第3讲 圆锥曲线中的热点问题
第3讲 圆锥曲线中的热点问题
高考定位 1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查.
真 题 感 悟
1.(2018·浙江卷)已知点P (0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大.
解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →，得???－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1），即x 1＝－2x 2，
y 1＝3－2y 2.因为点A ，B 在椭圆上，所以?????4x 224＋（3－2y 2）2＝m ，x 224＋y 22＝m ，得y 2＝14m ＋3
4，
所以x 2
2＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m ＝5时，点B 的横坐标的绝对值最大，最大值为2. 答案 5
2.(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3? ????－1，32，P 4? ????
1，32中恰有三点在椭圆C 上.
(1)求C 的方程；
(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点.
(1)解 由于点P 3，P 4关于y 轴对称，由题设知C 必过P 3，P 4.又由1a 2＋1b 2>1a 2＋3
4b 2知，椭圆C 不经过点P 1， 所以点P 2在椭圆C 上.
因此?????1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得???a 2＝4，b 2＝1.故C 的方程为x 24＋y 2＝1.
(2)证明 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2. 如果直线l 的斜率不存在，此时l 垂直于x 轴. 设l ：x ＝m ，A (m ，y A )，B (m ，－y A )，
k 1＋k 2＝y A －1m ＋－y A －1m ＝－2
m ＝－1，得m ＝2，
此时l 过椭圆C 右顶点，与椭圆C 不存在两个交点，故不满足. 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1).
将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2
＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km
4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.
则k 1＋k 2＝y 1－1x 1
＋y 2－1x 2
＝kx 1＋m －1x 1
＋kx 2＋m －1
x
2
＝
2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2）x 1x 2
.
由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. ∴(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km
4k 2＋1＝0.
解得m ＝－2k －1，此时Δ＝32(m ＋1)， ∴当且仅当m >－1时，Δ>0，
∴直线l 的方程为y ＝kx －2k －1，即y ＋1＝k (x －2). 所以l 过定点(2，－1).
3.(2019·全国Ⅱ卷)已知点A (－2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为－1
2.记M 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G .
①证明：△PQG 是直角三角形； ②求△PQG 面积的最大值. (1)解 由题设得
y x ＋2·y x －2
＝－12， 化简得x 24＋y 2
2＝1(|x |≠2)，
所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左、右顶点. (2)①证明 设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx (k >0). 由?????y ＝kx ，x 24＋y 22＝1得x ＝±21＋2k 2
. 设u ＝
2
1＋2k 2
，则P (u ，uk )，Q (－u ，－uk )，E (u ，0). 于是直线QG 的斜率为k 2，方程为y ＝k
2(x －u ). 由?????y ＝k 2（x －u ），x 24＋y 22＝1
得(2＋k 2)x 2－2uk 2x ＋k 2u 2－8＝0.① 设G (x G ，y G )，则－u 和x G 是方程①的解， 故x G ＝u （3k 2＋2）2＋k 2，由此得y G ＝uk 32＋k 2.
从而直线PG 的斜率为uk 3
2＋k 2－uk u （3k 2＋2）
2＋k 2－u
＝－
1
k . 所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形.
②解 由①得|PQ |＝2u 1＋k 2
，|PG |＝2uk k 2＋1
2＋k 2
，
所以△PQG 的面积
S ＝1
2|PQ ||PG |＝8k （1＋k 2）（1＋2k 2）（2＋k 2）＝8? ????1k ＋k 1＋2? ??
?
?
1k ＋k 2.
设t＝k＋1 k，
则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号.
因为S＝
8t
1＋2t2
在[2，＋∞)单调递减，
所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为16 9.
因此，△PQG面积的最大值为16
9.
考点整合
1.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.
温馨提醒圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及求最值或范围问题时注意坐标范围的影响.
2.圆锥曲线中定点、定值问题
(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.
若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).
(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.
3.圆锥曲线中存在性问题的解题步骤：
(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).
(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在.
(3)得出结论.
热点一圆锥曲线中的最值、范围问题
【例1】(2019·潍坊模拟)已知动点P到定点F(1，0)和到直线x＝2的距离之比为2
2，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y＝mx＋n与曲线E交于C，D两点，与AB相交于一点(交点位
于线段AB 上，且与A ，B 不重合). (1)求曲线E 的方程；
(2)当直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由.
解 (1)设点P (x ，y )，由题意，可得（x －1）2＋y 2|x －2|＝22，得x 22＋y 2
＝1.
∴曲线E 的方程是x 22＋y 2
＝1.
(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由条件可得|AB |＝ 2. 当m ＝0时，显然不合题意.
当m ≠0时，∵直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切， ∴
|n |m 2＋1
＝1，得n 2＝m 2
＋1. 联立?????y ＝mx ＋n ，x 22＋y 2＝1，消去y 得? ????m 2＋12x 2＋2mnx ＋n 2－1＝0， 则Δ＝4m 2n 2－4? ?
???m 2＋12(n 2－1)＝2m 2>0，
x 1＋x 2＝－4mn
2m 2＋1，x 1x 2＝2（n 2－1）2m 2＋1，
S 四边形ACBD ＝12|AB |·|x 1－x 2|＝2|m |
2m 2＋1
＝
2
2|m |＋1|m |
≤22， 当且仅当2|m |＝1|m |，即m ＝±2
2时等号成立，
因为直线l 与线段AB 有交点，所以当m ＝22时，n ＝－62；当m ＝－2
2时，n ＝62.
经检验可知，直线y ＝22x －62和直线y ＝－22x ＋6
2都符合题意.
