人教版九年级上册数学第21章一元二次方程复习教案
一元二次方程的复习
一. 知识梳理
考点1 形如
2
0(0)ax bx c a ++=≠叫做一元二次方程的一般形式，其中ax 2是二次项，a 是二次项的系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 一元二次方程的定义满足的三个条件： （1）整式方程 （2）只含一个未知数
（3）未知数的最高次数是2。
考点2 1.解一元二次方程的一般解法有
（1）_________；（2）________；（•3）•_________；•（•4）•求根公式法，•求根公式是______________．
①直接开平方法解一元二次方程:若()02
≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根，表示为
a x ±=，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
②配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成完全平方的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。
③公式法解一元二次方程：一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax ，当042≥-ac b 时，它
有两个实数根：)04,0(2422≥-≠-±-=
ac b a a
ac
b b x ④因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
（1）将方程的右边化为零；
（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积； （3）令每个因式分别为零，得两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
2．形如
()002≠=+a bx ax 的方程，可用提公因式法求方程的根：()0，021≠-
==a a
b
x x 。 3．形如
()()02
2=+-+n bx m ax )(22b a ≠的方程，可用平方差公式把左边分解。
考点3 1.一元二次方程ax 2
+bx+c=0(a≠0)中，b 2
-4ac 叫做一元二次方程ax 2
+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用“”来表示，即△=b 2
-4ac
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
2.“一元二次方程ax 2
+bx+c ＝0，如果方程有两个不相等的实数根，则△＞0；如果方程有两个相等的实数根，则△=0；如果方程没有实数根，则△＜0．”即根据方程的根的情况，可以决定△值的符号，‘△’的符号，可以确定待定的字母的取值范围．
利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：
①一元二次方程化为一般形式；②确定abc 的值；③计算b 2
-4ac 的值；④根据b 2
-4ac 的符号判定方程根的情况.
考点4 一元二次方程根与系数的关系
（1）韦达定理：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么 证明：∵2
0(0)ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时根为：
∆2
0(0)ax bx c a ++=≠12,x x 1212,b c
x x x x a a
+=-
=
2b x a
-±=
设12b x a -+=
，22b x a
-=，则
∴122222b b b b
x x a a a a
-+---+=
+==-
221222(4)42244b b b b ac ac c
x x a a a a a
-+----⋅=
⋅===
考点5 注意一元二次方程根与系数的关系的前提条件和变形公式。 1、定理成立的条件 2、
3、12
1
21211x x x x x x ++= 4、22121212
()()4x x x x x x -=+- 5
、12||x x -=6、2212121212()
x x x x x x x x +=+
7、
33312121212()3()
x x x x x x x x +=+-+
8、以两个数为根的一元二次方程是
。
考点6 一元二次方程的简单应用：
1.握手问题：设有x 人，握手次数为2)1(-x x 次。
即：循环问题 单循环问题:2)1(-x x 双循环问题:x(x-1)
2.病毒传染问题：公式：(a+x)n
=M 其中a 为传染源（一般a=1），n 为传染轮数，M 为最后得病总人数。
0∆≥22
2121212
()2x x x x x x +=+-
3.增长率问题：这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式：
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n 次后的量是b,则它们的数量关系可表示为：a(1±x)n
=b(中增长取+,降低取－) 4.利润问题：常用关系式：售价—进价=利润 一件商品的利润×销售量=总利润 单价×销售量=销售额 利润率= 利润÷进价
5.关于面积问题：判断清楚要设什么是关键。
常用图形的面积公式：长方形面积=长×宽 S=ab
正方形面积=边长×边长 S=a2 圆面积=圆周率×半径的平方 S=πr2 三角形面积=底×高÷2 S=ah÷2
7.动态几何:搞清题意，在运动过程当中的常量和变量，以及它们之间的关系。
Rt △满足勾股定理。
二.课堂例题精讲与随堂演练
【一】一元二次方程的概念
【例1】1.（2017年越秀外国语期中考）关于x 的方程ax 2
-3x+2=x 2
是一元二次方程，则a
的取值范围是（ ）。
A ．a ≠1 B.a 〉0 C.a ≠0 D.a 〉1
2.（2017年天河区期末考试12题）已知方程x 2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是 ．
3.若关于x 的一元二次方程的常数项为0，则m 的值等于 （ ）
A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．0
【易错题组一】
1．关于x 的方程是，那么当m______时，方程为一元二次方程；当m_____时，方程为一元一次方程。
0235)1(2
2
=+-++-m m x x m 2
2
(1)(1)20m x m x -+--=
2．m_____时，关于x 的方程是一元二次方程。
3．关于x 的方程的一次项系数是-3，则k=_______。
4．若x=-2是关于x 的方程的一个解，则______
5．已知是一元二次方程的一个解，且，求的值。
6.已知x 满足=+
=+-x
x x x 1
,0152则 7. 当代数式532++x x 的值为7时，代数式2932-+x x 的值为（ ）
A 4
B 2
C -2
D -4
8.已知实数a,b 满足，，且, 则的值
为___________。
9.已知n m ,是方程0122=--x x 的两根，且8)763)(147(2
2=--+-n n a m m ，则a 的值等于 （ ）
A ．－5 B.5 C.-9 D.9
【二】一元二次方程的解法
【例3】（2017年荔湾广雅期中考）解下列方程：
（1）2x 2
-5x+1=0 (2)(x+4)2
=2(x+4)
【易错题组二】
1.三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长
为（ ）.
A ．14
B ．12
C ．12或14
D ．以上都不对
2.用配方法解方程，则方程可变形为（ ）
2
2()(2)m x x x +=
-+2
2
(1)3(2)420k x k x k ++-+-=0163)4(2
=-++-n mx x m =-22100n m 1x =2
400ax bx +-=a b ≠2222a b a b
--0122=--a a 0122=--b b b a ≠ab b a 32
2++2
12350x x -+=2
3610x x -+=
A ．
B ．2)1(32
=-x C ． D.
