第21章 一元二次方程——一元二次方程的解法(复习课) 2022—2023学年人教版数学九年级上册
课题：《一元二次方程的解法》复习教案
一、教材分析：
解一元二次方程是人教版九年级上册第21章第二节的内容，本节的主要内容是一元二次方程的解法（直接开方法、因式分解法、配方法、公式法）。解一元二次方程在课标中的要求是：理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。一元二次方程的解法是中学方程教学的重要环节，又是后续内容学习解决实际问题的基础和工具。一元二次方程是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备。学好这部分内容，对增强学生学习代数的信心具有十分重要的意义。
二、学情分析：
学生已经学习了一元二次方程的解法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法后的一节复习课，已经掌握了学生的薄弱点：
1.易错点：直接开平方法中，学生容易只取正的这一个根；
2.配方法中，学生容易把一次项系数不除以2直接平方，个别学生会忘记平方，方程左边加了常数项，右边忘记加；公式法中，学生容易把公式中的-b记错成b,个别学生再代入系数的时候会忘记前面的负号；等等。
2.不能灵活选择解法，由于不会根据方程系数的特征找到最优解法，造成错误率提高，用时过长的弊端，从而影响到了少数学生对数学的自信心。
三、教学目标：
（一）知识与技能：
1.掌握一元二次方程的四种解法，会根据方程的不同特点，灵活选用适当
的方法解方程。
2.避免易错点，提高解方程的正确率。
（二）过程与方法
通过观察方程的特征选择不同解法，培养学生的观察猜想、归纳总结、分析问题、解决问题等能力，同时还培养学生化归的思想。
（三）情感态度价值观
通过对一元二次方程解法的复习，使学生进一步理解“降次”的数学方法，
进一步获得对事物可以转化的认识。通过小组合作的形式，培养合作的习惯，提高分析的能力。
四、教学重点：
掌握解一元二次方程的四种方法。
五、教学难点：
会根据方程的特征灵活选用适当的方法解方程。
六、教学过程：
（一）全班纠错，激发热情：
教材P17习题21.2 6（3）3(1)2(1)x x x -=-
作业完成中的不同解法展示：
A ：解：32x =
∴ 23
x = ∴原方程的解是：23
x = B ：解：23322x x x -=- C ：解： 23322x x x -=-
235+2=0x x - 235+2=0x x -
252=33x x -- 252=33
x x -- 22552+()=363x x -- 2225525+()=+()3636
x x -- 252()=63x -- 251()=636
x - ∴原方程无解 51=66x -
∴=1x
∴原方程的解为：=1x
D ：解：23322x x x -=-
235+2=0x x -
3,5,2a b c ==-=
224(5)4321b ac ∆=-=--⨯⨯=
21,2451223
b b a
c x a ±--±==⨯ ∴122
13
x x =-=-， ∴原方程的解是：12213
x x =-=-，
E ：解：3(1)2(1)0x x x ---= (1)(32)0x x --=
12213
x x ==， ∴原方程的解是：12213
x x ==
， 提出问题，小组讨论：
1.以上几位同学的解法是否正确，如果不正确请指出并改正，并小组内总结出哪些地方是易错点。
2.哪种方法更简便？你还有其他方法吗？ 设计意图：通过学生作业中的错误，激发学生学习的兴趣，并通过小组讨论找出易错点，进一步让学生熟练掌握几种解法，对比几种解法发现，不同方程特点，选择方法不一样，带来的运算量不一样，因此，在解一元二次方程前，有必要对式子结构和系数进行观察，选择合适的解法，能有效的避免错误和提高速度。
（二）解法回顾，温故知新
一元二次方程四种解法：
1.开平方法：
方程的左边是完全平方式,右边是非负数，即形如2x p = （0p ≥），则
12,x p x p =-
2．因式分解法：
（1）用因式分解法的条件是:方程右边等于零，左边能够因式分解
（2）理论依据是:若 0A B ⋅=,则A=0或B=0
（3）因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
①方程右边化为零，；
②方程左边分解为两个一次因式的乘积
③方程化为两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程；
3．配方法：
（1）1.化1:把二次项系数化为1;
（2）移项:把常数项移到方程的右边;
（3）配方:方程两边同时加一次项系数一半的平方;
（4）变形:把方程化成2()x m p +=
（5）开平方: x m p +=±4．公式法：
（1）把原方程化为一般式;
（2）写出a b c ，，
（3）计算240b ac -≥的值;
（4）当2
40b ac -≥时，方程有两个实数根，记为： 21,242b b ac x a -±-= 当240b ac -<时, 原方程无解.
