组合极值问题

组合极值问题

组合极值问题是各类数学竞赛的热点，它与代数，几何，数论等相比风格迥异。解组合极值问题往往需要某种技巧，因此，需要解题者具有丰富的解题经验与良好的题感。 1 构造法

我们常常通过构造抽屉，映射，表格等解决组合极值问题，有时还需要构造例子说明取到极值。 1.1构造抽屉

例1：(2000年中国数学奥林匹克)某次考试有5道选择题，每题都有4个不同答案供选择，每人每题恰好选1个答案。在2000份答案中发现存在一个 n ，使得任何 n 份答卷中都存在4份，其中每2份的答案都至多3题相同，求 n 的最小可能值。

解：将每道题的4种答案分别记为1 ，2 ，3 ，4 ，每份试卷上的答案记

为()k ,j ,i ,h ,g ,其中{

}4321,,,k ,j ,i ,h ,g ∈。令 ()()()(){}k ,j ,i ,h ,,k ,j ,i ,h ,,k ,j ,i ,h ,,k ,j ,i ,h ,4321,{}4321,,,k ,j ,i ,h ∈,共得256个四元组。

由于2000=256?7+208，故由抽屉原理知，有8份试卷上的答案属于同一个

四元组。取出这8份试卷后，余下的1992份试卷中仍有8份试卷属于同一个四元组，再取出这8份试卷，余下的1984份试卷中又有8份属于同一个四元组。又取出这8份试卷，三次共取出24份试卷。在这24份试卷中，任何4份中总有2份的答案属于同一个四元组，当然不满足题目的要求，所以 n ≥ 25 。

下面证明 n 可以取到25。令

()(){}{}432140,,,k ,j ,i ,h ,g ,mod k j i h g |k ,j ,i ,h ,g S ∈≡++++=，则 |S| =256 ，且

S 中任何2种答案都至多有3题相同。从 S 中去掉6个元素，当余下的250种答案中的每种答案都恰有8人选用时，总有4份不相同。由于它们都在S 中，当然满足题目要求，这表明，n = 25满足题目要求。综上可知，所求的n 的最小可能值为25。 1.2构造映射

例2将正整数n 表示为一些正整数p a a a ,,,21Λ的和，即

p a a a n +++=Λ21，其中p a a a ≤≤≤Λ21，记)(n f 是如此表示的方法种数（如

4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故5)4(=f ），证明：对任意

)]2()([2

1

)1(,1++≤+≥n f n f n f n .

分析：由于本题证明的是一个非严格不等式，则需要构造一个单射或满射来证之。

证明：此题实质上是要证

).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f

因将每个n 的拆法前加一个“1”，便可得一个n+1的拆法，故)()1(n f n f -+表示的是1+n 的拆法中11≠a 的拆法数。

同理)1()2(+-+n f n f 是n+2的拆法中11≠a 的拆法数。

考虑到21≥+n ，把一个11≠a 的1+n 的拆法中的p a 加上1，就可变为一个

11≠a 的n+2的拆法，这样就构造了从11≠a 的1+n 的拆法到11≠a 的2+n 拆法

的一个对应，显然这个对应是一个单射，所以有

).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f

评注：应用映射法可以证明一些与计数有关的不等式。

例3 设n 是一个正整数，},,1,|),{(Z y x n y n x y x S ∈≤≤≤≤=，设T 是所有顶点均在S 中的正方形组成的集合，对于S 中的一个点对（两点组成），当此点对恰是k 个正方形的顶点时，则称这个点对具有k 重性，所有具有k 重性的点对的个数记为.k a 试比较3202a a a +与的大小。

解 首先证明：一个点对至多属于3个正方形，由于以点对间所连线段为一边的正方形最多有两个，而以该线段为对角线的正方形最多只有1个，故以一个点对为两个顶点的正方形不超过3个，从而对任一点对，其重性只可能为0，1，

2，3，另一方面，点对总数为2

2n C ，从而

2

32102n C a a a a =+++ (1)

