7第5章哈密顿原理

第 5 章哈密顿原理

如前所述，力学的变分原理的实质是：将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判 别准则以区分真实运动和可能的运动。 哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间 的位形轨迹加以比较， 而哈密顿作用量 S 是对不同的位形轨线取不同值的泛函， 从而得到对 真实运动来讲，哈密顿作用量的变分等于零。

将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系， 开拓了应用前景； 由动力学普遍方程对时间积分， 导出一个重要的力学变分原理——哈密顿 原理， 提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则； 对于有限过程， 提供了

一种动力学问题的直接近似解法。

5.1 哈密顿正则方程

哈密顿正则方程是分析力学中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是 2n 个一阶常微分方程组。我们知道，对于一个质点系统，在建立拉格朗日方程后，重要的问题 是研究这个微分方程组的积分， 但是求解往往是很困难的。 哈密顿正则方程的重要性在于它 将 n 个二阶微分方程变换为 2n 个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了 有利条件。 若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用， 则哈密顿正则方程对分析力学 中的积分理论起着基础的和推动的作用。 哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性 研究中， 并不需要求解微分方程组， 而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方 法求解。

5.1.1 正则方程的建立

设拉格朗日函数 L 满足条件

2

L det 0 q j q k

于是， 可由式 (5-2)反解出

q j f j (q 1, ,q k , p 1, , p k , t) (j 1,2, ,k)

式(5-3)和式(5-4)就把方程 (5-1)由 k 个二阶微分方程化为 组(5-4) 并非正则形式。引入 哈密顿函数

k 个自由度的完整约束系统，其拉格朗日方程为

dL dt q j

L

q j

0 ( j 1,2, ,k)

引入广义动量

p j

L

(j 1,2, ,k)

q j

代入式 (5-1) ，有

L

p j

(j 1,2, ,k)

(5-1)

(5-2)

(5-3)

(5-4)

2k 个一阶微分方程，其中方程

对于主动力均有势的

q j

这就是 哈密顿正则方程 ，是以广义坐标和广义动量为独立变量的 2k 个一阶常微分方程。哈 密顿正则方程是关于两类变量

q j 和 p j 的对偶方程，给出了一种对称的数学结构体系，不但

可推广应用到力学的各个领域，还可拓展到物理学的其他领域。

5.1.2 正则方程的积分

对于定常系统，这意味着机械能守恒；对于非定常系统，则意味着广义能量守恒。

例 5-1 试写出图 5-1 中球面摆的正则方程及其首次积分。 已知球面摆摆长为 l ，摆锤质 量为 m 。 解 ：取图 5-1 所示的角 数为

1 2 2 2 2

T V ml ( sin ) mgl cos

广义动量分别为

按照 Legendre 变换规则，将 q j 变换成 p j ( j H

q j

p j

1,2, ,k) ，而

q i 和 t 仍然保持不变，则有

(5-6)

L

H

(j 1,2, ,k)

(5-7) q j

q j

L

H

(5-8)

t

t

将式(5-7)代入式 (5-3) ，并与式 (5-6)联立，

得

H

H

q j ,

p j

( j 1,2, ,k)

(5-9)

j

p j

q j

H(q j ,p j ,t) p j q j L

(5-5)

q j f j (q j ,p j ,t)

正则方程也有循环积分和能量积分。

由式(5-5)可见，如果 L(q j , p j , t)中不显含某广义坐标 广义

坐标 q 。因此，循环坐标可定义为不显含于函数 H H 若q 为循环坐标，则有 H

q

q ，则 H(q j , p j ,t) 中也不显含该 或 L

之中的广义坐标。

同样，当 H 中不显含时间变量

dH dt

0 ，由式 (5-9) 知， p

0 ，从而有循环积分 时，

j1

C (常量) 有

H

t 0，于是 (5-10)

