2020届山东省聊城一中高三4月份线上模拟试题(解析版)

2020届山东省聊城一中高三4月份线上模拟试题

一、单选题

1．若集合{}1,2,3A =，(){},40,,B x y x y x y A =+->∈则集合B 中的元素个数为

（ ） A ．5 B ．6

C ．4

D ．3

【答案】D

【解析】由已知可得()()(){}2,3,3,2,3,3B =，问题得解.

【详解】 由已知，得：

2,3x y ==；3,2x y ==；3,3x y ==满足题意，

所以()()(){}2,3,3,2,3,3B =，集合B 中有三个元素.

故选：D 【点睛】

本题考查了列举法表示集合，注意该集合是点集，属于基础题. 2．若复数(1)(3)mi i ++（i 是虚数单位，m R ∈）是纯虚数，则复数31m i

i

+-的模等于（ ） A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C

【解析】()()()()13331mi i m m i ++=-++，因为是纯虚数，所以3m = ，那

么()()()()33133631112

i i i i

i i i i +++===--+ ，所以模等于3，故选C. 3．已知0.4 1.9

0.41.9,1 1.9,0.4a b og c ==＝

，则（ ）

A ．a b c >>

B ．b c a >>

C ．a c b >>

D ．c a b >>

【答案】C

【解析】利用指数函数、对数函数的单调性，将a ，b ，c 分别与1和0比较，得到结论. 【详解】

因为0.4

01.9 1.91,a >=＝

0.40.41 1.9110,b og og =<=

1.9000.40.41,01c <<=∴<<

所以a c b >> 故选：C 【点睛】

本题主要考查指数函数、对数函数的单调性的应用，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题. 4．已知函数sin()

2

()x x f x e

π

-=

（e 为自然对数的底数），当[,]x ππ∈-的图象大致是

（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】由已知可证()f x 在[,]-ππ上为奇函数，排除A 、C ；再通过导函数研究单调性可到正确选项. 【详解】 函数cos cos sin()

2

()=

x x

x x x f x xe e e

π

--=

=

由()()

()cos cos ()x x f x x e

xe f x --=-=-=-

所以()f x 在[,]-ππ上为奇函数，可排除A 、C ；

()()cos cos cos ()sin 1sin x x x f x e xe x e x x '=+?-=-

令1sin 0x x -=得1sin x x

=， 作出sin y x =和1

y x

=

在[0,]π上的图象，如下

由图可知当1[0,]x x ∈或2[,]x x π∈时1

sin x x

<

即1sin 0x x ->， ()0f x '∴>，()f x 在此区间上单调递增；

由图可知当12[,]x x x ∈时1

sin x x

>

即1sin 0x x -<， ()0f x '∴<，()f x 在此区间上单调递减.

由此可知，选项B 满足要求. 故选：B 【点睛】

本题考查了函数奇偶性证明，考查了用导数研究函数单调性，考查了数形结合思想，属于中档题.

5．已知1xy =，且2

02

y <<，则2242x y x y +-的最小值为（ ）

A ．4

B ．

9

2

C ．22

D ．2

【答案】A 【解析】1xy

=且202

y <<，可知2x >20x y ->．

2224(2)4424222x y x y xy x y x y x y x y +-+==-+≥---，当且仅当31

31,x y -==

时等号成立．故选A ．

6．将函数()cos f x x ω=（其中0>ω）的图象向右平移3

π

个单位，若所得图象与原图象重合，则(

)24

f π

不可能等于（ ）

A ．0

B ．1

C ．

22

D ．

3 【答案】D 【解析】由题意

*2()3

k k N π

π

ω

=

?∈，所以*6()k k N ω=∈，因此()cos6f x kx =，

从而(

)cos

24

4k f π

π=，可知()24f π不可能等于3

． 7．设1F ，2F 是双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左、右两个焦点，若双曲线右支上

存在一点P ，使()

220OP OF F P +?=u u u r u u u u r u u u u r

（O 为坐标原点），且123PF PF =，则双曲

线的离心率为（ ） A ．

21

+ B ．21+

C ．

31

+ D ．31+

【答案】D

【解析】取2PF 的中点A ，利用22OP OF OA +=u u u r u u u u r u u u r ，可得2OA F P ⊥u u u r u u u u r

，从而可得

12PF PF ⊥，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论．

【详解】

取2PF 的中点A ，则22OP OF OA +=u u u r u u u u r u u u r ，()