将任意一点对及以该点对为两顶点的正方形作为一个“顶点一正方形组”，简称VS 组，规定：当且仅当点对及正方形都相同时，VS 组相同，设S T =||，一方面，对于每一个正方形包括6个点对，故有6S 个VS 组；另一方面，从点对的角度考虑VS 组，对于k 重性的任一点对必属于k 个正方形，从而VS 组的总数为321321a a a +?+?，综合可得

S a a a 632321=++ （2）

最后计算T 中正方形的个数S 。

记T 中两边为水平与竖直方向的正方形组成的集合为A ，那么，T 中任一个正方形a ，都对应着A 中的一个正方形b ，使得a 的顶点全在b 的边界上，而对

于A 中一个边长为i 的正方形，在T 中恰好有i 个正方形，使得它们的顶点全在这个正方形的边界上，又A 中边长为i 的正方形有2)(i n -个，

故,61)(21

122n

n i C i n i S =

-=∑-= 即 S C n 62

2= （3）

综合（1），（2），（3），可知

,323213210a a a a a a a ++=+++ .2320a a a +=∴

注 本题中，计算点对及VS 组个数时，运用了算两次，计算|T|时，则运用了映射法计数。

例4：在一节车厢中，任何 m ( m ≥ 3 )个旅客都有唯一的公共朋友(当甲是乙的朋友时，乙也是甲的朋友，任何人不作为他自己的朋友)。问在这节车厢中，朋友最多的人有多少个朋友？

解：设朋友最多的人A 有 k 个朋友，记为 B 1 , B 2 , ? , B k , 并记

{}k B ,,B ,B S Λ21=。显然，m k ≥ 。

若 k > m ,设{}121-m i i i B ,,B ,B Λ是S 的任一个 m 元子集，则

121-m i i i B ,,B ,B ,A Λ这 m 个人有1个公共朋友，记为 C i ,因为C i 是A 的朋友，所

以C i ∈ S 。定义映射：

{}

S C B ,,B ,B f i i i i m ∈→-121Λ：，则? 是从S 的所有 m - 1元子集的集合到S 的一

个单射。事实上，若存在S 的两个不同的m - 1元子集{}121-m i i i B ,,B ,B Λ和

{}121

-m j j j B ,,B ,B

Λ均有相同的像C i ,又因为{}121-m i i i B ,,B ,B Λ?{}

121-m j j j B ,,B ,B Λ中

至少有 m 个元素，故这 m 个人有2个公共朋友A 和C i ，与已知矛盾。

由于? 是单射，故 k C m k ≤-1,因为 m ≥ 3 , m - 1 ≥ 2 ,所以 ( k - 1 ) ( k - 2 ) ( k -3 ) ( k - m + 2 ) > ( m - 1 ) ( m - 2 ) ?2 = ( m - 1) ! 故()()()()()()k !

m !

m k !m m k k k k C m k =-->-+---=

-1112211Λ

矛盾，可见所求 k = m .

1.3构造图表

例5：设 n ∈ N + , n ≥ 2 , S 是一个 n 元集合，求最小的正整数 k ，使得存在S 的子集 A 1 ,A 2 , ? ，A k 具有如下性质：对S 中的任意两个不同元素 a , b ，存

在 j ∈{ 1 ,2 , ? , k }, 使 A j ? { a , b } 为S 的一元子集。

解：设{

}n ,,,,S Λ321=，构造表格1：

如果j A i ∈，那么，在j A 所在行，i 所在列处的方格中标上1，其余的方格中标上0。考虑表1的列构成的序列n P ,,P ,P Λ21 ，下面证明：S 的子集

k A ,,A ,A Λ21具有题中性质的充分必要条件是n P ,,P ,P Λ21两两不同。

充分性：由n P ,,P ,P Λ21两两不同，则对任意,b a ,S b ,a ≠∈有b a P P ≠，所以在某一行(设为第j 行)上，第a 列与第b 列的方格中一个为1，而另一个为0。这表明

{}b ,a A j ?为单元素集，故k A ,,A ,A Λ21具有题中性质。

必要性：由于对任意,b a ,S b ,a ≠∈存在{

}k ,,,j Λ21∈，使{}b ,a A j ?为单元素集，则a P 与b P 在第j 行处的两个方格中的数一个为1，而另一个为0，故b a P P ≠。所以n P ,,P ,P Λ21两两不同。根据表1知：n log k ,n k 22≥∴≥

