不等式在现实生活中的应用
不等式在现实生活中的应用
黄长春;
【期刊名称】《环球市场信息导报（理论）》
【年(卷),期】2014(000)012
【摘要】高中数学教学大纲指出：培养学生的创新意识和实践能力成为数学教学的一个重要目的和一条基本原则。在教学中要激发学生学习数学的好奇心，不断追求新知，要启发学生能够发现问题、提出问题，善于独立思考，要学会分析问题和创造性地解决问题，使数学教学成为再创造、再发现的教学。实际生活中的问题用数学的方法解决，是教学大纲的要求，也是高考的要求。我们数学教育工作者在教学中善于用具体的数学思路和方法解决纯理论的数学问题，而不善于将数学原理用于解决实际问题。笔者现将一些生产和生活中遇到的有实际意义的问题，从数学的角度来解释说明。
【总页数】1页(P.167-167)
【关键词】现实生活;数学教学大纲;不等式;应用;教育工作者;实践能力;创新意识;学习数学
【作者】黄长春;
【作者单位】克孜勒苏柯尔克孜自治州第二中学;
【正文语种】英文
【中图分类】G421
【相关文献】
1.基本不等式在现实生活中的应用 [J], 马长琴
2.浅探算术-几何均值不等式在不等式证明中的应用 [J], 钱小三
用一元一次不等式(组)解决生活中的实际问题
用一元一次不等式（组）解决生活中的实际问题 用一元一次不等式（组）解决生活中的实际问题，其主要步骤为：1、审题，设未知数；2、抓关键词，找不等关系；3、构建不等式（组）4、解不等式（组）；5、根据题意，写出合理答案。 一、打折问题： 例1，一双运动鞋的进价是200元，标价400元，商场要获得不低于120元的利润，问：最低可以打几折？ 解析：利润 = 售价－进价。设可以打x折，则：400×0.1x－200≥120 解之得，x≥8 答：最低可以打8折。 二、赛球问题： 例2，甲、乙两队进行足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，两队一共比赛了12场，甲队保持不败，总得分超过26分，问：甲队至少胜了多少场？ 解析：甲队总得分= 甲队胜场的得分＋甲队平场的得分。设甲队胜了x场， 则：3x＋1×（12－x）＞26解之得，x＞7 ∴x的最小整数值是8 。 答：甲队至少胜了8场。 三、购买问题： 例3，某种肥皂零售价每块2元，凡购买2块以上（包括2块），商场推出两种优惠销售办法。第一种：一块肥皂按原价，其余按原价的七折销售；第二种：全部按原价的八
折销售。在购买的情况下，要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多，最少需要买几块肥皂？ 解析：设需要买x块肥皂，第一种方法的购价为：2＋2×0.7×（x－1）元， 第二种方法的购价为：2×0.8 = 1.6元。则：2＋2×0.7×（x－1）＜1.6 解之得，x＞3 ∴x的最小整数值是4 。 答：最少需要买4块肥皂。 四、分苹果问题： 例4，把44个苹果分给若干名学生，若每人分苹果7个，则最后1名学生分得的苹果不足3个，求学生人数。 解析：最后1名学生分得的苹果数= 苹果总数－7（学生数－1），设学生人数为x 名，则： 44－（x－1）×7＞0 ① 44－（x－1）×7＜3 ② 解之得，＜x＜∵x是整数，∴x=7 答：学生人数是7人。 五、方案决策问题： 例5，某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本如下表： 问：该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？
均值不等式应用(技巧)
均值不等式应用（技巧） Wekede 整理 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2 b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥ +2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2 ≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=” ） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取 “=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a + ≥+ ≥+ ≤即 或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 ( 2 2 2 b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54 x < ，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404 x x < ∴-> ，1 1425434554y x x x x ? ?∴=-+ =--+ + ?--? ? 231≤-+= 当且仅当15454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，m ax 1y =。
