统计热力学试题及答案
第六章统计热力学初步练习题
一、判断题：
1．当系统的U，V，N一定时，由于粒子可以处于不同的能级上，因而分布数不同，所以系统的总微态数Ω不能确定。
2．当系统的U，V，N一定时，由于各粒子都分布在确定的能级上，且不随时间变化，因而系统的总微态数Ω一定。
3．当系统的U，V，N一定时，系统宏观上处于热力学平衡态，这时从微观上看系统只能处于最概然分布的那些微观状态上。
4．玻尔兹曼分布就是最概然分布，也是平衡分布。
5．分子能量零点的选择不同，各能级的能量值也不同。
6．分子能量零点的选择不同，各能级的玻尔兹曼因子也不同。
7．分子能量零点的选择不同，分子在各能级上的分布数也不同。
8．分子能量零点的选择不同，分子的配分函数值也不同。
9．分子能量零点的选择不同，玻尔兹曼公式也不同。
10．分子能量零点的选择不同，U，H，A，G四个热力学函数的数值因此而改变，但四个函数值变化的差值是相同的。
11．分子能量零点的选择不同，所有热力学函数的值都要改变。
12．对于单原子理想气体在室温下的一般物理化学过程，若要通过配分函数来求过程热力学函数的变化值，只须知道q t这一配分函数值就行了。
13．根据统计热力学的方法可以计算出U、V、N确定的系统熵的绝对值。
14．在计算系统的熵时，用ln W B（W B最可几分布微观状态数）代替1nΩ，因此可以认为W B与Ω大小差不多。
15．在低温下可以用q r = T/σΘr来计算双原子分子的转动配分函数。
二、单选题：
1．下面有关统计热力学的描述，正确的是：
(A) 统计热力学研究的是大量分子的微观平衡体系；
(B) 统计热力学研究的是大量分子的宏观平衡体系；
(C) 统计热力学是热力学的理论基础；
(D) 统计热力学和热力学是相互独立互不相关的两门学科。
2．在统计热力学中，物系的分类常按其组成的粒子能否被辨别来进行，按此原则，下列说法正确的是：
(A) 晶体属离域物系而气体属定域物系；(B) 气体和晶体皆属离域物系；
(C) 气体和晶体皆属定域物系；(D) 气体属离域物系而晶体属定域物系。
3．在研究N、V、U有确定值的粒子体系的统计分布时，令∑n i = N，∑n iεi = U，这是因为所研究的体系是：
(A) 体系是封闭的，粒子是独立的；(B) 体系是孤立的，粒子是相依的；
(C) 体系是孤立的，粒子是独立的；(D) 体系是封闭的，粒子是相依的。
4．某种分子的许多可能级是εo、ε1、ε2，简并度为g0 = 1、g1 = 2、g2 = 1。5个可别粒子，按N0 = 2、N1 = 2、N2 = 1的分布方式分配在三个能级上，则该分布方式的样式为：(A) 30 ；(B) 120 ；(C) 480 ；(D) 3 。
5．假定某种分子的许可能级是0、ε、2ε和3ε，简并度分别为1、1、2、3。四个这样的分子构成的定域体系，其总能量为3ε时，体系的微观状态数为：
(A) 40 ；(B) 24 ；(C) 20 ；(D) 28 。
6．对热力学性质(U、V、N)确定的体系，下面描述中不对的是：
(A) 体系中各能级的能量和简并度一定；(B) 体系的微观状态数一定；(C) 体系中粒子在各能级上的分布数一定；(D) 体系的吉布斯自由能一定。
7．对于定位体系，N个粒子分布方式D所拥有微观状态数W D为：
(A) W D = N!πN i g i/N i！；(B) W D = N!πg i Ni/Ni！；
(C) W D = N!πg i Ni/Ni；(D) W D= πg i Ni/Ni！。
8．设一粒子体系由三个线性谐振子组成，体系的能量为(11/2) hν,三个谐振子分别在三个固定点a、b、c上振动，体系总的微观状态数为：
(A) 12 ；(B) 15 ；(C) 9 ；(D) 6 。
9．使用麦克斯韦 - 玻尔兹曼分布定律，要求粒子数N很大，这是因为在推出该定律时：(A) 假定粒子是可别的；(B) 应用了斯特令近似公式；
(C) 忽略了粒子之间的相互作用；(D) 应用拉氏待定乘因子法。
10．式子∑N i = N和∑N iεi = U的含义是：
(A) 表示在等概率假设条件下，密封的独立粒子平衡体系；
(B) 表示在等概率假设条件下，密封的独立粒子非平衡体系；
(C) 表示密闭的独立粒子平衡体系；
(D) 表示密闭的非独立粒子平衡体系。
11．下面关于排列组合和拉格朗日求极值问题的描述正确的是：
(A) 排列组合都是对可别粒子而言的，排列考虑顺序，组合不考虑顺序；
(B) 排列是对可别粒子而言的，而组合是对不可别粒子而言的；
(C) 拉格朗日未定因子法适用于自变量相互独立的多元函数的求极值问题；
(D) 拉格朗日未定因子法适用于一定限制条件下的不连续多元函数的求极值问题。
12．对于玻尔兹曼分布定律n i =（N/Q）·g n·exp(-εi/kT) 的说法：⑴n i是第i能级上的粒子分布数；⑵随着能级升高，εi增大，n i总是减少的；⑶它只适用于可区分的独立粒子体系；⑷它适用于任何的大量粒子体系。其中正确的是：
(A) ⑴⑶；(B) ⑶⑷；(C) ⑴⑵；(D) ⑵⑷。
13．玻尔兹曼统计认为：
(A) 玻尔兹曼分布不是最可几分布但却代表平衡分布；
(B) 玻尔兹曼分布只是最可几分布但不代表平衡分布；
(C) 玻尔兹曼分布不是最可几分布也不代表平衡分布；
(D) 玻尔兹曼分布就是最可几分布也代表平衡分布。
14．对于分布在某一能级εi上的粒子数n i，下列说法中正确是：
(A) n i与能级的简并度无关；(B) εi值越小，n i值就越大；
(C) n i称为一种分布；(D) 任何分布的n i都可以用波尔兹曼分布公式求出。
15．在N个独立可别粒子组成体系中，最可几分布的微观状态数t m与配分函数Q之间的关系为：
(A) t m = 1/N! ·q N；(B) t m = 1/N! ·q N·e U/kT；
(C) t m = q N·e U/kT ；(D) t m = N! q N·e U/kT 。
16．I2分子的振动能级间隔是0.43 × 10-20J，则在298K时某一振动能级和其较低能级上分子数之比为：
(A) 1 ；(B) 0.43 × 10-20；(C) 0.35 ；(D) 无法计算。
17．在已知温度T时，某种粒子的能级εj = 2εi，简并度g i = 2g j，则εj和εi上分布的粒子数之比为：
(A) ?exp(εj/2kT) ；(B) 2exp(-εj/2kT) ；
(C) ?exp(-εj/2kT) ；(D) 2exp(-2εj/kT) 。
18．如分子第一激发态的能量为400kJ·mol-1，则体系中10％的分子被激发到第一激发态时，体系的温度(K)是：
(A) 2.2 × 104；(B) 2.0 × 104；(C) 2.0 × 103 ；(D) 2.2 × 105。
19．I2的振动特征温度ΘV = 307K，相邻两振动能级上粒子数之n(v + 1)/n(v) = ?的温度是：(A) 306K ；(B) 443K ；(C) 760K ；(D) 556K 。
20．某一理想气体体系由含N A个A分子与N B个B分子的两个体系组成。分子配分函数
分别为q A、q B，若不考虑分子间相互作用，则体系配分函数表示为：
(A) q A N Aq B N B/(N A + N B)！；(B) q A N A·q B N B；
(C) q A N A/N！·q B N B/N B！；(D) (q A·q B)N A + N B 。
21．下面哪组热力学性质的配分函数表达式与体系中粒子的可别与否无关：(A) S、G、F、C V；(B) U、H、P、C V；
