【教师】一次函数动点问题教师版

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一次函数动点问题

一、选择与填空

1.如图1，点A的坐标为(1，0)，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为

A．（0，0）B．（，－）

C．（，－）D．（－，）

2. 如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD运动至点D停止．设点P运动的路程为，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△BCD的面积是（）

A．3 B．4 C．5 D．6

3.如图，点G、D、C在直线a上，点E、F、A、B在直线b上，若从如图所示的位置出发，沿直线b向右匀速运动，直到EG与BC重合．运动过程中与矩形重合部分的面积（S）随时间（t）变化的图象大致是（）

4.如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（）

二、存在性问题

1.如图,以等边△OAB的边OB所在直线为x轴,点O为坐标原点,使点A在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB边长为6个单位，点P从O点出发沿折线OAB向B点以3单位/秒的速度向B点运动,点Q 从O点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA向A点运动，两点同时出发，运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止.

①点A坐标为_____________，P、Q两点相遇时交点的坐标为________________;

②当t=2时，____________;当t=3时，____________;

③设△OPQ的面积为S，试求S关于t的函数关系式;

④当△OPQ的面积最大时，试求在y轴上能否找一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是Rt△，

若能找到请求出M点的坐标，若不能找到请简单说明理由。

2．如图①，过点（1，5）和（4，2）两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点．

（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有_________个（请直接写出结果）；

（2）设点C（4，0），点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标_________；

（3）如图②，请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使△CMN的周长最短，在图②中作出图形，并求出点N的坐标．

考点：一次函数综合题。

分析：（1）先利用待定系数法求得直线AB的解析式为y=﹣x+6；再分别把x=2、3、4、5代入，求出对应的纵坐标，从而得到图中阴影部分（不包括边界）所含格点的坐标；

（2）首先根据直线AB的解析式可知△OAB是等腰直角三角形，然后根据轴对称的性质即可求出点D 的坐标；

（3）作出点C关于直线y轴的对称点E，连接DE交AB于点M，交y轴于点N，则此时△CMN的周长最短．由D、E两点的坐标利用待定系数法求出直线DE的解析式，再根据y轴上点的坐标特征，即可求出点N的坐标．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，

把（1，5），（4，2）代入得，

kx+b=5，4k+b=2，

解得k=﹣1，b=6，

∴直线AB 的解析式为y=﹣x+6； 当x=2，y=4； 当x=3，y=3； 当x=4，y=2； 当x=5，y=1．

∴图中阴影部分（不包括边界）所含格点的有： （1，1），（1，2），（1，3），（1，4）， （2，1），（2，2），（2，3）， （3，1），（3，2）， （4，1）． 一共10个；

（2）∵直线y=﹣x+6与x 轴、y 轴交于A 、B 两点， ∴A 点坐标为（6，0），B 点坐标为（0，6）， ∴OA=OB=6，∠OAB=45°．

∵点C 关于直线AB 的对称点为D ，点C （4，0）， ∴AD=AC=2，AB ⊥CD ， ∴∠DAB=∠CAB=45°， ∴∠DAC=90°，

∴点D 的坐标为（6，2）；

（3）作出点C 关于直线y 轴的对称点E ，连接DE 交AB 于点M ，交y 轴于点N ，则NC=NE ，点E （﹣4，0）．

又∵点C 关于直线AB 的对称点为D ，∴CM=DM ，

∴△CMN 的周长=CM+MN+NC=DM+MN+NE=DE ，此时周长最短． 设直线DE 的解析式为y=mx+n ． 把D （6，2），E （﹣4，0）代入，得 6m+n=2，﹣4m+n=0， 解得m=，n=，

