经典称球问题

我将首先致力于解决下面的问题：

问题：已知 N 个球中有1个是坏的，但不知轻重，问用天平至少称多少次可以把它找出来，并判断轻重？

在解决这个问题之后，将是此问题的一些推广，关于非随机应变策略，关于多臂天平，以及关于多个坏球等等。

从一个最简单的问题开始

问题：假设三个球中有一个不标准,且已知是重的,则可以称几次将非标准球找出来？

假设三个球中有一个不标准,且已知是重的,则可以称一次将非标准球找出来。

方法是随便取两个来称，如果天平平衡，则第三个球是坏的，如果天平不平衡，则较重的那个球是坏的。

那么，如果是9个球的话，又如何呢？

假设9个球中有一个不标准,且已知是重的,则可以称2次将非标准球找出来。方法是把9个球分成3组A,B,C，第一次称其中两组(A vs B)，如果天平平衡，说明坏球在C组，如果天平不平衡，则坏球在较重的那一组中，然后问题归结为3个球的情况

假设3^k个球中有一个不标准,且已知是重的,则可以称k次将非标准球找出来。或者说：

【定理】假设 N 个球中有一个不标准,且已知是重的,则可以称{log3(N)}次将非标准球找出来。

======找不到上取整符号，我用{}表示上取整，=====

好了，这是我们得到的第一个一般性的结论。为了严密起见，我将严格的证明它。我需要证明的是下面两条：

1.N<=3^k时，可以称k次把坏球找出来。

2.N>=3^k+1时，称k次不能必然把坏球找出来。

1.N<=3^k时，可以称k次把坏球找出来。

首先说明一个平凡的情况：N=1

此时，既然已经知道有一个坏球，而又只有一个球，则它自然就是坏球

也就是说称0次可以把它找出来，因而命题成立。

下面用归纳法证明，对k归纳

(1)k=1时

此时N=1，2或3

N=1时不用说了

N=2时，有两个球A,B，则称A vs B，较重的那个是坏的，一次就可以把坏球找出来

N=3时, 见3L。也是一次就可以把坏球找出来。

(2)假设对k-1命题成立，即N<=3^(k-1)时，可以称k-1次把坏球找出来。

当N<=3^k时，

首先将N个球平均分成A,B,C 3份(此处“平均”是指每两份之间相差不超过1个)

容易知道，|A|,|B|,|C|都<=3^(k-1)，并且其中有两组球个数相等（有可能三组球个数都相等）

我们取出两组个数相等的球，不妨设为A,B

第一次称 A vs B

如果天平平衡，说明坏球在C组中，如果天平不平衡，说明坏球在A,B中较重的那一组中

总之，我们把坏球限制在A,B,C中的一组当中

由于每一组球的个数都<=3^(k-1),由归纳假设，我们可以用k-1次从A(或BC)中将坏球找出来

因此我们可以用k次从N<=3^k个球中将坏球找出来。

证毕

2. N>=3^k+1时，称k次不能必然把坏球找出来。

这个涉及到信息论，简单来说就是

一共有3^k+1种可能的结果，

每一次称量可以从3组（互不相容的）信息中选出一种

因此k次称量最多可以从3^k种不同的结果中选出一种

所以 N>=3^k+1时，称k次不能必然把坏球找出来。

==============================================

或者说我们有这样一个原理：

如果要从M种可能的情况中确定一种情况，又每次测量有a个结果，则最少需要

测量

{loga(M)} 次。

当然实际需要的次数可能更多，因为你不能保证每次都得到“有用”的信息。但是 {loga(M)} 是所需次数的一个下界，我们把这个值称为【信息论下界】

===================================================

回到4L的定理，我们有相对应的一个结论

【定理】假设 N 个球中有一个不标准,且已知是轻的,则可以称{log3(N)}次将非标准球找出来。

现在，在已知坏球轻重的情况下，我们得到了把坏球找出来的最少次数

假设3k个球中有一个不标准,其中一部分已知不重,另一部分已知不轻,则可以称k次将非标准球找出来,并判定其轻重.