师生活动:老师和学生一起复习四种解法以及一般步骤，并且边复习分享示小组讨论的易错点。找到解一元二次方程本质就是“降次”，实现转化为一次方程去求解，这样的化归思想。
设计意图：通过对方法的复习，让学生进一步掌握解法，通过请学生分享每种方法可能遇到的易错点，让学生拥有“未卜先知”的神算，能提前预知，达到避免错误的目的，通过认识解一元二次方程的本质，培养学生的化归的思想。
（三）由易到难，梳理方法
一元二次方程的一般式：2+=0ax bx c +（0a ≠）
特别的：
（1）当==0b c 时，方程为：2=0ax （0a ≠）.
（2）当=0,0b c ≠时，方程为：2+=0ax c （0a ≠）
（3）当=0,0c b ≠时，方程为：2=0ax bx +（0a ≠）
（4）当00b c ≠≠，时，方程为：2+=0ax bx c +（0a ≠）
情形一 当==0b c 时，方程为：2=0ax （0a ≠）
例1解下列方程
① 22=0x ② 2(21)=0x +
情形二 当=0,0b c ≠时，方程为：2+=0ax c （0a ≠）
例2（1）解下列方程
① 2=9x ② 212=02x - ③ 212+=02
x
（2） 解下列方程
① 2(21)=3x + ② 24(21)3=0x +-
师生活动：让学生指出用什么方法恰当，并归纳当给定的一元二次方程通
过适当变形可化为2x p =或2()x m p +=（0p ≥）型时，可选用直接开平方法。
设计意图：从特殊情形开始，由2x p =到2()x m p +=的形式，都采用直接
开平方法，并且在2()x m p +=中渗透了整体的思想。
情形三 当=0,0c b ≠时，方程为：2=0ax bx +（0a ≠）
例3（1） 解下列方程
① 232=0x x - ② 22=3x x
（2）解下列方程
① 23(1)2(1)=0x x --- ② 22(21)=3(21)x x --
师生活动：让学生指出用什么方法更恰当，并归纳当给定的一元二次方程通
过适当变形可化为2=0ax bx -型时，可选用提取公因式进行因式分解，采用因式
分解法，同时也进一步渗透整体思想。
设计意图：随着探索的深入，目标意识得到强化、转化的思想得以渗透、提高了分析解决问题的能力、积累了探究的经验、提高了学习的兴趣.
情形四 当00b c ≠≠，时，方程为：2+=0ax bx c +（0a ≠）
例4（1） 解下列方程
①244=0x x -+ ② 2450x x --= ③ 24+10x x -=
④224+10x x -= ⑤ 223-10x x -=
师生活动：先由学生指明各个方程选用什么方法，当2+=0ax bx c +（0a ≠，
00b c ≠≠，）时，让学生总结方法的一个筛选过程，因式分解（公式法，十字相乘法等）----配方法（适合当二次项系数化为1时，一次项系数为偶数或常数项较大时）----公式法（万能方法，当然有时也不考虑配方法，直接用公式法）
设计意图：让学生上台讲解题方法，目的在于鼓励学生，增强学生的自信心，激发对学习的兴趣。在不断探索中，学生学会分析问题时从易到难，在教师的引领下，经过交流、思考、发现、收获，一步步走向成功，让学生在此过程中收获成功、收获自信！
（四）巩固方法，学会选择
例5请用四种方法解方程：22(32)(1)x x -=+
师生活动：小组讨论，自由发言，最后再看什么方法更好。
设计意图：通过一题多解，学生能够发散思维，培养学生分析问题和解决问题的能力，同时激发学生对知识的探索欲望和学习兴趣。
练习：小组讨论，选择什么方法：
（1）2320x x -+= （2） 22-3+10x x =
（3）262x x -= （4） 25(2)2x +=
（5）2520x -= （6） 24=9996x x -
（7）016)2(92=--x （8） 3(1)(1)20y y y -+-=
（9）22(21)(2-1)x x x -= （10）233=0x x -
直接开平方法： ；
因式分解法： ；
公式法： ；
配方法： .
