微分中值定理论文

引言

通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。由此可知，对于深入的了解微分中值定理，可以让我们更好的学好数学分析。通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的基础。微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系[1-3]以及它们的推广为研究对象，利用它们来讨论一些方程根（零点）的存在性, 和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明。 中值定理的内容及联系 基本内容[4][5]

对于，微分中值定理的了解，我们了解到它包含了很多中值定理，可以说它是一系列定理的总称。而本文主要是以其中的三个定理为对象，进行探讨和发现它们之间的关系。它们分别是“罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日（Lagrange ）定理和柯西（Cauchy ）定理”。这三个定理的具体内容如下： Rolle 定理

若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。 Lagrange 定理

若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()()()()

=f b

f a f b a ξ-'- Cauchy 定理

设()f x ，()g x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0g x '≠，则至少存在一点

(),a b ξ∈，使得

()()()()()()

f b f a f

g b g a g ξξ'-='-。

三个中值定理之间的关系 现在我们来看这三个定理，从这三个定理的内容我们不难看出它们之间具有一定的关系。那它们之间具体有什么样的关系呢？我们又如何来探讨呢？这是我们要关心的问题，我们将利用推广和收缩的观点来看这三个定理。首先我们先对这三个定理进行观察和类比，从中可以发现，如果把罗尔定理中的()()f a f b =这一条件给去掉的话，那么定理就会变成为拉格朗日定理。相反，如果在拉格朗日定理中添加()()f a f b =这一条件的话，显然就该定理就会成为了罗尔定理。通过这一发现，可以得到这样的一个结论：拉格朗日定理是罗尔定理的推广，而罗尔定理是拉格朗日定理的收缩，或是它的特例。继续用这一思路来看拉格朗日

定理和柯西定理，看看这两者之间又是如何的联系？我们先对柯西定理进行观察，从观察中会是我们作出这样的假设，如果令定理中的()g x x '=的话，发现定理成为了拉格朗日定理。这使得我们发现他们二者之间的联系， 拉格朗日定理是柯西定理收缩，而柯西定理则是拉格朗日定理的推广。我们利用这一方法可以得到它们之间的关系。

总的来说，这三个定理既单独存在，相互之间又存在着联系。我们从上面的讨论中可以总结得到，罗尔定理是这一块内容的基石，而拉格朗日定理则是这一块内容的核心，那么柯西定理是这一块内容的推广应用。

如果我们从几何的意义上来看这三个中值定理的话，那它们之间又是如何的呢？在这里我们不具体的给予研究，而是直接给予结果。若用几何解释：“若一条连续的曲线，曲线上端点除外的每一点都有切线存在，且存在的切线于x 轴相交的夹角不为直角；那么像这一类曲线具有共同的属性——曲线上有一点，它的切线与曲线端点的连线平行”。 定理的推广[6][7]

前面我们已经讨论了定理之间的关系，接下来我们来看它们的推广。从前面的内容我们知道，这三个定理都要求函数()f x 在[],a b 上是连续，在(),a b 内是可导。那么我们如果把定理中的闭区间[],a b ，把它推广到无限区间[),a +∞或(),-∞+∞，再把开区间(),a b 推广到无限区间(),a +∞或(),-∞+∞的话，则这些定理是否还能满足条件，或者我们能得出哪些相应的定理呢？

通过讨论研究我们知道，按照以上的想法把中值定理的区间，推广到无限区间上可以得到几个相应的定理，本文在此只提到其中的三个，下面给出定理以及证明。

定理1 若()f x 在[),a +∞上连续，在(),a +∞内可导，且()()lim x f x f a →+∞=，则至少存在

一点(),a ξ∈+∞，使()0f ξ'=成立。 证明： 令

11t x a =-+，则11x a t =+-，即可得到关于t 参数函数()1

1t a t

?=+-

当[),x a ∈+∞时，则(]0,1t ∈

即()1a ?=，()0

lim t t ?→=+∞，再令()()()f x f t g t ?==???? ∴()()()()()()

lim lim lim 11t t x g t f t f x f a f g ??→→→+∞

=====???????? ()()0

0lim t g g t →=

()()01g g ∴=

() g t ∴在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()()01g g =，由Rolle 定理可得到

至少存在一点()0,1ε∈，使()0g ε'=成立

令()ξ?ε=，有()()0f ξ?ε''?=，而()210?εε

'=-≠.

