高三数学数列的概念测试题 百度文库
一、数列的概念选择题
1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．174
B ．184
C ．188
D ．160
2．已知数列{}n a 满足12a =，11
1n n
a a +=-，则2018a =（ ）. A ．2
B ．
12 C ．1-
D ．12
-
3．在数列{}n a 中，10a =
，1n a +，则2020a =（ ）
A ．0
B ．1
C
．D
4．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ?∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．数列{}n a 满足()1
1121n n n a a n ++=-+-，则数列{}n a 的前48项和为（ ）
A ．1006
B ．1176
C ．1228
D ．2368
6．已知数列{}n a ，若(
)12*
N
n n n a a a n ++=+∈，则称数列{}n
a 为“凸数列”.已知数列{}
n
b 为“凸数列”，且11b =，22b =-，则数列{}n b 的前2020项和为（ ） A ．5
B ．5-
C ．0
D ．1-
7．已知数列{}n a 的通项公式为23n
n a n ??= ???
，则数列{}n a 中的最大项为（ ） A ．
89
B ．
23
C ．
6481
D ．
125
243
8．数列{}n a 满足 112a =，111n n
a a +=-，则2018a 等于( )
A ．
1
2
B ．－1
C ．2
D ．3
9．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y R ∈，都有
()()()f x f y f x y ?=+，若112
a =
，()()
*
n a f n n N =∈，则数列{}n a 的前n 项和n S
应满足（ ） A ．
1324
n S ≤< B ．
3
14
n S ≤< C ．102
n S <≤
D ．
1
12
n S ≤< 10．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）
（注：()()
2222
1211236
n n n n ++++++=
） A ．1624
B ．1198
C ．1024
D ．1560
11．数列{}n a 中，()1121n
n n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32
B ．36
C ．38
D ．40
12．设数列{},{}n n a b 满足*172
700,,105
n n n n n a b a a b n N ++==+∈若6400=a ，则（ ） A ．43a a >
B ．43
C ．33>a b
D ．44 13．若数列{a n }满足1112,1n n n a a a a ++==-，则2020a 的值为（ ） A ．2 B ．－3 C ．12 - D ． 13 14．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时， 12n n n a a a --=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被 4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为（ ） A ．24 B ．26 C ．28 D ．30 15．已知数列2 65n a n n =-+则该数列中最小项的序号是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 16．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且11 3 a =，则{}n a 的前2021项之积为（ ） A ． 23 B ． 13 C ．2- D ．3- 17．数列1111 ,,, 57911 --，…的通项公式可能是n a =（ ） A ．1(1)32n n --+ B ．(1)32n n -+ C ．1(1)23n n --+ D ．(1)23 n n -+ 18．已知数列{}n a 满足1N a * ∈，1,2+3,n n n n n a a a a a +??=???为偶数为奇数 ，若{}n a 为周期数列，则1a 的 可能取到的数值有（ ） A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．无数个 19．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A ．201920212S F =+ B ．201920211S F =- C ．201920202S F =+ D ．201920201S F =- 20．若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有1n n a a +=成立，则称数列 {}n a 为周期数列，周期为T ． 已知数列{}n a 满足()111,1 0,{1 ,01n n n n n a a a m m a a a +->=>=<≤ ，则下列结论错误的是（ ） A ．若34a =，则m 可以取3个不同的数； B ．若m = ，则数列{}n a 是周期为3的数列； C ．存在m Q ∈，且2m ≥，数列{}n a 是周期数列； D ．对任意T N *∈且2T ≥，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列． 二、多选题 21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54 C ．S 2020＝a 2022－1 D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋ a 2021＝a 2022 22．已知数列0,2,0,2,0,2, ，则前六项适合的通项公式为（ ） A ．1(1)n n a =+- B ．2cos 2 n n a π= C ．(1)2sin 2 n n a π += D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+-- 23．设数列{}n a 满足11 02 a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ． 21 12 a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312 a << D ． 20203 14 a << 24．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ） A ．0,2,n n a n ?=? ? 为奇数 为偶数 B ．1(1)1n n a -=-+ C ．2sin 2 n n a π = D ．cos(1)1n a n π=-+ 25．若数列{}n a 满足112,02 121,1 2 n n n n n a a a a a +? ≤≤??=??-< （ ） A ． 1 5 B ． 25 C ． 45 D ． 65 26．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足140(2)n n n a S S n -+=≥，114 a =，则下列说法错误的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B ．数列{}n a 的通项公式为1 4(1) n a n n =+ C ．数列{}n a 为递增数列 D ．数列1n S ?? ? ??? 为递增数列 27．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ） A ．数列{}n a 的公差d <0 B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10 C ．S 10>0 D ．S 11>0 28．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ） A ．1:17:2a d =- B ．180S = C ．当0d >时，6140a a +> D ．当0d <时，614a a > 29．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ） A ．12 d = B ．12 d =- C ．918S = D ．936S = 30．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ） A ．若100S =，则50a >，60a <； B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15； C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大； D ．若89S S <，则78S S <. 31．已知数列{}2n n a n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（ ） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6 D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列 32．