七年级数学竞赛讲座11 应用题3

应用题（三）

一、一、知识要点

数学应用题涉及的题材广泛，内容丰富。大到卫星上天，小到日常生活，无时无地不体现数学的作用。数学应用题我们不能局限于几种类型，主要的是要增强应用数学的意识，提高处理数学应用题的能力。解决数学应用题的关键是从数学应用题中抽象出数学模型，把数学应用题转化成一个数学问题来解决。

二、二、例题精讲

例1 某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A 水果，4千克B 水果；乙种搭配：3千克A 水果，8千克B 水果，1千克C 水果；丙种搭配：2千克A 水果，6千克B 水果，1千克C 水果。已知A 水果每千克2元，B 水果每千克1.2元， C 水果每千克10元，某天该商店销售这三种搭配共得441.2元，其中A 水果的销售额为116元，则C 水果的销售额为元。(2000年全国初中数学联合竞赛试题)

解：设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别为x 、y 、z 套，依题意有

()???=++=++2.4412.216.258.81162322z y x z y x 、

∴??

?=++=++110353642258232z y x z y x

消去x 得：31(y+z)=465，故y+z=15

所以，共卖出C 水果15千克，C 水果的销售额为15?10=150

评注：本题列出的是不定方程，要求出x 、y 、z 是不可能的，但本题只要整体地求出y+z

就行了。

例2某班参加一次智力竞赛，共a 、b 、c 三题，每题或者得满分或者得0分。其中题a 满分20分，题b 、题c 满分分别为25分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有一人，答对其中两道题的有15人。答对题a 的人数与答对题b 的人数之和为29；答对题a 的人数与答对题c 的人数之和为25；答对题b 的人数与答对题c 的人数之和为20。问这个班平均成绩是多少分？ (1999年全国初中数学联合竞赛二试试题)

解：设答对题a 、答对题b 、答对题c 的人数分别为x 、y 、z ，则有

????????====+=+=+81217 202529z y x z y z x y x 解得

所以答对一题的人数为：37-1?3-2?15=4

全班人数为：1+4+15=20 故全班平均成绩为()4220258122017=?++?

答：这个班平均成绩是42分

评注：本题是通过设间接未知数来列方程，设未知数的方法一般和直接和间接两种。

例3在边防沙漠地带，巡逻车每天行驶200公里，每辆巡逻车可装载供行驶14天的汽油。现有5辆巡逻车同时从驻地A出发，完成任务后再沿原路返回驻地，为了让其中三辆尽可能向更远的距离巡逻(然后再一起返回)，甲、乙两车行至途中B处后，仅留足自己返回驻地所必须的汽油，将多余的汽油留给另外三辆使用，问其它三辆可行进的最远距离是多少公里？(1995年河北省初中数学联合竞赛试题)

解：设巡逻车行到途中B处用了x天，从B处到最远处用了y天，则有

2[3(x+y)+2x]=14?5，即5x+3y=35

又由题意，需x>0，y>0且14?5 – (5+2)x≤14?3，即x≥4

从而问题的本质是在约束条件?

≥

之下，求y的最大值，

显然y=5，这样，200?(4+5)=1800(公里)

所以其它三辆可行进的最远距离是1800公里

例4 龙九想知道圆珠笔、彩笔、铅笔、签字笔和荧光笔的价格，这些笔中每两种笔(每种各一支)装一盒，它们的价格分别是250元、290元、320元、340元、360元、370元、390元、410元、430元、480元。铅笔比彩笔便宜30元，签字笔比圆珠笔贵，荧光笔比签字笔贵。求出每种笔的价格。(第一届汉城国际数学竞赛试题)

分析：设光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别是a>b>c>d>e元, 每两种笔合在一起，可以得出10个和：a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e.

由光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格的大小关系得出a+b最大，a+c次之，d+e最小，c+e次小，从而列出方程组。

解：设荧光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别是a>b>c>d>e元,

每两种笔合在一起，可以得出10个和：a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e.

其中a+b最大，a+c次之，d+e最小，c+e次小。

所以?

(4)

250

(3)

290

(2)

430

(1)

480

(1)-(2) 得：b-c=50 (5)

(5)+(3) 得：b+e=340 (6)

在上面10个和中，c+d肯定小于b+d，但是否比b+e小，难以断定，现在b+e=340，所以 c+d=320 (7)

(3)+(4)+(7)得 2 (c+d+e)=860 所以 c+d+e=430

从而可得：c=180，d=140，e=110

进一步可得：b=230，a=250

即荧光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别是250元、230元、180元、140元、110元

评注：本题未知数多，方程也多，必须仔细分析题意，理清它们的关系，才能正确求解。

例5 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，

乙10件，丙1件，共需4.20元。现在购甲、乙、丙各一件共需多少元？

分析：设甲、乙、丙三种货物的单价分别为x 、y 、z 元，由题意，很容易得出二条方程，但

二个方程三个未知数，无法求出x 、y 、z ，实质上，此题的目标不是求x 、y 、z ，而是求x+y+z ，我们可以设法整体地求出x+y+z 。

解：设甲、乙、丙三种货物的单价分别为x 、y 、z 元，由题意得：

???=++=++)2(

20.4104(1) 15.373z y x z y x 设m (3x+7y+z) +n (4x+10y+z)=x+y+z

则 (3m+4n) x+(7m+10n) y+(m+n)z= x+y+z

∴3m+4n=7m+10n= m+n=1，从而求得m=3，n= -2

∴x+y+z= 3 (3x+7y+z) -2 (4x+10y+z)=3?3.15-2?4.20=1.05

答：购甲、乙、丙各一件共需1.05元。

评注：本题列出的是不定方程组，无法求出x 、y 、z ，但本题的目标不是求x 、y 、z ，而是

求x+y+z ，因此本题通过待定系数法求出x+y+z 与3x+7y+z 和4x+10y+z 的关系，从而整体地求出x+y+z 。这是整体思想的体现。

例6 某手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4点30分与准确时间对准，则在当天上

午手表指示时间为10点50分时，准确时间应该是多少？

分析：设所求的准确时间为x 小时，则??? ?