师生活动：先由小组内部讨论，然后请每小组发言，并要求说明原因。 设计意图：培养学生善于总结的能力，采取小组合作交流探讨的形式进行，
学生的学习积极性在本节课得到了充分的体现，激发他们对学习的兴趣。
（五）总结提高，获得自信
1.思路总结
20ax c +=
20ax bx +=
20ax bx c ++=
整体思想
2.如遇有括号
化简
3．数学方法：由特殊到一般
4．数学思想：整体思想；转化思想
师生活动：有小组发言，总结方法的同时总结易错点，分享这节课的收获，学会了什么，体会到了什么。
设计意图：通过这节课，让学生会选择适当方法解决不同特征的一元二次方程，并且提高正确率，培养学生分析问题和解决问题的能力，学会由特殊到一般的数学方法，培养学生的整体思想和转化思想。
（六）作业练习，体验成功
作业：解下列方程(先将你选择的最佳解法写在括号中)
（1）5x 2=x ．(最佳方法：______ ) （2）x 2－2x =224．(最佳方法：______ )
（3）6x 2－2x －3=0．(最佳方法：______) （4）3 x (x －1)=2－2 x ．(最佳方法：______)
公式法（配方法）
直接开平分法
因式分解法（提公因式） 因式分解法（完全平方公式，十字相乘法等）
（5）3(5x－1) 2－16=0．(最佳方法：______) （6）4x2＋1=4x．(最佳方法：______)（7）(x－1)(x＋1)－5x＋2=0．(最佳方法：______)
设计意图：巩固提高，体验成功的快感！
第21章 一元二次方程
第21章：一元二次方程 一．基础知识 （1） 定义：一元二次方程的一般形式为： )0(2 =++c bx ax (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。 （2）一元二次方程的解法： （基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。） 1）配方法 利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解。 2)分解因式法 提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解。 3)公式法 这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根a ac b b x 242-±-=； （3） 解一元二次方程的步骤： 1）配方法的步骤： 先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 2)分解因式法的步骤： 把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 3)公式法 就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c （4） 一元二次方程根的情况 利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“△”，而△=b 2 -4ac ，这里可以分为3种情况： ①当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； ②当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； ③当△<0时，一元二次方程没有实数根； （5）C 一元二次方程与一次函数、一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的关系： 方程定义：含有未知数的的等式。 函数定义：如果两个变量x 、y ，并且对于x 的每一个确定值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数； 一元一次方程：（0=+b ax ） 定义：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 二元一次方程：（0=++c by ax ）
第21章 一元二次方程——一元二次方程的解法(复习课) 2022—2023学年人教版数学九年级上册
课题：《一元二次方程的解法》复习教案 一、教材分析： 解一元二次方程是人教版九年级上册第21章第二节的内容，本节的主要内容是一元二次方程的解法（直接开方法、因式分解法、配方法、公式法）。解一元二次方程在课标中的要求是：理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。一元二次方程的解法是中学方程教学的重要环节，又是后续内容学习解决实际问题的基础和工具。一元二次方程是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备。学好这部分内容，对增强学生学习代数的信心具有十分重要的意义。 二、学情分析： 学生已经学习了一元二次方程的解法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法后的一节复习课，已经掌握了学生的薄弱点： 1.易错点：直接开平方法中，学生容易只取正的这一个根； 2.配方法中，学生容易把一次项系数不除以2直接平方，个别学生会忘记平方，方程左边加了常数项，右边忘记加；公式法中，学生容易把公式中的-b记错成b,个别学生再代入系数的时候会忘记前面的负号；等等。 2.不能灵活选择解法，由于不会根据方程系数的特征找到最优解法，造成错误率提高，用时过长的弊端，从而影响到了少数学生对数学的自信心。 三、教学目标： （一）知识与技能： 1.掌握一元二次方程的四种解法，会根据方程的不同特点，灵活选用适当 的方法解方程。 2.避免易错点，提高解方程的正确率。 （二）过程与方法 通过观察方程的特征选择不同解法，培养学生的观察猜想、归纳总结、分析问题、解决问题等能力，同时还培养学生化归的思想。 （三）情感态度价值观 通过对一元二次方程解法的复习，使学生进一步理解“降次”的数学方法，
人教版数学九年级上册第21章 一元二次方程知识点汇总
第二十一章 一元二次方程 一、一元二次方程的概念 1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程． 2、一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠ 3、一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的值，叫做一元二次方程的根（解）. 【注意】 1、定义的隐含条件：①是整式方程；②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 2、任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成一般形式。其中，2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 3、任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20 ax bx c ++=()0a ≠． 对于关于x 的方程2 0ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程． 二、一元二次方程的解法 １．一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法 2．一元二次方程解法的灵活运用 直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法． （1）因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法． 【注意】应用因式分解法解一元二次方程时，方程的右边必须是零． （2）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算2 4b ac -的值． 求根公式：x = 2(40)b ac -≥