H q j

q j

H p j p j

将式(5-9)代入上式，得 dH 0 ，

dt

中动能 T 为广义速度 q j 的二次齐次函数，有

k

T

H

q j L 2T (T V) T

j 1 q j

因此，有能量积分， H ＝ C (常量)。注意到定常系统

V C (常量) (5-11)

为广义坐标， A 为重力势能的零位置，则系统的拉格朗日函

2 2 mgl cos C 2ml 2

sin 2

注意 ：由于系统是定常的，上式也可直接由式 (5-11)写出。

5.2 哈密顿原理

由动力学普遍方程积分， 导出一个哈密顿原理， 因此哈密顿原理是在任一有限的时间间 隔中区分真实运动与可能运动的准则， 是积分原理。 高斯原理又称最小拘束原理， 是在任一 瞬时通过真实运动与可能运动的加速度不同进行比较而得到的判别准则，是微分原理。

为了方便， 将真实运动在位形空间中的轨线称为正路， 对约束允许的可能发生的运动在 位形空间的轨线称为旁路。作以下规定：在瞬时 t 0，正路与旁路都通过 A 点，在瞬时 t 1又都 通过 B 点。现在由动力学普遍方程推导哈密顿原理。

解得

p L

ml

2

ml 2 sin 2

p

ml 2 sin 2

按定义式 (5-5)，系统的哈密顿函

数为 2

p 2 ml 2

Hp

1

ml 2

2

2 p 2

2 2ml 2

正则方程 (5-9) 成为

故循环积分为

能量积分为

p

, ml

2 ,

2 p 2 24

ml

2

p

22 ml 2 sin 2

2 p 2

2 4 2

m l

sin

2 p 2

22

2ml 2

sin 2

mgl cos

mgl cos

p

ml

2

p

ml

2

sin 2

2

p cos

ml 2 sin 3 mglsin

常量)

H ＝C 常量)

2

p

2ml 2

图 5-1

于是式（ 5-14）可以表达为

S = 0 （5-16） 这就是 势力场完整系统的哈密顿原理：

对于完整系统，若主动力有势，在相同的时间、相同 的起迄位置的条件下， 在所有为约束允许的可能运动中， 真实运动使哈密顿作用量具有极值， 或者说，正路与旁路相比，沿正路的哈密顿作用量的变分为零。

5.3 哈密顿原理的应用

哈密顿原理可以表述为：沿着正路的哈密顿作用量与沿着旁路的哈密顿作用量相比较， 前者具有极值，如式（ 5-14）所表达。应该注意的是式（ 5-14）只是在完整系统且主动力有 势的条件下成立。对于在任意力作用下的完整系统，哈密顿原理有式（ 5-13）的形式，但不

具有极值条件。

对于质点系（ n 个质点）的真实运动，满足动力学普遍方程 n

（F i m i a i ） r i 0

i1

t 0

至 t 1对时间 t 积分： N

（F i m i r i ） δr i dt 0 i1

将上式沿着位形空间中的正路自

t 1 t 0

(5-12)

对于完整系统，当 t = 0，有微分—变分对易法则，则

d

δr i

（r i dt r i

δr i ) r i δr i 代入式（ 5-12）中，有

t

1

t 0

F i

δr i i1

m i d (r i i dt

i

δr i ) m i r i δr i dt 0

注意到在上式中

m i r i δr i

i1

1 δ12m i r i

又，

t 1

i1

δr

i |t 0

N

δr i

|t 1

N

δ i

1

m i r i 2 δT 2 i i

上式是在任意作用力下的哈密顿原理。

t

δT

F i δ

r i dt

(5-13)

若主动力有势，势能函数为 V ，

t 1

t

式中 L 为拉格朗日函数，上式可写成

δ(T V)dt

t

1

δLdt

t

这是在保守力作用下的哈密顿原理。我们称

为哈密顿作用量。它是依赖于可能运动

t

1

δ Ldt t

(5-14)

q j

t 1

S t L(q 1,q 2,

t

t 1 Ldt

t

q j （t ） 的泛函，即 ,q n ; q 1,q 2, ,q n ,t)dt

(5-15)