一元一次不等式组的实际应用
一元一次不等式组的实际 应用 Prepared on 22 November 2020
一元一次不等式组的实际应用 1、某市召开的出租汽车价格听证会上，物价局拟定了两套客运出租汽车运价调整方案．方案一：起步价调至7元/2公里，而后每公里元；方案二：起步价调至8元/3公里，而后每公里元．若某乘客乘坐出租车(路程多于3公里)时用方案一比较合算，则该乘客乘坐出租车的路程________5公里(填大于或小于) 2、李明家距离学校，现在李明需要用不超过18min的时间从家出发到达学校，已知他步行的速度为90m/min，跑步的速度为210m/min，则李明至少需要跑________分钟． 3、某火车站购进一种溶质质量分数为20%的消毒液，准备对候车室进行喷洒消毒，而从科学的角度知用含的消毒液喷洒效果最好，那么工作人员把这种溶质质量分数为20%消毒液稀释时，兑水的比例为1:100行不行________(填“行”或“不行”) 4、用若干辆载重量为8t的汽车运一批货物支援汶川地震灾区，若每辆汽车只装4t，则剩下20t货物；若每辆汽车装8t，则最后一辆汽车不满也不空，请问：有________辆汽车 5、现用甲、乙两种保温车将1800箱抗甲流疫苗运往灾区，每辆甲运输车最多可载200箱，每辆乙运输车最多可载150箱，并且安排车辆不超过10辆，那么甲运输车至少应安排_______辆． 6、某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到江阴儿童福利院看望孤儿．如果分给每位儿童5盒牛奶，那么剩下18盒牛奶；如果分给每位儿童6盒牛奶，那么最后一位儿童分不到6盒，但至少能有3盒．则这个儿童福利院的儿童最少有________人，最多有________人．
数学八年级下册应用不等式解决生活问题
应用不等式解决生活问题 一元一次不等式的在生活的应用十分广泛,涉及到社会生活和生产的方方面面, 为了更好的运用所学知识解决实际问题使学有所用，下面和同学们欣赏中考中的应用问题． 一、进货方案设计型 例1、某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表： 类 别 电视机 洗衣机 进价（元/台） 1800 1500 售价（元/台） 2000 1600 计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元． （1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用） （2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．（利润＝售价－进价） 解：（1）设商店购进电视机x 台，则购进洗衣机（100－x ）台，根据题意，得 1(100),218001500(100)161800.x x x x ?≥-???+-≤? ，解不等式组，得 1333≤x ≤1393． 即购进电视机最少34台，最多39台，商店有6种进货方案． （2）设商店销售完毕后获利为y 元，根据题意，得 y ＝（2000－1800）x ＋(1600－1500)(100－x )＝100x ＋10000． ∵ 100＞0，∴ 当x 最大时，y 的值最大． 即 当x ＝39时，商店获利最多为13900元 点评：本题是一道开方性的问题，不仅需要列一元一次不等式解决问题，而且要找出最佳解决方案． 二、租赁方案设计型： 例2、绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现
生活中的一元一次不等式应用
生活中的一元一次不等式应用 山东张海生 一元一次不等式的在生活的应用十分广泛,涉及到社会生活和生产的方方面面, 为了更好的运用所学知识解决实际问题使学有所用，下面就以例题的形式一块和同学们欣赏一下，这也是培养我们实际能力的好机会． 一.学校决策问题 学校为购买计算器的学生联系了两家公司，两家公司的报价、质量和服务承诺都相同，且都表示对学生优惠：甲公司表示每个计算器按九折出售；乙公司表示购买１００个以上，按八折收费．请你为学校分析，应选择哪家公司较好． 解：设在学校集体购买的计算器为ｎ个， ①显然，当ｎ≤１００时，选择甲公司较好； ②当ｎ＞１００时，设每个计算器的价格为ｘ元， 那么，学校付给甲公司为：０．９ｘｎ元；付给乙公司为：１００ｘ＋０．８（ｎ－１００）ｘ元 当０．９ｘｎ＜１００ｘ＋０．８（ｎ－１００）ｘ时，ｎ＜２００； 当０．９ｘｎ＝１００ｘ＋０．８（ｎ－１００）ｘ时，ｎ＝２００； 当０．９ｘｎ＞１００ｘ＋０．８（ｎ－１００）ｘ时，ｎ＞２００． 所以，当学校购买的计算器在200个以内时，选择甲公司较好；当购买200个计算器时，两个公司都一样；当购买计算器在200个以上时，选择乙公司较好． 二、工程预算问题 爆破时导火索燃烧的速度是每秒钟0.9cm，点导火索的人需要跑到120m以外才安全，如果他跑的速度是每秒6m，那么这个导火索的长度应大于多少cm？ 解：设导火索的长度应大于xcm． x＞18
