解析几何中的对称问题答案

解析几何中的对称问题答案

2007-11-16

1、D

2、 A 3．B 4.C 5．C 6.C 7.C 8.A 9.B 10、B

3．B ．因为入射光线必过点P 所以将点P 坐标代入可排除A.C 即而求出点Q 关于直线x+y+1=0的对称点Q ’(-2,-2)则入射光线的斜率为4

5

'=

PQ k 可选B 。 4.C 点(7，3)与点(m ，n)关于直线y =x+2对称，∴m =1，n =9.

5．C 由1l 过定点(0,2)M 知：直线2l 恒过M 关于直线1y x =+的对称点(1,1)，选C 。 7．解析：选C ．设直线AB 的方程为y x b =+，由

22123

301y x x x b x x y x b

?=-+?++-=?+=-?

=+?，进而可求出AB 的中点11

(,)22

M b --+，又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，

由弦长公式可求出AB ==本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．

11．y=3x －10 12．2x －y + 5=0

13．2

2

46492200x x y -++= 14 ．2

2

228110x y y x -+--= 15．椭圆上两点(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，相减得

31212()()x x x x +-+412()y y +()y y 120-=。

又x x x =

+122，y y y =+122

，k y y x x =--=-1

2121

4，代入得y x =3。 又由y x

y x m

==+??

?34解得交点(,)--m m 3。

交点在椭圆内，则有 ()()-+-

1。 得-<<21313213

13m 。 16．两点所在直线y m =-

+22与y mx =联立求出交点(,)-+-+m m m 2222

，代入抛物线内，

有()-++<-++m m m m 2212

212，解得-<<20m 。 17

．11,,00,3223k 骣骣骣珑鼢珑鼢???热+?珑鼢珑鼢珑鼢珑鼢桫桫珑桫

桫 18．设抛物线上关于直线x+y=1对称的两点是M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)，设直线MN 的方程为y=x+b.

代入抛物线方程，得：x 2+(2b-2p)x+b 2=0.则x 1+x 2=2p-2b,y 1+y 2=( x 1+x 2)+2b=2p.则MN 的中点P 的坐标为 (p-b,p).因为点P 在直线x+y=1上，所以2p- b=1，即b=2p-1。

又 =(2b-2p)2-4b 2=4p 2-8bp>0,将b=2p-1代入得:4p 2-8p(2p-1)>0,3p 2-2p<0.解得： 0

3

2. 19．分析一 根据椭圆的定义，长轴长2a=｜MF 1｜+｜MF 2｜，从建立目标函数考虑，可设点M 的坐标为（t ，6-t ），设F 1（-2，0）， F 2（2，0），则可建立2a 的目标函数。

但这时求函数2a 的最小值还很麻烦。

分析二 如图13-11，根据椭圆的定义，椭圆的长轴最短，就是椭圆与l 的公共点M 到焦点F 1和F 2的距离之和最短，若设椭圆和直线l 相切，那么除切点外的任何点都在椭圆外，到两焦点的距离之和均大于长轴，所以M 应为切点，椭圆应通过此切点。

解法一 由已知，a 2=9，b 2=5，

∴ c=2，即两椭圆的公共焦点F 1（-2，0）和F 2（2，0）。

n 2x 2 + m 2（6-x ）2=m 2n 2

由已知，应有n 2=m 2-4，代入整理，得（2m 2-4）x 2-12m 2x+40m 2-m 4=0

由于直线l 应与此椭圆相切，必须且只需Δ=144m 4-4（2m 2-4）（40m 2-m 4）=0 整理此方程，得 m 4-24m 2+80=0（m 2-20）（m 2-4）=0

∴m 2=20或m 2=4，但n 2=m 2-4=0不合题意，只有m 2=20，且n 2=m 2-4=16，

若存在椭圆c ′过直线l 的另一点M ′，由于M ′在椭圆外，则必有

｜M ′F 1｜+｜M ′F 2｜＞｜MF 1｜+｜MF 2｜

分析三 由于椭圆的长轴最短时，应有 ｜MF 1｜+｜MF 2｜最小，即M 点应为直线l 上距

F 1和F 2的距离之和为最短，据平面几何的等价命题可知，这个最短的距离和应是线段｜F 1F ′2｜的长，其中F ′2是F 2关于直线l 的轴对称点，故可得解法二。

解法二 如图13-12，设F 2（2，0）关于直线l 的对称点/2F

①

又应有F 2F ′2⊥l ，则有 ②

应有 ｜MF 1｜+｜MF 2｜=｜MF 1｜+｜MF ′2｜=｜F 1F ′2｜=2a

又由c=2得b 2=a 2-c 2=16，

20.

