三峡大学数学建模第一题-电力生产问题

电力生产问题

为满足每日电力需求（单位为兆瓦（MW）），可以选用四种不同类型的发电机。每日电力需求如下表1。

表1：每日用电需求（兆瓦）

时段

（0-24）

0-6 6-9 9-12 12-14 14-18 18-22 22-24 需求12000 32000 25000 36000 25000 30000 18000

每种发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出功率不应低于某一最小输出功率。所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。这些数据均列于表2中。

表2：发电机情况

可用数量最小输出

功率（MW）最大输出

功率（MW）

固定成本

（元/小

时）

每兆瓦边际

成本（元/

小时）

启动

成本

型号1 10 750 1750 2250 2.7 5000

型号2 4 1000 1500 1800 2.2 1600

型号3 8 1200 2000 3750 1.8 2400

型号4 3 1800 3500 4800 3.8 1200 只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。

问题（1）在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总成本为多少？

问题（2）如果在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。那么每个时段又应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，此时最小总成本又为多少？

电力生产问题的数学模型

摘要

本文解决的是电力生产问题，在发电机的发电量能满足每日的电力需求的条件下，为了使每日的总成本达到最低，我们建立了一个最优化模型。

对于问题一：由已知条件可知有固定成本、边际成本、启用成本，据此，我们确定了三个指标：即固定总成本、边际总成本、启动总成本。总成本即为这三项总成本之和。每天分为七个时段，发电机共有四种型号，方案结果应该包括每个时段每种型号平均功率及该时段该型号发电机的数量，一共有56个未知数，为减少未知数，并将非线性约束条件转化为线性约束条件，将整数规划转化为非整数规划，我们以每个时段每种型号的几个发电机发出的总功率为变量，并列出相应的约束条件，然后通过LINGO求出个时段各种型号发电机的总功率，再采用分支定界法求出最小总成本为146.9210万元。再根据总功率利用Matlab软件计算出总功率所对应的该型号发电机的数量（见表一）。

对于问题二：题目要求在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。其他条件与问题一相同，因此，只需增加一个约束条件，即发电机机组所能发出的最大总功率乘以80%后大于用电需求。为锻炼编程技术，故在第二问改用Matlab软件编程来求解，

并运行求解，得到的发电机数量有的不为整数，然后采用分支定界法，得到调整后的结果，最小总成本为157.5426万元。

关键词：线性规划、总功率、使用数量、总成本

1.问题重述

1.1问题背景

为满足每日电力需求（单位为兆瓦（MW）），可以选用四种不同类型的发电机。每日电力需求如下表1。

表1：每日用电需求（兆瓦）

时段

（0-24）

0-6 6-9 9-12 12-14 14-18 18-22 22-24 需求12000 32000 25000 36000 25000 30000 18000

表2：发电机情况

可用数量最小输出

功率（MW）最大输出

功率（MW）

固定成本

（元/小

时）

每兆瓦边际

成本（元/

小时）

启动

成本

型号1 10 750 1750 2250 2.7 5000

型号2 4 1000 1500 1800 2.2 1600

型号3 8 1200 2000 3750 1.8 2400

型号4 3 1800 3500 4800 3.8 1200 只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。

1.2需要解决的问题

问题（1）在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总成本为多少？

2.模型假设

假设1：调整发电机功率没有成本

假设2：发电机生产的电量在传输过程中没有损耗

假设3：忽略发电机启动的时间

假设4：发电机的功率在时段初调整好后在那个时段内保持不变

3.符号说明

符号符号说明

型号j发电机在第i个时间段的总功率

型号j发电机的总数量

单个型号j发电机的最小功率

第i个时间段的时间

型号j发电机每小时的固定成本

型号j发电机每兆瓦边际成本

型号j发电机的启用成本

第i个时间段的用电需求量

型号j发电机在第i个时间段的使用数量，式中[]代表向下取整

型号j发电机在第（i-1）个时间段的使用数量，式中[]代表向下取整

第i时段型号为j的发电机的平均输出功率

第i时段型号为j的发电机的数量

4.问题分析

此题研究的是电力生产中在满足每日电力需求的条件下，使每日的总成本达到最小的数学建模问题。

针对问题一：从以下三方面来分析

（1）对已知条件的分析：从已知的条件来看，本题将一天分为了七个时间段，在每一个时间段都有对应的电力需求量。为了满足每日的电力需求，有四种型号的发电机可供使用，每种型号的发电机都已知其可用数量、最小输出功率、最大输出功率、固定成本、每兆瓦边际成本、启用成本。要使总成本达到最小，则问题的目标函数就是总成本函数。