22

0OP OF F P +?=u u u r u u u u r u u u u r Q ，220OA F P ∴?=u u u r u u u u r

. 2OA F P ∴⊥u u u r u u u u r

，O Q 是12F F 的中点，1OA PF ∴P ，12PF PF ∴⊥， 123PF PF =Q ，(

)

122321a PF PF PF ∴=-=

-， 2

2

2

12

4PF PF c +=Q ，2c PF ∴=，3131

c e a ∴=

==+-. 故选：D ．

【点睛】

本题考查了双曲线的离心率，确定12PF PF ⊥是解题的关键，意在考查学生的计算能力

和转化能力。

8．已知不等式ln(1)1x ax b +-≤+对一切1x >-都成立，则b

a

的最小值是（ ） A ．1e - B ．e

C ．1e -

D ．1

【答案】C

【解析】令()ln(1)1f x x ax b =+---，求导，分类讨论可得

11ln 20f a a b a ??

-=-+--≤ ???

，ln 21b a a a a ∴≥--，令()ln 21a g a a a =--，通过导数求出()min 11g a g e e ??

==- ???

，问题得解. 【详解】

令()ln(1)1f x x ax b =+---，则()1

1

f x a x '=-+ 若0a ≤，则()

0f x ￠>，

()f x 在()1,-+∞上单调递增，无最大值；

若0a >，由()101

f x a x '=-=+得：11=-x a

当1

11x a

-<<-时，()0f x ￠>，()f x 单调递增， 当1

1x a

>

-时，()0f x ￠<，()f x 单调递减， 所以1

1=

-x a

时取得最大值11ln 2f a a b a ??

-=-+-- ???

由题意可知ln 20a a b -+--≤，ln 2b a a ∴≥-+-

ln 21b a a a a

∴≥--， 令()ln 21a g a a a =-

-，则()2

ln 1

a g a a +'=

由()2

ln 10a g a a

+'=

=得1

a e = 当10,a e ?

?∈ ???

时，()0g a '<，()g a 单调递减，

当1,a e ??∈+∞ ???

时，()0g a '>，()g a 单调递增.

1a e ∴=时()min 11g a g e e ??

==- ???

，

b

a

∴的最小值为1e -. 故选：C 【点睛】

本题考查了恒成立问题，考查了导数求最值，考查了分类讨论思想，属于难题.

二、多选题

9．下列关于平面向量的说法中不正确．．．

的是（ ） A ．已知a v ，b v

均为非零向量，则//a b ?v v

存在唯-的实数λ，使得b a λ=v v

B ．若向量AB u u u v ，CD uuu v

共线，则点A ，B ，C ，D 必在同一直线上 C ．若a c b c ?=?v v v

v

且0c ≠v

，则a b =v

v

D ．若点G 为ABC ?的重心，则0GA GB GC ++=u u u v u u u v u u u v v

【答案】BC

【解析】利用向量共线的概念即可判断A 正确，B 错误；利用向量垂直的数量积关系即可判断C 错误，利用三角形重心的结论即可判断D 正确，问题得解. 【详解】

对于选项A ，由平面向量平行的推论可得其正确；

对于选项B ，向量AB u u u r ，CD uuu

r 共线，只需两向量方向相同或相反即可，点A ，B ，C ，

D 不必在同一直线上，故B 错误；

对于选项C ，()0a c b c a b c ?=??-?=r r r r r r r ，则()

a b c -⊥r r r ，不一定推出a b =r r

，故C

错误；

对于选项D ，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确. 故选BC 【点睛】

本题主要考查了平面向量共线（平行）的定义，考查了平行向量垂直的数量积关系，还考查了平面向量中三角形重心的推论，属于中档题．

10．对于二项式()3*1n

x n N x ??+∈ ???

，以下判断正确的有（ ） A ．存在*n N ∈，展开式中有常数项； B ．对任意*n N ∈，展开式中没有常数项； C ．对任意*n N ∈，展开式中没有x 的一次项； D ．存在*n N ∈，展开式中有x 的一次项. 【答案】AD

【解析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案。 【详解】

设二项式()3*1n

x n N x ??+∈ ???