22

2

215

3

x y -= 21．解：（Ⅰ）( i ) 当0=k 时,此时A 点与D 点重合, 折痕所

在的直线方程2

1=y ，

( ii ) 当0≠k 时，设A 点落在线段DC 上的点)1,(0x A '，

C

D

y

)20(0≤≤x ，则直线A O '的斜率0

01x A k =

'， ∵,A O '折痕所在直线垂直平分 ∴1-=?'k k A O ，∴

11

-=?k x ，∴k x -=0 又∵折痕所在的直线与A O '的交点坐标（线段A O '的中点）为)2

1,2(k M -

， ∴折痕所在的直线方程)2

(21k x k y +=-，即21

22k y kx =++，

由( i ) ( ii )得折痕所在的直线方程为：21

22

k y kx =++)02(≤≤-k

（Ⅱ）折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为)0,21

(,)21,0(22k

k F k E +-+

由（Ⅰ）知，0x k -=，∵200≤≤x ，∴02≤≤-k ，

设折痕长度为d ，所在直线的倾斜角为θ，

( i ) 当0=k 时，此时A 点与D 点重合, 折痕的长为2 ； ( ii )当02<≤-k 时，

设k k a 212+-=，2

1

2+=k b ，

20=≤AB a 时，l 与线段BC 相交，此时032<<+-k ， 10≤b 时，l 与线段DC 相交，此时12-<≤-k ，

∴将k 所在的分为３个子区间：

①当12-<≤-k 时，折痕所在的直线l 与线段DC 、AB 相交，

折痕的长11

||11||1|

sin |1

222

+=+=+=

=k

k k k k d θ，∴225<≤d ， ②当321+-≤≤-k 时，折痕所在的直线l 与线段AD 、AB 相交，

折痕的长4

3

41434)2

1()21(2242

222+++=+++-=k k k k k k d 令0)(≥'x g ，即021

2333≥-+

k

k k ，即013246≤-+k k ， 即 0)2

1()1(222≤-+k k ，

∵321+-≤≤-k ，∴解得3222

+-≤≤-

k 令0)(≤'x g ， 解得 2

21-

≤≤-k ， 故当221-

≤≤-k 时，)(x g 是减函数，当322

2

+-≤≤-k 时，)(x g 是增函数，

∵2)1(=-g ，)348(4)32(-=+-g ， ∴)32()1(+

-<-g g ，

∴当32+-=k 时，)348(4)32(-=+-g ，

)26(23482)32(-=-=+-=g d ，

∴当321+

-≤≤-k 时， )26(2-≤d ，

③当032<<+-k 时，折痕所在的直线l 与线段AD 、BC 相交， 折痕的长22

12112|

cos |2k k d +=+=

=

θ，

∴

34822-<

综上所述得，当32+-=k 时，折痕的长有最大值，为)26(2-． 22．（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B

的坐标分别是2

222222.

,

,1,).,0(),0,(b a c a b y c x b y a

x a ex y a e a +=?????=-=?????=++=-这里得由.

所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a e a

a b e a c λλ=+-=得

即 证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标

分别是).,0(),0,(a e a -设M 的坐标是),,(),(),,(0000a e

a

y e a x AB AM y x λλ=+=得由

所以?????=-=.)

1(00a y e

a x λλ 因为点M 在椭圆上，所以 ,122

0220=+b y a x 即.11)1(,1)()]1([2

2222222

=-+-=+-e e b a a e a

λλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e 解得.1122e e -=-=λλ

即

（Ⅱ）当4

3

=

λ时，21=c ，所以.2c a = 由△MF 1F 2的周长为6，得.622=+c a

所以.3,1,22

2

2

=-===c a b c a 椭圆方程为.13

42

2=+y x （Ⅲ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三

角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即

.||2

1

1c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由

,1||1|0)(|||21221c e

ec a e a c e d PF =+-=+++-==

得

.112

2

e e e =+- 所以.32

1,3122=-==e e λ于是

即当,3

2

时=

λ△PF 1F 2为等腰三角形. 23．（I ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=2

2

3,3)1(y x x k y 代入，整理得

.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①

设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根，

0])3(3)3([422>--+=?∴k k λ ②

221a a c e e e b a a l l l ì??-=???=-í??=????