3.方程x(x+3)=x+3的解是（ ）
A.x=1
B.x =0 ，x =-3
C.x =1，x =3
D.x =1， x =-3 4.解方程：
（1）2x 2
－4x －5＝0 （2）3x(x －1)＝2－2x （3）0322=-+x x
（4）x(x ﹢6)＝7 （5） (x －2)2
＝(2x ﹢3)
2
（6）()()041212
=-+++x x
【三】一元二次方程根与系数的关系 【例3】
1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
_________．
2.试说明关于x 的方程012)208(2
2=+++-ax x a a 无论a 取何值，该方程都是一元二次方程.
3.设x 1，x 2是方程的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值。
（1）（）（） （2）
2
1(3)3x -=
2(31)1x -=22(1)3x -=121212x 2
210kx x --=k 22430x x +-=12x -22x -22
12x x +
4．已知关于x 的方程022)13(2
2
=+++-k k x k x 。 （1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC 的一边长6=a ，另两边长c b ,恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长。
5.(四川省南充市，18，8分) 关于x 的一元二次方程的两个实数根分别
为.（1）求m 的取值范围；（2）若，求m 的值.
6.若关于x 的一元二次方程x 2
+kx+4k 2
-3=0的两个实数根分别是x 1，x 2，且满足x 1+x 2= x 1x 2，则k 的值为 .
解：∵ x 1+x 2=-k , x 1x 2=4k 2-3 , x 1+x 2= x 1x 2
∴ -k=4k 2
-3 ∵b 2
-4ac= k 2
-4(4k 2
-3)=-15 k 2
+12
4k 2
+k-3=0 当k 1=时，b 2
-4ac=-15×（）2
+12>0
（4k-3）（k+1）=0 当k 2=-1时，b 2-4ac=-15×（-1）2
+12<0 4k-3=0 , k+1=0 ∴k 的值是
∴ k 1= ，x 2=-1
错误原因：没有检验判别式
7.已知关于x 的一元二次方程x 2
-6x-k 2
=0 （k 为常数） （1）求证：方程有两个不相等的实数根
（2）设x 1，x 2为方程的两个实数根，且x 1+2x 2=14，试求出方程的两个实数根和k 的值。
2
310x x m ++-=12,x x 12122()100x x x x +++=434
34
3
4
3
（1）证明：∵b 2-4ac=36+ 4k 2，又∵4k 2≥0，∴36+ 4k 2>0 ，即b 2
-4ac>0 ∴方程有两个不相等的实数根
（2）∵x 1+x 2=6 ，x 1+2x 2=14 ∴x 1=-2 x 2=8
∵ x 1x 2=-k
2
∴k=±4
错误原因：解题不规范
【易错题组三】
1．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且 ，则的值是（ ）
A ．13
B ．12
C ．1
D ．25
2．若a 为方程 (x -)2=100的一个根，b 为方程 (y -4)2
=17的一个根，且a 、b 都是正
数，则a -b 的值等于（ ）
A. 5
B.6
C.
D.10-
3. (山东德州中考,15,4,)若关于x 的方程有实数解，那么实数a
的取值范围是_____________．
4.(浙江杭州模拟)已知关于x 的一元二次方程02)1(2
=++
-x k x k 有解，求k 的取值范
围 ．
5.（湖北襄阳，12，3分）如果关于x 的一元二次方程kx 2
＋1＝0有两个不相等
的实数根，那么k 的取值范围是（ ）。
A ．k ＜
B ．k ＜且k ≠0
C ．－≤k ＜
D ．－≤k ＜且k ≠0 6.（辽宁盘锦3分）关于x 的方程(k －2)x 2
－4x ＋1＝0有实数根，则k 满足的条件是 ．
7．已知关于x 的一元二次方程22
(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．
（1）求实数m 的取值范围；
（2）当22
120x x -=时，求m 的值．
x 2
210x mx m -+-=12x x 、22
127x x +=212()x x -1783172
2(2)0ax a x a +++=12121212121
2
【四】一元二次方程的应用
【例4】1.（2017年越秀外国语期中考）要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参加赛球队的个数是（ ）。 A.x(x-1)=21 B.x(x+1)=21 C.
21x(x-1)=21 D. 2
1
x(x+1)=21 2.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨一元，其销售量就将减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
3.如图，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条
的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
4.某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在
10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元． （1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为 万元；
（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利） 【易错题组四】
1．某水果批发市场经销一种高档水果。如果每千克盈利10元，每天可出售500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量奖减少20千克，现该市场保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
2.某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全
部租出.每间的年租金每增加5 000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元. （1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）
为275万元？
3.(2017年荔湾区期末考)春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元.
如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元.
三．课堂小结：这次课你学会了什么？还有哪些疑点？ 四．当堂检测：（满分150分）
【A 级】
一．选择题：(每题3分，共30分) 1.方程)4(7)4(3-=-x x x 的根为（ ）
A ．371=
x ，42=x B ．4=x C ．37=x D ．7
3
=x 2.一元二次方程0322=--x x 的根为（ ）
A ．11=x ，32=x
B ．11-=x ，32=x
C ．11-=x ，32-=x
D ．11=x ，32-=x
3. (2017年广州中考.5题.3分)关于x 的一元二次方程2
80x x q ++=有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是（ ）
A ．16q <
B ．16q > C. 4q ≤ D ．4q ≥
4.若关于x 的一元二次方程kx 2
-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞1 B ．k ＞-1且k≠0 C ．k≥-1且k≠0 D ．k ＜1且k≠0 5.已知一元二次方程：①x 2
+2x+3=0，②x 2
﹣2x ﹣3=0．下列说法正确的是（ ） A ．①②都有实数解 B ．①无实数解，②有实数解 C ．①有实数解，②无实数解 D ．①②都无实数解
6.(日照中考)若n （）是关于x 的方程的根，则m +n 的值为 （ ）.