至少存在一点(),a ξ∈+∞，使()0f ξ'=成立

证毕

定理2 若()f x 在(),-∞+∞上连续，在(),-∞+∞内可导，并且()()lim lim x x f x f x →-∞→+∞=，至少

存在一点(),ξ∈-∞+∞，使()0f ξ'=成立。 定理2的证明可以参照定理1。

定理3 若()f x 在[),a +∞上连续，在[),a +∞内可导，并且()lim x f x M →+∞

=，则至少存在

一点(),a ξ∈+∞，使

()()()

2

1M f a f a ξξ-????'=+-成立。 证明：设1

1t x a =

-+，则11x a t =+-，即可得到关于t 参数函数()11t a t

?=+-

当[),x a ∈+∞时，则(]0,1t ∈

即()1a ?=，()0

lim t t ?→=+∞，再令()()()f x f t g t ?==???? ∴()()()0

lim lim lim t t x g t t f x M ?→→→+∞

===

()()0

0lim t g g t M →==

() g t ∴在[]0,1上连续，在()0,1内可导，由Lagrange 定理得

至少存在一点()0,1ε∈，使()()()1010

g g g ε-'=-成立

即()()g f a M ε'=-

令()ξ?ε=，有()()()g f εξ?ε'''=?，而()()2

2

1

1a ?εξε'=-

=-+-，

至少存在一点(),a ξ∈+∞，使

()()()

2

1M f a f a ξξ-????'=+- 成立. 证毕 定理的应用

通过上面对定理的研究和探讨，加深了我们的理解。我们知道中值定理在解题中具有十分广泛的应用，现在我们来看看这三个定理的具体运用。我们学知识，不仅仅是为了让我们知道，

更主要的是学了要会用，这才是最关键的。 利用定理证明方程根（零点）的存在性

例 1 若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导()0a >，证明在(),a b 内方程

()()()()22

2x f b f a b a f x '-=-????至少存在一根。

分析：由于题目是要求方程()()()

()222x f b f a b a f x '-=-????是否有根存在，所以可以先

对方程进行变形，把方程变为()()()

()2220x f b f a b a f x '---=????。那么方程

()()()()222x f b f a b a f x '-=-????有根的话，则原方程也有根。变形之后的方程有()f x '存

在，所以可以利用不定积分把方程()()()()2220x f b f a b a f x '---=????，转变为()()()()2220f b f a x b a f x ---=????。现在我们返回来看题目，由题目中我们可以知道

()f x 在区间[],a b 上连续，在区间(),a b 内可导()0a >，由函数的连续性和求导的概念，

可以得到函数()()()

()222f b f a x b a f x ---????在[],a b 上连续,在(),a b 内可导()0a >，

那么我们不难想到利用罗尔中值定理就可以证明该题了。

证明:令()()()()

()222F x f b f a x b a f x =---????

， 显然()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导， 而()()()()22F a f b a b f a F b =-=. 根据Rolle 定理, 至少存在一点ξ，

使()()()()222f b f a b a f x ξ'-=-????.

证毕

本文主要在于辅助函数()()()()

()222F x f b f a x b a f x =---????的构造，我们从结论出发，

构造辅助函数，使得该题可以利用中值定理来证明，接下来是考虑利用微分中值定理中的哪一个即可。对于构造辅助函数我们可以得到()()F a F b =，所以选在利用罗尔定理证明。这是对解该类问题的总结，也是自己对该类问题解题提出的一个解题思路模式，大家可以借鉴。下来我们继续看两道例题：

设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导()0a b <<，证明：在[],a b 内存在一点ξ， 使()()()()()bf b af b b a f f ξξξ'-=-+????成立。

分析：对于等式()()()()()bf b af b b a f f ξξξ'-=-+????，则可以两边同除以b a -，即等

式左端为()()bf b af b b a

--，这个商式可看为函数()xf x 在[],a b 上的改变量与自变量的改变量

之商，则会考虑利用Lagrange 定理，那么可构造辅助函数()()F x xf x =。 证明: ()()F x xf x =，则()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导， 由Lagrange 定理，存在一点(),a b ξ∈，使()()()

F b F a F b a

ξ-'=-，

即()()()()bf b af a f f x b a

ξξ-'+=

-，

即()()()()()bf b af b b a f f ξξξ'-=-+????