（2）对目标函数的分析：总成本由三个指标组成，即固定总成本、边际总成本、启动总成本。分别对每个指标进行分析。固定总成本为第i个时间段的时间、型号j发电机在第i个时间段的数量、型号j发电机每小时的固定成本这三者之积的累积和。边际总成本为第i个时间段的时间、型号j发电机在第i个时间段超出此时间段最小总功率的功率、型号j发电机每兆瓦边际成本这三者之积的累积和。启动总成本为型号j发电机启动数量和型号j发电机的启动成本之积的累积和。

（3）对约束条件的分析：对机型j发电机在第i个时间段总功率的约束有两个。一是若机型j 发电机在第i个时间段不使用，则机型j发电机在第i个时间段的总功率为零；若机型

j发电机在第i个时间段使用，则机型j发电机在第i个时间段的总功率要满足大于等于单个机型j发电机的最小输出功率且小于等于全部机型j发电机最大输出功率之和；二是四种机型的发电机在第i个时间段生产的总功率要满足大于等于第i个时间段的用电量需求。

针对问题二：题目要求在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升，即发电机组在第i 个时间段所能发出的最大总功率的80%要大于等于该时段的用电需求。

5.问题一的解答

针对问题一我们建立了模型一 6.1模型一的建立

该模型是为了解决电力生产中，在满足每日电力需求的条件下，用四类不同型号的发电机在一天的七个时段进行电力生产，使总成本达到最小的问题。总成本由以下三项指标组成：

指标一：固定总成本

j j

i j i

G Q

C S ][714

?∑∑==

指标二：边际总成本

j j j

ij ij

i j i

B P Q

C C

S ?-?∑∑==)][

(714

指标三：启用总成本j j

j i j

ij i j j

i j

ij V Q C Q C Q C Q C sign ?-?+--==-∑∑

])[

]([2

])[]([

@)1(7

)1(

为了使总成本达到最小，我们建立了如下的目标函数：

（1）若机型j 发电机在第i 个时间段不使用，则机型j 发电机在第i 个时间段的总功率为零；若机型j 发电机在第i 个时间段使用，则机型j 发电机在第i 个时间段的总功率要满足大于等于单个机型j 发电机的最小输出功率且小于等于全部机型j 发电机最大输出功率之和。据此，我们建立了如下约束条件：

其中i =1,2，···，7j =1,2,3,4

（2）四种机型的发电机在第i 个时间段生产的总功率要满足大于等于第i 个时间段的用电量需求。据此，我们建立如下约束条件：其中i =1,2，···，7j =1,2,3,4 6.2模型一的求解

我们用Lingo 软件求解这个模型，对于 0 =≤≤ij j j ij j C Q N C P 或这个约束条件，Lingo 软件不能直接处理，因此，我们先用分支定界法将此条件改为j j ij

Q N ≤≤C 0，然后用Lingo 软件求

解，分析计算结果发现有的时段的某型号发电机输出功率小于该型号发电机的最小功率，故对ij

C 进行调整，调整后得到满足约束条件的最低总成本为146.9210万元。根据Lingo 软件计算得到的第i 时段型号为j 的几个发电机发出的总功率，然后用Matlab 软件以总功率除以该型号单个发电机的最大输出功率，然后向正无穷方向取整，得到第i 时段型号为j 的发电机的数量。各个时段各种型号几个发电机发出的总功率及对应的发电机数量如下表一所示：表一

时段型号

型号1

型号2

型号3

型号4

数数

0-6 0 0 6000 4 6000 3 0 0

6-9

1816.9

50 2 6000 4 16000 8

8183.0

9-12

3047.9

08 2 6000 4

15952.