（多选题）在数列{}n a 中，若22 1n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称 {}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{} 2 n a 是等方差数列 B ． (){}1n -是等方差数列 C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列 D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 33．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a d +=+（d 为常数） B ．数列{}n a -是等差数列 C ．数列1n a ?? ? ??? 是等差数列 D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项 34．数列{}n a 满足11,121 n n n a a a a += =+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ?? ???? 是等差数列 B ．数列1n a ?????? 的前n 项和2 n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列 35．无穷数列{}n a 的前n 项和2 n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ） A ．{}n a 可能为等差数列 B ．{}n a 可能为等比数列 C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列 D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、数列的概念选择题 1．A 解析：A 【分析】 根据已知条件求得11n n n a a -=--，利用累加法求得19a . 【详解】 依题意： 3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5, 6, 所以11n n n a a -=--（2n ≥），且13a =， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+ +-+ ()()12213n n =-+-+ +++ ()()()1111332 2 n n n n -+--=+=+. 所以191918 31742 a ?=+=. 故选：A 【点睛】 本小题主要考查累加法，属于中档题. 2．B 解析：B 【分析】 利用递推关系可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，从而可得2018a . 【详解】 在数列{}n a 中， 11 1n n a a +=-，且12a =， 211112 a a ∴=- =， 32 1 1121a a =- =-=- ， ()413 1 1112a a a =- =--== ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列， 201867232=?+， 201821 2 a a ∴==. 故选：B 【点睛】 本题考查了由数列的递推关系式研究数列的性质，考查了数列的周期性，属于基础题. 3．A 解析：A 【分析】 写出数列的前几项，找寻规律，求出数列的周期，问题即可解. 【详解】 10a = ，1n a +1n = 时，2a 2n = 时，3a 3n = 时，4a ； ∴ 数列{}n a 的周期是3 20206733110a a a ?+∴=== 故选：A. 【点睛】 本题考查周期数列. 求解数列的周期问题时，周期数列的解题方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和. 4．A 解析：A 【分析】 根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 {}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ， 充分性： 1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >， 0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时， 10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意； 若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意. 所以，“*n N ?∈，1n n S S +>”?“{}n a 为递增数列”； 必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列. 所以，“*n N ?∈，1n n S S +>”?/“{}n a 为递增数列”. 因此，“*n N ?∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题． 5．B 解析：B 【分析】 根据题意，可知() 1 1121n n n a a n ++--=-，分别列出各项，再整理得出132a a +=， 248a a +=，572a a +=，6824a a +=， ，45472a a +=，4648184a a +=，可知， 相邻的奇数项之和为2，相邻的偶数项之和为等差数列，首项为8，公差为16，利用分组 求和法，即可求出{}n a 的前48项和. 【详解】 解：由题可知，()1 1121n n n a a n ++=-+-， 即：() 1 1121n n n a a n ++--=-，则有： 211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=， 659a a -=，7611a a +=，8713a a -=，9815a a +=， ， 474691a a +=，484793a a -=. 所以，132a a +=，248a a +=，572a a +=，6824a a +=， ， 45472a a +=，4648184a a +=， 可知，相邻的奇数项之和为2，相邻的偶数项之和为等差数列，首项为8，公差为16， 设数列{}n a 的前48项和为48S ， 则4812345645464748S a a a a a a a a a a =++++++ ++++， ()()1357454724684648a a a a a a a a a a a a =++++ +++++++++ 1211 1221281611762 ?=?+?+ ?=， 所以数列{}n a 的前48项和为：1176. 故选：B. 【点睛】 本题考查数列的递推公式的应用，以及利用分组求和法求和，考查归纳思想和计算能力. 6．B 解析：B 【分析】 根据数列的递推关系可求得数{}n b 的周期为6，即可求得数列{}n b 的前2020项和. 【详解】 ()* 21N n n n b b b n ++=-∈，且11b =，22b =-， ∴345673,1,2,3,1,b b b b b =-=-=== ∴{}n b 是以6为周期的周期数列，且60S =， ∴20203366412345S S b b b b ?+==+++=-， 故选：B. 【点睛】 本题考查数列的新定义、数列求和，考查运算求解能力，求解时注意通过计算数列的前6项，得到数列的周期. 7．A 解析：A 【分析】 由12233n n n n a a +-?? -=? ??? ，当n <2时，a n ＋1－a n >0，当n <2时，a n ＋1－a n >0，从而可得 到n ＝2时，a n 最大. 【详解】 解：112222(1)3333n n n n n n a a n n ++-??????-=+-=? ? ? ????? ??， 当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1a 4>a 5>…>a n ， 所以数列{}n a 中的最大项为a 2或a 3，且2328239 a a ??==?= ???. 故选：A . 【点睛】 此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题. 8．B 【分析】 先通过列举找到数列的周期，再求2018a . 【详解】 n=1时，234511 121,1(1)2,1,121,22 a a a a =-=-=--==- ==-=- 所以数列的周期是3，所以2018(36722)21a a a ?+===-. 故选：B 【点睛】 本题主要考查数列的递推公式和数列的周期，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 9．D 解析：D 【分析】 根据题意得出111 2 n n n a a a a +== ，从而可知数列{}n a 为等比数列，确定该等比数列的首项和公比，可计算出n S ，然后利用数列{}n S 的单调性可得出n S 的取值范围. 【详解】 取1x =，( ) y n n N * =∈，由题意可得()()()111 112 n n n a f n f f n a a a +=+=?== ， 11 2n n a a +∴ =，所以，数列{}n a 是以12为首项，以12 为公比的等比数列， 11112211212n n n S ?? - ??? ∴==--，所以，数列{}n S 为单调递增数列，则11n S S ≤<，即 1 12 n S ≤<. 故选：D. 【点睛】 本题考查等比数列前n 项和范围的求解，解题的关键就是判断出数列{}n a 是等比数列，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 10．C 解析：C 【分析】 设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，则 n c n =，依次用累加法，可求解. 