答：导火索的长度应大于18cm． 四、生活娱乐问题 小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸的脚仍然着地.后来，小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果小宝和妈妈的脚着地.猜猜小宝的体重约有多少千克？（精确到1千克） 解:设小宝的体重是x千克，则妈妈的体重是2x千克. 由题意得,由此可以得出小宝的体重. 五、能源节约问题 水是人类宝贵的资源之一，我国水资源人均占有量远远低于世界平均水平．为节约用水，保护环境，学校于本学期初便制定了详细的用水计划．如果实际每天比计划多用一吨水，那么本学期的用水总量将会超过２３００吨；如果实际每天比计划节约一吨水，那么本学期的用水总量将会不足２１００吨．如果本学期在校时间按１１０天（２２周）计算，那么学校计划每天用水量应控制在什么范围？（结果保留４个有效数字） 解：设学校计划每天用水ｘ吨，依题意，得： １１０（ｘ＋１）＞２３００１１０（ｘ－１）＜２１００， 解这个不等式组，得２１９１１＜ｘ＜２２１１１， 所以１９．９１＜ｘ＜２０．０９． 答：学校计划每天用水量应控制在１９．９１吨至２０．０９吨之间． 六、企业预算问题 某市某童装企业今年五月份工人每人平均加工童装１５０套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的６０％．为了提高工人的劳动积极性，按时完成外商订货任务，企业计划从六月份进行工资改革，改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资２００元；另一部分每加工１套童装奖励若干元．⑴为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准４５０元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工１套童装企业至少应奖励多少元（精确到分）？ ⑵根据经营情况，企业决定每加工１套童装奖励５元．工人小张争取六月份工资不少于１２００元，问小张六月份至少加工多少套童装？ 解：⑴设企业每套童装至少奖励ｘ元，由题意，得：２００＋６０％?１５０ｘ≥４５０，解得：ｘ≥２７９≈２．７８． 因此，该企业每套至少应奖励２．７８元． ⑵设小张在六月份至少加工ｙ套，由题意，得：２００＋５ｙ≥１２００，解得ｙ≥２００． 答：小张在六月份至少加工２００套． 七、工程人力开发问题
数学：均值不等式定理的实际应用必修
均值不等式定理的实际应用 １．用一段长为lm 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园。问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大值是多少？ 【解】依题意设矩形的两边长分别为,(2)xm l x m -，（其中2 l x < ）则矩形的面积为2(2)x l x m -，由均值不等式定理可知：222(2)1(2)(2)[]2228 x l x x l x l x l x -+--=≤= 当且仅当22x l x =-即4l x =时，矩形面积取得最大值28l 。 ２．已知直角三角形的周长为l （定值），求它的面积的最大值。 【解】设直角三角形的两直角边为,a b ，则l a b =++ ，即 22≤=，当且仅当a b = 时等号成立。21324S ab -∴=≤ 此时该三角形为等腰直角三角形。故当a b = 时，2max 34S -= ３．一批救灾物资随２6辆汽车从某市以/vkm h 的速度直达灾区，已知两地公路长为４00km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2( )20v km ，那么这批物资全部运到灾区，至少需要多少时间？并指出此时汽车的速度。 【解】设两车之间的间距为2(())20 v d d ≤其中，最后一辆车到达灾区所用时间为t ，则 225()40025400400201016v d v t v v v ++=≥=+≥= 当且仅当40080/16v v km h v ==即时，min 10t h = ４．南海中学为了解决教师住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为2am 的宿舍楼。已知土地的征用费为２３88元2/m ，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的２．５倍，经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同，费用为４５５元2/m ，以后每增高一层，其建筑费用就增加３0元2/m 。试设计这幢宿舍楼的楼高层
