最新华师大附中数学复习教学案平面向量的数量积及运算律
华师大附中2011届数学复习教学案平面向量的数量积及运算
律
课题：平面向量的数量积及运算律（1）
教学目的：
1掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4掌握向量垂直的条件
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律
教学过程：
一、复习引入：
1．向量共线定理向量?Skip Record If...?与非零向量?Skip Record If...?共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使?Skip Record If...?=λ?Skip Record If...?2．平面向量基本定理：如果?Skip Record If...?，?Skip Record If...?是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量?Skip Record If...?，有且只有一对实数λ1，λ2使?Skip Record If...?=λ1?Skip Record If...?+λ2?Skip Record If...?
3．平面向量的坐标表示
分别取与?Skip Record If...?轴、?Skip Record If...?轴方向相同的两个单位向量?Skip Record If...?、?Skip Record If...?作为基底任作一个向量?Skip Record
If...?，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数?Skip Record If...?、?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?
把?Skip Record If...?叫做向量?Skip Record If...?的（直角）坐标，记作?Skip Record If...?
4．平面向量的坐标运算
若?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，
则?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...?
若?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?
5．?Skip Record If...?∥?Skip Record If...? (?Skip Record If...? ?Skip Record If...?)的充要条件是x1y2-x2y1=0
6．线段的定比分点及λ
P1, P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数λ，
使 ?Skip Record If...?=λ?Skip Record If...?，λ叫做点P分?Skip Record If...?所成的比，有三种情况：
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
7定比分点坐标公式：
若点P１(x1,y1) ，Ｐ２(x2,y2)，λ为实数，且?Skip Record If...?＝λ?Skip Record If...?，则点P的坐标为（?Skip Record If...?），我们称λ为点P分?Skip Record If...?所成的比
8点P的位置与λ的范围的关系：
①当λ＞０时，?Skip Record If...?与?Skip Record If...?同向共线，这时称点P为?Skip Record If...?的内分点
②当λ＜０(?Skip Record If...?)时，?Skip Record If...?与?Skip Record If...?反向共线，这时称点P为?Skip Record If...?的外分点
9线段定比分点坐标公式的向量形式：
在平面内任取一点O，设?Skip Record If...?＝ａ，?Skip
Record If...?＝ｂ，
可得?Skip Record If...?=?Skip Record If...?10．力做的功：W = |F|?|s|cosθ，θ是F与s的夹角
二、讲解新课：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作?Skip Record If...?＝ａ，?Skip Record If...?＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角
说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；
（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；
（3）当θ＝?Skip Record If...?时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0?≤θ≤180?
C
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0
?探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定（2）两个向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a?b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替
（3）在实数中，若a≠0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a≠0，且
a?b=0，不能推出b=0因为其中cosθ有可能为0
（4）已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc ? a=c但是a?b =
b?c a = c
如右图：a?b = |a||b|cosβ = |b||OA|，b?c = |b||c|cosα = |b||OA|
? a?b = b?c但a≠c
(5)在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c≠a(b?c)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c 不共线
3．“投影”的概念：作图
定义：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影
投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0?时投影为 |b|；当θ = 180?时投影为-|b| 4．向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量
1?e?a = a?e =|a|cosθ
2?a⊥b?a?b = 0
3?当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = -|a||b|
特别的a?a = |a|2或?Skip Record If...?
4?cosθ =?Skip Record If...?
5?|a?b| ≤ |a||b|
三、讲解范例：
例1 判断正误，并简要说明理由
①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?；
④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝
０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２
解：上述8个命题中只有③⑧正确；
对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；
对于②：应有０·ａ＝0；
对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；
对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；
对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；
对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс
则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），
∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ
若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ
评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律
例2已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ
解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，
∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；
若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，
∴ａ·ｂ＝０；
③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有
ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×?Skip Record If...?＝9
评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能
四、课堂练习：
五、小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记及备用资料：
1概念辨析：正确理解向量夹角定义
对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：
1已知△ABC中，ａ＝５，ｂ＝８，Ｃ＝６０°，求?Skip Record
If...?·?Skip Record If...?