设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ， 设{}n c 的前n 项和为n C ，易得n c n =， ()()()111121n n n n n n n C c c c b b b b b b +----=++ +=++++- 所以11n n b b C +=-，1213b a a -== 22n n n C +=，进而得21332n n n n b C ++=+=+， 所以()211 33222n n n n b n -=+=-+， ()()()() 222 111 1 1212332 2 6 n n n n B n n n n +-=++ +-++ ++=+ 同理：()()()111112n n n n n n n B b b b a a a a a a +---=++ +=+++-- 11n n a a B +-= 所以11n n a B +=+，所以191024a =. 故选：C 【点睛】 本题考查构造数列，用累加法求数列的通项公式，属于中档题. 11．B 解析：B 【分析】 根据所给数列表达式，递推后可得() 1 21121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以 () 1n -后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入 即可求解. 【详解】 由已知()1121n n n a a n ++-=-，① 得() 1 21121n n n a a n ++++-=+，② 由()1n ?-+①②得()()()212121n n n a a n n ++=-?-++， 取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=， 故81234836S a a a a a =++++???+=. 故选：B. 【点睛】 本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题. 12．C 【分析】 由题意有13 28010 n n a a +=+且6400=a ，即可求34,a a ，进而可得34,b b ，即可比较它们的大小. 【详解】 由题意知：13 28010 n n a a += +，6400=a ， ∴345400a a a ===，而700n n a b +=， ∴34300b b ==， 故选：C 【点睛】 本题考查了根据数列间的递推关系比较项的大小，属于简单题. 13．D 解析：D 【分析】 分别求出23456,,,,a a a a a ，得到数列{}n a 是周期为4的数列，利用周期性即可得出结果. 【详解】 由题意知，212312a +==--，3131132a -==-+，41 1121312a - ==+，5 1132113 a + ==-，612312 a +==--，…， 因此数列{}n a 是周期为4的周期数列， ∴20205054413 a a a ?===. 故选D. 【点睛】 本题主要考查的是通过观察法求数列的通项公式，属于基础题. 14．B 解析：B 【分析】 先写出新数列的各项，找到数列的周期，即得解. 【详解】 由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ， 此数列的各项求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，则其周期为6， 其中1+1+2+3+1+0=8， 则201819201812S S b b S b b =++=++381126=?++=， 故选：B. 15．A 解析：A 【分析】 首先将n a 化简为()2 34n a n =--，即可得到答案。 【详解】 因为() ()2 2 69434n a n n n =-+-=-- 当3n =时，n a 取得最小值。 故选：A 16．B 解析：B 【分析】 由111n n n n a a a a ++-=+，且1 13a =，可得：111n n n a a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论. 【详解】 因为111n n n n a a a a ++-=+，且11 3 a =， 所以111n n n a a a ++= -， 21 132113 a + ∴==-，33a =-，412a =-，513a =，??， 4n n a a +∴=. 123411 ···2(3)()132 a a a a ∴=??--??=. 则{}n a 的前2021项之积50511 133 =?=. 故选：B 【点睛】 方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解. 17．D 解析：D 【分析】 根据观察法，即可得出数列的通项公式. 【详解】 因为数列1111 ,,, , (57911) --可写成 ()()()()234 2322311111,1,1,12,..24.333 -? -?-?+?+?+?+-?， 所以其通项公式为(1)(1)23213 n n n a n n -=-= ++?. 故选：D. 18．B 解析：B 【分析】 讨论出当1a 分别取1、2、3、4、6时，数列{}n a 为周期数列，然后说明当19a ≥时，分1a 为正奇数和正偶数两种情况分析出数列{}n a 不是周期数列，即可得解. 【详解】 已知数列{}n a 满足1N a * ∈，1,2 +3,n n n n n a a a a a +??=???为偶数为奇数 . ①若11a =，则24a =，32a =，41a =，54a =， ，以此类推，可知对任意的 n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列； ②若12a =，则21a =，34a =，42a =，51a =， ，以此类推，可知对任意的 n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列； ③若13a =，则26a =，33a =，46a =， ，以此类推，可知对任意的n *∈N ， 2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列； ④若14a =，则22a =，31a =，44a =，52a =， ，以此类推，可知对任意的 n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列； ⑤若15a =，则28a =，34a =，42a =，51a =，64a =，，以此类推，可知对任意 的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑥若16a =，则23a =，36a =，43a =， ，以此类推，可知对任意的n *∈N ， 2n n a a +=， 此时，{}n a 为周期数列； ⑦若17a =，则210a =，35a =，48a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2 n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑧若18a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2 n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列. 下面说明，当19a ≥且1N a * ∈时，数列{}n a 不是周期数列. （1）当( 34 12,2a ?∈? 且1N a * ∈时，由列举法可知，数列{}n a 不是周期数列； （2）假设当( ()1 12,23,k k a k k N +*?∈≥∈? 且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列，那么当( ()1 212 ,23,k k a k k N ++* ?∈≥∈? 时. 若1a 为正偶数，则(11 22,22 k k a a +?= ∈?，则数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，从而可知，数列{}n a 不是周期数列； 若1a 为正奇数，则( (1 213 2132 3,232,2k k k k a a ++++??=+∈++???且2a 为偶数， 由上可知，数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，进而可知数列{}n a 不是周期数列. 综上所述，当19a ≥且1N a * ∈时，数列{}n a 不是周期数列. 因此，若{}n a 为周期数列，则1a 的取值集合为{}1,2,3,4,6. 故选：B. 【点睛】 本题解题的关键是抓住“数列{}n a 为周期数列”进行推导，对于1a 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决． 19．B 解析：B 【分析】 利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=++++ +++，可得 21n n F S +=+，代入2019n =即可求解. 【详解】 由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和， 则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++ 1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++= 123211n n n n F F F F F F ---=++++ +++， 所以21n n F S +=+，令2019n =，可得201920211S F =-， 故选：B 【点睛】 关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+，利用迭代法得 出 21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，进而得出21n n F S +=+. 