二个典型条件概率问题的错解浅析
二个典型条件概率问题的错解浅析
条件概率：对于两个事件A ，B 就是事件A 在另外一个事件B 已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P(A|B)，读作“在事件B 发生的条件下事件A 的概率”。
示例：根据大量的统计，大熊猫活到十岁的概率是0.8，活到十五岁的概率是0.6，若现有一只大熊猫已经十岁了，则他活到十五岁的概率是多少？
需要注意的是，在这些定义中 A 与 B 之间不一定有因果或者时间顺序关系。A 可能会先于 B 发生，也可能相反，也可能二者同时发生。A 可能会导致 B 的发生，也可能相反，也可能二者之间根本就没有因果关系。
条件概率的集合解释：在同一个样本空间 Ω 中，事件的子集 A 与 B ，如果随机从 Ω 中选出的一个元素属于 B ，那么下一个随机选择的元素属于 A 的概率就定义为在 B 的前提下 A 的条件概率。
条件概率公式 P(A|B) = P(AB)/P(B)
典型错题1、有两个口袋中装大小相同的小球，第一个口袋中装有50个，其中标号为1的有10个；第二个口袋中装有30个，其中标号为1的有18个。先从两袋中随机地取一袋，然后不放回地从该袋中先后随机取出两个小球，求：（1）先取出的小球标号是1的概率；（2）先取出的小球标号是1的条件下，第二次取出的小球仍是标号为1的概率。 解：设第一次从第一个口袋中取到1号球的随机事件记为1B
第一次从第二个口袋中取到1号球的随机事件记为2B 则515010)(1==B P ，5
33018)(2==B P （1）先取出的小球标号是1的随机事件记为A
则5
253215121)(21)(21)(21=?+?=+=B P B P A P （2）设从第一个口袋中第二次取出标号为1的球的随机事件记为1C
从第二个口袋中第二次取出标号为1的球的随机事件记为2C
则)|(11B C P =
499，)|(22B C P =29
17 所以142154729172149921)|(21)|(212211=?+?=+=B C P B C P P 上述解法（2）为是错解，理由是它们在先取出的小球标号是1的条件下，第二次从不同口袋中取出标号为1的球的事件，不是等可能事件，因而不能用等可能事件的概率公式求解。
正解：（1）同上
（2）设从第一个口袋中第二次取出标号为1的球的随机事件记为1C
从第二个口袋中第二次取出标号为1的球的随机事件记为2C
则先取出的小球标号是1，第二次取出的小球仍是标号为1的事件为C 1B 1+C 2B 2。
P （B 1 C 1+B 2 C 2）=2917301821499501021??+??=1421276 P=P(A))C B C P(B 2211+=521421276
=1421
690 典型错题2、如图所示，质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进. 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字. 质点P 从A 点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A 到B ）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P 前进两步（如由A 到C ）；当正方体上底面出现的数字是3，质点P 前进三步（如
由A 到）. 在质点P 转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷
终止.
（Ⅰ）求点P 恰好返回到A 点的概率；
（Ⅱ）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中，用随机变量ξ 表
示点P 恰能返回到A 点的投掷次数，求ξ的数学期望。
分析：（1）求点P 恰好返回到A 点的概率，首先我们要对回到A 点的情况分类讨论，由于回到原点最少需要两次投掷，最多需要四次投掷，故我们可以分两次、三次、四次，四种情况进行讨论，计算出每种情况性质的概率，相加即得结果．
（2）由（1）的结论我们不难得到ξ的值分别等2，3，4时的概率，然后我们代入数学期望公式即可求解．
解答：
解：（Ⅰ）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的，其概率为31621==P ，因为只投掷一次不可能返回到A 点；
若投掷两次点P 就恰能返回到A 点，则上底面出现的两个数字应依次为：
（1，3）．（3，1）．（2，2）三种结果，其概率为3
13)31
(22=?=P ； 若投掷三次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的三个数字应依次为： （1，1，2）．（1，2，1）．（2，1，1）三种结果，其概率为9
13)31
(33=?=P ； 若投掷四次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1） 其概率为81
1)31
(44==P ； 所以，点P 恰好返回到A 点的概率为P=P 2+P 3+P 4=
81378119131=++. （Ⅱ）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果共有以上问题中的7种，
因为，P （ξ=2）=
73，P （ξ=3）=73，P （ξ=4）=7
1 ； 所以，E ξ=2?73 +3?73 +4?71 =73 此解答（Ⅰ）是正确的，但解答（Ⅱ）是错误的。理由是7种结果出现的可能性是不
