数学高考利器NO0065-含详细解析-山东省聊城一中2019-2020学年高三4月份线上模拟试题

山东省聊城一中2019-2020学年高三4月份线上模拟试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．若集合{}1,2,3A =，(){},40,,B x y x y x y A =

+->∈则集合B 中的元素个数为

（ ）

A ．5

B ．6

C ．4

D ．3 2．若复数(1)(3)mi i ++（i 是虚数单位，m R ∈）是纯虚数，则复数

31m i i +-的模等于（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 3．已知0.4 1.90.41.9,1 1.9,0.4a b og c ==＝，则（ ）

A ．a b c >>

B ．b c a >>

C ．a c b >>

D ．c a b >> 4．已知函数sin()2()x x

f x e π

-=（e 为自然对数的底数），当[,]x ππ∈-的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

5．已知1xy =，且02

y <<，则2242x y x y +-的最小值为（ ）

A ．4

B ．92

C ．

D ．

6．将函数()cos f x x ω=（其中0>ω）的图象向右平移

3π个单位，若所得图象与原图象重合，则()24f π

不可能等于（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D 7．设1F ，2F 是双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左、右两个焦点，若双曲线右支上

存在一点P ，使()

220OP OF F P +?=u u u r u u u u r u u u u r （O 为坐标原点），且12PF =，则双曲线的离心率为（ ）

A ．12

B 1

C

D 1 8．已知不等式ln(1)1x ax b +-≤+对一切1x >-都成立，则

b a 的最小值是（ ） A ．1e - B ．e C ．1e - D ．1

9．下列关于平面向量的说法中不正确．．．

的是（ ） A ．已知a v ，b v 均为非零向量，则//a b ?v v 存在唯-的实数λ，使得b a λ=v v

B ．若向量AB u u u v ，CD uuu v 共线，则点A ，B ，

C ，

D 必在同一直线上

C ．若a c b c ?=?v v v v 且0c ≠v ，则a b =v

v D ．若点G 为ABC ?的重心，则0GA GB GC ++=u u u v u u u v u u u v v

10．对于二项式()3*1n

x n N x ??+∈ ???

，以下判断正确的有（ ）

A ．存在*n N ∈，展开式中有常数项；

B ．对任意*n N ∈，展开式中没有常数项；

C ．对任意*n N ∈，展开式中没有x 的一次项；

D ．存在*n N ∈，展开式中有x 的一次项.

11．已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左，右焦点是12F F P 、，是椭圆上一点，若122PF PF =，则椭圆的离心率可以是（ ）

A ．14

B ．13

C ．12

D ．

23 12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1x f x e

x =+，则下列命题正确的是（ ）

A ．当0x >时，()()1x f x e

x -=--

B ．函数()f x 有3个零点

C ．()0f x <的解集为()(),10,1-∞-?

D ．12,x x R ?∈，都有()()122f x f x -< 13．若212n

x x ??- ???

的展开式中第1r +项为常数项，则r n =______. 14．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(1)(1)n n n a n S ++=-，则n S =__________．

15．若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>

则双曲线的离心率为_____. 16．在ABC ?中，ACB ∠为钝角，1,,1AC BC CO xCA yCB x y ===++=u u u r u u u r u u u r ，函数

()||f m CA mCB =-uu u r uu u r

CO u u u r 的最小值为________. 17

．已知2()2cos sin()cos sin 6

f x x x x x x π=?+?-， （1）求函数()y f x =的单调递增区间；

（2）设△ABC 的内角A 满足()2f A =

，而AB AC ?=u u u v u u u v BC 的最小值． 18．已知数列{}n a 的前n 项和为11131,,(,2)42

n n n n S a S S a n N n *--==++∈≥，数列{}n b 满足：1137,31(,2)4

n n b b b n n N N *-=--=+∈≥ （1）求证：数列{}n n b a -为等比数列；

（2）求数列{}n b 的前 n 项和的最小值.

19．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC ，2AC AB SA ===，AC AB ⊥，,D E 分别是,AC BC 的中点，F 在SE 上，且2SF FE =.