20．C 解析：C 【解析】 试题分析：A:当01m <≤时，由34a =得1;125m m = <≤时，由34a =得54 m =； 2m >时，()2311,,24a m a m =-∈+∞=-= 得6m = ；正确 . B: 234111,11,1,m a a a =>∴== ==> 所以3T =，正 确． C ：命题较难证明，先考察命题 D ． D ：命题的否定为“对任意的T N *∈，且2T ≥，不存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列”，而由B 显然这个命题是错误的，因此D 正确，从而只有C 是错误． 考点：命题的真假判断与应用． 【名师点睛】本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．此题首先要理解新定义“周期为T 的数列”，然后对A 、B 、C 、D 四个命题一一验证，A 、B 两个命题按照数列的递推公式进行计算即可，命题C 较难证明，但出现在选择题中，考虑到数学选择题中必有一个选项正确，因此我们先研究D 命题，并且在命题D 本身也很难的情况下，采取“正难则反”的方法，考虑命题D 的否定，命题D 的否定由命题B 很容易得出是错误的，从而命题D 是正确的． 二、多选题 21．BCD 【分析】 由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】 对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，，故B 正确； 对于C ，可 解析：BCD 【分析】 由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】 对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确； 对于C ，可得()112n n n a a a n +-=-≥， 则()()()()1234131425311++++ ++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=---- 即212++1n n n n S a a a a ++=-=-，∴202020221S a =-，故C 正确； 对于D ，由()112n n n a a a n +-=-≥可得， ()()()135202124264202220202022+++ +++++a a a a a a a a a a a a =---=，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】 本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，能根据数列性质利用累加法求解. 22．AC 【分析】 对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】 对于选项A ，取前六项得：，满足条件； 对于选项B ，取前六项得：，不满足条件； 对于选项C ，取前六项得：， 解析：AC 【分析】 对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】 对于选项A ，1(1)n n a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项B ，2cos 2 n n a π =取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin 2 n n a π +=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC 23．ABD 【分析】 构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】 由， 设， 则， 所以当时，， 即在上为单调递增函数， 所以函数在为单调递增函数， 即， 即， 所以 ， 解析：ABD 【分析】 构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】 由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102 a << 设()()ln 2f x x x =+-， 则()11122x f x x x -'=- =--， 所以当01x <<时，0f x ， 即()f x 在0,1上为单调递增函数， 所以函数在10,2?? ??? 为单调递增函数， 即()()102f f x f ??<< ??? ， 即()131 ln 2ln ln 1222 f x <<<+<+=， 所以()1 12 f x << ， 即 1 1(2)2 n a n <<≥， 所以 2112a <<，20201 12 a <<，故A 正确；C 不正确； 由()f x 在0,1上为单调递增函数， 1 12 n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 231 32131113ln(2)ln ln 222234 a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333 144 a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD 【点睛】 本题考查了数列性质的综合应用，属于难题. 24．BD 【分析】 根据选项求出数列的前项，逐一判断即可. 【详解】 解：因为数列的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设； 选项B ： ，符合题设； 选项C ：， 不符合题设； 选项D ： ，符合题设 解析：BD 【分析】 根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】 解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设； 选项B ：0 1(1)12,a =-+=1 2(1)10,a =-+= 23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设； 选项C ：，12sin 2,2 a π ==22sin 0,a π== 332sin 22 a π ==-不符合题设； 选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+= 3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设. 故选：BD. 【点睛】 本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 25．ABC 【分析】 利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】 数列满足，，依次取代入计算得， ，，，，因此继续下去会循环 解析：ABC 【分析】 利用数列{}n a 满足的递推关系及13 5 a = ，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】 数列{}n a 满足112,02 121,1 2n n n n n a a a a a +? ≤≤??=??-< 211215a a =-= ，32225a a ==，43425a a ==，5413 215 a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234 ,,,5555 . 故选：ABC. 【点睛】 本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题. 26．ABC 【分析】 数列的前项和为，且满足，，可得：，化为：，利用等差数列的通项公式可得，，时，，进而求出． 【详解】 数列的前项和为，且满足，， ∴，化为：， ∴数列是等差数列，公差为4， ∴，可得 解析：ABC 【分析】 数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），11 4 a =，可得：1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=，利用等差数列的通项公式可得1 n S ，n S ，2n ≥时，()() 111144141n n n a S S n n n n -=-= -=---，进而求出n a ． 【详解】 高三数学专题练习1 集合的概念与运算 小题基础练① 一、选择题 1．[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝() A．{3} B．{5} C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7} 答案：C 解析：A∩B＝{1,3,5,7}∩{2,3,4,5}＝{3,5}．故选C. 2．[2018·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则?R A＝() A．{x|－1 A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．无穷多个 答案：B 解析：因为A ＝{x |0 一、 集合的概念 1． 集合：某些指定的对象集在一起成为集合． 