首先构造函数

m

q j a jk jk (t), k1

数 a jk 不同值得到不同的可能运动。将式（ 5-18 ）表达的

哈密顿原理只涉及到系统的两个动力学函数， 即动能和势能。 对于这两个表达系统状态 的整体性

函数，没有规定必须用多少坐标（有限个参数或无限个参数）来表达。因此，哈密 顿原理不但适用于有限多自由度系统， 也适用于连续系统。 普遍意义的原因就在于此。 将哈密顿原理应用到连续体时， 可以求解。 更广泛地说， 哈密顿原理提供了动力学问题的直接解法， 哈密顿原理比拉格朗日方程更有 只要写出连续体的动能和势能就 可以回避运动微分方程的建立 而直接求得系统动力学问题的数值解，就是说，将变分学中的里兹直接法应用于动力学中。 t 1 δ 1

Ldt 0 ，边界条件 t

具体的方法如下：对于 端点条件）为 q j (t 0), q j (t 1),

1, 2, ,n (5-17)

S a jk 的函数，然后选择 a jk 使 S 达到极值，也就是由

S a jk j 1,2, ,n 来确定 a jk ,，这

是 ,m

k 1, 2, a jk 代入式（ 5-18）中就得到系 线性代数方程组，可以应用各种方法求解。最后，将求得的 统的近似解。 应用哈密顿原理可以建立动力系统的运动微分方程；也可直接求解动力学问题。 例 5-2 试用哈密顿原理推导拉格朗日方程。 解：考虑一个所受主动力均有势的完整系统，设其有 由哈密顿原理 t 1

Ldt

t

0 q k ，拉格朗日函数为 L L （q j ,q j ,t ） ， t 1

Ldt

t

1

t

t

L q L j q j

k 个自由度，广义坐标为 q 1 ，?， q j

dt

又因 q i |t 0 q i |t 1 0 由于完整系统各

t 1

t

t 1

t

j1

q j

q j d dt q j

q j

d dt

L q j dt

q j

j1

q j

d

dt

q j

q j dt

j1

q j

q j

t

始末位置相同）

t 1 k

t0

j 1 q j

(j 1, 2,

故上式中

j

t

1

q j q j

dL

q j dt q j

,k ） 的独立性和任意性，故

q j dt

t

0 ，于是，有

j 1, 2, ,n

(5-18)

式中 a jk 是待定常数，

jk 是选择的适当的函数，函数

q j 应满足式（ 5-17）的边界条件。给常

q *j 代入哈密顿作用量 S 中，则 S 是

2

(5)

1 2

解 ：设悬挂点 O 不动，而链的末端 N 附有质量 m 。坐标 x ＝ a 处的 M 点在运动中达到 M 点，假设悬链是匀质不可伸长和柔软的， M 点的位移记作 u(a,t),v(a,t)，而集中质量 N 的 位移记作 u(l,t), v(l,t)，这里 l 是链子的长度，设 M 点的笛卡尔坐标为( x 、y )，则有

固定时间 t ，式(1)表示以 a 为变量( 0 a l )的曲线参数方程，如图 18-5中的曲线 c ， 根据不可伸长的约束条件，得到

1 V lg

x C mgl x N

dL dt q j 这就是势力场中第二类拉格朗日

方程。 例 5-3 试用哈密顿原理建立图

q j

0 (j 1, 2, ,k)

5-2 所示末端有集中质量的悬链振动微分方程。

lx C

l

0(a

l 2

u)da

2

l uda

而

x N l u(l,t) l

l

u (a,t)da

1 l

2 l

v 2da 0v 2

da

uda ua |1

au da

1l 2 1 l

2

1l l v da av da

(l

00

20

20

20

V gl x C mgx N

式中， x C 是链子的质心坐标； x N 是集中质量的坐标。根据质心公式，有

若以悬链静平衡为零势能状态，则系统的重力势能为

a)v 2da

x a u(a,t), y v(a,t)

(1)