（1）求证：AF ⊥平面SBC ；

（2）在线段DE 上是否存在点G ，使二面角G AF E --的大小为30?？若存在，求出DG 的长；若不存在，请说明理由.

20．已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆经过点)

1P -，且△PF 1F 2的面积为2． （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）设斜率为1的直线l 的圆交于A ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且CD AB λ=（R λ∈），当λ取得最小值时，求直线l 的方程. 21．某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示.

（1）根据茎叶图中的数据完成22?列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？

（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为X ，求X 的分布列和数学期望.

附：22

()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++.

22．设函数()1ln f x x t x x

=--，其中()0,1,x t ∈为正实数. (1)若不等式()0f x <恒成立，求实数t 的取值范围；

(2)当)1(0x ∈，

时，证明211ln x x x e x x

+--<.

参考答案

1．D

【解析】

【分析】

由已知可得()()(){}2,3,3,2,3,3B =

，问题得解.

【详解】

由已知，得： 2,3x y ==；3,2x y ==；3,3x y ==满足题意，

所以()()(){}2,3,3,2,3,3B =

，集合B 中有三个元素.

故选：D

【点睛】

本题考查了列举法表示集合，注意该集合是点集，属于基础题.

2．C

【解析】 ()()()()13331mi i m m i ++=-++，因为是纯虚数，所以3m = ，那么

()()()()33133631112

i i i i i i i i +++===--+ ，所以模等于3，故选C. 3．C

【解析】

【分析】

利用指数函数、对数函数的单调性，将a ，b ，c 分别与1和0比较，得到结论.

【详解】

因为0.401.9 1.91,a >=＝

0.40.41 1.9110,b og og =<=

1.9000.40.41,01c <<=∴<<

所以a c b >>

故选：C

【点睛】

本题主要考查指数函数、对数函数的单调性的应用，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题.

4．B

【解析】

【分析】

由已知可证()f x 在[,]-ππ上为奇函数，排除A 、C ；再通过导函数研究单调性可到正确选项.

【详解】 函数cos cos sin()2()=x x x x

x f x xe e e π--==

由()()()cos cos ()x x f x x e xe f x --=-=-=-

所以()f x 在[,]-ππ上为奇函数，可排除A 、C ；

()()cos cos cos ()sin 1sin x x x f x e xe x e x x '=+?-=-

令1sin 0x x -=得1sin x x =

， 作出sin y x =和1y x

=在[0,]π上的图象，如下

由图可知当1[0,]x x ∈或2[,]x x π∈时1sin x x

<即1sin 0x x ->， ()0f x '∴>，()f x 在此区间上单调递增；

由图可知当12[,]x x x ∈时1sin x x

>即1sin 0x x -<，

()0f x '∴<，()f x 在此区间上单调递减.

由此可知，选项B 满足要求.

故选：B

【点睛】

本题考查了函数奇偶性证明，考查了用导数研究函数单调性，考查了数形结合思想，属于中档题.

5．A

【解析】

1xy =

且02

y <<，可知x >20x y ->． 222

4(2)44

24222x y x y xy x y x y x y x y +-+==-+≥---，当且仅当1,x y == 时等号成立．故选A ．

6．D

【解析】 由题意*2()3k k N π

π

ω=?∈，所以*6()k k N ω=∈，因此()cos6f x kx =，从而

()cos 244k f π

π=，可知()24f π 7．D

【解析】

【分析】

取2PF 的中点A ，利用22OP OF OA +=u u u r u u u u r u u u r ，可得2OA F P ⊥u u u r u u u u r ，从而可得12PF PF ⊥，利用双

曲线的定义及勾股定理，可得结论．

【详解】

取2PF 的中点A ，则22OP OF OA +=u u u r u u u u r u u u r ，()

220OP OF F P +?=u u u r u u u u r u u u u r Q ，220OA F P ∴?=u u u r u u u u r . 2OA F P ∴⊥u u u r u u u u r ，O Q 是12F F 的中点，1OA PF ∴P ，12PF PF ∴⊥，

12PF =Q ，)

12221a PF PF PF ∴=-=，

222

12

4PF PF c +=Q ，2c PF ∴=，1c e a ∴===. 故选：D ． 【点睛】

本题考查了双曲线的离心率，确定12PF PF ⊥是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力。

8．C

【解析】

【分析】

令()ln(1)1f x x ax b =+---，求导，分类讨论可得11ln 20f a a b a ??-=-+--≤ ???，ln 21b a a a a ∴≥--，令()ln 21a g a a a =--，通过导数求出()min 11g a g e e ??==- ???