探究提高 求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，
或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围. 【训练1】 (2019·山东师大附中模拟)已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，且长轴长是短轴长的2倍. (1)求椭圆Γ的标准方程；
(2)设P (2，0)，过椭圆Γ左焦点F 的直线l 交Γ于A ，B 两点，若对满足条件的任意直线，不等式P A →·PB →≤λ(λ∈R )恒成立，求λ的最小值. 解 (1)依题意，c ＝1，a ＝2b ， 又a 2＝b 2＋c 2，得2b 2＝b 2＋1， ∴b 2＝1，a 2＝2.
∴椭圆Γ的标准方程为x 22＋y 2
＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则P A →·PB →＝(x 1－2，y 1)·(x 2－2，y 2)＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2， 当直线l 垂直于x 轴时，x 1＝x 2＝－1，y 1＝－y 2且y 21
＝12， 此时P A →＝(－3，y 1)，PB →＝(－3，y 2)＝(－3，－y 1)， 所以P A →·PB →＝(－3)2－y 21
＝172
， 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l ：y ＝k (x ＋1)， 由???y ＝k （x ＋1），x 2＋2y 2
＝2整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k 2
1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2
，
所以P A →·PB →＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－2)(x 1＋x 2)＋4＋k 2 ＝(1＋k 2
)2k 2－21＋2k 2－(k 2－2)·4k 21＋2k
2＋4＋k 2 ＝17k 2＋22k 2＋1＝172－132（2k 2＋1）<172
. 要使不等式P A →·PB →≤λ(λ∈R )恒成立，只需λ≥172
，
故λ的最小值为17
2.
热点二 圆锥曲线中定值、定点问题 角度1 圆锥曲线中的定值
【例2－1】 (2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .
(1)求直线l 的斜率的取值范围；
(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →
，求证：1λ＋1μ为定值. (1)解 因为抛物线y 2＝2px 过点(1，2)，
所以2p ＝4，即p ＝2.故抛物线C 的方程为y 2＝4x . 由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0). 由???y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0，解得k <1， 又因为k ≠0，故k <0或0 又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2). 从而k ≠－3. 所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1). (2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1 k 2. 直线P A 的方程为y －2＝y 1－2 x 1－1 (x －1).令x ＝0， 得点M 的纵坐标为y M ＝ －y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1 x 1－1 ＋2. 同理得点N 的纵坐标为y N ＝ －kx 2＋1 x 2－1 ＋2. 由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋1 1－y N ＝x 1－1（k －1）x 1＋x 2－1（k －1）x 2 ＝1k －1·2x 1x 2－（x 1＋x 2）x 1x 2＝1k －1 ·2k 2＋2k －4k 2 1k 2＝2. 所以1λ＋1 μ＝2为定值. 探究提高 1.求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 2.定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的. 【训练2】 如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程； (2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值. (1)解 由题设知c a ＝2 2，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2， 所以椭圆的方程为x 22＋y 2 ＝1. (2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2 ＝1， 得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2 ＝2k （k －2） 1＋2k 2 ， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和 k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2 ＝2k ＋(2－k )? ???? 1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2 ＝2k ＋(2－k )4k （k －1） 2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2. 故k AP ＋k AQ 为定值2. 角度2 圆锥曲线中的定点问题 【例2－2】 (2019·西安调研)已知两点A (－2，0)，B (2，0)，动点P 在y 轴上的投影是Q ，且2P A →·PB →＝|PQ →|2. (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)过F (1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C 于点G ，H ，M ，N ，且E 1，E 2分别是GH ，MN 的中点.求证：直线E 1E 2恒过定点. (1)解 设点P 坐标为(x ，y )，∴点Q 坐标为(0，y ). ∵2P A →·PB →＝|PQ →|2， ∴2[(－2－x )(2－x )＋y 2]＝x 2， 化简得点P 的轨迹方程为x 24＋y 2 2＝1. (2)证明 当两直线的斜率都存在且不为0时，设l GH ：y ＝k (x －1)，G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，l MN ：y ＝－1 k (x －1)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)， 联立?????x 24＋y 22＝1，y ＝k （x －1）， 消去y 得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0. 则Δ>0恒成立. ∴x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，且x 1x 2＝2k 2－42k 2＋1. ∴GH 中点E 1坐标为? ????2k 2 2k 2 ＋1，－k 2k 2＋1， 同理，MN 中点E 2坐标为? ?? ??2 k 2＋2，k k 2＋2， ∴kE 1E 2＝－3k 2（k 2－1）， ∴lE 1E 2的方程为y ＝ －3k 2（k 2－1）? ?? ??x －23，∴过点 ? ???? 23，0， 当两直线的斜率分别为0和不存在时，lE 1E 2的方程为y ＝0，也过点? ???? 23，0，综上 所述，lE 1E 2过定点? ?? ?? 23，0. 探究提高 1.动直线l 过定点问题.设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m ，0). 2.动曲线C 过定点问题.引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点. 【训练3】 (2019·北京东城区模拟)已知A (－2，0)，B (2，0)，点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为－3 4. (1)求动点C 的轨迹方程； (2)设直线l 与(1)中轨迹相切于点P ，与直线x ＝4相交于点Q ，求证：以PQ 为直径的圆过x 轴上一定点. (1)解 设C (x ，y ).由题意得k AC ·k BC ＝y x ＋2·y x －2＝－3 4(y ≠0). 整理，得x 24＋y 2 3＝1(y ≠0). 故动点C 的轨迹方程为x 24＋y 2 3＝1(y ≠0). (2)证明 法一 易知直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝kx ＋m . 联立得方程组???? ?y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1.消去y 并整理，得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 依题意得Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0， 即3＋4k 2＝m 2. 设x 1，x 2为方程(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0的两个根，则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2 ，∴x 1 ＝x 2＝ －4km 3＋4k 2 . ∴P ? ????