（A ）1 （B ）2 （C ）－1 （D ）－2
7.(成都中考)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则
的取值范围是（ ）
A ．
B ． 且
C ．
D ． 且
0n ≠2
20x mx n ++=x 2
210kx x --=k 1k >-1k >-0k ≠1k <1k <0k ≠
8.(潍坊中考)关于的方程有实数根，则整数的最大值是（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
9.（包头中考）关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（ ）
A ．1
B ．12
C ．13
D ．25
10.如图，矩形ABCD 的周长是20cm ，以AB,AD 为边向外作正方形ABEF 和正方形ADGH ，若正方形ABEF 和ADGH 的面积之和为，那么矩形ABCD 的面积是（ ）。 A ． B ． C ． D ．
二．填空题：(每题3分，共24分) 11.(1)
(
)()
2
26x x ++=
（2）2
x －8x ＋（ ）＝（x- ）2 （3）2
x ＋x ＋（ ）＝（x ＋ ）2； （4）42x －6x ＋（ ）＝4（x － ）2
12.请写一个两根分别是1和2的一元二次方程 ．
13.（广州中考. 16题.3分）若关于x 的方程222320x mx m m +++-=有两个实数根1x 、
2x ，则21212()x x x x ++的最小值为______．
14.（哈尔滨中考）如果2是一元二次方程x 2
＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为 ．
15.（荆州中考）若是方程的解，则 ＝ ． 16. 若关于x 的方程x 2
-（a+2）x+a-2b=0的判别式等于0，且是方程的根，则a+b 的值是 三．解答题：（共102分）
17．解下列方程： （每题3分，共12分）
(1)(x －5)2
＝36； (2)3x 2
－6x ＋1＝0；
x 2
(6)860a x x --+=a x 2
210x mx m -+-=12x x 、22127x x +=2
12()x x -268cm 2
21cm 2
16cm 224cm 2
9cm 0x =22(2)3280m x x m m -+++-=m 2
1
=
x G D
C
E
F
（16题）
A
H
(3)x 2
－4x ＋1＝0； (4)(2x －3)2
＝3(2x －3)．
18. 已知（x 2
+y 2
）（x 2
+3+y 2
）-54=0，求x 2
+y 2
的值．（7分））
【B 类】 19.若
12
,x x 是方程2
220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：（每题3分，共9分）
(1) 22
1
2x x +； (2) 12
11
x x +； (3)
12(5)(5)
x x --；(4)
12||
x x -．
20. 已知关于x 的一元二次方程x 2
-（m+2）x+2m-1=0（10分） （1）若x=-1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一个根； （2）对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由。
21.(庆阳中考)如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米的无盖长方体箱
3
子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？（12分）
22．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？(12分)
23.李叔叔家房子前面有一块长方形荒地，准备把它建成一座花园.但中央修两条互相垂直的等宽小路，正好将荒地分成四个面积相等的小长方形.如图3-8-7，已知原长方形的长为30米，宽20米，要使每个小长方形面积不少于126m 2
.则每条小路宽至多为多少米?（12分）
24.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为．在温室内，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是？（14分）
2:12
288m 前
25.（浙江杭州义蓬一模）随着人民生活水平的不断提高，萧山区家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，家景园小区2008年底拥有家庭轿车144辆，2010年底家庭轿车的拥有量达到225辆.（14分）
（1）若该小区2008年底到2010年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2011年底家庭轿车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资25万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位6000元/个，露天车位2000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的3倍，但不超过室内车位的4.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.
一元二次方程的复习【答案】 【例1】 【例2】
16.解：∵b 2
-4ac=0 ∴方程有两个相等的实数根，即x 1=x 2=
∴x 1+x 2= a+2=
+=1 ，x 1x 2= a-2b =×= ∴ a=-1 b=-
∴ -a+b=-
错误原因：没有由b 2
-4ac=0推想到方程两根相等，利用根与系数关系做。 20.解：（1）∵x=-1是方程①的一个根
∴1-（m+2）+2m-1=0 ∴m=- ∵x 1+x 2= m+2
∴ -1+ x=-+2
∴x =
（2）b 2
-4ac=（m+2）2
-4×1×（2m-1）= m 2
-4m+8=(m-2)2
+4 ∵无论m 取何值时(m-2)2
≥0，∴(m-2)2
+4>0，即b 2
-4ac>0 ∴对于任意实数m 方程有两个不相等的实数根 错误原因：（2）的解题不规范
25. (1) 设每年的平均增长率为x,144(1+x)=225,x=1/4 或 x=-9/4 (舍去)
225×(1+1/4)=281
（2）设可建室内车位a 个，露天车位b 个， 3a ≤b ≤4.5a
6000a+2000b=250000
≤ a ≤
2
12121212141858
133
2
3
2
3
72
3
506125
a=17,b=74; a=18,b=71; a=19,b=68; a=20,b=65
初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程复习课教案
一元二次方程复习 复习目标 1．知识与技能． （1）了解一元二次方程的有关概念． （2）能运用直接开平方法、配方法、公式法、?因式分解法解一元二次方程． （3）会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况． （4）知道一元二次方程根与系数的关系，并会运用它解决有问题． （5）能运用一元二次方程解决简单的实际问题． （6）了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想． 2．过程与方法． （1）经历运用知识、技能解决问题的过程． （2）发展学生的独立思考能力和创新精神． 3．情感、态度与价值观． （1）初步了解数学与人类生活的密切联系． （2）培养学生对数学的好奇心与求知欲． （3）养成质疑和独立思考的学习习惯． 重难点、关键 1．重点：运用知识、技能解决问题．