相等的，即每一结果出现的概率不相同，例（1，3）结果出现的概率是
91，（1，1，1，1）结果出现的概率是81
1，因而不是等可能性事件，解题不能按等可能事件的概率问题求解。再例：一对夫妇生二个子女，有3 种不同结果即二男，二女，一男一女，显然三个不同结果不是等可能的，其概率不相同，分别为
41，41，21。因此，按此方法分类不能用等可能事件的概率问题求解。
正解：（Ⅰ）同上
（Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为2，3，4，其分布列为：P （ξ=2）=37
2781
3731
2==P P ， P （ξ=3）=3798137913==P P ，P （ξ=4）=37
181
37811
2==P P ； 即ξ分布为
所以，E ξ=2?3727 +3?379 +4?371 =3785 . 解决等可能性事件的概率问题，关键是要求基本事件出现的可能性都相等，要弄清每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个结果出现的可能性是否相等的是解决问题的关键，不要把条件概率问题误认为等可能性事件的概率问题，记住用等可能性事件的概率公式求解问题必须强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．
练习题：
浅谈条件概率浅谈条件概率教学过程的设计
浅谈条件概率浅谈条件概率教学过程的设计 从狄青的100枚铜币谈起 浅谈条概率教学过程的设计汕头市金山中学林琪条概率是人教A版选修2-3第二章2.2.1的内容，是学生在已学习古典概型与几何概型的基础上又一类型的概率问题。条概率是概率论中的一个重要概念，它是推导独立事概率公式的前提，也是继续学习事的独立性等概率知识的基础，正确理解概念是解题的关键，所以学好这一节，对后续概率的学习有着铺垫作用。而条概率又是比较难理解的概念，在新课的讲授过程学生总会有这样或那样的疑惑。下面我就把条概率这节课讲“懂”，使学生真正把知识学好学透彻，浅谈我的一点见解。1. 寻找条概率狄青的100枚铜币在我们生活的世界上，充满着不确定性，从流星坠落，到大自然的千变万化，从婴儿诞生，到世间万物的繁衍生息，都充满奇异的随机现象。我们能根据现在预测未来吗？或者一切都能心想事成吗？这可以从狄青的100枚铜币谈起。话说北宋庆历、皇祐年间，大将狄青奉旨征讨侬智高时，来到桂林以南。当时南方有崇拜鬼神的风俗，于是，他拿了100枚铜币向神许愿，说：“如果这次出征能够打败敌人，那么把这些铜币扔到地上，钱面定然会全部朝上。” 左右官员都诚惶诚恐，力劝主帅放弃这个念头因为经验告诉他们，这种尝试是注定要失败的。他们担心最终弄不好，反而
会动摇部队的士气。可是，狄青对此概然不理，固执如牛。在千万人的注视下，他突然举手一挥，把铜币全部扔到地上。结果这100枚铜币的面，竟然鬼使神差般全部朝上。这时，全军欢呼，声音响彻山村原野。由于士兵个个认定有神灵护佑，在战斗中奋勇争先，迅速赢得了胜利。最后回师时，狄青的僚属们一看才发现那些铜币的两面都是一样的。实际上，聪明的狄青便是注意到人们在观察随机现象时，往往过于相信自身的经验，而忽视了前提条。对于狄青来说，100个钱面全部朝上，原本是个必然事，但在别人看来，却是几乎不可能出现的。因此，观察一种现象，不能忽视它的前提。在一种前提下的随机事，在另一种前提下可能成为必然事。同样地，在一种前提下的必然事，在另一种前提下也可能不出现。可见，前提不同的话，随机事的概率可能发生变化。这也便是我们所要研究的条概率。2. 初识条概率抽签先后概率一样？抽签是生活常见的概率问题，也是条概率中最常见的例子。抽签先后是否公平，也即各人抽到奖票的概率是否相等，大体有如下一些看法：(1) 先抽比后抽可能性大。第一人抽的时候，奖票还在；假如奖票被第一个人抽去了，那后面的人就根本不用抽了。(2) 后抽比先抽可能性大。先抽的人概率小，所以先难抽到奖票，而对第二个人来说，这时签纸总数减少了一张，所以抽中的概率变大。(3) 先后抽的可能性一样。当每个人抽完签之后都不看或者看了不声张，每个人拿到奖票的可能性是一样的。这些疑惑估计不止学生
认识概率知识讲解
认识概率知识讲解 LEKIBM standardization office【IBM5AB- LEKIBMK08- LEKIBM2C】
认识概率--知识讲解 【学习目标】 1.通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确的判断； 2.理解概率的定义，通过具体情境了解概率的意义； 3.理解频率与概率的关系，能利用频率与概率的关系解决实际问题. 【要点梳理】 要点一、确定事件与随机事件 1.不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． 2.必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 3.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 要点诠释： （1）一般地，要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型. （2）必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 要点二、频率与概率 1.概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率.