对此题，有同学求解如下：
解：如图，∵｜?Skip Record If...?｜＝ａ＝５，｜?Skip Record If...?｜＝ｂ＝８，Ｃ＝６０°，
∴?Skip Record If...?·?Skip Record If...?＝｜?Skip Record If...?｜·｜?Skip Record If...?｜cosＣ＝5×8cos60°＝20
分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中?Skip Record If...?与?Skip Record If...?两向量的起点并不同，因此，Ｃ并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是C的补角120°
2向量的数量积不满足结合律
分析：若有（ａ·ｂ）с＝ａ·（ｂ·с），设ａ、ｂ夹角为α，ｂ、с夹角为β，则(ａ·ｂ)с＝｜ａ｜·｜ｂ｜cosα·с，
ａ·(ｂ·с)＝ａ·｜ｂ｜｜с｜cosβ
∴若ａ＝с，α＝β，则｜ａ｜＝｜с｜，进而有：（ａ·ｂ）с＝ａ·(ｂ·с) 这是一种特殊情形，一般情况则不成立举反例如下：
已知｜ａ｜＝１，｜ｂ｜＝１，｜с｜＝?Skip Record If...?，ａ与ｂ夹角是60°，ｂ与с夹角是45°，则：
(ａ·ｂ)·с＝（｜ａ｜·｜ｂ｜cos60°）с＝?Skip Record If...?с，
ａ·(ｂ·с)＝（｜ｂ｜·｜с｜cos45°）ａ＝ａ
而?Skip Record If...?с≠ａ，故（ａ·ｂ）·с≠ａ·（ｂ·с）
平面向量的数量积教案
§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 博白县龙潭中学 庞映舟 一、教学重难点： 1、重点：平面向量数量积的概念、性质的发现论证； 2、难点：平面向量数量积、向量投影的理解； 二、教学过程： （一）创设问题情景，引出新课 问题：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运 算的结果是什么？ 新课引入：本节课我们来研 究学习向量的另外一种运算：平面向量的数量积的 物理背景及其含义 （二）新课： 1、探究一：数量积的概念 展示物理背景：视频“力士拉车”,从视频中抽象出下面的物理模型 背景的第一次分析： 问题：真正使汽车前进的力是什么？它的大小是多少？ 答：实际上是力→F 在位移方向上的分力，即θCOS F → ,在数学中我们给它一个名字叫投影。 “投影”的概念：作图
定义：|→b |cos 叫做向量→b 在→ a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量； 2、背景的第二次分析： 问题：你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 分析：θCOS S F w →→=用文字语言表示即：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积；功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算结果呢？ 平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量→a 与→b ，它们的夹角是θ，则数量|→a ||→b |θcos 叫→a 与→b 的数量积，记作→a ·→b ，即有→a ·→b = |→a ||→b |θcos （０≤θ≤π）.并规定→0与任何向量的数量积为0. 注：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定. 3、向量的数量积的几何意义： 数量积→a ·→b 等于→a 的长度与→b 在→a 方向上投影|→b |cos θ的乘积. 三、例题讲解： 例1 已知｜→a ｜＝5，｜→b ｜＝4，→a 与→b 的夹角θ=O 60，求→a ·→b 解：由向量的数量积公式得：（先复习特殊角度的余弦值） →a ·→b =|→a ||→ b |cos θ=5×4×cos O 60=5×4×21=10 练习1已知｜→a ｜＝8，｜→b ｜＝6，①→a 与→b 的夹角为O 60，②→a 与→b 的夹 角θ=00，求→a ·→ b ；
平面向量数量积说课稿
《平面向量数量积》说课稿 一，说教材： 平面向量数量积是人教版高一下册第五章第六节内容，本节课是以解决某些几何问题、物理问题等的重要工具。学习本节要掌握好数量积的定义、公式和性质，它是考查数学能力的一个结合点，可以构建向量模型，解决函数、三角、数列、不等式、解析几何、立体几何中有关长度、角度、垂直、平行等问题，因此是高考命题中“在知识网络处设计命题”的重要载体。 二，说学生 学生是天祝一中普通班学生，基础较薄弱。在学生已经学习了有关向量的基本概念和基础知识，同时也已经具备一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。但在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。 三，说教法 以数学思维的完善和情感态度的发展为出发点，用多媒体辅助教学，在教师的组织、引导、参与下，以学生的积极动脑、动口为主线来促进学生的有效学习活动。以数学来源于生活，又服务于生活的理念来设计本节课。突出新知识必须在学生自主探索，交流合作的基础上让学生自己去发现和归纳。 四，说学法 1、首先，从学生的认知特点出发，通过创设情境，以物理学中的功为主线，把整节课串联起来，在功的概念的复习中，不知不觉来学习新知识。 2、引导学生自主探究、合作交流根据已有的知识经验，归纳、总结新的知识等一系列活动， 3、设计几道技能训练题，激发学生的积极性，让学生主动的参与知识的巩固、深化过程。 五，课时安排： 3课时，这是第一课时 六，说教学过程 一、创设情景引入新课 问题1：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S， （1）力F所做的功W= 。 （2） W（功）是量， F（力）是量， S（位移）是量， α是。 问题1的设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积 绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究 这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。 二、探究新知[师生互动]引出两个向量的夹角的定义： 1、定义：向量夹角的定义：设两个非零向量a=OA与b=OB,称∠AOB= 为向量a 与b的夹角，(00≤θ≤1800)，（此概念可由老师用定义的方式向学生直接接示）问题2 当两向量垂直，共线时其夹角是怎样的？注：（1）当非零向量a与b同方向时，θ=00 （2）当a与b反方向时θ=1800 （共线或平行时）
平面向量的数量积导学案
平面向量的数量积导学案
