九年级圆与相似三角形专题复习

九年级圆中三角形相似复习专题

1、 黄金分割点：在线段AB 上，点C 把线段ＡB 分成两条线段ＡC 和BC （ＡＣ＞BC ）,如果

AC

BC

AB AC =

，即AC 2=AB×BC,那么称线段AB 被点C 黄金分割，点Ｃ叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比。其中AB AC 2

1

5-=

≈0.618AB 。 2、 黄金分割的几何作图：已知：线段ＡB.求作:点C 使C 是线段AB 的黄金分割点．作法：

（1）过点Ｂ作ＢＤ⊥A Ｂ，使ＢＤ＝0.5AB ； (2）连结ＡＤ,在DA 上截取DE=DB ；

（3)在A Ｂ上截取AC ＝AE,则点Ｃ就是所求作的线段AB 的黄金分割点。 (4）矩形中,如果宽与长的比是黄金比,这个矩形叫做黄金矩形 3、相似三角形

1)定义:如果两个三角形中,三角对应相等，三边对应成比例,那么这两个三角形叫做相似三角形。 几种特殊三角形的相似关系:两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似。 两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

补充:对于多边形而言,所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等)； 4、 性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

5、 相似比：两个相似三角形的对应边的比,叫做这两个三角形的相似比。

如△ＡBC 与△DEF 相似,记作△A ＢC ∽△D ＥF 。相似比为k 。 ６、判定:①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

三角形相似的判定定理：

判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似．简述为:两角对应相等，两三角形相似。（此定理用的最多)

判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为:两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理３：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似;简述为:三边对应成比例，两三角形相似。 7、 直角三角形相似判定定理:

（1） 斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

（2） 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角

形也相似。

题型:圆与三角形相似问题。

１、如图,正方形ABCD 内接于⊙Ｏ,点P 在劣弧ＡB 上,连结DP ,交AC 于点Q ,若QP =QO

，则QA

QC

的值为( )

A. 132-

B. 32 Ｃ. 23+ D. 23+

2、如图,已知点A 、Ｂ、Ｃ、Ｄ顺次在⊙O 上,AB BD =，B Ｍ⊥ＡC 于M,求证：AM=DC+ＣＭ。

3、如图，已知四边形ABCD 内接于直径为３的圆O,对角线AC 是直径，对角线ＡC 和ＢD 的交点为P ，AB=ＢD ，且ＰC=0．6，求四边形ＡＢCD 的周长。

4、如图，在Rt ABC △中，斜边1230BC C =∠=，°,D 为BC 的中点，ABD △的外接圆O ⊙与AC 交于F 点,过A 作O ⊙的切线AE 交DF 的延长线于E 点； (1)求证：AE DE ⊥； （2)计算:AC AF ·的值。

5、如图,在直角梯形A ＢＣD 中，AB CD ∥，90B ∠=,AB =AD ，∠BAD 的平分线交BC 于E ，连接DE ． （1)说明点Ｄ在△ＡBE 的外接圆上;

(2）若∠A ＥD =∠CED ,试判断直线CD 与△A ＢE 外接圆的位置关系,并说明理由。 Q O D

C

B

A

A E F O

D

B C

6、如图,已知圆内接△AＢＣ中，AB>AC,D为弧BAC的中点,DE⊥AB于E；求证：BD2-AD2=AB×AC。

7、如图，已知四边形ＡBCＤ外接⊙Ｏ的半径为５，对角线ＡC与BD的交点为E,且ＡＢ2=ＡE×AＣ，BD=8，求△ABD的面积?

８、如图,已知AＤ是△ＡBＣ外角∠ＥＡＣ的平分线，交BC的延长线于点D,延长ＤA交△ABＣ的外接圆于点F,连结ＦＢ,FＣ.

(1)求证:FB=FC；(2)求证：FＢ2=FＡ·FD；

(3)若AB是△AＢＣ的外接圆的直径,∠EAC=120°，BC=6cm,求AD的长。

9、如图，已知P是⊙O直径ＡB延长线上的一点，直线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AＢ于点H,CF 交ＡB于点E；

（1）求证：PA·PＢ＝PO·PE;

(2)若ＤE⊥CF,∠P=15°，⊙Ｏ的半径为2，求弦CF的长。

１0、如图，ＡB,AC,ＡD是圆中的三条弦,点E在AD上,且ＡB＝AC=AＥ．请你说明以下各式成立的理由:(1）∠CＡD=2∠DBＥ；(2）ＡＤ2－AB2=BD·DC。