事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即， 其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存 在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 2.频率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附 近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的 稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率 m 会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事 n 件发生的频率作为其概率的估计值. 要点诠释： ①概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； ②频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； ③概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 【典型例题】 类型一、确定事件与随机事件 1.（1）指出下列事件中，哪些是不可能事件哪些是必然事件哪些是随机事件
知识讲解 条件概率 事件地相互独立性(理)(基础)
条件概率事件的相互独立性 【学习目标】 1．了解条件概率的概念和概率的乘法公式． 2．能运用条件概率解决一些简单的实际问题． 3．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件． 4．能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题． 【要点梳理】 要点一、条件概率的概念 1.定义 设A、B为两个事件，且()0 P A>，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。 用符号(|) P B A表示。 (|) P B A读作：A发生的条件下B发生的概率。 要点诠释 在条件概率的定义中，事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率． 2．P（A｜B）、P（AB）、P（B）的区别 P（A｜B）是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。 P（AB）是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。 P（B）是事件B发生的概率，无附加条件． 它们的联系是： () (|) () P AB P A B P B =． 要点诠释 一般说来，对于概率P(A|B)与概率P(A)，它们都以基本事件空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。概率P(A)是指在整个基本事件空间Ω的条件下事件A发生的可能性大小，而条件概率P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的可能性大小。 例如，盒中球的个数如下表。从中任取一球，记A=“取得篮球”，B=“取得玻璃球”。基本事件空间Ω包 含的样本点总数为16，事件A包含的样本点总数为11，故 11 () P A=。 如果已知取得玻璃球的条件下取得篮球的概率就是事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，那么
贝叶斯公式浅析
说起贝叶斯公式，学过概率论的人肯定学过（如果没学过，那就去了解下"条件概率”），一个条件概率的转换公式，如下： P（A|E）=[ P（E|A）P（A）] / P（E），稍微变形下就是最简单的等式了P（A|E）P（E）= [P（E|A）P（A） 这么一个简单的公式为什么能引起科学上的革命？ 这是一个统计学上的公式，但是却被证明是人类唯一能够运用自如的东西。伯克利大学心理学家早在2004年就证明，Bayesian统计法是儿童运用的唯一思考方法，其他方法他们似乎完全不会。 废话不多说，举个例子来说明就很明白了：假设在住所门口看到自己“女朋友or男朋友”（没有的自己找去，这里不负责介绍，还假设她or他在外地）你会产生三种假设（很多人都会这么想）： A1=男朋友or女朋友没告诉你就跑来你的城市 A2=自己看模糊了 A3=那个人跟自己男朋友or女朋友确实长得很像 那么这三种假想哪个更有可能？ 更准确地说就是，在“事实”（看到了男朋友or女朋友的情况）那种假设更有可能呢？解释成数学语言就是 P(A1|E)， P(A2|E)， P(A3|E)。哪个更大些？ 于是脑子就开始启动贝叶斯程序， 计算比较这三个的概率到底哪个更大： 因为P(E)对于三个式子来说都是一样的，所以贝叶斯公式可以看成P（A|E）正相关于P（E|A）P（A），先看看P(A)是什么？ P(h)在这个公式里描述的是你对某个假想h的可信程度。（不用考虑当前的事实是什么） P（ A1）=男朋友or女朋友没告诉你就跑来你的城市，可能性比较低 P（ A2）=自己看模糊了，可能性比较高 P（ A3）=那个人跟自己男朋友or女朋友确实长得很像，可能性比较高 P（E|A）表示的就是假想产生对应的这个事实的可能性多大 P（E| A1）=男朋友or女朋友想给你惊喜，来找你的，当然很高的概率出现在你住所门
新教材八年级下认识概率知识点及练习
知识点归纳 （1）事件可分为：必然事件、不可能事件（确定事件）、随机事件（不确定事件）。 （2）一件事件发生的可能性的大小的数值，叫做这件事件的概率。概率通常用大写P表示。（3）0≤ P（A事件）≤1；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；0 浅谈工科概率论与数理统计教学 一、工科学生的特点 工科是应用数学、物理学、化学等基础科学的知识，结合生产实践所积累的技术经验而发展起来的学科。工科专业的学生需要很好的解决实际问题的能力，但这种能力的形成需要扎实的理论基础为支撑。中国现阶段的社会主义现代化建设需要的人才早已不单单是只懂技术的工科人才，现在急需的是大量的具有创新能力的工科人才。而这样的人才如何培养？只教授理论或者技术都不行，必须结合学科特点，重点培养学生应用理论知识解决实际问题的能力。很多学校都在大一下学期或者大二上学期开设概率论与数理统计这门课，因此学生已经学习了半年到一年本专业的基础课，有将概率论与数理统计课与专业知识相联系的理论基础。 二、重视第一堂课 良好的开端是成功的一半，上好概率论与数理统计的第一堂课十分重要，教师课前要精心设计与备课，把该课程的主要内容与特点、学习概率论与数理统计的重要性、怎样学和学习中可能会遇到的困难给学生作一宏观介绍，激发学生的学习兴趣，调动学生学习的主动性和积极性，为后续的教学工作打下良好基础。 