假设3^k个球中有一个不标准,且这3^k个球一部分已知不重,另一部分已知不轻,则可以称几次将非标准球找出来？

=====所谓某个球不重是指这个球或者是标准的，或者是坏的但比标准球轻==== =

首先这个问题的信息论下界是 k 次，那么k次能把坏球找出来吗？

首先解决LS提出的问题：

假设N=3^k个球中有一个不标准,其中一部分已知不重,另一部分已知不轻,则可以称k次将非标准球找出来,并判定其轻重.

（注意此处我没说N<=3^k,因为有一种情况——N=2,一个球已知不轻，另一个已知不重——称多少次都不能找出坏球的）

现在证明，对k归纳。

k=0不用多说。

k=1，N=3个球,共有四种情况

(1) 全部不重 (2)全部不轻 (3) 两个球不重，一个球不轻 (4) 两个球不轻，一个球不重

对于(1)(2)由4L和12L的定理知命题成立

对于(3)，可以称两个不重的球，如果平衡，说明第三个是坏球，如果不平衡，那么较轻的那个是坏球。所以1次可以找出坏球。】

对于(4),与（3）相似。

现在假设命题对于k-1成立，则当有N=3^k个球时，

情形1：有至少2*3^(k-1)个球已知不重。

则取出2*3^(k-1)个已知不重的球分成两组（设为A，B）称，如果平衡，则说明坏球在剩下的3^(k-1)个球中，由归纳假设，可以再称k-1次将坏球找出来。则总共用k次可以将球找出来。如果不平衡，坏球必然在较轻的那一组中，由12L 的定理知可以再用k-1次将坏球找出来。总共用k次可以将球找出来。

情形2：有至少2*3^(k-1)个球已知不轻。

证明同情形1.

情形3：已知不重的球少于2*3^(k-1)，已知不轻的球少于2*3^(k-1)

这说明至少有3^(k-1)+1个球已知不重，且有3^(k-1)+1个球已知不轻。

将天平的两侧分别放上 (3^(k-1)+1)/2 个已知不重的球和 (3^(k-1)-1)/2 个已知不轻的球——两边都放了3^(k-1)个球，还剩下3^(k-1)个球。——

如果平衡，则说明坏球在剩下的3^(k-1)个球中，由归纳假设，可以再称k-1次将坏球找出来。则总共用k次可以将球找出来。

如果不平衡，不妨设左边重，则坏球必然在左边的已知不轻的球或右边的已知不重的球当中(共3^(k-1)个)，由归纳假设，可以再称k-1次将坏球找出来。则总共用k次可以将球找出来。

证毕。

吧友202.4.130.*

现在来解决下面的问题：

已知 N 个球中有1个是坏的，但不知轻重，问用天平至少称多少次可以把它找出来，并判断轻重？

首先是两个特别的情况，N=1或2。

N=1时，只有一个球，我知道这个球是坏球，但是我无法知道它比标准球重还是轻。在这个意义上来说，我们需要测无数次。

另外，如果我有一个标准球的话，则可以称1次而测出它的轻重。

N=2时，测一次我可以知道那个球轻那个球重，但是我无法知道那个球是坏的。因为这两个球都可以作为标准球。或者说，我们需要无数次。

如果我有一个标准球的话，可以用两次找出坏球并判断其轻重（分别用标准球和那两个球称一次就行了），并且有信息论下界（{log3(4)}=2)知，只用一次是不够的。

=====================================================================

下面我首先证明下面一个结论：

假设N≤(3^k-1)/2个球中有一个不标准,且不知其轻重,则可以借助一个标准球称k次将非标准球找出来,并判定其轻重.