(C) G、F、H、U；(D) S、U、H、G。
22．各种运动形式的配分函数中与压力有关的是：
(A) 电子配分函数；(B) 平动配分函数；
(C) 转动配分函数；(D) 振动配分函数。
23．分子运动的振动特征温度Θv是物质的重要性质之一，下列正确的说法是：(A) Θv越高，表示温度越高；(B) Θv越高，表示分子振动能越小；
(C) Θv越高，表示分子处于激发态的百分数越小；
(D) Θv越高，表示分子处于基态的百分数越小。
24．下列哪个体系不具有玻尔兹曼－麦克斯韦统计特点：
(A) 每一个可能的微观状态以相同的几率出现；
(B) 各能级的各量子态上分配的粒子数，受保里不相容原理的限制；
(C) 体系由独立可别的粒子组成，U= ∑n iεi；
(D) 宏观状态参量N、U、V为定值的封闭体系。
25．下列几种运动中哪些运动对热力学函数G与A贡献是不同的：
(A) 转动运动；(B) 电子运动；(C) 振动运动；(D) 平动运动。
26．下面对转动配分函数计算式的对称数σ差别理解不对的是：
(A) 对配分函数的修正；(B) 对粒子等同性的修正；
(C) 对量子态等同性的修正；(D) 对转动量子数的修正。
27．对于下列各个亥姆兹自由能函数公式，哪一公式适用于晶体系统：
(A) A = - kT ln(q N/N! ) ；(B) A = －NkT lnq ；
(C) A = - NkT(lnq/N + 1) ；(D) A = －NkT lnq e/N。
28．三维平动子的平动能为εt = 7h2/(4mv2/3)，能级的简并度为：
(A) 1 ；(B) 3 ；(C) 6 ；(D) 2 。
29．HI的转动特征温度Θr = 9.0 K，300K时HI的摩尔转动熵为：
(A) 37.45 J·K-l·mol-1；(B) 31.70 J·K-l·mol-1；
(C) 29.15 J·K-l·mol-1；(D) 30.5 J·K-l·mol-1。
30．O2的转动惯量J = 19.3 × 10-47 kg·m2，则O2的转动特征温度是：
(A) 10K ；(B) 5K ；(C) 2.07K ；(D) 8K 。
31．下面关于分子各种运动形式配分函数计算公式的能量标度零点选取的描述错误的是：
(A) q t的计算公式是近似地以基态能级的能量为能量标度的零点；
(B) q r的计算公式是以基态的能量为能量标度的零点；
(C) q e和q n的计算公式是基态能级的能量标度的零点；
(D) q v的计算公式是以基态能级的能量标度的零点。
32．对于单原子理想气体在室温下的物理过程，若要通过配分函数来求过程中热力学函数的变化：
(A) 必须知道q t、q R、q v、q n各配分函数；(B) 只须知道q t一个配分函数；
(C) 必须知道q t、q n配分函数；(D) 必须知道q t、q R、q v配分函数。
33．对于单原子分子理想气体，当温度升高时，小于分子平均能量的能级上分布的粒子数：
(A) 不变；(B) 增多；(C) 减少；(D) 不能确定。
34．钠原子基态的光谱项符号是1S1/2 ，则钠原子电子基态能级的简并度g e0为：
(A) 1 ；(B) 1/2 ；(C) 3 ；(D)
2 。
35．体积为1cm3，质量为m克的单原子分子气体，在温度为T时，对一般的物理过程，分子的配分函数为：
(A) 8.78 × 1055(mT)3/2 ；(B) 1.88 × 1020(mT)3/2；
(C) 1.88 × 1026(mT)3/2 ；(D) 8.78 × 1049(mT)3/2。
36．在相同条件下，对于He与Ne单原子分子，近似认为它们的电子配分函数相同且等于1，则He与Ne单原子分子的摩尔熵是：
(A) S m(He) > S m(Ne) ；(B) S m(He) = S m(Ne) ；
(C) S m(He) < S m(Ne) ；(D) 以上答案均不成立。
37.巳知CO和N2分子的质量相同，转动特征温度基本相等，若电子均处于非简并的基
态，且振动对熵的贡献可忽略，那么：
(A) S m(CO) < S m(N2) ；(B) S m(CO) 与S m(N2) 大小无法比较；
(C) S m(CO) = S m(N2) ；(D) S m(CO) > S m(N2) 。
38．对双原子分子理想气体的一般物理过程，下面关于体系熵函数和各运动形式对熵的贡献描述错误的是：
(A) S = S t + S r + S v；(B) S t = k B ln((q t)N/N!) + Nk B T(?ln q/?T) ；(C) S r = k B ln[(q r)N/N!] + Nk B(?ln q/?T) ；(D) S v = Nk B ln q v + Nk B T(?ln q v/?T)N.V。
39．以下关于理想气体的吉布斯自由能函数的描述错误的是：
(A) 它可以由光谱实验数据算得，并有表可查；
(B) 它用来计算理想气体的平衡常数；
(C) 它的定义是[]T
H
T
G)B
,0(
)B
,
(m
m
-；
(D) 它不是状态函数。
三、多选题:
1．粒子配分函数q中的任一项与q本身之比是表示：
(A) 粒子在某一能级的分布数与分子总数之比；
(B) 是在两个能级上粒子分布数之比；
(C) 粒子在某一能级上出现的几率；
(D) 粒子在某一能级上的分布数；
(E) 粒子在两个能级上出现的几率之比。
2．下面的说法中，错误的是：
(A) 最可几分布可代表巨大数目粒子体系的平衡分布；
(B) 最可几分布随体系中粒子数的增多，出现的几率增大；
(C) 最可几分布随体系中粒子数的增多出现的几率减小；
(D) 最可几分布本身是体系出现几率最大的分布；
(E) 最可几分布微观状态数的对数可代替总微观状态数的对数。
3．某一理想气体分子，仅有三个基频振动，相应的振动特征温度，分别是1000K、3500K 和4500K，下列判定成立的是：
(A) 该分子是三原子直线型分子；
(B) 振动对摩尔热容的总贡献C V(振) = 3R；
(C) 在足够高温度时等容摩尔热容为6R；
(D) 转动配分函数由Q(转) = 8π2I kT/(σh2)计算；
(E) 对称数σ = 1，因为是直线型分子。
4．能级的能量在最低能级时指定为零，此时配分函数以q0表示，如指定最低能级能量
值为∈0，此时配分函数以q(∈0)表示，下列何者正确：
(A) q0= ∑g i exp(-∈i/kT) ；(B) q(∈0) = exp(-∈0/kT)q0；
(C) q0 = q(∈0)exp(-∈0/kT) ；(D) 如令U0= N0∈0，则ln q0= ln q(∈0) +
U0/RT；
(E) 选取q(∈0) 或q0只影响熵及热容，不影响其它热力学函数。
5．下边的几种说法，不正确的是：
(A) N个可别粒子分布在同一能级的两个量子态中的微观状态数Ω = 2N；
(B) 此体系最可几分布的微观状态数是t m,P= (2/πN)1/2·2N；
(C) 如N = 1024，则t m,P ≈ 10-12Ω ；
(D) ln t m,P<< ln(Ω/t m,P) ；(E) ln t m,P>> lnΩ 。
6．N个粒子的体系，Ω为总微观状态数，t m为最可几微观状态数，当N很大(例1024)时，则下列各种关系中，何者不正确：
(A) t m< Ω < Nt m；(B) ln t m ≈ lnΩ ；(C) t m≈ Ω ≈ Nt m；
(D) ln N > ln t m；(E) ln N < ln t m。
7．下面关于量热熵和光谱熵的叙述，错误的是：