8 0 0

12-14

3500.0

3 6000

4 16000 8 10500 3 14-18 3000 2 6000 4 16000 8 0 0

18-22

857.16

87 1 6000 4 16000 8

7142.8

22-24 0 0

5285.4

70 4

12714.

7 0 0

6.问题二的解答

根据问题一的模型，我们已经求出了在满足每日电力需求的条件下，用四类不同型号的发电机在一天的七个时段进行电力生产，使总成本达到最小，而问题二要求在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。故在第一问的目标函数和约束条件保持不变的情况下，应再增加一个约束条件，即第i个时段发电机组所能输出地最大功率的80%应大于第i个时段的用电需求。列出目标函数和约束条件如下：

将目标函数和约束条件用矩阵的形式表示出来，然后用Matlab软件求解，求解结果中有的j

N 不为整数，故用分支定界法进行调整，调整后得到满足约束条件的最小总成本为每天157.5426万元。各个时段各种型号的发电机发出的平均功率和对应的数量见下表：

表二

时段型号

型号1 型号2 型号3 型号4 平均功

率

数

量

平均功

率

数

量

平均功

率

数

量

平均功

率

数

量

6-9 920 5 1500 4 2000 8 1800 3

9-12 750 6 1125 4 2000 8 0 0

12-14 1075 8 1500 4 2000 8 1800 3

14-18 750 6 1125 4 2000 8 0 0

18-22 750 4 1400 4 2000 8 1800 3

22-24 750 3 1000 4 3189.9 6 0 0

7.模型的评价、改进及推广

8.1模型评价

优点：（1）根据题目的要求我们确立了三个指标，即固定总成本、边际总

成本、启用总成本，以上三项总成本之和即为总成本，通过对

三项总成本的逐项分析，建立了最优的目标函数。

（2）对于约束条件的建立，我们综合考虑了各种情况，使约束条件

达到了具体化全面化。

（3）以每个时段每种型号的几个发电机发出的总功率为变量，将56

个未知数缩减为28个，将约束条件中的非线性约束转化为线性

约束，将整数规划转化为非整数规划，并提高了运行速度，

缺点：我们用总功率来表示数量，通过总功率来求数量，而此数量的结果不能在LINGO中直接表示出来，需要另外通过其他软件来得出结果，使建模工作复杂化

8.2模型改进

（1）所建模型是在发电机无故障的条件下建立的，如果考虑发电机随使用

时间的增加，在不同的时间段（譬如以月为时间段单位）需要不同的

检修费用，再把检修费用平分到每一天，将此检修费用也算作总成本

的一部分。增加约束条件，使模型更精准优化。

（3）所建模型假设了发电机的功率在时段初调整好后在那个时段内保持不

变，如果在每个时段，发电机的功率在满足约束条的情况下为可变的，

则可以根据实际情况做不同调整，使模型更实际化。

8.3模型推广

我们建的模型不仅适用于电力生产，也适用于其它方面的生产，也可用于产销平衡问题，选址问题，值班问题等等。

8.参考文献

[1]赵静，但琦，数学建模与数学实验，高等教育出版社，2008.

[2]楼顺天，姚若玉，沈俊霞，MATLAB7.x程序设计语言，西安电子科技大学出

版社，2008.

附录一：问题一中发电机组各时段的功率和开启的数量

时段

型号

型号1 型号2 型号3 型号4

总功率数

量

总功率

数

量

总功率数量总功率数量

0-6 0 0 6000 4 6000 3 0 0

6-9

1816.9

50 2 6000 4 16000 8

8183.0

9-12

3047.9

08 2 6000 4

15952.

8 0 0

12-14

3500.0

3 6000

4 16000 8 10500 3 14-18 3000 2 6000 4 16000 8 0 0

18-22

857.16

87 1 6000 4 16000 8

7142.8

22-24 0 0

5285.4

70 4

12714.