2．难点：解题分析能力的提高． 3．关键：引导学生参与解题的讨论与交流． 复习过程 活动一：基础练兵温故知新 1、若方程(m-2)x|m|+3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则m=_____。 2、一元二次方程x2-x+a=0的两实数根相等，则a=________。 3、若一元二次方程2x2+3x-4=0的两根为m、n，则m+n=___，mn=____。 活动二：知识梳理系统构建 活动三：寻根之旅感知迁移 不解方程，请判断x=2是不是方程x2-5x+6=0的根？x=1呢？ 提示：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫方程的根请在下式的横线处填入一个单项式，x2-6x+____=0 使它分别适合用以下方法求解： （1）直接开平方法 （2）因式分解法 （3）公式法 （4）配方法 方程解法选择策略：首先考虑直接开平方法，因式分解法，再考虑公式法，一般不使用配方法。 用适当方法解方程(x+3)2-5(x+3)+6=0
人教版初中数学九年级上册第二十一章：一元二次方程(全章教案)
第二十一章一元二次方程 本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)，一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题．其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容． 方程是科学研究中重要的数学思想方法，也是后续内容学习的基础和工具，本章是对一元一次方程知识的延续和深化，同时为二次函数的学习做好准备．联系一元二次方程和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，让学生进一步体会“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”． 本章是中考考查的重点内容，主要考查一元二次方程的解及其解法、一元二次方程根与系数的关系、建立一元二次方程模型解决实际问题． 【本章重点】
一元二次方程的解法及应用． 【本章难点】 1．一元二次方程根与系数的关系的应用． 2．利用一元二次方程解决实际问题． 【本章思想方法】 1．体会和掌握转化法，如：在解一元二次方程时，利用转化法将一元二次方程转化为一元一次方程． 2．掌握建模思想，如：在利用一元二次方程解决实际问题时，根据题意建立适当的一元二次方程，将实际问题转化为数学模型． 21.1一元二次方程1课时 21.2解一元二次方程4课时 21.3实际问题与一元二次方程1课时
21.1一元二次方程 一、基本目标 【知识与技能】 1．理解一元二次方程及相关概念． 2．掌握一元二次方程的一般形式． 3．了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 【过程与方法】 从实际问题中建立方程模型，体会一元二次方程的概念． 【情感态度与价值观】 通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养． 二、重难点目标 【教学重点】 1．一元二次方程的概念及其一般形式． 2．判断一个数是不是一元二次方程的解． 【教学难点】 能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．
人教版九年级数学上册第21章：一元二次方程韦达定理 复习
教案 年级：初三课本：人教版章节：第二十一章课次：1 课时：30分 课程主题：一元二次方程的韦达定理复习 课程类型：复习课 教学方法：讲授 教学手段：板书 教学重点：理解韦达定理的意义，掌握根与系数的关系（即韦达定理的内容），并利用该部分知识点解决问题 教学难点：掌握根与系数的关系，并利用该部分知识点解决问题 教学目标：通过对相关知识点的复习以及专题练习，学生能够理解韦达定理的意义，掌握根与系数的关系（即韦达定理的内容），并利用该部分知识点解决问题 教学设计 一、引入： 利用公式法引入 利用求根公式去算两根和与两根差（即推导韦达定理） 二、知识点归纳 1．根与系数的关系（韦达定理） （1）一般形式 x1+x2=?b a x1?x2=c a 注：使用前提条件是一元二次方程有两个根即a≠0且△≥0 （2）如果一元二次方程二次项系数为1时，x2+px+q=0 x1+x2=?p x1?x2=q 两个之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项 已知两个根，可以直接求出方程x2?(x1+x2)x+x1?x2=0 2.重点题型 小练 （1）不解方程直接求方程的两根和或两根积 例题1 下列一元二次方程的两实数根和为-4的是（） A. x2+2x?4=0 B. x2?4x+4=0
C. x2+4x+10=0 D.x2+4x?5=0 例题2 已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是（） A. -2 B.0 C. 1 D.2 例题3 已知关于x的一元二次方程x2?2x+m=0的两根为x1、x2，那么x1+x2的值是（）A. -2 B.b C. -b D.2 例题4 已知关于x的一元二次方程x2?4x?5=0的两根为x1、x2，那么x1?x2的值是（）A. -5 B.5 C. -4 D.4 （2）求对称代数式的值 对称式是指将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变(f(x,y)=f(y,x))，则称这个代数式为 完全对称式，如1 x +1 y x2+y2等 拓展公式 ①x12+x22=(x1+x2)2?2x1?x2 ②1 x1+1 x2 =x2+x1 x1?x2 x2 x1 +x1 x2 =x12+x22 x1?x2 =(x1+x2)2?2x1?x2 x1?x2 ③(x1?x2)2=(x1+x2)2?4x1?x2 ④|x1?x2|=√(x1+x2)2?4x1?x2 例题5 已知关于x的一元二次方程x2?2x?3=0的两根为x1、x2，那么x12+x22的值是 （）1 x1+1 x2 的值为（） 例题6 设a、b是一元一次方程x2?2x?1=0的两个根，则a2+a+3b的值为（）A. 5 B.6 C. 7 D.8 例题7 一元二次方程x2?3x+1=0的两个根为x1、x2，则x12+3x2+x1?x2?2的值是 （） A. 10 B.9 C. 8 D.7 （3）构造方程 例题8 已知a，b为不相等的两实数根，满足a2+3a+1=0 b2+3b+1=0 求1 a +1 b
初中数学九年级上册第二十一章 一元二次方程《一元二次方程》教案
