山东省2014届理科数学一轮复习试题选编15:平面向量的平行与垂直(学生版)
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编15:平面向量的平行与垂直
一、选择题
1 .(江西省上高二中2012届高三第五次月考(数学理))已知A(2,-2)、B(4,3),向量p
的坐标为(2k-1,7)
且//p AB
,则k 的值为
( )
A .910
-
B .
910
C .1910
-
D .
1910
2 .(山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学(理)试题)已知向量
(0,1),(2,a b c k a b c k ===+=
若与垂直则
( )
A .—3
B .—2
C .l
D .-l
3 .(山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学(理)试题)已知向量(1,2),m x =-+ (3,21),n y =-
若m n ⊥ ,
则18()16
x
y
+的最小值为 ( )
A .2
B .4
C .
D .4 .(2013辽宁高考数学(文))已知点()()1,3,4,1,A B -则与向量AB
同方向的单位向量为 ( )
A .3455?? ???
,-
B .4355?? ???
,-
C .3455??- ???
,
D .4355??- ???
,
5 .在四边形ABCD 中,,AB DC = 且0AC AD =
,则四边形ABCD 是
( )
A .矩形
B .菱形
C .直角梯形
D .等腰梯形
6 .过ABC ?的重心G 作一直线分别交AB 、AC 于D 、E ,若0,,≠==
xy y x ,则y
x 1
1+的
值为 ( )
A .1
B .2
C .3
D .4
7 .(山东省滨州市2013届高三第一次(3月)模拟考试数学(理)试题)已知向量(1,2)=a ,(,6)x =b ,且a ∥b ,
则x 的值为
( ) A .1 B .2 C .3 D .4
8 .(2013陕西高考数学(文))已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于
( )
A .
B
C .
D .0
9 .(2012年广西北海市高中毕业班第一次质量检测数学(理)试题及答案)给定两个向量
)4,3(=,)1,2(=,若)//()(x -+,则x 的值等于
( )
A .
2
3 B .1- C .1
D .2
3-
10.(2013辽宁高考数学(理))已知点()()1,3,4,1,A B AB -
则与向量同方向的单位向量为
( )
A .3455?? ???
,-
B .4355?? ???
,-
C .3455??- ???
,
D .4355??- ???
,
11.(2012年高考(四川理))设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,使||||
a b
a b =
成立的充分条件是
( )
A .a b =-
B .//a b
C .2a b =
D .//a b 且||||a b =
12.(山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学(理)试题)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若λ
为实数,且()b a c λ+⊥,则λ= ( )
A .311
-
B .113-
C .
12
D .
35
13.(2011年上海市普通高等学校春季招生考试数学卷)若向量()2,0a =
,()1,1b = ,则下列结论正确的是
( )
A .1a b ?=
B .a b =
C .()
a b b -⊥
D .//a b
14.(山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 )已知向量a ()()4,3,1,2==-b ,若向量k +a b
,则k 的值为 ( )
B .7
C D 15.(2013大纲版高考数学(理))已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+ ,若()()
m n m n +⊥-
,则=
λ
( )
A .4-
B .3-
C .2-
D .-1
16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若56OB a OA a OC =+
(O 为坐标原点),且,,A B C 三点共线(该
直线不过点O ),则10S 等于 ( )
A .4
B .5
C .6
D .10
17.(山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学(理)试题)设向量(1,sin )θ=a ,(3sin ,1)θ=b ,
且//a b ,则cos2θ等于 ( )
A .31
-
B
.32-
C
.32
D
.
31 二、填空题
18.(山东省2013届高三高考模拟卷(一)理科数学)已知向量)3,2(=,)2,1(=,且,满足
)()(b a b a -⊥+λ,则实数=λ_______.
19.(山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题)已知向量()()1,1,2,a b k =-=
,且//a b ,
则实数k =____________
20.(2013山东高考数学(文))在平面直角坐标系xOy 中,已知(1,)OA t =- ,(2,2)OB = ,若90o ABO ∠=,
则实数t 的值为______
21.(2012年石景山区高三数学一模理科)设向量)cos 3,1(),1,(cos θθ==b a
,且b a //,则
θ2cos =________.