－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2，即P ? ????－4k m ，3m . 又Q (4，4k ＋m )， 设R (t ，0)为以PQ 为直径的圆上一点，则由RP →·RQ →＝0，得? ????－4k m －t ，3m ·(4－t ，4k ＋m )＝0. 整理，得4k m (t －1)＋t 2－4t ＋3＝0. 由k m 的任意性，得t －1＝0且t 2－4t ＋3＝0，解得t ＝1. 综上可知，以PQ 为直径的圆过x 轴上一定点(1，0). 法二 设P (x 0，y 0)，则曲线C 在点P 处的切线PQ ：x 0x 4＋y 0y 3＝1. 令x ＝4，得Q ? ? ???4， 3－3x 0y 0. 设R (t ，0)为以PQ 为直径的圆上一点， 则由RP →·RQ → ＝0，得(x 0－t )·(4－t )＋3－3x 0＝0， 即x 0(1－t )＋t 2－4t ＋3＝0. 由x 0的任意性，得1－t ＝0且t 2－4t ＋3＝0，解得t ＝1. 综上可知，以PQ 为直径的圆过x 轴上一定点(1，0). 热点三 圆锥曲线中的存在性问题 【例3】 (2019·海南调研)设椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，C 为椭圆M 上的点，且∠ACB ＝π3，S △ABC ＝33. (1)求椭圆M 的标准方程； (2)设过椭圆M 右焦点且斜率为k 的动直线与椭圆M 相交于E ，F 两点，探究在x 轴上是否存在定点D ，使得DE →·DF →为定值？若存在，试求出定值和点D 的坐标； 若不存在，请说明理由. 解 (1)在△ABC 中，由余弦定理AB 2＝CA 2＋CB 2－2CA ·CB ·cos C ＝(CA ＋CB )2－3CA ·CB ＝4. 又S △ABC ＝12CA ·CB ·sin C ＝34CA ·CB ＝3 3， ∴CA ·CB ＝43，代入上式得CA ＋CB ＝2 2. 椭圆长轴长为2a ＝22，焦距为2c ＝AB ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 所以椭圆M 的标准方程为x 22＋y 2 ＝1. (2)设直线方程y ＝k (x －1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， 联立?????x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －1）， 消去y 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝8k 2＋8>0， ∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2 . 假设x 轴上存在定点D (x 0，0)，使得DE →·DF →为定值. ∴DE →·DF →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 2－x 0，y 2) ＝x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋y 1y 2 ＝x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－(x 0＋k 2)(x 1＋x 2)＋x 20＋k 2 ＝（2x 20－4x 0＋1）k 2＋（x 20－2）1＋2k 2 . 要使DE →·DF →为定值，则DE →·DF →的值与k 无关， ∴2x 20－4x 0＋1＝2(x 20－2)，解得x 0 ＝54， 此时DE →·DF →＝－716为定值，定点为? ?? ??54，0. 探究提高 1.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论. 2.求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在. 【训练4】 (2019·烟台模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点M (2，m )(m >0)在抛物线上，且|MF |＝2. (1)求抛物线C 的方程； (2)若点P (x 0，y 0)为抛物线上任意一点，过该点的切线为l 0，过点F 作切线l 0的垂线，垂足为Q ，则点Q 是否在定直线上，若是，求定直线的方程；若不是，说明理由. 解 (1)由抛物线的定义可知，|MF |＝m ＋p 2＝2，① 又M (2，m )在抛物线上，所以2pm ＝4，② 由①②，解得p ＝2，m ＝1， 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)①当x 0＝0，即点P 为原点时，易知点Q 在直线y ＝0上； ②当x 0≠0，即点P 不在原点时， 由(1)得，x 2＝4y ，则y ′＝1 2x ， 所以在点P 处的切线的斜率为1 2x 0， 所以在点P 处的切线l 0的方程为y －y 0＝1 2x 0(x －x 0)， 又x 20＝4y 0， 所以y －y 0＝12x 0(x －x 0)可化为y ＝1 2x 0x －y 0. 则过点F 与切线l 0垂直的方程为y －1＝－2 x 0 x ， 联立方程?????y ＝12x 0x －y 0， y －1＝－2 x 0x ， 消去x ，得y ＝－1 4(y －1)x 20－y 0.(*) 因为x 20＝4y 0， 所以(*)可化为y ＝－yy 0，即(y 0＋1)y ＝0， 由y 0>0，可知y ＝0，即垂足Q 必在x 轴上. 所以点Q 必在直线y ＝0上， 综上所述，点Q必在定直线y＝0上. 1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握： (1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标. 2.圆锥曲线的范围问题的常见求法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值. 3.存在性问题求解的思路及策略 (1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在. (2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论； ②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件. 巩固提升 一、选择题 1.椭圆C：x2 3＋ y2 m＝1的焦点在x轴上，点A，B是长轴的两端点，若曲线C上存 在点M满足∠AMB＝120°，则实数m的取值范围是() A.(3，＋∞) B.[1，3) C.(0，3) D.(0，1] 解析依题意，当0 要在曲线C上存在点M满足∠AMB＝120°， 则a b≥tan 60°，即 3 m ≥3，解得0 答案 D 2.若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为() A.2 B.12 C.14 D.18 解析 根据题意，抛物线y ＝2x 2上，设P 到准线的距离为d ，则有|PF |＝d ，抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y ，其准线方程为y ＝－1 8，∴当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即|PF |min ＝1 8. 答案 D 3.(2019·济宁模拟)已知以圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为焦点的抛物线C 1与圆C 在第一象限交于A 点，B 点是抛物线C 2：x 2＝8y 上任意一点，BM 与直线y ＝－2垂直，垂足为M ，则|BM |－|AB |的最大值为( ) A.1 B.2 C.－1 D.8 解析 易知抛物线C 1的焦点为(1，0)，所以抛物线C 1的方程为y 2＝4x . 由? ??y 2＝4x ，（x －1）2＋y 2 ＝4及点A 位于第一象限可得点A (1，2). 因为抛物线C 2：x 2＝8y 的焦点F (0，2)，准线方程为y ＝－2，所以由抛物线的定义得|BM |＝|BF |. 如图，在平面直角坐标系中画出抛物线C 2及相应的图形，可得|BM |－|AB |＝|BF |－|AB |≤|AF |(当且仅当A ，B ，F 三点共线，且点B 在第一象限时，不等式取等号).故所求最大值为|AF |＝1，故选A. 答案 A 4.已知圆M ：(x －2)2 ＋y 2 ＝1经过椭圆C ：x 2m ＋y 2 3＝1(m >3)的一个焦点，圆M 与椭 圆C 的公共点为A ，B ，点P 为圆M 上一动点，则P 到直线AB 的距离的最大值为( ) A.210－5 B.210－4 C.410－11 D.410－10 解析 易知圆M 与x 轴的交点为(1，0)，(3，0)，∴m －3＝1或m －3＝9，则m ＝4或m ＝12.当m ＝12时，圆M 与椭圆C 无交点，舍去.所以m ＝4.联立???? ?（x －2）2＋y 2＝1，x 24＋y 23 ＝1，得x 2－16x ＋24＝0.又x ≤2，所以x ＝8－210.故点P 到直线AB 距离的最大值为3－(8－210)＝210－5. 答案 A 二、填空题 5.(2019·安徽“江南十校”联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，在双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________. 解析 由于O 是F 1F 2的中点，得PO →＝12(PF 1→＋PF 2→). ∵双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|， 则4|PO →|≤2c . 由于|PO →|≥a ，知4a ≤2c ，∴e ≥2. 答案 [2，＋∞) 6.已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴，y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________. 解析 不妨设A (x 1，y 1)(y 1>0)， B (x 2，y 2)(y 2<0). 则|AC |＋|BD |＝x 2＋y 1＝y 22 4＋y 1. 