简单无向图实现当且仅当

1N i i d =∑是偶数，

并且k k L R ≤，1,2,,k N = ，其中k L 和k R 通过下面递推关系给出： 11L d =，1k k k L L d ?=+；1R N =，*1*11, 2, k k k k k R x k k R R k d k k

???+??<=?+??≥?， (1) 其中max{|1}k i x i d k =<+，*

min{|1}i k i x i =<+。

Havel-Hakimi 定理 度序列1{,,}N d d 可用简单无向图实现当且仅当经过简化的度序列1123{1,1,,1,,,}d d N d d d d d ??? 可用简单无向图实现。

递推应用这个定理就可检测一个度序列是否可图实现。还有其它实现方式吗？

2.2. 幂律度序列的图实现

我们从幂律分布定义开始。一个在整数1到N –1中值取的随机变量，如有概率分布 1,()N k P k H γ

γ

??=，1,2,,1k N =? ， (2) 其中,1

a b a b k H k ?==∑, 就称它服从有限幂律分布。当1γ>和N →∞时，1,()N H γζγ?→黎曼ζ-函数，得(无限)幂律分布。若从某个自然数0k 起才有()~P k k γ?，则称为幂律衰减尾

部。显然，幂律分布有幂律衰减尾部，但具有幂律衰减尾部的分布不一定是幂律分布。

然而实际网络统计、分布随机抽样、模型模拟生成等等得到的都是有限样本数据生成的度序列，因此如何判断和区分它们来自何种幂律形式是理解无标度网络概念的关键。这里将涉及有限与无限的问题，实际处理有限，理论模型无限。

最近，PRL 刊登了德国马普研究所Genio 等人和美国休斯顿大学物理系Bassler [2]的一篇文章，认为“无标度网络都是稀疏网络”。众所周知，对度分布为幂律，或更一般些具有幂律衰减尾部的分布()~P k k γ?，当2γ≤时其平均度发散。这里随着网络规模增长，在热力学极限(指N →∞)下，假定无标度网络度指数保持不变。若度指数2γ≤时其平均度发散，这样的网络称为致密的；而2γ>时，即网络平均度有限时，则称为稀疏的。

为了调查无标度网络度指数γ与可图实现的相依关系，他们从具有指数24γ?≤≤的有限幂律分布随机生成范围在1到N –1的整数作为节点有幂律度序列的总体。在随机图论中，如果度序列中给定度k 的节点数()n k k γ?∝(这里记号∝指正比)，则该度序列称为幂律度序列[13]。具有幂律度序列的图称为幂律随机图(或无标度网络)，有多种模型。

令E 是总度数为偶数的幂律度序列数，G 是其中可图实现的度序列数，现在来研究可图实现度序列比例g=G/E 与度指数γ的关系。他们通过数值模拟和极值分析得到：当幂律

度序列指数02γ≤≤时一般不可图实现，而且指数0和2是两个一阶相变临界点，见图1(他们为了研究序列长度的相依性，还计算了Binder 累积量的插图，因为与本文无关，这里删除了该插图)。他们由此得出结论：“无标度网络都是稀疏的”。

图1 无标度网络度指数γ与可图实现度序列比例g 的关系(取自文献[2]) 然而，实证统计研究发现，某些实际网络的度指数会出现2γ≤。例如，Leskovec 在博士论文[14]中统计分析了预印本数据库arXiv 中高能物理领域论文引用网络，统计得到度指数68.1=γ。为此，网络科学界名人Kleinberg 等人[15]曾提出平均度随时间增长的致密性幂律。若总连线数()E t 和总节点数()N t 之间有渐近关系()~()E t N t ξ

，当(1,2)ξ∈且度指数不随时间变化，则称为致密性幂律。我们[16]曾经提出过一个优胜劣汰模型，利用节点度的非齐次生灭过程给出了计算度分布的方法。优胜劣汰模型也会出现度指数2γ≤的幂律衰减尾部，但它的度分布在小度数会呈现“马头”形状。