∴直线DE 的解析式为y=x+． 令x=0，得y=，

∴点N 的坐标为（0，）． 故答案为10；（6，2）．

3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与3

34

y x =-

+交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点．

（1）求点A B C ，，的坐标．

（2）当CBD △为等腰三角形时，求点D 的坐标． （3）在直线AB 上是否存在点E ，使得以点E D O A ，，，

为顶点的四边形是平行四边形？

4．如图，四边形OABC 为直角梯形，BC ∥OA ，A （9，0），C （0，4），AB=5 点M 从点O 出发以每秒2个单位长度的速度向点A 运动；点N 从点B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． （1）求直线AB 的解析式；

（2）t 为何值时，直线MN 将梯形OABC 的面积分成1：2两部分；

A y x D

C O

B

（3）当t=1时，连接AC、MN交于点P，在平面内是否存在点Q，使得以点N、P、A、Q为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

考点：一次函数综合题。

分析：（1）作BD⊥OA于点D，利用勾股定理求出AD的值，从而求出B点的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式；

（2）梯形面积分为1：2的两部分，要注意分两种去情况进行分别计算，利用面积比建立等量关系求出t的值．

（3）M、N两点的坐标求出MN的解析式和AC的解析式，利用直线与方程组的关系求出P点坐标，利用三角形全等求出Q、Q1的坐标，求出直线Q1P、QN的解析式，再求出其交点坐标就是Q2的坐标．解答：解：（1）作BD⊥0A于点D．

∴BD=4，

∵AB=5，

由勾股定理得AD=3

∴OD=6

∴B（6，4）

设直线AB的解析式为：y=kx+b，由题意得

解得：

∴直线AB的解析式为：；

（2）设t秒后直线MN将梯形OABC的面积分成1：2两部分，则

BN=t，CN=6﹣t，OM=2t，MA=9﹣2t

当S四边形OMNC：S四边形NMAB=1：2时

解得：t=﹣1（舍去）

当S四边形OMNC：S四边形NMAB=2：1时

，

解得t=4

∴t=4时，直线MN将梯形OABC的面积分成1：2两部分．

（3）存在满足条件的Q点，如图：Q（9.5，2），Q1（8.5，﹣2），Q2（0.5，6）．

点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了用待定系数法求函数的解析式，图形的面积，直线的解析式与二元一次方程组的关系，勾股定理及三角形全等的性质的运用．

5．在平面直角坐标系中，△AOC中，∠ACO=90°．把AO绕O点顺时针旋转90°得OB，连接AB，作BD ⊥直线CO于D，点A的坐标为（﹣3，1）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若AB中点为M，连接CM，动点P、Q分别从C点出发，点P沿射线CM以每秒个单位长度的速度运动，点Q沿线段CD以每秒1个长度的速度向终点D运动，当Q点运动到D点时，P、Q同时停止，设△PQO的面积为S（S≠0），运动时间为T秒，求S与T的函数关系式，并直接写出自变量T的取值范围；

（3）在（2）的条件下，动点P在运动过程中，是否存在P点，使四边形以P、O、B、N（N为平面上一点）为顶点的矩形？若存在，求出T的值．

考点：一次函数综合题。

分析：（1）先求出点B的坐标，再代入一次函数的解析式即可；

（2）根据AB中点为M，求出点M的坐标，再求出CM的解析式，过点P做PH⊥CO交CO于点H，用t表示出OQ和PH的长，根据S=OQ?PH即可求出S与T的函数关系式；

（3）此题需分四种情况分别求出T 的值即可． 解答：解：（1）∵∠AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOC=90°