(dx)2 (dy) 2 da 1

由此推出

22 u

1 u

v

a 2 a

a

用 v,v ,v 分别表示横向位移及其对 讨

论偏离铅垂位置的微振动。 量，则由公

式 (1) 看出，

2

2

u v

da

a

a

(1)

a 和对 t 的偏导数， 并且限于

v,v ,v 看作一阶小 在略去四阶小量 若将横向运动量

u,u ,u 是二阶小量，

(u )2 后，式 (1)简化为

12 uv

2

(2)

系统动能精确到二阶小量为

T

l

2 2 1 2 2

0 (u 2 v 2)da 21 m[u 2(l,t) v 2

(l,t)]

(3)

式中， 是悬链线密度。若以

v 2da

1

mv 2(l,t) 2

O 为零势能位置重力势能为

(4)

图 5-2

2

(5)

1 2

g 0 (l

a)v 2da

1 2 mg

v 2da

m

l 1 l

其中， 是集中质量与链的质量比，则系统的拉格朗日函数由式

1 L

2

哈密顿作用量为

边界条件是

和在末端的边界条件(自然条件)

l 1[gv (l,t) v(l,t)] 0 哈密顿原理只涉及到系统的状态函数， 如系

统的总动能和总势能， 坐标来表达，因此，哈密顿原理不仅能用于离散系统(有限自由度系统) 系统(无限自由度系统) ，这是哈密顿原理的优点之一。哈密顿原理作为一个变分原理，能 用变分学的方法提供动力学问题的直接近似解法，如里兹法、伽辽金法等。

哈密顿原理比拉格朗日方程更具有概括性， 只有一个泛函极值就可表示完整保守系统的 运动规律；

由于

代入前式中，得到

t 1

}dt d(mr δr )

t

t

Ldt t dt{[v 2

g(l t

l 1 a)v 2 ]da

2

l 1v 2

(l,t)}

(6)

t 1

t {[mr t

0 mr

2

mgcos k(r

2

r 0)]δr [mr 2

2mrr

(3)和(5)得

l

2 2 2

0 [v 2 g(l l 1 a)v 2 ]da l 1v 2

(l,t)

0,

v(a,t 0)

并经分部积分运算，

t

dt [ v

t 0

由式 (7)得悬链的运动微分方程

由哈密顿原理， t

1

v(a,t 1) 得到 0,

v(0,t)

g a (l l 1 a)v ] v l 1[gv(l,t) v(l,t)] v(l,t) 0

(7)

2

v

t 2

g a (l l

1 a) u

a

不涉及用多少个广义 ，而且能用于连续

例 5-4 试应用哈密顿原理求解悬挂在弹簧上的单摆的运动微分方程。 解：系统的拉格朗日函数为

1 2 2

L m(r 2 r 2

2

2

) mgr cos

式中的 r 0 为弹簧的初始长度。 1 m (r 2

t

1

S Ldt

t

根据哈密顿原理，有

t 1

t

哈密顿作用量

1

k(r

2 S 为

mgr cos

r 0)2

1

2k(r r 0)

2

dt

t 1

[m(r δr t

r δr 2 r 2

δ ) mg δr cos mgr sin δ

k(r r 0)δr]dt 0

mr δrdt mr δ(dr ) mrd(δr) d(mr δr) mr δrdt

2

mr δdt

d(mr 2

2

δ ) δ (mr 2mrr

)dt

mgr sin ] δ d(mr 2 δ )]

在瞬时t0，t1，有r = = 0，于是上式中第二个积分等于零，由于r 和是彼此独立的，

则有弹簧单摆的运动微分方程：

mr mr mgcos k(r r0) 0

mr 2 2mrr mgr sin 0

例5-5 质量为m、半径为r 的粗糙圆柱体在一空心圆柱体的表面上作纯滚动。这空心圆柱体的质量为M ；半径为R，可绕中

心水平轴O 转动。两圆柱体均系均质。试用哈密顿原理写出系统的运动微分方程。

解：系统有两个自由度。取空心圆柱体的转角和两柱心连线的转角为广义坐标。设小圆柱体的角速度为。系统的动能为

1 2 2 1 2 2 1 2 1

T MR2 2 m(R r)2 2mr 2 [R (R r) ]