一元二次方程 一、教学目标： 知识技能： 1.理解一元二次方程的概念； 2.掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，确定出二次项系数、一次项系数和常数项； 3..理解一元二次方程的根的意义，能够运用代入法检验根的正确性. 数学思考：在把实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性. 问题解决：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移得到一元二次方程的概念. 情感态度：通过用数学知识解决实际问题的思想激发学生的学习热情和积极性. 二、教学重难点：通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念、一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及一元二次方程的根等概念，并能用这些概念解决简单问题. 把实际问题转化为一元二次方程模型. 教学时间：两课时 三、教学过程：第一课时 洋葱小视频分享一、有关解方程的科学家的故事，激发学生学习方程的兴趣。 洋葱小视频分享二、一元二次方程的定义讲解，激发学生利用手中的工具提前预习，轻松学习知识。 （一）、知识回顾、教师引导学生完成下列题目，复习一元一次方程的相关知识： 一元一次方程的知识： 1.一元一次方程中的“一元”是指__1个未知数__，“一次”是指__未知数的次数是1__，一元一次方程左右两边都是__整式__的形式. 2.一元一次方程的一般形式是__ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)__．若关于x的方程(m＋1)x|m|＋1＝0是一元一次方程，则m＝____1____. 3.什么是一元一次方程的解？如何判断一个数是不是一元一次方程的解？若已知x＝1是方程ax＋3＝0的解，则a＝__－3__． （二）、【课堂引入】 问题1：有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
初中数学人教版九年级上册：第21章《一元二次方程》全章教案
初中数学人教版九年级上册实用资料 第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程 1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念． 2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 重点 通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题． 难点 一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 活动1 复习旧知 1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？ 2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1 x ＋1＝0 (4)x 2＝1 3．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程． 1．教材第2页 问题1. 提出问题： (1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？ (2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页 问题2. 提出问题： (1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？ (2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？ (3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢？ 3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数． 提出问题： 本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？ 活动3 归纳概念 提出问题： (1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？ (2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？
人教版九年级数学上册21章 一元二次方程复习公开课优质教案
一元二次方程 【知识与技能】 进一步加深对一元二次方程及其解的理解，能选择恰当的方法解一元二次方程，掌握用一元二次方程解决实际问题的思路方法，加强对应用问题的分析和解决能力. 【过程与方法】 经历分析问题和解决问题的过程，拓展对一元二次方程的认识. 【情感态度】 进一步提高在实际问题中运用方程思想解决问题的能力，增强数学应用的兴趣和意识，感悟解一元二次方程的策略的多样性和合理性，培养开拓创新精神. 【教学重点】 理解并掌握一元二次方程的解法、根与系数关系和根的判别式，加强构建一元二次方程解决应用问题的能力. 【教学难点】 综合运用一元二次方程定义、根的判别式及根与系数关系解决具体问题. 一、知识框图，整体把握 二、释疑解惑，加深理解 1.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，且a≠0),这里二次项系数a≠0
是必要条件，而这一点往往在解题过程中易忽视，而致结论出错. 思考 若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2-3m+2=0有一根为0，则常数m 的值为.（参考答案：m=2） 2.一元二次方程的解法有：开平方法、配方法、公式法和因式分解法.对于具体的方程，一定要认真观察，分析方程特征，选择恰当的方法予以求解.无论选择哪种方法来解方程，降次思想是它的基本思想. 3.根的判别式及根与系数的关系：（1）根的判别式Δ=b 2-4ac 与0的大小关系可直接确定方程的根的情况，当Δ=b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.当Δ=b 2-4ac ＜0时方程没有实数根.（2）根与系数的关系：若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个实数根为x 1,x 2，则x 1+x 2=-b a ,x 1·x 2=c a .（3）利用根与系数的关系确定方程的待定字母系数时，千万应注意验证Δ=b 2-4ac 是否大于等于0，否则 所求出的值就不合题意应舍去，这点应引起学生高度重视. 4.列一元二次方程解实际应用问题是数学应用的具体体现，如解决传播类问题、增长率类问题、利润问题及几何图形的计算问题等，而解决这些实际问题的关键是弄清题意，找出其中的等量关系，恰当设未知数，建立方程并予以求解.需注意的是，应根据问题的实际意义检验结果是否合理. 【教学说明】在对上述知识的回顾过程中，既可师生根据教材的主要知识点进行剖析，也可由教师设置问题，让学生思考后进行总结交流，从而整体上加强对本章知识的理解，同时，对易错点给予强调，引起学生注意. 三、典例精析，复习新知 例1已知关于x 的方程（m+n-1）x(m+n)2+1-(m+n)x+mn=0是一元二次方程，则m+n 的值为 . 分析：由题意应有(m+n)2+1=2,故(m+n)2=1,∴m+n=±1,又因为一元二次方程的二次项系数m+n-1≠0，∴m+n ≠1,从而可知m+n=-1. 例2已知a 是方程x 2-2014x+1=0的一个根，求代数式a 2-2013a+ 220141a +的值. 解：根据方程根的定义有a 2-2014a+1=0,从而a 2-2013a=a-1.a 2+1=2014a,故原式=a-1+1a =21a a a -+ =2014a a a - =2013.