(A) 量热熵就是规定熵，光谱熵亦称统计熵；
(B) 量热熵由量热实验结果据热力学公式算得；
(C) 光谱熵由光谱实验结果由统计热力学算得；
(D) 量热熵总是比光谱熵更正确；
(E) 量热熵不大于光谱熵。
8．忽略电子和核配分函数的贡献，下列稀薄气体中，哪些气体能用沙克尔－特鲁德公式计算体系熵函数的是：
(A) Ar ；(B) N2 ；(C) CO2；(D) Na ；(E) NH3。
9．能量零点的不同选择，对下列哪个函数没有影响：
(A) S；(B) C V；(C) U；(D) G；(E) F。
四、主观题：
1．单原子氟具有以下数据：
能级光谱项ν = (∈/hc)/cm
基态P3/20.0
第一激发态P1/2404.0
第二激发态P5/2102406.5
计算氟原子在前三个电子能级上温度为1000K的电子配分函数Q(电子) 。
2．已知1000K时，AB双原子分子的振动配分函数Q0,V = 1.25，(Q0,V为振动基态能量规
定为零的配分函数) 。
(1) 求振动特征温度？
(2) 求处于振动基态能级上的分布分数N0/N = ？
3．对于气体HCN的转动远红外光谱测量结果表明，I = 1.89 × 10-45kg·m2，试求：
(1) 900K时该分子的转动配分函数q r；
(2) 转动对C V,m的贡献(k = 1.38×10-23J·K - 1，h = 6.626×10-34J·s) 。
4．一个含有N A个独立可别的粒子体系，每一粒子都可处于能量分别为ε0和ε1的两个最低相邻的能级之一上，若ε0 = 0，计算出两个能级皆为非简并时，
(1) 粒子的配分函数；(2) 体系的能量的表达式；
(3) 讨论在极高温度下和极低温度下，体系能量的极限值。
5．用统计热力学方法证明：1 mol单原子理想气体在等温条件下，体系的压力由p1变到p2时，其熵变ΔS = R ln(p1/p2) 。
6．根据q= ∑g i exp(β∈i)，推证U m = L(?ln q/?β)V (L为阿佛加德罗常数)。
7．从分子配分函数与热力学函数的关系，证明1mol单原子分子理想气体等温膨胀至体积增大一倍时，ΔS = R ln2 。
8．一个由三个单维谐振子组成的体系，其总能量为(11/2)hv，三个振子分别围绕定点a、
b、c进行振动。
(1) 体系共有多少分布方式？每种分布方式的微观状态数是多少？体系总的微观状态
数是多少？
(2) 若体系是由大量的这样的谐振子组成，在300K时，已知其基态振动波数为
ν~= 2360 cm-1，那么处于第一激发态的粒子数与处于基态的粒子数之比N
/N0为
1多少？处于基态的粒子数与体系总的粒子数之比N0/N为多少？
9．已知NO分子在振动基态时的平均核间距r = 1.154?，其振动的基态频率的波数
ν~= 1940cm-1，其电子的第一激发态能量ε
= 1490 J·mol-1(令基态能量为0)电子的基
1
态与第一激发态兼并度都是2。求在300K和标准压力下NO分子的平动、转动、振动、电子的配分函数以及NO的光谱熵。
10．被吸附在固体表面上的单原子理想气体可以在固体表面上进行二维平动，不考虑电子与核自旋两种运动形式的贡献，证明该气体的摩尔熵为：
S m = R(ln M r + ln T+ lnσ + 33.13)，式中M r是该气体的相对分子量；σ是每个气体分子进行二维平动时平均占有的面积(单位为cm2)。
第六章统计热力学初步答案
一、判断题：
1．错。U，V，N一定时，系统有多少种分布以及每一种分布的微态数都是确定的。2．错。U，V，N一定时，粒子可以在不同能级间转移。
3．错。E，V，N一定时系统处于每一个微观状态的概率相等。
4．前半句话对，后半句话不对。玻尔兹曼分布就是最概然分布，但它不是平衡分布，只是能代表平衡分布。
5．对。
6．对。
7．错。
8．对。
9．错。
10．对。
11．错。S、C V与零点选择无关。
12．对。
13．错。
14．错，W B<< Ω。
15．错。g r = T/σΘ适用的条件是T>> Θr，不能用于低温。
二、单选题：
1. B；
2. D；
3. C；
4. B；
5. A；
6. C；
7. B；
8. B；
9. B；10.C；
11.A；12.C；13.D；14.B；15.C；16.C；17.C；18.A；19.B；20.B；
21.B；22.B；23.C；24.B；25.D；26.B；27.B；28.C；29.A；30.C；
31.D；32.B；33.C；34.D；35.A；36.C；37.D；38.C；39.D；。
三、多选题：
1. AC ；
2. B ；
3. BC ；
4. AB ；
5. DE ；
6. CD ；
7. DE ；
8. AD ；
9. AB ；
四、计算题
1．解：氟原子的电子配分函数：
q(电子) = g0exp(-∈0/kT) + g1exp(-∈1/kT) + g2exp(-∈2/kT)
= (2J0 + 1)exp(-∈0/kT) + (2J1 + 1)exp(-∈1/kT) + (2J2 + 1)exp(-∈2/kT)
= 4 ×e0 + 2 × exp(-0.5813) + 6 × exp(-147.4) = 5.118
2．解：(1) q0,V = 1/[1-exp(-Θv/T)] = 1/[1-exp(-Θv/1000)] = 1.25
exp(-Θv/1000) = 1-1/1.25 = 0.20 所以Θv = 3219K
(2) N0/N = g0exp(-∈0/kT)/q0,V = g0exp(-∈0/kT)/[exp(-∈0/kT)q0,
= 1/q0,V = 1/1.25 = 0.80
3．解：(1)写出q R= 8π2I kT/(σh2)
= 8 × 3.142 × 1.89 × 10-46 × 1.38 × 10-23 × 900/[1 × (6.626 × 10-34)2] = 421.5
(2)写出U R,m = RT2(?ln q R/?T)N,V = RT2 × (1/T) = RT
写出转动对C V,m的贡献
C V,m,R= (?U m,R/?T)V,N = R = 8.314 J·K-1·mol-1
4．解：(1)q= Σexp(-εi/kT) = 1 + exp(-ε1/kT)
(2)U = N A kT2(?ln q/?T)V = N A kT2{[1/[1 + exp(-ε1/kT)]]exp(-ε1/kT)[ε1/kT]
= N Aε1/[exp(-ε1/kT)] 或= N Aε1exp(-ε1/kT)/[1 + exp(-ε1/kT)]
(3)在极高的温度时，kT >> ε1，则exp(-ε1/kT) = 1 ,故U = Nε1
在极低的温度时，kT << ε1，则exp(-ε1/kT) 0 ，所以U = 0
5．证明：q = q(平)q(电)(核) = (2πm kT/h2)3/2(RT/p)q(电)q(核)
依据S = k ln(q N/N！) + U/T等温时，体系的U不随压力变化，
故S2(p2)-S1(p1) = R ln(p1/p2)
6．证明：写出U m= ∑n i∈i，n i = (L/q)g i exp(β∈i)，得出U m = (L/q)∑g i exp(β∈i)·∈i
∵q= ∑g i exp(β∈i) ，∴(?q/?β)V= Σg i exp(β∈i) ·∈i
故U m = (L/q)( ?q/?β)V = L(?ln q/?β)V。
7．证明：写出对不可别粒子体系S = kN ln q + U/T-k ln N!