2 2 4 r

系统的势能为

V mg(R r)cos 拉格朗日函数为

1 2 2 1 2 2 1 2

L MR 2 2 m(R r)2 2 m[R (R r) ]2 mg(R r)cos

2 2 4

根据哈密顿原理，

t

1

δS δ Ldt 0

t

{MR2δ m(R r)2δ 1m[R (R r) ][Rδ t0 2

(R r)δ ] mg(R r)sin δ}dt 0 整理后，

t1 1 2 3 2

M m R2δ m(R r )2δ

t0 2 2

代入前式中，得到1mR(R

2 又，

r)(δδ

)

mg(R r)sin δ dt 0

δ d dtδ

d

(δ) dtδ

δ

dt(

δ

)

δ

δ

d d t(

δ

)

δ

δd d t(δ)δ

图5-4

t

1

t 0

1

mR(R

r)

1

m R 2

2

1 mR(R

2 r) 3m(R r)

2

mg(R r)sin δ dt R 2

t 1 t

0 3m(R 2

r)2

t 1

t 0 1 12mR(R r) δ t 1 t 0 1 12 mR(R r) t

1

t 0 在瞬时 t 0，t 1，有 r = = 0，于是上式中的后四项为零， 数应为零，且 和 是彼此独立的，于是我们得到 1 m （R 2

由于 t 0，t 1是任意的，所以被积函 r)

1R 2 哈密顿原理可用来推导各种形式的弹性结构（杆及杆系、板、壳）的运动微分方程及求 动力响应的近似解。 例 5-6 试建立二端固定而绷紧的均质弦的微幅振动动力学方程。 解 ：这是一个无限多自由度系统。 将哈密顿原理应用于这个连续体系统， 主要的是写出 此连续体的动能和势能， 建立哈密顿作用量后求其极值即可得到系统的动力学方程。 设弦长 为 l ，力为 F ，单位长度的质量为 。弦在振动时有二个 方向的位移，这里只考虑横向位移，略去纵向位移。 对于任一瞬时， 分析弦的 dx 段，其质量为 dm= dx ， u ，动能 t 32

(R r) gsin 横向位移 u 是 x 和 t 的函数 u=u （x ，t ），速度为

图 5-5

dT 12

dx 弦的动能为 2 u dx t 为 dl 1 x u dx

l

1 T 0

2 就弹性弦来讲，势能为力的功； dx 段的弧长 dl 伸长量 dl － dx 为 dl dx 2

u

dx

x

dx

由于伸长量较小，展开根式并略去高阶微量， 1 2

题给出弦是绷紧的，振动为微幅，则力变化极小，可视力

得到 dl dx 2

u dx

x

为常量，这样， dx 段的功为

对于正路，哈密顿作用量 S 的变分为零，即 S = 0，则

2

1u

F dxdt 2x

第二项对 x 积分

2

u

2 δudx

x 2

代回原式有

由于 u 任意取值，有

上式是所寻求的弦的微振动微分方程。

例 2-5 已知单自由度谐振子的拉格朗日函数为

1 2 1 2 L x x

22 求满足以下端点条件 x(0) 0, x(1) 1

的近似解。

解 ：以此为我们所熟悉而简单的谐振子问题为例，

回避运动微分方程的建立，

顿原理直接求得系统运动的数值解，即变分问题的直接解法中的里兹法。

构造一个函数 x(t)作为系统运动的近似解：

x(t) t at(1 t 2 )

