电梯系统优化问题的数学模型

电梯系统优化问题的数学

模型

Prepared on 22 November 2020

关于电梯系统优化问题的数学模型

摘要

在高层商务楼里，电梯承担着将人和货物运送到各个楼层的任务。在当今社会，工作生活节奏愈发加快，因而电梯系统的运行效率对人们的生活的影响不可忽视。目前的高层商务楼等大多数高层建筑中，一般都使用单井道单轿厢或者单井道双轿厢两种模式的电梯，本文就结合这两种模式，根据实际情况将问题分为两种情况考虑，重点讨论了将电梯运行效率最大化的方法，建立了相关模型，并给出了相应的优化参数。

本文将电梯系统的优化分为高峰期和非高峰期两种时期进行讨论。高峰期时通过对问题的分析，发现可以设置电梯区间以尽可能减少目标层较高的乘客占用目标层较低的乘客的电梯资源，根据这一思想，我们将其简化为排队问题来考虑，并据此建立了排队模型，通过实地统计数据以及C语言的编程，能够较好地解出模型，得到在高峰期时将一部分电梯区间的顶层设为第14层左右的优化方案。非高峰期时通过对这一时期特点的分析，以每台电梯在无乘梯需求时自动停留的楼层为着眼点，采用枚举的方法编程求解，得到在非高峰期将电梯均匀分布在楼层中的优化方案。最后，我们对模型参数进行了灵敏度的分析，发现虽然模型对数据的依赖性较强，但最优方案不随参数的波动而变化，所以这个结果还是可信的。

本文提出的方案直观易行，且几乎不需额外的经济投入，可行性很强，具有较好的参考价值。

一问题重述

在高层商务楼里，电梯承担着将人和货物运送到各个楼层的任务。目前的高层商务楼等大多数高层建筑中，主要使用单轿厢和双轿厢两种电梯运行系统。单轿厢电梯在向上运行时，只有满足了所有“上行请求”时才会开始满足“下行请求”，反之亦然；而对于双轿厢电梯，乘客在进入轿厢前就通过按钮面板选择了要停靠的楼层，系统迅速整合分析接收到的流量数据，并调度合适的轿箱来应接乘客。

现有一座商务楼，设计地上层数为28层，地下停车楼2层，每层的建筑面积为1500平方米，楼内有6个用于客梯的电梯井道。电梯按照商务楼建筑面积15至20平方米每人的标准来设计。第1层的楼层高为4.8米，其余层均为3.2米，设计电梯的平均运行速度1.6米/秒。我们的任务是：

1．建立一个合适的单轿箱客梯系统的运行方案，使尽可能地提高电梯系统的运行效率；

2．分别在运行的高峰期与非高峰期，对双轿箱的电梯系统与单轿箱的电梯系统的运行效率等进行对比分析,评价两种方案的优劣性，估计双轿厢系统运行效率的提高率。

二基本假设

1．电梯载客量为13人，且不超载。13人载客量是国内最常见的一种电梯规格，并且为了乘梯安全，电梯不应超载。

2．电梯在每层停留的时间相等。在假设1成立的前提下，电梯乘客可以迅速有序地离开电梯，电梯停留时间受离开人数的影响可以忽略不计。

3．乘客的到达形成泊松流。

4．商务楼工作人员均匀分布在地上2层到28层的每一层，即电梯乘客在每一层下电梯的概率相等。

5．在上班高峰期无人下电梯，在下班高峰期无人上电梯。

6．使用每层地下停车楼的人数相等。

三符号及名词说明

输入层：有需要乘电梯的人流入的楼层。

目标层：乘客想要到达的楼层。

服务：在上班高峰期电梯由输入层出发到载完13个人回到输入层

称为一次服务。

αk=(p,q)T：第k个电梯或电梯井道的运行区间，即被限制只能从p层

运行到q层。

A =(α1,α2,α3,α4,α5,α6)：高峰期电梯系统运行的一种安排方案。

b k：第k个电梯在无乘梯需求是停留的楼层。

β=(b1,b2,…b m)T：m个电梯在非高峰期的一种运行方案，m=6或12。

f(A)：安排方案A下乘客等待时间的期望。

f(β) ：安排方案β下乘客等待时间的期望。

W(αk) ：乘坐第k个电梯的乘客等待时间的期望。

λ，Λ：乘客形成的泊松流的强度。

t(p,q)：电梯从p层运行到q层所用的时间

t0：电梯在每层停留的时间。

t(αk) ：在高峰期第k个电梯完成一次服务所用的时间。

ω1：使用地下停车楼的人数比例。

ω2：不使用地下停车楼的人数比例。

N(αk) ：第k个电梯一次服务中所能运行到的最高层。

P(n) ：在上班高峰期电梯在一次服务中停留n次的概率。

四问题分析

本题是对电梯系统的优化问题，优化的标准就是找到一种方案A使所有乘客等待时间的期望f(A)最小。这里为了叙述方便，将地下1层、2层分别记为 -1层、-2层，地上1层、2层、…28层分别记为0层、1层、…27层。