教师在第一堂课中要阐述学好该门课程的重要性、学习该课程的方法以及重点和难点所在章节，以便学生对该课程有大致的了解，增强其学好的信心。 三、重视基本概念、理论与方法的教学 概率论与数理统计的基本概念、基本理论、基本方法是这门学科的基础，是解决实际问题的出发点和依据。很多刚入学的大学生最初学习数学课时，依然认为数学实际上就是学习如何求解数学题，忽视了对基本知识的理解，导致在思考一些问题时思路不清晰，方法不恰当。学生在大学里要改变这种思维习惯。一些基本概念本身比较抽象，学生不易理解，因此教師可通过举例子来辅助学生对基本概念进行理解，并通过适当的练习题巩固所学知识。在教学过程中，教师要不断提醒学生重视基本概念、基本理论的学习，从根本上培养学生严谨求实的数学思维习惯和具有比较熟练的运算技能，为进一步获取数学知识奠定基础。 四、理论联系实际 教师在课程中应当适当举一些实际存在的实例，增加课堂的趣味性，同时也培养学生理论联系实际的意识以及运用理论知识解决实际问题的能力。比如，在讲解古典概型的时候融入抽奖、买彩票等实际问题；在讲解条件概率问题的时候引入保险、物品质量检测等实际例子；在讲解期望和方差的时候，列举一些它们在股票投资中的实际应用等。 第8章认识概率(本章复习) ·知识清单复习 1.在特定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是 . 2.在特定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是 . 3. 和都是确定事件. 4.在特定条件下，生活中也有很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情 是 . 5.不可能事件发生的可能性最小，等于 ;必然事件发生的可能性最大，等 于 . 6.一般地，随机事件发生的可能性 . 7.一个事件发生的的大小的数值称为这个事件的概率.如果用字母A表示一个事件，那么表示事件发生的概率. 8.通常规定必然事件A的概率为1,记作 ;不可能事件A的概率为0，记作 ;随机事件A发生的概率P(A)是0和1之间的一个数. 9.在实际工作中，人们常把试验次数很大时事件发生的作为概率的近似值. ·知识大闯关复习 8.1 确定事件与随机事件 1.(2013湖北天门中考)下列事件中,是必然事件的为( ) A、抛掷一枚质地均匀的硬币,落地后正面朝上; B、江汉平原7月份某一天的最低气温是－2℃; C、通常加热100℃到时,水沸腾; D、打开电视,正在播放节目《男生女生向前冲》. 2.下列事件中属于不可能事件的是( ) A. 小明买体育彩票中大奖; B. 任意抛两枚正方体的骰子,点数和为1; C. 太阳从东方升起; D. 明天会下雨. 3.(2013山东聊城中考)下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数，其和大于1；④长分别为3、5、9厘米的三条线段能围成一个三角形.其中确定事件的个数是( ) A.1; B.2; C.3; D.4. 4.同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6．下列事件中是必然事件的是（） A．两枚骰子朝上一面的点数和为6; B．两枚骰子朝上一面的点数和不小于2; C．两枚骰子朝上一面的点数均为偶数; D．两枚骰子朝上一面的点数均为奇数. 5.(2014江苏兴化期中)下列事件：（1）如果A．b都是实数，那么a+b=b+a；（2）从分别标有数字1～10的10张小标签中任取1张，得到8号签；（3）同时抛掷两枚骰子，向上一面的点数之和为13；（4）射击1次，中靶．其中随机事件的个数有( ) A．0个 B．1个 C．2 个 D．3个 6.（2015江苏泰州中学月考,14,★★☆）下列4个事件:①异号两数相加,和为负数;②异号两数相减,差为正数;③异号两数相除,商为负数;④异号两数相乘,积为正数.必然事件 是(将事件的序号填上即可). 7.（2015江苏徐州,5,★☆☆）一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（） 浅谈贝叶斯公式及其应用 摘要 贝叶斯公式是概率论中很重要的公式，在概率论的计算中起到很重要的作用。本文通过对贝叶斯公式进行分析研究，同时也探讨贝叶斯公式在医学、市场预测、信号估计、概率推理以及工厂产品检查等方面的一些实例，阐述了贝叶斯公式在医学、市场、信号估计、推理以及产品检查中的应用。为了解决更多的实际问题，我们对贝叶斯公式进行了推广，举例说明了推广后的公式在实际应用中所适用的概型比原来的公式更广。从而使我们更好地了解到贝叶斯公式存在于我们生活的各个方面、贝叶斯公式在我们的日常生活中非常重要。 关键词：贝叶斯公式应用概率推广 第一章引言 贝叶斯公式是概率论中重要的公式，主要用于计算比较复杂事件的概率,它实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。贝叶斯公式出现于17世纪，从发现到现在，已经深入到科学与社会的许多个方面。它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.贝叶斯公式在实际中生活中有广泛的应用，它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因。 目前，社会在飞速发展，市场竞争日趋激烈，决策者必须综合考察已往的信息及现状从而作出综合判断，决策概率分析越来越显示其重要性。其中贝叶斯公式主要用于处理先验概率与后验概率，是进行决策的重要工具。 贝叶斯公式可以用来解决医学、市场预测、信号估计、概率推理以及产品检查等一系列不确定的问题。本文首先分析了贝叶斯公式的概念，再用贝叶斯公式来解决实际中的一些问题。然后将贝叶斯公式推广，举例说明推广后的贝叶斯公式在实际应用中所适用的概型。 第二章 叶斯公式的定义及其应用 2.1贝叶斯公式的定义 给出了事件B 随着两两互斥的事件12,,...,n A A A 中某一个出现而出现的概率。如果反 过来知道事件B 已出现，但不知道它由于12,,...,n A A A 中那一个事件出现而与之同时出现， 这样，便产生了在事件B 已经出现出现的条件下，求事件(1,2,...)i A i n =出现的条件概率的问题，解决这类问题有如下公式： 2.1.1定义 设12,...,n B B B 为Ω 的一个分割，即12,...,n B B B 互不相容，且 1n i i B ==Ω，如果 P( A ) > 0 ，()0i P B = (1,2,...,)i n = ,则1()(/) (/),1,2,...,()(/)i i i n j j j P B P A B P B A i n P B P A B ===∑。 