（注意我这里要借助一个标准球——这个标准求不并非那N个球中的一个）

（若N>(3^k-1)/2的话——N>=(3^k+1)/2——由信息论下界知称k次是不能将非标准球找出来,并判定其轻重的。）

在归纳假设中，我假设命题对k-1成立，意思是对N=3^(k-1)个球，只要满足命题条件，都可以用k次将坏球找出来。

或者说，3^(k-1)分成两组，一组已知不重，一组已知不轻，（不论满不满足情形1）都可以用k次将坏球找出来。

吧友58.61.56.*

我看到13L的时候发现自己对不重不轻这两个概念理解不能……

k=1，N=3个球,共有四种情况

(1) 全部不重 (2)全部不轻 (3) 两个球不重，一个球不轻 (4) 两个球不轻，一个球不重

什么叫全部不重？什么叫全部不轻？

吧友58.61.56.*

全部不重是指三个球全部不重于标准球？那就是坏球是轻球？

那么两个不重，一个不轻又是指什么呢？有两个球不重于标准球，如果它们中有一个是坏球，那么坏球是轻球；如果不是，则坏球是不轻的那个球，也就是重球。

同样的，两个不轻，一个不重，则坏球分别是重球和轻球。

是不是这样？

吧友58.61.56.*

不知道为什么LZ要造出这两个概念来……

三个球，有一个是坏的，不是轻就是重。什么叫不轻？什么叫不重？~~~~~~

这种题目总是用三分法来做的吧？

分成三部分，两个一称，平的话在第三堆，不平的话则在这两堆中。

然后继续判断。

吧友58.61.56.*

假设一次能一堆一堆的称，则球的总数目为3^K情形的：

均分三堆，称两次知道坏球在哪一堆，不可能更省（要包括最坏情形）

令S[I]表示第I次得到的坏球那一堆的数目以及H[I]为此时已用的称量次数

则H[I]=2I，S[I]=3^(K-I)

I=K时，H[I]=2K,S[I]=1。称量完毕。至于轻重，在上述的称法中每得到下一个S[I]时即已得出。无需再称。

然后~~~不明白LZ为什么写那么多来说明这种能够一堆一堆的称，并且球总数还为3^K的情况……

回复

吧友58.61.56.*

证明：A,B,C三堆。

第一次：AB。若平，说明是C。若不平，C是好的。然后称第二次：

第二次：AC。若平，说明是B；若不平，说明是A。

由于ABC只是任意相同数目的堆，所以对于此类三等均分情形均得证~~~~

另外：第一次中知道是C，但不知轻重。

第二次就一定知道。~~~~不会运气好的这么离谱，每次都一次直接找出吧？

吧友61.150.43.*

在14L的结论中，我们说过，对N=2是不成立的，实际上这是唯一的一个特例，我们有：

假设3<=N<=3^k个球中有一个不标准,其中一部分已知不重,另一部分已知不轻,称k次将非标准球找出来,并判定其轻重.

另外，对于N=2的情况，借助一个标准球也可以一次将非标准球找出来。

这个证明略。

现在证明这个：

假设N≤(3^k-1)/2个球中有一个不标准,且不知其轻重,则可以借助一个标准球称k次将非标准球找出来,并判定其轻重.

对k归纳。

k=1时，N=1.

用标准球与这一个球称一次就可以了。

假设命题对<=k-1,成立，则对N≤(3^k-1)/2个球

将球平均分成3组A,B,C,（平均指每两组个数相差不超过1），

则每组个数<=(3^(k-1)+1)/2,且有两组个数相等，而且，个数相等的那两组不会等于(3^(k-1)+1)/2.（否则，另一组个数至少为(3^(k-1)-1)/2,总数将>=(3^k+ 1)/2 ）

或者说，至多有一组个数=(3^(k-1)+1)/2。

不妨设A组个数最多。（|B|,|C|<=(3^(k-1)-1)/2 ）

第一次，称A vs B （如果|B|<|A|的话，在B中加上那个标准球）

如果天平平衡，则说明坏球在C组中，由归纳假设，可以用k-1次将非标准球找出来并判断其轻重（借助标准球）

如果天平不平衡，不妨设A重B轻。

则(1)非标准球在A和B中，C中的都是标准球。

(2)2<=|A|+|B|<=3^(k-1).