展开式的通项公式为1r T +，

则3411=()

()r

n r

r r r n

r n n T C x C x x

--+=，

不妨令4n =，则1r =时，展开式中有常数项，故答案A 正确，答案B 错误； 令3n =，则1r =时，展开式中有x 的一次项，故C 答案错误，D 答案正确。 故答案选AD 【点睛】

本题考查二项式定理，关键在于合理利用通项公式进行综合分析，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题。

11．已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左，右焦点是12F F P 、，是椭圆上一点，若

122PF PF =，则椭圆的离心率可以是（ ）

A ．

14

B ．

13

C ．

12

D ．

23

【答案】BCD

【解析】由椭圆的定义和题设条件122PF PF =，

求得1242

,33

PF a PF a ==，再在12PF F ?中，结合三角形的性质，得到2

23

a c ≤，求得离心率的范围，即可求解.

【详解】

由椭圆的定义，可得122PF PF a +=，又由122PF

PF =， 解得

1242

,33

PF a PF a =

=， 又由在12PF F ?中，1212||PF PF F F -≤，可得223a c ≤，所以1

3

c e a =≥， 即椭圆的离心率e 的取值范围是1,13??

????

. 故选：BCD ． 【点睛】

本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟练椭圆的离心率的概念，合理应用椭圆的定义和三角形的性质，得到关于,a c 的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1x

f x e x =+，则下列

命题正确的是（ ） A ．当0x >时，()()1x

f x e x -=--

B ．函数()f x 有3个零点

C ．()0f x <的解集为()(),10,1-∞-?

D ．12,x x R ?∈，都有()()122f x f x -< 【答案】BCD

【解析】设0x >，则0x -<，则由题意得()()1x

f x e

x --=-+，根据奇函数

()()f x f x -=-即可求出解析式，即可判断A 选项，再根据解析式分类讨论即可判断

B 、

C 两个选项，对函数求导，得单调性，从而求出值域，进而判断

D 选项． 【详解】

解：（1）当0x >时，0x -<，则由题意得()()1x

f x e x --=-+，

∵ 函数()f x 是奇函数，

∴ ()00f =，且0x >时，()()f x f x =--()1x

e

x -=--+()1x e x -=-，A 错；

∴ ()()()1,0

0,01,0x x e x x f x x e x x -?+

==??->?

，

（2）当0x <时，由()()10x

f x e x =+=得1x =-，

当0x >时，由()()10x

f x e

x -=-=得1x =，

∴ 函数()f x 有3个零点1,0,1-，B 对； （3）当0x <时，由()()10x

f x e x =+<得1x <-，

当0x >时，由()()10x

f x e

x -=-<得01x <<，

∴ ()0f x <的解集为()(),10,1-∞-?，C 对； （4）当0x <时，由()()1x

f x e x =+得()()'2x f x e x =+，

由()()'20x

f x e

x =+<得2x <-，由()()'20x f x e x =+≥得20x -≤<，

∴ 函数()f x 在(],2-∞-上单调递减，在[)2,0-上单调递增， ∴函数在(),0-∞上有最小值()2

2f e --=-，且()()1x

f x e

x =+()0011e

又∵ 当0x <时，()()10x

f x e

x =+=时1x =-，函数在(),0-∞上只有一个零点，

∴当0x <时，函数()f x 的值域为)

2

,1e -?-?，

由奇函数的图象关于原点对称得函数()f x 在R 的值域为

()

2

2

1,,1e

e --??-?-??

()1,1=-， ∴ 对12,x x R ?∈，都有()()122f x f x -<，D 对； 故选：BCD ． 【点睛】

本题主要考查奇函数的性质，考查已知奇函数一区间上的解析式，求其对称区间上解析式的方法，考查函数零点的定义及求法，以及根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，属于较难题．

三、填空题

13．若212n

x x ??- ???

的展开式中第1r +项为常数项，则r n =______. 【答案】

2

3

【解析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得320r n -=，从而得到r

n

的值. 【详解】

解：212n

x x ??- ???的展开式中第1r +项为 .

321(1)2n r r r r n n

C x ?--???- ?

??