（3）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如2ax b =或 ()()2 0x a b b +=≥或()2 ax b +=()2 cx d +的方程，能利用 平方根的意义得到方程的解． （4）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ≠）转化为它的简单形式2Ax B =，这种转化方法就是配方，具体方法为： 2ax bx c ++2 2222244424b b b b ac b a x x c a x a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⎛ ⎫=+++-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 所以方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ≠）就转化为22424b ac b a x a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭的形式，即2 22424b b ac x a a -⎛ ⎫+= ⎪⎝⎭， 之后再用直接开平方法就可得到方程的解． 三、根的判别式 1、一元二次方程根的判别式：24b ac ∆=- 2、根的判别式用来判别根的个数情况： （1）0∆>⇔方程2 0(0)ax bx c a ++=≠ 有两个不相等的实数根1,2x = （2）0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a ==-． （3）0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 3、一元二次方程根的判别式的应用 （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）根据方程根的情况，确定方程中字母系数的值或取值范围； （3）讨论因式分解问题及方程组的解的情况． 四、根与系数的关系——韦达定理 1、设一元二次方程20ax bx c ++=的两个根为12x x ， ，则两个根满足：1212b c x x x x a a +=-⋅=，
21章-一元二次方程复习教案
智考一对一教育学科辅导讲义
7.总结知识框架 ) ~ 真题在线 1.（2011山东济南，18，3分）方程x2﹣2x=0的解为． 2．（2011·天水）如图（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条 道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积 为570m2，求道路宽为多少设宽为x m，从图（2）的思考方式出发列出的方程是．
3.（2011?德州）若x 1，x 2是方程x 2+x ﹣1=0的两个根，则x 12+x 22 = ． ； 变式训练 一元二次方程的定义： 1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ．x 2＋1x 2＝0 B ．ax 2＋bx ＋c ＝0 C ．(x －1)(x ＋2)＝1 D ．3x 2－2xy －5y 2 ＝0 2.下列方程中，无论取何值，总是关于x 的一元二次方程的是（ ） A.02=++c bx ax B.x x ax -=+2 21 C.0)1()1(2 2 2 =--+x a x a D.03 1 2 =-+= a x x : 3.关于x 的一元二次方程（a 2 —1）x 2 +x —2=0是一元二次方程，则a 满足（ ） A. a ≠1 B. a ≠—1 C. a ≠±1 D.为任意实数 4.一元二次方程12)3)(31(2 +=-+x x x 化为一般形式为： ， 二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。 5.关于x 的方程023)1()1(2 =++++-m x m x m ,当m 时为一元一次方程； 当 时为一元二次方程。 6.关于x 的方程0232 =+-m x x 的一个根为-1，则方程的另一个根为______， ______。 —
部编人教版九年级数学上册 第21章一元二次方程复习课 教案
一元二次方程单元复习教案 复习目标 1．知识与技能． （1）了解一元二次方程的有关概念． （2）能运用直接开平方法、配方法、公式法、?因式分解法解一元二次方程．（3）会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况． （4）知道一元二次方程根与系数的关系，并会运用它解决有问题． （5）能运用一元二次方程解决简单的实际问题． （6）了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想．2．过程与方法． （1）经历运用知识、技能解决问题的过程． （2）发展学生的独立思考能力和创新精神． 3．情感、态度与价值观． （1）初步了解数学与人类生活的密切联系． （2）培养学生对数学的好奇心与求知欲． （3）养成质疑和独立思考的学习习惯． 重难点、关键 1．重点：运用知识、技能解决问题． 2．难点：解题分析能力的提高． 3．关键：引导学生参与解题的讨论与交流． 复习过程 一、复习联想，温故知新 基础训练．
1．方程中只含有_______?未知数，?并且未知数的最高次数是_______，?这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________． 例如：一元二次方程7x-3=2x2化成一般形式是________?其中二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是________． 2．解一元二次方程的一般解法有 （1）_________；（2）________；（?3）?_________；?（?4）?求根公式法，?求根公式是______________． 3．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，?它没有实数根． 例如：不解方程，判断下列方程根的情况： （1）x（5x+21）=20 （2）x2+9=6x （3）x2-3x=-5 4．设一元二次方程x2+px+q=0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=_______，x1·x2=______． 例如：方程x2+3x-11=0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=________；x1·x2=_______． 5．设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=?_______，?x1·x2=________． 二、范例学习，加深理解 例：解下列方程． （1）2（x+3）2=x（x+3）（2）x2-2 x+2=0 （3）x2-8x=0 （4）x2+12x+32=0 点拨：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法． 三、合作交流，探索新知 1．已知关于x的方程x2-mx-3=0的两实根为x1，x2，若x1+x2=2，求x1，x2的值．
人教版九年级上册数学 第21章《一元二次方程》讲义 第1讲 一元二次方程认识及解法(有答案)
人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程》讲义第1讲一元二次方程认识及解法（有答案）
③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为n m x =+2)(的形式； ④求解：若0≥n 时，方程的解为n m x ±-=，若0