我们取A,B两组的所有球

则坏球在这N'（3<=N'<=3^(k-1))个球中，并且这N'个球一部分已知不轻（A），另一部分已知不重（B），因此由上面的结论知，可以用k-1次将非标准球找出来。（若|A|+|B|=2的话须借助标准球）

因此结论成立。

吧友61.150.43.*

那么，在不借助标准球的情况下，至少需要多少次呢？

或者说，k次可以从多少个球中将坏球找出来，并判断其轻重？

我首先给出结论：

【定理】假设N>=3个球中有一个不标准,且不知其轻重,则可以称{log3(2N+3)}次将非标准球找出来,并判定其轻重.

或者说k次可以从至多 (3^k-3)/2 个球中将坏球找出来，并判断其轻重。

（这个数列的前几项是 a2=3, a3=12, a4=39, a5=120 ...）

下面我证明两条：

1.或者说k次可以从 N<=(3^k-3)/2 个球中将坏球找出来，并判断其轻重(N>= 3)。

2.N>=(3^k-1)/2个球，用k次是不能将坏球找出来，并判断其轻重的。

证明1. k=1是没有意义的，k>=2.

将 N<=(3^k-3)/2 个球平均分成3份，则每份最多有 (3^(k-1)-1)/2 个球，并且有两份数目相等。设A,B,C三组，A,B相等。（另外，每组至少有一个球）

第一次 A vs B

如果平衡，说明坏球在C组，而且我有了一个标准球。又 |C|<=(3^(k-1)-1)/2,根据29L的结论，我可以用k-1次将坏球找出来并判断其轻重。

如果不平衡，则坏球在A,B中，并且我已知了一部分不重，另一部分不轻，而且我有了一个标准球。又 |A|+|B|<=3(k-1),根据29L，我可以用k-1次将坏球找出来并判断其轻重。

总之，用k次可以把坏球找出来并判断其轻重。

===================================================================== =

证明2.

若 N>=(3^k+1)/2，则所需次数的信息论下界——{log3(2N)}——>=k+1，因此k 次显然不够。下面假设 N=(3^k-1)/2

由于每次称量天平的两边必须放相同数目的球（否则得不到确定的信息），假设第一次 A vs B，对第一次称球的数目分两种情况讨论，

情形1：|A|=|B|<=(3^(k-1)-1)/2,

则C组球的数目>=(3^(k-1)+1)/2，如果A,B平衡的话，我需要在C组中找出坏球并判断其轻重。而这时的信息论下界至少为{log3(3^(k-1)+1)}=k。所以至少需要k次。这种情况下共需k+1次。

情形2：|A|=|B|>=(3^(k-1)+1)/2,

在这种情形下，如果A,B不平衡的话，则坏球在A,B中，（当然我可以知道一部分不重，另一部分不轻），但A,B球总数>=3^(k-1)+1，因此这时的信息论下界至少为{log3(3^(k-1)+1)}=k。所以至少需要k次。这种情况下共需k+1次。

总之，我不能只用k次将坏球找出来并判断其轻重。

吧友61.150.43.*

现在，我完全回答了这个问题

假设N个球中有一个不标准,且不知其轻重,则可以称多少次将非标准球找出来,并判定其轻重呢，是 {log3(2N+3)} 次。

实际上，当N=3k（k较大时），{log3(2N+3)}=k+1（即不知球轻重的情形下，需要比已知球轻重的情形多称一次）

以9个球，其中一个坏球，不知轻重为例：

分成三组，A、B、C，

先称A和B，

1.A和B平衡，则坏球在C中，再多称一次A和C,即可判断出坏球是轻还是重，

归结为已知球轻重的情形。

2.A和B不平衡，不妨假设A>B,再称B和C：

若B和C平衡，则说明坏球在A中，且是重球，

若C>B，说明坏球在B中，且是轻球，

若B>C，此种情形不可能出现。

亦归结为已知球轻重的情形。

证毕。

当我们不要求判断轻重的情况下，又需要多少次呢？或者说，k次最多可以从多少个球里找出坏球呢？

(首先说这个的信息论下界是{log3(N)},而并非{log3(2N)},因为只有N种可能的结果）

答案是 k次最多可以从 (3^k-1)/2 个球里找出坏球.