7 0 0

附录二：问题二中发电机组各时段的功率和开启的数量

表二

时段

型号

型号1 型号2 型号3 型号4

总功率

数

量总功率

数

量

总功率

数

量

总功率

数

量

0-6 800 1 4800 4 6400 4 0 0 6-9 10400 8 4800 4 11200 7 5600 2

9-12 9000 7 4800 4 11200 7 0 0

12-14 11200 8 4800 4 12800 8 7200 3

14-18 9000 7 4800 4 11200 7 0 0

18-22 8400 6 4800 4 11200 7 5600 2

22-24 0 0 4800 4 9600 6 3600 2

附录三：模型一调整前所用程序

sets:

!电力生产问题;

shiduan/1..7/:s,x;

xinghao/1..4/:n,p,q,g,b,v;

link(shiduan,xinghao):c;

endsets

data:

!各个时段的小时数;

s=6,3,3,2,4,4,2;

!各个时段的用电需求;

x=12000,32000,25000,36000,25000,30000,18000;

!可用数量;

n=10,4,8,3;

!最小输出功率;

p=750,1000,1200,1800;

!最大输出功率;

q=1750,1500,2000,3500;

!固定成本;

g=2500,1800,3750,4800;

!边际成本;

b=2.7,2.2,1.8,3.8;

!启动成本;

v=5000,1600,2400,1200;

enddata

!目标函数

@floor（c(i,j)/q(j)+0.999999)为第i时段型号为j的发电机的数量

@if函数用来判断：当i=1时，i-1=7;

min=@sum(link(i,j):s(i)*(@floor(c(i,j)/q(j)+0.999999)*g(j)+(c(i,j)-(@floor(c(i,j)/q(j)+0.999999))* p(j))*b(j))

+(@sign((@floor(c(i,j)/q(j)+0.999999))-(@floor((@if(i#ge#2,c(i-1,j),0))/q(j)+0.999999))+1))/2* (@if(i#ge#2,@floor(c(i,j)/q(j)+0.999999)-(@floor(c(i-1,j)/q(j)+0.999999)),@floor(c(1,j)/q(j)+0.9999

!第i时段的总发电量大于该时段的用电需求;

@for(shiduan(i):@sum(xinghao(j):c(i,j))>=x(i));

!型号为j的发电机发出的总功率小于或等于该型号几个发电机所能发出的最大功率; @for(link(i,j):c(i,j)<=n(j)*q(j));

!型号为j的发电机发出的总功率大于或等于0;

@for(link(i,j):c(i,j)>=0);

End

程序运行结果

Feasiblesolutionfound.

Objectivevalue:1463554.