我们发现，不管是单轿厢电梯系统，还是双轿厢电梯系统，在上班高峰期，0层、-1层和-2层为输入层，1层至27层为目标层，在下班高峰期，1层至27层为输入层，0层、-1层和-2层为目标层，也就是说，在高峰期，输入层和目标层分别有所集中；而

在非高峰期，输入层和目标层都是随机分散的。所以，为了合理优化电梯系统的效率，应把这两种时期分开考虑。

高峰期的分析

上班高峰期的分析

上班高峰期的输入层为0，-1，-2层，则电梯的初始位置只能集中分布在这三层。目标层越大，电梯需要上升的高度就越高，一次服务的时间就会越多。由于乘客想要到达的目标层是随机的，因而一次服务中只要有人的目标层较大，相应电梯的等待人群需要等待的时间就越多，而一些目标层较低的乘客同样需要等待这样的时间，可以理解为高目标层乘客占用了低目标层乘客的“资源”。这就造成了等待时间的增加。所以我们提出一种电梯区间的思想，即在上班高峰期将每个电梯所能运行的范围加以限制，同时令目标层不同的乘客乘坐不同区间的电梯，这样目标层较低的乘客乘坐区间较小的电梯，等待的时间就会有所降低，而目标层较高的乘客乘坐区间较大的电梯，等待时间影响不大。

在这种情况下，单轿厢电梯系统和双轿厢电梯系统的模型一致，考虑到这一过程符合排队过程的特点，可以将其简化为排队模型，并编程求得最优解。

下班高峰期的分析

下班高峰期的输入层为1层至27层，目标层为0，-1，-2层，电梯的初始位置无法集中。输入层越高，电梯需要运行到很低的目标层再回到输入层，经过的楼层数越多，所用的时间也就越多。因而只要高输入层的乘客有乘梯需求，那么低输入层的乘客就会大大增加，可以理解为高输入层乘客占用了低输入层乘客的“资源”。所以沿用中

的思想，利用电梯区间将下班高峰期电梯的运行范围加以限制，同时令输入层不同的乘客乘坐不同区间的电梯，这样输入层较低的乘客乘坐区间较小的电梯，等待时间就会有所降低，而输入层较高的乘客乘坐区间较大的电梯，等待时间影响不大。

在这种情况下，单轿厢电梯系统每个输入层都符合排队过程的特点，可将其简化为排队模型；

非高峰期的分析

非高峰期的输入层和目标层都是随机分散的，且人流量小，因而不同于高峰期的分析。对于每个单轿厢电梯和双轿厢电梯，其初始位置应在-2层至27层之间，在某一时刻，有人需乘电梯，则他在1层至27层的概率相等，只需简化为安排6个单轿厢电梯或者12个双轿厢电梯的初始位置，使乘客等待电梯的时间期望尽可能小即可。这一模型可以通过编程完成。

五模型的建立与求解

单轿厢电梯系统的求解

上班高峰期单轿厢电梯系统的求解

对于上班高峰期，每个输入层都要有一个区间从本层到27层的电梯以保证乘客能到达任何目标层，则α1=(0,27)T，α3=(?1,27)T，α5=(?2,27)T，同时令α2=(0,q1)T，α4=(?1,q2)T，α6=(?2,q3)T。

那么对于每个电梯及其乘客，都可以简化为如图模型【1】

其中电梯为“服务机构”，且服务时间随机，乘客被送往目标层后可视为“顾客离开”，则这一模型与排队模型类似，但排队模型中服务机构是从等待的顾客中随机取其一进行服务【2】。为了使模型与排队模型相符，这里把13个乘客看作一个“乘客集合”，则“乘客集合”输入的泊松流强度为λ