证明 由条件概率的定义（所谓条件概率，它是指在某事件B 发生的条件下，求另一事件A 的概率，记为(/)P A B ） ()(/)() i i P AB P B A P A = 对上式的分子用乘法公式、分母用全概率公式, ()()(/)i i i P AB P B P A B = 1()()(/)n i i j P A P B P A B ==∑ 1()(/) (/),1,2,...,()(/)i i i n j j j P B P A B P B A i n P B P A B ===∑ 结论的证。 初二认识概率-知识点-测试题及答案 认识概率 知识点归纳 （1）事件可分为：必然事件、不可能事件（确定事件）、随机事件（不确定事件）。 （2）一件事件发生的可能性的大小的数值，叫做这件事件的概率。概率通常用大写P表示。（3）0≤ P（A事件）≤1；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；0 大时，事件发生的频率与概率的差异可能很大。事件发生的频率不能简单地等同于其概率，要通过多次试验，用一事件的频率来估计这一事件发生的概率。 1、确定事件和随机事件。 （1）“必然事件”是指事先可以肯定一定会发生的事件。 （2）“不可能事件”是指事先可以肯定一定不会发生的事件。 （3）“不确定事件”或“随机事件”是指结果的发生与否具有随机性的事件。 2、可能性的大小 （1）很可能发生：如果事件发生的可能性很大，我们也说事件很可能发生.不大可能发生：如果事件发生地可能性很小，我们也说事件不大可能发生。 （2）事件的频数、频率。设总共做n次重复实验，而事件A发生了m次，则称事件A发生的次数m为频数。称比值m/n为A发生的频率。（3）概率：某事件发生的可能性也叫做事件发生的概率。必然事件发生概率为1，不可能事件发生的概率为0，不确定事件发生的概率在0到 1之间。一般地，如果一个实验有n个等可能的结果，而事件A包含其中k个结果，我们定义P （A）=k/n=事件A包含的可能结果数/所有可能结果数。对概率计算应注意：分清所有基本事件的总和（n）和事件A所包含的基本事件总和（k）. 3、频率与概率的关系。 （1）事件发生的频率会呈现逐渐稳定的趋势。（2）频率和概率可以非常接近，单不一定相等（3）如何用频率估计机会的大小。 4、树状图与列表法求解概率 测试题 一、填空题（共10个小题，每题给出四 个答案，只有一个是正确的，请将正 确答案填在下面的方框内,每题3分，共30分）1. 下列成语所描述的事件是必然发生的是（） A. 水中捞月 B. 拔苗助长 C. 守株待免 D. 瓮中捉鳖 2.一个事件的概率不可能是（） 精心整理 第一课 随机试验：可重复进行；试验结果不止一个且无法事先断定；但所有可能结果是可知的。每一种结果称为一个随机事件。 随机现象：自然界中的客观现象，当人们观测它时，所得结果不能预先确定，而仅仅是多种可能结果之一 随机试验： 基本事件： 必然事件：肯定会出现的事件 不可能事件： 随机事件： 组成 相容： 不相容： 第二课 概率：概率又称或然率机会率机率或可能性，是概率论的基本概念。同时，概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小 主观概率：与主观臆测不同，这种相信的程度虽是种主观的，但又是根据经验、各方面知识，对客观情况进行分析、推理、综合判断而作出的 第三课 条件概率：设事件A和B是随机试验Ω中的两个事件，则A事件发生的前提下，B事件发生的概率 主观概率：主观概率估计是贝叶斯决策理论中的重要概念，在不完全情报下，用主观估计，再利用期望和概率修做出最优决策，在许多领域中有着广泛应用 贝努里（伯努利）概率模型：每次试验只有A事件发生和不发生两种结果，独立地做了n次重复试验。在n次试验中A出现 其中p为每次试验中A 随机变量：设随机试验的样本空间为。是定义在样本空间上的实值单值函数，则称为随机变量为随机变量 离散型随机变量： 即，期望通常与每一个样本结果都不相等 大数定理：是——叙述随机变量序列的前一些项的算术平均值，在某种条件下收敛到这些项的算术平均值，在某种条件下收敛到这些项的均值（期望）的算术平均值——的定理 总的来说，关于大量随机现象的平均结果稳定性的定理，统称大数定理 第六课 中心极限定理：概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理 第七课 总体：总体是我们所研究对象的所有个体之和；而样本是从中抽取的一部分个体。若总体中个体数目有限，则称为有限总体，否则为无限总体 总体本质上可以看作是某种数量指标的集合 第八课 点估计： 极大似然法： 个给定样本的可能性最大 点估计： 区间估计 弃真错误：原假设本来是正确的，但由于ɑ取值过大，导致结果落在小概率内，拒绝了它，称弃真错误 取伪错误：原假设本来是错误的，但由于ɑ取值较小，反而接受了它，称取伪错误点估计：直接以样本统计量作为相应总体参数的估计值；缺陷是没法给出估计的可靠性，也没法说出点估计值与总体参数真实值接近的程度 认识概率知识讲解 It was last revised on January 2, 2021 认识概率--知识讲解 【学习目标】 1.通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确的判断； 2.理解概率的定义，通过具体情境了解概率的意义； 3.理解频率与概率的关系，能利用频率与概率的关系解决实际问题. 【要点梳理】 要点一、确定事件与随机事件 1.不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． 2.必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 3.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 要点诠释： （1）一般地，要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型. （2）必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 要点二、频率与概率 1.概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中 P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 2.频率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率m n 会在 某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 要点诠释： ①概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； ②频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； ③概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 【典型例题】 类型一、确定事件与随机事件 1.