A ．x 2＋x 1＝0 B ．ax 2＋bx ＋c ＝0 C ．(x －1)(x ＋2)＝1 D ．3x 2－2xy －5y 2＝0 例2、 是关于的一元二次方程，则的值应为（ ） A.＝2 B. C. D.无法确定 例3、方程4x 2+7x-3=0的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 例4、若（m+1） x |m|+1-3x+4=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是 ． 例5、已知关于x 的方程 ． （1）m 为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）m 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项. 例6、一元二次方程a （x-1）2+b （x-1）+c=0化为一般形式后为2x 2-3x-1=0，试求a ，b ，c 的值． 举一反三： 1、下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的为 ( ) A ． B ． C ． D ． 2、下列关于的方程：① ；②；③； ④；⑤．其中是一元二次方程有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3、若方程（m-1）x |m|+1-2x=4是一元二次方程，则m= ． 4、关于x 的方程（m 2-1）x 3+（m-1）x 2+2x+6=0，当m= 时为一元二次方程． 5、一元二次方程（1+3x ）（x-3）=2x2+1化为一般形式为：______，二次项系数为：______，一次项系数为：______，常数项为：______． 6、一元二次方程a （x+1）2+b （x+1）+c=0化为一般式后为3x 2+2x-1=0，试求a 2+b 2-c 2的值的算术平方根． 考点2、方程的解 例1、若x=3是方程的一个根，则m 的值为（ ）
第21章一元二次方程小结与复习教案
第二十二章《一元二次方程》小结 一、本章知识结构框图 二、本章知识点概括 1、相关概念 （1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 （2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)， 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围． 一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程 整式方程二次方程：一元二次方程，二元二次方程 *（4）有理方程高次方程： 分式方程 2、降次——解一元二次方程 （1）配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是: ①方程化为一般形式； ②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③化二次项系数为1； ④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式， 从而原方程化为（mx+n）2=p的形式； ⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 其方法为：先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当⊿＝b2－4ac≥0时，• 将a、b、c代入求根公式x= a2 ac 4 b b2- ± - （b2-4ac≥0）就得到方程的根．
（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是： ①通过移项将方程右边化为0； ②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积； ③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。 3、一元二次方程根的判别式 （1）⊿＝b 2－4ac 叫一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式。 （2）运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况： ①⊿=b 2－4ac ＞0 方程有两个不相等实数根； ②⊿=b 2－4ac =0 方程有两个相等实数根； ③⊿=b 2－4ac ＜0 方程没有实数根； ④⊿=b 2－4ac ≥0 方程有两个实数根。 （3）应用： ①不解方程，判别方程根的情况； ②已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围； ③应用判别式证明方程的根的状况（常用到配方法）； 注意：运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程，即：a ≠0。 *4、一元二次方程根与系数的关系（本部分内容为选学内容） （1）如果一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的两个实数根是21,x x ， 那么a c x x a b x x =-=+2121, （2）应用： ①验根，不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； ②已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值； ③已知方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围； ④不解方程可以求某些关于21,x x 的对称式的值，通常利用到： 2122122212)(x x x x x x -+=+ 212212214)()(x x x x x x -+=- ()| a |x x 4x x ||2122121∆=-+=-x x 当21x x +=0且21x x ≤0，两根互为相反数；
2022年人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程教案 配方法(第1课时)
21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法 一、教学目标 【知识与技能】 1.会利用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程； 2.初步了解形如（x+n）2=p（p≥0）方程的解法. 3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性. 【过程与方法】 通过对实例的探究过程,体会类比、转化、降次的数学思想方法. 【情感态度与价值观】 在成功解决实际问题过程中,体验成功的快乐,增强数学学习的信心和乐趣. 二、课型 新授课 三、课时 第1课时,共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 解形如x2=p(p≥0)的方程. 【教学难点】 把一个方程化成x2=p(p≥0)的形式. 五、课前准备 课件
六、教学过程 （一）导入新课 1.什么是平方根？一个数的平方根怎么样表示？（出示课件2） 一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根.. a(a≥0)的平方根记作:. x2=a(a≥0),则根据平方根的定义知,x=. 2. 求出下列各式中x的值,并说说你的理由.（出示课件3） ⑴x2=9；⑵x2=5. 解:⑴x=±3 ；⑵x=. 思考:如果方程转化为x2=p,该如何解呢？ （二）探索新知 探究直接开平方法 一桶油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗？（出示课件5）教师问:设一个盒子的棱长为xdm,则它的外表面面积为6x2dm2,10个这种盒子的外表面面积的和为10×6x2,由此你可得到方程为10×6x2=1500,你能求出它的解吗？ 学生思考后,共同解答如下:. 解:设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为6x2dm2, 可列出方程: 10×6x2=1500, 由此可得x2=25.