13，此时模型符合排队模型，且符合M/G/1排队【3】，可用排队论公式求解。

对于输入层为0层的α2，t(α2)为电梯停留所用时间与电梯运行所用时间之和，电梯运行所用时间为2(2N(α2) +1)=4N(α2)+2，电梯停留所用时间为 n t 0P(n)，其中 n ∈[1,min{13,N(α2)}]，P(n)=

Q (13,n )×A q 1

n q 113，Q(13,n)为把13个人分为n 组的可能数。则

t(α2)=4N(α2) +2+ n t 0

Q (13,n )×A q 1

n q 113

由排队论公式，乘第2个电梯的乘客等待时间的期望

W(α2)=

ρ2+λ2D(t(α2))

2λ(1?ρ)

，(ρ= λE(t(α2)))

且W(α1)=W(α2)(q 1=27)。

对于输入层为0层，当q 1=0，乘坐2号电梯的概率为0，当q 1=27，乘坐2号电梯

的概率为1/2，假设次概率服从线性关系，则乘坐2号电梯的概率为q

1

54，那么乘坐1、2

号电梯的乘客等待时间的期望为

W(α1,α2) =q 154W(α2)+(1-q

1

54)W(α1)

=

q 154

λ2(E 2(t (α2))+D(t(α2)))

2(1?λ2E(t(α2)))

+(1-q

154

)

λ1(E 2(t (α1))+D(t(α1)))

2(1?λ1E(t(α1)))

同时，记Λ为所有乘客到达的泊松强度，则乘1、2号电梯乘客的泊松强度为ω1Λ，故1、2号电梯“乘客集合”的泊松强度分别为

λ1=(1-q 154)ω1

Λ

13， λ2=q 154

ω1Λ

13

。

为了解出模型，我们需要t0，Λ和ω1三组参数。

对于t0，我们实地做了实验，统计记录下了一组电梯停留时间的数据，如图所示：

我们发现，数据大致都集中在一条平行于x轴的直线上，对数据求均值得t0= 。

对于ω1，我们找到了一家与问题中商务楼规模类似的公司，调查得到开车上班的人所占比例为%，这里认为ω1=%，ω2=%

对于Λ，我们同样是在这家公司大厅实地做了统计，得到30分钟内到达329人，这里认为Λ= 。

取q1=1 , 2 …27，得到W(α1,α2)与q1的关系如图

从图中可以看出，当q1=14时，W(α1,α2)最小，即(α1,α2)=[00

2714

]时为最优方案。

同样，对于输入层为-1层，有

W(α3,α4)=q2

54λ4(E2(t(α4))+D(t(α4)))

2(1?λ4E(t(α4)))

+(1-q2

54

)λ3(E

2(t(α3))+D(t(α3)))

2(1?λ3E(t(α3)))

且t(α4)=4N(α4) +4+ n t0Q (13,n)×A q

2

n

q213

，λ3=(1-q2

54

)ω2Λ

26

，λ4=q2

54

ω2Λ

26

，

得到W(α3,α4)与q2的关系如图

从图中可以看出，当q2=14时，W(α3,α4)最小，即(α3,α4)=[?1?1

2714

]时为最优方案。

对于输入层为-2层，有

W(α5,α6)=q3

54λ6(E2(t(α6))+D(t(α6)))

2(1?λ6E(t(α6)))

+(1-q3

54

)λ5(E

2(t(α5))+D(t(α5)))

2(1?λ5E(t(α5)))

且t(α6)=4N(α6) +6+ n t0Q (13,n)×A q

3

n

q313

，λ5=(1-q3

54

)ω2Λ

26

，λ6=q3

54

ω2Λ

26

，

得到W(α5,α6)与q3的关系如图

从图中可以看出，当q3=14时，W(α5,α6)最小，即(α5,α6)=[?2?2

2714

]时为最优方案。

于是我们得到，当A=[00?1

271427

?1?2?2

142714]时，f(A)最小，为

f(A)=ω1W(α1,α2) +ω2

2W(α3,α4) +ω2

2

W(α5,α6) = 。

下班高峰期单轿厢电梯系统的求解

对于下班高峰期，每个目标层都要有一个区间从本层到27层的电梯以保证任何输入层的乘客都能到达目标层，则α1=(0,27)T，α3=(?1,27)T，α5=(?2,27)T，同时令