3. 无标度网络的随机抽样子网络

假定以概率p 从无标度网络中随机抽取节点，当有连线的两个节点都被抽到则连线保持，见图2中红色节点和连线。这样得到的子网络是否无标度？

图2 随机抽样示意图，上图是实际网络，下图是数据网络(取自文献[3])

从实际统计的经验看，随机抽样只要样本足够大就应该与母体分布一致。众所周知，实际网络数据只是真实网络的一个样本。混沌领军人物之一，牛津大学的May 等人[3]在PNAS 曾抛出了一篇重磅炸弹文章，认为无标度网络的随机抽样子网络不是无标度网络。果真如此，除非能明确实证研究的网络不是随机抽样，则说某某网络是无标度网络将失去意义。

现在令数据网络的度分布为*()P k ，实际网络的度分布为()P k ，在什么意义下*()P k 能够反映()P k ，如*()~P k k γ?能说()~P k k γ?吗？这是一个有趣的理论问题。为此需要建立*()P k 和()P k 之间的关系，根据随机抽样假设，容易得到[3]

()()()*1d k k d k d P k P d p p k ?≥??=?????

∑, (3)

其中因子p (抽到度为d 节点的概率)被归一化删除，求和是其k 个邻结点也被抽到的概率。

May 等人[3]希望数据网络和实际网络的分布形式相同只是参数不同。在此意义下，他们说明了若实际网络的度分布是泊松分布，则数据网络度分布仍为泊松分布；但是若实际网络的度分布是幂律分布，则数据网络度分布不是幂律分布。问题出在随机抽样会产生许多孤立结点()*00P ≠，而复杂网络又不考虑孤立结点()00P =。然而有趣的是：从具有幂律度分布网络随机抽样得到的子网络，其度分布一般为幂律衰减尾部的分布。

Cooper 和Lu [17]忽略小度数来比较分布形式。

在此意义下，对幂律分布，他们得到*()P k 与()P k 从某个常数度开始有相同形式，条件是网络最大度小于1N

ε?。他们的证明需要用到鞅论，而且条件等价于3γ<，不容易被网络科学界接受。

我们考虑存在常数i c 使得120*()()c P k P k c <≤≤<∞来比较分布形式，文献[18]对()~P k k γ?时，称*()P k 有幂律行为(behavior)。在此意义下，利用母函数能够证明(见附录

1)对具有幂律行为的网络度分布，子网络度分布的幂律行为保持不变。

4. 几何增长模型生成的网络

如果网络度分布只对某些度有幂律形式

()~P k k γ?，定义域k X ∈， (4)

其中定义域X 是自然数的某个子集，则只有定义域是自然数，它是幂律分布。若定义域是真子集，则可能存在许多度概率为0，例如确定的几何增长模型网络就是如此。

对这些几何增长模型网络在确定度指数时引起了不少的争议，起因是Barabási 等人[7]提出的第一个确定性几何增长模型网络度指数出现了反复，而在阿波罗尼斯网络度指数确定上达到高潮，争议的焦点是度指数要不要加1。关键是如何对待度概率为0的点。

Barabási 等人[7]利用模块层次结构生成了第一个确定的无标度网络。利用度分布的统计定义得到该层次网络(真实)的稳态度分布为

ln 3ln 2()~P k k ?， (5) 由此他们认为度分布为幂律分布且度指数是ln 3ln 2。值得注意的是，(5)式只对足够大的自然数i 当122i k +=?时才成立，但他们没有给出这个定义域。随后Barabási 等人在文献[8]中更正了上述度指数，通过引入概率密度作为离散概率的连续化近似，认为(5)式中度分布频率直方图的底宽正比于k ，所以度分布的概率密度是

1ln 3ln 21(ln3ln 2)()~p k k k k ????=. (6) 于是，他们得到了正确的度指数1(ln 32)γ=+。

Dorogovtsev 等人[19]在引入“伪分形无标度网”时遇到了类似情况，得到稳态度分布

ln 32()2P k k ?=，22,2,k = . (7)