第2 一元二次方程复习》公开课教案 (省一等奖)2022年人教版
第21章 一元二次方程 教学目标 知识与技能 通过引导学生对全章知识进行梳理，使学生了解一元二次方程的相关概念，掌握其解法；理解一元二次方程根的判别式，并能利用其解决相关问题；会运用一元二次方程解决简单的实际问题 过程与方法 经历运用知识、技能解决问题的过程，在解题过程中开展学生的独立思考能力和创新精神.渗透数学解题中的方程思想、转化思想、建模思想 情感态度与价值观 培养学生将已有的知识建立联系的思维习惯，并鼓励学生积极参与数学活动，在活动中学会思考、讨论、交流、合作 重点 一元二次方程的解法及应用 难点 从实际问题中找到等量关系，列出一元二次方程 教法、学法 引导、启发 自主学习、合作交流 课型 新授课 教学准备 小黑板 教学流程 教师活动 学生活动 二次备课 一、自主学习 1、知识回忆 回忆 2、出示学习目标 对全章知识进行梳理，使学生了解一元二次方程的相关概念，掌握其解法；理解一元二次方程根的判别式，并能利用其解决相关问题；会运用一元二次方程解决简单的实际问题 明确目标 出示自学提纲 ⑴一元二次方程的相关概念 ⑵一元二次方程的解法 ⑶一元二次方程根的判别式 ⑷一元二次方程根与系数的关系 ⑸用一元二次方程解决简单的实际问题 阅读提纲， 〔1〕~〔5〕 4、组织学生自学 指导学生阅读课本P2---26课文,并答复以下问题。 学生自学得出结论组内交流，互助互教。 二、自学反响 汇报或检测 答复老师提出的问题 三、质疑精讲 1、学生质疑，师生共同解疑 提出质疑，师生共同解决 2、教师横向拓展和纵向挖掘 聆听、思考、答复 四、总结提高 1、出示精选习题 1.方程043)2(=-+-mx x m m 是关于x 的一元二次方程，那么 〔 〕 .2A m =± .2B m = .2C m =- .2D m ≠± 2. 用直接开平方法： 9)2(2 =+x 根据所学内容解答习题
九年级上册第21章一元二次方程期末复习教案
第21章《一元二次方程》期末复习教学设计 时间：第16周周四上午第三节（12月15 日） 班级：初三（6）班授课教师：林鹏瑶一•教学分析 一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。通过一元二次方程的学习，可以对已学过的实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习可化为一元二次方程的其他高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。 二.三维目标 1. 知识与技能：能够根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，了解一元二次方程的定义及相关概念，理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数学系数的一元二次方程，知道判断一元二次方程根的情况的标准。 2. 过程与方法：学生主动回忆已学过的一元二次方程相关知识，通过本节的练习巩固学过的知识，小结解一元二次方程的方法。 3. 情感、态度和价值观：在积极参与数学活动的过程中，初步体验发现问题，总结规律的态度以及养成质疑和独立思考的习惯。 三.重、难点： 重点：一元二次方程的定义、解法和根的判别式；难点：根的判别式及与解法有关的应用。 教学过程: •专题一一元二次方程的定义问题1 :一元二次方程的定义是什么？它的一般式是什么？有什么要注意的? 配套练习: 1•下列万程是一兀二次万程的有_ 2 1 2 (3)x3 2x - 3 = 0 (1) x25=0 (2)x - 3xy 7=0 x 2 丄■2^ (4) ax bx =6 (5) x =0(6)x2- 2x = 0 2•已知关于x的方程（m - 2）x2• x - 2 = 0，当m _________________ 时，方程为一元二次 方程，二次项系数是 ___________________ ，一次项系数是 _____________ ，常数项是__________ ; 当m = ____________ 时，方程为一元一次方程。
2022年九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程知识点总结素材 (新版)新人教版
一元二次方程 知识点1：一元二次方程的概念 一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程． 一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。 知识点2：一元二次方程的解法 1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。 X+a=±b ∴1x =-a+b 2x =-a-b 2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2 ＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b<0，则原方程无解． 3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a ac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2 －4ac ≥0时代入求根公式。 4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程乘积的形式，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解． 因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。 5．一元二次方程的注意事项： ⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程． ⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．
第21章 一元二次方程 教学设计 2022-2023学年人教版数学九年级上册
21.1一元二次方程 【课标内容】 能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型. 【设计理念】 根据现实中具体问题转化为数学问题，然后通过计算、推理、归纳把数学问题抽象为数学模型，即一元二次方程模型. 【教材分析】 本节课介绍了一元二次方程的概念及一般形式，一元二次方程的学习是一次方程、方程组及不等式知识的延续和深化，也是函数等重要数学思想方法的基础.本节课是研究一元二次方程的导入课，它为进一步学习一元二次方程的解法及简单应用起到铺垫作用. 【学情分析】 学生在七、八年级已经学习了方程的有关知识，在此基础上本节从实际入手，抽象出一元二次方程的概念以及一般形式，同时九年级学生观察、类比、概括、归纳能力也都比较强，不过对应用题的分析仍需进一步加强. 【教学目标】 1.通过丰富的实例，类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念. 2.在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系. 3.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 重点: 通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念和它的一般形式. 难点: 一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别. 五步教学法. 【教学策略】 1.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再有一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念. 2.知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想，从而进一步提高学生分析问题、解决问题的能力. 【课时安排】 1课时. 【教学媒体】 学案和多媒体课件. 【教学过程】 一、预学测查，互助点拨 （一）让学生预学教材，完成学案上的问题 1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部 （腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？