?6510-x 小时为手表从清晨4点30分走到上午10点50分所慢的小时数，??? ?

?214-x 小时为手表从清晨4点30分走到上午10点50分时，实际走的准确的小时数，因为手表每走1小时要慢201小时，所以??? ?

?214-x 小时慢了201

??? ??214-x 小时，则201??? ?

?214-x =??? ??6510-x 解：设所求的准确时间为x 小时，由题意得：

201??? ?

?214-x =??? ??6510-x 解之得：分小时小时1011)(6111==x

答：准确时间应该是11点10分。

例7 某出租车的收费标准是：5千米之内起步费10.8元，往后每增加1千米增收1.2元。

现从A 地到B 地共支出车费24元，如果从A 先步行460米，然后乘车到B 也是24

元，求从AB 的中点C 到B 地需支付多少车费。

分析：解决这个问题的关键是要计算出CB 的路程，由于车费的计算方式是10.8+1.2n n 是乘车路程大于5千米部分所含1千米的个数，不足1千米也要算1千米，从A 地

到B 地共支出车费24元，代入可计算出n=11，于是5+1?10

同样5+1?10

则5+1?10

即15

∴从C 地到B 地应付车费10.8+1.2?3=14.4(元)

答：乘车从AB 的中点C 到B 地需支付14.4元车费。

例8 某种饮料分两次提价，提价方案有三种。方案甲是：第一次提价m%，第二次提价n%；

方案乙是：第一次提价n%，第二次提价m%；方案丙是：先后提价两次，每次提价%2n m +。若m>n>0，则提价最多的方案是哪一种？

解：设饮料原价格为1，则按甲提价方案提价后的价格是：(1+m%) (1+n%)

按乙提价方案提价后的价格是：(1+n%) (1+m%)

按丙提价方案提价后的价格是：(1+%2n m +)2

显然甲、乙两种方案最终价格是一致的，因而只需比较(1+m%) (1+n%)与(1+%2n m +)2的

大小

(1+m%) (1+n%)=1+ m% +n%+ m%?n%=1+(m+n)% + m%?n% (1+%2n m +)2=1+2?%2n m ++(%2n m +)2=1+(m+n)%+ (%2n m +)2

所以只要比较m%?n%与(%2n m +)2的大小即可

∵ (%2n m +)2- m%?n%=()22

1004?+n m -2100mn =()()410014410012

222n m mn n m -=-+>0

∴(%2n m +)2> m%?n%，即(1+%2n m +)2>(1+m%) (1+n%)

因此，丙种方案提价最多。

评注：本题应用了比差法来比较大小，比差法是比较大小的最常用方法。

三、三、巩固练习

选择题

1、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么( ) (2000年全国初中数学竞赛试题)

A 、甲比乙大5岁

B 、甲比乙大10岁

C 、乙比甲大10岁

D 、乙比甲大5岁

2、一次考试共有5道试题，考后成绩统计如下：有81%的同学做对第一题，91%的同学做对第二题，85%的同学做对第三题，79%的同学做对第四题，74%的同学做对第五题。如果做对三道题以上(包括三道)的同学为考试合格，则这次考试的合格率至少为( )

A 、70%

B 、74%

C 、81%

D 、73%

(第六届《祖冲之杯》数学邀请赛试题)

3、甲、乙、丙、丁四个拿出同样多的钱，合伙订购同样规格的若干货物。货物买来后，甲、乙、丙分别比丁多拿了3，7，14件货物，最后结算时，乙付给丁14元，那么丙应付给丁( ) (第七届《祖冲之杯》数学邀请赛试题)

A 、28元

B 、56元

C 、70元

D 、112元

4、某旅馆底层客房比二层客房少5间，某旅游团有48人，若全部安排在底层，每间住4人，房间不够；而每间住5人，有的房间未住满。又若全部安排在二层，每间住3人，房间不够；而每间住4人，有的房间未住满。这家旅馆底层共有房间( )

A 、9个

B 、10个

C 、11个

D 、12个

5、如果某一年的5月份中，有5个星期五，它们的日期之和为80，那么这个月的4日是星期( )

A 、一

B 、三

C 、五

D 、日

6、有面额为壹圆、贰圆、伍圆的人民币共10张，全部用来购买一把价值为18元的雨伞，不同的付款方式共有( )

A 、1种

B 、2种

C 、3种

D 、4种

填空题

7、某校初一、初二、初三各年级的学生数相同，已知该校的初一的男生数与初二的女生数相同，初三男生占全校男生的83

，那么全校女生占全校学生的

8、在一家三口中，每两个人的平均年龄加上余下的一人的年龄，分别得到49，62，63，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是

9、某校初三学生在操场排队，站2排对齐恰剩1人，站3排对齐恰剩2人，站4排对齐恰剩3人，站5排对齐恰剩4人，站6排对齐恰剩5人，而站7排对齐恰无剩余，则该校初三学生最少有人

10、某县有500名学生参加第七届《祖冲之杯》数学邀请赛，平均得分63分。该县男生平均得分60分，女生平均得分70分，则该县参赛男生比女生多人

11、在计算一个正数乘以3.5?