为了确定度指数，文献[20]采用补分布函数来绕开该网络存在许多度概率为零的问题，指出在度的离散谱点有补分布函数1()cum P k k γ?∝，其中1(ln 3ln 2)γ=+。

从2005年到2011年在PRL 上发表了三篇围绕阿波罗尼斯网络度指数确定的文章。2005年Andrade 等人[4]构造了一类确定的阿波罗尼斯网络，得到稳态度分布

(ln3ln 2)1ln 3ln 2()23P k k ??=×，23,32,32,k =×× . (8) 基于补分布函数得到度指数是1(ln 3ln 2)γ=+。然而，文章发表四年以后，大概有人质疑度分布和补分布函数的形式相同，为什么要加1？于是Andrade 等人[5]认为度指数应替换为ln 3ln 2，于是，他们又把自己正确的结果修改为错误的结果。2011年，Mungan [6]在评论中再次采用连续化近似，得到阿波罗尼斯网络稳态概率密度应该是

1ln3ln 21(ln3ln 2)()p k k k k ????∝=. (9)

虽然这些确定的几何增长模型网络度分布都具有幂律形式，但与幂律分布在定义域上并不一致。若认为它们的度指数是ln 3ln 22<，可这些网络平均度又都有限。若以度分布具有幂律分布作为无标度网络的定义，这些网络就不能算作无标度网络。因此，给无标度网络一个明确界定，在网络科学研究中至关重要。

5. 类似于BA 模型的网络

现在我们回到1999年Barabási 和Albert [1]在《科学》上提出无标度网络的原始论文。论文的要点有：(1)对许多实际复杂网络度分布的简单统计，发现其度分布近似幂律分布，见图3；(2)提出了一个随机择优增长的动态模型(即BA 模型)去解释产生幂律的机制；(3)用平均场方法导出了BA 模型网络的度分布近似幂律。根据这些，他们认为网络度分布具有幂律分布或至少近似幂律分布是普遍现象，因此命名此类网络为无标度(scale-free)网络。这一工作立即引起了学界的广泛兴趣，随后相关论文如雨后春笋。

图3 几个大尺度实际网络的度分布：(a)演员网；(b)万维网；(c)电力网(取自文献[1])

然而，由于该文技术上不够完善，争论质疑之声也不绝于耳。首先，剑桥大学的Bollobás

和牛津大学的Riordan 等人[10]就指出BA 模型“不明确”

，理论推导不严密。于是几个学者提出了在热力学极限下等价的若干模型和度分布推导方法。我们[20]利用马氏链方法对这些模型给出了严格的讨论和证明。其次，加州理工学院的Li 等人和AT&T 实验室的Willinger 曾质疑把无标度网络仅仅定义为网络度分布具有幂律分布不能反映性能上的差异，为此他们引入了“标度丰富”的概念。但我们认为，更至关重要的是：在热力学极限下，等价BA 模型网络的度分布已经证明不是幂律分布，而是

232(1)()~2(1)(2)m m P k m k k k k ?+=

++, (10)

因此它是一个具有幂律衰减尾部的分布，只拥有幂律行为而不是幂律分布。

哪么等式左边是什么分布呢？下面我们说明它是概率论中著名的Waring(1736–1798，英国数学家，剑桥大学Lucas 教授)分布[18,21]的特例。概率分布

(0)P α

βα=+， ，

(1)(1)()()(1)(1)()

k P k k k βββαβαβαβαβα++?=+++++?++ ， ， (11) 其中常数,0αβ>，称为Waring 分布。利用伽玛函数∫∞

??=Γ01)(dt e t a t a 的性质

()(1)(1)(1)(1)()k k k k βββββββΓ+=+?Γ+?=++?Γ ， (12)