∵BD 垂直于CD ∵∠BDO=90°，

∠OBD+∠BOD=90°， ∠AOC=∠BOD ，

∵OA=OB ∠AOC=∠BOD=90°， ∴△AOC ≌△OBD ， ∴AC=OD ，CO=BD ∵A （﹣3，1），

∴AC=OC=1，OC=BD=3， ∴B （1，3）， ∴y=x+；

（2）M （﹣1，2），C （﹣3，0）， ∴直线MC 的解析式为：y=x+3 ∴∠MCO=45°，

过点P 做PH ⊥CO 交CO 于点H ，

S=OQ?PH=（3﹣t ）×t=t 2+t （0＜t ＜3） 或S=（t ﹣3）t=t 2﹣t （3＜t≤4）； （3）t 1=，t 2=，t 3=

，t 4=2．

点评：此题考查了一次函数的综合应用，解题时要注意分类讨论，关键是能用t 表示出线段的长度求出解析式．

三、计算问题

1.如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ．

（1）求直线2l 的解析表达式； （2）求ADC △的面积；

（3）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．

（4）若点H 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H ，使以A 、D 、C 、H 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题。 专题：综合题。 分析：（1）结合图形可知点B 和点A 在坐标，故设l 2的解析式为y=kx+b ，由图联立方程组求出k ，b 的值；

（2）已知l 1的解析式，令y=0求出x 的值即可得出点D 在坐标；联立两直线方程组，求出交点C 的坐标，进而可求出S △ADC ；

（3）△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，ADC 高就是C 到AD 的距离；

（4）存在；根据平行四边形的性质，可知一定存在4个这样的点，规律为H 、C 坐标之和等于A 、D 坐标之和，设出代入即可得出H 的坐标．

解答：解：（1）设直线l2的解析表达式为y=kx+b，

由图象知：x=4，y=0；

x=3，，

∴，

∴，

∴直线l2的解析表达式为；

（2）由y=﹣3x+3，令y=0，得﹣3x+3=0，

∴x=1，

∴D（1，0）；

由，

解得，

∴C（2，﹣3），

∵AD=3，

∴S△ADC=×3×|﹣3|=；

（3）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，

ADC高就是C到AD的距离，即C纵坐标的绝对值=|﹣3|=3，

则P到AB距离=3，

∴P纵坐标的绝对值=3，点P不是点C，

∴点P纵坐标是3，

∵y=1.5x﹣6，y=3，

∴1.5x﹣6=3

x=6，

所以点P的坐标为（6，3）；

（4）存在；

（3，3）（5，﹣3）（﹣1，﹣3）

点评：本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算以及平行四边形的性质等等有关知识，有一定的综合性，难度中等偏上．

2.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别

为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4）

（1）过点P做PM⊥OA于M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P点的坐标（用t表示）（2）求△OPQ面积S（cm2），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？

最大是多少？

（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？

（4）证明无论t为何值时，△OPQ都不可能为正三角形。若点P运动速度不变改变Q 的运动速度，使△OPQ为正三角形，求Q点运动的速度和此时t的值。

3.如图1，直线y=﹣kx+6k（k＞0）与x轴、y轴分别相交于点A、B，且△AOB的面积是24．

（1）求直线AB的解析式；

（2）如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿折线OA﹣OB运动；同时点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，过点E作与x轴平行的直线l，与线段AB相交于点F，当点P 与点F重合时，点P、E均停止运动．连接PE、PF，设△PEF的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S 与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，过P作x轴的垂线，与直线l相交于点M，连接AM，当tan∠MAB=时，求t

值．

考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义。

分析：（1）根据x=0时，y=6k，y=0时，x=6，得出OB=6k，OA=6．再利用S△AOB=24，求出即可；（2）根据当点P在OA上运动时，0＜t≤3，以及当点P在AB上运动时，利用三角形相似的性质求出即可；