()[]112+-=∴n log k

2 染色法

例6：设n 是一个固定的正偶数，考虑一块n n ?的正方形板，它被分成n 2个单位正方形格，板上2个不同的正方形格如果有一条公共边，就称它们为相邻的。将板上N 个单位正方形格作上标记，使得板上的任意正方形格(作上标记的或者没有作上标记的)都与至少一个作上标记的正方形格相邻，试确定N 的最小值。

解：设n = 2k ，首先将正方形板黑白相间地染成像国际象棋棋盘那样。设()n f 为所求的N 的最小值，()n f a 为必须作上标记的白格子的最小数目，使得任一黑格子都有一个作上标记的白格子与之相邻。同样的，定义()n f b 为必须作上标记的黑格子的最小数目，使得任一白格子都有一个作上标记的黑格子与之相邻。由于n 是偶数，“棋盘”是对称的，故有()()n f n f b a =，()()()n f n f n f b a +=，为方

便起见，将“棋盘”按照最长的黑格子对角线水平放置，则各行黑格子的个数分别为24242,,,k ,,,ΛΛ。在含有24-i 个黑格子的那行下面，将奇数位置的白格子作上标记。当该行在对角线上方时，共有i 2个白格子作上了标记；当该行在对角线下方时，共有12-i 个白格子作上了标记。从而，作上了标记的白格子共有

()211342+=

++++++k k k ΛΛ个，所以这时每个黑格子都与1个作上标记的白格子相邻，故得()()21+≤k k n f a 。考虑这()2

1+k k 个作上标记的白格子，它们中的任意两个没有相邻的公共黑格子，所以，至少还需要将()2

1+k k 个黑格子作上标记，以保证这些白格子中的每一个都有一个作上标记的黑格子与之相邻，从而

()()21+≥

k k n f b ，故()()()2

1+==k k n f n f b a 。因此，()()1+=k k n f 。 3 调整法

例7：给定平面上的点集{}199421P ,,P ,P P Λ=，且P 中任三点均不共线。将P 中所有的点任意分成83组，使得每组至少有三个点，且每点恰好属于一组，然后，将在同一组的任两个点用一条线段相连，不在同一组的两个点不连线段，这样得到一个图案G 。不同的分组方式得到不同的图案。将图案G 中所含的以P 中的点为顶点的三角形的个数记为m (G )。 (1) 求m (G )的最小值0m ；

(2) 设*G 是使()0m G m =*的一个图案，若将*G 中的线段(指以P 的点为端点的线段)用4种颜色染色，每条线段恰好染1种颜色。证明：存在一种染色方案，使*G 染色后不含以P 的点为顶点的三边颜色相同的三角形。

解：(1)设m (G )= 0m ，G 由分组8321X ,,X ,X Λ得到，其中i X 为第i 组的点构成的集合，83321,,,i Λ=。令8321,,,i ,x X i i Λ==，则有

19948321=+++x x x Λ，且3

33083

21x x x C C C m +++=Λ。下面证明：当 831≤≠≤j i 时，有1≤-j i x x 。

事实上，若存在()831≤≤j ,i j ,i 使得2≥-j i x x ，不妨设j i x x >，作P 的点的分组8321Y ,,Y ,Y Λ(i Y 为第i 组的点构成的集合，83321,,,i Λ=)，使得

???

??=+=-≠≠==时当时当时；

且当j k 1i k 1j k i,k j

x x x Y y i k k k

这样的分组存在(只需从原来的i X 中取一点到j X 中，其余组的不动)，于是对于由分组8321Y ,,Y ,Y Λ得到的图案G ˊ，有

3

3383

21)(y y y C C C G m Λ++=' 故3

3330)(j i j i x x y y C C C C m G m --+=-' =333131j

i j i x x x x C C C C --++- =331213231j i j i j i x x x x x x C C C C C C ---++--- .21