7时，某同学误将3.5

7错写成3.57，结果与正确的答案

相差1.4，则正确的乘积结果是

12、99名学生去划船，大船每只可乘坐12人，小船每只可乘坐5人，如果这些学生把租来的船都坐满，则大船和小船应该分别租只。

解答题

13、某商店有甲、乙两种钢笔共143支，甲种钢笔每支6元，乙种钢笔每支3.78元，某学校购了该商店的乙种钢笔全部和部分甲种钢笔，经过核算后，发现应付款的总数与甲种钢笔的总数无关，问购买的甲种钢笔是该商店甲种钢笔总数的百分之几？

14、某收购站分两个等级收购小麦，一等小麦每千克为a元，二等小麦每千克为b(b

15、在一段公路上，学生均匀地植树10棵，这批树由卡车运来，问卡车在什么地方卸车最好(可使学生们搬树的距离和最小)？

16、有一批货，如果本月初出售，可获利100元，然后将本利都作某项投资，已知该项投资的月息为2.4%；如果下月初出售，可获利120元，但要付5元保管费，试问这批货何时出售比较好(本月初还是下月初)？说明理由。

17、某市初中数学联赛，有A、B、C、D四校参加，A、B校共有16名选手，B、C校共有20名选手，C、D校共有34名选手，且各校选手人数正好按A、B、C、D次序从小到大排列，求各校人数。

18、某人下午6点多外出时，看手表上两指针的夹角为110°，下午7点前回家时发现两指针的夹角仍为110°，他外出多少时间？

19、有4位小朋友的体重都是整数千克，他们两两合称体重，共称了5次，称得的千克数分别是99、113、125、130、144。其中有两人没有一起称过，那么这两人中体重较重的人的体重是多少千克？

20、民用电收费规定，每月每户不超过24度按每度9角收费，超过24度时，超过部分按每度2元收费，并规定用电按整度收费。某月甲户比乙户多交电费9元6角，问甲户和乙户各用电多少度？

初中数学竞赛讲座之数论初步(一)

初中数学竞赛讲座之数论初步(一) 整数的整除性定义：设a ，b 为二整数，且b ≠０，如果有一整数c ，使a ＝bc ，则称b 是a 的约数，a 是b 的倍数，又称b 整除a ，记作b|a. 显然，１能整除任意整数，任意整数都能整除０. 性质：设a ，b ，c 均为非零整数，则 ①．若c|b ，b|a ，则c|a. ②．若b|a ，则bc|ac ③．若c|a ，c|b ，则对任意整数m 、n ，有c|ma ＋nb ④．若b|ac ，且(a ，b)＝1，则b|c 证明：因为(a ，b)＝1 则存在两个整数s ，t ，使得 as ＋bt ＝1 ∴ asc ＋btc ＝c ∵ b|ac ? b|asc ∴ b|(asc ＋btc) ? b|c ⑤．若(a ，b)＝1，且a|c ，b|c ，则ab|c 证明：a|c ，则c ＝as(s ∈Z) 又b|c ，则c ＝bt(t ∈Z) 又(a ，b)＝1 ∴ s ＝bt'(t'∈Z) 于是c ＝abt' 即ab|c ⑥．若b|ac ，而b 为质数，则b|a ，或b|c ⑦．(a －b)|(a n －b n )(n ∈N)，(a ＋b)|(a n ＋b n )(n 为奇数) 整除的判别法：设整数N ＝121n 1a a a a - ①.2|a 1?2|N ， 5|a 1? 5|N

②.3|a 1＋a 2＋…＋a n ?3|N 9|a 1＋a 2＋…＋a n ?9|N ③.4|a a ? 4|N 25|a a ? 25|N ④.8|a a a ?8|N 125|a a a ?125|N ⑤．7||41n n a a a -－a a a |?7|N ⑥．11||41n n a a a -－a a a |?11|N ⑦．11|[(a 2n ＋1＋a 2n －1＋…＋a 1)－(a 2n ＋a 2n －2＋…＋a 2)] ?11|N ⑧．13||41n n a a a -－a a a |?13|N 推论：三个连续的整数的积能被６整除. 例题： 1.设一个五位数d a c b a ，其中d －b ＝3，试问a ，c 为何值时，这个五位数被11整除. 解：11|d a c b a ∴ 11|a ＋c ＋d －b －a 即11|c ＋3 ∴ c ＝8 1≤a ≤9，且a ∈Z 2.设72|b 673a ，试求a ，b 的值. 解：72＝8×9，且(8，9)＝1 ∴ 8|b 673 a ，且9| b 673a ∴ 8|b 73 ? b ＝6 且 9|a ＋6＋7＋3＋6 即9|22＋a ∴ a ＝5 3.设n 为自然数，A ＝3237n －632n －855n ＋235n ，

七年级数学竞赛讲座：时间、时刻、时钟

时刻、时间与钟表同学们，你一定知道钟表是用来记时的，爸爸妈妈当你很小时就会教你如何看钟表、报时间，可钟表里有许多有趣的数学问题。什么叫“时间”它有两层意思： 1.表示某一种特定时候。如：北京时间八点整。每天早上六点起床等等，为了区别别一种含义，我们把表示某一种特定的时候，叫时刻。（也叫点） 2.表示两个不同时刻的间隔。如：从早上8时到10时，花了2个小时的时间写作业，从杭州到上海火车运行的时间是2小时30分。这叫做时间。我们可以从单位名称上来区分时刻与时间的差异。时刻，一般用“时”如：飞机上午8时起航，指飞机离开机场时刻。时间一般用“小时”共飞行了8小时，指飞机从上午8时起飞到下午4时降落，在空中飞行了8个小时。同学们不仅要会读钟面上显示的时刻，还要学会观察钟面所表示的不同的时刻之间的时间关系。找出规律。如：长短针位置的判断时刻，确定长，短针互换位置后的时刻，反射到镜面上的钟面的时刻等等。有利于培养自己观察能力。例1根据前3个钟面的规律，画出第4个钟面的长、短针。 3 分析：前面三个钟表所表示的时刻分别是1时，3时30分，6时，相邻两个钟的时间差都是2小时30分。因此第4个钟也应是在第3个钟6点的基础上增加2小时30分，应显示出的时刻是8点30分