集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ?； 2． 集合的性质： 确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； 二、 集合的表示：表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 1． 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,}L 2． 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内． 例如：大于3的所有整数表示为：{|3}x x ∈>Z 方程2250x x --=的所有实数根表示为：{x ∈R |2250x x --=} 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线， 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元 素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法． 3． 常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作*N 或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R ． 三、 集合之间的关系 1． 若集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）； 2． 简单性质：1）A ?A ；2）??A ；3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ； 3． 真子集关系：对于两个集合A 与B ，若A B ?且．A B ≠，则集合A 是集合B 的真子集，记作 A B ü（或B A Y） 4． 相等关系：对于两个集合A 与B ，如果A B ?，且B A ? ，那么集合A 与B 相等，记作A B = 集合的概念及其关系 知识讲解 一、数列的概念选择题 1．已知数列{}n a 的通项公式为2 n a n n λ=-（R λ∈），若{}n a 为单调递增数列，则实 数λ的取值范围是（ ） A ．(),3-∞ B ．(),2-∞ C ．(),1-∞ D ．(),0-∞ 2．已知数列{}n a 中，11a =，23a =且对*n N ∈，总有21n n n a a a ++=-，则2019a =（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．3- 3．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若11 02 a <<，则（ ） A ．8972a a a +< B ．91082a a a +> C ．6978a a a a +>+ D ．71089a a a a +>+ 4．已知数列{}n a 的前n 项和为( )* 22n n S n =+∈N ，则3 a =( ) A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 5．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ） A ．()2 1n a n n =-- B ．2 1n a n =- C ．() 12 n n n a += D ．() 12 n n n a -= 6．若数列的前4项分别是 1111,,,2345 --，则此数列的一个通项公式为（ ） A ．1(1)n n -- B ．(1)n n - C ．1 (1)1 n n +-+ D ．(1)1 n n -+ 7．在数列{}n a 中，11 4 a =-，1 1 1(1)n n a n a -=- >，则2019a 的值为（ ） A ． 45 B ．14 - C ．5 D ．以上都不对 8．已知等差数列{}n a 中，13920a a a ++=，则574a a -=（ ） A ．30 B ．20 C ．40 D ．50 9．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y R ∈，都有 ()()()f x f y f x y ?=+，若112 a = ，()() * n a f n n N =∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 应满足（ ） A ． 1324n S ≤< B ．314n S ≤< C ．102 n S <≤ D ． 1 12 n S ≤< 10．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为（ ） A ．21n a n =- B ．()1(21)n n a n =-- 等比数列的概念教案 教学目标 1．理解等比数列的定义，并能以方程思想作指导，理解和运用它的通项公式． 2．逐步体会类比、归纳的思想，进一步培养学生概括、抽象思维等能力． 3．培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展． 教学重点和难点 重点：等比数列要领的形成及通项公式的应用． 难点：对要领的深刻理解． 教学过程设计 (一)引入新课 师：前面我们已经研究了一类特殊的数列──等差数列，今天我们一起研究第二类新的数列──等比数列． (板书)三等比数列 (二)讲解新课 师：等比数列与等差数列在名字上非常类似，只有一字之差，一个是差，一个是比，你能否仿照等差数列，举列说明你对等比数列的理解． (要求学生能主动的用类比思想，通过具体例子说明对概念的理解) 生：数列1，3，9，27，… 师：你为什么认为它是等比数列呢？ 生：因为这个数列相邻两项的比都是相等的，所以是等比数列． (先引导学生用自己的语言描述等比数列的特征，但暂时不作评论，以防限制其他学生的思维) 师：这是你对等比数列的理解，不过这个例子中的项是一项比一项大，能否再举一个一项比一项小的． 师：你对等比数列的理解呢？ 生：数列中每一项与前一项的比都是同一个常数． 师：他们对等比数列理解基本相同的，能否再换个样子，举一个例子． (若理解没有什么变化，就不必让学生再重复了) 师：下面再举例子又增加点要求，既然要去研究它，说明它一定有实际应用价值，那么能否再举一个生活中的等比数列例子． 生：如生物学中细胞分裂问题：1个细胞经过一次分裂变为2个细胞，这两个细胞再继续分裂成为4个细胞．这样分裂继续下去，细胞个数从1到2到4到8，把每次分裂后所得细胞个数排列好可形成一个数列1，2，4，8，16，…这个数列就是等比数列． 师：这个例子举得很好，不仅能够发现生活中的数学问题，还能把数学知识应用在其它学科，其实等比数列的应用是非常广泛的，说明它确有很高的研究价值． 说了这么多，也发现了等比数列的特征，能否试着给等比数列下个定义呢？ 生：如果一个数列的每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列就叫做等比数列． 师：作为定义这种叙述还有一点不足，为保证这样比都作得出来，这每一项应从数列的第二项起，否则第一项没有前一项，也就做不出这个比，调整之后，再找一位同学准确描述一下等比数列． 生：如果一个数列，从第二项起．每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列叫做等比数列． 师：好，就把它作为等比数列的定义记录下来． (板书)1．定义如果一个数列，从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，记作q． 一、等比数列选择题 1．已知数列{}n a 为等比数列，12a =，且53a a =，则10a 的值为（ ） A ．1或1- B ．1 C ．2或2- D ．2 2．数列{}n a 是等比数列，54a =，916a =，则7a =（ ） A ．8 B ．8± C ．8- D ．1 3．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若543264328a a a a +--=，则7696a a +的最小值为（ ） A ．12 B ．18 C ．24 D ．32 4．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则S n 取最大值时n 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．4或5 D ．5或6 5．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{} 2 n a 的前n 项和为n T ，若2 (1)0n n n S T λ-->对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ） A ．()3,+∞ B ．()1,3- C ．93,5?? ??? D ．91,5? ?- ?? ? 6．已知数列{}n a 满足112a = ，* 11()2 n n a a n N +=∈.设2n n n b a λ-=，*n N ∈，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．3 (1,)2 - C ．3(,)2 -∞ D ．(1,2)- 7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0 B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0 C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0 D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞0 8 的等比中项是（ ） A ．