（1）指出下列事件中，哪些是不可能事件哪些是必然事件哪些是随机事件 ①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c； ②没有空气，动物也能生存下去； ③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾； 条件概率 事件的相互独立性 【学习目标】 1．了解条件概率的概念和概率的乘法公式． 2．能运用条件概率解决一些简单的实际问题． 3．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件． 4．能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题． 【要点梳理】 要点一、条件概率的概念 1.定义 设A 、B 为两个事件，且()0P A >，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率。用符号(|)P B A 表示。 (|)P B A 读作：A 发生的条件下B 发生的概率。 要点诠释 在条件概率的定义中，事件A 在“事件B 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率． 2．P （A ｜B ）、P （AB ）、P （B ）的区别 P （A ｜B ）是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率。 P （AB ）是事件A 与事件B 同时发生的概率，无附加条件。 P （B ）是事件B 发生的概率，无附加条件． 它们的联系是：() (|)() P AB P A B P B = ． 要点诠释 一般说来，对于概率P(A|B)与概率P(A)，它们都以基本事件空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。概率P(A)是指在整个基本事件空间Ω的条件下事件A 发生的可能性大小，而条件概率P(A|B)是指在事件B 发生的条件下，事件A 发生的可能性大小。 例如，盒中球的个数如下表。从中任取一球，记A=“取得篮球”，B=“取得玻璃球”。基本事件空间Ω包含的样本点总数为16，事件A 包含的样本点总数为11，故11 ()16 P A = 。 如果已知取得玻璃球的条件下取得篮球的概率就是事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率，那么在事件B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。而在事件B 发生的条件下事件A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，故42 (|)63 P A B ==。 要点二、条件概率的公式 1．计算事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率，常有以下两种方式： ①利用定义计算． 先分别计算概率P （AB ）及P （B ），然后借助于条件概率公式() (|)() P AB P A B P B = 求解． ②利用缩小样本空间的观点计算． 在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B ，原来的事件A 缩小为事件AB ，从而 (|)AB P A B B = 包含的基本事件数包含的基本事件数，即：() (|)() n AB P B A n A =，此法常应用于古典概型中的条件概率 求解． 要点诠释 概率P(B|A)与P(AB)的联系与区别： 认识概率--知识讲解 【学习目标】 1. 通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确的判断； 2. 理解概率的定义，通过具体情境了解概率的意义； 3. 理解频率与概率的关系，能利用频率与概率的关系解决实际问题^ 【要点梳理】 要点一、确定事件与随机事件 1. 不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件. 2. 必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件.必然 事件和不可能事件都是确定事件. 3. 随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 要点诠释： （1）一般地，要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型^ （2）必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机 事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同^ 要点二、频率与概率 1. 概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件 的概率（probability）. 如果用字母A表示一个事件，那么P（A）表示事件A发生的概率. 事件A的概率是一个大于等于0,且小于等于1的数，即0 < ，其中P（必然 事件）=1 , P（不可能事件）=0 , 0 v P（随机事件）v 1. 所以有：P（不可能事件）v P（随机事件）v P（必然事件）. 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是 随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小^ 2. 频率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且 随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性^ 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率—会在某一 n 个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 要点诠释： ①概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； ②频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； ③概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件 发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正 概率计算方法 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)= 的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件） =0；0 白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为1 2 . （1）试求袋中蓝球的个数. （2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到都是白球的概率. 