例2按次序观察图中各钟面所表示的时刻，找出各种钟面所表示的时间规律，请在第5只钟面上标出符合规律的时刻分析：把各钟面表示的时刻依次排列起来 11点30分→12点5分→12点40分→1点15分→（）→2点25分发现它们相邻两钟的间隔时间都是35分钟，因此第5个钟面的时刻应是1点50分。例3见图：是反射在镜面上的两只钟面的长针和短针的位置，请说出各钟面的时刻？分析：同学们我们只要用镜子实践一下，就会发现任何物体经过镜面反射，它的位置发生了

初一数学竞赛系列讲座9

初一数学竞赛系列讲座(9) 应用题（一）一、一、知识要点 1、 1、应用题是中学数学的重要内容之一，它着重培养学生理解问题、分析问题和解决问题的能力，解应用题最主要的方法是列方程或方程组。 2、 2、列方程(组)解应用题的一般步骤是： (1) (1) 弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知数； (2) (2) 找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系； (3) (3) 根据这个相等关系列出方程； (4) (4) 解这个方程，求出未知数的值； (5) (5) 写出答案(包括单位名称)。 3、行程类问题行程类问题讨论速度、时间和路程之间的相互关系。它们满足如下基本关系式：速度?时间=路程 4、数字类问题数字类问题常用十进制来表示数，然后通过相等关系列出方程。解数字类问题应注意数字间固有的关系，如：连续整数，一般设中间数为x ，则相邻两数分别为x-1、x+1；连续奇(偶)数，一般设中间数为x ，则相邻两数分别为x-2、x+2。二、二、例题精讲例1 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶 20千米，下坡时每小时行驶35千米，。车从甲地开往乙地需9小时，乙地开往甲地需21 7小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(第五届华杯赛复赛题) 分析本题用方程来解简单自然。解设从甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为y 千米，根据题意得方程组 ?????=+=+(2) 2172035(1) 93520y x y x 解这个方程组有很多种方法。例如代入消元法、加减消元法等。由于方程组系数比较特殊(第一个方程中x 的系数201恰好是第二个方程中y 的系数，而y 的系数351 也恰好是第二个方程中x 的系数)，也可以采用如下的解法： (1)+(2)得 (x+y)( 201+351)=9+217

初一数学竞赛系列讲座解一次方程(组)与一次不等式(组)教师版

初一数学竞赛系列讲座解一次方程（组）与一次不等式（组）一、知识要点 1．一次方程组解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法” 2．不定方程不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解或正整数解。定理：若整系数不定方程ax+by=c (a 、b 互质)有一组整数解为x 0，y 0，则此方程的全部整数解可表示为：???-=+=)k ( 00为任意整数这里ka y y kb x x 3.一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。它的标准形式：ax+b ＜0或ax+b ＞0（a ≠0）解不等式的根据是不等式的同解原理。 4．不等式的基本性质和同解原理不等式的基本性质 (1)反身性如果a ＞b ，那么b ＜a (2)传递性如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c (3)平移性如果a ＞b ，那么a+c ＞b+c (4)伸缩性如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc 不等式的同解原理1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式。不等式的同解原理2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。不等式的同解原理3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式。 5．解一元一次不等式的步骤（1）去分母（根据不等式性质2或3）；（2）去括号（根据整式运算法则）；（3）移项（根据不等式基本性质1）；（4）合并同类项（根据整式的运算法则）；（5）将x 项系数化为1（根据不等式性质2或3）； 6．不等式组及其解集几个一元一次不等式合在一起，就成了一元一次不等式组；几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。 7．解一元一次不等式组的方法和步骤：

初中数学竞赛讲座6

第六讲整式的运算吴忠市第一中学韩瑞峰一、知识要点 1、整式的概念：单项式，多项式，一元多项式； 2、整式的加减：合并同类项； 3、整式的乘除：（1）记号f(x)，f(a)；（2）多项式长除法；（3）余数定理：多项式f(x)除以(x-a)所得的余数r等于f(a)；（4）因数定理：(x-a)|f(x)?f(a)=0。二、例题示范 1、整式的加减例1、已知单项式0.25x b y c与单项式-0.125x m-1y2n-1的和为0.625ax n y m，求abc的值。提示：只有同类项才能合并为一个单项式。例2、已知A=3x2n-8x n+ax n+1-bx n-1，B=2x n+1-ax n-3x2n+2bx n-1，A-B中x n+1项的系数为3，x n-1项的系数为-12，求3A-2B。例3、已知a-b=5，ab=-1，求(2a+3b-2ab) -(a+4b+ab) -(3ab+2b-2a)的值。提示：先化简，再求值。例4、化简：x-2x+3x-4x+5x-…+2001x-2002x。例5、已知x=2002，化简|4x2-5x+9|-4|x2+2x+2|+3x+7。提示：先去掉绝对值，再化简求值。例6、5个数-1, -2, -3,1,2中，设其各个数之和为n1，任选两数之积的和为n2，任选三个数之积的和为n3，任选四个数之积的和为n4，5个数之积为n5，求n1+n2+n3+n4+n5的值。例7、王老板承包了一个养鱼场，第一年产鱼m千克，预计第二年产鱼量增长率为200%，以后每年的增长率都是前一年增长率的一半。（1）写出第五年的预计产鱼量；