证毕

设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导()0a b <<，证明:在[],a b 内存在一点ξ， 使()()()ln b f b f a f a ξξ??'-= ???

成立。

分析:等式()()()ln b f b f a f a ξξ??'-= ???

两边同除以ln ln ln b b a a =-，即该等式的左端为()()ln ln f b f a b a

--，这个商式可看为函数

()f x 与ln x 在闭区间[],a b 上的改变量之商，则我们会想

到利用柯西定理来证明，那么构造辅助函数()ln g x x =。

证明：令()ln g x x =，对()f x ，()g x 在[],a b 上运用Cauchy 定理， 得()()()1ln ln f f b f a b a ξξ'-=-，

即()()()()()()

f f b f a

g g b g a ξξ'

-='-， 即()()()ln b f b f a f a ξξ??'-= ???

. 证毕 用定理求极限

在求极限的题目里，有些题目如果运用通常的一些方法来求解的话，则会使我们在解题过程中出现很大的计算量，或者比较繁琐的解题过程。但是应用中值定理的话，会为这一类题目提供一种简单有效的方法。而用中值定理来解题，最关键在于辅助函数的构造，然后在运用中值定理解题，即可求出极限。 例1 求1

1

21lim n n n n a a +→∞

??- ???

，其中0a >。

分析：由于题目中有1

n a 和11

n a

+，则可以试着构造辅助函数()x f x a =，那么就可以得到()f x 在

11,1n n ????+??连续，在11,1n n ?? ?+??

可导，即可以利用Lagrange 定理解题了。

解：根据题意，由Lagrangge 定理，有

112

1lim n n n n a a +→∞

??- ???

()

21

1lim 1n x n n a n n ξ

=→∞

??'

=?- ?+??

()

2ln lim

1n n a a n n ξ→∞=+ ln a

=

其中，11,1n n

ξ??∈

?+?

?

已知

n

a lim n x n

a →。

解： 令()f x =()f x 在()(),1n n k n n k +++????上满足Lagrangge 定理可得：

=，()()()(),1n n k n n k ξ∈+++

< 当0,1,,1k n =- 时，把得到的上述n 个不等式相加得：

2n +-

即1

2

n n a a n

<<+故1

021

n a n ?<-< ?

lim 2n n a →∞

∴=

证明不等式

对于数学体系来说不等式是一块很重要的内容。故不等式的证明对数学是很重要的。当我们学习了中值定理，知道了它在不等式的证明中起着巨大的作用。“我们可以根据不等式两边的代数式选取一个来构造辅助函数，再应用中值定理得出一个等式后，对这个等式根据自变量的取值范围的不同进行讨论，得到不等式”。下面我们来通过例子来说明定理在证明中的运用。

例1 设0x >，对01α<<的情况，求证1x x ααα-≤-。

分析：证明不等式最常用的方法有做差，做商，对于该题目如果直接应用做差或者做商的话显然是不行的。那我们是否能通过变形是，他们可以应用做差或是做商呢？我们来看下不等式，不难发现当1x =时，等式两边就相等了，所以接下来排除1x =，分两步讨论。在观察不等式两边的代数式，不难看出左边的代数式比较复杂，则是否可以把左边的代数式构造辅助函数，是题目可以运用中值定理解题呢？不妨设()f x x α=，()F x x α=。利用Cauchy 定理即可证明。

证明：当1x =时结论显然成立，当1x ≠时，取[],1x 或[]1,x ，在该区间设 ()f

x x

α

=，()F x x α=，由Cauchy 定理得： ()()()()()()

11f x f f F x F F ξξ'-=

'- (),1x ξ∈或()1,x ξ∈ 即1

11x x ααααξξααα

---==- 当1x >时，(),1x ξ∈，11αξ->

即11x x α

αα

->-

又()10x x ααα-=-<

故1x x ααα->-，即11x αα-<- 当1x >时，()1,x ξ∈，11αξ-< 则()10x x ααα-=->

故1x x ααα->-，即11x αα-<- 由此，不等式得证

例 2 已知()f x 在[]0,a 满足()f x M ''≤，且在()0,a 内取最大值，试证：

()()0f f a aM ''+≤。

分析：若能找到点()00,x a ∈，使()00f x '=，则要证的结论便转化为变量的形式： ()()()()000f x f f a f x aM ''''-+-≤，