解得

)3,1(.3

)

3(2221N k k k x x 由且+-=

+是线段AB 的中点，得

.3)3(,12

22

1+=-∴=+k k k x x 解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A

.0))(())((33,

3212121212

2222121=+-++-??????=+=+y y y y x x x x y x y x λ

λ 依题意，.)

(3,2

12121y y x x k x x AB ++-

=∴≠

.

04),1(3).

,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+?>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλΘ

（II ）解法1：.02,13,=---=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分Θ代入椭圆方程，整理得

.04442=-++λx x ③

是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根，

).

2

3,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+∴M x y x x x x x 即且

于是由弦长公式可得

).3(2||)1

(1||432-=-?-+=λx x k

CD ④

将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x

.016842=-+-λx x ⑤

同理可得

.)12(2||1||212-=-?+=λx x k AB ⑥

.||||.,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当Θ

假设在在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为

.2232

|

42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

.|2

|2321229|2|

||||2

2222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2|

|CD 为半径的圆上.

（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：

A 、

B 、

C 、

D 共圆?△ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|||||2

DN CN AN ?=?

).2

|

|)(2||()2||(

2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边=.212

-λ

由④和⑦知，⑧式右边=)22

32)3(2)(2232)3(2(--+-λλ ,2

12

292

3

-=-

-=

λλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆 解法2：由（II ）解法1及12>λ.

,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分Θ代入椭圆方程，整理得

.04442=-++λx x ③

将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程，整理得

.016842=-+-λx x ⑤

解③和⑤式可得 .2

3

1,2122,4,321-±-=-±-

λλx x

不妨设)2

33,2

31(),2

33,2

31(),122

13,122

11(-+-+---------+λλλλλλD C A

∴)2

1233,23123(

---+-+-+=λλλλ

)2

12

33,23123(

-------+=λλλλ

计算可得0=?DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上. 又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆.

（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）

24．解：（I ）由题意设双曲线方程为122

22=-b

y a x ，

把（1，3）代入得

13122=-b

a ① ……1分 又x y 522

=的焦点是（

25，0），故双曲线的4

52

22=+=b a c ……2分 与①联立，消去2

b 可得0521424=+-a a ，0)5)(14(2

2

=--a a

∴ 4

12

=

a ，52

=a （不合题意舍去） 于是12

=b ，∴ 双曲线方程为142

2

=-y x ……3分

（II ）由??

?=-+=1

41

2

2y x kx y 消去y 得022)4(2

2=---kx x k ②

当0>?,即2222<<-k （2±≠k ）时，

l 与C 有两个交点A 、B ……5分设A （1x ，1y ）

，B （2x ，2y ）， 因⊥，故0=?，即02121=+y y x x ， ……6分

由②知22142k k x x -=

+，2

2142

k x x --=， 代入可得014242422

22

2=+-?+--?+--k

k k k k k 化简得22=k ，∴ 2±=k ， 检验符合条件，故当2±=k 时，⊥ ……8分

（III ）若存在实数k 满足条件，则必须121212121(1)

()2

(2)(3)

22

km y y k x x y y x x m ?

?=-?

+=++??++?=?? ……10分 由（2），（3）得2)()(2121++=+x x k x x m （4）

把2

2142k k

x x -=

+代入（4）得4=mk ……11分

这与（1）的1-=mk 矛盾，故不存在实数k 满足条件 ……12分 25．(1)证明：由抛物线的光学性质及题意知

光线PQ 必过抛物线的焦点F (2

p

，0)， 设直线PQ 的方程为y =k (x －2

p

)

①

由①式得x =k 1y +2

p ,将其代入抛物线方程y 2=2px 中，整理，得y 2－k p 2y －p 2=0,由韦达

定理，y 1y 2=－p 2.

当直线PQ 的斜率角为90°时，将x =

2

p

代入抛物线方程，得y =±p ,同样得到y 1·y 2= －p 2.