第21章 一元二次方程——一元二次方程的解法(复习课) 2022—2023学年人教版数学九年级上册
课题：《一元二次方程的解法》复习教案 一、教材分析： 解一元二次方程是人教版九年级上册第21章第二节的内容，本节的主要内容是一元二次方程的解法（直接开方法、因式分解法、配方法、公式法）。解一元二次方程在课标中的要求是：理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。一元二次方程的解法是中学方程教学的重要环节，又是后续内容学习解决实际问题的基础和工具。一元二次方程是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备。学好这部分内容，对增强学生学习代数的信心具有十分重要的意义。 二、学情分析： 学生已经学习了一元二次方程的解法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法后的一节复习课，已经掌握了学生的薄弱点： 1.易错点：直接开平方法中，学生容易只取正的这一个根； 2.配方法中，学生容易把一次项系数不除以2直接平方，个别学生会忘记平方，方程左边加了常数项，右边忘记加；公式法中，学生容易把公式中的-b记错成b,个别学生再代入系数的时候会忘记前面的负号；等等。 2.不能灵活选择解法，由于不会根据方程系数的特征找到最优解法，造成错误率提高，用时过长的弊端，从而影响到了少数学生对数学的自信心。 三、教学目标： （一）知识与技能： 1.掌握一元二次方程的四种解法，会根据方程的不同特点，灵活选用适当 的方法解方程。 2.避免易错点，提高解方程的正确率。 （二）过程与方法 通过观察方程的特征选择不同解法，培养学生的观察猜想、归纳总结、分析问题、解决问题等能力，同时还培养学生化归的思想。 （三）情感态度价值观 通过对一元二次方程解法的复习，使学生进一步理解“降次”的数学方法，
人教版初中数学九年级第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程教案
《一元二次方程》 教学内容 的长方形，将它的一边剪短 ，那么原来长方形长是，宽是 1
2 整理，得：________． 老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理． 二、探索新知 学生活动：请口答下面问题． （1）上面三个方程整理后含有几个未知数？ （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？ 老师点评：（1）都只含一个未知数x ；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程． 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式 200ax bx c a ++=≠（）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成2 00ax bx c a ++=≠（）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 例1．将方程（8-2x ）（5-2x ）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 分析：一元二次方程的一般形式是200ax bx c a ++=≠（）．因此，方程 （8-2x ）（5-2x ）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等． 解：去括号，得： 40-16x-10x+4x 2=18 移项，得：4x 2-26x+22=0 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22． 例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成2 00ax bx c a ++=≠（）的形式． 解：去括号，得： x 2 +2x+1+x2-4=1 移项，合并得：2x 2+2x-4=0 其中：二次项2x 2，二次项系数2；一次项2x ，一次项系数2；常数项-4．
部编人教版九年级数学上册 第21章一元二次方程复习课 教案
一元二次方程单元复习教案 复习目标 1．知识与技能． （1）了解一元二次方程的有关概念． （2）能运用直接开平方法、配方法、公式法、?因式分解法解一元二次方程．（3）会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况． （4）知道一元二次方程根与系数的关系，并会运用它解决有问题． （5）能运用一元二次方程解决简单的实际问题． （6）了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想．2．过程与方法． （1）经历运用知识、技能解决问题的过程． （2）发展学生的独立思考能力和创新精神． 3．情感、态度与价值观． （1）初步了解数学与人类生活的密切联系． （2）培养学生对数学的好奇心与求知欲． （3）养成质疑和独立思考的学习习惯． 重难点、关键 1．重点：运用知识、技能解决问题． 2．难点：解题分析能力的提高． 3．关键：引导学生参与解题的讨论与交流． 复习过程 一、复习联想，温故知新 基础训练．
1．方程中只含有_______?未知数，?并且未知数的最高次数是_______，?这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________． 例如：一元二次方程7x-3=2x2化成一般形式是________?其中二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是________． 2．解一元二次方程的一般解法有 （1）_________；（2）________；（?3）?_________；?（?4）?求根公式法，?求根公式是______________． 3．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，?它没有实数根． 例如：不解方程，判断下列方程根的情况： （1）x（5x+21）=20 （2）x2+9=6x （3）x2-3x=-5 4．设一元二次方程x2+px+q=0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=_______，x1·x2=______． 例如：方程x2+3x-11=0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=________；x1·x2=_______． 5．设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=?_______，?x1·x2=________． 二、范例学习，加深理解 例：解下列方程． （1）2（x+3）2=x（x+3）（2）x2-2 x+2=0 （3）x2-8x=0 （4）x2+12x+32=0 点拨：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法． 三、合作交流，探索新知 1．已知关于x的方程x2-mx-3=0的两实根为x1，x2，若x1+x2=2，求x1，x2的值．
21.1一元二次方程教案(人教版数学九年级上册)
21.1一元二次方程 （一）教学目标 （1）知识技能： 1.通过类比方程，了解一元二次方程的定义及一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念。 2.了解一元二次方程的解的定义，会检验一个数是不是一元二次方程的解。（2）过程与方法： 通过实例，列出一元二次方程，让学生体会一元二次方程是实际问题数量关系的有效模型，培养学生初步形成“模型思想”，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识。 （3）情感态度 使学生经历类比方程得到一元二次方程定义的过程，减少学生对新知识的陌生感，提高学生学习数学的兴趣。 （二）教学重点难点 重点：通过类比方程，了解一元二次方程的定义及一般形式ax2+bx+c= 0（a≠0）和一元二次方程的解等定义,并能使用定义解决简单问题。 难点：一元二次方程、二次项及其系数、一次项及其系数与常数项的分别。 教学方法： 教学准备：课件 （三）教学过程： 一、复习引入： 同学们我们已经学习了一元一次方程，二元一次方程组和可化为一元一次 方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非 常常见的一种数学方法。从这节课开始学习一元二次方程知识，先来回忆一下 方程的有关概念. 1.什么是方程？什么的一元一次方程？ 2.指出下面哪些方程是已经学过的方程？分别是什么方程？ （1）3x+2=0；（2）2x−3y=8；（3）2 5x +3 y =0；（4）1 3 y=4；
（5）x2−2x+1=0；（6）y(y−8)=24;（7）5+1 x−3=1;（8）2x 3 −y 2 =2. 3.什么的元？什么的次？ 二、探究新知： 1.课件出示教材问题1、2，要求学生列出方程，思考下列问题。 问题1 有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？ 提问： （1）问题1中列方程的等量关系是，所列的方程为，化简后为。1 （2）问题2中列方程的等量关系是，为什么要乘1 2 ？所列的方程为，化简后为。 注意：（1）学生对列方程解应用问题的步骤是否清楚； （2）学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题． 说明：由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型． 2.观察方程 （1）x2−75x+350=0；（2）x2−x−56=0. 请口答下面问题． （1）上面几个方程整理后含有几个未知数？ （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？ 结论：（1）都只含一个未知数x；
2019年九年级数学上册 第21章 一元二次方程复习学案(新版)新人教版 .doc
2019年九年级数学上册第21章一元二次方程复习学案（新版） 新人教版 【学习目标】 ：以实际问题为背景线索，能独立回顾一元二次方程的相关知识，并能进行初步的知识组织，通过相互交流建立一元二次方程的相关知识。 一元二次方程是刻画现实问题的重要模型，请大家从简单的面积问题开始： 引例矩形的周长为14，面积为10，求这个矩形的边长。 （1）你所设的未知数是， 列出的方程为。 （2）解方程：（用尽可能多的方法） （3）怎样检验你所得到的解是否正确？ （4）试写出这个题的解题过程。 （5）若周长不变，面积为15，求这个矩形的边长。 （6）若周长为14，猜想：这个矩形的的最大面积是多少？
总结：由上述问题的解决过程能想到一元二次方程的哪些知识和方法？试用适当的方法写出来。 基础训练 1.方程4x(x-3)=2-x 2的一般式是 ，一次项系数是 ，常数 项是 。 方程的根是 。 2.若关于x 的一元二次方程x 2+(k+3)x+k=0的一根根是-2，则另一个根是 。 3. 若关于x 的一元二次方程kx 2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A k>-1 B k>-1且k ≠0 C k<1 D k<1且k ≠0 4.用配方法解方程x 2-2x-5=0时，原方程应变形为（ ） A （x+1）2=6 B （x-1）2=6 C （x+2）2=9 D （x-2）2=9 5.已知x 1,x 2是方程x 2+6x+3=0的两个根，则2112 x x x x 的值为 。 6.某市2013年GDP 比2012年增长了8%，由于受到金融危机的影响，预计2014年比2013年增长7%，设这两年GDP 年平均增长率为x%，则所列方程为（ ） A 8%+7%=x% B （1+8%）（1+7%）=2(1+x%) C 8%+7%=2x% D （1+8%） (1+7%)=(1+x%) 2 8.选择适当的方法解方程： （1）x 2=3x ; (2)4(x-2)2=20; (3)x 2+4x=5; (4) x 2-12x-4=0; (5)3x(x-2)=4-2x; (2x-3)2=(6-x)2.