河北孟村回民中学高一数学导学纲编号 班级姓名 年级高一作者温静时间 课题 2.4平面向量的数量积课型新授【课程标准】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.了解并掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 【重点】重点是数量积的定义、几何意义及运算律，. 【难点】难点是夹角公式和求模公式的应用. 【导学流程】 一、了解感知： （一）知识链接：1、向量加法和减法运算的法则_________________________________. 2、向量数乘运算的定义是 . 3、两个非零向量夹角的概念：_________________________________. 思考：通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？
（二）自主探究：（预习教材P103-P106） 探究1：如下图，如果一个物体在力F的作用下 产生位移s，那么力F所做的功W= ，其中 θ是 . 请完成下列填空： F（力）是量；S（位移）是量；θ是； W（功）是量； 结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及 其夹角余弦的乘积 启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种 运算的结果呢？ 新知1向量的数量积（或内积）的定义 已知两个非零向量a和b，我们把数量cos a bθ叫做a和b的数量积（或内积），记作a b?，即 注：①记法“a·b”中间的“·”不可以省略，也不可 以用“?”代替。 ②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零，即a?=。 00
探究2：向量的数量积运算与向量数乘运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？ 小组讨论，完成下表： θ的范围0°≤ θ<90° θ=90° 0°<θ≤ 180° a·b的符号 新知2：向量的数量积（或内积）几何意义 （1）向量投影的概念：如图，我们把cos aθ叫做向量a在b 方向上的投影；cos bθ叫做向量b在a方向上的投影. 说明：如图， 1cos OB bθ =. 向量投影也是一个数量，不是向量； 当θ为锐角时投影为_______值；当θ为钝角时投影为_______值； 当当θ = 0?时投影为 ________；当θ＝９０?时投影为__________； 当θ = 180?时投影为__________. （2）向量的数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度︱a︱与b在a的方向上的投影的乘积。
平面向量数量积
第三节平面向量数量积及应用重点： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 难点： 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 2 .会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 教学过程： 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.学-科网 (3)夹角：cos θ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21·x22＋y22 . (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21·x22＋y22. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
(完整版)《平面向量的数量积》教学设计及反思
《平面向量的数量积》教学设计及反思 交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。 一、总体设想： 本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。 二、教学目标： 1. 了解向量的数量积的抽象根源。 2. 了解平面的数量积的概念、向量的夹角 3. 数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义 4. 理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算 三、重、难点： 【重点】1.平面向量数量积的概念和性质 2.平面向量数量积的运算律的探究和应用 【难点】平面向量数量积的应用 四、课时安排：
2课时 五、教学方案及其设计意图：1．平面向量数量积的物理背景平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F 的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为W F s cos ，这里的是矢量F 和s 的夹角，也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b 的数量积的概念。 2．平面向量数量积（内积）的定义 已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b，即有a b = |a||b|cos ，（０≤θ≤π）. 并规定0 与任何向量的数量积为0. 零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积 的定义a b = |a||b|cos 无法得到，因此另外进行了规定。 3. 两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０ ≤θ≤π）
平面向量数量积学案
平面向量的数量积（1）学案 一、导学目标： 1.掌握平面向量的数量积定义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.熟练应用平面向量的数量积处理有关模长、角度和垂直问题, 掌握向量垂直的条件； 二、学习过程： （一）复习引入 1．向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义：____________________________________________ (2)向量数量积的性质： ①如果e 是单位向量，则a e ?＝e a ?＝________； ②a a ?＝___________或a ＝__________； ③cos ,a b <>＝________； ④非零向量,a b ，a b ⊥?________________； ⑤a b ?____a b . 2．向量数量积的运算律 (1)交换律：a b ?＝________； (2)分配律：()a b c +?＝______________________； (3)数乘向量结合律：(a λ)·b ＝________________. （二）探索研究 小试牛刀 1.(口答)判断题. (1)=?； (2)a b b a ?=?； (3)22a a =； (4)()()a b c a b c ?=?； (5)a b a b ?≤?； (6) ． 2. 已知向量a 和b 的夹角为135°，2a =，3b =，则a b ?= ________ =??=?