22.(2012年高考(安徽文))设向量(1,2),(1,1),(2,)a m b m c m ==+= ,若()a c +
⊥b ,则
a = _____. 23.已知O 是坐标原点,,A B 是坐标平面上的两点,且向量(1,2)OA =- ,(3,)OB m =
.若△AOB 是直角三
角形,则m =_________.
24.(2013上海春季数学(理))已知向量(1 )a k =
,,(9 6)b k =- ,
.若//a b ,则实数 k = __________ 25.(山西省实验中学仿真演练试卷理)1e 、2e 是互相垂直的两个单位向量,且向量122e e + 与12e ke -
也相
互垂直,则k =_____________.
三、解答题
26.四边形ABCD 中,)3,2(),,(),1,6(--===CD y x BC AB
(1)若//,试求x 与y 满足的关系式;
(2)满足(1)的同时又有⊥,求y x ,的值及四边形ABCD 的面积.
27.已知向量=)2,1(,=)2,3(- .
⑴求||+与||-;
⑵ 当k 为何值时,向量b a k +与b a 3+垂直?
⑶ 当k 为何值时,向量k +与3+平行?并确定此时它们是同向还是反向?
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编15:平面向量的平行与垂直参考答案
一、选择题 1. D 2. 【答案】A
【解析】因为2a b c +
与垂直,所以有2=0a b c + (),即2=0a c b c + ,0=,解得
3k =-,选A.
3. C
4. A (3,4)AB =- ,所以||5AB = ,这样同方向的单位向量是134(,)555
AB =-
5. B
6. C 错误人数40/94
提示:设BC 的中点为F ,y
x y x 31
31)11(31)(3132
+=+
=+==,由点E G D ,,共线可知31
113131=+?=+y
x y x
7. 【答案】C 因为a ∥b ,所以1620x ?-=,解得3x =,选C.
8. C 解:.221,//),2,(),,1(±=??=?∴==m m m b m m 且 ,所以选C 9. A
10. A 解:(3,4)AB =- ,所以||5AB = ,这样同方向的单位向量是134(,)555
AB =-
11. [答案]D
[解析]若使||||
a b
a b =
成立,则方向相同,与b a 选项中只有D 能保证,故选D.
[点评]本题考查的是向量相等条件?模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量,其模为0且方向任意. 12. A
13. 【解】2a b ?=
,A 不正确;2a = ,b = ,则a b
≠
,B 不正
确;()1,1a b -=-
,()()()1,11,10a b b -?=-?= ,所以()
a b b -⊥ ,C 正确;不存在实数λ,使
a b λ=
,D 不正确.故选C.
14. A
15. B ()()
22
22
||||0(1)1[(2)4]3m n m n m n λλλ+⊥-?-=?++-++?=-
16. B 提示:依题意有165=+a a ,故5)(52
10
)(6510110=+=?+=
a a a a S
17. D 二、填空题 18. 3
5
-
【解析】由)3,2(=a ,)2,1(=b ,得++=+3,2(λλb a )2λ,)1,1(=-b a ,因为
)()(b a b a -⊥+λ,所以0)()(=-?+b a b a λ,即01)23(1)2(=?++?+λλ,解得3
5
-=λ.
19. 2- 【解析】因为 //a b
,所以120k --?=,解得2k =-.
20.答案:5.解析:∵ ,(1)OA t =- ,,(22)OB = ,∴(2,2)AB OB OA =-=
(1,)(3,2)
t t --=-,又∵
90ABO ∠=
,∴AB OB ⊥
,∴232(2)0AB OB t ?=?+?-= ,解得5t =.
21. 3
1
-
22. 【解析】a = 1
(3,3),()3(1)302
a c m a c
b m m m a +=+=++=?=-?=
23. 3
2
或4;
24. 34
-
25. 2 三、解答题
26.解:),(y x BC = )2,4()2,4()(+---=-+-=++-=-=y x y x CD BC AB AD DA
(1)DA BC // 则有0)4()2(=--?-+-?x y y x 化简得:02=+y x (2))1,6(++=+=y x
)3,2(--=+=y x
又⊥ 则 0)3()1()2()6(=-?++-?+y y x x 化简有:015242
2
=--++y x y x
联立?
??=--++=+01524022
2y x y x y x 解得??
?=-=36y x 或???-==1
2
y x
DA BC // ⊥ 则四边形ABCD 为对角线互相垂直的梯形
当??