（3）利用当点P在OA上时，点M在点F左侧，以及当点P在AB上时，分别得出t的值即可．

解答：解：（1）令x=0时，y=6k（k＞0）；

令y=0时，x=6，

∴OB=6k，OA=6．S△AOB=24，

∴，

解得，

∴AB的解析式为；

（2）根据题意，OE=t，EF∥OA，

∴△BEF∽△BOA，

∴，

∴，

①当点P在OA上运动时，0＜t≤3，过P作PH⊥EF，垂足是H，

则PH=OE=t，∴，∴；

②当点P在AB上运动时，过P作PG⊥OA，垂足是G，直线PG与EF相交于点R，则GR=OE=t．

在△APG中，PG∥OB∴△APG∽△ABO，

∴，

∴，∴，

当P与F重合时，有PG=OE，此时，解得t=8．PR=GR﹣PG，

∴，

∴，

当3＜t＜8时，，

综上所述，求得的解析式是；

（3）①当点P在OA上时，点M在点F左侧．过点M作MD⊥AB，垂足是D，过点F作FS⊥OA，垂足是S，

∴FS=OE=t，EM=OP=2t．

在△MFD中，，

∴．

在△MAD中，，

∴AD=8k=AF+DF=AF+3k，

∴AF=5k=MF．在△AFS中，，

∴，MF=EF﹣EM，

∴，

解得，

当点P在OA上时，点M在点F右侧．可计算得出；

②当点P在AB上时，过点M作MD'⊥AB，垂足是D'，

在△PMD′中，=，

令MD′=3m，则PD′=4m，MP=5m，AD′=6m．AP=AD′﹣PD′，

∴AP=2m，，

∴，

解得，

综上所述，满足要求的t值是或或．

点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及相似三角形的性质应用，根据已知得出M以及P点位置不同得出答案是解题关键．

4.如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点．点A的坐标为(8，o)，点B的坐标为(11．4)，动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C—B相交于点M。当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动t )．△MPQ的面积为S．

的时间为t秒(0

（1）点C的坐标为___________，直线l的解析式为___________．(每空l分，共2分)

（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围。

（3）试求题(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值。

（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N。试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．

5．已知函数y=（6+3m）x+（n﹣4）．

（1）如果已知函数的图象与y=3x的图象平行，且经过点（﹣1，1），先求该函数图象的解析式，再求该函数的图象与y=mx+n的图象以及y轴围成的三角形面积；

（2）如果该函数是正比例函数，它与另一个反比例函数的交点P到轴和轴的距离都是1，求出m和n 的值，写出这两个函数的解析式；

（3）点Q是x轴上的一点，O是坐标原点，在（2）的条件下，如果△OPQ是等腰直角三角形，写出满足条件的点Q的坐标．

考点：一次函数综合题；反比例函数与一次函数的交点问题。

分析：（1）根据所给的条件求出m，n的值，然后确定这两条直线，求出它们与y轴的交点坐标，以及这两条直线的交点坐标，从而求出面积．

（2）根据正比例函数可求出n的值，以及根据P点坐标的情况，确定函数式，P点的坐标有两种情况．（3）等腰三角形的性质，有两边相等的三角形是等腰三角形，根据此可确定Q的坐标．

解答：解：（1）据题意得6+3m=3解得m=﹣1

把x=﹣1，y=1代入y=3x+n﹣4得n=8（1分）

∴已知函数为y=3x+4当x=0时y=4，A（0，4）

∴另一函数y=﹣x+8当x=0时y=8，B（0，8）（2分）

AB=4解得，C（1，7）（1分）

（1分）

（2）据题意可知n=4

设正比例函数y=（6+3m）x（6+3m≠0），反比例函数

根据正反比例函数的图象可知，

当点P的坐标为（1，1）或（﹣1，﹣1）时y=x，

当点P的坐标为（1，﹣1）或（﹣1，1）时，y=﹣x，（3分）；

（3）Q（±1，0）Q（±2，0）．（2分）

点评：本题考查一次函数的综合应用，关键是知道两直线平行斜率相等，以及正比例函数的形式以及反比例函数与一次函数的交点问题，以及等腰三角形的性质．

6．如图（1），直线y=kx+1与y轴正半轴交于A，与x轴正半轴交于B，以AB为边作正方形ABCD．（1）若C（3，m），求m的值；

（2）如图2，连AC，作BM⊥AC于M，E为AB上一点，CE交BM于F，若BE=BF，求证：AC+AE=2AB；（3）经过B、C两点的⊙O1交AC于S，交AB的延长线于T，当⊙O1的大小发生变化时，的值