写出单原子理想气体q t= (2πm kT/h2)3/2 ×V
写出等温下V 2V，则q t 2q t
写出ΔS = kN ln2q t-kN ln q t = kN ln2 ，N = L，所以：ΔS = R ln2
8．解：(1)单维谐振子的能级ε = (ν + ?)hv (ν = 0,1,2,3) 则由三个单维谐振子
组成的体系总能量ε = εa + εb + εc = (νa + νa + νc + ?)hv = 11/2 hv，即νa + νa + νc = 4。
体系有四种分布：
―*―ν = 4 ――ν = 4 ――ν = 4 ――ν = 4
――ν = 3 ―*―ν = 3 ――ν = 3 ――
ν = 3
――ν = 2 ――ν = 2 ―**―ν = 2 ―*―
ν = 2
――ν = 1 ―*―ν = 1 ――ν = 1 ―**―
ν = 1
―**―ν = 0 ―*―ν = 0 ―*―ν = 0 ――
ν = 0
体系总的微观状态数Ω = t1 + t2 + t3 + t4 = 3 + 6 + 3 + 3 = 15
(2) 经典统计认为，平衡分布时，能级i上分配的粒子数为：
N i = (N g i exp(-εi/kT)/q，单维谐振子g i = 1
N1/N0 = exp[-(εi-ε0)/kT] = exp(-h cν~/kT)
= exp(-1.437 × 2360/300) = 0
若以基态能量为零，N0/N = exp(-ε0/kT)/q = 1/q(v) = 1-exp(-h cν~/kT) = 1-0 = 1
9．解：对双原子NO 在300K时，V m = RT/p = 2.46 × 10-2 m3
I = (m1m2/(m1 + m2)r2 = 1.651 × 10-46 kg·m2
q(t) = (2mπkT)3/2V m/h3 = 3.944 × 1030
q(r) = 8π2I kT/σh2 = 122.8
q(v) = [1-exp(-hcν~/kT)]-1 = 1
q(e) = g0 + g1 exp(-ε1/kT) = 2 + 2 exp(-1490/6.023 × 1.38 × 300) = 3.101
所以：S(t) = Lk ln q(t) + LkT(?ln q(t)/ ?T)-Lk ln L + k = 138.07 J·K-1·mol-1
S(r) = = Lk ln q(r) + LkT(?ln q(r)/?T) = R[ln q(r) + 1] = 48.29 J·K-1·mol-1
S(v) = Lk ln q(v) + LkT(?ln q(v)/ ?T) = 8.14 × 10-3 J·K-1·mol-1
S(e) = Lk ln q(e) + LkT(?ln q(e)/ ?T) = 11.17 J·K-1·mol-1
体系的光谱熵S = S(t) + S(r) + S(v) + S(e) = 138.1 + 46.29 + 8.14 × 10-3 + 11.17
= 197.5 J·K-1·mol-1
10．证明：设单原子气体分子的质量为m，在面积A = a ×b的固体表面上进行二维平动，根据“物质结构”中对波动方程的求解得到该二维平动的能级公式为：
ε(n x,n y) = (h2/8m)[(n x2/a2 + n y2/b2)
平动配分函数q(t) = q x q y，q x = (2mπkT/h2)1/2a，q y = (2mπkT/h2)1/2b
q = q x q y = (2mπkT/h2)ab = (2mπkT/h2)A
S m = Lk ln(q/L!) + LkT(?ln q/?T) = R ln[(2mπkT/h2)A/L] + RT[?ln(2mπkT/h2)/ ?T ] + R
= R[ln(2πk/ h2) + ln m + ln T + ln[(A/L) + 2]
m = M r/Lσ = A/L数据代入：S m = R(ln M r + ln T+ lnσ + 33.13)
医用物理学公式大全
经过我一上午奋战终于完成了这个属于医 学院的物理复习大纲 基本概念 理想液体 稳定流动 层流与湍流 流量 流阻 粘度 二、基本定律及定理 1 *连续性方程 2 211v s v s Q sv == 2 *柏努利方程 2 2 2212112 2 121 2 1gh v p gh v p E gh v p ρρρρρρ++=++=++ 3 *泊肃叶定律 l P P r Q R P Q ηπ8)(214-= ?= 4 牛顿粘滞定律 dx dv s F η= 三、重要结果及结论 小孔流速问题 h g v ?= 2 测速、测流量问题 (皮托管，汾丘里管) 实际流体的能量损耗 )2 1()21( 2222121112gh v p gh v p E ρρρρ++-++ =? 雷诺数及判据 η ρvr =Re 四、注意的问题 空气中有大气压 Pa P 5 010013.1?= 水的密度 3kg/m 1000=ρ 空吸与虹吸现象
振动和波 基本概念 振动 简谐振动 谐振动的矢量表示 振幅 初相位 圆频率 周期 波速 波长 频率 v u λ= 振动的合成(同方向、同频率) 相位差 同相 反相 波动 波动方程的物理意义 波的叠加原理 基本规律及重要公式 *简谐振动方程 )cos(?ω+=t A x 2 2 0)( x v tg v x A ω?ω - =+= 谐振动能量 2222 1 21A m kA E ω== *简谐波的波动方程 ])(cos[?ω+-=u x t A y 波的强度公式 222 1 ωρuA I = 球面波 21 2211221)(,r r I I r r A A == 惠更斯原理 *波的干涉 )(21212r r -- -=?λ π ??? 干涉加强 2 112122)(2A A A k r r +==---=?π λ π ??? 干涉减弱 2 11212)12()(2A A A k r r -=+=---=?π λ π ??? 三、注意的问题 1、已知初始条件及振动系统性质，求振动方程 (求?=?) 2、已知振动方程，求波动方程 (确定时间上是落后还是超前 ?u x μ ) 3、两振动、波动叠加时，相位差的计算
第七章、统计热力学基础习题和答案
统计热力学基础 一、选择题 1. 下面有关统计热力学的描述，正确的是：( ) A. 统计热力学研究的是大量分子的微观平衡体系 B. 统计热力学研究的是大量分子的宏观平衡体系 C. 统计热力学是热力学的理论基础 D. 统计热力学和热力学是相互独立互不相关的两门学科B 2. 在研究N、V、U有确定值的粒子体系的统计分布时，令刀n i = N,刀n i & i = U , 这是因为所研究的体系是：( ) A. 体系是封闭的，粒子是独立的 B 体系是孤立的，粒子是相依的 C. 体系是孤立的，粒子是独立的 D. 体系是封闭的，粒子是相依的C 3. 假定某种分子的许可能级是0、&、2 ￡和3 &,简并度分别为1、1、2、3四个这样的分子构成的定域体系，其总能量为3￡时，体系的微观状态数为：() A. 40 B. 24 C. 20 D. 28 A 4. 使用麦克斯韦-波尔兹曼分布定律，要求粒子数N 很大，这是因为在推出该定律时：( ) . 假定粒子是可别的 B. 应用了斯特林近似公式 C. 忽略了粒子之间的相互作用 D. 应用拉氏待定乘因子法A 5. 对于玻尔兹曼分布定律n i =(N/q) ? g i ? exp( - ￡ i/kT)的说法：(1) n i是第i能级上的粒子分布数; (2) 随着能级升高，￡ i 增大，n i 总是减少的; (3) 它只适用于可区分的独立粒子体系; (4) 它适用于任何的大量粒子体系其中正确的是：( ) A. (1)(3) B. (3)(4) C. (1)(2) D. (2)(4) C 6. 对于分布在某一能级￡ i上的粒子数n i，下列说法中正确是：() A. n i 与能级的简并度无关 B. ￡ i 值越小，n i 值就越大 C. n i 称为一种分布 D. 任何分布的n i 都可以用波尔兹曼分布公式求出B 7. 15?在已知温度T时，某种粒子的能级￡ j = 2 ￡ i，简并度g i = 2g j，则「和￡ i上 分布的粒子数之比为：( ) A. 0.5exp( j/2￡kT) B. 2exp(- ￡j/2kT) C. 0.5exp( -￡j/kT) D. 2exp( 2 j/k￡T) C 8. I2的振动特征温度? v= 307K，相邻两振动能级上粒子数之n(v + 1)/n(v) = 1/2的温度是：( ) A. 306 K B. 443 K C. 760 K D. 556 K B 9. 下面哪组热力学性质的配分函数表达式与体系中粒子的可别与否无关：( ) A. S、G、F、C v B. U、H、P、C v C. G、F、H、U D. S、U、H、G B 10. 分子运动的振动特征温度?v是物质的重要性质之一，下列正确的说法是： ( ) A. ? v越高，表示温度越高 B. ?v越高，表示分子振动能越小 C. ?越高，表示分子处于激发态的百分数越小 D. ?越高，表示分子处于基态的百分数越小 C 11. 下列几种运动中哪些运动对热力学函数G与