2--=i j x x C C 因为1-

2-

与m 0的最小性矛盾

又1994=83×24+2=81×24+2×25

故.1685442813

25324

0=+=C C m （2）设图案*G 由分组8321,,,X X X Λ得到，这里X i 表示第i 组的点构成的集合（i=1,2,…，83）。

由（1），不妨设

248121====X X X Λ 258382==X X

下面给出G *的一种染色方法，使得G *用4种不同颜色染后不含三边颜色相同的三角形。

将集合X i 及所连线段构成的图形称为G *的第i 块，记为83,,2,1,*1Λ=i G

对于*

83G ，令

5432183Y Y Y Y Y X Y Y Y Y =

使得)51(≤≠≤=j i Y Y j i φI

)51(5≤≤=i Y i

将每个子集)51(≤≤i Y i 中任两个点所连线段用图1所示的方法去染，将不同子集i Y 与)(j i Y j ≠之间所连线段用图2所示的方法去染，图中a 、b 、c 、d 分别

代表4种不同颜色，这样，染后的*

83G 显然不含三边颜色相同的三角形

对于*83G ，可用染*

83G 的方法去染，至于)811(*≤≤i G i 的染法，可先加1点并将该点与原来的24点各连一条线段，然后，按*

83G 的染法染好，再把加的1点及

与该点所连的线段去掉，这样，染后的)811(*≤≤i G i 也不含三边颜色相同的三角开。 4 归纳猜想

例8 给定平面上无三点共线的n 个点，以这n 个点为端点连出了m 条线段，已知对这n 个点中的任意两点A 、B ，都有一点C ，使得C 与A 、B 都有线段相连，求m 的最小值

解：记这n 个点为A 1，A 2，…，A n ，先看一个例子

如果n 为奇数，连线段A 1A 2，A 1A 3，…，A 1A n ；A 2A 3，A 4A 5，…，A n-1A n. 如果n 为偶数，连线段A 1A 2，A 1A 3，…，A 1A n ；A 2A 3，A 4A 5，…，A n-2A n-1, A 2A n.

显然，依上述方法连出的线段满足条件，所以，所求m 的最小值小于或等

于??????-223n 。（注：??

????-223n 为上面连出的线段的条数，这里[]x 表示不超过x 的最大整数。）

下面证明：这n 个点至少需要连出??

?

???-223n 条线段，才能达到题中要求。 a a

a a

a b b

b

b

b 图1 图2

事实上，如果A 1，A 2，…，A n 中任意一点都引出至少3条线段，则

??

????->≥

22323n n m ； 如果其中有一点（不妨设为A 1）引出的线段条数不大于2，那么，有如下两种情形：

（1）A 1只引出1条线段，不妨设为A 1A 2，则与A 1，A 2都有线段相连的点不存在，矛盾同样地，若A 1不引出线段也可得矛盾。

（2）A 1恰引出2条线段A 1A 2、A 1A 3，这时，一定要连出线段A 2A 3（因为对于两点A 1、A 2，只能是A 3与A 1、A 2都相连）

考虑点A 1、A i （i ≥4）,由A i 必与A 2、A 3中的某一点有线段相连，又由（1）可知，A i 至少引出2条线段，所以，从A 4、A 5，…，A n 这n-3个点至少引出

???

???-+-223n n 条线段，则这n 个点引出的线段的条数不少于 ()??????-=??????-+-+2232233n n n 因此，m 的最小值为??

????-223n 注：解此题先构造例子，猜出m 的最小值，然后再证明，这种“先猜后证”的思想也是解决组合极值问题的常见方法。

高中数学联赛模拟试题一

一 试 一．选择题（本题满分３６分，每小题６分）

1．若,0)(lim =∞

→n f n 则称函数)(n f 是无穷小（其中N n ∈）。特别地，如果函数)

()(n g n f 和都是无穷小，且满足1)

()

(lim

=∞

→n g n f n ，则称函数)()(n g n f 和是等价无穷小。根据以上定义，下面的（ ）是等价无穷小。

（A ）31+-n n 与 （B ）

n

n n n n +-+2

264

-3325与

（C ）

n n n n 3212

+与 （D ）n n 3

2

23与 2.已知且

,,R b a ∈15

166403192

3

23=+-=+-b b b a a a

则的值为（ ）b a +

55)( 5)( 5)( 0)(D C B A -　

3、设M ＝{},0,1),(>=x xy y x N={

}

π=+arcctgy arctgx y x ),(,则 （ ）

{}

1),()(=?xy y x N M A ＝

M N M B =?)( N N M C =?)(

{}

不同时为负数且y x xy y x N M D ,,1),()(==?