(2)解：因为光线QN 经直线l 反射后又射向M 点，所以直线MN 与直线QN 关于直线l 对称，设点M (

4

41

，4)关于l 的对称点为M ′(x ′,y ′)，则 ????

????

?=-+'?-+'?-=?-'-'0172442441212

1

4414y x x y 解得?????-='='1451y x 直线QN 的方程为y =－1,Q 点的纵坐标y 2=－1，

由题设P 点的纵坐标y 1=4，且由(1)知：y 1·y 2=－p 2,则4·(－1)=－p 2, 得p =2,故所求抛物线方程为y 2=4x .

(3)解：将y =4代入y 2=4x ,得x =4，故P 点坐标为(4，4) 将y =－1代入直线l 的方程为2x －4y －17=0,得x =2

13, 故N 点坐标为(

2

13

，－1) 由P 、N 两点坐标得直线PN 的方程为2x +y －12=0, 设M 点关于直线NP 的对称点M 1(x 1,y 1) ?????-==????

?????=-+++?-=-?--14101224244121)2(441

4

111111y x y x x y 解得则

又M 1(

41,－1)的坐标是抛物线方程y 2=4x 的解，故抛物线上存在一点(4

1

，－1)与点M 关于直线PN 对称.

26.解法一：由e =22

=a c ,得212

22=-a

b a ,从而a 2=2b 2,

c =b . 设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上.

则x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得，

(x 12

－

x 22)+2(y 12

－

y 22)=0,

.)

(2212

12121y y x x x x y y ++-=--

设AB 中点为(x 0,y 0),则k AB =－

002y x ,又(x 0,y 0)在直线y =21x 上，y 0=2

1

x 0,于是－002y x = －1,k AB =－1,设l 的方程为y =－x +1.

右焦点(b ,0)关于l 的对称点设为(x ′,y ′),

??

?-='='???????++'-='=-''

b y x b x y b

x y 11 1

22

1解得则 由点(1,1－b )在椭圆上，得1+2(1－b )2=2b 2,b 2=

8

9

,1692=a . ∴所求椭圆C 的方程为2

291698y x + =1,l 的方程为y =－x +1.

解法二：由e =21,222

22=-=a

b a a

c 得,从而a 2=2b 2,c =b . 设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =k (x －1), 将l 的方程代入C

的方程，得(1+2k 2)x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0,则

x 1+x 2=2

2

214k k +,y 1+y 2=k (x 1

－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =－

2

212k

k

+. 直线l ：y =21

x 过AB 的中点(2,22121y y x x ++),则2222122121k

k k k +?=+-,解得k =0，或k = －1.

若k =0,则l 的方程为y =0,焦点F (c ,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C

上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1),即y =－x +1,以下同解法一. 27.解：(1)由椭圆定义及条件知，2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得a =5,又c =4,所以b =22c a -=3.

故椭圆方程为9

252

2y x +

=1. (2)由点B (4,y B )在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=

59.因为椭圆右准线方程为x =4

25,离心率为54，根据椭圆定义，有|F 2A |=54(425－x 1),|F 2C |=54(4

25

－x 2)，

由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列，得

54(425－x 1)+54(425－x 2)=2×5

9,由此得出：x 1+x 2=8. 设弦AC 的中点为P (x 0,y 0),则x 0=2

2

1x x +=4.

(3)解法一：由A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)在椭圆上.

得??????=+?=+25

92592592592

2222121y x y x

①－②得9(x 12－x 22)+25(y 12－y 22)=0, 即9×)()2(25)2(

2

12

12121x x y y y y x x --?+++=0(x 1≠x 2) 将k x x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ (k ≠0)代入上式，得9×4+25y 0(－k

1)=0 (k ≠0)

即k =

36

25

y 0(当k =0时也成立). 由点P (4，y 0)在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m ,所以m =y 0－4k =y 0－

925y 0=－9

16y 0. 由点P (4，y 0)在线段BB ′(B ′与B 关于x 轴对称)的内部，得－59＜y 0＜5

9

,

所以－516＜m ＜5

16

.