注意到()(1)(1)k k ββββΓ+=++? ，以及渐近关系

(1)()~(1)k k k αβαβ?+Γ+Γ+++，可得到()()()~()(1)

k P k k k γααβββαβ?Γ+Γ+=ΓΓ+++，其中1γα=+。因此Waring 分布是具有幂律(衰减尾部)行为的分布。(10)式可看作2α=，m β=的Waring 分布。不过要注意，Waring 分布

的定义域是{0,1,,,}k ；而BA 模型网络度分布的定义域是{,1,,,}m m k + ，因此需要平移一下。即2α=，m β=时，Waring 分布的概率2(1)()()((1)(2)m m P k m k m k m k +=

+++++是BA 模型网络度分布()P k m +的概率。

至于网络度分布近似地有幂律，可能存在某些度概率为0，因此并不符合幂律衰减尾部的要求，所以需要经过变换才能判断其幂律行为和正确计算度指数。概率论中补分布函数(或分布函数)是一种强有力的工具，它单调递减。因为()()(1)(1)k P k k P k βαβ++=+??，通过简单计算容易得到Waring 分布的补分布函数是

()()()~cum P k k P k k αβα?=+. (13)

从Waring 分布与其补分布函数的指数关系可以看出，采用补分布函数度指数需要加1。

除了择优增长机制的BA 模型外，人们还提出了许多其它生成机制的模型，如随机复制模型[22]，等等。这些模型得到的网络度分布几乎都是具有幂律(衰减尾部)行为的分布，如随机复制模型网络的入度分布是1α=，1β=时的Waring 分布，而不是(2)式那种严格意义上的无限幂律分布。图3所示实际网络的度分布也是如此。

若坚持只有度分布为幂律分布才是无标度网络，显然与《科学》上提出无标度网络的原创论文相悖。因此我们的理解是：无标度网络不应仅限于其网络度分布为幂律分布，而应该是指其网络度分布具有幂律行为或至少具有幂律衰减尾部的一大类网络。故研究的重点是关注那些具有大度数的节点，所以对模型网络简单模拟然后画图难以说明，这里不能回避热力学极限的讨论；对实际网络则应该着重“富人俱乐部”，即少于20%节点具有超过80%度的那些数据，而非其它。然而，这样也带来一个哲理方面的问题，富者愈富的现象发展不可持续！贫富比较均匀的社会才能保持和谐。无标度网络作为大尺度网络中普遍的宏观现象并不能给我们太多的信息；反而是网络局部结构，如社团、核心、模体等等显得更有价值，它们往往具有特别的对称性和很好的动力学性能。这可能与幂律度序列图实现的方式有关，我们发现规则网络就存在一种同步能力最佳的实现方式[23]。

6. 实际网络度分布的统计

如果无标度网络是指其网络度分布具有幂律(或衰减尾部)行为的一类网络，则网络科学界的名人Newman 所提出的度相关系数测度[11]和度指数极大似然估计公式[12]就值得商榷。因为无标度网络当度指数3γ≤时二阶矩发散，基于二阶矩的度相关系数在热力学极限下必然趋于0。如明显相关的BA 模型网络，其度相关系数反而趋于0，岂不矛盾？

基于将幂律分布作为无标度网络度分布而广泛使用的度指数极大似然估计公式

1min 1?1[ln()]N

i i N k k γ?==+∑, (14)

其中min k 是实际数据中的最小度。

因此估计结果强烈依赖最小度的数值，而无标度网络具有幂律(或衰减尾部)行为，只与大度数的趋势有关，岂不南辕北辙？

复杂网络的兴起是为了研究大尺度的数据网络，如演员网、社交网、引文网、万维网、因特网、基因网、代谢网等等；寻找生成这些复杂网络的关键机制；建立恰当模型再现这些复杂网络的拓扑结构，如度分布。传统的研究方法是：首先对实际网络收集数据对模型网络进行模拟去统计节点的度序列，其次计算具有相同度的节点数得到度频率，然后在双对数坐标上画图看是否能拟合一条直线。若差不多近似一条直线就认为它是无标度网络，但这是很不靠谱的方法。原因之一是数据中有许多度一个节点也没有，因此频率为0，而拟合直线时又不考虑这些点，所以看似直线并没正确体现幂律衰减规律。原因之二是频率图的尾部摆动很大，拟合往往以头部或中部数据点为主，所以看似直线并不能够反映幂律尾部特征。因此，面对网络数据必须寻找更加稳健的统计方法，同时深入挖掘合理的微观生成机制。 度分布具有幂律形式，定义为(), P k k k X γ