3．已知2a =，3b =，则a b ?=－3，则a 和b 的夹角为__________ 4．(2010·重庆)已知向量a 、b 满足0a b ?=，2a =，3b =，则2a b -＝________ 学生归纳： 例题探究 例1（2010·湖南） 在Rt ABC ?中，90C ∠=,4AC =,则AB AC ?等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 变式： 1.在ABC ?中，3AB =，2AC =，BC =AB AC ?等于 ( ) A.－32 B.－23 C.23 D.32 2.在ABC ?中，3AB =， 2AC =，5AB AC ?=，则BC =_____________ 例2已知向量a b ⊥，2a =，3b =，且32a b +与a b λ-垂直，则实数λ的值为________. 变式： (2011·课标全国) 已知a 和b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a b +与向量ka b -垂直，则k ＝________ （三）练习 1.已知4a =，3b =，(23)(2)61a b a b -?+=，（1）求a 与b 的夹角θ；（2）求a b +. 2.(2011·广东) 若向量,,a b c 满足//a b ，且a c ⊥，则(2)c a b ?+＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 3.在ABC ?中，M 是BC 的中点，1AM =，2AP PM =，则()PA PB PC ?+＝_______ 4.设非零向量,,a b c 满足a b c ==，a b c +=，则a 与b 的夹角为 ( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° 5.(2011·辽宁) 若,,a b c 均为单位向量，且0a b ?=，()()0a c b c -?-≤，则a b c +-的最大值为 ( ) A.2－1 B.1 C. 2 D.2
学案27平面向量的数量积及其应用
学案27 平面向量的数量积及其应用 导学目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 自主梳理 1．向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义：____________________________________________，其中|a |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 在b 方向上的投影． (2)向量数量积的性质： ①如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝__________________； ②非零向量a ，b ，a ⊥b ?________________； ③a·a ＝________________或|a |＝________________； ④cos 〈a ，b 〉＝________； ⑤|a·b |____|a||b |. 2．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b ＝________； (2)分配律：(a ＋b )·c ＝________________； (3)数乘向量结合律：(λa )·b ＝________________. 3．向量数量积的坐标运算与度量公式 (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a·b ＝________________________； (2)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ?________________________； (3)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， 则|a |＝________________，cos 〈a ，b 〉＝____________________________. (4)若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|AB →＝________________________，所以|AB → |＝_____________________. 自我检测 1.（2010·湖南）在Rt △ABC 中，∠C =90°,AC =4,则AB →·AC → 等于 ( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 2．(2010·重庆)已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝ ( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8 3．(2011·福州月考)已知a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，(a ＋λb )⊥b ，则λ等于 ( ) A ．－2 B ．2 C.12 D ．－1 2 4.平面上有三个点A （-2，y ），B （0，2 y ），C （x ，y ），若A B →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________________． 5.（2009·天津）若等边△ABC 的边长为3，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23 CA →，则MA →·MB → ＝________.
