微分中值定理历史与发展

微分中值定理历史与发展

卢玉峰

(大连理工大学应用数学系, 大连, 116024)

微分中值定理是微分学的基本定理之一, 研究函数的有力工具. 微分中值

定理有着明显的几何意义和运动学意义. 以拉格朗日(Lagrange) 定理微分中值定理为例,它的几何意义：一个定义在区间[]b a ,上的可微的曲线段,必有中一点()x f (b a ,)ξ， 曲线在这一点的切线平行于连接点())(,a f a 与割线.它的运动学意义：设是质点的运动规律，质点在时间区间()(,b f b )f []b a ,上走过的路程),()(a f b f ?a

b a f b f ??)()(代表质点在()b a ,上的平均速度， 存在()b a ,的某一时刻ξ，质点在ξ的瞬时速度恰好是它的平均速度.

人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在 几何研究中,得到如下结论:“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的 底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes) 正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积.

意大利卡瓦列里(Cavalieri) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实: 曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦.这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理.

人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了. 1637年,著名法国数学家费马(Fermat) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部

巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》 (1823年)、《微分计算教程》(1829年),以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理.

1. 微分中值定理产生的历史

费马作为微积分的创立者,他在研究极大和极小问题的解法时,得到统一的解法“虚拟等式法”,从而得出原始形式的费马定理.所谓的虚拟等式法,费马的“虚拟等式法”基于一种非常直观的想法,如果0()f x 为()f x 的极大值,那么从直

观上来看,()f x 在0x 附近值变化很小,当e 很小时()f x 和()f x e +差很小.用现代语言来说,对于函数()f x ,让自变量从x 变化到x e +,当()f x 为极值时,()f x 和()f x e +的差近似为0,用e 除虚拟等式,()()0f x e f x e

+?≈,然后让,就得到函数极值点的导数值为0,这就是费马定理: 函数0e →()f x 在0x x =处取极值,并且可

导,则。 应该指出: 费马给出以上结论,微积分还处于初创阶段,并没

有明确导数,极限连续的概念,用现代眼光来看,其论断也是不严格的.现在看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的.

0()0f x ′= 罗尔在1691年发表的论著《方程的解法》给出了“在多项式的两个相邻根中,方程至少有一个实根.”这是定理:“101100n n n a x a x a x a ??++???++=1201(1)n n n na x n a x a ???+?+???+=10()f x 在[,上连续,在上可导,并且]a b (,)a b ()()f a f b =,则必存在一点(,)a b ξ∈,使()0f ξ′=”的特例.也就是以上定理被称为罗尔定理的原因.最初罗尔定理和现代罗尔定理不仅内容有所不同,而且证明也大相径庭,它是罗尔利用纯代数方法加以证明的,和微积分并没有什么联系.现在看到的罗尔定理,是后人根据微积分理论重新证明,并把它推广为一般函数,“罗尔定理”这一名称是由德罗比什在1834年给出,并由

意大利数学家贝拉维蒂斯在1846年发表的论文中正式使用的.

拉格朗日定理是微分中值定理中最主要的定理.它是指:“()f x 在[,上连续,在(,上可导,则存在一点]a b )a b (,)a b ξ∈,使()()()f b f a f b a

ξ?′=?.”这一定理是拉格朗日在《解析函数论》一书中首先给出的,它最初形式为:“函数()f x 在0x 和x 之间连续,()f x ′的最大值为A ,最小值为,则B 00

()()f x f x x x ??必取A ,中一个值.”

B 历史上拉格朗日定理证明有三个,最初的证明是拉格朗日在《解析函数论》中给出的.这个证明很大程度建立在直观基础上,并不是严格的. 它依赖于这样一个事实: 当()0,()f z f ′>z 在[,上单调增加.所用的条件也比现在强,现代中值定理只须]a b ()f x 在[,上可导,而拉格朗日最初的中值定理,却需]a b ()f x 在[,上可导,并存在连续导数.并且所用连续概念,也是直观的,“假设变量连续地变化,那么函数将会产生相应变化,但是如果不经过一切中间值,它就不会从一个值过渡到另一个值.” 十九世纪初,在以柯西等为代表的微积分严格化运动中,人们给出了极限,连续,导数的严格定义,也给拉格朗日中值定理以新的严格证明,柯西在《无穷小计算概论》中证明了：如果]a b ()f x ′在

[]b a ,为连续,则 必有一个[]b a ,∈ξ,使()()().a

b a f b f f ??=′ξ 现代形式的拉格朗日定理,是由法国数学家博(O.Bonnet) 在其著作《Cours de Calcul Differentiel et integral》中给出的,他不是利用()f x ′的连续性,而是罗尔定理对拉格朗日定理加以重新证明.