4、在四面体ABCD 中，面ABC 及BCD 都是边长为2a 的等边三角形，且AD ＝22a ，M 、N 分别为棱AB 、CD 的中点，则在四面体表面上M 与N 的最短距离为 （ ）

a A 2)( a B 23)( a C )( a D 2

5)(

5、已知三个三角形?、 1?、2?的周长分别为21p p p 、、，且?∽2?∽2 ?,较小的两个三角形21??，可以互不重叠地放入大三角形?的内部,则21p p +的最大值是 ( )

p A )( p B 2)( p C 3)( p D 2)(

6、已知自然数n 不是5的倍数，则5除1,12

2

-+n n 时有 （ ）

1515)(22-+n n A 或 )(B 151522-+n n 且 )(C 1·

51522-+n n 且 )(D 不能确定，都有可能发生 二、填空题（本题满分５４分，每小题９分）

7、设,1,n q p N q p ≤<≤∈且、其中n 是不小于3的自然数，则形如q

p

的全体分数之和为_______________

8、在?ABC 中，已知三内角A 、B 、C 成等差数列，若其对边分别为c b a ,,,并且a c -等于

AC 边上的高h,则2

sin

A

C -=_________ 9.已知定义在实数集上的函数)(x f 满足2003)5(),1()1()(=++-=f x f x f x f ，则

____________)2003(=f

10、从集合{

}10321?，，中任取两个不相邻的数(这两个数可以相同)相乘，所有这样的积再求和等于_____

11.在直角坐标平面中一椭圆的两个焦点为),13,2

9

(),5,221(21F F 且椭圆与纵轴相切，则椭圆短轴长为___________________

12.设R b a ∈,,且8|3||3|3

223=-+-y y x xy x ,则24|2|||22与xy y x +-的大小关系

为____________

三、解答题（本题满分６０分，每小题２０分）

13．已知M 是抛物线px y 22

=上的动弦AB 上的点，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程.

若F(x)的反函数为F -1(x)，证明方程F -1(x)=0有唯一解；并求出该唯一解

15．定义在（-1，1）上的函数f (x )满足：（Ⅰ)对任意x ，y ∈(-1，1)都有

f (x )+f (y)=f (

xy

y

x ++1);(Ⅱ)当x ∈(-1，0)时，有f (x )＞0. 求证：).)(21()1

31()111(

)51(2N n f n n f f f ∈>+++++Λ 加 试

一．（本题满分５０分）

如图，等腰ABC ?中，P ACB ,90?=∠为边BC 上一点，边AB 的中点为M ，连接AP ，

N L ,为线段AP 上的两点，且.,CN AL AP CN =⊥若ABC ?的面积为LMN ?的面积的４

倍，求.CAP ∠

二．（本题满分５０分）

求证：只要二次函数c bx ax x f ++=2)(满足条件： （1） a>0

(2) |f(x)|,1≤当x ]1 1[，-∈

(3) ]21)1,2[20，（?--∈-

=a

b

x 就必有,4

5

)(-

≥x f 当]2,2[-∈x 。 三．（本题满分５０分）

将正整数n 表示为一些正整数p a a a ,,,21Λ的和，其中p a a a ≤≤≤Λ21 ，记)(n f 是如此表示的方法种数（如 2114 ,224 ,314 ,44++=+=+==，

11114 +++= ，故 5)4(=f ）

求证对任意 )]2()([2

1

)1(,1++≤

+≥n f n f n f n 。 高中数学联赛模拟试题一参考答案

一 试

一．选择题（本题满分３６分，每小题６分）

1．若,0)(lim =∞

→n f n 则称函数)(n f 是无穷小（其中N n ∈）。特别地，如果函数)

()(n g n f 和都是无穷小，且满足1)

()