高中数学必修四之知识讲解_平面向量的数量积_基础
平面向量的数量积 【学习目标】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 【要点梳理】 要点一： 平面向量的数量积 1. 平面向量数量积(内积)的定义 已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量cos a b θ叫a 与b 的数量积，记作a b ?，即有 ()cos 0a b a b θθπ?=≤≤.并规定0与任何向量的数量积为0. 2.一向量在另一向量方向上的投影：cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 要点诠释： 1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成a b ?；今后要学到两个向量的外积a b ?，而a b ?是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. (3)在实数中，若0a ≠，且0a b ?=，则0b =；但是在数量积中，若0a ≠，且0a b ?=，不能推出 0b =.因为其中cos θ有可能为0. 2. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ=0?时投影为b ；当θ=180?时投影为b -. 要点二：平面向量数量积的几何意义 数量积a b ?表示a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影cos b θ的乘积，这是a b ?的几何意义．图（1）（2）（3）所示分别是两向量,a b 夹角为锐角、钝角、直角时向量b 在向量a 方向上的投影的情形，其中 1||cos OB b θ=，它的意义是，向量b 在向量a 方向上的投影是向量1OB 的数量，即11|| a OB OB a =? ． 事实上，当θ为锐角时，由于cos 0θ>，所以10OB >；当θ为钝角时，由于cos 0θ<，所以10OB <； 当090θ=时，由于cos 0θ=，所以10OB =，此时O 与1B 重合；当0 0θ=时，由于cos 1θ=，所以
人教版高中数学全套教案导学案241平面向量的数量积的物理背景及其含义教学案
2. 4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义 一、教材分析 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 二．教学目标 1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义； 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算； 3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。 三、教学重点难点 重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。 难点：平面向量数量积的概念 四、学情分析 我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细 五、教学方法 1．实验法：多媒体、实物投影仪。 2．学案导学：见后面的学案。 3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1．学生的学习准备：预习学案。 2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。。 七、课时安排：1课时 八、教学过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 （二）情景导入、展示目标。 创设问题情景，引出新课 1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。 2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？ 期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用 、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向3．量数量积的物理背景及其含义（三）合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念：1、给出有关材料并提出问题3 F
平面向量的数量积及其应用
06—平面向量的数量积及其应用 突破点(一) 平面向量的数量积 1．向量的夹角；2平面向量数量积的运算 1.第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用； 第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可． 2．根据定义计算数量积的两种思路 (1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算． (2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． [典例] (1)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( ) A ．－72 B ．－12 (2)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ＝23BC ，DF ＝16 DC ，则AE ·AF 的值为________． [解析] (1)a ＋2b ＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题 意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以b ＝? ????－12，1，所以a ·b ＝－1×? ?? ??－12＋2×1＝52. (2)取BA ，BC 为一组基底，则AE ＝BE －BA ＝23 BC －BA ，AF ＝AB ＋BC ＋CF ＝－BA ＋BC ＋512BA ＝－712BA ＋BC ，∴AE ·AF ＝? ????23 BC －BA ·? ????－712 BA ＋BC ＝712 |BA |2－2518BA ·BC ＋23|BC |2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918. [答案] (1)D (2)2918 [易错提醒] (1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”． 突破点(二) 平面向量数量积的应用 的关系 平面向量的垂直问题 1.第一，计算出这两个向量的坐标； 第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [例1] (1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥BC (2)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 [解析] (1)在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又AB ＝2a 且|AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2 ＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，D 正确，故选D. (2)∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0.∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3，－ 6)．
《平面向量的数量积的复习课》说课稿#(精选.)