Infeasibilities:0.2394529E-11

Totalsolveriterations:377

VariableValueReducedCost

S(1)6.0000000.000000

S(2)3.0000000.000000

S(3)3.0000000.000000

S(4)2.0000000.000000

S(5)4.0000000.000000

S(6)4.0000000.000000

S(7)2.0000000.000000

X(1)12000.000.000000

X(2)32000.000.000000

X(3)25000.000.000000

X(4)36000.000.000000

X(5)25000.000.000000

X(6)30000.000.000000

X(7)18000.000.000000

N(1)10.000000.000000

N(2)4.0000000.000000

N(3)8.0000000.000000

N(4)3.0000000.000000

P(1)750.00000.000000

P(2)1000.0000.000000

P(3)1200.0000.000000

P(4)1800.0000.000000

Q(1)1750.0000.000000

Q(2)1500.0000.000000

Q(3)2000.0000.000000

Q(4)3500.0000.000000

G(1)2500.0000.000000

G(2)1800.0000.000000

G(3)3750.0000.000000

G(4)4800.0000.000000

B(4)3.8000000.000000

V(1)5000.0000.000000

V(2)1600.0000.000000

V(3)2400.0000.000000

V(4)1200.0000.000000

C(1,1)0.0000000.000000

C(1,2)6000.0000.000000

C(1,3)6000.0000.000000

C(1,4)0.0000000.000000

C(2,1)1743.539-1.937143

C(2,2)6000.0000.000000

C(2,3)14769.190.000000

C(2,4)9487.2720.000000

C(3,1)2957.0260.000000

C(3,2)6000.0000.000000

C(3,3)16000.000.000000

C(3,4)42.97358-0.2914286

C(4,1)4645.5110.000000

C(4,2)6000.0000.000000

C(4,3)16000.000.000000

C(4,4)9354.4890.000000

C(5,1)2892.3220.000000

C(5,2)6000.0000.000000

C(5,3)15986.150.000000

C(5,4)121.52832.982857

C(6,1)2294.0311.017143

C(6,2)6000.0000.000000

C(6,3)16000.000.000000

C(6,4)5705.9690.000000

C(7,1)9.4007851.124286

C(7,2)5997.4050.000000

C(7,3)11993.190.000000

C(7,4)0.0000000.000000 RowSlackorSurplusDualPrice 11463554.-1.000000

20.000000-14.37000

30.000000-10.85143

40.000000-8.914286

50.000000-10.22857

60.000000-9.028571

70.000000-13.72571

80.000000-3.390000 917500.000.000000

100.0000000.6366667 1110000.000.000000 1210500.000.000000

161012.7280.000000 1714542.970.000000 180.0000003.114286 190.0000001.129286 2010457.030.000000 2112854.490.000000 220.0000006.361905 230.0000005.038571 241145.5112.765714 2514607.680.000000 260.0000001.295238 2713.84997-1.351429 2810378.470.000000 2915205.970.000000 300.0000005.992381 310.0000000.9457143 324794.0310.000000 3317490.600.000000 342.594708-1.010000 354006.8060.000000 3610500.000.000000 370.000000-2.030000 386000.0000.000000 396000.0000.000000 400.000000-4.418571 411743.5390.000000 426000.0000.000000 4314769.190.000000 449487.2720.000000 452957.0260.000000 466000.0000.000000 4716000.000.000000 4842.973580.000000 494645.5110.000000 506000.0000.000000 5116000.000.000000 529354.4890.000000 532892.3220.000000 546000.0000.000000 5515986.150.000000 56121.52830.000000 572294.0310.000000 586000.0000.000000 5916000.000.000000 605705.9690.000000 619.4007850.000000

附录四：模型一调整后所用程序

sets:

!电力生产问题;

shiduan/1..7/:s,x;

xinghao/1..4/:n,p,q,g,b,v;

link(shiduan,xinghao):c;

endsets

data:

!各个时段的小时数;

s=6,3,3,2,4,4,2;

!各个时段的用电需求;

x=12000,32000,25000,36000,25000,30000,18000;

!可用数量;

n=10,4,8,3;

!最小输出功率;

p=750,1000,1200,1800;

!最大输出功率（留有20%余量）;

q=1400,1200,1600,2800;

!固定成本;

g=2500,1800,3750,4800;

!边际成本;

b=2.7,2.2,1.8,3.8;

!启动成本;

v=5000,1600,2400,1200;

enddata

!目标函数

@floor（c(i,j)/q(j)+0.999999)为第i时段型号为j的发电机的数量

@if函数用来判断：当i=1时，i-1=7;

min=@sum(link(i,j):s(i)*(@floor(c(i,j)/q(j)+0.999999)*g(j)+(c(i,j)-(@floor(c(i,j)/q(j)+0.999999))* p(j))*b(j))

+(@sign((@floor(c(i,j)/q(j)+0.999999))-(@floor((@if(i#ge#2,c(i-1,j),0))/q(j)+0.999999))+1))/2* (@if(i#ge#2,@floor(c(i,j)/q(j)+0.999999)-(@floor(c(i-1,j)/q(j)+0.999999)),@floor(c(1,j)/q(j)+0.9999 99)))*v(j));

!第i时段的总发电量大于该时段的用电需求;

@for(shiduan(i):@sum(xinghao(j):c(i,j))>=x(i));

!型号为j的发电机发出的总功率小于或等于该型号几个发电机所能发出的最大功率;

@for(link(i,j):c(i,j)<=n(j)*q(j));

!型号为j的发电机发出的总功率大于或等于0;

@for(link(i,j):c(i,j)>=0);

c(3,4)=0;

c(5,4)=0;