第七章、统计热力学基础习题和答案
统计热力学基础 题 择 一、选 1. 下面有关统计热力学的描述，正确的是：( ) A. 统计热力学研究的是大量分子的微观平衡体系 B. 统计热力学研究的是大量分子的宏观平衡体系 C. 统计热力学是热力学的理论基础 D. 统计热力学和热力学是相互独立互不相关的两门学科B 2.在研究N、V、U 有确定值的粒子体系的统计分布时，令∑n i = N，∑n iεi = U， 3.这是因为所研究的体系是：( ) A. 体系是封闭的，粒子是独立的 B 体系是孤立的，粒子是相依的 C. 体系是孤立的，粒子是独立的 D. 体系是封闭的，粒子是相依的 C 4.假定某种分子的许可能级是0、ε、2ε和3ε，简并度分别为1、1、2、3 四个这样的分子构成的定域体系，其总能量为3ε时，体系的微观状态数为：( ) A. 40 B. 24 C. 20 D. 28 A 5. 使用麦克斯韦-波尔兹曼分布定律，要求粒子数N 很大，这是因为在推出该定律 6.时：( ) . 假定粒子是可别的 B. 应用了斯特林近似公式 C. 忽略了粒子之间的相互作用 D. 应用拉氏待定乘因子法 A 7.对于玻尔兹曼分布定律n i =(N/q) ·g i·exp( -εi/kT)的说法：(1) n i 是第i 能级上的 粒子分布数; (2) 随着能级升高，εi 增大，n i 总是减少的; (3) 它只适用于可区分的独 8.立粒子体系; (4) 它适用于任何的大量粒子体系其中正确的是：( ) A. (1)(3) B. (3)(4) C. (1)(2) D. (2)(4) C 9.对于分布在某一能级εi 上的粒子数n i ，下列说法中正确是：( ) 10.A. n i 与能级的简并度无关 B. εi 值越小，n i 值就越大 C. n i 称为一种分布 D.任何分布的n i 都可以用波尔兹曼分布公式求出 B 11. 15．在已知温度T 时，某种粒子的能级εj = 2εi，简并度g i = 2g j，则εj 和εi 上分布的粒子数之比为：( ) A. 0.5exp( j/2εk T) B. 2exp(- εj/2kT) C. 0.5exp( -εj/kT) D. 2exp( 2 j/kεT) C 12. I2 的振动特征温度Θv= 307K，相邻两振动能级上粒子数之n(v + 1)/n(v) = 1/2 的温度 13.是：( ) A. 306 K B. 443 K C. 760 K D. 556 K B 14.下面哪组热力学性质的配分函数表达式与体系中粒子的可别与否无关：( ) A. S、G、F、C v B. U、H、P、C v C. G、F、H、U D. S、U、H、G B 15. 分子运动的振动特征温度Θv 是物质的重要性质之一，下列正确的说法是： ( ) A.Θv 越高，表示温度越高 B.Θv 越高，表示分子振动能越小 C. Θv 越高，表示分子处于激发态的百分数越小 D. Θv 越高，表示分子处于基态的百分数越小 C 16.下列几种运动中哪些运动对热力学函数G 与A 贡献是不同的：( ) A. 转动运动 B. 电子运动 C. 振动运动 D. 平动运动 D 17.三维平动子的平动能为εt = 7h 2 /(4mV2/ 3 )，能级的简并度为：( )
第九章统计热力学初步学习指导
第九章统计热力学初步8+2学时 本章从最可几分布引出配分函数的概念，得出配分函数与热力学函数的关系。由配分函数的分离与计算可求得简单分子的热力学函数与理想气体简单反应的平衡常数。使学生了解系统的热力学宏观性质可以通过微观性质计算出来。基本要求： 1、理解统计热力学中涉及的一些基本概念如（定域子系统与非定位系统、独立粒子系统与相依粒子系统、微观状态、分布、最可几分布与平衡分布、配分函数） 2、理解统计力学的三个基本假定。理解麦克斯韦–玻尔兹曼分布公式的不同表示形式及其适用条件。 3、理解粒子配分函数的物理意义和析因子性质。 4、明确配分函数与热力学函数间的关系 5、了解平动、转动、振动对热力学函数的贡献，了解公式的推导过程。 6、学会利用物质的吉布斯自由能函数、焓函数计算化学反应的平衡常数与热效应。 7、学会由配分函数直接求平衡常数的方法 重点：1．平衡分布和玻耳兹曼分布公式； 2．粒子配分函数的定义、物理意义及析因子性质； 3．双原子分子的平动、转动和振动配分函数的计算； 4．热力学能与配分函数的关系式； 5．熵与配分函数的关系式；玻耳兹曼熵定理。 难点：1. 粒子配分函数的定义、物理意义及析因子性质； 2. 双原子分子的平动、转动和振动配分函数的计算。 第九章统计热力学初步 主要公式及其适用条件 1. 分子能级为各种独立运动能级之和
2. 粒子各运动形式的能级及能级的简并度 （1）三维平动子 简并度：当a = b = c时有简并,()相等的能级为简并的。（2）刚性转子（双原子分子）： 其中 。 简并度为：g r,J = 2J +1。 （3）一维谐振子 其中分子振动基频为 ，k为力常数，μ为分子折合质量。 简并度为1，即g v,ν = 1。 （4）电子及原子核 全部粒子的电子运动及核运动均处于基态。电子运动及核运动基态的简并度为常数。 3.能级分布微态数 定域子系统：
医用物理学复习资料知识讲解
医用物理学复习资料
流体的流动 一、 基本概念 1 理想液体 2 稳定流动 3 层流与湍流 流量 流阻 粘度 二、基本定律及定理 1 *连续性方程 2 211v s v s Q sv == 2 *柏努利方程 2 2 2212112 2 121 2 1gh v p gh v p E gh v p ρρρρρρ++=++=++ 3 *泊肃叶定律 l P P r Q R P Q ηπ8)(214-= ?= 4 牛顿粘滞定律 dx dv s F η= 三、重要结果及结论 1 小孔流速问题 h g v ?= 2 2 测速、测流量问题 (皮托管，汾丘里管) 3 实际流体的能量损耗 )2 1()21( 2222121112gh v p gh v p E ρρρρ++-++ =? 4 雷诺数及判据 η ρvr = Re
四、注意的问题 空气中有大气压 Pa P 5010013.1?= 水的密度 3 kg/m 1000=ρ 空吸与虹吸现象
振动和波 一、 基本规律及重要公式 1 *波的干涉 )(21212r r -- -=?λ π ??? 干涉加强 2 112122)(2A A A k r r +==---=?π λ π ??? 干涉减弱 2 11212)12()(2A A A k r r -=+=---=?π λ π ??? 声波 一、基本概念 1 声速u 2 振动速度 声压 声特性阻抗 Z p v A v u Z m m m = ==,,ωρ 3 *声强 声强级 响度 响度级 ) (lg 102210 222 2dB I I L Z p Z p uA I e m == ==ωρ 4 *听阈 痛阈 听阈区域 二、重要公式 1 声波方程 ]2 )(cos[)](cos[πωωρω+- =- =u y t u A p u y t A x 2 *多普勒效应公式 0v V u V u v s o ±= 正负号的确定 ： 0远离来确定时，根据相互靠近还是、当≠s o V V 三、注意的问题
统计热力学深刻复知识题及答案解析