(lim

=∞

→n g n f n ，则称函数)()(n g n f 和是等价无穷小。根据以上定义，下面的（ B ）是等价无穷小。

（A ）31+-n n 与 （B ）n

n n n n +-+2

264

-3325与 （C ）n n n n 3212+与 （D ）n n 3

223与

解：根据定义，本题目正确答案为B

2.已知且

,,R b a ∈15

166403192

3

23=+-=+-b b b a a a

则　）的值为（　C b a +

55)( 5)( 5)( 0)(D C B A -　

解：由已知条件得

1

)2(4)2(1)3(4)3(3

3-=-+-=-+-b b a a

考虑到函数x x x f 4)(3

+=是实数集上的奇函数，且为单调增函数，所以得到

b a -=-23，即.5=+b a 选C

3、设M ＝{},0,1),(>=x xy y x N={

}

π=+arcctgy arctgx y x ),(,则 （ B ）

{}

1),()(=?xy y x N M A ＝

M N M B =?)( N N M C =?)(

{}

不同时为负数且y x xy y x N M D ,,1),()(==?

解：由集合M 化简得：)0(11>-==x xy xy 或，图象为一、四象限各一支，

又由tg(arctgx+arcctgy)=0得：

011

=-

+

y

x y

x 得)0(1>-=x xy ：可知M N ?故M N M =? 选B

4、在四面体ABCD 中，面ABC 及BCD 都是边长为2a 的等边三角形，且AD ＝22a ，M 、N 分别为棱AB 、CD 的中点，则在四面体表面上M 与N 的最短距离为 （ A ）

a A 2)( a B 23)( a C )( a D 2

5

)(

解：在四面体表面上，M 到N 的路线有四种：

① 经过棱AC ，②经过棱AD ，③经过棱BC ， ④经过棱BD ，取四种情况之最小者.

① 情形，沿ABCD 展开如图，min MN =MN

连接MC ，得：2

22BM BC MC －＝，从而 a CD AC a MC 2,32

2

==＝,AD=a 22,则

AC CD ⊥,∠MCN=90ο+30ο=120ο

,

A B

C

D M N

A M B

C

D N

cos 2222CN MC CN MC MN ?-+=120ο=3a 2+a 2+2?a 3a

2

1 =4a 2+2

3a

∴ MN=a )34(+

同理，对于②、③的情况同法可以求得min MN =MN ＝2a 情形④的情况与情形①相同. a MN 2=∴ 选A

5、已知三个三角形?、 1?、2?的周长分别为21p p p 、、，且?∽2?∽2 ?,较小的两个三角形21??，可以互不重叠地放入大三角形?的内部,则21p p +的最大值是 ( D )

p A )( p B 2)( p C 3)( p D 2)(

解：设?的周长是p ，面积为S ，1?的周长是p 1,面积为1S ，2?的周长是2p ,面积是2S ，由已知条件得：21S S S ＋≥，

Θ ?∽2?∽2 ?，则

22

22112p S p S p S ＝＝(=k) 于是2

22

12

p p p +≥，由基本不等式： 212

22

12

2p p p p p ≥+≥

2

212122

2

12

)(22p p p p p p p +=++≥∴

即：212p p p +≥，以等腰直角三角形为例（如图）：知等号能成立.. 选D 6、已知自然数n 不是5的倍数，则5除1,12

2

-+n n 时有 （ A ）

1515)(22-+n n A 或 )(B 151522-+n n 且 )(C 1·

51522-+n n

且 )(D 不能确定，都有可能发生 解：因为n 不是5的倍数，故n ≡1±,或n ≡2±(mod5) 2n ≡1或2

n ≡4(mod5) 所以12

-n ≡0或12

＋n ≡0（mod5） 选A 二、填空题（本题满分５４分，每小题９分）

7、设,1,n q p N q p ≤<≤∈且、其中n 是不小于3的自然数，则形如

q

p

的全体分数之和为

)1((4

1

-n n ) 解：把形如

q

p

的数如下分组： )1

3,2,1()43,42,41(),32,31(),21(n

n n n n -???,其中第k 组含有k 个分数，

第k 个组的k 个元素的和为：2

)321(11k

k k =++++＋Λ

所以S ＝

)1(41

21

1

-=∑-=n n k n k

8、在?ABC 中，已知三内角A 、B 、C 成等差数列，若其对边分别为c b a ,,,并且a c -等于AC 边上的高h,则2sin

A C -= 2

1

. 解：h=c-a=A h sin －C h

sin A C A C sin sin sin sin =-?