解法二：因为弦AC 的中点为P (4,y 0)，所以直线AC 的方程为y －y 0=－k

1

(x －4)(k ≠0) ③

将③代入椭圆方程9252

2y x +

=1,得(9k 2+25)x 2－50(ky 0+4)x +25(ky 0+4)2－25×9k 2=0 所以x 1+x 2=25

9)4(502

0++k k =8,解得k =3625

y 0.(当k =0时也成立) (以下同解法一). 28．（1）设 ，则 ，即 ，得 ，或 因为 所以03>-v ，得8=v ，故 （2）由 ，得B （10，5），于是直线OB 方程： 由条件可知圆的标准方程为：10)1()3(2

2=++-y x

得圆心（3，1-），半径为10

设圆心（3，1-）关于直线OB 的对称点为（x ，y ），则 ，得 故所求圆的方程为

10

)3()1(22=-+-y x

①

②

20

AB OA AB OA ì?=??í?????u u u r u u u r

u u u r u u u r 22100430u v u v ì?+=?í?-=??68u v ì=??í?=??68u v ì=-??í?=-??{}43OB OA AB u v =+=+-u u u r u u u r u u u r ，{}

68AB =u u u r

，{}105

OB =u u u r ，1

2

y x =312022123x y y x ì+-??-???í?+?=-??-??13x y ì=??í?=??{}AB u v =u u u r ，

（3）设)(11y x P ，，)(22y x Q ，为抛物线上关于直线OB 对称的两点，则

，得 即21x x 、为方程 的两个相异实数则302

a

\D >? 29．解：（Ⅰ）设1F '的坐标为),(n m ，则

211-=+m n 且032

212=+--?n

m ．……2分 解得52,59=-=n m ， 因此，点 1F '的坐标为)5

2

,59(-． …………………4分

（Ⅱ）11PF F P ='Θ，根据椭圆定义， 得||||||22121F F PF F P a '=+'=22)05

2

()159(22=-+--=

，……………5分 2=∴a ，112=-=b ．

∴所求椭圆方程为1222

=+y x ． ………………………………7分 （Ⅲ）22

=c

a Θ，∴椭圆的准线方程为2±=x ． …………………………8分 设点Q 的坐标为)32,(+t t )22(<<-t ,1d 表示点Q 到2F 的距离，2d 表示点Q 到椭圆的右准线的距离． 则10105)32()1(2221++=++-=

t t t t d ，22-=t d ．

22221)

2(225210105-++?=-++=t t t t t t d d ， ……………………………10分 令2

2)

2(22)(-++=t t t t f )22(<<-t ，则3

422)

2()

86()2()2(2)22()2()22()(-+-=--?++--?+='t t t t t t t t t f ， Θ当0)(,342<'-<<-t f t ，0)(,234>'<<-t f t ， 34

-=t ，0)(='t f ．

∴ )(t f 在3

4

-=t 时取得最小值． ………………………………13分

121212

1220222x x y y y y x x ì++??-=?

??í-??=-??-?

?121222522x x a a x x a ì??+=-??í?-?=????2

22

5202a x x a a -++=

因此，

21d d 最小值＝22)34(5=-?f ，此时点Q 的坐标为)3

1,34(-．…………14分

注：)(t f 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．

30．(1)离心率e 的取值范围是

12

2

<≤e . （2）①当离心率e 取最小值22时，椭圆方程可表为22

2

22b

y b x +=1 设),(y x H 是椭圆方程上的一点，则182)3()3(22222

+++-=-+=b y y x HN

，其中

b y b ≤≤-.

若30<

NH 有最大值50962=++b b ，所以由50962

=++b b 解得253±-=b （均舍去）

若3≥b ，则当3-=y 时，2

NH 有最大值1822

+b ，所以由1822

+b =50解得162

=b

所求椭圆方程为

116

322

2=+y x . ②设),(),,(),,(002211y x Q y x B y x A ,则由?????

??=+=+116

32116

322

2222

121y x y x 两式相减得0200=+ky x ①

又直线PQ ⊥直线l ，所以PQ 的方程3

3

1--

=x k y ，将),(00y x Q 代入得3

3

100--

=x k y ②由①②解得)33

,332(k Q -，而点Q 必在椭圆的内部，所以116

322

02

0<+y x ，由此得2

47

2<

k ，又0≠k ，所以0294<<-k 或2940<

94

,0()0,294(?-

∈k 时，A 、B 两点关于过点P 、Q 的直线对称