第三章 统计热力学 复习题及答案 1．混合晶体是由晶格点阵中随机放置N C 个C 分子和D 分子组成的。 （1） 证明分子能够占据格点的花样为 !!)!(D C D C N N N N W += ，若N N N D C 2 1 ==，利用斯特林公式证明 N W 2= （2） 若==D C N N 2，利用上式计算得42=W =16，但实际上只能排出6种花样，究竟何者正确？ 为什么？ 解：（1）证明：取)(D C N N +的全排列，则总共排列的花样数为)!(D C N N +种，现C N 个相同的C 和D N 个相同的D 。故花样数为!!)!(D C D C N N N N W += 当N N N D C 2 1 ==时 2])!21 [(!)!21()!21()! 21 21(N N N N N N W = += 取自然对数： N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N W 2ln 2ln 2 1 ln ln 21ln ln )21ln(ln )2 1 ln(ln ]21)21ln(21[2ln )!21ln(2!ln ln ==-=--=-=+--=---=-= N W 2=∴ （2）实际排出6种花样是正确的，因为Stirling 是一个近似公式适用于N 很大时才误差较小。而在N 为4时，用 42=W 来计算就会产生较大误差。 2．（1）设有三个穿绿色、两个穿灰色和一个穿蓝色制服得军人一起列队，试问有多少种对型？现设穿绿色制服得可有三种肩章并任取其中一种佩带，穿灰色制服的可有两种肩章，而穿蓝色的可有两种肩章，试 列出求算队型数目的公式。
第五版物理化学第九章习题答案
第九章 统计热力学初步 1．按照能量均分定律，每摩尔气体分子在各平动自由度上的平均动能为2RT 。现有1 mol CO 气体于0 oC、101.325 kPa 条件下置于立方容器中，试求： （1）每个CO 分子的平动能ε； （2）能量与此ε相当的CO 分子的平动量子数平方和( ) 222x y y n n n ++ 解：（1）CO 分子有三个自由度，因此， 2123 338.314273.15 5.65710 J 22 6.02210RT L ε-??= ==??? （2）由三维势箱中粒子的能级公式 ()(){}22222 23 223222 22 2221 23342620 8888828.0104 5.6571018.314273.15101.325106.626110 6.02210 3.81110x y z x y z h n n n ma ma mV m nRT n n n h h h p εεεε-=++??∴++=== ??? ??????? = ???????=? 2．2．某平动能级的()452 22 =++z y x n n n ，使球该能级的统计权重。 解：根据计算可知，x n 、 y n 和z n 只有分别取2，4，5时上式成立。因此，该能级的统计权重 为g = 3! = 6，对应于状态452245425254245,,,,ψψψψψ542ψ。 3．气体CO 分子的转动惯量2 46m kg 1045.1??=-I ，试求转动量子数J 为4与3两能级的能量 差ε?，并求K 300=T 时的kT ε?。 解：假设该分子可用刚性转子描述，其能级公式为 ()()J 10077.31045.1810626.61220 ,8122 46 23422 ---?=????-=?+=πεπεI h J J J 222 10429.710233807.130010077.3--?=???=?kT ε 4．三维谐振子的能级公式为 ()ν εh s s ?? ? ?? +=23，式中s 为量子数，即
09应化统计热力学试题
2010-2011第二学期09应化《统计热力学》考试试题 一、选择题（共60分，每小题2分） 1.下列各体系中，何者属独立子体系？ A. 绝对零度的晶体 B. 理想液体混合物 C. 纯气体 D. 理想气体的混合物 2.实际气体是 A. 定域的独立子体系 B. 离域的独立子体系 C. 离域的非独立子体系 D. 定域的非独立子体系 3.玻尔兹曼统计一般不适用于 A. 独立子体系 B. 单个粒子 C. 理想气体 D. 理想晶体 4.对于服从玻尔兹曼分布定律的体系，其分布规律为： A. 能量最低的单个量子态上的粒子数最多。 B. 第一激发能级上的粒子数最多。 C. 能量最低能级上的粒子数最多。 D. 视具体的条件而定 5.分子的平动、转动和振动的能级间隔的大小顺序是： A. 振动能>转动能>平动能 B. 振动能>平动能>转动能 C. 平动能>振动能>转动能 D. 转动能>平动能>振动能 6.玻尔兹曼分布 A. 是最概然分布，但不是平衡分布 B. 是平衡分布，但不是最概然分布 C. 既是最概然分布，又是平衡分布 D. 不是最概然分布，也不是平衡分布 7.双原子分了以平衡位置为能量零点，其振动的零点能为： A. kT B. 1/2kT C. h υ D. 1/2h υ 8.三维平动子的平动能，则简并度 g 为： A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 9.在分子运动的各配分函数中与压力有关的是 A. 平动配分函数 B. 振动配分函数 C. 转动配分函数 D. 电子运动配分函数 10.能量零点的不同选择，对下列中均有影响的是 A. U．H．S．G B. U．S．Cv. A C. U．H．S．Cv D. U．H．A．G 11.热力学函数与配分函数的关系式对于定域子体系和离域子体系都相同的是： A. U．A．S B. U．H．Cv C. U．H．S D. H．G．Cv
热力学与统计物理试题及答案
热力学与统计物理试题及 答案 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.
一．选择（25分 ） 1.下列不是热学状态参量的是（ ） A.力学参量 B 。几何参量 C.电流参量 D.化学参量 2.下列关于状态函数的定义正确的是（ ) A.系统的吉布斯函数是：G=U-TS+PV B.系统的自由能是：F=U+TS C.系统的焓是：H=U-PV D.系统的熵函数是：S=U/T 3.彼此处于热平衡的两个物体必存在一个共同的物理量，这个物理量就是（ ） A.态函数 B.内能 C.温度 D.熵 4.热力学第一定律的数学表达式可写为（ ） A.W Q U U A B +=- B.W Q U U B A +=- C.W Q U U A B -=- D.W Q U U B A -=- 5.熵增加原理只适用于（ ） A.闭合系统 B.孤立系统 C.均匀系统 D.开放系统
二．填空（25分） 1.孤立系统的熵增加原理可用公式表示为（）。 2.热力学基本微分方程du=（）。 3.热力学第二定律告诉我们，自然界中与热现象有关的实际过程都是（）。 4.在S.V不变的情况下，平衡态的（）最小。 5.在T.VB不变的情形下，可以利用（）作为平衡判据。 三.简答（20分） 1.什么是平衡态平衡态具有哪些特点 2. 3.什么是开系，闭系，孤立系？ 四.证明（10分） 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关 五．计算（20分） 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β，等温压缩系数 T K
参考答案 一.选择 1~5AACAB 二.填空 1. ds≧0 2. Tds-pdv 3. 不可逆的 4. 内能 5. 自由能判据 三．简答 1.一个孤立系统，不论其初态如何复杂，经过足够长的时间后，将会达到这样状态，系统的各种宏观性质在长时间内不发生变化，这样的状态称为热力学平衡态。特点：不限于孤立系统 弛豫时间 涨落 热动平衡 2.开系：与外界既有物质交换，又有能量交换的系统
医用物理学公式-大全
医用物理学公式大全 一、基本定律及定理 1连续性方程 2 211v s v s Q sv == 2 伯努利方程 2 2 2212112 2121 2 1gh v p gh v p E gh v p ρρρρρρ++=++=++ 3 泊肃叶定律 l P P r Q R P Q ηπ8)(214-= ?= 4 牛顿粘滞定律 dx dv s F η= 三、重要结果及结论 1 小孔流速问题 h g v ?= 2 2 测速、测流量问题 3 实际流体的能量损耗 )2 1()21( 22 22121112gh v p gh v p E ρρρρ++-++ =? 4 雷诺数及判据 η ρvr = Re （3000）
振动和波 一、 基本规律及重要公式 1 简谐振动方程 )cos(?ω+=t A x 2 2 0)( x v tg v x A ω?ω -=+= 2 谐振动能量 2222 1 21A m kA E ω== 3 简谐波的波动方程 ])(cos[?ω+-=u x t A y 4 波的强度公式 222 1 ωρuA I = 球面波 21 2211221)(,r r I I r r A A == 5 惠更斯原理 6 波的干涉 )(21212r r -- -=? λ π ??? 干涉加强 2 112122)(2A A A k r r +==---=?π λ π ??? 干涉减弱 2 11212)12()(2A A A k r r -=+=---=?π λ π ???