α2=(0,q1)T，α4=(?1,q2)T，α6=(?2,q3)T。

对于每个输入层的乘客，都有刚好没乘上电梯的乘客需要等待电梯一次服务之后才可以接受服务，和类似，同样符合排队模型的特点。将乘坐同一电梯的各输入层的乘客合在一起看作同一个排队，并且将13个乘客视为一个“乘客集合”，则该模型可简化为排队模型，并且和的模型完全相同。参数方面，t0和ω1应当保持不变，而Λ则会发生变化，于是我们在同一家公司于下班高峰期做了统计，得到30分钟离开391人，这里认为Λ’= 。

故我们得到W(α1,α2)与q1、W(α3,α4)与q2、W(α5,α6)与q3的关系分别如图

由图可知，当q1=13时，W(α1,α2)最小，即(α1,α2)=[00

2713

]时为最优方案。

由图可知，当q2=14时，W(α3,α4)最小，即(α3,α4)=[?1?1

2714

]时为最优方案。

由图可知，当q3=14时，W(α5,α6)最小，即(α5,α6)=[?2?2

2714

]时为最优方案。

于是我们得到，当A=[00?1

271327

?1?2?2

142714]时，f(A)最小，为

f(A)=ω1W(α1,α2) +ω2

2W(α3,α4) +ω2

2

W(α5,α6) = 。

非高峰期单轿厢电梯系统的求解

非高峰期的输入层和目标层都是随机分散的，且人流量小，因此不应分析电梯的区间安排，而应从电梯在无乘梯需求时自动停留的位置入手分析。

如所说，记β=(b1,b2,b3,b4,b5,b6)T，设某乘客所在楼层为n，则他所要等待的时间为min{t(b i,n)}(i=1,2,3,4,5,6)。并且我们认为此乘客在-2层到27层的概率相等，故等待时间的期望

f(β)=∑1

30min{t(b i,n)}

27

n=?2,(i=1,2,3,4,5,6)

通过编程枚举，可以得出，当β=(?2,2,7,12,17,22)T时，f(β)最小，为

f(β)=∑1

30min{t(b i,n)}

27

n=?2= 。

模型结论

至此，我们得出了单轿厢电梯系统运行效率最优化的运行方案，即在高峰期采

取方案A=[00?1

271427

?1?2?2

142714]，上班时乘客等待时间的期望为，下班时等待时

间的期望为；非高峰期采取方案β=(?2,2,7,12,17,22)T，等待时间期望为。

双轿厢电梯系统的求解

上班高峰期双轿厢电梯系统的求解

对于上班高峰期，每个输入层都要有一个区间从本层到27层的电梯井道以保证乘客能到达任何目标层，和类似，令同一井道内两个电梯的区间相同，这样可以避免控制台的混乱，则α1=(0,27)T，α3=(?1,27)T，α5=(?2,27)T，同时令α2=(0,q1)T，

α4=(?1,q2)T，α6=(?2,q3)T。

此时，同一井道内两个电梯一次服务一共可以运载26个人，这里把26个乘客

视为一个“乘客集合”，相应的泊松流强度为λ

26

，则此模型可以简化为排队模型。

同，我们得到，

W(α1,α2)=q1

54λ2(E2(t(α2))+D(t(α2)))

2(1?λ2E(t(α2)))

+(1-q1

54

)λ1(E

2(t(α1))+D(t(α1)))

2(1?λ1E(t(α1)))

λ1=(1-q1

54

)ω1Λ

26

，λ2=q1

54

ω1Λ

26

故我们得到W(α1,α2)与q1的关系如图

由图可知，当q1=12时，W(α1,α2)最小，即(α1,α2)=[00

2712

]时为最优方案。

同理可得W(α3,α4)与q2、W(α5,α6)与q3的关系分别如图

由图可知，当q2=14时，W(α3,α4)最小，即(α3,α4)=[?1?1

2714

]时为最优方案。

由图可知，当q3=14时，W(α5,α6)最小，即(α5,α6)=[?2?2

2714

]时为最优方案。

于是我们得到，当A=[00?1

271227

?1?2?2

142714]时，f(A)最小，为

f(A)=ω1W(α1,α2) +ω2

2W(α3,α4) +ω2

2

W(α5,α6) = 。

下班高峰期双轿厢电梯系统的求解

对于下班高峰期，每个目标层都要有一个区间从本层到27层的电梯井道以保证任何输入层的乘客都能到达目标层，则α1=(0,27)T，α3=(?1,27)T，α5=(?2,27)T，同时令α2=(0,q1)T，α4=(?1,q2)T，α6=(?2,q3)T。