，再根据它为常数项，

可得320r n -=，求得

23

r n =， 故答案为：23

. 【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

14．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(1)(1)n n n a n S ++=-，则

n S =__________．

【答案】1

2n n

- 【解析】化简()()111n n n a n S ++=-得()112

n n

n S nS ++=，即{}n nS 是等比数列，然后求

出n S 的值 【详解】

()()111n n n a n S ++=-Q ，11n n n na S nS ++∴+=，()11n n n n n S S S nS ++∴-+=，()112

n n

n S nS ++∴=，

{}n nS ∴是首项为1，公比为2的等比数列，则1

2

n n nS -=，1

2n n S n

-∴=. 【点睛】

本题考查了求数列的前n 项的和，结合条件进行化简，构造出新的数列是等比数列，然后求出等比数列的通项公式，继而求出结果

15．若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>

则双

曲线的离心率为_____. 【答案】2

【解析】

由已知结合点到直线距离公式得b =，再由222a c b =-即可求出离心率. 【详解】

双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为(),0c ，一条渐近线为0bx ay +=，

由题意可得：bc

d b c

=

=

=

2b c ∴=，222

214a c b c ∴=-= 则双曲线的离心率2c

e a

== 【点睛】

本题考查了求双曲线的离心率，要注意隐含条件222c a b =+的应用，属于中档题.

16．在ABC ?中，ACB ∠为钝角，1,,1AC BC CO xCA yCB x y ===++=u u u r u u u r u u u r

，函数

()||f m CA mCB =-uu u r uu u r

CO u u u r 的最小值为________.

【答案】

12

【解析】整理可得

()f m =

1cos 2

θ=-，再由()

2

2

211=324CO xCA yCB

x ?

?+=-+ ??

?u u u r u u u r u u u r

，问题得解.

【详解】

设ACB θ∠=，由已知可得：

()f m CA mCB =-=

u u u r u u u r

=

=

当cos m θ=时()f

m

= 由ACB ∠为钝角，得1cos 2θ=-

. ()

2

22222

22=2CO xCA yCB

x CA y CB xyCA CB x y xy

∴+=++?=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()2

2

2

2

1111331324x x x x x x x ?

?=+---=-+=-+ ??

?

当1=2x 时2CO uuu r 取最小值为14

，所以CO u u u r 最小值为1

2.

故答案为：1

2

【点睛】

本题考查了求向量的模和向量数量积，考查了配方法求二次函数最值，考查了函数思想和计算能力，属于中档题.

四、解答题

17．已知2()2cos sin()3sin cos sin 6f x x x x x x π

=?++?-，

（1）求函数()y f x =的单调递增区间；

（2）设△ABC 的内角A 满足()2f A =，而3AB AC ?=u u u v u u u v

，求边BC 的最小值． 【答案】（1）,()3

6k k k z π

πππ?

?

-

+

∈???

?

;（2）min 42331a =-=-

【解析】【详解】试题分析：利用和差角及二倍角公式对函数化简可得

()2sin(2)6

f x x π

=+

（1）令

，解不等式可得答案；（2）由

()2sin(2)6

f A A π

=+

及0＜A ＜π可得，利用向量数量积的定义可得，bc=2，利用余弦定理可得可得又

△ABC 中，从而可

求

试题解析：（1）

=

由

得

，

故所求单调递增区间为．

（2）由得

， ∵

，即

，∴bc=2，

又△ABC 中，

=，当且仅当b=c=2等号成立 ∴

18．已知数列{}n a 的前n 项和为11131

,,(,2)42

n n n n S a S S a n N n *--=

=++∈≥，数列{}n b 满足：1

137

,31(,2)4

n n b

b b n n N N *-=-

-=+∈≥ （1）求证：数列

{}n n b a -为等比数列；

（2）求数列{}n b 的前 n 项和的最小值. 【答案】（1）见解析；（2）343

-

【解析】（1）由已知得11

2n n a a --=

，可得等差数列1124

n a n =+，再由131n n b b n --=+，得1111()324n n n b a b n --=-+，11111

24

n n n b a b n ----=-+，问题得

解；

（2）由（1）得1111

10()243

n n b n -=

+-?，整理可得10n n b b ->-，即{}n b 是递增数列，再由230,0b b <>得2T 最小，问题得解. 【详解】 （1）由已知得：

1112

n n n S S a ---=+，即11

,22n n a a n --=≥

{}∴n a 以1

2

为公差的等差数列，

3111(1)4224

n a n n ∴=

+-?=+， 131n n b b n --=+Q

111

(1)33

n n b b n -∴=++

111111111(1)()3324324

n n n n b a b n n b n --∴-=++--=-+

11111111

(1)2424

n n n n b a b n b n ----∴-=-

--=-+ 111

()3

n n n n b a b a --∴-=-，

1110b a -=-≠Q

{}n n b a ∴-是以10-为首项，1

3

为公比的等比数列

（2）由（1）得1

110()3

n n n b a --=-?