又y 1y 2＝－p 2＝－4. ∴|AC |＋|BD |＝y 22 4－4y 2 (y 2<0). 设g (x )＝x 24－4 x (x <0)，由g ′(x )＝x 3＋82x 2＝0，得x ＝－2，分析知g (x )在(－∞，－2)递减，在(－2，0)递增. ∴当x ＝－2，即y 2＝－2时，|AC |＋|BD |的最小值为3. 答案 3 7.已知抛物线C ：y 2＝4x 的准线为l ，F 是抛物线C 的焦点，M 是抛物线C 上一点，O 为坐标原点，P (0，2)，∠OPM 的平分线过线段FM 的中点，则点M 的坐标为________. 解析 设FM 的中点为Q ，作QN ⊥y 轴于点N ，MM 2⊥准线l 于点M 2，设MM 2与y 轴交于点M 1，则2|QN |＝|MM 1|＋|OF |＝|MM 2|＝|MF |，故|QN |＝1 2|MF |＝|QM |，过点Q 作QT ⊥MP 于点T ，则|QN |＝|QT |＝|QM |，由垂线段的唯一性可知点M ，T 重合，则∠PMF ＝90°.设M (x ，y )，连接PF ，则M 在以PF 为直径的圆上，又F (1， 0)，所以? ????x －122＋(y －1)2＝54，将x ＝y 24代入得? ?? ??y 2 4－122＋(y －1)2 ＝54，整理得(y －2)(y 2＋2y ＋16)＝0，得y ＝2，所以x ＝1.故点M 的坐标为(1，2). 答案 (1，2) 三、解答题 8.已知曲线C ：y 2＝4x ，曲线M ：(x －1)2＋y 2＝4(x ≥1)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点. (1)若OA →·OB →＝－4，求证：直线l 恒过定点； (2)若直线l 与曲线M 相切，求P A →·PB →(点P 坐标为(1，0))的最大值. (1)证明 易知直线l 的斜率不为0，设l ：x ＝my ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由???x ＝my ＋n ，y 2＝4x 得y 2－4my －4n ＝0. 由Δ＝(4m )2＋16n >0，即m 2＋n >0. ∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n . ∴x 1＋x 2＝4m 2＋2n ，x 1x 2＝n 2. 由OA →·OB →＝－4， 得x 1x 2＋y 1y 2＝n 2－4n ＝－4，解得n ＝2. ∴直线l 方程为x ＝my ＋2， ∴直线l 恒过定点(2，0). (2)解 ∵直线l 与曲线M ：(x －1)2＋y 2＝4(x ≥1)相切， ∴ |1－n | 1＋m 2 ＝2，且n ≥3， 整理得4m 2＝n 2－2n －3(n ≥3).① 又点P 坐标为(1，0)，∴由已知及①，得 P A →·PB →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2) ＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2 ＝n 2－4m 2－2n ＋1－4n ＝n 2－4m 2－6n ＋1＝4－4n . 又y ＝4－4n (n ≥3)是减函数， ∴当n ＝3时，y ＝4－4n 取得最大值－8. 故P A →·PB →的最大值为－8. 9.(2019·河北省“五个一”名校联盟考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2 ＝1，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，若m ＝? ????x 12，y 1，n ＝? ???? x 22，y 2，m·n ＝0. (1)求证：k 1·k 2＝－1 4； (2)试探求△OPQ 的面积S 是否为定值，并说明理由. (1)证明 ∵k 1，k 2均存在，∴x 1x 2≠0， 又m·n ＝0，∴x 1x 24＋y 1y 2＝0， 即x 1x 2 4＝－y 1y 2， ∴k 1·k 2＝y 1y 2x 1x 2 ＝－1 4. (2)解 当直线PQ 的斜率不存在， 即x 1＝x 2，y 1＝－y 2时， 由y 1y 2x 1x 2＝－14，得x 214－y 2 1＝0，又∵点P (x 1，y 1)在椭圆上，得x 214＋y 21＝1，∴|x 1|＝2，|y 1|＝22. ∴S △POQ ＝1 2|x 1|·|y 1－y 2|＝1. 当直线PQ 的斜率存在时， 设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b (b ≠0). 由???? ?y ＝kx ＋b ，x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0， Δ＝64k 2b 2－4(4k 2＋1)(4b 2－4)＝16(4k 2＋1－b 2)>0， ∴x 1＋x 2＝－8kb 4k 2＋1，x 1x 2＝4b 2－44k 2＋1. ∵x 1x 2 4＋y 1y 2＝0， ∴x 1x 2 4＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0， 得2b 2－4k 2＝1，满足Δ>0. ∴S △POQ ＝12·|b | 1＋k 2 |PQ | ＝12|b |（x 1＋x 2）2 －4x 1x 2＝2|b |·4k 2＋1－b 24k 2＋1＝1. 综上可知，△POQ 的面积S 为定值. 10.(2019·青岛模拟)如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为1 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的一条弦AB 过其右焦点F 2，AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆交于点C ，D ，△ABF 1的周长为8. (1)求椭圆E 的方程； (2)若直线AB 的斜率k 存在且k ≠0，求四边形ACBD 的面积S 的取值范围. 解 (1)由e ＝c a ＝1 2，得a ＝2c ， 由题意及椭圆的定义知△ABF 1的周长为|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 1|＋|AF 2|＝4a ＝8，得a ＝2，∴c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2 3＝1. (2)由题意可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0，由?????x 24＋y 23＝1， y ＝k （x －1）消去y 得(4k 2 ＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， ∴Δ＝122 (k 2 ＋1)>0，x A ＋x B ＝8k 2 4k 2＋3，x A x B ＝4k 2－124k 2＋3 . ∴|AB |＝ （1＋k 2 ）·122（k 2＋1）（4k 2＋3）2＝12（k 2＋1） 4k 2＋3 ， M ? ????4k 2 4k 2＋3，－3k 4k 2 ＋3，∴直线OM 的斜率k OM ＝－34k ， ∴直线OM 的方程为y ＝－3 4k x . 由??? ??x 24＋y 23＝1，y ＝－34k x 得?????x ＝4k 4k 2＋3，y ＝－3 4k 2＋3 或?????x ＝－4k 4k 2＋3，y ＝3 4k 2＋3， 不妨令C ? ???? 4k 4k 2＋3，－34k 2＋3， D ? ???? － 4k 4k 2＋3，34k 2＋3， ∴点C ，D 到直线AB 的距离之和为d C ＋d D ＝|k （x C －1）－y C |＋|k （x D －1）－y D |k 2 ＋1 第9讲 圆锥曲线的热点问题 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．(2014·南京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C 的方程为________． 解析 由题意，得????? c ＝2， b 2 a ＝1， a 2＝ b 2＋ c 2， 解得??? a ＝2， b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2 2＝1. 答案 x 24＋y 2 2＝1 2．直线y ＝k x ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________． 解析 由??? y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0，若k ＝0，则y ＝2，若k ≠0， 若Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，因此直线y ＝k x ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或1. 答案 1或0 3．(2014·济南模拟)若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝3x 无交点，则离心率e 的取值范围是________． 解析 因为双曲线的渐近线为y ＝± b a x ，要使直线y ＝3x 与双曲线无交点，则直线y ＝3x 应在两渐近线之间，所以有b a ≤3，即 b ≤3a ，所以b 2≤3a 2， c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1 4．已知双曲线方程是x 2 －y 2 2＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点， 并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________． 解析 设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由 x 21－y 212＝1，x 22－y 22 2 ＝1，得 k ＝ y 2－y 1x 2－x 1 ＝2(x 2＋x 1)y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线 方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件． 