数学：不等式的实际应用教案新人教B版必修
３．４不等式的实际应用教案 一、教材分析： 前面学生已经学习了一元二次不等式的解法，本节主要是一元二次不等式的实际应用。通过本节课的实例教学，让学生体验不等式在解决实际问题的作用，数学与日常及其他学科的联系。并通过解题过程，抽象出不等式模型，总结出解应用题的思路与步骤。本节课的内容对于解决线性规划问题提供了很好的解题思路。同时，应用题中不等式模型也是高考经常经常涉及的问题，其地位也就不言而喻了。 二、三维目标： １、通过实际问题的情景，让学生掌握不等式的实际应用，掌握解决这类问题的一般步骤， ２、让学生经历从实际情景中抽象出不等式模型的过程。 ３、通过实例，让学生体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强学生的应用意识，提高他们的实践能力。 三、教学重点和难点： 重点：不等式的实际应用 难点：数学建模 四、教学方法：通过启发、引导、归纳、总结与探究相结合的方法，组织教学活动，按照由特殊到一般的认知规律，引导学生分析归纳如何抽象不等式模型及解不等式应用题的一般步骤。 五、教具：多媒体 六、教学过程： （一）温故知新：
１、比较两实数大小的常用方法 ２、联系一元二次不等式与相应的方程以及函数之间的关系，填写下表 △>0△=0△<0△=b２— ４ac Y=ax２ +bx+c （a>0）的 图象 ax２ +bx+c=0 （a>0）的 根 ax２ +bx+>0 （a>0）的 解集 ax２ +bx+c<0 （a>0）的 解集
（二）情景引入 b 克糖水中含有a 克糖（b>a>0），若在这些糖水中再添加m （m>0）克糖，则糖水就变甜了，根据此事实提炼一个关系式 ，师：引例就是不等式在我们的生活中的实际应用，今天，我们一起来学习不等式的实际应用。（引出课题） （三）、典例分析： 例１、 甲、乙两人同时同地沿同一路线去同一地点，甲有一半的时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m ≠n,问甲、乙两人谁先到达指定地点？ 分析：设总路程为s,甲、乙所用时间分别为t 甲、t 乙, 若要解决此问题，只需比较t 甲，t 乙的大小即可 解：设总路程为s,甲、乙所用时间分别为t 甲、t 乙,由题意得 s n t m t =+ 2 2 甲甲， 乙t n s m s =+22 所以 t 甲= n m s + ， t 乙=mn n m s 2) (+ 所以t 甲— t 乙=n m s +—mn n m s 2)(+=()[] ()mn n m n m mn s ++-242 =()() n m mn n m s +--22 其中s,m,n 都是正数，且m ≠n,于是t 甲— t 乙<0 ，即t 甲＜t 乙 答：甲比乙先到达指定地点。 方法二：做商比较。 回归情景：对糖水问题你能给出证明吗？ 例２、有纯农药一桶，倒出８升后用水补满，然后倒出４升再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的２８％.问桶的容积最大为多少？
基本不等式在实际中的应用
基本不等式在实际中的应用 1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 （ ） A ．80元 B ．120元 C ．160元 D ．240元 2．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （a ＜b ），其全程的平均时速为v ，则 （ ） A ．a v << B ．v C 2a b v +< D ．2 a b v += 3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为8 x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 （ ） A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件 4．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20 y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程； （2）设在第一象有限一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
5．某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式C ＝3+x ，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 满足函数关系式 35(06)814(6)k x x S x x ?++<