所以11

111110()10()3243

n n n n b a n --=-?=+-?

1111

20()023

n n n b b ---=+?>

所以{}n b 是递增数列 因为当131,1004n b ==

-<，2510

2,043

n b ==-< 所以数列{}n b 从第3项起的各项均大于0，故数列{}n b 的前2项之和最小 记数列{}n b 的前 n 项和为n T ，则2351034104433T ????

=-+-=- ? ?????

.

【点睛】

本题考查了等差等比数列通项公式，定义法证明等比数列和数列单调性证明，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

19．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC ，2AC AB SA ===，AC AB ⊥，

,D E 分别是,AC BC 的中点，F 在SE 上，且2SF FE =.

（1）求证：AF ⊥平面SBC ；

（2）在线段DE 上是否存在点G ，使二面角G AF E --的大小为30?？若存在，求出

DG 的长；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）存在，1

2

DG =

【解析】（1）由已知可得EFA EAS ??:，所以AF SE ⊥，又由已知可证BC ⊥底面

SAE ，所以BC AF ⊥，问题得解；

（2）以A 为坐标原点，建立空间坐标系，可求得平面AFG 的法向量为(,1,1)m t t =--u r ，

平面AEF 的法向量为(1,1,0)n =-r ，所以有22

1cos302

1(1)t t t ?

--=

?++-，求解即

可. 【详解】

（1）由2,AC AB SA AC AB ===⊥

E 是BC 的中点，所以2AE =

因为SA ⊥平面ABC ，所以SA AE ⊥ 在Rt SAE ?，6SE =，所以16,3EF SE ==

因此2

,AE

EF SE AEF AES =?∠=∠Q

所以EFA EAS ??:

则90AFE SAE ?∠=∠=，即AF SE ⊥

SA ⊥Q 平面ABC ，SA BC ∴⊥

又BC AE ⊥，BC ∴⊥底面SAE 则BC AF ⊥，又SE BC E =I ， 所以AF ⊥平面SBC .

（2）假设满足条件的点G 存在，并设DG t =， 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系

则：(0,0,0),(0,0,2),(1,1,0),(1,,0)A S E G t ，

222

2,(,,)333

SF FE F =∴Q

则()()2221,1,0,,,,1,,0333AE AF AG t ??=== ???

u u u r u u u r u u u r

设平面AFG 的法向量为111(,,)z m x y =u r

11111

22200

33300m AF x y z m AG x y t ???=++=??????=???+=?u r u u u r u

r u u u r

取11y =，则1x t =-，11z t =-

(,1,1)m t t ∴=--u r

设平面AEF 的法向量为()222,,n x y z =r

， 2222

2222003

3300

n AF x y z n AE x y ???=++=??????=???+=?u r r u u u r u u r ， 取2

221,1,0y x z =∴=-=

(1,1,0)n ∴=-r

cos30?∴=

化简得：22520t t -+=

()1

0,1,2

t t ∈∴=Q

于是满足条件的点G 存在，且12

DG =. 【点睛】

本题考查了立体几何中线面垂直的证明和二面角的求法，本题几何体比较规则，用空间向量方法求二面角比较易解，属于中档题.

20．已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F

，若椭圆经过点

)

1P

-，且△PF 1F 2的面积为2．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）设斜率为1的直线l

的圆交于A ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且CD AB λ=（R λ∈），当λ取得最小值时，求直线l 的方程.

【答案】(1) 22

184

x y += ；(2)y x =.

【解析】（1）根据12PF F △的面积求得c

的值，再利用椭圆过点)

1P

-及

222a b c =+，求得,a b 的值，从而求得椭圆的方程；

（2）设直线l 的方程为y x m =+，由直线和圆、椭圆都相交，求得22m -<<，再利用弦长公式分别计算AB ，CD ，从而建立λ()f m =的函数关系式，当λ取得最小

值时，可求得m 的值，从而得到直线l 的方程. 【详解】

解：（1）由12PF F △的面积可得1

2122c ??=，即2c =，∴224a b -=．① 又椭圆C

过点)

1P

-，∴2261

1a b

+=．②

由①②

解得a =2b =，故椭圆C 的标准方程为22

184

x y +=.