答案 4x －y －7＝0 5．(2014·烟台期末考试)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2 ＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________． 解析 由题意可设直线l 的方程为y ＝m ，代入x 24－y 2 ＝1得x 2＝4(1＋m 2)，所以x 1＝4(1＋m 2)＝21＋m 2，x 2＝－21＋m 2，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2，所以|AB |＝41＋m 2≥4，即当m ＝0时，|AB |有最小值4. 答案 4 6．(2014·西安模拟)已知双曲线x 2 －y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双 曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2 →的最小值为________． 解析 设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，则有y 23＝x 2 －1，y 2＝3(x 2－1)，P A 1→·PF 2→＝(－1－x ， －y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2 －x －5＝4? ?? ??x －182－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，P A 1→·PF 2 →取得最小值－2. 答案 －2 7．(2014·宁波十校联考)设双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝________. 圆锥曲线大题专题训练 1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 （Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解： （Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OA t =，所以2 2 2a a t +=．由于0t > 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为 1c t +=． 又因点A 在直线BC 上，故有 1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =， 解得2c a =+ （Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-． 所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点． （I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求 四边形ABCD 面积的最小值． 2.解：（I ）设切点2 004x Q x ?? ???，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-． 即2 04 24x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上． 所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，． 由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >． 与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?u u u r u u u r u u u r 恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件 9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=?u u u r u u u r u u u r u u u r 恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ?是底角为30的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为0 30的等腰三角形， ∴322c a = ，∴e =3 4 ， ∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以2 2 2 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点 P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= 圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用 如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。 定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。 证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。 （1）当焦点内分弦时。 如图1，，所以。 图1 （2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。 如图2，，所以 。 图2 评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。 例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（） 解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。 例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离 心率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（） 解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。 例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为 的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3 解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。 例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿ 圆锥曲线中的热点问题 A 级 基础 一、选择题 1．(2017·全国卷Ⅰ改编)椭圆C ：x 23＋y 2 m ＝1的焦点在x 轴上，点 A ， B 是长轴的两端点，若曲线 C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则实数m 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．[1，3) C ．(0，3) D ．(0，1] 2．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A ．1－3 2 B ．2－ 3 C.3－12 D.3－1 3．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A ．2 B.1 2 C.14 D.18 4．(2019·天津卷)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ， 且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 5．(2019·安徽六安一中模拟)点P 在椭圆C 1：x 24＋y 2 3＝1上，C 1 的右焦点为F 2，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y ＋21＝0上，则|PQ |－|PF 2|的最小值为( ) A ．42－4 B ．4－4 2 C ．6－2 5 D ．25－6 二、填空题 6．(2019·广东六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、 右焦点为F 1、F 2，在双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→ |，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________． 7．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴，y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________． 8．(2019·浙江卷)已知椭圆x 29＋y 2 5＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆 上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________． 三、解答题 9．已知曲线C ：y 2＝4x ，曲线M ：(x －1)2＋y 2＝4(x ≥1)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)若OA →·OB →＝－4，求证：直线l 恒过定点； (2)若直线l 与曲线M 相切，求PA →·PB →(点P 坐标为(1，0))的最大值． 10．(2019·惠州调研)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率 高三数学-圆锥曲线知识点 圆锥曲线的统一定义： 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,O)的距离与到不通过这个定点的一条定直线I的距离之比是一个常数e(e >0),则动点的轨迹叫 做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线I称为准线，正常数e称为离心率。