End

Localoptimalsolutionfound. Objectivevalue:1575426. Objectivebound:1541773. Infeasibilities:0.1818989E-11 Extendedsolversteps:4 Totalsolveriterations:685024 VariableValueReducedCost

S(1)6.0000000.000000

S(2)3.0000000.000000

S(3)3.0000000.000000

S(4)2.0000000.000000

S(5)4.0000000.000000

S(6)4.0000000.000000

S(7)2.0000000.000000

X(1)12000.000.000000

X(2)32000.000.000000

X(3)25000.000.000000

X(4)36000.000.000000

X(5)25000.000.000000

X(6)30000.000.000000

X(7)18000.000.000000

N(1)10.000000.000000

N(2)4.0000000.000000

N(4)3.0000000.000000

P(1)750.00000.000000

P(2)1000.0000.000000

P(3)1200.0000.000000

P(4)1800.0000.000000

Q(1)1400.0000.000000

Q(2)1200.0000.000000

Q(3)1600.0000.000000

Q(4)2800.0000.000000

G(1)2500.0000.000000

G(2)1800.0000.000000

G(3)3750.0000.000000

G(4)4800.0000.000000

B(1)2.7000000.000000

B(2)2.2000000.000000

B(3)1.8000000.000000

B(4)3.8000000.000000

V(1)5000.0000.000000

V(2)1600.0000.000000

V(3)2400.0000.000000

V(4)1200.0000.000000

C(1,1)800.0224-9.991071 C(1,2)4799.989-3.645833

C(1,4)0.2800000E-020.7017857 C(2,1)10400.020.000000

C(2,2)4799.989-19.58929

C(2,3)11199.99-14.55804

C(2,4)5600.003-14.47500

C(3,1)9000.025-3.870536

C(3,2)4799.989-2.031250

C(3,3)11199.990.000000

C(3,4)0.0000000.000000

C(4,1)11199.990.000000

C(4,2)4799.989-7.702381

C(4,3)12799.99-3.598214

C(4,4)7200.038-3.578571

C(5,1)9000.0250.000000

C(5,2)4799.989-4.690476

C(5,3)11199.99-2.482143

C(5,4)0.0000000.000000

C(6,1)8399.98710.19643

C(6,2)4799.989-5.208333

C(6,3)11199.990.000000

C(6,4)5600.0380.6821429

C(7,1)0.0000000.000000

C(7,2)4799.989-0.4375000

C(7,4)3600.0251.091071 RowSlackorSurplusDualPrice 11575426.-1.000000

20.000000-17.51250

30.000000-25.18929

40.000000-7.631250

50.000000-11.43571

60.000000-12.15714

70.000000-12.67500

80.000000-4.837500 913199.980.000000

100.1080000E-010.000000 116400.0140.000000 128399.9970.000000 133599.9780.000000

140.1080000E-010.000000 151600.0140.000000 162799.9970.000000 174999.9750.000000

180.1080000E-010.000000 191600.0140.000000 208400.0000.000000 212800.0130.000000

230.1440000E-010.000000 241199.9620.000000 254999.9750.000000 260.1080000E-010.000000 271600.0140.000000 288400.0000.000000 295600.0130.000000 300.1080000E-010.000000 311600.0140.000000 322799.9620.000000 3314000.000.000000 340.1080000E-010.000000 353200.0140.000000 364799.9750.000000 37800.02240.000000 384799.9890.000000 396399.9860.000000 400.2800000E-020.000000 4110400.020.000000 424799.9890.000000 4311199.990.000000 445600.0030.000000 459000.0250.000000