人教版-21章-一元二次方程知识点总结
21章 一元二次方程知识点 一、一元二次方程 1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。 注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。 （3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。 二、 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2 =x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等） 三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 直接开平方法理论依据：平方根的定义。 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；
（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=； （3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是m n c x -±= 。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 （一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： （1） 把一元二次方程化成一般形式 （2） 在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这 个数； （3） 把原方程变为()n m x =+2的形式。 （4） 若0≥n ，用直接开平方法求出x 的值，若n ﹤0，原方程无解。 （二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程 当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时，用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把一元二次方程化成一般形式 (2) 先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数； （3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为()n m x =+2的形式； （4）若0≥n ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：
第21章 一元二次方程 复习题 2022--2023学年人教版数学九年级上册
第21章一元二次方程（复习题）人教版数学九年级上册 一．选择题 1．已知x＝m是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m+2021的值为（）A．2021B．2022C．2023D．2024 2．空地上有一段长为a米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（） A．若a＝16，S＝196，则有一种围法 B．若a＝20，S＝198，则有两种围法 C．若a＝24，S＝198，则有两种围法 D．若a＝24，S＝200，则有一种围法 3．定义新运算a*b：对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2＝（3+2）（3﹣2）﹣1＝5﹣1＝4．若x*k＝2x（k 为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（） A．有一个实数根B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根D．没有实数根 4．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0的一个根是x＝5，m的值为（）A．﹣3B．3C．15D．35 5．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根为m，记Δ＝b2﹣4ac，下列说法正确的是（） A．Δ＝（am+b）2B．Δ＝（am﹣b）2C．Δ＝（2am+b）2D．Δ＝（2am﹣b）2 6．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则点P（a﹣2，﹣a+3）在（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 7．某商品售价准备进行两次下调，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后售价由
298元降到了268元，根据题意可列方程为（） A．298（1﹣x2）＝268B．298（1+x）2＝268 C．298（1﹣2x）＝268D．298（1﹣x）2＝268 8．下列方程中，是一元二次方程的是（） A．4（x+2）＝25B．2x2+3x﹣1＝0C．2x+y＝22D． 9．已知x2+3x﹣1＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（） A．2B．﹣2C．3D．﹣3 10．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（）A．x1+x2＞0B．x1•x2＜0 C．x1≠x2D．方程的根有可能为0 二．填空题 11．若m是关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2m2﹣6m+2022＝．12已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，则 ＝． 13写一个你喜欢的实数m的值，使关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根． 14．若关于x的一元二次方程k2x2+（4k﹣1）x+4＝0有两个不同的实数根，则k的取值范围是． 15．现要在一个长为35m，宽为22m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为625m2，设小道的宽为xm，则根据题意，可列方程为． 三．解答题 16．按要求解方程： （1）直接开平方法：4（t﹣3）2＝9（2t﹣3）2；
人教版 九年级数学 第21章 一元二次方程 综合复习(含答案)
人教版 九年级数学 第21章 一元二次方程 综 合复习 一、选择题（本大题共10道小题） 1. 一元二次方程x 2－2x ＝0的根是( ) A ．0 B ．0，2 C ．2 D ．2，－2 2. 若方程ax 2＋2x ＝bx 2－1是关于x 的一元二次方程，则a ，b 的值可以是( ) A ．1，1 B.12，12 C ．－3，3 D ．－3，－3 3. 一元二次方程 2x 2－3x ＋1＝0的根的情况是( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 一元二次方程x(x －2)＝2－x 的根是( ) A ．x ＝－1 B ．x ＝0 C ．x 1＝1，x 2＝2 D ．x 1＝－1，x 2＝2 5. 方程3x (2x ＋1)＝2(2x ＋1)的两个根为( ) A ．x 1＝23，x 2＝0 B ．x 1＝23，x 2＝12 C ．x 1＝32，x 2＝－12 D ．x 1＝23，x 2＝－12 6. 2018·福建 已知关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2＋2bx ＋(a ＋1)＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是( ) A ．1一定不是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根 B ．0一定不是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根 C ．1和－1都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根 D ．1和－1不都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根