?∝∈，X 自然数子集，如：(1)幂律分布；

(2)近似幂律；(3)幂律尾部。度分布具有幂律行为，定义为120()cum c P k k c α?<≤≤<∞，

i c 常数，更广。我们认为度分布具有幂律行为的网络都可称为无标度网络。

由于具有幂律行为的分布太多，选择某些恰当的有代表的分布深入研究很有必要。第一个自然是幂律分布；第二个我们认为最有代表性的就是Waring 分布，利用我们在文献[24]中的结果可以推出增长网络是1α≥的Waring 分布(附录2)；无标度网络致密是01α<<的Waring 分布(附录3)。因为幂律分布和Waring 分布都有明晰的解析表达式，所以可以研究相应的统计分析方法，如参数估计、分布拟合、分布检验、抽样性质等等。这是无标度网络大家庭中最具有代表意义的两兄弟。

无标度网络大家庭中的两兄弟比较

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下面给出本文主要结论的数学证明。

附录1：从幂律衰减尾部分布随机抽样其分布保持不变

首先考虑最基本的具有幂律衰减尾部的Yule-Simon 分布(无标度网络度分布老祖宗)

()()()()

(1)11~11k P k k k αααα?+Γ+Γ+=Γ+++，0,1,k = ， (A1-1) 其中0α>，它是1β=的Waring 分布。利用贝塔函数性质，Yule 分布也可写成 10

()(1)k P k t t dt αα=?∫，0,1,k = . (A1-2) 下面利用母函数方法证明它的随机抽样有分布

1

0*()(1)()k P k t t h t dt αα=?∫， (A1-3) 其中{}1()[1(1)]h t p p t p α+=??。同样Yule 分布用于网络度分布需要平移一下。

根据(3)式可得概率分布*()P k 与()P k 的母函数关系(见文献[3,18])

0*()*()(1)k k G s P k s G p ps ∞

===?+∑， (A1-4)

其中()G s 是()P k 的母函数。计算Yule 分布的母函数得到 10()1(1)G s d s α

θαθθ=??∫. (A1-5)

因此，从Yule 分布随机抽样所得分布*()P k 的母函数

10*()1(1)(1)G s d p ps α

θαθθ=???+∫

10(1)[1(1)(1)]11(1)(1)d ps p p α

θαθθθθ=??????????????∫。

110(1)*()1(1)(1)1(1)(1)k p P k d p p αθθαθθθθ????=??????????

∫

11

20(1)(1)1(1)1(1)[1(1)]k tp p tp p t t dt t p t p t p αα??????=?+??????????????∫ 10

(1)()k t t h t dt αα=?∫。 现在因为()h t 在[0,1]区间单调递增连续，()0h p α=

定理，对任意自然数k ，存在(0,1)k η∈成立下式

1100

*()(1)()()(1)()()k k k k P k t t h t dt h t t dt h P k αααηαη=?=?=∫∫. (A1-6) 又因为()[,1]k h p p αη∈，于是得到0()*()1p P k P k p α<≤≤<∞。

进一步，因为()*()()k k h P k P k ηξ==为有界序列，故必存在收敛的子序列{}j k ξ使得lim [,1]j k j p p α

ξξ→∞=∈。虽然对一般的自然数k ，不能保证*()()P k P k ξ≈；但对0ε>，存在自然数K ，当j K >时，有||j k ξξε?<，从而|()()|j k j j P k P k ξξε?<。故能找到无限个{}j k 使得*()()j j P k P k ξ≈(这里记号≈指近似)。