《平面向量的数量积》复习课 说课稿 黄州区一中李世品 尊敬的各位评委、各位老师：大家好！ 今天我说课的题目是《平面向量的数量积》—复习课。下面我将从一下几个方面阐述我对本节课的分析和设计。 一、教材分析： 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。将平面向量引入高中课程，是现行数学教材的重要特色之一。由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合和转换的桥梁。而这一切之所以能够实现，平面向量的数量积功不可没。《平面向量的数量积》是数学必修4第二章第四节的内容。平面向量的数量积是继向量的线性运算之后，且已具备了一定的对向量的理解和应用能力的基础上进行的又一个重要运算，同时为探索空间向量的研究奠定了理论基础，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节复习课是把这两节并一节来复习的。本节课数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，高考中也经常考察的内容，而且很好的体现了数形结合的数学思想和类比思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点之一。 二、教学目标的设计： 1、知识与技能： (1)理解平面向量的数量积的含义及物理意义。 (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系。 (3)掌握平面向量的数量积的坐标表达式，会进行平面向量的数量积的运算。 (4)能运用平面向量的数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2、过程与方法： (1)通过本节课的复习培养学生应用平面向量的数量积解决相关问题的能力。 (2)通过师生共同探讨培养“数形结合思想”与“分类讨论思想”的能力。 3、情感态度与价值观： 培养学生发现问题的意识和运用知识的意识，让学生参与解决相关问题的全过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力，激发学生学习数学的兴趣。 三、重、难点分析： 1、重点：理解平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量的数量积的坐标表运算；用平面向量的数量积解决夹角、长度及垂直等问题。 2、难点：平面向量的数量积的综合应用。 四、教学方法与学法分析： 1、教学方法：本节课是高三第一轮复习中的《平面向量数量积的复习课》，重点理解平面向量的数量积及其几何意义，掌握平面向量数量积的坐标运算。用数量积求夹角、距离、判断垂直等问题及平面向量数量积的。培养学生类比思想以及数形结合思想。
(学案)校级公开课--平面向量的数量积及应用(学案)
课题：平面向量的数量积及其应用 一、知识归纳：见课本 二、问题探究： 问题1．()1已知ABC △中，||6,||9,45BC CA C ==∠=?，则BC CA ?= ()2已知平面上三点,,A B C 满足3,4,5AB BC CA ===， 则AB BC BC CA CA AB ?+?+?的值等于 ()3已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，求a 与a b +的夹角 问题2．在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。 (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值。 问题3 已知向量a =,23sin ,23cos ?? ? ??x x b =,2sin ,2cos ??? ??-x x 且x ∈??????-4,3ππ. （1）求a ·b 及|a +b |; (2)若f(x)=a ·b -|a +b |，求f(x)的最大值和最小值.
2 问题4 设两个向量e 1,e 2满足|e 1|=2,|e 2|=1,e 1与e 2的夹角为3 ,若向量2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为钝角， 求实数t 的范围. 课堂练习 1、一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成0 60角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为 A. 6 B. 2 C. 25 D. 27 2. |a |=1,|b |=2,c =a +b ,且c ⊥a ,则向量a 与b 的夹角为 ( )A .30° B .60° C .120° D .150° 3.如图所示，在平行四边形ABCD 中， AC =（1，2） ，BD =（-3，2），则AD ·AC = . 4、.设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.
求解平面向量数量积的三种方法
龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/7611161806.html, 求解平面向量数量积的三种方法 作者：谢伟杰 来源：《读写算》2018年第34期 摘要梅州市高一数学质量抽测题第11题是一道关于平面向量数量积的考题，这道考题引起了笔者的注意。此题很好地考察了学生对数量积概念的理解，也能很好地考察学生对求解平面向量数量积的方法是否掌握到位。 关键词平面向量数量积；解法 中图分类号：O241.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018） 34-0211-01 做题中的“少运算”是建立在对基本概念理解的基础之上的，学生只有对相关的概念、性质有深刻的理解，而不是纯粹的记公式或套方法，才能在做题中真正实现“多思考，少运算”。教师在教学中，要帮助学生去认识相关知识点的核心及实质，而不是认为学生只要能记住相关的公式或会套用某类方法解题就行，否则，在具体的问题情境中，学生极容易在公式与计算中迷失，从而找不到解决问题的有效途径。 一、原题呈现 已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则 的值为（） 二、解法展示与对比 解法一：如图1， 解法二：如图2，以点为坐标原点，为轴正方向，建立如图所示的直角坐标系。则，， 解法三：如图3，点在上的投影为点，作點在上的投影，则在是的投影为，由向量数量积的含义可知，易得与相似，所以，又，所以，即 . 故 作为选择题，解法三有明显的优点，即我们只需将在上的投影作出，对图中线段的长度作大致估计，就可迅速判断只有选项才是合理的。笔者认为这样并不是投机取巧，恰恰相 反，在考场上会做这样的思考，并采取此策略的学生，说明该生对数量积的概念有更深刻的理解，并有更好的思维能力。这与高考命题中所提倡的“多思考，少运算”的理念也是一致的。