－1 B ．1 C D ．± 9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且63 9S S =，则42a a 的值为（ ） A B ．2 C ．D ．4 10．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()( )* 21n n n S a a n =+∈N ，且0n S >，记 数列{} 2n n a ?的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（ ） 第三章数列 ●网络体系总览 ●考点目标定位 1.知识要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；了解递推公式是给出一种数列的表示方法，并能写出数列的前n项.（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题. 2.能力要求：培养观察能力、化归能力和解决实际应用问题的能力. ●复习方略指南 本章在历年高考中占有较大的比重，约占10%～12%，特别是2002年共计26分，占17%，2003年共计21分，占14%，2004年26分，占17%.考题类型既有选择题，也有填空题和解答题，既有容易题，也有中档题，更有难题.由于等差数列和等比数列在内容上是平行的，所以在复习时要应用对比去认识、理解、掌握数列知识. 纵观近几年的高考试题，可发现如下规律： 1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有. 2.数列中a n与S n之间的互化关系也是高考的一个热点. 3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用. 4.解答题的难度有逐年增大的趋势. 因此复习中应注意： 1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等. 2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算. 3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等. 高三数学一轮复习（集合、常用逻辑用语01） 【复习课题】集合的概念及运算(1) 【复习要求】 1．了解集合的概念，理解子集、交集、并集、补集的概念；明确子集、真子集相等的定义及它们之间的区别与联系；弄清元素与集合、集合与集合的关系。 2．了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义。 3．掌握有关的术语和符号，会用它们正确表示一些简单的集合。 【复习过程】 (1)一般地，我们把研究对象统称为，把一些元素组成的总体叫做，简称． (2)集合中的元素有三个特点：①；②；③． (3)集合中元素与集合的关系分为和两种，分别用和来表示． 集合有三种表示方法：、、。 注意：区分集合中元素的形式：如：A＝{x|y＝2x＋2x＋1}；B＝{y|y＝2x＋2x＋1}；C＝{(x，y)|y＝2x＋2x＋1}；D＝{x|x＝2x＋2x＋1}；E＝{(x，y)|y＝2x＋2x＋1，x∈Z，y∈Z}；F＝{(x，y)|y＝2x＋2x＋1} 2．集合间的基本关系 (1)一般地，对于两个集合A、B，如，我们就说这两个集合有 包含关系，称集合A为集合B的子集，记作. (2)对于两个集合A、B，若且，则称集合A与集合B相等． (3)如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，我们称集合A是集合B的， 记作. 注意：条件为A?B，在讨论的时候不要遗漏了A＝φ的情况． (4)不含任何元素的集合叫做，记作，并规定：空集是任何集合的子集． 思考：{0}与φ有什么区别？ (5)若A含有n个元素，则A的子集个数为个，A的非空子集个数为个，A的非 空真子集个数为个． 3．集合的基本运算 (1)一般地，由所有的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集， 记作A∪B，即：A∪B＝． (2)一般地，由的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作 A∩B，即：A∩B＝． (3)如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为，通常 记作. (4)对于一个集合A，由全集U中的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集，记作?UA，即?UA＝． (5)A∩B＝A?，A∪B＝A?. 4．集合的运算性质 A∪φ＝，A∪A＝，A∪B＝， A∩φ＝， A∩A＝，A∩B＝， A∪(?UA)＝，A∩(?UA)＝，?U(?UA)＝. 1．由实数33 2, |, |, ,x x x x x- -组成的集合中，最多含有元素个 2．集合{x|x>1且x≤3，x∈N}中的元素有 3．已知集合S＝{x|x≤5 2}，又a＝3，则a与S的关系为 4．设集合A＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝n＋1，n∈Z}，则集合A，B的关系是 5．已知集合M＝{x|－3 知识清单 1．数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。 例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈）， 数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。 说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=? ； ③不是每个数列 都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 （5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 （6） 数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 课前预习 1．根据数列前4项，写出它的通项公式： （1）1，3，5，7……； （2）2212-，2313-，2414 -，2515-； （3）11*2-，12*3 ，13*4-，1 4*5。 2．数列{}n a 中，已知21 ()3 n n n a n N ++-= ∈， 2018年考试大纲解读 函数的概念与基本初等函数 考纲原文 （十二）数列 1．数列的概念和简单表示法 （1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）. （2）了解数列是自变量为正整数的一类函数. 2．等差数列、等比数列 （1）理解等差数列、等比数列的概念. （2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式. （3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. （4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 名师解读 与2017年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在2018年的高考中预计仍会以“两小或一大”的格局呈现. 如果是以“两小”（选择题或填空题）的形式呈现，一般是一道较容易的题，一道中等难度的题，较易的题主要以等差数列、等比数列的定义、通项公式、性质与求和公式为主来考查；中等难度的题主要以数列的递推关系、结合数列的通项、性质以及其他相关知识为主来考查. 如果是以“一大”（解答题）的形式呈现，主要考查从数列的前n 项和与第n 项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项，前n 项和，有时与参数的求解，数列不等式的证明等加以综合.试题难度中等. 样题展示 考向一 等差数列及其前n 项和 样题1 （2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =， 则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C 样题2 已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，且2315a a ?=，416S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11b a =，11 1 n n n n b b a a ++-=?. ①求数列{}n b 的通项公式； ②是否存在正整数m ，n （m n ≠），使得2b ，m b ，n b 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，则0d >． 由2315a a =，416S =，得()()111215 4616 a d a d a d +?+=+=?? ??， 解得112a d ==?? ?或17 2 a d ==-???（舍去）． 所以21n a n =-． 一、等比数列选择题 1 ． 12 的等比中项是（ ） A ．－1 B ．1 C D ．± 2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且63 9S S =，则42a a 的值为（ ） A B ．2 C ．D ．4 3．数列{}n a 是等比数列，54a =，916a =，则7a =（ ） A ．