当0v e< 1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e> 1时，轨迹为双曲线。 两点，则MFL NF. 1、点P 处的切线PT 平分△ PFF 2在点P 处的内角. 2、PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 3、以焦点半径PF 为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P 在右支；外切：P 在左支) 1 (a >o,b > o )上，则过F O 的双曲线的切线方程是 ^2 a b 2 2 2 t — (1)等轴双曲线：双曲线 x y a 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x ，离心率e , 2 . (2)共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴, 2 实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.笃 a 2 2 y_ 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线: 2 L o . b 2 (3)共渐近线的双曲线系方程: 2 y b 2 2 0)的渐近线方程为笃 a 2 y o 如果双曲线的渐近线为 b 2 0时，它的双曲 2 线方程可设为二 2 a 0). 1. 点P 处的切线PT 平分△ PF1F2在点P 处的外角. 2. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 3. P o (X o ,y o )在椭圆 2 y 2 1上，则 过 P o 的椭圆的切线方程是 2 a x °x y o y 1 b 2 4. P 0( x o , y 0) 在椭圆 2 y 2 1夕卜， 则过 P 0 作椭圆的两条切线切点为 P 、 P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是 辱 ^2 1. a b 5. 2 再 1 (a > b > 0)的焦半径公式 b 2 | MF i | a ex o , | MF 2 | ex o ( F i ( c,0) , F 2(C ,0) M(X o ,y 。)). 6. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 7. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、A 为椭圆长轴上的顶点, AiP 和AQ 交于点 M AP 和AQ 交于点N,贝U MF 丄NF. 8. 2 x AB 是椭圆— 2 a 2 y_ b 2 1的不平行于对称轴的弦， M (x o , y o )为AB 的中点，贝U k OM k AB b 2 二，即 K AB a b 2X o 2 a y o 9. 若P o (x o ,y o )在椭圆 -H-* 2 y x )x y o y 2 1内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 与 乎 2 X 。 __2 a y 。2 b 2 2 2 x y 4、若P o (X o ,y 。)在双曲线r 2 a b 1. 【备注1】双曲线: 圆锥曲线焦点弦问题 θ2222 sin 2c a ab - 高考题：1.过抛物线)0(22 >=p py x 的焦点F 作倾斜角为300的直线与抛物线交于A 、B 两点（点A 在y 轴左侧），则 =FB AF 解:由公式：11cos +-= λλθe 得:11-21+=λλ，解得λ=3，∴=FB AF 3 1 2.双曲线122 22=-b y a x ，AB 过右焦点F 交双曲线与A 、B ，若直线AB 的斜率为3， 4=则双曲线的离心率e= 解：∵由已知tan θ=3∴θ=600, 由公式：11cos +-= λλθe 得：e 11-21+=λλ=1 41 -4+ ∴ e= 5 6 3.（2010高考全国卷）已知椭圆C ：12222=+b y a x （a>b>0）,离心率23 =e ，过右焦点且 斜率为k （k>0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若3=，则k=（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、2 解：由公式：11 cos +-= λλθe 得cos θ=3 1∴ k=tan θ=2;故选B 。 4.2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为 ，过 且斜率为的直线交 于 两点。若 ，则 的离心率为（ ） 解 这里，所以，又，代入公式得，所 以 ，故选。 5.（08高考江西）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物 线交于 两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3 解 如图3，由题意知直线 与抛物线的地称轴的夹角 ，当点 在 轴左侧时， 设，又，代入公式得，解得，所以。 6.（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。 7.已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿ 解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。8.（2009年高考福建）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿ 解由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。 11.（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿ 解易知均在右支上，因为，离心率，点准距 ，因倾斜角为，所以。由焦半径公式得， 。 第3讲圆锥曲线中的热点问题 【高考考情解读】1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中． 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法： 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离． (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法： 将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时， 直线与双曲线相离． ②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点． (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法： 将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①当a≠0时，用Δ判定，方法同上． ②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点． 2．有关弦长问题 有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算． (1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2 |x2－x1|或|P1P2|＝1＋1 k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形： |x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2， |y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2. 锥曲线专题训练 一、定义 【焦点三角形】 1、已知椭圆一 +八=1的左右焦点为E、F2, P为椭圆上一点， 9 4 (1) 若NRPF2=90°,求△EPF?的面积 (2) 若ZF1PF2=60°,求的面积 2 2 2、已知双曲线土-匕=1的左右焦点为E、F2, P为双曲线上一点, (1) 若NRPF2=90°,求△EPF?的面积 (2) 若ZF1PF2=60°,求Z^PF?的面积 2 2 3、鸟,氏是椭圆二+七=1(〃＞。＞0)的两个焦点，以鸟为圆心且过椭圆中心的 a~ b~ 圆与椭圆的一个交点为M。若直线&M与圆鸟相切，求该椭圆的离心率。 Y2 v2 4、椭圆瓦+ *_ = 1的焦点为与、「2。点P为其上的动点，当PF2为钝角时。点P横坐标的取值范围为多少？ V-2 V2V-2 V2 5、椭圆—+ J(。＞。＞0)和双曲线、- —(m, n＞ 0)有公共的焦点F】(- 。,0)、 a~ b~〃广 F2(C,0),P为这两曲线的交点，求|商|?|户尸2|的值. 二、方程 已知圆亍+y2=9,从圆上任意一点P向X轴作垂线段PPL点M在PP，上，并且两=2布，求点M的轨迹。 2.3【定义法】(与两个定圆相切的圆心轨迹方程) :—动圆与两圆：『+ ,,2 =]和尤2 * ,2 _8x+]2 = 0都外切，#1勃圆的圆心 的轨迹方程是什么？AA 题型1：求轨迹方程例1. (1) 一动圆与圆J + y2+6x+5 = 0外切，同时与圆x2 + r-6x-91 = 0内切, 求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。. （2）双曲线y-/ =1有动点、P,月,％是曲线的两个焦点，求APgE的重心M的轨迹方程。 3、给出含参数的方程，说明表示什么曲线。 已知定圆G： x2 + y2 =9,圆C2：x2+6x+y2 =0 三、直线截圆锥曲线得相交弦（求相交弦长，相交弦的中点坐标）（结合向量）直线与圆锥曲线相交的弦长计算（1）要熟练利用方程的根与系数关系来计算弦 长.弦长公式： （2）对焦点弦要懂得用焦半径公式处理；对中点弦问题，还要掌握“点差法”. 