4711199.990.000000

480.0000000.000000

4911199.990.000000

504799.9890.000000

5112799.990.000000

527200.0380.000000

539000.0250.000000

544799.9890.000000

5511199.990.000000

560.0000000.000000

578399.9870.000000

584799.9890.000000

5911199.990.000000

605600.0380.000000

610.0000000.000000

624799.9890.000000

639599.9860.000000

643600.0250.000000

650.000000-3.768750

660.000000-3.042858

670.000000-0.5624996

687649.9870.000000

附录五：问题一中用Matlab软件求第i个时间段型号j发电机的数量的程序c=[0600060000

3047.908600015952.090

3500.00260001600010500

30006000160000

857.16876000160007142.831

05285.47012714.830];%c(i,j)为第i时段型号为j的几个发电机发出的总功率

q=[1750150020003500];

qq=repmat(q,7,1);%qq（i，j）为型号为j的单个发电机所能发出的最大功率

n=[10483];

nn=repmat(n,7,1);%nn（i，j）为型号为j的发电机的可用数量

N=ceil(c./qq)%N（i，j）为第i时段型号为j的发电机的数量

N<=nn%N（i，j）应小于nn（i，j），故运算结果应该为所有元素均为1的7行4列的矩阵，此运算用于检验

程序运行结果

0430

2483

2480

3483

2480

1483

0470

ans=

1111

附录六：问题二中用Matlab软件求第i个时间段型号j发电机的数量的程序

c=[800480064000

104004800112005600

90004800112000

112004800128007200

90004800112000

84004800112005600

0480096003600];%c(i,j)为第i时段型号为j的几个发电机发出的总功率

q=[1400120016002800];

qq=repmat(q,7,1);%qq（i，j）为型号为j的单个发电机所能发出的最大功率

n=[10483];

nn=repmat(n,7,1);%nn（i，j）为型号为j的发电机的可用数量

N=ceil(c./qq)%N（i，j）为第i时段型号为j的发电机的数量

N<=nn%N（i，j）应小于nn（i，j），故运算结果应该为所有元素均为1的7行4列的矩阵，此运算用于检验

1440

8472

7470

8483

数学建模竞赛简介

数学建模竞赛简介数学建模就是建立、求解数学模型的过程和方法，首先要通过分析主要矛盾，对各种实际问题进行抽象简化，并按照有关规律建立起变量，参数间的明确关系，即明确的数学模型，然后求出该数学问题的解，并通过一定的手段来验证解的正确性。数学建模竞赛于1985年起源于美国，起初竞赛题目通常由工业部门、军事部门提出，然后由数学工作者简化或修正。1989年我国大学生开始参加美国大学生数学建模竞赛，1990年我国开始创办我国自己的大学生数学建模竞赛。1993年国家教委（现教育部）高教司正式发文，要求在全国普通高等学校中开展数学建模竞赛。从1994年开始，大学生数学建模竞赛成为教育部高教司和中国工业的应用数学学会共同主办，每年一届的，面向全国高等院校全体大学生的一项课外科技竞赛活动。2010年全国共有30省(市、自治区)九百多所院校一万多个队三万多名大学生参赛，成为目前全国高等学校中规模最大的课外科技活动。数学建模竞赛是教育主管部门主办的大学生三大竞赛之一。现在的竞赛题目来源于更广泛的领域，都是各行各业的实际问题经过适当简化，提炼出来的极富挑战性的问题，每次两道题，学生任选一题，可以使用计算机、软件包，可以参阅任何资料(含上网参阅任何资料)。竞赛以三人组成的队为单位，三人之间通力合作，在三天三夜内完成一篇论文。不给论文评分，而是按论文的水平为四档：全国一等奖、全国二等奖、赛区一等奖，赛区二等奖，成功参赛奖。我校于2001年开始参加这项竞赛活动。多次获全国一等奖、二等奖、湖北赛区一等奖、二等奖。数学建模竞赛活动培养了学生的创造力、应变能力、团队精神和拼搏精神，适应了21世纪经济发展和人才培养的挑战。不少参加过全国大学生数学建模竞赛的同学都深有感触，他们说：“参加这次活动是我们大学四年中最值得庆幸的一件事，我们真正体会这几年内学到了什么，自己能干什么。”“那不寻常的三天在我们记忆中留下了永恒的一瞬，真是一次参赛，终身受益。”团队精神贯穿在数学建模竞赛的全过程，它往往是成败的关键。有些参赛队员说：“竞赛使我们三个人认识到协作的重要性，也学会了如何协作，在建模的三天中，我们真正做到了心往一处想，劲往一处使，每个人心中想的就是如何充分发挥自己的才华，在短暂的时间内做出一份尽量完善的答卷。三天中计算机没停过，我们轮流睡觉、轮流工作、轮流吃饭，可以说是抓住了每一滴可以抓住的时间。”“在这不眠的三天中，我们真正明白了团结就是力量这个人生真谛，而这些收获，将会伴随我们一生，对我们今后的学习，工作产生巨大的影响。”