8 B ．8± C ．8- D ．1 4．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 77b a =，则3810b b b =（ ) A ．1 B ．8 C ．4 D ．2 5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，11a >，676712a a a a +>+>，记 {}n a 的前n 项积为n T ，则下列选项错误的是（ ） A ．01q << B ．61a > C ．121T > D ．131T > 6．已知等比数列{}n a 中，1354a a a ??= ，公比q =，则456a a a ??=（ ） A ．32 B ．16 C ．16- D ．32- 7．已知数列{}n a 满足112a = ，* 11()2 n n a a n N +=∈.设2n n n b a λ-=，*n N ∈，且数列 {}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．3 (1,)2 - C ．3(,)2 -∞ D ．(1,2)- 8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（ ） A ．-3+(n +1)×2n B ．3+(n +1)×2n C ．1+(n +1)×2n D ．1+(n -1)×2n 9．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则2020 2021 ln ln a a = （ ） A ．1:3 B ．3:1 C ．3:5 D ．5:3 10．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为（ ） A ．2± B ．2 C ．3± D ．3 11．数列{}n a 满足：点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上，则{}n a 的前10项和为（ ） 等差数列性质、等比数列定义、等比中项概念① 姓名：___________班级：___________ 1.如果等差数列{}n a 中, 34512,a a a ++=则7S = ( ) A.14 B.21 C.28 D.35 解题过程： 2.在等差数列{}n a 中,已知4816a a +=,则该数列前11项和11S =( ) A.58 B.88 C.143 D.176 解题过程： 3.在数列{}n a 中() 11,2,221,n n a a a n N *+==+∈则101a 的值为( ) A.52 B.50 C.51 D.49 解题过程： 4.数列: 1,2,,8x -是等比数列,则实数x 的值是( ) A. 4± B. 4- C. 4 D.不存在 解题过程： 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且111a =-,46 6a a +=-,则当n S 取最小值时, n 等于__________. 解题过程： 6. 的等比中项为__________ 解题过程： 7. 若数列{}n a 的前n 项和为2133 n n S a = +,则数列{}n a 的通项公式是n a =__________. 解题过程： 8.在等差数列{}n a 中, 131,3a a ==-. （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）若数列{}n a 的前k 项和 35k S =-,求k 的值. 9.已知{}n a 为等差数列,且366,0a a =-= （1）求{}n a 的通项公式 （3）若等比数列{}n b 满足8b 1-=,2123b a a a =++,求数列{}n b 的通项公式 10.已知等比数列{}n a 中, 143,24a a == （1）求数列{}n a 的通项公式 （2）设等差数列{}n b 中, 2295,b a b a ==,求数列{}n b 的前n 项和n S 集 合、简易逻辑 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空 真子集. 集合的基本运算 1. 集合运算：交、并、补. 2. 主要性质和运算律 （1） 包含关系： ,,,, ,;,;,. U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ?Φ???????????I I U U C （2） 等价关系：U A B A B A A B B A B U ??=?=?=I U U C （3） 集合的运算律： 原命题 若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否 互 互逆 否 互交换律：.;A B B A A B B A Y Y I I == 结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U 等幂律：.,A A A A A A ==Y I 求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =U ?C U U =φ ?C U φ=U 反演律：C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B ) 简易逻辑 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 （1）“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反； （2）“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真，其他情况时为假； （3）“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真． 4、四种命题的形式： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 一、数列的概念选择题 1．在数列{}n a 中，12a =，1 1 1n n a a -=-(2n ≥)，则8a =（ ） A ．1- B ． 12 C ．1 D ．2 2．数列{}n a 的通项公式是2 76n a n n =-+，4a =（ ） A ．2 B ．6- C ．2- D ．1 3．已知数列{}n a 的前n 项和2 23n S n n =-，则10a ＝（ ） A ．35 B ．40 C ．45 D ．50 4．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ?∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．已知数列{}n a 满足1n n n a a +-=，则20201a a -=（ ） A ．20201010? B ．20191010? C ．20202020? D ．20192019? 6．已知数列{}n a ，若()12* N n n n a a a n ++=+∈，则称数列{}n a 为“凸数列”.已知数列{} n b 为“凸数列”，且11b =，22b =-，则数列{}n b 的前2020项和为（ ） A ．5 B ．5- C ．0 D ．1- 7．在数列{}n a 中，()11 11,1(2)n n n a a n a --==+ ≥，则5a 等于 A ． 3 2 B ． 53 C ．85 D ． 23 8．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a = C ．1024是三角形数 D ．123111121n n a a a a n +++?+=+ 9．已知数列{}n a 满足11a = ),2n N n *= ∈≥，且()2cos 3 n n n a b n N π *=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120 B ．174 C ．204- D ． 373 2 2019年高考数学等比数列知识点总结 1、会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列一些简单问题；提高分析、解决实际问题的能力。 2、通过公式的灵活运用，进一步渗透分类讨论的思想、等价转化的思想。 一、课前导入 1、等比数列的前n项和公式： 当时，①或② 当q=1时， 当已知，q，n时用公式①；当已知，q，时，用公式② 2、目前学过哪些数列的求和方法? 二、反馈纠正 例1、在等比数列中，为前n项的和，若=48，=60，求。 例2、在等比数列共有2n项，首项a1=1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数2n。 例3、数列满足a1=1，a2=2，且是公比为q的等比数列，设bn=a2n-1+a2n(n=1，2，3，) 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是，但学生写作文运用到文章中的甚少，即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题，方法很简单，每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言 警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换，可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解，也可让学生个人搜集，每天往笔记本上抄写，教师定期检查等等。