所以)]cos()[cos(2

1

2sin 2cos 2A C A C A C A C +--=-+

因为A 、B 、C 成等差数列，所以B ＝ο

60，A ＋C ＝ο

120

所以0432sin 2sin

2

=--+-A C A C 解得：)(2

1

2sin 负值舍去=-A C

9.已知定义在实数集上的函数)(x f 满足2003)5(),1()1()(=++-=f x f x f x f ，则

____________)2003(=f

2003

)5()33365()2003()

()6()2()1()

1()2()( )

1()1()( ==?+=?=+?--=+?++-+=++-=f f f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f 解： 10、从集合{

}10321?，，中任取两个不相邻的数(这两个数可以相同)相乘，所有这样的积再求和等于_____

B

A

C

D

h

解：任取两个数相乘再求和得

S 1＝)(2110110

1∑∑==-k i k i k ∑=-=10

1

)55(21k k k

)3855555(2

1

)55(211012-?=-=∑=k k k =1320

其中不符合条件的和为∑∑==+=+=

91

9

1

2

2)()1(k k k k

k k S =285+45=330

所求之和990330132021＝－＝

－＝S S S 11.在直角坐标平面中一椭圆的两个焦点为),13,2

9

(),5,221(21F F 且椭圆与纵轴相切，则椭圆短轴长为___________________ 解：求出1F 关于纵轴的对称点)5,2

21

(-

P 。则 10

||217||2122====FF c PF a

.213)2()2(222=-=∴c a b

12.设R b a ∈,,且8|3||3|3

223=-+-y y x xy x ,则24|2|||22与xy y x +-的大小关系

为____________

解：设yi x z +=，易证.||2|)Re(||)Im(|||z z z z ≤

+≤

而.)3()3(3

2233i y y x xy x z -+-=

因≤=||||33z z |)Re(||)Im (|33z z +=,8|3||3|3223

3=-+-y y x xy z 故

.4||||,2||22≤=≤z z z

于是.24||2|)Im (||)Re(||2|||22

222≤≤

+=+-z z z xy y x

由于上式的两个不等号中的等号不能同时取到，故.24|2|||2

2<+-xy y x

三、解答题（本题满分６０分，每小题２０分）

１3．已知M 是抛物线px y 22

=上的动弦AB 上的点，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程.

解：设AB 与x 轴交于C()0,0x 点，A 、B 的坐标分别是),(),,(2211y x y x ,

则22

21212,2px y px y ==

1,2

12

1-=⊥x x y y OB OA 则

Θ即2214p y y -= （＊） 又直线AB 的方程是

1

21

211x x y y x x y y --=--,将C 坐标代入得：

1

21

2101x x y y x x y --=-－

化简上式，并利用（＊）得：x

=2p,由圆的定义知点M 的轨迹方程是

)0()(222≠=+-x p y p x

若F(x)的反函数为F -1(x)，证明方程F -1(x)=0有唯一解；并求出该唯一解

设-l ＜x 1＜x 2＜l ，则

∵x 1-x 2＜0，2-x 1＞0，2-x 2＞0，∴(*)式第一项＜0 又(l+x 1)(l-x 2)＞0，(l-x 1)(l+x 2)＞0， (l+x 1)(1-x 2)-(1-x 1)(1+x 2)= x 1-x 2＜0 ∴(*)式第二项的真数大于零且小于1

于是F(x 1)-F(x 2)＜0，∴F(x)在(-1，1)上是增函数

∴F -1

(x)=0有唯一解．

1５．定义在（-1，1）上的函数f (x )满足：（Ⅰ)对任意x ，y ∈(-1，1)都有

f (x )+f (y)=f (

xy

y

x ++1);(Ⅱ)当x ∈(-1，0)时，有f (x )＞0. 求证：).)(21()1

31()111(

)51(2N n f n n f f f ∈>+++++Λ 证明： x ,y ∈(-1,1).

f (x )+f (y )=f (

xy

y

x ++1), 令x =y =0,得f (0)=0.