声波 一、基本概念 1 声速 u 2 振动速度 声压 声特性阻抗 Z p v A v u Z m m m = ==,,ωρ 3 声强 声强级 响度 响度级 ) (lg 102210 222 2dB I I L Z p Z p uA I e m == ==ωρ 二、重要公式 1 声波方程 ]2 )(cos[)](cos[πωωρω+- =- =u y t u A p u y t A x 2 多普勒效应公式 0v V u V u v s o ±= 正负号的确定 ： 0远离来确定时，根据相互靠近还是、当≠s o V V 三、注意的问题 1 两非相干的声波叠加时，声强可简单相加，而声强级不能简单相加 2 标准声强 2120/ 10m w I -=
医用物理学公式汇总
1.连续性方程（equation of continuity ）：在定常流动中，同一流管的任一截面处的流体密度、流速和该截面面积的乘积为一常量。 ρ1S 1υ1 =ρ2S 2υ2 或 ρS υ=常量 对于不可压缩流体，即ρ1 =ρ2 S 1υ1 = S 2υ2 或 S υ=常量 体积流量（S υ）简称流量（Q ） 2.伯努利方程：只适用于理想流体的定常流动 3. 雷诺数 由雷诺数判断流动类型 R e <1000时，流体作层流； R e >2000时，流体作湍流； 1000 第五章 统计热力学基本方法 在第四章我们论证了最概然分布的微观状态数lnt m 可以代替平衡系统的总微观状态数ln Ω，而最概然分布的微观状态数又可以用粒子配分函数来表示。在此基础上，为了达到从粒子的微观性质计算系统的宏观热力学性质之目的，本章还需重点解决以下两个问题：（1）导出系统的热力学量与分子配分函数之间的定量关系；（2）解决分子配分函数的计算问题。 §5.1 热力学量与配分函数的关系 本节的主要目的是推导出系统的热力学函数与表征分子微观性质的分子配分函数间的定量关系。在此之前先证明β = - 1/（kT ） 一 求待定乘子β 对独立可别粒子系统： ln Ω = ln t m = ln (N !∏i i i ! g i N N ) = ln N ! +i i i ln g N ∑ - ∑i i !ln N 将Stirling 近似公式代入、展开得 ln Ω = N ln N +i i i ln g N ∑ - ∑i i i ln N N 代入Boltzmann 关系式 (4—6)得 S = k (N ln N +i i i ln g N ∑ - ∑i i i ln N N ) 按Boltzmann 分布律公式 N i = q N g i exp (βεi ) ，代入上式的ln N i 中,利用粒子数与能量守恒关系得 独立可别粒子系统： S = k (N ln q -βU ) (5—1a) 独立不可别粒子系统： S = k (N ln q -βU - ln N ! ) (5—1b) 上式表明S 是(U ，N ，β)的函数，而β是U ，N ，V 的函数，当N 一定时，根据复合函数的偏微分法则 N V N U N N V U S U S U S ,,,,??? ? ??????? ????+??? ????=??? ????βββ 对（5—1a,b ）式微分结果均为 N V U S ,??? ????N V N V U U q N k k ,,ln ??? ??????? ?????-???? ????+-=βββ （5—2） 又 q = )ex p(g i i i βε ∑ 所以 N V q ,ln ???? ????β = N V q q ,1???? ????β= )ex p(g 1i i i i βεε∑q =N U （5—3） 代入（5—2）式得 N V U S ,? ?? ????= - k β 对照热力学中的特征偏微商关系 T U S N V 1,= ? ?? ???? 便可以得到 kT 1-=β 第九章统计热力学练习题 一、是非题 1、由理想气体组成的系统是独立子系统。（ ） 2、由非理想气体组成的系统是非独立子系统。（ ） 3、由气体组成的统计系统是离域子系统。（ ） 4、由晶体组成的统计系统是定域子系统。（ ） 5、假设晶体上被吸附的气体分子间无相互作用，则可把该气体系统视为定域的独立子系统。（ ） 6、独立子系统必须遵守∑∑==i i i i i N N N εε的关系,式中ε为系统的总能量, εi 为粒子在i 能级上的能量，N 系统总粒子数，Ni 为分布在能级i 上的粒子数。（ ） 7、平动配分函数与体积无关。（ ） 8、振动配分函数与体积无关。（ ） 9、设分子的平动、振动、转动、电子等配分函数分别以等表示，则分子配分函数q 的因子分解性质可表示为：e r v t q q q q q ln ln ln ln ln +++=。（ ） 10、对离域子系统，热力学函数熵S 与分子配分函数q 的关系为ln N U q S Nk Nk T N =++。（ ） 二、选择题 1、按照统计热力学系统分类原则，下述系统中属于非定域独立子系统的是：（ ） （1）由压力趋于零的氧气组成的系统。 （2）由高压下的氧气组成的系统。 （3）由氯化钠晶体组成的系统。 2. 对定域子系统，某种分布所拥有的微观状态数W D 为：（ ）。 （1）D !i N i i i g W N =∏ （2） D !! i g i i i N W N N =∏ （3）D !i g i i i N W N =∏ （4） D !! i n i i i g W N n =∏ 3、玻耳兹曼分布：（ ） （1）就是最概然分布，也是平衡分布； （2）不是最概然分布，也不是平衡分布； 三 流体的流动 一、基本概念 1 理想液体 2 稳定流动 3 层流与湍流 流量 流阻 粘度 二、基本定律及定理 1 连续性方程 2 211v s v s Q sv == 2 伯努利方程 2 2 2212112 2 121 2 1gh v p gh v p E gh v p ρρρρρρ++=++=++ 3 牛顿粘滞定律 dx dv s F η = 4 泊肃叶定律 l P P r Q R P Q ηπ8)(214-= ?= 三、重要结果及结论 1 小孔流速问题 h g v ?= 2 2 测速、测流量问题 (皮托管，汾丘里管) 3 空吸与虹吸现象 4 实际流体的能量损耗 )2 1()21( 2222121112gh v p gh v p E ρρρρ++-++ =? 四 振动 一、基本概念 1 振动 简谐振动 简谐振动的矢量图示法 2 振幅 初相位 相位 圆频率 周期 3 振动能量 4 振动的合成(同方向同频率；垂直方向同频率) 5 相位差 同相 反相 二、基本规律及重要公式 1 简谐振动方程 )cos(?ω+=t A x 2 2 0)( x v tg v x A ω?ω -=+= 2 简谐振动能量 2222 1 21A m kA E ω== 三、注意的问题 1 已知初始条件及振动系统性质，求振动方程 (求?=?) 2 两振动叠加时，相位差的计算 五 波 一、基本概念 1 波速 波长 频率 v u λ= 2 波动 简谐波的波动方程及其物理意义cos[()] cos() x y A t u y A t kx ωφωφ=- +=-+ 3 波的叠加原理 4 声速u 5 振动速度 声压 声特性阻抗 Z p v A v u Z m m m = == ,,ωρ 6 声强 声强级 响度 响度级 ) (lg 102210 222 2dB I I L Z p Z p uA I e m == ==ωρ 第六章统计热力学初步练习题 一、判断题： 1．当系统的U，V，N一定时，由于粒子可以处于不同的能级上，因而分布数不同，所以系统的总微态数Ω不能确定。 2．当系统的U，V，N一定时，由于各粒子都分布在确定的能级上，且不随时间变化，因而系统的总微态数Ω一定。 3．当系统的U，V，N一定时，系统宏观上处于热力学平衡态，这时从微观上看系统只能处于最概然分布的那些微观状态上。 4．玻尔兹曼分布就是最概然分布，也是平衡分布。 5．分子能量零点的选择不同，各能级的能量值也不同。 6．分子能量零点的选择不同，各能级的玻尔兹曼因子也不同。 7．分子能量零点的选择不同，分子在各能级上的分布数也不同。 8．分子能量零点的选择不同，分子的配分函数值也不同。 9．分子能量零点的选择不同，玻尔兹曼公式也不同。 10．分子能量零点的选择不同，U，H，A，G四个热力学函数的数值因此而改变，但四个函数值变化的差值是相同的。 11．分子能量零点的选择不同，所有热力学函数的值都要改变。 12．对于单原子理想气体在室温下的一般物理化学过程，若要通过配分函数来求过程热力学函数的变化值，只须知道q t这一配分函数值就行了。 13．根据统计热力学的方法可以计算出U、V、N确定的系统熵的绝对值。 14．在计算系统的熵时，用ln W B（W B最可几分布微观状态数）代替1nΩ，因此可以认为W B与Ω大小差不多。 15．在低温下可以用q r = T/σΘr来计算双原子分子的转动配分函数。 二、单选题： 1．下面有关统计热力学的描述，正确的是： (A) 统计热力学研究的是大量分子的微观平衡体系； (B) 统计热力学研究的是大量分子的宏观平衡体系； (C) 统计热力学是热力学的理论基础； (D) 统计热力学和热力学是相互独立互不相关的两门学科。 2．在统计热力学中，物系的分类常按其组成的粒子能否被辨别来进行，按此原则，下列 说法正确的是： (A) 晶体属离域物系而气体属定域物系；(B) 气体和晶体皆属离域物系； (C) 气体和晶体皆属定域物系；(D) 气体属离域物系而晶体属定域物系。 3．在研究N、V、U有确定值的粒子体系的统计分布时，令∑n i = N，∑n iεi = U，这是因为 所研究的体系是： (A) 体系是封闭的，粒子是独立的；(B) 体系是孤立的，粒子是相依的； (C) 体系是孤立的，粒子是独立的；(D) 体系是封闭的，粒子是相依的。 