对Waring 分布的证明类似，只需注意到Waring 分布的概率分布

()()()(1)()()()(1)()()(1)

k k P k k k ααββαβαββαβαβαβΓ+Γ+Γ+Γ+Γ+==ΓΓ+++ΓΓΓ+++ 110

()(1)()()k t t dt αβαβαβ+?Γ+=?ΓΓ∫. (A1-7) 计算Waring 分布的母函数得

1

10()(1)()()()1(1)G s d s

αβαβθθθαβθ?Γ+?=ΓΓ??∫. (A1-8) 其余推导与对Yule 分布的推导完全相同。

附录2：增长网络度分布是Waring 分布1α≥的特例

复杂网络中的增长网络是最重要也是最基本的一类网络。它的特点是每个节点的度都只会增加，而不会减少。现在记第i 步(12i ,,= )加入的节点i 在t 时(1t i,i ,=+ )的度数为

()i K t ，

若增长网络具有马氏性，它是一个非齐次马氏链。显然，由于不允许重复连线，()i K t 每步至多只能增加1。它的增长规律由初始分布和转移概率完全确定。

初始分布记为0() 01i h ,h i m α≤≤?+，其中m 0是初始网络的节点数，即第i 步加入网络的节点i 带进连线数h 的概率。现在假设lim ()()i i h h αα→∞

= (按分量收敛)，并且存在一个正整数J 使得当h J >时有()0h α=。

转移概率记为

()i f k,t ，表示具有度k 的节点i 在t +1时间步获得度数增加1的概率。现在假设()i f k,t 与i

无关，并且lim ()()t tf k ,t k βα→∞=+，其中1 0,αβ≥>。为什么需要假设1α≥？因为当t 充分大时，由平均场方法的动力学方程()[()]i i k t t k t βα??=+解得1()i k t ct α=。若不假设1α≥，节点度数将超过t ，矛盾。

下面我们证明这样的增长网络度分布是Waring 分布1α≥的特例。

对每个马氏链()i K t ，容易建立(){()}i P k,i,t P K t k ==满足的主方程

()(,,1)(1)(1,,)1()(,,)P k i t f k ,t P k i t f k,t P k i t +=??+?，

(,,)()i P k i i k α=. (A2-1)

忽略初始网络，记1(,)(,,)t

i S k t P k i t ==∑，对(A2-1)式关于i 求和，于是有

1()(,1)(,)(,)(1)(1,)()t tf k,t S k t S k t S k t f k ,t S k t k t

α++?+=??+. (A2-2) Internet Math.杂志主编著名随机图论专家金芳蓉院士等人[26]首先给出了这个差分方程的极限定理，文献[20]给出了这种类型差分方程极限定理的另一证明。

定理：对差分方程()(1)()()()()

b t t t t d t

c t ?+??+?=，若下列条件满足：lim ()t

d t l →∞=，(1)()1c t c t +?=和lim ()0t b t b →∞

=≥，则有 ()lim lim[(1)()]1t t t l t t t b

→∞→∞?=?+??=+. (A2-3) 令()(,)t S k t ?=，()(,)b t tf k t =，()c t t =和1()(1,)(1,)()t d t f k t S k t k α+=??+。根据上述增长网络的假设，当k J >时，利用极限定理可得增长网络的度分布

(,)[(1)](1)()lim 1[()]

t S k t k P k P k t k βαβα→∞?+?==++. (A2-4) 为了简化，不妨取0J =，递推计算上述表达式得到

(1)(1)(0)()(1)(1)()

k P P k k k ββββαβαβα++?=++++?++ . (A2-5) 下面确定常数(0)P ，(A2-4)式可写成()[(1)(1)()()]P k k P k k P k ββα=?+??+，两边求和有1()[(0)()()]m k m m k P k P k P k ββα==?+∑，利用()m P k 的渐近关系，当m

k

→∞时，得到1()(0)k P k P βα∞==∑。再由1(0)+()1k P P k ∞

==∑可得 (0)P ααβ=

+. (A2-6)