柯西定理被认为是拉格朗日定理的推广.它是指: 设()f x 和在[,上连续,在(,上可导,并且()F x ]a b )a b ()0F x ′≠,则必有一个值(,)a b ξ∈,使 ()()()()()()

f b f a f F b F a F ξξ′?=′?. 柯西在《微分计算教程》中给出最初的柯西定理:()f x 和在[]上有连续的导数,并且在[上不为零,这时对于某一点()F x b a ,()F x ′]b a ,[]b a ,∈ξ,有

()()()()()()

ξξF f a F b F a f b f ′′=??. 柯西的证明与拉格朗日对拉格朗日中值定理很相似.

微分中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位.例如他利用微分中值定理给洛必达法则以严格的证明,并研究泰勒公式的余项.从柯西起,微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分.

2. 拉格朗日中值定理中ξ点对函数的描述

Lagrange定理只断言ξ的存在性，至少有一个，但可能不止一个，除了对一些比较简单的函数，无法指明这种点的确切位置。但我们有下面的结论：

如果在()x f ()+∞∞?,上二次可导，则()x f 是形如的二次多项式当且仅当对任意c bx ax ++2y x ,，满足方程()()()()y x f y f x f ?′=?ξ的点.2

y x +=ξ 证明: 直接计算知道,如果()=x f c bx ax ++2, 则任意y x ,,成立,

()()().2y x y x f y f x f ???????+′=?

反之,如果对任意y x ,,成立,()()().2y x y x f y f x f ???

????+′=?则对任意 h x , ()().2?????

?+′+=+h x f h x f h x f (1) 在上式中对h 微分, 得

().222??

????+′′+??????+′=+′h x f h h x f h x f (2) 在等式(2)中令,2h x ?= 得()().002

2f f h h f ′+′′=??????′ 在等式(1)中令 得 ,0=x ()()??

????′+=20h f h f h f . 因此 对任意 ()∞∞?∈,h ,

()()()().0002

f f h f h h f +′+′′=

记()()(),0,0,2

0f c f b f a =′=′′= 即得: ()=x f c bx ax ++2. 3. 拉格朗日中值定理和柯西中值定理的统一形式

拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以看成下列中值定理的特例：

设 在区间上连续，在g f ,],[b a ()b a ,内可导，并且,0)(,1)(==b g a g 则存在一点),,(b a ∈ξ 使得()()().)()(b f a f g f ?′=′ξξ

引入函数))())(1()()(()()(b f x g a f x g x f x F ?+?=， 则对利用罗尔定理，即得结论.

,0)()(==b F a F F 若取()[b a x a

b x b x g ,,∈?]?=， 则可得拉格朗日中值定理； 设()f x 和在[,上连续,在(,上可导,并且()F x ]a b )a b ()0F x ′≠， 取

()],,[,)

()()()(b a x a F b F x F b F x g ∈??= 对 应用上述结果，可得柯西中值定理. g f ,4. 微分中值定理与积分中值定理

我们熟知积分学中的积分中值定理：设 在区间上连续，则存

f ],[b a ξ(b a ,∈)]，使得 这个定理的几何意义是由曲线在区间[ 上覆盖的曲边梯形的面积等于以()()().ξf a b dx x f b

a ?=∫()x f y =

b a ,a b ?及()ξf 为边长的长方形面积。如果我们令积分中值定理变为：()(),dt t f x F x

a ∫=).()()()(ξF a

b a F b F ′?=? 由此看出，积分中值定理与微分中值定理实际上说的同一件事，只是一个用微分形式，一个用积分形式来表达而已.

5. 复值函数微分中定理的探讨

微分中值定理不能推广到复变函数上. 例如: 设

(),13+=z z f i a 231+?=,i b 2

31??=,则对于连接线段内任意一点b a ,ξ都不能满足方程 ()()()).(a b f a f b f ?′=?ξ

因为通过计算容易知道，=

22b ab a ++49， 但()23z z f =′，所以对于连接线段内任意一点b a ,ξ，不成立 .4

932=ξ

6. 微分中值定理在无穷区间上的推广

微分中值定理可以推广到无穷维的区间上. 罗尔定理推广到无穷维空间上有 下列结果:

设函数在有穷或无穷区间()x f ()b a ,内可微， 而且存在极限（有穷或无穷）()()x f x f b

x a x ?+→→=lim lim ，则存在一点()b a ,∈ξ 使得().0=′ξf 证明: 假定()()x f x f b

x a x ?+→→=lim lim =c . 若区间()b a ,为有限区间,定义 函数()()()?