数学竞赛专题讲座七年级第讲计算工具与算法的变迁含答案

第五讲计算——工具与算法的变迁研究数学、学习数学总离不开计算，随着时代的变迁，计算工具在不断地改变，从中国古老的算盘、纸笔运算发展到利用计算器、计算机运算．初中代数中运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的理解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上，这要求我们要善于观察问题的结构特点，灵活选用算法和技巧，有理数的计算常用的方法与技巧有： 1．巧用运算律； 2．用字母代数； 3．分解相约； 4．裂项相消； 5．利用公式； 6．加强估算等． “当今科学活动可以分成理论、实验和计算三大类，科学计算已经与理论研究、科学实验一起，成为第三种科学方法．——威尔逊注：威尔逊，著名计算物理学家，20世纪80年代诺贝尔奖获得者．【例1】现有四个有理数3，4，6-，l0，将这4个数(每个数用且只用一次)进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，其三种本质不同的运算式有： (1) ；(2) ；(3) ． (浙江省杭州市中考题) 思路点拨从24最简单的不同表达式人手，逆推，拼凑．链接：今天，计算机泛应用于社会生活各个方面，计算机技术在数学上的应用，不但使许多繁难计算变得简单程序化，而且还日益改变着我们的观念与思维．著名的计算机专家沃斯说过：“程序=算法十数据结构”．有理数的计算与算术的计算有很大的不同，主要体现在： (1)有理数的计算每一步要确定符号；（2）有理数计算常常是符号演算； (3)运算的观念得以改变，如两个有理数相加，其和不一定大于任一加数；两个有理数相减，其差不一定小于被减数．程序框图是一种用规定、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形，能清晰地展现算法的逻辑结构，常见的逻辑结构有：顺序结构、条件结构和循环结构．【例2】如果4个不同的正整数q p n m 、、、满足4)7)(7)(7)(7(=----q p n m ，那么，q p n m +++等于( )． A ．10 B ．2l C ．24 D ．26 E ．28 (新加坡数学竞赛题) 思路点拨解题的关键是把4表示成4个不同整数的形式．【例3】计算： (1)100 321132112111+++++++++++ ； (“祖冲之杯”邀请赛试题) (2)19492 —19502 +19512 —19522 +…+19972 —19982 +19992 (北京市竞赛题) (3)5+52+53+…十52002 ．思路点拨对于(1)，首先计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形人手；(2)式使人易联想到平方差公式，对于(3)，由于相邻的后一项与前一项的比都是5，可从用字母表示和式着手．

七年级数学竞赛讲义附练习及答案全套下载(共12份)

七年级数学竞赛讲义附练习及答案（12套）初一数学竞赛讲座第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力. 数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”. 因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了. 任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作. ”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重. 数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆. 主要的结论有： 1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的. 特别地，如果r=0，那么a=bq. 这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数. 2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c. 3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的. （1）式称为n的质因数分解或标准分解. 4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为： d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）.

5．整数集的离散性：n 与n+1之间不再有其他整数. 因此，不等式x ＜y 与x ≤y-1是等价的. 下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解. 一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决. 这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0； 2．带余形式：a=bq+r ； 4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数. 例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差. 结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998. 问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a 3，a 2，a 1，a 0，则这个四位数可以写成：1000a 3+100a 2+10a 1+a 0，它的各位数字之和的10倍是10（a 3+a 2+a 1+a 0）=10a 3+10a 2+10a 1+10a 0，这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是： 990a 3+90a 2-9a 0=1998，110a 3+10a 2-a 0=222. 比较上式等号两边个位、十位和百位，可得a 0=8，a 2=1，a 3=2. 所以红色卡片上是2，黄色卡片上是1，蓝色卡片上是8. 例2 在一种室内游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数abc (a,b,c 依次是这个数的百位、十位、个位数字)，并请这个人算出5个数cab bca bac acb ,,,与cba 的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc . 现在设N=3194，请你当魔术师，求出数abc 来. 解：依题意，得

【重磅】初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套)

第一讲有理数一、有理数的概念及分类。二、有理数的计算： 1、善于观察数字特征； 2、灵活运用运算法则； 3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等）。三、例题示范 1、数轴与大小例1、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？例2、将99 98 ,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。提示1：四个数都加上1不改变大小顺序；提示2：先考虑其相反数的大小顺序；提示3：考虑其倒数的大小顺序。例3、观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。试确定三个数c a b ab 1,1,1-的大小关系。分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。例4、在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。提示：P=n a b a -+（n 为大于是的自然数）注：P 的表示方法不是唯一的。 2、符号和括号在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。例5、在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“—”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？

提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧例6、计算-1-2-3-…-20KK -20KK -20KK 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)?项数÷2。例7、计算1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-20KK+20KK+20KK 提示：仿例5，造零。结论：20KK 。例8、计算 9 9 9 9991999999个个个n n n +? 提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n +99…9，99…9=10n -1。例9、计算 -+++?----)20021 3121()2001131211( )2001 13121()2002131211(+++?---- 提示：字母代数，整体化：令2001 1 3121,2001131211+ ++=----= B A ，则例10、计算（1）100991 321211?++?+? ；（2）100981421311?+ +?+? 提示：裂项相消。常用裂项关系式：（1）n m mn n m 1 1+=+；（2）111)1(1+-=+n n n n ；（3）)11(1)(1m n n m m n n +-=+；（4） ]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n 。例11计算n +++++ ++++++ 3211 32112111（n 为自然数）例12、计算1+2+22+23+…+220KK 提示：1、裂项相消：2n =2n+1-2n ；2、错项相减：令S=1+2+22+23+…+220KK ，则S=2S -S=220KK -1。例13、比较20002 2000 164834221+++++= S 与2的大小。提示：错项相减：计算S 2 1 。第二讲绝对值一、知识要点

七年级数学竞赛讲座：第四讲一元一次方程

第四讲一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定： (2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解； (3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．例1解方程解法1从里到外逐级去括号．去小括号得去中括号得

去大括号得解法2按照分配律由外及里去括号．去大括号得化简为去中括号得去小括号得例2已知下面两个方程 3(x+2)=5x，① 4x－3(a－x)=6x－7(a－x) ② 有相同的解，试求a的值．分析本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．解由方程①可求得3x－5x=－6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有

初一数学竞赛讲座.