生活中的不等式 练习题 1
第七章一元一次不等式 7.1生活中的不等式 【新知导读】 1、用 表示 关系的式子叫做不等式。 答：不等号,不等 2、用不等式表示： （1）x 的2倍大于x ；（2）a 与b 的差是非负数； 答：（1）2x ＞x ；（2）a －b ≥0 3、小明今年x 岁，小强今年y 岁，爷爷今年m 岁，小明年龄的3倍与小强年龄的6倍之和不小于爷爷年龄． 答：3x+6y ≥m 【范例点睛】 例1用不等式表示下列各数或数量关系： (1)a 的3倍与b 的51 的和不大于3； (2)2 x 是非负数； (3)x 的相反数与1的差不小于2； (4)x 与17的和比它的5倍小． 思路点拨： (1)中不大于就是小于或等于，即“≤”；(2)中的非负数就是大于等于零，即“≥”；(3)不小于就是大于或等于；(4)中关键词“小”等． 易错辨析：对“非负数”、“至多”、“至少”、“不大于”等这样的表述，未能准确使用不等式的符号，如对x ≥2和x>2认为是同一个不等式； 方法点评：用不等式表示数或数量关系，这与列代数式、列方程一样，都是将语言叙述的数量关系转化为数学式子。 例2用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C 的含量及购买这两种原料的价格如下表： 原 料 维生素及价格 甲种原料 乙种原料 维生素C(单位/千克) 600 100 原料价格(元/千克) 8 4 (1)现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C ，试写出所需甲种原料的质量x(千克)应满足的不等式． (2)如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，那么你能写出x(千克)应满足的另一个不等式吗？ 思路点拨：先弄清题意，找出不等关系。（1）至少含有4200单位的维生素C ，所以600x ＋100(10－x)≥4200；(2) 费用不超过72元，所以8x ＋4(10－x)≤72． 易错辨析：（1）维生素C 、原料的费用来源于甲、乙两种原料；（2） 10－x 在解题中是一个整体，需加括号。 方法点评：解题时一定要搞清不等关系，以及每个数量的具体含义。 【课外链接】 数学史话：柯西不等式
不等式的实际应用含答案
课时作业18 不等式的实际应用 时间：45分钟 满分：100分 课堂训练 1．某工厂第一年产量为A ，第二年产量的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( ) A ．x ＝a ＋b 2 B ．x ≤a ＋b 2 C ．x >a ＋b 2 D ．x ≥a ＋b 2 【答案】 B 【解析】 由题设有A (1＋a )(1＋b )＝A (1＋x )2，即x ＝ (1＋a )(1＋b )－1≤1＋a ＋1＋b 2 －1＝a ＋b 2. 2．设产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0 4万元/次．一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨． 【答案】 20 【解析】 每年购买次数为400x 次，∴总费用为400x ·4＋ 4x ≥2 6 400＝160，当且仅当1 600x ＝4x ，即x ＝20时等号成立．故x ＝20. 4．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0 数学在生活中的应用 数学是一门很有用的学科。自从人类出现在地球上那天起，人们便在认识世界、改造世界的同时对数学有了逐渐深刻的了解。早在远古时代，就有原始人“涉猎计数”与“结绳记事”等种种传说。可见，“在早期一些古代文明社会中已产生了数学的开端和萌芽”（引自《古今数学思想》第一册P1——作者注）。“在BC3000年左右巴比伦和埃及数学出现以前，人类在数学上没有取得更多的进展”，而“在BC600—BC300年间古希腊学者登场后”，数学便开始“作为一名有组织的、独立的和理性的学科”（引自《古今数学思想》第一册P1——作者注）登上了人类发展史的大舞台。 如今，数学知识和数学思想在工农业生产和人们日常生活中有极其广泛的应用。譬如，人们购物后须记账，以便年终统计查询；去银行办理储蓄业务；查收各住户水电费用等，这些便利用了算术及统计学知识。此外，社区和机关大院门口的“推拉式自动伸缩门”；运动场跑道直道与弯道的平滑连接；底部不能靠近的建筑物高度的计算；隧道双向作业起点的确定；折扇的设计以及黄金分割等，则是平面几何中直线图形的性质及解Rt三角形有关知识的应用。由于这些内容所涉及的高中数学知识不是很多，在此就不赘述了。 由此可见，古往今来，人类社会都是在不断了解和探究数学的过程中得到发展进步的。数学对推动人类文明起了举足轻重的作用。 下面，我就紧扣高中数学学习的实际，从函数、不等式、数列、立体几何和解析几何等五方面，简明扼要地谈一下数学知识在生产生活中的应用。 