高中数学——平面向量数量积的教学设计
《2.4.1平面向量数量积的 物理背景及其含义》 教学设计 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计 一、教材分析 1.地位与作用 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修4第二章《平面向量》的第4节内容。本节内容教材共分为两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。向量数量积运算是继向量的线性运算后的一种新的重要的运算，它有明显的物理意义、几何意义。向量数量积是代数、几何与三角的结合点，应用广泛，很好地体现了数形结合的数学思想。
2.学情分析 学生在学习本节内容之前，已经学习了平面向量的线性运算，理解并掌握了向量数乘运算及其几何意义。学生会产生这样的疑问——平面向量之间可以进行向量与向量的乘法运算吗？而学生此时已学习了功等物理知识，能够解决简单的物理问题，并熟知了实数的运算体系，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。所以本节课我从学生所熟悉的“功”引入“数量积”，通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识的学习。 二、教学目标 1.知识与技能 ⑴理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义； ⑵掌握平面向量数量积的性质与运算律； ⑶会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； ⑷以数学知识的教学为载体，为学生创造学习数学英语知识的环境，进而了解数学专业术语的英语表示，能用英语进行数学方面的交流，培养学生的跨文化意识与双思维，提高英语理解能力。 2.过程与方法 本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物理背景，学习“投影”后，通过设置例1让学生练习计算数量积与投影，并引导学生观察完成的表格发现数量积与投影的关系，从而得出数量积的几何意义，随后通过学生的自主学习与小组活动，探究数量积的性质与运算律。设置分层例题与分层练习，夯实基础，提升能力。采用双语教学，不仅达到学习数学知识的目的，同时还提高了学生的英语理解能力，激发了学生学习的兴趣。 3.情感态度与价值观 通过平面向量数量积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、类比思想，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。课堂中不断培养学生自主学习、主动探索，勤于观察、思考，善于总结的态度，并提高参与意识和合作精神。 三、教学重难点 重点：平面向量数量积的概念，用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角,判断向量的
《平面向量数量积》说课稿
《平面向量数量积》说课稿 一：说教材 平面向量的数量积是两向量之间的乘法，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算。本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法。本节内容也是全章重要内容之一。 二：说学习目标和要求 通过本节的学习，要让学生掌握 （1）：平面向量数量积的坐标表示。 （2）：平面两点间的距离公式。 （3）：向量垂直的坐标表示的充要条件。 以及它们的一些简单应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。 三：说教法 在教学过程中，我主要采用了以下几种教学方法： （1）启发式教学法 因为本节课重点的坐标表示公式的推导相对比较容易，所以这节课我准备让学生自行推导出两个向量数量积的坐标表示公式，然后引导学生发现几个重要的结论：如模的计算公式，平面两点间的距离公式，向量垂直的坐标表示的充要条件。 （2）讲解式教学法 主要是讲清概念，解除学生在概念理解上的疑惑感；例题讲解时，演示解题过程！ 主要辅助教学的手段（powerpoint） （3）讨论式教学法
主要是通过学生之间的相互交流来加深对较难问题的理解，提高学生的自学能力和发现、分析、解决问题以及创新能力。 四：说学法 学生是课堂的主体，一切教学活动都要围绕学生展开，借以诱发学生的学习兴趣，增强课堂上和学生的交流，从而达到及时发现问题，解决问题的目的。通过精讲多练，充分调动学生自主学习的积极性。如让学生自己动手推导两个向量数量积的坐标公式，引导学生推导4个重要的结论！并在具体的问题中，让学生建立方程的思想，更好的解决问题！ 五：说教学过程 这节课我准备这样进行： 首先提出问题：要算出两个非零向量的数量积，我们需要知道哪些量？ 继续提出问题：假如知道两个非零向量的坐标，是不是可以用这两个向量的坐标来表示这两个向量的数量积呢？ 引导学生自己推导平面向量数量积的坐标表示公式，在此公式基础上还可以引导学生得到以下几个重要结论： （1）模的计算公式 （2）平面两点间的距离公式。 （3）两向量夹角的余弦的坐标表示 （4）两个向量垂直的标表示的充要条件 第二部分是例题讲解，通过例题讲解，使学生更加熟悉公式并会加以应用。 例题1是书上122页例1，此题是直接用平面向量数量积的坐标公式的题，目的是让学生熟悉这个公式，并在此题基础上，求这两个向量的夹角？目的是让学生熟悉两向量夹角的余弦的坐标表示公式例题2是直接证明直线垂直的题，虽然比较简单，但体现了一种重要的证明方法，这种方法要让学生掌握，其实这一例题也是两个向量垂直坐标表示的充要条件的一个应用：即两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。 例题3是在例2的基础上稍微作了一下改变，目的是让学生会应用公式来解决问题，并让学生在这要有建立方程的思想。 再配以练习，让学生能熟练的应用公式，掌握今天所学内容。