，问题得解.

【详解】

令()ln(1)1f x x ax b =+---，则()11f x a x '=

-+ 若0a ≤，则()

0f x ￠>， ()f x 在()1,-+∞上单调递增，无最大值；

若0a >，由()101f x a x '=

-=+得：11=-x a 当111x a -<<

-时，()0f x ￠>，()f x 单调递增， 当11x a

>-时，()0f x ￠<，()f x 单调递减，

所以11=-x a 时取得最大值11ln 2f a a b a ??-=-+-- ???

由题意可知ln 20a a b -+--≤，ln 2b a a ∴≥-+-

ln 21b a a a a

∴≥--， 令()ln 21a g a a a =--，则()2ln 1a g a a

+'= 由()2ln 10a g a a

+'==得1a e = 当10,a e ?

?∈ ???

时，()0g a '<，()g a 单调递减， 当1

,a e ??∈+∞ ???

时，()0g a '>，()g a 单调递增. 1a e ∴=时()min 11g a g e e ??==- ???

， b a

∴的最小值为1e -. 故选：C

【点睛】

本题考查了恒成立问题，考查了导数求最值，考查了分类讨论思想，属于难题.

9．BC

【解析】

【分析】

利用向量共线的概念即可判断A 正确，B 错误；利用向量垂直的数量积关系即可判断C 错误，利用三角形重心的结论即可判断D 正确，问题得解.

【详解】

对于选项A ，由平面向量平行的推论可得其正确；

对于选项B ，向量AB u u u r ，CD uuu r 共线，只需两向量方向相同或相反即可，点A ，B ，C ，D 不

必在同一直线上，故B 错误；

对于选项C ，()0a c b c a b c ?=??-?=r r r r r r r ，则()

a b c -⊥r r r ，不一定推出a b =r r ，故C 错误； 对于选项D ，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.

故选BC

【点睛】

本题主要考查了平面向量共线（平行）的定义，考查了平行向量垂直的数量积关系，还考查了平面向量中三角形重心的推论，属于中档题．

10．AD

【解析】

【分析】

利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案。

【详解】 设二项式()3*1n x n N x ??+∈ ???

展开式的通项公式为1r T +， 则3411

=()()r n r r r r n r n n T C x C x x --+=，

不妨令4n =，则1r =时，展开式中有常数项，故答案A 正确，答案B 错误；

令3n =，则1r =时，展开式中有x 的一次项，故C 答案错误，D 答案正确。

故答案选AD

【点睛】

本题考查二项式定理，关键在于合理利用通项公式进行综合分析，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题。

11．BCD

【解析】

【分析】 由椭圆的定义和题设条件122PF PF =， 求得1242,33PF a PF a =

=，再在12PF F ?中，结合三角形的性质，得到

223a c ≤，求得离心率的范围，即可求解. 【详解】

由椭圆的定义，可得122PF PF a +=，又由122PF PF =， 解得1242,33

PF a PF a ==，

又由在12PF F ?中，1212||PF PF F F -≤，可得

223a c ≤，所以13c e a =≥， 即椭圆的离心率e 的取值范围是1,13??????

.

故选：BCD ．

【点睛】 本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟练椭圆的离心率的概念，合理应用椭圆的定义和三角形的性质，得到关于,a c 的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

12．BCD

【解析】

【分析】

设0x >，则0x -<，则由题意得()()1x f x e x --=-+，根据奇函数()()f x f x -=-即可求出解析式，即可判断A 选项，再根据解析式分类讨论即可判断B 、C 两个选项，对函数求导，得单调性，从而求出值域，进而判断D 选项．

【详解】

解：（1）当0x >时，0x -<，则由题意得()()1x f x e

x --=-+， ∵ 函数()f x 是奇函数，

∴ ()00f =，且0x >时，()()f x f x =--()1x e x -=--+()1x e x -=-，A 错；

∴ ()()()1,00,01,0x x e x x f x x e x x -?+?