变吗？若不变证明并求其值；若变化，请说明理由．

考点：一次函数综合题。

专题：综合题。

分析：（1）作CE⊥x轴于E，可证△OAB≌△EBC，再根据线段相互间的关系即可求出CE的长，即m的值；

（2）作GE⊥x轴于G，可以通过先求出AE与EB的关系，证明结论；

（3）连接CT，ST，ST交BC于M，可知的值为45°余弦的倒数，从而求解．

解答：解：（1）作CE⊥x轴于E，

易证△OAB≌△EBC，

∴OB=OE﹣BE=3﹣OA=2，

∴CE=2，即m=2；

（2）作GE⊥x轴于G，

∵BE=BF，

∴∠1=∠2，

∴∠3=∠4，

∴EG=GB，

AE=EB ， ∴AC=AB ， ∵AE+EB=AB ，

∴AE=（2﹣）AB ， ∴AC+AE=2AB ；

（3）连接CT ，ST ，ST 交BC 于M ， 则AS=TS ，SC=SM ，∠STA=45°， ∴AS ﹣CS=MT ， ∴

=

=

=

．

故的值不变．

点评：考查了一次函数综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理和三角函数的知识，难度较大．

四、二次函数

1.如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ，、，，D 为OA 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）．

（1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总造桥与PD 相等；

（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式；

（3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE △的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE △的周长；

（4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使90CPN ∠=°？若存在，请直接写出点P 的坐标．解：（1）∵点D 是OA 的中点，∴2OD =，∴OD OC =． 又∵OP 是COD ∠的角平分线，∴45POC POD ∠=∠=°，

∴POC POD △≌△，∴PC PD =． ···················· 3分 （2）过点B 作AOC ∠的平分线的垂线，垂足为P ，点P 即为所求． 易知点F 的坐标为（2，2），故2BF =，作PM BF ⊥， ∵PBF △是等腰直角三角形，∴1

12

PM BF ==， ∴点P 的坐标为（3，3）． ∵抛物线经过原点，

∴设抛物线的解析式为2

y ax bx =+． 又∵抛物线经过点(33)P ，和点(20)D ，，

∴有933420

a b a b +=??

+=? 解得1

2a b =??=-?

∴抛物线的解析式为2

2y x x =-． ······················ 7分

（3）由等腰直角三角形的对称性知D 点关于AOC ∠的平分线的对称点即为C 点．

连接EC ，它与AOC ∠的平分线的交点即为所求的P 点（因为PE PD EC +=，而两点之间线段最短），此时PED △的周长最小．

∵抛物线2

2y x x =-的顶点E 的坐标(11)-，，C 点的坐标(02)，，

y

O

x

D B

P E

F

M

设CE 所在直线的解析式为y kx b =+，则有12k b b +=-??=?，解得3

2k b =-??=?

．

∴CE 所在直线的解析式为32y x =-+．

点P 满足32y x y x =-+??=?，解得1212

x y ?

=????=

??，故点P 的坐标为1122?? ???，．

PED △

的周长即是CE DE +=+（4）存在点P ，使90CPN ∠=°．其坐标是1122??

???

，或(22)，． ········ 14分

3、已知：抛物线的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、

()02C -，． （1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标． （3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

解：（123432

a b c ?=???=??=-???

4

23

x - （2）连结AC 、BC .因为BC 的长度一定，所以PBC △周长最小，就是使PC PB +最小.B

点关于对称轴的对称点是A 点，AC 与对称轴1x =-的交点即为所求的点P .

设直线AC 的表达式为y kx b =+

则302k b b -+=??

=-?

，

···························· 4分

解得232

k b ?

=-???=-?

∴此直线的表达式为2

23

y x =--． ·················· 5分 把1x =-代入得43

y =-

∴P 点的坐标为413??

-- ???