同，将26个乘客视为一个“乘客集合”，则此模型可简化为排队模型，参数中的泊松流强度沿用中的Λ’。

故我们得到W(α1,α2)与q1、W(α3,α4)与q2、W(α5,α6)与q3的关系分别如图

由图可知，当q1=12时，W(α1,α2)最小，即(α1,α2)=[00

2712

]时为最优方案。

由图可知，当q2=14时，W(α3,α4)最小，即(α3,α4)=[?1?1

2714

]时为最优方案。

由图可知，当q3=14时，W(α5,α6)最小，即(α5,α6)=[?2?2

2714

]时为最优方案。

于是我们得到，当A=[00?1

271227

?1?2?2

142714]时，f(A)最小，为

f(A)=ω1W(α1,α2) +ω2

2W(α3,α4) +ω2

2

W(α5,α6) = 。

非高峰期双轿厢电梯系统的求解

非高峰期的输入层和目标层都是随机分散的，且人流量小，因此同一井道中的电梯在无乘梯需求时自动停留的位置可以不同，则同，记β=(b1,b2,b3,…,b12)T，设某乘客所在楼层为n，则他所要等待的时间为min{t(b i,n)}(i=1,2,3,…,12)。并且我们认为此乘客在-2层到27层的概率相等，故等待时间的期望

f(β)=∑1

30min{t(b i,n)}

27

n=?2,(i=1,2,3, (12)

通过编程枚举可以得出，当β=(?2,0,2,5,7,10,12,15,17,20,23,26)T时，f(β)最小，为

f(β)=∑1

30min{t(b i,n)}

27

n=?2= 。模型结论

至此，我们得出了双轿厢电梯系统运行效率最优化的运行方案，即在高峰期采取方

案A=[00?1

271427

?1?2?2

142714]，上班时乘客等待时间的期望为，下班时等待时间的

期望为；非高峰期采取方案β=(?2,0,2,5,7,10,12,15,17,20,23,26)T，等待时间期望为。

六模型的比较

高峰期电梯系统效率的比较

上班高峰期，双轿厢电梯系统平均等待时间为，单轿厢电梯系统平均等待时间

为，双轿厢电梯系统比单轿厢系统效率提高了33.34?12.24

12.24

×100%=%；下班高峰期，双轿厢电梯系统平均等待时间为，单轿厢电梯系统平均等待时间为，双轿厢电梯系统比单

轿厢系统效率提高了45.06?15.24

15.24

×100%=% 。

非高峰期电梯系统效率的比较

非高峰期，双轿厢电梯系统平均等待时间为，单轿厢电梯系统平均等待时间

为，双轿厢电梯系统比单轿厢系统效率提高了2.47?1.33

1.33

×100%=% 。

七模型的灵敏度分析

因为本文的模型所需参数几乎都是通过小范围的统计得到，因此还需考虑参数波动对模型结果的影响。

先考虑Λ的波动对结果的影响。这里将Λ的值作±的波动，得到等待时间期望随楼层的变化，结果如图

我们发现虽然期望值均随Λ的波动而变化，但整体增减趋势没有改变。

再考虑ω1的波动对结果的影响。这里将ω1的值作±的波动，得到等待时间期望随楼层的变化，结果如图

我们发现虽然期望值均随ω1的波动而变化，但整体增减趋势没有改变。

所以我们认为模型结果是可信的。

八模型的优缺点

模型优点

本模型最显着的优点就是简单直观，能很好地借助现有模型对问题进行分析和求解，便于编程计算。同时将问题根据实际情况作不同考虑，建立不同的模型，使结果更具实际参考意义，而且提出的解决方案简单易行，在经济上几乎不会造成额外的支出，可行性很强。

模型缺点

与本模型最显着优点——简单相伴而来的缺点就是参数过多，对数据的依赖性强，需要统计大量的真实数据才能更加准确地求解模型，而由于时间有限，我们这里统计的数据量还不够，参数的波动虽然对方案整体设计基本上没有影响，但对相关的数据结果可能会造成一些影响，还需要进一步加大数据统计量，以对模型作进一步完善。

参考文献

【1】张莹，运筹学基础，北京：清华大学出版社，2010。

【2】宋荣兴，孙海涛，运筹学，北京：经济科学出版社，2011。

【3】孟玉柯，排队论基础及应用，上海：同济大学出版社，1989。

附录

1.求解期望值的C语言程序