?=-=3
6
y x )0,8()4,0(-==BD AC
此时162
1
==
S ABCD 当???-==1
2y x )4,0()0,8(-==
此时162
1
==
S ABCD 27.因为)2,3(),2,1(-== 所以5||2
=,13||=,1=?,
(1)52||==+ , 4||==-;
(2)当向量k +与3+垂直时,则有?+)(k 0)3(=+,03)13(2
=+?++k k ,即
039)13(5=+++k k 解得5-=k 所以当5-=k 时,向量b a k +与b a 3+垂直;
(3)当向量k +与3+平行时,则存在λ使)3(k +=+λ成立,于是???==1
3λλk 解得31
=k ,当
31=
k 时,)3(3131b a b a b a k +=+=+,所以3
1
=k 时向量b a k +与b a 3+平行且它们同向.
2021年高中数学-平面向量专题
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
高中数学平面向量测试题及答案[001]
平面向量测试题 一、选择题: 1。已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且?→?AB =→a ,?→?AD =→b ,则?→ ?BE =( ) (A ) →b +→a 2 1 (B ) →b -→a 2 1 (C ) →a +→b 2 1 (D ) →a -→ b 2 1 2.已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是( ) (A ) ?→?AB =-?→?BC (B ) ?→?AC =?→?BC 2 1 (C ) ?→?BA =?→?BC (D ) ?→?BC =?→ ?AC 2 1 3.已知ABCDEF 是正六边形,且?→?AB =→a ,?→?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1→→-b a (B ) )(2 1 →→-a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 4.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→ a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→ ?BC (C )?→?AD =-?→ ?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 5.将图形F 按→ a =(h,k )(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F ( ) (A ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (B ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (C ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 (D ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6.已知→a =()1,2 1,→ b =(), 2 22 3- ,下列各式正确的是( ) (A ) 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a (B ) →a ·→b =1 (C ) →a =→b (D ) →a 与→b 平行 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4)
高考数学平面向量试题汇编
高考数学平面向量试题汇编 已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ,那么 ( A ) A.AO OD =u u u r u u u r B.2AO OD =u u u r u u u r C.3AO OD =u u u r u u u r D.2AO OD =u u u r u u u r (辽宁3) 若向量a 与b 不共线,0≠g a b ,且?? ??? g g a a c =a -b a b ,则向量a 与c 的夹角为( D ) A .0 B . π6 C . π3 D . π2 (辽宁6) 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后,得到函数(1)2y f x =+-的图象,则向量a =( A ) A .(12)--, B .(12)-, C .(12)-, D .(12), (宁夏,海南4) 已知平面向量(11) (11)==-,,,a b ,则向量13 22 -=a b ( D ) A.(21)--, B.(21)-, C.(10)-, D.(12), (福建4) 对于向量,,a b c 和实数λ,下列命题中真命题是( B ) A .若=0g a b ,则0a =或0b = B .若λ0a =,则0λ=或=0a C .若2 2 =a b ,则=a b 或-a =b D .若g g a b =a c ,则b =c (湖北2)
将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ,a 平移,则平移后所得图象的解析式为 ( A ) A.π2cos 234x y ?? =+- ??? B.π2cos 234x y ?? =-+ ??? C.π2cos 2312x y ?? =-- ??? D.π2cos 2312x y ?? =++ ??? (湖北文9) 设(43)=,a , a 在 b 上的投影为2 ,b 在x 轴上的投影为2,且||14≤b ,则b 为( B ) A .(214), B .227? ?- ???, C .227??- ??? , D .(28), (湖南4) 设,a b 是非零向量,若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线,则必有( A ) A .⊥a b B .∥a b C .||||=a b D .||||≠a b (湖南文2) 若O E F ,,是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( B ) A .EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B .EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C .EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D .EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r (四川7) 设A {a ,1},B {2,b },C {4,5},为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若方向 在与→ →→OC OB OA 上的投影相同,则a 与b 满足的关系式为 ( A ) (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a (天津10) 设两个向量22 (2cos )λλα=+-,a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ,b ,其中m λα,,为实数.若2=a b ,则 m λ 的取值范围是( A ) A.[-6,1] B.[48], C.(-6,1] D.[-1,6] (浙江7)
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法