，

（2）当0x <时，由()()10x f x e

x =+=得1x =-， 当0x >时，由()()10x f x e x -=-=得1x =，

∴ 函数()f x 有3个零点1,0,1-，B 对；

（3）当0x <时，由()()10x f x e

x =+<得1x <-， 当0x >时，由()()10x f x e x -=-<得01x <<，

∴ ()0f x <的解集为()(),10,1-∞-?，C 对；

（4）当0x <时，由()()1x f x e

x =+得()()'2x f x e x =+， 由()()'20x f x e x =+<得2x <-，由()()'20x f x e x =+≥得20x -≤<，

∴ 函数()f x 在(],2-∞-上单调递减，在[)2,0-上单调递增，

∴函数在(),0-∞上有最小值()22f e --=-，且()()1x f x e x =+()0011e

∴当0x <时，函数()f x 的值域为)2,1e -?-?，

由奇函数的图象关于原点对称得函数()f x 在R 的值域为()

221,,1e e --??-?-??()1,1=-， ∴ 对12,x x R ?∈，都有()()122f x f x -<，D 对；

故选：BCD ．

【点睛】

本题主要考查奇函数的性质，考查已知奇函数一区间上的解析式，求其对称区间上解析式的方法，考查函数零点的定义及求法，以及根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，属于较难题．

13．23

【解析】

【分析】

由题意利用二项展开式的通项公式，求得320r n -=，从而得到

r n

的值. 【详解】 解：212n x x ??- ???

的展开式中第1r +项为

.321(1)2n r r r

r n n C x ?--???- ???，再根据它为常数项，

可得320r n -=，求得23

r n =，

故答案为：

23

. 【点睛】 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

14．1

2n n

- 【解析】

【分析】

化简()()111n n n a n S ++=-得

()112n n n S nS ++=，即{}n nS 是等比数列，然后求出n S 的值

【详解】 ()()111n n n a n S ++=-Q ，11n n n na S nS ++∴+=，()11n n n n n S S S nS ++∴-+=，

()112n n n S nS ++∴=，

{}n nS ∴是首项为1，公比为2的等比数列，则12

n n nS -=，12n n S n

-∴=. 【点睛】 本题考查了求数列的前n 项的和，结合条件进行化简，构造出新的数列是等比数列，然后求出等比数列的通项公式，继而求出结果

15．2

【解析】

【分析】

由已知结合点到直线距离公式得b =

，再由222a c b =-即可求出离心率. 【详解】 双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为(),0c ，一条渐近线为0bx ay +=，

由题意可得：bc d b c

===

2b c ∴=，222214a c b c ∴=-=

则双曲线的离心率2c e a

=

= 【点睛】 本题考查了求双曲线的离心率，要注意隐含条件222c a b =+的应用，属于中档题. 16．12

【解析】

【分析】

整理可得

()f m =1cos 2

θ=-，再由()2

2211=324CO xCA yCB x ??+=-+ ???u u u r u u u r u u u r ，问题得解. 【详解】

设ACB θ∠=，由已知可得：

()f m CA mCB =-=u u u r u u u r

=

=当cos m θ=时()

f m

=

由ACB ∠为钝角，得1cos 2θ=-

. ()22222222=2CO xCA yCB x CA y CB xyCA CB x y xy

∴+=++?=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()22

221111331324x x x x x x x ??=+---=-+=-+ ??

? 当1=2x 时2CO uuu r 取最小值为14

，所以CO u u u r 最小值为12. 故答案为：12 【点睛】

本题考查了求向量的模和向量数量积，考查了配方法求二次函数最值，考查了函数思想和计算能力，属于中档题. 17．（1）,()36k k k z ππππ??-+∈???