第一部分函数的应用 我们所学过的函数有：一元一次函数、一元二次函数、分式函数、无理函数、幂、指、对数函数及分段函数等八种。这些函数从不同角度反映了自然界中变量与变量间的依存关系，因此代数中的函数知识是与生产实践及生活实际密切相关的。这里重点讲前两类函数的应用。 一元一次函数的应用 一元一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛。当人们在社会生活中从事买卖特别是消费活动时，若其中涉及到变量的线性依存关系，则可利用一元一次函数解决问题。 例如，当我们购物、租用车辆、入住旅馆时，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，做出明智的选择。俗话说：“从南京到北京，买的没有卖的精。”我们切不可盲从，以免上了商家设下的小圈套，吃了眼前亏。 下面，我就为大家讲述我亲身经历的一件事。 随着优惠形式的多样化，“可选择性优惠”逐渐被越来越多的经营者采用。一次，我去“物美”超市购物，一块醒目的牌子吸引了我，上面说购买茶壶、茶杯可以优惠，这似乎很少见。更奇怪的是，居然有两种优惠方法：（1）卖一送一（即买一只茶壶送一只茶杯）；（2）打九折（即按购买总价的90% 付款）。其下还有前提条件是：购买茶壶3只以上（茶壶20元/个，茶杯5元/个）。由此，我不禁想到：这两种优惠办法有区别吗？到底哪种更便宜呢？我便很自然的联想到了函数关系式，决心应用所学的函数知识，运用解析法将此问题解决。我在纸上写道： 设某顾客买茶杯x只，付款y元，(x>3且x∈N)，则 用第一种方法付款y1=4×20+(x-4)×5=5x+60; 7.1 生活中的不等式 班级姓名成绩 一、情境创设： 1、小磊和他的妈妈、爸爸的体重分别为30kg、55kg和75kg.春节期间，去瘦西湖游乐场玩跷跷板，小磊和妈妈玩时，谁会向上跷？若小磊和妈妈坐一头，爸爸坐在另一头时，谁会向上跷？ 这说明：因为30kg55kg（填写不等号），所以会向上跷； 又因为30kg＋55kg75kg.(填写不等号)，所以会向上跷. 2、一只纸箱质量为1kg.当放入一些苹果（每个苹果的质量为0.25kg）后，箱子和苹果的总质量不超过10kg. （1）填表：Array （2 在日常生活中，同类量（如长度与长度，质量与质量，速度与速度）之间常 常存在不等关系. （a）观察研究课本P118“例如”：a100. （b）完成“试一试”用数学式子表示下列数量之间的关系： （1）x 2.9、y 3.1；（2）x+248. (3) (4) 二、相互交流：请你举出至少两个有不等关系实例，并与同学交流. 举例：1、； 2、. 对自己所举出的例子用数学式子表示其中的数量之间的关系： 1、； 2、。 不等式：像30kg＜55kg 、x＞50，x＋2＜48、a≤100、3y≥10等。 叫做不等式. 三、典型例题： 例1用“＞”或“＜”号填空： （1）－6＋4－1＋3；（2）5－20－2； （3）6×23×2（4）－6×（－4）－2×（－4）. 例2 用不等式表示： （1）a是正数；（2）b是非负数； （3）c是负数；（4）d不小于2的数. （5）x与3的差不大于2；（6）y的一半与7的和不小于－5。 例3 用适当的符号表示下列关系: （1）x 的5倍与3的差比x 的4倍大； （2）a 的的相反数是非负数； （3）x 的3倍不小于y 的8倍。 例 4 某日盐城气象台预报本市气温是－2～6℃，这表示某日的最低气温 是 ℃，最高气温是 ℃.设盐城市某日某一时刻气温为t ℃，则关于t 的不等量关系是 . 四、当堂检测： 1. 适合不等式23x -≤<的整数是 。 2.满足不等式|x|<100的所有有理数之和为 。 3.根据下图，对a 、b 、c 三种物体的重量判断正确的是（ ） 4.某工程队爆破石头，导火线燃烧的速度为0.8cm /s ，点火工人跑开的速度是5m/s ，安全区在离点火地110m 外，，设这根导线的长度至少应大于xcm ，点火工人才能到达安全区，列出不等式. 课后作业： 1、用“>”或“<”填空：（1）π 3；（2）-22 （-2）2；（3）3 1 0.3； 2、用表示大小关系的符号填空：（1）a 2 0；（2）—|x| 0 ; (3)x 2+1 0; (4)已知a 、b 、c 为三角形的三边，则b+c a ，b －c a; (5)你和你父母的年龄的和S 50. 3、用不等式表示： （1）m 是正数： ； （2）a 与b 的差是负数： ； （3）代数式3a-1的值不大于0： ； （4）x 的3倍小于y 的2倍： ； （5）a 、b 两数的平方差不小于1： . 4、小明在图书室接了一本科普书共有a 页，每天读了10页，读了15天仍未读 完，对于上述事例，写出关于a 的一个不等式： . 