令y =-x ,得f (x )+f (-x )=f (0)=0, ∴f (-x )=-f (x )

∴f (x )在(-1，1)上是奇函数. ∵f (

1

31

2

++n n )

).

2

1

(

)

2

1

(

)

2

1

(

)

2

1

(

)

2

1

(

)

2

1

(

)

1

1

(

)

4

1

(

)

3

1

(

)

3

1

(

)

2

1

(

)

1

3

1

(

)

11

1

(

)

5

1

(

2

f

n

f

f

n

f

f

n

f

n

f

f

f

f

f

n

n

f

f

f

>

+

-

+

=

+

-

=

+

-

+

+

+

-

+

-

=

+

+

+

+

∴

Λ

Λ

加试

一．（本题满分５０分）

如图，等腰ABC

?中，P

ACB,

90?

=

∠为边BC上一点，边AB的中点为M，连接AP，N

L,为线段AP上的两点，且.

,CN

AL

AP

CN=

⊥若ABC

?的面积为LMN

?的面积的４倍，求.

CAP

∠

解：明显CMN

AML?

?

?

?

=

∠

=

∠

∴

=

?

=

?

-

?

=

∠

-

∠

=

∠

?

=

∠

∴

?

∴

=

=

=

=

∴

=

=

=

∴

?

=

∠

=

∴

15

15

45

60

60

2

1

,

,

2

1

4

.

2

1

,

2

1

90

,

2

2

QNA

CAP

QN

AQ

LNM

QNM

QNA

QNM

QMN

MN

AC

QN

QM

QN

QM

Q

AC

AC

MN

S

S

AC

S

MN

S

LMN

MN

LM

LMN

ABC

ABC

LMN

又

于是

为等边三角形

则

连接

中点

取

又

注：本题也可以用三角法来解．

二．（本题满分５０分）

求证：只要二次函数c bx ax x f ++=2)(满足条件： （1） a>0

(4) |f(x)|,1≤当x ]1 1[，-∈

(5) ]21)1,2[20，（?--∈-

=a

b

x 就必有,4

5

)(-≥x f 当]2,2[-∈x 。 解：不妨设]2,1(20∈-

=a

b

x ，考虑到,0>a .68,0)4)(2(,4

22ab a b b a b a b

a +≥-∴≤++-≥∴

(1)

.4

5

)(423)(23a)(c 23

2468444)(2220b a c b b a c a b b

a c a a

b a

c a b c a b ac x f ++=-++≥+++=++=++≥-+=-=

又,)1(,)1(c b a f c b a f +-=-++=

)

3( )].1()1([2

1

)

2( )],1()1([2

1

--=-+=+∴f f b f f c a

由(1).(2).(3)

得.4

58189)1(81)1(89)]

1()1([2

1

45)]1()1([21)(0-=--≥--=--?+-+≥f f f f f f x f

于是].2,2[,45

)(-∈-

≥x x f 函数45)2(41)(45)2(41)(2

2-+=--=x x f x x f 及在]2,2[-上的最小值均为.4

5-

三．（本题满分５０分）

将正整数n 表示为一些正整数p a a a ,,,21Λ的和，其中p a a a ≤≤≤Λ21 ，记)(n f 是如此表示的方法总数（如 2114 ,224 ,314 ,44++=+=+==，

11114 +++= ，故 5)4(=f ）

求证对任意 )]2()([2

1

)1(,1++≤

+≥n f n f n f n 。

证明：此题实质上是要证)1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f 。因为将每个n 的拆法前加一个“1”，便可得一个1+n 的拆法，故)()1(n f n f -+表示的是1+n 的拆法中11≠a 的拆法数（即不含1的拆法数），同理)1()2(+-+n f n f 表示的是2+n 的拆法中11≠a 的拆法数（即不含1的拆法数）。另一方面：考虑到21≥+n ，把1+n 的任何一种不含1的拆法中p a 加上1，就成为2+n 的一种不含1的拆法。这样就构造了从不含1的1+n 的拆法组成的集合到不含1的2+n 的拆法组成的集合的一个单射，所以前者元素总数小于或等于后者元素总数。

即有 )1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f