?;（2

）min 1a == 【解析】

【详解】 试题分析：利用和差角及二倍角公式对函数化简可得()2sin(2)6f x x π=+

（1）令

，解不等式可得答案；（2）由()2sin(2)6f A A π=+ 及0＜A ＜π可得，利用向量数量积的定义可得，bc=2，利用余弦定理可得可得又△ABC 中

，从而可求 试题解析：（1）=

由

得， 故所求单调递增区间为

． （2）由

得， ∵

，即，∴bc=2， 又△ABC 中， =

，当且仅当b=c=2等号成立

∴

18．（1）见解析；（2）343-

【解析】

【分析】

（1）由已知得112n n a a --=，可得等差数列1124

n a n =+，再由131n n b b n --=+，得1111()324n n n b a b n --=-+，1111124

n n n b a b n ----=-+，问题得解； （2）由（1）得111110()243

n n b n -=+-?，整理可得10n n b b ->-，即{}n b 是递增数列，再由230,0b b <>得2T 最小，问题得解.

（1）由已知得：

1112

n n n S S a ---=+，即11,22n n a a n --=≥ {}∴n a 以12

为公差的等差数列， 3111(1)4224

n a n n ∴=+-?=+， 131n n b b n --=+Q

111(1)33

n n b b n -∴=++ 111111111(1)()3324324

n n n n b a b n n b n --∴-=++--=-+ 11111111(1)2424

n n n n b a b n b n ----∴-=---=-+ 111()3

n n n n b a b a --∴-=-， 1110b a -=-≠Q

{}n n b a ∴-是以10-为首项，13

为公比的等比数列 （2）由（1）得1110()3

n n n b a --=-? 所以11111110()10()3243

n n n n b a n --=-?=+-? 111120()023

n n n b b ---=+?> 所以{}n b 是递增数列 因为当131,1004n b ==-<，25102,043

n b ==-< 所以数列{}n b 从第3项起的各项均大于0，故数列{}n b 的前2项之和最小

记数列{}n b 的前 n 项和为n T ，则2351034104433T ????=-+-=-

? ?????

. 【点睛】

本题考查了等差等比数列通项公式，定义法证明等比数列和数列单调性证明，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

19．（1）见解析；（2）存在，12

DG =

【解析】

【分析】 （1）由已知可得EFA EAS ??:，所以AF SE ⊥，又由已知可证BC ⊥底面SAE ，所以BC AF ⊥，问题得解；

（2）以A 为坐标原点，建立空间坐标系，可求得平面AFG 的法向量为(,1,1)m t t =--u r

，平面AEF 的法向量为(1,1,0)n =-r

，所以有cos30?=

，求解即可.

【详解】

（1）由2,AC AB SA AC AB ===⊥ E 是BC

的中点，所以AE =因为SA ⊥平面ABC ，所以SA AE ⊥

在Rt SAE ?

，SE =

1,33EF SE == 因此2,AE EF SE AEF AES =?∠=∠Q

所以EFA EAS ??:

则90AFE SAE ?∠=∠=，即AF SE ⊥

SA ⊥Q 平面ABC ，SA BC ∴⊥

又BC AE ⊥，BC ∴⊥底面SAE

则BC AF ⊥，又SE BC E =I ，

所以AF ⊥平面SBC .

（2）假设满足条件的点G 存在，并设DG t =，

以A 为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系

则：(0,0,0),(0,0,2),(1,1,0),(1,,0)A S E G t ，

2222,(,,)333

SF FE F =∴Q 则()()2221,1,0,,,,1,,0333AE AF AG t ??=== ???

u u u r u u u r u u u r 设平面AFG 的法向量为111(,,)z m x y =u r

111112220033300

m AF x y z m AG x y t ???=++=??????=???+=?u r u u u r u r u u u r 取11y =，则1x t =-，11z t =-

(,1,1)m t t ∴=--u r

设平面AEF 的法向量为()222,,n x y z =r ，

22

2222220033300n AF x y z n AE x y ???=++=??????=???+=?u r r u u u r u u r ， 取2221,1,0y x z =∴=-=

(1,1,0)n ∴=-r

cos30?∴=

化简得：22520t t -+=

()10,1,2

t t ∈∴=Q 于是满足条件的点G 存在，且12

DG =

. 【点睛】

本题考查了立体几何中线面垂直的证明和二面角的求法，本题几何体比较规则，用空间向量方法求二面角比较易解，属于中档题. 20．(1) 22

184

x y += ；(2)y x =. 【解析】

【分析】