这样，一年就可记300多条成语、300多则名言警句，日积月累，终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中，自然会出口成章，写作时便会随心所欲地“提取”出来，使文章增色添辉。 语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章，还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落，对提高学生的水平会大有裨益。现在，不少语文教师在分析课文时，把文章解体的支离破碎，总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲，学生头疼。分析完之后，学生收效甚微，没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍，其义自见”，如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文，或细读、默读、跳读，或听读、范读、轮读、分角色朗读，学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧，可以在读中自然加强语感，增强语言的感受力。久而久之，这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中，就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。 (1)求证：数列是等比数列； 要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确 集合、简易逻辑 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合 A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. 集合的基本运算 1. 集合运算：交、并、补. 2. 主要性质和运算律 （1） 包含关系： ,,,, ,;,;,. U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ?Φ???????????I I U U C （2） 等价关系：U A B A B A A B B A B U ??=?=?=I U U C （3） 集合的运算律： 交换律：.;A B B A A B B A Y Y I I == 结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I == 原命题 若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否 互 互逆 否 互分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U 等幂律：.,A A A A A A ==Y I 求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U 反演律：C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B ) 简易逻辑 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 （1）“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相 反； （2）“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为 真，其他情况时为假； （3）“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真． 4、四种命题的形式： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题． 历届高考中的“等比数列”试题精选 一、选择题：（每小题5分，计50分） 1.(2008福建理)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列,若11=a ,a 5=16, 则数列｛a n ｝前7项的和为（ ） A.63 B.64 C.127 D.128 2.（2007福建文)等比数列{a n }中，a 4=4,则a 2·a 6等于（ ） A.4 B.8 C.16 D.32 3.（2007重庆文）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，则公比q 为（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）8 4.(2005江苏)在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则543a a a ++=（ ） A ．84 B ．72 C ．33 D ．189 5. (2008海南、宁夏文、理)设等比数列{}n a 的公比2q =， 前n 项和为n S ，则 4 2 S a =（ ） A. 2 B. 4 C. 152 D. 172 6.（2004全国Ⅲ卷文）等比数列{}n a 中，29,a = 5243a =，则{}n a 的前4项和为（ ） A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 7.(2004春招安徽文、理)已知数列}{n a 满足01a =，011 n n a a a a -=+++L （1n ≥），则当1n ≥时，n a ＝（ ） （A ）2n （B ） (1) 2 n n + （C ）12-n （D ）12-n 8.(2006辽宁理)在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于 ( ) (A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n - 黑龙江省高三数学一轮复习单元训练 集合与函数的概念 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．集合3{=A ,6,8}的真子集的个数为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】B 2．已知U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,4,5}，则?U (A ∪B )＝( ) A ．{6,8} B ．{5,7} C ．{4,6,7} D ．{1,3,5,6,8} 【答案】A 3．已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x |-1 数列 一、 知识梳理 概念 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. 2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的 通项公式，即)(n f a n =. 3.递推公式：如果已知数列 {}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几 项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数 列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推 公式. 4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ②???≥-==-) 2() 1(11n S S n S a n n n . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使 +∈≤N n M a n ,. ⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 等差数列 1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式 ⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差. ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S += 或d n n na S n )1(2 1 1-+=. 3.等差中项 如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项. 即：A 是a 与b 的等差中项?b a A +=2?a ，A ，b 成等差数列. 4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：d a a n n =-+1 （+∈N n ，d 是常数）? {}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )?{}n a 是等差数列. 5.等差数列的常用性质 ⑴数列 {}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列； ⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等 差数列，公差为kd . ⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a ) ⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+； ⑸若等差数列 {}n a 的前n 项和n S ，则? ?? ???n S n 是等差数列；高三数学专题训练--集合的概念与运算
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