均值不等式应用 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析） 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则 2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正 所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设2 3 0< 小论文：函数、不等式、数列在生活中的应用 第一部分不等式的应用 日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。前两类不等式的应用与其对应函数及方程的应用如出一辙，而平均值不等式在生产生活中起到了不容忽视的作用。在生产和建设中，许多与最优化设计相关的实际问题通常可应用平均值不等式来解决。 包装罐设计问题 1、“白猫”洗衣粉桶 “白猫”洗衣粉桶的形状是等边圆柱 若容积一定且底面与侧面厚度一样，问高与底面半径是什么关系时用料最省（即表面积最小）？ 分析：容积一定=>лr h=v（定值） =>s=2лr +2лrh=2л(r +rh)= 2л(r +rh/2+rh/2) ≥2л3 (r h) /4 =3 2лv (当且仅当r =rh/2=>h=2r时取等号), ∴应设计为h=d的等边圆柱体. 2、“易拉罐”问题 圆柱体上下第半径为r,高为h，若体积为定值v,且上下底 厚度为侧面厚度的二倍，问高与底面半径是什么关系时用料最 省（即表面积最小）？ 分析：应用均值定理，同理可得h=2d∴应设计为h=2d的圆柱体. 第二部分数列的应用 在实际生活和经济活动中，很多问题都与数列密切相关。如分期付款、个人投资理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析，从而予以解决。 按揭货款中的数列问题 随着中央推行积极的财政政策，购置房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出，极大地刺激了人们的消费欲望，扩大了内需，有效地拉动了经济增长。 众所周知，按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。这个等额数是如何得来的，此外若干月后，还应归还银行多少本金，这些人们往往很难做到心中有数。下面就来寻求这一问题的解决办法。 若贷款数额a0元,贷款月利率为p,还款方式每月等额还本付息a 元.设第n月还款后的本金为an,那么有: a1=a0(1+p)-a, a2=a1(1+p)-a, a3=a2(1+p)-a, ...... an+1=an(1+p)-a,.........................(*) 将（*）变形，得（an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p. 由此可见，{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项，1+p为公比的等比数 均值不等式总结及应用 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若 * ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则 2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ） 若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=” ） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则 2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22 b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 说明： （1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” （3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 【解题技巧】 技巧一：凑项 例 已知5 4x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42) 45 x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--?? 231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。数学在生活中的应用
苏教版七下11.1生活中的不等式
均值不等式的应用(习题+答案)
均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析)
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均值不等式的总结与应用