附录3：无标度网络致密是Waring 分布01α<<的特例

注意Waring 分布用于网络度分布需要平移一下，这里为了叙述简洁，令()n k 表示网络中度为k 的节点个数，则总节点数0()()m k m k N k n k ==∑，总连线数1()()m k m k E k kn k ==∑，其中m k 为网络最大度。因为()()n k cP k =，所以两者之比与条件期望有关，即

1

()()[|0]()()m

m k m k m k m k kP k E k X X k N k P k ====Ε≤≤∑∑. (A3-1)

因此，为了证明无标度网络致密是Waring 分布01α<<的特例，需要知道Waring 分布条件期望中分子、分母、常数c ，这样才能估计总节点数和总连线数与最大度的渐近关系。

首先计算分母，由数学归纳法容易证明

0()(1)()()1()(1)

m k m m k m k M k P k k αββββα=Γ+Γ++==?

ΓΓ+++∑. (A3-2) 其次计算分子，由Waring 分布的概率(A1-7)，并注意到

1101(1)(1)1(1)m m m k k k k k

k s s s θθθ++=???=??∑， (A3-3) 可以得到Waring 分布条件概率分布(|0)m P k X k ≤≤的母函数

0()(|0)m k

k m k H s P k X k s ==≤≤∑ 111101()1(1)(1)()()()1(1)m m k k m s d M k s

αβαβθθθθαβθ++?Γ+??=??ΓΓ??∫. (A3-4) 利用[|0](1)m X X k H ′Ε≤≤=，通过复杂的计算可得分子

1()()()[|0]()()

m k m m m k Z k kP k X X k M k αββ=Γ+==Ε≤≤=

Γ∑i (2)1(1)1()11(1)m m m k k k ββαβααβαββα????Γ++Γ+???++?????Γ+?++Γ+++??????

i . (A3-5) 最后计算常数，由()~1m n k 和(1)()()~()m m P k k αααββ?+Γ+Γ得1()()

m k c αβααβ+Γ=Γ+。 令()(1)()()1()()(1)m m m k k k αβββθααβββα??Γ+Γ++Γ=

???Γ+ΓΓ+++??，由(A3-2)得1()()m m m N k k k αθ+=。由渐近关系()~()k k k αβαβ?Γ+Γ++，显然有()lim ()()

m m k k βθααβ→∞Γ=Γ+，所以1()~m m N k k α+。类似地，令(1)(1)11()1111()(2)m m m m k k k k βαβαβφααβααββ????Γ+Γ+++=++?

????++?Γ+Γ++????，因为当01α<<时，1lim ()1m m k k φα→∞=?，由1(2)()()(1)

m m m m m k E k k k k αβφαβ+Γ++=Γ+++，可得2()~m m E k k 。 现在研究总节点数和总连线数与最大度的渐近关系，我们有

log ()2log 2~, ()log ()(1)log 1m m m m m E k k k N k k αα=→∞++. (A3-6) 于是当01α<<时，Waring 分布有渐近关系()~()m m E k N k ξ

，其中2(1)(1,2)ξα=+∈。因为α可取(0,1)之间的任意实数，这说明致密性幂律是Waring 分布的特例。

致谢：这部分证明参考了文章“山石，张翼飞，孙经纬. 一类幂律分布和致密性幂律[C]. 第七届全国复杂网络学术会议，成都，2011”。

附注：这是2012年1月13日在深圳召开的“网络同步与控制学术研讨会”上的报告。2012年2月10日《科学》发表了“Critical Truths About Power Laws ”，值得一读。我们是参加讨论的小人物，很难在国际顶级杂志上发表自己的观点，因为国际顶级期刊也毫无例外地遵循“丛林法则”，因此先就教于国内同行。如果此文观点有不妥之处，希望批评指正。