则根据 Lagrangge 定理证之即可。然而对于0x 的寻找，应该从题目中条件的()f x 在开区间()0,a 内取到最大值入手。

定理推广的应用

对于中值定理推广到无限区间上，在于求解一些题目，如果应用了中值定理的该推广会比较方便的得到解题，下面我们来看一个例子：

例1 如果函数()2

x f x xe -=，求证：()0,ξ?∈+∞，使得()0f ξ'=。 分析：对于该题目我们通常会采用这样一种证法，令()0f x '=，有()(

)

2

2

x

x f x xe e --'==

(

)()2

1200,x x -=?=

+∞，即可得证。这种证明的方法，可以说是利用极限方法来证明的，我们现在考虑是否还可以运用其它的方法来证明。若要运用中值定理来证明是否可以呢？下面给出该方法。

证明： 由题得()f x 在[)0,+∞连续，在()0,+∞可导，且可得：()

2

2120x e x --=

()2

lim 00x x xe f -→+∞

==

那么，由推广定理的定理1，得到： ()0,ξ?∈+∞，使得()0f ξ'=

证毕 例 2 设()f x 在(),-∞+∞上可得，且()2

01x f x x ≤≤

+，证明：

0ξ?>，使得

()()

22

211f ξξξ-=+。

证明 问题相当于要找0ξ>，使()2101x f x x ξ

'-??-= ?+?

?，因函数()()211x F x f x x -=-+在(),-∞+∞内可导，故()2

0lim 0lim lim 01x x x x f x x

→-∞

→-∞

→-∞

=≤≤=+，即()lim 0x f x →-∞

=

又()2

0lim 0lim lim

01x x x x

f x x →+∞

→+∞

→+∞=≤≤=+ ，即()lim 0x f x →+∞=

所以()()lim lim 0x x f x f x →-∞

→+∞

==

由定理2知0ξ?>，使得()0F ξ=，即题目得证。

证毕

中值定理的应用广泛，本文从几个方面介绍了该定理的运用。通过以上的例题让大家知道，应用这几定理的关键和解题的难点，是在于对辅助函数的构造。在论文中通过一些题目的解题过程让大家了解到对于一道题目来说，他的解题的方法具有多样性，对于方法的选择是解题过程繁简的关键，选择一种简便的方法可以使我们快速有效的作答。也希望通过这几道例子能让大家对定理加深理解和应用。 结论

本课题的研究成果是通过大学阶段的有关数学分析知识的学习，和一些相关学科内容的知识的学习，并结合一些相关的参考图书资料，以及通过网络收集期刊、报刊和杂志上的相关内容，其中还包括自己对这些内容的理解，还通过多方面的了解和研究，且在和老师和同学们的一起探讨下，我们了解到微分中值定理的内在联系，也对微分中值定理的推广做了探讨，接着对微分中值定理的应用做了归纳总结。对微分中值定理本课题主要是以罗尔定理、拉格

朗日定理和柯西定理，三个定理之间的联系为主要的研究对象，希望通过本课题能让大家加深了对的这三个定理的理解和应用，也希望通过例题的解析，能使得大家在应用微分中值定理上更加的娴熟。

参考文献：

[1]盛晓兰.例谈微分中值定理的证题技巧[J].技术监督教育学刊,2009，1：16-19.

[2]党艳霞.浅谈微分中值定理及其应用[J].廊坊师范学院学报(自然科学版),2010,1:28-31.

[3]刘章辉.微分中值定理及其应用[J].山西大同大学学报(自然科学版),2007,23(2): 79-81.

[4]欧阳光中朱学炎.复旦大学数学系.数学分析第三版上册[M].北京:高等教育出版社,2007.184-225.

[5]阿黑波夫萨多夫尼奇丘巴里阔夫.数学分析讲义第3版[M].北京:高等教育出版社,2006.94-95.

[6]纪华霞.微分中值定理的几个推广结论[J].高等函授学报（自然科学版），2006,19(6):33-38.

[7]杨万必龙鸣.微分中值定理的推广[J].2005,23(1):31-33.