初一数学竞赛讲座(三) 数字、数位及数谜问题一、知识要点 1、整数的十进位数码表示一般地，任何一个n 位的自然数都可以表示成： 122321*********a a a a a n n n n +?+?++?+?---Λ 其中，a i (i=1，2，…，n)表示数码，且0≤a i ≤9，a n ≠0. 对于确定的自然数N ，它的表示是唯一的，常将这个数记为N=121a a a a n n Λ- 2、正整数指数幂的末两位数字 (1) (1) 设m 、n 都是正整数，a 是m 的末位数字，则m n 的末位数字就是a n 的末位数字。 (2) (2) 设p 、q 都是正整数，m 是任意正整数，则m 4p+q 的末位数字与m q 的末位数字相同。 3、在与整数有关的数学问题中，有不少问题涉及到求符合一定条件的整数是多少的问题，这类问题称为数迷问题。这类问题不需要过多的计算，只需要认真细致地分析，有时可以用“凑”、“猜” 的方法求解，是一种有趣的数学游戏。二、例题精讲例1、有一个四位数，已知其十位数字减去2等于个位数字，其个位数字加上2等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于9988，求这个四位数。

分析：将这个四位数用十进位数码表示，以便利用它和它的反序数的关系列式来解决问题。解：设所求的四位数为a ?103+b ?102+c ?10+d ，依题意得： (a ?103+b ?102+c ?10+d)+( d ?103+c ?102+b ?10+a)=9988 ∴ (a+d) ?103+(b+c) ?102+(b+c) ?10+ (a+d)=9988 比较等式两边首、末两位数字，得 a+d=8，于是b+c18 又∵c-2=d ，d+2=b ，∴b-c=0 从而解得：a=1，b=9，c=9，d=7 故所求的四位数为1997 评注：将整数用十进位数码表示，有助于将已知条件转化为等式，从而解决问题。例2 一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N ，则称N 为“新生数”，试求所有的三位“新生数”。分析：将所有的三位“新生数”写出来，然后设出最大、最小数，求差后分析求出所有三位“新生数”的可能值，再进行筛选确定。解：设N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c(a 、b 、c 不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：cba cab bca bac acb abc ,,,,,，不妨设其中的最大数为abc ，则最小数为 cba 。由“新生数”的定义，得 N=()()()c a a b c c b a cba abc -=++-++=-991010010100

七年级数学竞赛讲座14 逻辑原理

七年级数学竞赛系列讲座(14) 逻辑原理一、一、知识要点逻辑原理问题，并不需要多少特别专门的知识，关键在于审题，要认真仔细地分析题意，弄清楚各个量之间的关系，深刻理解每句话的含义。二、二、例题精讲例1 小明、小强、小华三人参加迎春杯赛，他们是来自金城、沙市、水乡的选手，并分别获得一、二、三等奖。现在知道： 1.(1) 小明不是金城的选手； 2.(2) 小强不是沙市的选手； 3.(3) 金城的选手不是一等奖； 4.(4) 沙市的选手得二等奖； 5.(5) 小强不是三等奖。根据上述情况，小华是的选手，他得的是等奖。(第三届迎春杯决赛试题) 分析：显然选手所在城市与选手获奖情况有联系，我们就从这里找突破口，搞清了各个城市的选手分别获得哪等奖，问题就解决了。解：由(4)知：金城的选手获一等奖或三等奖，又由(3)得金城的选手获三等奖，从而水乡的选手获一等奖。由(2)知：小强是金城或水乡的选手，又由(5)得小强是水乡的选手，由(1)得小明是沙市的选手，从而小华是金城的选手，他获三等奖。例2 教室里的椅子坏了，第二天上学时，老师发现椅子修好了。经了解，椅子是A、B、C 三人中的一个人修好的，老师找来这三人。 A说：“是B做的。” B说：“不是我做的。” C说：“不是我做的。” 经调查，三人中只有一个说了实话，椅子是谁修的呢？分析：因为三人中只有一个说了实话，所以可以假设椅子是某人修好的，看结论是否符合“三人中只有一个说了实话”这一条件。解：(1) 假设椅子是A修好的，那么A说的是假话，B、C说的都是实话。这样有两人说了实话与“三人中只有一个说了实话”这一条件相矛盾，所以椅子不是A修好的。 (2) 假设椅子是B修好的，那么B说的是假话，A、C说的都是实话。这样有两人说了实话与“三人中只有一个说了实话”这一条件相矛盾，所以椅子不是A修好的。 (3) 假设椅子是C修好的，那么A、C说的是假话，B说的是实话，符合“三人中只有一个说了实话”这一条件，所以椅子是C修好的。评注：本题运用先假设，再根据假设推出一个结论；如果结论与已知条件相矛盾，说明假设不成立；如果结论符合已知条件，说明假设正确。这种假设的方法是逻辑推理中经常使用。例3 赵、钱、孙、李四人，一个是教师，一个是售货员，一个是工人，一个是个体户，根据以下条件，判断这四人的职业。