3. 圆锥曲线方程的求法有两种类型：一种是已知曲线形状，可以用待定系数法求解；另一种是根据动点的几何性质，通过建立适当的坐标系来求解，一般是曲线的类型未知.主要方法有： ?直接法、定义法、相关点法、参数法、几何法、交轨法等.在求轨迹方程中要仔细检查“遗漏”和“多余”. 4. 圆锥曲线是用代数方法来研究几何问题，也就是说，它是处于代数与几何的交汇处，因此要处理好其综合问题，不仅要理解和掌握圆锥曲线的有关概念、定理、公式，达到灵活、综合运用，还要善于综合运用代数的知识和方法来解决问题，并注意解析法、数形结合和等价化归的数学思想的应用. 1、已知椭圆= i,过左焦点k倾斜角为￡的直9 6 线交椭圆于A、8两点。求：弦48的长，左焦点K到48 中点〃的长。 2、椭圆以2+如2=1与直线对尸住0相交于爪8两点，C是线段花的中点.若 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程,认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角,掌握点到直线的距离公式. 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义,并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上,以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性,掌握求这些曲线方程的基本 方法,并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们之间的位置关系,并能利用解 析法解决相应的几何问题. 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图,已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2),过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD 与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 , F F是椭圆的右焦点,求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图,已知平行四边形ABCO,O 是坐标原点,点A 在线段MN 上移动,x=4,y=t (33)t -≤≤上移动,点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动,求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=,问椭圆上是否存在相异两点A 、B,关于直线l 对称,请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--,点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上,且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时,求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例 5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点,且在以点D （0,-1）为圆心 的同一圆上,求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R,,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向量 (2)a x i y j → →→=++,且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP OA OB → → → =+,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB 是矩形？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由 圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。 定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。 证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。 （1）当焦点内分弦时。 如图1，，所以。 图1 （2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。 如图2，，所以 。 图2 评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。 例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（） 解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。 例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心 率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（） 解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。 例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为 的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3 解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时， 设，又，代入公式得，解得，所以。 例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。 例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点 且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿ 三、与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1 ） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=? 恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件 9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2 ） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=? 恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -=+ 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -=+ 备用课件 10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3） 问题探究10 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ= 恒成立？ 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质的探讨 数学系2008级6班唐流聪 指导教师 XXX 摘要：圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点，因而成为高考的重点考查内容。而圆锥曲线的主要内容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的有关问题，学生在求解此类题目时，常常感到无从下手。为解除这种困惑，在全面研究了高中数学教材及要求的基础上，通过分析、推导的方法，文章对椭圆焦点三角形的性质，双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质进行了研究和探讨，得出圆锥曲线焦点三角形的五条基本性质，以便使学生对相关知识有一个更全面、更系统、更深刻的了解，从而进一步提高运用这些性质去解决相关题目的数学能力和应用能力。 关键词：圆锥曲线；焦点三角形；性质；焦点 On the Properties of Conic Focal Point Triangle and Focal Point String Abstract: The cone curve, as an important part of content of analytical geometry in present high school, is rated not only as a key point but also a difficulty in mathematics teaching in senior high school, and so it becomes a key examination point in the college entrance examination. The most important content of cone curve is the problems concerning the string or straight line which passes through the conic focal point. Faced with this kind of questions, some students do not always know what to begin with. To relieve their confusion, this paper, on the basis of a thorough study of the mathematical teaching material for high schools and by means of analysis and deduction, probes into the nature of ellipse focal point triangle, the nature of hyperbolic curve focal point triangle and the nature of conic focal point string, and points out five basic properties of the conic focal point triangle. These properties can help students further understand the conic knowledge systematically and improve their mathematics competence and application ability in solving mathematical problems. Key words: cone curve; focal point triangle; properties; focal point 1引言 圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点．