一．选择（25分） 1.下列不是热学状态参量的是（ ） A.力学参量 B 。几何参量 C.电流参量 D.化学参量 2.下列关于状态函数的定义正确的是（ ) A.系统的吉布斯函数是：G=U-TS+PV B.系统的自由能是：F=U+TS C.系统的焓是：H=U-PV D.系统的熵函数是：S=U/T 3.彼此处于热平衡的两个物体必存在一个共同的物理量，这个物理量就是（ ） A.态函数 B.内能 C.温度 D.熵 4.热力学第一定律的数学表达式可写为（ ） A.W Q U U A B +=- B.W Q U U B A +=- C.W Q U U A B -=- D.W Q U U B A -=- 5.熵增加原理只适用于（ ） A.闭合系统 B.孤立系统 C.均匀系统 D.开放系统 二．填空（25分） 1.孤立系统的熵增加原理可用公式表示为（ ）。 2.热力学基本微分方程du=（ ）。 3.热力学第二定律告诉我们，自然界中与热现象有关的实际过程都是（）。 4.在S.V不变的情况下，平衡态的（）最小。 5.在T.VB不变的情形下，可以利用（）作为平衡判据。 三.简答（20分） 1.什么是平衡态？平衡态具有哪些特点？ 2.什么是开系，闭系，孤立系？ 四.证明（10分） 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关 五．计算（20分） 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β，等温压缩系数 T K 参考答案 一.选择 1~5AACAB 二.填空 1. ds≧0 2. Tds-pdv 3. 不可逆的 4. 内能 5. 自由能判据 三．简答 1.一个孤立系统，不论其初态如何复杂，经过足够长的时间后，将会达到这样状态，系统的各种宏观性质在长时间内不发生变化，这样的状态称为热力学平衡态。 特点：不限于孤立系统 弛豫时间 涨落 热动平衡 2.开系：与外界既有物质交换，又有能量交换的系统 闭系：与外界没有物质交换，但有能量交换的系统， 孤立系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统四．证明 第九章统计热力学初步 1．按照能量均分定律，每摩尔气体分子在各平动自由度上的平均动能为。现有1 mol CO气体于0 oC、101.325 kPa条件下置于立方容器中，试求： （1）每个CO分子的平动能； （2）能量与此相当的CO分子的平动量子数平方和 解：（1）CO分子有三个自由度，因此， （2）由三维势箱中粒子的能级公式 2．某平动能级的，使球该能级的统计权重。 解：根据计算可知，、和只有分别取2，4，5时上式成立。因此，该能级的统计权重为g = 3! = 6，对应于状态。 3．气体CO分子的转动惯量，试求转动量子数J为4与3两能级的 能量差，并求时的。 解：假设该分子可用刚性转子描述，其能级公式为 4．三维谐振子的能级公式为，式中s为量子数，即 。试证明能级的统计权重为 解：方法1，该问题相当于将s个无区别的球放在x,y,z三个不同盒子中，每个盒子容纳的球数不受限制的放置方式数。 x盒中放置球数0，y, z中的放置数s + 1 x盒中放置球数1，y, z中的放置数s ………………………………………. x盒中放置球数s，y, z中的放置数1 方法二，用构成一三维空间，为该空间的一个平面，其与三个轴均相交于s。该平面上为整数的点的总数即为所求问题的解。这些点为平面在平面上的交点： 由图可知， 5．某系统由3个一维谐振子组成，分别围绕着 A, B, C三个定点做振动，总能量为。试 列出该系统各种可能的能级分布方式。 解：由题意可知方程组 的解即为系统可能的分布方式。 方程组化简为，其解为 3 6 3 3 6．计算上题中各种能级分布拥有的微态数及系统的总微态数。 解：对应于分布的微态数为 所以 3 6 3 3 15 10．在体积为V的立方形容器中有极大数目的三维平动子，其，式计算该系统在平衡情况下，的平动能级上粒子的分布数n与基态能级 的分布数之比。 解：根据Boltzmann分布 基态的统计权重，能级的统计权重（量子数1，2，3），因此 11．若将双原子分子看作一维谐振子，则气体HCl分子与I2分子的振动能级间隔分别是 和。试分别计算上述两种分子在相邻振动能级上分布数之比。 解：谐振子的能级为非简并的，且为等间隔分布的 12．试证明离域子系统的平衡分布与定域子系统同样符合波尔兹曼分布，即 二．统计热力学部分 1．热力学函数与配分函数的关系对于定位体系和非定位体系都相同的是： a. G、F、S b. U、H、S c. U、H、C v d. G、H、C v 2. NH3分子的平动、转动、振动自由度分别为 a. 3 、3 、6 b. 3 、2 、7 c. 3 、2、6 d. 3 、3 、7 3.一个体积为V、质量为m的离域子体系其最低平动能级和其相邻能级间隔为 4．三维平动子基态能级的简并度为；第一激发态能级的简并度为； 平动能为14h2 /8mV2/3能级的简并度为； 5 关于配分函数，下列那一点是不正确的 a.粒子的配分函数是一个粒子所有可能状态的玻兹曼因子之和； b.并不是所有配分函数都无量纲； c.粒子的配分函只有在独立子体系中才有意义； d.只有平动配分函数才与体系的压力有关。 6在定位体系与非定位体系，热力学函数有区别的是。 7 CO 和N2质量m相同，转动惯量相同，但其摩尔转动熵不同，原因是； 分子的摩尔转动熵较大。 8．双原子分子Cl2的振动特征温度θv = 801.3K, 不考虑电子运动和核运动的贡献， （1）求Cl2在323K时的C v,m ; （2）当Cl2分子的平动、转动和振动运动全部展开时，其C v,m为何值；（3）说明以上两值产生差别的原因。 18．非理想气体是： a.独立的不可别粒子体系； b.相依粒子体系； c.独立的可别粒子体系； d.定域的可别粒子体系 19．某体系有1mol NO分子，每个分子有两种可能的排列方式，即NO 和ON,也可将体系视为NO 和ON 的混合物，在0K下，该体系的熵值为 a. 0 b. k ln 2 c R ln 2 d.. 2 k ln 2 20. 在298.15K, p0下，摩尔平动熵最大的气体为 a. H2 b. CH4 c NO d.. CO2 21 对于宏观热力学体系，能级愈高，此能级量子态所具有的分子数；体系温度愈高，高能级所具有的分子数 22．设双原子分子AB为理想气体，计算在1000K时处在v = 2, J = 5 和v = 1, J = 2能级的分子数的比。已知，θv = 3700K;θr =12.1K. 23.CH4分子的平动自由度为；转动自由度为；振动自由度为 24．分子配分函数q的物理含义是对 进行加和。当体系温度T→0K时，体系的中分子（N个）处于状态。当体系温度T→+∞时，体系的分子的分配为。 a. 晶体属于定位体系； b. 气体属于非定位体系 c. 理想气体、绝对零度的晶体属于独立子体系； d. 实际气体、液体属于相依粒子体系。 26．关于宏观状态和微观状态的描述不正确的是 a. 宏观状态由体系宏观状态来描述； b. 微观状态指某一瞬间的状态； c. 微观状态在经典力学中用相空间来描述，在量子力学中用波函数来描述； d. 微观状态数不是状态函数。 27．关于分布的描述不正确的是 a.指N个粒子在许可能级上的一种分配； b. 指N个粒子在量子态上的一种分配； 经过我一上午奋战终于完成了这个属于医学院的 物理复习大纲 一、 基本概念 1 理想液体 2 稳定流动 3 层流与湍流 流量 流阻 粘度 二、基本定律及定理 1 *连续性方程 2 211v s v s Q sv == 2 *柏努利方程 2 2 2212112 2 121 2 1gh v p gh v p E gh v p ρρρρρρ++=++=++ 3 *泊肃叶定律 l P P r Q R P Q ηπ8)(214-= ?= 4 牛顿粘滞定律 dx dv s F η= 三、重要结果及结论 1 小孔流速问题 h g v ?=2 2 测速、测流量问题 (皮托管，汾丘里管) 3 实际流体的能量损耗 )2 1()21( 2222121112gh v p gh v p E ρρρρ++-++ =? 4 雷诺数及判据 η ρvr = Re 四、注意的问题 空气中有大气压 Pa P 5010013.1?= 水的密度 3 kg/m 1000=ρ 空吸与虹吸现象 振动和波 一、 基本概念 1 振动 简谐振动 谐振动的矢量表示 2 振幅 初相位 圆频率 周期 3 波速 波长 频率 v u λ= 4 振动的合成(同方向、同频率) 5 相位差 同相 反相 6 波动 波动方程的物理意义 7 波的叠加原理 二、 基本规律及重要公式 1 *简谐振动方程 )cos( ?ω+=t A x 2 谐振动能量 2222 1 21A m kA E ω== 3 *简谐波的波动方程 ])(cos[?ω+- =u x t A y 4 波的强度公式 222 1 ωρuA I = 球面波 21 2211221)(,r r I I r r A A == 5 惠更斯原理 6 *波的干涉 )(21212r r -- -=?λ π ??? 干涉加强 2 112122)(2A A A k r r +==---=?π λ π ??? 干涉减弱 2 11212)12()(2A A A k r r -=+=---=?π λ π ??? 三、注意的问题 1、已知初始条件及振动系统性质，求振动方程 (求?=?) 2、已知振动方程，求波动方程 (确定时间上是落后还是超前 ?u x μ ) 3、两振动、波动叠加时，相位差的计算统计热力学基本方法
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