??=∈=b a x c b a x x f x F ,,,, , 对应用罗尔定理即可. F 若若区间(为无限区间, 对)b a ,,0>?ε 直线ε+=c y 或ε?=c y 与曲线

至少应有两个交点, 设其交点的横轴坐标为, 在[上应用罗尔定理即可.

()x f y =21,c c ]21,c c 假定()()x f x f b

x a x ?+→→=lim lim =∞,无论区间()b a ,为有限或无限,方程 存在 使得方程 或,0>A ()A x f =()A x f ?=总有两个不同的根在[上应用罗尔定理即可.

,,21c c ]21,c c 利用这个推广的罗尔定理可以将柯西微分中值定理推广到无穷维空间,有下列结果:

设函数在有穷或无穷区间()()x g x f ,()b a ,内可微，且

()()()()0,0,0,0?+?+b f a g b f a f

皆存在，而且，则存在一点()()b a x x g ,,0∈≠′()b a ,∈ξ 使得

()()()()()()

.0000ξξg f a g b g a f b f ′′=+??+?? 证明: 由上述推广的罗尔定理, ()()00+≠?a g b g .定义

()()()()()

()().)0(0000)(+?+??+???=a g x g a g b g a f b f x f x F 于是()x F 在()b a ,内可微,并且()),0()0(0+=?=+a f b F a F 上述推广的罗尔定理, 存在一点(b a ,∈)ξ,使

得(),0=′ξF 即()()()()()()

.0000ξξg f a g b g a f b f ′′=+??+?? 7. 多元函数的微分中值定理

一元函数的微分中值定理容易推广到多元函数上去，得到下列多元函数的微分中值定理：

如果n 元函数在()n x x x f ,,,21L ()n a a a ,,,21L 的邻域G 内有一阶连续偏导数，则对G 内任意一点()，存在 n b b b ,,,21L ,10,<<θθ 使得

()()()i i n i i

n n a b a b a x f a a a f b b b f ??+??=?∑=))((,,,,,12121θL L . 证明： 记()()()()()(),,,111a b t a f a b t a a b t a f t F n n n ?+=?+?+=L ， 则在

上有连续的导数，并且 F [1,0]()()()().1i i n i i

a b a b t a x f t F ??+??=′∑=F ]对在区间[上

应用lagrange 中值定理即得上述结论.

1,08. 赋范线性空间上函数的微分中值定理

设Y X ,是实的赋范线性空间, Ω为X 中的开集.,:Y f →Ω.0Ω∈x 如果存 在X 到Y 的有界线性算子使得 ()0x A ()()(),0lim 0000=??+u u

x A x f u x f u 称在处可导, 称为在的导数,记为 f

0x ()0x A ()x f 0x ()().00x A x f =′ 如果在Ω的每一点都可导, 称在Ω上可导.

f f 在 赋范线性空间上有下列的微分中值定理:

设X 是赋范线性空间,R 是实数集合, X b a ∈,, 是R X f →:X 上实值函数.如果在连接的线段上可导,则存在 f b a ,,10<<θ

()()()()()a b a b a f a f b f ??+′=?θ.

证明: 记 由于

()()(),a b t a f t F ?+=

()()()()(=??+′??+a b a b t a f h

t F h t F ())()()()()()()),0(0)()

())((→→????+′??+??+?+h a b a b h a b h a b t a f a b t a f a b h a b t a f 我们得到在区间[上是可微的实函数, 并且F ]1,0()()()().a b a b t a f t F ??+′=′ 对在区间[上应用lagrange 中值定理即得上述结论.

F ]1,0 人们对微分中值定理的研究,大约经历了二百多年的时间. 从费马定理开始,经历了从特殊到一般,从直观到抽象,从强条件到弱条件的发展阶段.人们正是在这一发展过程中,逐渐认识到微分中值定理的普遍性. 微分中值定理的形成历史和发展过程深刻的揭示了数学发展是一个推陈出新，吐故纳新的过程, 是一些新的有力工具和更简单方法的发现与一些陈旧的、复杂的东西被抛弃的过程, 是一个由低级向高级发展过程，是分析、代数和几何统一的过程. 正像龚昇先生指出的:“ 数学中每一步真正的发展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧、复杂的东西抛到一边. 数学科学发展的这种特点是根深蒂固的.”

参考文献

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