九年级数学上册 21.1 一元二次方程教案 (新版)新人教版
中国书法艺术说课教案 今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。 一、教材分析： 本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。 书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。早在5000年以前的甲骨
文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。 1、教学目标： 使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。 2、教学重点与难点： （一）教学重点 了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。 （二）教学难点： 如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。 3、教具准备： 粉笔，钢笔，书写纸等。 4、课时：一课时 二、教学方法： 要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。
（1）欣赏法：通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。 （2）讲授法：讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！ （3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。 三、教学过程： （一）组织教学 让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。 （二）引入新课， 通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！ （三）讲授新课 1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
人教版九年级上册数学21.1一元二次方程教案
21章一元二次方程 一元二次方程 教学目标 知识技能 探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识． 数学思考 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系． 情感态度 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣,培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．重难点: 重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用． 难点：根的作用的理解; 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型. 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容 教学过程 一、情境引入
章引言问题：身高比例列方程x²=2（2-x），x²+2x-4=0。 【问题情境】 问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？ 【活动方略】 教师演示课件，给出题目． 学生根据所学知识，通过分析设出合适的未知数，列出方程回答问题． 【设计意图】 由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型． 二、探索新知 【活动方略】 学生活动：请口答下面问题． （1）上面几个方程整理后含有几个未知数？ （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？
九年级上册第21章一元二次方程期末复习教案
第21章《一元二次方程》期末复习教学设计 时间：第16周周四上午第三节（12月15 日） 班级：初三（6）班授课教师：林鹏瑶一•教学分析 一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。通过一元二次方程的学习，可以对已学过的实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习可化为一元二次方程的其他高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。 二.三维目标 1. 知识与技能：能够根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，了解一元二次方程的定义及相关概念，理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数学系数的一元二次方程，知道判断一元二次方程根的情况的标准。 2. 过程与方法：学生主动回忆已学过的一元二次方程相关知识，通过本节的练习巩固学过的知识，小结解一元二次方程的方法。 3. 情感、态度和价值观：在积极参与数学活动的过程中，初步体验发现问题，总结规律的态度以及养成质疑和独立思考的习惯。 三.重、难点： 重点：一元二次方程的定义、解法和根的判别式；难点：根的判别式及与解法有关的应用。 教学过程: •专题一一元二次方程的定义问题1 :一元二次方程的定义是什么？它的一般式是什么？有什么要注意的? 配套练习: 1•下列万程是一兀二次万程的有_ 2 1 2 (3)x3 2x - 3 = 0 (1) x25=0 (2)x - 3xy 7=0 x 2 丄■2^ (4) ax bx =6 (5) x =0(6)x2- 2x = 0 2•已知关于x的方程（m - 2）x2• x - 2 = 0，当m _________________ 时，方程为一元二次 方程，二次项系数是 ___________________ ，一次项系数是 _____________ ，常数项是__________ ; 当m = ____________ 时，方程为一元一次方程。
九年级数学上册 第21章 一元二次方程章末复习教案 (新版)新人教版
一元二次方程 章末复习 一、复习导入 1.导入课题：通过对一元二次方程这章的学习，你记得学习了哪些知识吗？各知识点间有什么联系呢？如何运用这些知识解决问题呢？(板书课题) 2.复习目标： (1)梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识. (2)能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程，知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，并能利用它们解决有关问题. (3)列一元二次方程解决实际问题. (4)进一步加深对方程思想、分类思想、转化思想(即降次)的理解与运用. 3.复习重、难点： 重点：(1)一元二次方程的解法； (2)列一元二次方程解决实际问题. 难点：列一元二次方程解决实际问题. 二、分层复习 1.复习指导： (1)复习内容：教材第1页到第26页(第二十一章一元二次方程). (2)复习时间：10分钟. (3)复习方法：阅读课本，运用图表梳理本章知识结构网络. (4)复习参考提纲： ①知识点搜集： A. 一元二次方程的概念，一般形式分别是什么？如何验根？ B. 一元二次方程有哪几种解法？一般情况下如何选择最优解法？ C. 若一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)有实数根x1,x2，则其求根公式 是 根与系数的关系是：x1+x2＝-，x1x2＝ D. 判别一个一元二次方程是否有实根，只需确定b2-4ac的符号:
当b2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根; 当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根; 当b2-4ac<0时，方程没有实数根. e.列一元二次方程可以解决许多实际问题，解题的一般步骤是：审、设、列、解、验、答. ②根据上述知识点，试画出本章知识结构框图： 2.自主复习：学生可结合复习指导来复习. 3.互助复习： (1)师助生： ①明了学情：明了学生对本章知识结构框图的构建情况. ②差异指导：根据学情进行个别或分类指导. (2)生助生：同桌交流，小组合作，组组研讨. 4.强化：本章的知识结构框图.