11、如图所示,ABC Ｄ为☉Ｏ的内接四边形，E 是BD 上的一点，且有∠ＢＡE ＝∠DA Ｃ； (１)求证：△AB Ｃ∽△A ＥD ； （２)求证：ＡB?ＤC + A Ｄ?ＢＣ = AC?BD 。

题型：动点问题。 1、如图，在直角梯形ＡB ＣＤ中,ＡD ∥BC ，∠B=90°，AD ＝24c ｍ，A Ｂ＝８c

ｍ,B Ｃ=2６ｃm ，动点P 从A 开始沿A Ｄ边向D 以1c ｍ/ｓ的速度运动；动点Q 从点C 开始沿CB 边向B 以3cm ／ｓ的速度运动．P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为t ｓ；

（1)当t 为何值时,四边形PQCD 为平行四边形? (２)当t 为何值时,四边形PQC Ｄ为等腰梯形？ (3)当t 为何值时，四边形P ＱＣD 为直角梯形?

2、如图,△ABC 中，点O 为A Ｃ边上的一个动点，过点O 作直线ＭＮ∥BC ，设MN 交∠BCA 的外角平分线ＣF 于点F,交∠ACB 内角平分线ＣＥ于E ． (１)试说明EO ＝FO;

(2）当点O 运动到何处时，四边形AEC Ｆ是矩形并证明你的结论;

(3）若A Ｃ边上存在点O ，使四边形AEC Ｆ是正方形，猜想△ABC 的形状并证明你的结论。

3、如图，在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧A Ｂ上,有一个动点P ，PH ⊥OA,垂足为H,△OP Ｈ的重心为G ； （１)当点P 在弧ＡB 上运动时,线段GO 、GP 、ＧH 中，有无长度保持不变的线段?如果有，请指出这样的线段,并求出相应的长度; (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域（即自变量x 的取值范围); (３)如果△PG Ｈ是等腰三角形,试求出线段P Ｈ的

长。

E O

D C B A H M N G P O A

B

x y

4、如图，在△ABC 中,ＡB=AC=1,点Ｄ，Ｅ在直线B Ｃ上运动.设ＢD=xC Ｅ＝y ； (１）如果∠BAC=3０°,∠DA Ｅ＝１0５°，试确定y 与x 之间的函数解析式；

(2)如果∠BA Ｃ的度数为a ，∠DAE 的度数为ｂ,当ａ，b 满足怎样的关系式时,(1)中y 与ｘ之间的函数解

析式还成立？试说明理由。

５、直线3

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y x =-

+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段ＯA ?运动,速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． (１）直接写出A 、Ｂ两点的坐标;

(２)设点Q 的运动时间为t 秒,三角形OPQ 的面积为Ｓ,求出S 与t 之间的函数关系式;

(３)当485

S =

时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标。

６、ABC ?中,10==AC AB ,12=BC ,点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠,分别交边AB 于点E ,交射线CA 于点F ．

(1)当6=AE 时，求AF 的长;

（２）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时,求BE 的长;

(３)当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长。

7、如图所示,有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块.三角形的两个顶点分别为A 、B ，另一个顶点C 在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大？要求说明理由。

A

E D C B

A B C D E O l

A ′

8、如图所示,在矩形ABCD 中，ＡB=3,点O 在对角线A Ｃ上，直线l 过点O ，且与AC 垂直交AD 点E (1)若直线l 过点B ，把△ABE 沿直线ｌ翻折，点A 与矩形ＡBC Ｄ的对称中心A ＇重合，求B Ｃ的长； （2)若直线l 与AB 相交于点F ，且AO ＝

4

1

AC ，设A Ｄ的长为x ,五边形BC ＤEF 的面积为S; ①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围； ②探索:是否存在这样的x ，以A 为圆心，以

x 4

3

长为半径的圆与直线ｌ相切,若存在,请求出x 的值；若不存在,请说明理由。

9、如图所示,半经为1的半圆O 上有两个动点A 、Ｂ,若AB ＝1,判断∠AOB 的大小是否会随点A 、B 的变化而变化，若变化，求出变化范围,若不变化，求出它的值。四边形ABCD 的面积的最大值。

10、已知△A ＢC 为直角三角形，ＡＣ=5，BC ＝12，∠ACB 为直角，Ｐ是AB 边上的动点（与点Ａ、Ｂ不重合)，Q 是BC 边上动点(与点Ｂ、Ｃ不重合)

（1）如图1０,当PQ ∥AC ，且Q 为BC 的中点，求线段ＣP 的长。

（2)当ＰQ 与ＡC 不平行时，△ CP Ｑ可能为直角三角形吗？若有可能，求出线段CQ 的长的取值范围；若不可能,请说明理由。

A B C