（2）设直线l 的方程为y x m =+，则原点到直线l

的距离d =

，

由弦长公式可得AB ==

将y x m =+代入椭圆方程22184

x y

+=，得2234280x mx m ++-=，

由判别式(

)

2

2

1612280m m ?=-->

，解得m -< 由直线和圆相交的条件可得d r <

<，也即22m -<<，

设()11,C x y ，()22,D x y ，则1243m x x +=-，21228

3

m x x -=，

由弦长公式，得

CD ===

由CD AB λ=

，得CD AB λ=== ∵22m -<<，∴2044m <-≤，则当0m =

时，λ取得最小值3

， 此时直线l 的方程为y x =． 【点睛】

本题考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系、弦长公式的计算、函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想的灵活运用，求解时要注意坐标法思想的运用，即如何利用坐标将λ与m 建立联系，从而使问题得到解决.

21．某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买

该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示.

（1）根据茎叶图中的数据完成22

?列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？

购买意愿强购买意愿弱合计

20~40岁

大于40岁

合计

（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为X，求X的分布列和数学期望.

附：

2

2

()

()()()()

n ad bc

k

a b c d a c b d

-

=

++++

.

【答案】（Ⅰ）表格如解析所示，没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有

关；（Ⅱ）X的分布列如解析所示，期望为6

5

.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据茎叶图可填表格，再由公式计算2

K,并且和3.841比较大小，即可得出结论；（Ⅱ）根据层比为1:4，分别得到年龄在20~40岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人，分别对这5人分类标号，并通过列举法计算出所有可能出现的情况，即可求出X的分布列和期望值.

试题解析：（Ⅰ）由茎叶图可得：

由列联表可得：()2

2502012108=

3.46 3.84130202822

K ?-?≈

所以，没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关． （Ⅱ）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为

51

204

=， 所以年龄在20~40岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人， 则X 的可能取值为0，1，2，

()()()1122

23322225551

633

0121010510

C C C C P X P X P X C C C ==========，，，

所以分布列为

数学期望为()1336012105105E X =?

+?+?=． 22．设函数()1

ln f x x t x x

=--，其中()0,1,x t ∈为正实数.

(1)若不等式()0f x <恒成立，求实数t 的取值范围；

(2)当)1(0x ∈，

时，证明2

1

1ln x x x e x x

+--<. 【答案】（1）(]

0,2（2）见解析 【解析】

(1)讨论研究函数()1

ln f x x t x x

=--的单调性，求出函数()f x 在()0,1x ∈上的最大值．要不等式()0f x <恒成立，只需最大值小于零，即可求出．

(2)将原不等式等价变形为21ln 1x x e x x x ->+，由(1)可知212ln x x x ->，试证21

x

e x <+在

)1(0x ∈，时恒成立，即可由不等式性质证出21

1ln x x x e x x

+-

-<． 【详解】

（1）由题意得()222

11

'1t x tx f x x x x

-+=+-= 设()()2

101h x x tx x =-+<<，则2

4,0t t =->V ，

①当240t -≤时，即02t <≤时，()0f x '≥ ，

所以函数()f x 在()0,1上单调递增，()()10f x f <=，满足题意；

②当240t ->时，即2t >时，则()h x 的图象的对称轴12

t

x => 因为()()01,120h h t ==-<，

所以()h x 在()0,1上存在唯一实根，设为1x ，则当()10,x x ∈时，()()0,'0h x f x >>，

当()1,1x x ∈时，()()0,'0h x f x <<，

所以()f x 在()10,x 上单调递增，在()1,1x 上单调递减， 此时()()1max 10x f f f =>=，不合题意． 综上可得，实数t 的取值范围是(]

0,2．

（2）321ln x

x x x e x x +--<等价于()

()211ln x x x e x x

-+<

因为()0,1x ∈，所以0lnx <，所以原不等式等价于21ln 1x

x e x x x ->

+， 由(1)知当2t =时，120x lnx x --<在()0,1x ∈上恒成立，整理得21

2ln x x x

->

令()()011

x

e m x x x =<<+，则()()2'01x xe m x x =>+，

所以函数()m x 在区间()0,1上单调递增，

所以()()21221ln x e m x x m x -<=<<，即21ln 1

x

x e x x x ->

+在()0,1上恒成立. 所以，当()0,1x ∈时，恒有2

1

1ln x x x e x x

+-

-<， 【点睛】