而圆锥曲线的主要内容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的相关问题.在求解这类问题时，许多学生常常感到束手无策，部分学生由于计算量大的繁锁，产生厌学数学的情绪．为了解除这种困惑，培养或提高学生学习数学的兴趣，让学生掌握一定的解题方法或数学思想是很必要的．在数学中，我们常常是利用性质去讨论问题，因此，文章首先探讨圆锥曲线焦点三角形及焦点弦的性质，然后再讨论这些性质的应用. 圆锥曲线焦点三角形及焦点弦具有不少性质，许多教师或专家已做过研究.文献[2]主要是对椭圆焦点三角形的性质进行研究，而文献[7]主要是对双曲线焦点三角形的性质进行研究.文献[2]、[7]都是孤立地进行探讨，缺乏系统性，显得单一.文献[1]、[10]主要围绕焦点三角形的内切圆将椭圆焦点三角形与双曲线焦点三角形的性质结合起来探讨，弥补了文 2021年深圳市高考数学重难点热点复习：圆锥曲线 1．已知椭圆C ：x 2 a +y 2 b =1（a ＞b ＞0）的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴一 个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于√5π，直线l 与椭圆C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点． （1）求椭圆C 的方程； （2）过点O 作直线l 的垂线，垂足为D ．若OA ⊥OB ，求动点D 的轨迹方程． 【解答】解：（1）由题意知，{a =2b √a 2+b 2=√5 ，解得{a =2b =1， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1． （2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx +m ， 由{y =kx +m x 24 +y 2=1消去y 整理得（1+4k 2）x 2+8kmx +4（m 2﹣1）＝0， 根据题设有：△＝16（1+4k 2﹣m 2）＞0且x 1+x 2=? 8km 1+4k 2，x 1x 2=4(m 2?1)1+4k 2． ∵OA ⊥OB ，∴OA →?OB →=0，即x 1x 2+y 1y 2＝0， 将y 1＝kx 1+m ，y 2＝kx 2+m 代入，化得km(x 1+x 2)+(1+k 2)x 1x 2+m 2=0， 把x 1+x 2=?8km 1+4k 2，x 1x 2=4(m 2?1) 1+4k 2代入整理得：5m 2＝4（k 2+1）， ∵OD ⊥l ，∴|OD|=√k +1=√m 2 k 2+1=√45= 2√55； 当直线l 的斜率不存在时，设l ：x ＝t ，由{x =t x 2 4 +y 2=1， 得A(t ，√1?t 24)，B(t ，?√1?t 24)． ∵OA ⊥OB ，∴|OA |2+|OB |2＝|AB |2，解得|t|=2√55，∴|OD|=|t|=2√55． 所以动点D 的轨迹是以原点O 为圆心，半径为 2√55的圆，方程为x 2+y 2=45． 2．已知椭圆C ：x 2 a 2+y 2 b 2=1（a ＞b ＞0）的右顶点为M （2，0），且离心率e =12，点A ，B 是椭圆C 上异于点M 的不同的两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设直线MA 与直线MB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1?k 2=1 4，证明：直线AB 一定过 课题：探究抛物线中的焦点弦问题 【学习目标】： 探讨解决抛物线中有关焦点弦问题的思想方法. 【问题探究】： 抛物线定义：平面内与一个定点F 的距离和一条定直线l 距离相等的点的轨迹. 问题一：已知过抛物线2 2(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则?AB = （1）：12AB x x p =++ （2）：m i n AB 问题二、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于,A B 两点，' ',A B 为,A B 在准线上的射影， 则' ' ?A FB ∠= （3）：' ' 90A FB ∠= （4）：以Q 为圆心，以'' A B 为直径的圆切AB 于F 点 (x 1,y 1) (x 2,y 2) x y B′ A′ (x 1,y 1) (x 2,y 2) x y F′B′ A′Q 问题三、已知过抛物线2 2(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于,A B 两点，'' ,A B 为,A B 在准线上的射影， 则以,A B 为直径的圆与准线的位置关系？ （5）：以P 为圆心，以AB 为直径的圆切''A B 于Q 点 （6）：90AQB ∠ = 问题四、已知过抛物线2 2(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则1212?,?x x y y == （7）：22 121 2,4 p x x yy p ==- 问题五、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则11 ?AF BF += （8）：112A F B F p += (x 1,y 1) (x 2,y 2) x y B′ A′Q P (x 1,y 1) (x 2,y 2) x y (x 1,y 1) (x 2,y 2) x y 与焦点弦相关的问题 8.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质(定值1） 问题探究８ 已知椭圆22 143 x y +=,1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ,B 两点,是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?恒成立.并由此求∣A Ｂ∣的最小值.(借用柯西不等式) 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件 9.椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质(定值2） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=,1F 为椭圆之左焦点,过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ,B 两点和Ｃ，Ｄ两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ,使AB CD AB CD λ+=?恒成立.并由此求四边 形AB ＣＤ面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 10.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3） 问题探究10 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于Ａ，B 两点,AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ,使1AB F D λ=恒成立? 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长 轴于点D ,则∣D Ｆ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半(F 为焦点) 备用课件 设双曲线焦点弦ＡB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣D Ｆ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半(F 为焦点) 备用课件 设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ,则∣ＤF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件2015高考数学一轮题组训练：9-9圆锥曲线的热点问题
圆锥曲线大题专题训练答案和题目
高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题
文科圆锥曲线专题练习及问题详解
圆锥曲线有关焦点弦的几个公式定理及应用(老师)
圆锥曲线中的热点问题真题与解析
高中数学-圆锥曲线专题
圆锥曲线焦点弦问题
圆锥曲线中的热点问题(总结的非常好)
圆锥曲线专题复习.doc
[高中数学]圆锥曲线专题-理科
圆锥曲线的焦点弦公式及应用(难)
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圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质的
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