弦的势能为 δA

1 F

2 u

x

dx

l

2

V

1

F

u dx

02

x

2

2

t 2 l

1

u 1 u

Fl dxdt t 1 0 2

t

2 x

2

于是得到哈密顿作用量 S S

2

u

t 2

2

u

F

x 2

t 2

l

1

δ

t 1

2

t 2

t

1

首先作第一项对 t 的积分，

δu t 利用分部积分

公式

δu

x dxdt 0

t 2

t

1 u

δ u

dt t

δu

t

2

t 2

δu

t 1

t

1

2 t 2

2u dt

δu

2

u t 2

dt

t

1

δu x

dx

δu

2

u

2

δudx

x 2

t

2

t 1

2

u

t 2 2

u

x 2

δudxdt

应用哈密

a 为待定常数。函数 x(t)满足端点条件 x(0)=0 ， x(1)=1 。将近似解 x(t)代入哈密顿函数中，为

于是得到近似解为

我们知道，单自由度谐振子问题的精确解为

sint x

sin1 近似解与精确解有较好的接近度，将 t 在 0≤t ≤1

之间取值就可以得到这个结论。下面给出 近似解与精确解的比较数据及误差：

习题

5-1 如题 5-1 图所示，半径为 r 的均质圆球自半径为 R 的固定球顶端无初速、无滑动 地滚下，试求动

球的正则方程及球心下降的加速度。

5-2 如题 5-2 图所示，光滑细直杆绕铅直轴以匀角速度 转动，其与铅直轴的夹角 ＝常量，试用正则方

程求套在杆上的小环 M 相对于杆的运动微分方程。

5-3 如题 5-3 图所示，弹簧摆由刚度系数为 k 、自然长度为 r 0的弹簧及质量在 m 的小 球构成。试用

哈密顿原理建立小球的运动微分方程。弹簧的质量不计。

5-4 如题 5-4 图(a)与(b)所示，已知 A 为匀质圆盘，质量为 m A ，小车 B 质量为 m B ，弹 簧刚度系数

为 k ，圆盘在车上只能作纯滚动，而轨道摩擦力可以不计。

① 求两个系统的振动周期。

② 设开始运动时， 系统处于静止而弹簧有一伸长量 ，求此时两系统中小车 B 的加速度。

此作导数， x(t)

1 a(1 3t 2) ，

由此哈密顿作用量

S 的变分为

δS

t

2

t δLdt

t

1

δx δx t(1 (1 t 2 )δa 2 3t 2

)δa

x 2

dt

1

(x δx x δx)dt

1

1[1 a(1 3t 2

)](1 3t 2

)δadt

1 0

1[t

at(1 t 2 )]t(1 t 2 )δadt

2 76

a δa 15 105

由哈密顿原理， S=0，因此有

2 15

76

a 105 7 a 38

x t 7 t(1

38

t)

③ 求当弹簧回到原长时两系统中小车的速度。

5-5 如题 5-5 图所示，一半径为 R 的空心薄壁圆柱可以绕通过其中心的水平轴转动。 试研究一半径为 r 的圆球在圆柱的运动。设空心圆柱的质量为

m 0，对其转动轴的转动惯量

为 m 0R 2 ；圆球的质量为 m ，对于其直径的转动惯量为 2mr 2 ；圆球在圆柱作纯滚动。

5

① 以圆柱的转角 以及圆球中心 O 和圆柱中心 O 的连线与铅垂线的交角 为广义坐标， 写出系统的拉格朗日函数和运动微分方程，并求出其初积分。

② 计算圆球在其平衡位置附近所作微幅振动的周期。

③ 开始时， OO 在水平位置而系统处于静止，求运动开始时圆球中心 O 的加速度。 ④系统从上述起始条件开始运动，求当 OO 经过铅垂位置时，空心圆柱转动的角速度。

题 5-5 图 题 5-6 图

5-6 一质量为 m 0的大圆环放在一粗糙的水平面上，在大圆环有一质量为

m 的小圆环，

如题 5-6 图所示。设大、小圆环间的摩擦力可以不计。开始时，两个圆环中心的连线位于水 平位置而系统处

于静止。求当小环经过最低位置时，大环中心的速度。

题 5-3 图

题 5-1 图 题 5-2 图