平面向量数量积的坐标表示学案
必修4 2．4．3 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【学习目标】 1.举例说明平面向量数量积的坐标表示、用坐标表示向量的模、夹角、垂直、平面内两点间的距离公式； 2.能运用以上知识解决有关问题和解决问题的思想方法； 3.通过本节课的学习，进一步加深对向量数量积的认识，提高同学们的运算速度、运算能力、创新能力及数学素质. 【学习重点】平面向量数量积的坐标表示、坐标表示向量的模、夹角、垂直、距离等公式. 【难点提示】平面向量数量积的坐标表示、坐标表示向量的模、夹角、垂直、距离的综合 运用以及灵活解决相关问题. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材106108P 结合进行自主学习（对教材中的文字、 图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】 一、学习准备 前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白处，同时思考下列问题： 1.两个非零向量的夹角 ，夹角的范围是 ； 当两向量共线与垂直时夹角分别是 、 、 ；与非零向量a 垂直的向量有 个； 2.平面向量数量积定义 ， 向量数量积的几何意义 、向量数量积的性质 、 、 、 、 . 3.向量数量积满足的运算律 、 、 ；
4.平面向量的坐标表示及坐标运算 ，平面向量共线的坐标表示 ； 热身练习 已知△ABC 的三点为A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，求：（1）____AB =； （2）____AB AC -=；请问同学们，你还能求：____AB =，____AB AC ?=， cos ____ABC ∠=，该△ABC 的形状如何？等. 这就是我们本节课要探究的问题！ 二、学习探究 通过“学习准备”，在想一想：前面我们学习了平面向量的坐标表示，我们已经会用向量的坐标表示来表示向量中的哪些相关知识？能用向量的坐标表示解决向量的哪些问题？上节课我们又学习了向量的数量积及相关知识，那么，现在你能用向量的坐标来表示向量的数量积、模、夹角吗？请同学们发挥你的想象探究一下： 探究向量数量积坐标表示 已知：11(,)a x y =，22(,)b x y =，请你坐标表示a b ?？ 【提示】请同学们一定要先独立思考，再看链接1 探究： 归纳结论 若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a ?b = . 快乐体验 1.已知：(3,4),(5,12)a b =-=，求：|a |= ，|b |= ，a ?b = ， cos ___θ=（θ为向量a 与b 的夹角） 解： 2. 已知(2,3),(2,4),(2,4),a b c ==-=-求2,()(),(),().a b a b a b a b c a b ?+?-?++ 解： 3.已知△ABC 的三点为A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，求：（1）____AB AC ?=； （2）____AB =；（3）△ABC 的形状是 . 解： 同学们通过探究、归纳、体验，对向量数量积的坐标表示有哪些感悟？它们有哪些性质呢？你能对它们进行深度思考和挖掘拓展吗？ 挖掘拓展 1.你能用几种语言来描述平面向量数量积的坐标表示？它实质就是一个运算公式，这个公式又怎样的特征？有几个变量？如何运用该公式？ 2.设),(y x a = ，则|a |= 或|a |= (长度公式) 3.如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为A ),(11y x 、B ),(22y x ，那么 ||||AB a == (平面内两点间的距离公式) 4.夹角的计算：设),(11y x a =，),(22y x b = ,夹角为θ，则cos θ= 5.垂直关系分析：设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a ⊥? ?
平面向量的数量积习题(精品绝对好)
平面向量的数量积(20131119)作业 姓名 成绩 A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( ) A ．－1 B ．－1 2 C.12 D ．1 2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.???? 79，73 B.????－73，－79 C.????73，79 D.????－79 ，－7 3 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC → 等于 ( ) A ．－3 2 B ．－23 C.23 D.3 2 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三、解答题(共22分) 8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的 夹角为钝角，求实数t 的取值范围．