第2 一元二次方程复习》公开课教案 (省一等奖)2022年人教版
第21章 一元二次方程 教学目标 知识与技能 通过引导学生对全章知识进行梳理，使学生了解一元二次方程的相关概念，掌握其解法；理解一元二次方程根的判别式，并能利用其解决相关问题；会运用一元二次方程解决简单的实际问题 过程与方法 经历运用知识、技能解决问题的过程，在解题过程中开展学生的独立思考能力和创新精神.渗透数学解题中的方程思想、转化思想、建模思想 情感态度与价值观 培养学生将已有的知识建立联系的思维习惯，并鼓励学生积极参与数学活动，在活动中学会思考、讨论、交流、合作 重点 一元二次方程的解法及应用 难点 从实际问题中找到等量关系，列出一元二次方程 教法、学法 引导、启发 自主学习、合作交流 课型 新授课 教学准备 小黑板 教学流程 教师活动 学生活动 二次备课 一、自主学习 1、知识回忆 回忆 2、出示学习目标 对全章知识进行梳理，使学生了解一元二次方程的相关概念，掌握其解法；理解一元二次方程根的判别式，并能利用其解决相关问题；会运用一元二次方程解决简单的实际问题 明确目标 出示自学提纲 ⑴一元二次方程的相关概念 ⑵一元二次方程的解法 ⑶一元二次方程根的判别式 ⑷一元二次方程根与系数的关系 ⑸用一元二次方程解决简单的实际问题 阅读提纲， 〔1〕~〔5〕 4、组织学生自学 指导学生阅读课本P2---26课文,并答复以下问题。 学生自学得出结论组内交流，互助互教。 二、自学反响 汇报或检测 答复老师提出的问题 三、质疑精讲 1、学生质疑，师生共同解疑 提出质疑，师生共同解决 2、教师横向拓展和纵向挖掘 聆听、思考、答复 四、总结提高 1、出示精选习题 1.方程043)2(=-+-mx x m m 是关于x 的一元二次方程，那么 〔 〕 .2A m =± .2B m = .2C m =- .2D m ≠± 2. 用直接开平方法： 9)2(2 =+x 根据所学内容解答习题
人教九年级数学第21章一元二次方程复习教案
一元二次方程知识点的总结（湘教版） 知识结构梳理 （1）含有 个未知数。 （2）未知数的最高次数是 1、概念 （3）是 方程。 （4）一元二次方程的一般形式是 。 （1） 法，适用于能化为)((0)2≥=+n n m x 的一元。 二次方程 （2） 法，即把方程变形为ab=0的形式， 2、解法 （a ，b 为两个因式）, 则a=0或 （3） 法 （4） 法，其中求根公式是 当 时，方程有两个不相等的实数根。 （5） 当 时，方程有两个相等的实数根。 当 时，方程有没有的实数根。 可用于解某些求值题 （1） 一元二次方程的应用 （2） （3） 可用于解决实际问题的步骤 （4） （5） （6） 知识点归类 建立一元二次方程模型 知识点一 一元二次方程的定义 如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这 样的方程叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。 ③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。 例 下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？ ⑴ 35 22=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x 知识点二 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。其中a ，b ， c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。 注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把 它先化为一般形式。 （3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次一元二次方程
人教版九年级数学上册《一元二次方程》复习教案
2.3 《一元二次方程》复习教案 教学目标： 1.了解一元二次方程的概念，并会用直接配开平方法、因式分解法、公式法和配方法 解一元二次方程； 2.了解一元二次方程根的判别式，并会用其判断根的情况； 3.了解根与系数的关系，能解决与根有关的代数式求值题； 4.会列一元二次方程解实际问题. 教学重点与难点： 重点：熟练用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程. 难点：会用根的判别式，根与系数的关系解决有关根的问题. 教法与学法指导： 本节课主要采用题组复习，在教学过程中我先由“构建知识框架——巩固知识点——典题尝练互查反馈——例题及精析——应用提高——反思提高”的方式完成本节课的教学，学生通过自主学习，小组合作，展开互动性学习，让学生体会到学习数学的成就感．、 在整个专题复习过程中，要充分学生的自主性，让学生积极主动参与复习的全过程，特别是让学生参与知识梳理、板演批发挥改、错误剖析、规范整理、总结归纳等环节，只有这样才能使学生有效地掌握所学习的知识和方法. 课前准备:
教师准备：导学案、多媒体课件． 学生准备：尝试完成导学案、阅读课本九（上）第二章． 教学过程： 一、激趣导入，预习展示 【师】知识在于积累，能力在于训练，这节课我们一起来重点回顾一元二次方程的概念、解法和应用，查缺补漏，以求厚积薄发.希望人人达标过关！大家有没有信心？ 【生】有（学生充满信心！） 【设计意图】本环节主旨在于激起学生学习的积极性，语言中有对章节复习的重要性的渗透，有复习重点的渗透，有树立学生信心的目标，从学生昂扬的斗志和铿锵的回答中可以看到学生的积极性和学习的欲望已经被调动起来，实现了导入的目的． 【师】(鼓励性的语气)很好！课前要求同学们做了自主复习，大家在知识和能力方面都有哪些方面的收获，请大家独自回忆后小组合作交流，形成小组的研讨成果. 【生】积极的小组内交流收获，共同构建知识结构网络.