解析：⑴设蓝球个数为x 个 . 由题意得 2 1 122=++x ∴x=1 答：蓝球有1个 （2）树状图如下： ∴ 两次摸到都是白球的概率 = 6 1 122=. 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果.②无论哪种都是机会均等的. 本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果. 四.列表法 例4 (07山西)如图3，有四张编号为1，2，3，4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？ （2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一 黄 白2白1蓝 黄白1蓝 黄白2 苏教版八年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 认识概率--知识讲解 【学习目标】 1.通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根 据这些特点对有关事件作出准确的判断； 2.理解概率的定义，通过具体情境了解概率的意义； 3.理解频率与概率的关系，能利用频率与概率的关系解决实际问题. 【要点梳理】 要点一、确定事件与随机事件 1.不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件．2.必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 3.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 要点诠释： （1）一般地，要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型. （2）必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机 事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 要点二、频率与概率 1.概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件 的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必然 事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是 随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 2.频率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且 随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率m n 会在某一 个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 2.2.1 条件概率(1) 教材分析 本节内容是数学选修2-3 第二章 随机变量及其分布第二节 二项分布及其应用的起始课，是对概率知识的拓展，为了导出二项分布需要条件概率和事件的独立性的概念，条件概率是比较难理解的概念，教材利用“抽奖”这一典型案例，以无放回抽取奖券的方式，通过两个思考比较抽奖前和在第一名同学没有中奖的条件下，最后一名同学的中奖概率，引出条件概率的概念，给出了两种计算条件概率的方法，给出了条件概率的两个性质.本课题的重点是条件概率的概念，难点是件概率计算公式的应用．通过探究条件概率的概念的由来过程，可以很好地培养归纳、推理，学生分析问题、解决问题的能力，要求学生有意识地运用特殊与一般思想，在解决新问题的过程中，又要自觉的运用化归与转化思想，体现解决数学问题的一般思路与方法. 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解条件概率概念、性质及计算公式，并利用公式解决简单的概率问题. 教学目标 重点: 条件概率的概念. 难点：条件概率计算公式的应用． 知识点：条件概率. 能力点：探寻条件概率的概念、公式的思路，归纳、推理、有特殊到一般的数学思想的运用. 教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：如何理解条件概率的内涵. 考试点：求解决具体问题中的条件概率. 易错易混点：利用公式时()n A 易计算错. 拓展点：有放回.抽球时(|)P B A 与()P B 的关系 教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学 一、引入新课 在生活中我们有些问题不好解决时经常采用抽签的办法，抽签有先后，对每个人公平吗？ 探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小. 【师生活动】师：如果三张奖卷分别用12,,X X Y 表示，其中Y 表示那张中奖奖券，那么三名同学的抽奖结果共有几种可能？能列举出来吗？ 生：有六种可能：121221211221,,,,,X X Y X YX X X Y X YX YX X YX X ． 师：用 B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券” , 则 B 包含几个基本事件？ Creative Education Studies 创新教育研究, 2020, 8(4), 503-508 Published Online August 2020 in Hans. https://www.360docs.net/doc/769437123.html,/journal/ces https://https://www.360docs.net/doc/769437123.html,/10.12677/ces.2020.84082 Discussion on Teaching Method of Conditional Probability Bingmao Deng, Zhifeng He* School of Financial Mathematics and Statics, Guangdong University of Finance, Guangzhou Guangdong Received: Aug. 2nd, 2020; accepted: Aug. 17th, 2020; published: Aug. 24th, 2020 Abstract Probability exists everywhere in real life, probability theory and mathematical statistics is an im-portant public basic course in colleges and universities, conditional probability is important knowledge in probability theory and mathematical statistics. In this paper, the author reviews the knowledge from through the example first, then draws out the relevant formula, and gives some derivation, which let the students learn the formula easier. Keywords Probability and Mathematical Statistics, Conditional Probability Formula, Multiplication Formula, Total Probability Formula 关于条件概率教学方法的探讨 邓炳茂，何志锋* 广东金融学院金融数学与统计学院，广东广州 收稿日期：2020年8月2日；录用日期：2020年8月17日；发布日期：2020年8月24日 摘要 现实生活中无处不存在概率，且概率论与数理统计是高等院校中一门重要的公共基础课，而条件概率在概率论与数理统计中是一个重要的知识点。本文从案例出发，使用通俗易懂的例子，先回顾以往知识点，再引出相关公式，并加以相关推导，简单明了地让学生掌握相关公式，并让学生更好地感受相关公式本质的含义。 *通讯作者。 第八章认识概率知识点归纳 知识框架 本章内容要求学生了解事件的可能性，在探究交流中学习体验概率在生活中的乐趣和实用性，学会计算概率。 【概率，又称或然率、机会率或机率、可能性，是数学概率论的基本概念，是一个在0到1之间的实数，是对随机事件发生的可能性的度量。表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。它是随机事件出现的可能性的量度，同时也是概率论最基本的概念之一。人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。但如果一件事情发生的概率是1/n，不是指n次事件里必有一次发生该事件，而是指此事件发生的频率接近于1/n这个数值。普遍认为，人们对将要发生的机率总有一种不好的感觉，或者说不安全感，俗称「点背」，下面列出的几个例子可以形象描述人们有时对机率存在的错误的认识： ■1. 六合彩：在六合彩（49选6）中，一共有13983816种可能性（参阅组合数学），普遍认为，如果每周都买一个不相同的号，最晚可以在13983816/52（周）=268919年后获得头等奖。事实上这种理解是错误的，因为每次中奖的机率是相等的，中奖的可能性并不会因为时间的推移而变大。 ■2. 生日悖论：在一个足球场上有23个人（2×11个运动员和1个裁判员），不可思议的是，在这23人当中至少有两个人的生日是在同一天的机率要大于50％。 ■3. 轮盘游戏：在游戏中玩家普遍认为，在连续出现多次红色后，出现黑色的机率会越来越大。这种判断也是错误的，即出现黑色的机率每次是相等的，因为球本身并没有“记忆”，它不会意识到以前都发生了什么，其机率始终是 18/37。 ■4. 三门问题：在电视台举办的猜隐藏在门后面的汽车的游戏节目中，在参赛者的对面有三扇关闭的门，其中只有一扇门的后面有一辆汽车，其它两扇门后是山羊。游戏规则是，参赛者先选择一扇他认为其後面有汽车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接著主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中後面有山羊的一扇门，这时主持人问参赛者，要不要改变主意，选择另一扇门，以使得赢得汽车的机率更大一些？正确结果是，如果此时参赛者改变主意而选择另一扇关闭著的门，他赢得汽车的机率会增加一倍。 William wang : 2009-01-20: 对于M4.三门问题我有个愚见：参与者的赢得汽车的机率是50%。 因为主持人无论参与者第一次从三扇门挑一扇的时候有没有中都会开一扇后面是山羊的。并且开了之后还可以让参赛者挑选。这样看来，参赛者实际只需要从两扇门挑一扇。几率是1/2。这个中奖几率不需考虑三扇门的时候的几率。 n43e120 修订：概率三选一游戏，2009-01-12 同样逻辑的事例： 一个监狱看守从三个罪犯中随机选择一个予以释放，其他两个将被处死。警卫知道哪个人是否会被释放，但是不允许给罪犯任何关于其状态的信息。让我们分别称为罪犯为X,Y,Z.罪犯X私下问警卫Y或Z哪个会被处死，因为他已经知道他们中至少一个人会死，警卫不能透露任何关于他本人状态的信息。警卫告诉X,Y将被处死。X感到很高兴，因为他认为他或者Z将被释放，这意味着他被释放的概率是1/2。他正确吗？或者他的机会仍然是1/3? 解： 对当事人关键的项的概率公式是： 2/3 * 1/2 = 1/3 说明： 2/3 是开始时，选任意一项出错的概率都是 2/3；则选对的概率是1/3； 接下来，去除了一项；1/2 此时对当事人进入子事件组，他做的任意选择，对错对开。 这里容易让人误以为接下来，去除任意一项；--与-- 接下来，有意识的去除某一项；不同 接下来，有意识的去除某一项；--与-- 接下来，去除一个错项；不同 这些都是相互独立的事件， 类似的和在时间上选择停止生育孩子的点，与生出来的性别的概率，不存在关联。浅谈工科概率论与数理统计教学
(完整版)苏科版数学八年级下册第8章认识概率(本章复习)
浅谈贝叶斯公式及其应用.
初二认识概率-知识点-测试题及答案
概率论名词解释总结归纳归纳
认识概率知识讲解
知识讲解条件概率事件地相互独立性(理)(基础)
认识概率--知识讲解
概率计算方法
苏教版八年级下册数学[认识概率--知识点整理及重点题型梳理]
最新-条件概率示范教案
关于条件概率教学方法的探讨
第八章 认识概率知识点归纳