全国初中数学竞赛辅导(初三)讲座(3)

全国初中数学竞赛辅导（初三）讲座（3）例1：解方程084223=+--x x x 。例2：解方程()()()()197412=+++-x x x x 。例3：解方程()()()6143762=+++x x x 。例4：解方程01256895612234=+-+-x x x x 。例5：解方程52222=??? ??++x x x 。例6：解方程()()821344=-++y x 。例7：解方程()()02652112102234=++++---a a x a x a x x ，其中a 是常数，且6-≥a 。解答：（1）221==x x ，23-=x （2）28552,1±-=x 2554,3±-=x （3）32 1-=x 35 2-=x （4）23 ,32 ,21 ,24321====x x x x （5）2,121=-=x x （6）4,021-==x x （7）622,1+± =a x ，934,3+±=a x 。练习： 1、填空：（1）方程()()()()24321=++++x x x x 的根为__________。（2）方程0233=+-x x 的根为__________。（3）方程025********=+--+x x x x 的根为__________。（4）方程()()()2 222222367243+-=+-+-+x x x x x x 的根为__________。（5）方程()()()29 134782=+++x x x 的根为__________。 2、解方程()()()()431121314x x x x x =++++。 3、解方程403322 =??? ??-+x x x 。

数学竞赛专题讲座七年级第1讲_跨越—从算术到代数(含答案)

第一讲跨越——从算术到代数 “加里宁曾经说过：数学是锻炼思维的体操，体操能使你身体健康，动作敏捷；数学能使你的思想正确敏捷，有了正确的思想，你们才有可能爬上科学的大山．” _______华罗庚。华罗庚，我国现代有世界声誉的数学家，初中毕业后，靠自学成才，在数论、矩阵几何等许多领域中做出过卓越贡献．纵观历史，数学的发展创造了数学符号，新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展．历史是这样一步一步走过来的，并将这样一步一步地继续走下去，数学的每一个进步都必须伴随着新的数学符号的产生．在文明和科学的发展过程中，人类创造用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性．“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．” 用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别．字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用．例题讲解【例1】观察下列等式9—l=8，16—4＝12，25—9＝16，36—16＝20，…… 这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来：．(河南省中考题) 思路点拨在观察给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特征，发现一般规律．链接：从个别事物中发现一般性规律．这种研究问题的方法叫“归纳法”，是由特殊到一般的思维过程，是发明创造的基础．【例2】某商品2002年比2001年涨价5％，2003年又比2002年涨价10％，2004年比2003年降价12％，则2004年比2001年( )． A．涨价3％B．涨价1．64％C涨价1．2％D．降价1．2％思路点拨设此商品2001年的价格为a元，把相应年份的价格用a的代数式表示，由计算作出判断．

初一数学竞赛讲座特殊的正整数

初一数学竞赛讲座特殊的正整数集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

初一数学竞赛讲座(二) 特殊的正整数一、知识要点 1、完全平方数及其性质定义1 如果一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数。如：1、4、9、…等都是完全平方数，完全平方数有下列性质：性质1 任何完全平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9中的一个。性质2 奇完全平方数的十位数一定是偶数。性质3 偶完全平方数是4的倍数。性质4 完全平方数有奇数个不同的正约数。性质5 完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数，完全平方数与非完全平方数的积是非完全平方数。 2、质数与合数定义2 一个大于1的整数a,如果只有1和a 这两个约数，那么a 叫做质数。定义3 一个大于1的整数a,如果只有1和a 这两个约数外，还有其他正约数，那么a 叫做合数。 1既不是质数也不是合数。 3、质数与合数的有关性质 (1) 质数有无数多个 (2) 2是唯一的既是质数，又是偶数的整数，即是唯一的偶质数。大于2的质数必为奇数。 (3) 若质数p ?a ?b ，则必有p ?a 或p ?b 。 (4) 若正整数a 、b 的积是质数p ，则必有a=p 或b=p. (5) 唯一分解定理：任何整数n(n>1)可以唯一地分解为：k a k a a p p p n 2121=,

其中p 1

初中数学竞赛竞赛讲座(数字、数位及数谜问题)

竞赛讲座(数字、数位及数谜问题) 一、知识要点 1、整数的十进位数码表示一般地，任何一个n 位的自然数都可以表示成： 122321*********a a a a a n n n n +?+?++?+?--- 其中，a i (i=1，2，…，n)表示数码，且0≤a i ≤9，a n ≠0. 对于确定的自然数N ，它的表示是唯一的，常将这个数记为N=1 21a a a a n n - 2、正整数指数幂的末两位数字 (1) 设m 、n 都是正整数，a 是m 的末位数字，则m n 的末位数字就是a n 的末位数字。 (2) 设p 、q 都是正整数，m 是任意正整数，则m 4p+q 的末位数字与m q 的末位数字相同。 3、在与整数有关的数学问题中，有不少问题涉及到求符合一定条件的整数是多少的问题，这类问题称为数迷问题。这类问题不需要过多的计算，只需要认真细致地分析，有时可以用“凑”、“猜”的方法求解，是一种有趣的数学游戏。二、例题精讲例1、有一个四位数，已知其十位数字减去2等于个位数字，其个位数字加上2等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于9988，求这个四位数。分析：将这个四位数用十进位数码表示，以便利用它和它的反序数的关系列式来解决问题。解：设所求的四位数为a ?103+b ?102+c ?10+d ，依题意得： (a ?103+b ?102+c ?10+d)+( d ?103+c ?102+b ?10+a)=9988 ∴ (a+d) ?103+(b+c) ?102+(b+c) ?10+ (a+d)=9988 比较等式两边首、末两位数字，得 a+d=8，于是b+c18 又∵c-2=d ，d+2=b ，∴b-c=0 从而解得：a=1，b=9，c=9，d=7 故所求的四位数为1997 评注：将整数用十进位数码表示，有助于将已知条件转化为等式，从而解决问题。例2 一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N ，则称N 为“新生数”，试求所有的三位“新生数”。分析：将所有的三位“新生数”写出来，然后设出最大、最小数，求差后分析求出所有三位“新生数”的可能值，再进行筛选确定。解：设N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c(a 、b 、c 不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：cba cab bca bac acb abc ,,,,,，不妨设其中的最大数为abc ，则最小数为cba 。由“新生数”的定义，得