7. 下列一元二次方程中，没有实数根的是() A．x2－2x＝0 B．x2＋4x－1＝0 C．2x2－4x＋3＝0 D．3x2＝5x－2 8. 对于二次三项式－x2＋4x－5的值，下列叙述正确的是() A．一定为正数B．一定为负数 C．正、负都有可能D．一定小于－1 9. 当b＋c＝5时，关于x的一元二次方程3x2＋bx－c＝0的根的情况为() A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 10. 如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程中正确的是() A．(32－2x)(20－x)＝570 B．32x＋2×20x＝32×20－570 C．(32－x)(20－x)＝32×20－570 D．32x＋2×20x－2x2＝570 二、填空题（本大题共7道小题） 11. 若关于x的方程kx2－4x－4＝0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为________． 12. 对于实数a，b，定义运算“◎”如下： a◎b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝________．
人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程解一元二次方程因式分解法
人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程解一元 二次方程因式分解法 探求点1 用因式分解法解一元二次方程 情形激疑 直接开平方法解方程比拟复杂,配方法、公式法十分费事，运算量较大，有没有复杂的解一元二次方程的方法呢? 知识解说 (1)因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是应用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法。 因式分解法就是先把方程的左边化为0,再把左边经过因式分解化为两个一次因式的积的方式,那么这两个因式的值就都有能够为0,这就能失掉两个一元一次方程,这两个一元一次程的解,都是原一元二次方程的解,这样也就把原方程停止了次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的效果了(数学转化思想)。 (2)因式分解法解一元二次方程的普通步骤： ①移项,使方程的左边为零; ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积; ③令每个因式区分为零,失掉两个一元一次方程; ④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解。 留意 运用因式分解法解一元二次方程时,方程的左边化为两个一次因式的乘积的方式,左边一定要化为0,否那么求得的解是错误的。 如:把方程化为(x+3)(x-2)=5,那么x+3=0,或x-2=0得原方程的解为2,321=-=x x 是错误的。
典例剖析 例1 用因式分解法解方程: (1)4x2=11x； (2)(x-2)2=2x-4. 解析(1)移项提取公因式x；(2)等号右侧移项到左侧得-2x+4,提取因式-2,即—2(x-2),再提取公因式x-2,便可到达分解因式的目的,一边为两个一次式的乘积,另一边为0的方式。 答案 (1)移项,得4x2-11x=0. 因式分解,得x(4x-11)=0 于是,得x=0,或4x-11=0, (2)移项,得(x-2)2-2x+4=0, (x-2)2-2(x-2)=0 因式分解,得(x-2)(x-2-2)=0. 整理,得(x-2)(x-4)=0 于是,得x-2=0,或x-4=0, 规律总结 用因式分解法解一元二次方程的普通步骤:一移(方程的左边为0);二分(将方程左边停止因式分解);三化(将一元二次方程转化为两个一元一次方程);四写(写出原方程的解)。 类题打破1 用因式分解法解一元二次方程:3x(2x+1)=4x+2. 答案移项,得3x(2x+1)-(4x+2)=0.
九年级数学21章一元二次知识点
九年级数学第知识点21章一元二次方程 一、学习目标 1、理解一元二次方程的概念 2、学会一元二次方程的解法 3、了解方程的根与系数的关系 4、掌握一元二次方程的实际应用 二、重点 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式 )0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、降次----解一元二次方程 1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方 法。直接开平方法适用于解形如x 2 =b 或b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 3、配方法：配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把 公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的步骤是：①移项、②配方(写成平方形式)、③用直接开方法降次、④解两个一元一次方程、⑤判断2个根是不是实数根。 4、公式法：公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。 一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：
)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 当ac b 42->0时，方程有两个实数根。 当ac b 42-=0时，方程有两个相等实数根。 当ac b 42-＜0时，方程没有实数根。 5、因式分解法：先将一元二次方程因式分解，化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解叫因式分解法。这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 三、一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ 四、一元二次方程根与系数的关系 如果方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，由求根公式 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 可算出 a b x x -=+21，a c x x =21。 第22章 二次函数 一、学习目标 1、理解二次函数的概念 2、学会画二次函数的图象 3、掌握二次函数的性质 4、学会函数图象的平移 5、能够运用二次函数解决实际问题 二、重点 1、二次函数的解析式 ①一般式：)0(2≠++=a c bx ax y (a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。 ②顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y