（与需要判断轻重的情况比较，仅仅多1个球）

我来试着根据楼主的思路接着证明最这个问题吧，但得事先加一个独立在试验球数之外的标准球。

构造方式如下：

k=0和k=1时是个平凡解。

k=2时，(3^k-1)/2=4。从4个球中任取2个球a,b放在天平上，若a,b平衡则坏球在剩下的2个球c,d里，此时标准球是a,b，用标准球能轻易比较出c,d谁是坏球。（因为不需要知道轻重）；若a,b不平衡则坏球在a,b里，此时标准球

是c,d，同理用标准球能轻易比较出c,d谁是坏球。

不妨设k=n-1时命题成立，其中n可取大于3的任意自然数，即(3^(n-1)-1)/2个球能用n-1次称出坏球来，现在构造k=n的情况：

将(3^n-1)/2个球均分为每份差小于等于1的3份，显然最大的1份(不妨设为集合A)为(3^(n-1)+1)/2 ,同时较小的2份（设为集合B,C）一定相等且为(3^(n -1)-1)/2。

首先任取一份较小的，不妨取B,并加上一个标准球,和A称重(注意|B|=|C|=|A-1|=(3^(n-1)-1)/2)，

若天平平衡，则坏球在余下较小的那份，即C里，由归纳归纳可得结论成立。若天平不平衡，不妨设倾向A（倾向B结论一样），此时可知所有A里的小球非轻，并且所有B里的小球非重，并且|A|+|B|=(3^(n-1)-1)/2 +(3^(n-1)+1)/2 =3^(n-1)。此时由29L的结论可得结论成立。

显然以上归纳了每一种原命题的情况。

我来试着根据楼主的思路接着证明最后这个问题吧:k次最多可以从多少个球里找出坏球.

事先加一个独立在试验球数之外的标准球。

构造方式如下：

k=0和k=1时是个平凡解。

k=2时，(3^k-1)/2=4。从4个球中任取2个球a,b放在天平上，若a,b平衡则坏球在剩下的2个球c,d里，此时标准球是a,b，用标准球能轻易比较出c,d谁是坏球。（因为不需要知道轻重）；若a,b不平衡则坏球在a,b里，此时标准球是c,d，同理用标准球能轻易比较出c,d谁是坏球。

不妨设k=n-1时命题成立，其中n可取大于3的任意自然数，即(3^(n-1)-1)/2个球能用n-1次称出坏球来，现在构造k=n的情况：

将(3^n-1)/2个球均分为每份差小于等于1的3份，显然最大的1份(不妨设为集合A)为(3^(n-1)+1)/2 ,同时较小的2份（设为集合B,C）一定相等且为(3^(n -1)-1)/2。

首先任取一份较小的，不妨取B,并加上一个标准球,和A称重(注意|B|=|C|=|A-1|=(3^(n-1)-1)/2)，

若天平平衡，则坏球在余下较小的那份，即C里，由归纳归纳可得结论成立。若天平不平衡，不妨设倾向A（倾向B结论一样），此时可知所有A里的小球非轻，并且所有B里的小球非重，并且|A|+|B|=(3^(n-1)-1)/2 +(3^(n-1)+1)/2 =3^(n-1)。此时由29L的结论可得结论成立。

显然以上归纳了每一种原命题的情况。原问题解是k次最多可以从 (3^k-1)/2 个球里找出坏球.