七年级数学竞赛讲座10 应用题2

七年级数学竞赛系列讲座(10) 应用题（二）一、一、知识要点 1、工程类问题工程类问题讨论工作效率、工作时间和工作总量之间的相互关系。它们满足如下基本关系式：工作效率?工作时间=工作总量解工程问题时常将工作总量当作整体“1” 2、溶液类问题溶质：能溶解到溶剂中的物质。如盐、糖、酒精等。溶剂：能溶解溶质的物质。如水等。溶液：溶质和溶剂的混合体。如盐水、糖水、酒精溶液等。溶液的浓度：指一定量溶液中所含溶质的量，经常用百分数表示。浓度的基本算式是： %100?=溶液量溶质量浓度二、二、例题精讲例1江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机台。(1999年全国初中数学联合竞赛试题) 解：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a 立方米，管涌每分钟涌出的水量为b 立方米，又设每台抽水机每分钟可抽水c 立方米，由条件可得： ????=+?=+c b a c b a 1641640240 解得?? ???==c b c a 323160 如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机的台数为： 6103203 1601010=+=+c c c c b a 评注：本题设了三个未知数a 、b 、c ，但只列出两个方程。实质上c 是个辅助未知数，在解方程时把c 视为常数，解出a ，b(用c 表示出来)，然后再代入求出所要求的结果。例2 甲、乙、丙三队要完成A 、B 两项工程。B 工程的工作量比A 工程的工作量多25%，甲、乙、丙三队单独完成A 工程所需的时间分别是20天、24天、30天。为了共同完成这两项工程，先派甲队做A 工程，乙、丙二队做B 工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A 工程。问乙、丙二队合作了多少天？(第十四届迎春杯决赛试题) 解：设乙、丙二队合作了x 天，丙队与甲队合作了y 天。将工程A 视为1，则工程B 可视为1+25%=5/4，由题意得：

初一数学竞赛系列讲座容斥原理

初一数学竞赛系列讲座容斥原理集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

初一数学竞赛系列讲座(15) 容斥原理一、知识要点 1、容斥原理在计数时，常常遇到这样的情况，作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，需要加上，这就是容斥原理。它的基本形式是：记A 、B 是两个集合，属于集合A 的东西有A 个，属于集合B 的东西有B 个，既属于集合A 又属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个；属于集合A 或属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个，则有：B A =A +B -B A 容斥原理可以用一个直观的图形来解释。如图，左圆表示集合A ，右圆表示集合B ，两圆的公共部分表示B A ，两圆合起来的部分表示B A ，由图可知：B A =A +B -B A 容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原则。二、例题精讲例1 在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个分析：根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数。解：在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2?1，2?2，…，2?100，共100个；在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3?1，3?2，…，3?66，共66个；在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为： 6?1， 6?2，…，6?33，共33个；所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为：

初中数学竞赛讲座——数论部分1(进位制)

第一讲正整数的表示及进位制一、基础知识： 1．我们通常接触的整数都是―十进制‖整数，十进制计数法就是用0，1，2…9十个数码，采用―逢十进一‖的法则进行计数的方法。例如1999就是一个一千，9个一百，9个十，9个1组成的，故1999这个数也可以表示为： 1999=1×1000+9×100+9×10+9 底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数： 100=1(个位上的数—第1位)， 101=10(十位上的数---第2位)，102=100(百位上的数---第3位)，…10n(第n+1 位上的数) 故1999=1×103+9×102+9×101+9×100 二进制即计数法就是用0，1两个数码，采用“逢二进一”的法则进行计数的方法。例如二进制中的111记为(111)2 111=1×22+1×2+1=7

60/2 = 30 余 0 30/2 = 15 余 0 15/2 = 7 余 1 7/2 = 3 余 1 3/2 = 1 余 1 所以十进制数60转为二进制数即为 (11100)2 （二）十进制小数转换为二进制小数方法：乘2取整，顺次排列。具体做法是：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，或者达到所要求的精度为止。然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。例如：0.25 0.25*2 = 0.5 ------------整数部分：0 0.5*2 = 1.0 ------------整数部分：1 所以十进制数0.25转为二进制数即为 0.01 所以十进制数 60.25 转为二进制数即为 (11100.01)2 二、典型问题：例1 证明：形如abcabc 的六位数总能被7、11、13整除。证明：将已知的六位数写成十进制表达形式，得 c b a c b a abcabc +?+?+?+?+?=10101010102345 )110()1010()1010(3 4 2 5 +?++?++?=c b a 100110010100100?+?+?=c b a )10100(1001c b a ++?= )10100(13117c b a ++??= a b c a b c ∴总能被7，11，13整除。【变式】试证明：任何一个四位正整数，如果四个数字和是9的倍数，那么这个四位数必能被9整除。并把它推广到n 位正整数，也有同样的结论。证明：设一个四位数为103a +102b +10c +d ，根据题意得