，

····················· 6分 （3）S 存在最大值 ························· 7分 理由：∵DE PC ∥，即DE AC ∥． ∴OED OAC △∽△．

∴OD OE OC OA =，即223

m OE

-=．

∴33

3322

OE m AE OE m =-==，，

方法一： 连结OP =

()()13411332132223222m m m m ????

?-?+?-?-?-?- ? ?????

=233

42m m -+

·························· 8分 ∵3

04

-<

∴当1m =时，333

424

S =-+=最大 ················· 9分

方法二： =

()1131341

323212222232

m m m m ????-?-?--??-?? ??? =()2

2333314244m m m -

+=--+ ················· 8分 ∵3

04

-<

∴当1m =时，3

4

S =最大 ····················· 9分

2.如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上．

(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标；

(2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．

① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；

② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′

CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明

理由． 提示：

第（2）问，是“饮马问题”的变式运用，涉及到抛物线左移。答案见参考图。 ①方法一，A ′关于x 轴对称点A 〞，要使 A ′C+CB ′最短，点C 应在直线A 〞B ′上；

方法二，由（1）知，此时事实上，点Q 移到点C 位置，求CQ=14／5，即抛物线左移14／5单位； ②设抛物线左移b 个单位，则A ＇（-4-b,8）、B ＇（2-b,2）。∵CD=2,∴B ＇左移2个单位得到B ″（-b,2）位置，要使A ′D+C B ＇最短，只要A ′D+DB ″最短。则只有点D 在直线 A ″B ″上。

2

y ax =，解得12a =．解：(1) 将点A (-4，8)的坐标代入 ……1分 将点B (2，n )的坐标代入2

12y x =，求得点B 的坐标为(2，2)， 则点B 关于x 轴对称点P 的坐标为(2，-2)． 54

33

y x =-+．

直线AP 的解析式是

令y =0，得4

5

x =

．即所求点Q 的坐标是(45，0)．

(2)① 解法1：CQ =︱-2-45︱=14

5

， ……1分

故将抛物线2

12

y x =

向左平移145个单位时，A ′C +CB ′最短，

……2分

此时抛物线的函数解析式为2114

()25

y x =+．

……1分

解法2：设将抛物线2

12

y x =

向左平移m 个单位，则平移后A ′，B ′的坐标分别为A ′(-4-m ，8)和B ′(2-m ，2)，点A ′关于x 轴对称点的坐标为A ′′(-4-m ，-8)．

直线A ′′B ′的解析式为554

333

y x m =+-．

……1分 要使A ′C +CB ′最短，点C 应在直线A ′′B ′上，

……1分

将点C (-2，0)代入直线A ′′B ′的解析式，解得14

5

m =．

……1分

故将抛物线2

12

y x =

向左平移145个单位时A ′C +CB ′最短，此时抛物线的函数解析式为2114

()25

y x =+．

……1分

② 左右平移抛物线2

12

y x =

，因为线段A ′B ′和CD 的长是定值，所以要使四边形A ′B ′CD 的周长最短，只要使A ′D +CB ′最短； ……1分

第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A ′D +CB ′>AD +CB ，因此不存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短．

……1分

第二种情况：设抛物线向左平移了b 个单位，则点A ′和点B ′的坐标分别为A ′(-4-b ，8)和B ′(2-b ，2)．

因为CD =2，因此将点B ′向左平移2个单位得B ′′(-b ，2)，

(第24题(1))

要使A ′D +CB ′最短，只要使A ′D +DB ′′最短． ……1分 点A ′关于x 轴对称点的坐标为A ′′(-4-b ，-8)，

直线A ′′B ′′的解析式为55

222

y x b =

++．

……1分 要使A ′D +DB ′′最短，点D 应在直线A ′′B ′′上，将点D (-4，0)代入直线A ′′B ′′的解析

式，解得165

b =

． 故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短，此时抛物线的函数解析式为2116

()25

y x =+．

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