三峡大学数学建模第一题电力生产问题

电力生产问题为满足每日电力需求（单位为兆瓦（MW）），可以选用四种不同类型的发电机。每日电力需求如下表1。所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。这些数据均列于表2中。（只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。问题（1）在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总成本为多少？问题（2）如果在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。那么每个时段又应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，此时最小总成本又为多少？电力生产问题的数学模型摘要本文解决的是电力生产问题，在发电机的发电量能满足每日的电力需求的条件下，为了使每日的总成本达到最低，我们建立了一个最优化模型。对于问题一：由已知条件可知有固定成本、边际成本、启用成本，据此，我们确定了三个指标：即固定总成本、边际总成本、启动总成本。总成本即为这三项总成本之和。每天分为七个时段，发电机共有四种型号，方案结果应该包括每个时段每种型号平均功率及该时段该型号发电机的数量，一共有56个未知数，为减少未知数，并将非线性约束条件转化为线性约束条件，将整数规划转化为非整数规划，我们以每个时段每种型号的几个发电机发出的总功率为变量，并列出相应的约束条件，然后通过LINGO求出个时段各种型号发电机的总功率，再采用分支定界法求出最小总成本为

146.9210万元。再根据总功率利用Matlab软件计算出总功率所对应的该型号发电机的数量（见表一）。对于问题二：题目要求在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。其他条件与问题一相同，因此，只需增加一个约束条件，即发电机机组所能发出的最大总功率乘以80%后大于用电需求。为锻炼编程技术，故在第二问改用Matlab软件编程来求解，将所要求的7个时段4种型号的发电机的平均功率一共28个未知数用X1，X2,，，，X28表示，将其对应的发电机数量用X29，X30，，，X56表示，并利用矩阵列出约束条件和目标函数，然后编程并运行求解，得到的发电机数量有的不为整数，然后采用分支定界法，得到调整后的结果，最小总成本为157.5426万元。 ! 关键词：线性规划、总功率、使用数量、总成本 1.问题重述 1.1问题背景为满足每日电力需求（单位为兆瓦（MW）），可以选用四种不同类型的发电机。每日电力需求如下表1。所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。这些数据均列于表2中。任何代价。 1.2需要解决的问题问题（1）在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总成本为多少？问题（2）如果在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。那么每个时段又应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，此时最小总成本又为多少？ 2.模型假设假设1：调整发电机功率没有成本 :

数学建模--杨桂元--第一章习题答案

第一章 1-1习题 1.设用原料A 生产甲、乙、丙的数量分别为131211,,x x x ，用原料B 生产甲、乙、丙的数量分别为232221,,x x x ，原料C 生产甲、乙、丙的数量分别为333231,,x x x ，则可以建立线性规划问题的数学模型： ?? ??? ??? ?? ?????=≥≤+--≤+--≥--≤+--≥--≤++≤++≤++++++++-+=) 3,2,1,(,00 5.05.05.004.0 6.06.00 15.015.085.008.02.02.006.06.04.012002500 2000..8.38.56.78.18.36.52.08.16.3max 33231332221232 22123121113121113332312322 21131211333231232221131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x S ij LINDO 求解程序见程序XT1-1-1。求解结果： 1200 ,22.1482,33.473,0,78.1017,66.1526322212312111======x x x x x x 0,0,0332313===x x x ，24640max =S （元）。 2.设用设备,,,,,32121B B B A A 加工产品Ⅰ的数量分别为54321,,,,x x x x x ,设备121,,B A A 加工产品Ⅱ的数量分别为876,,x x x ,设备22,B A 加工产品Ⅲ的数量分别为109,x x ,则目标函数为: 976321)5.08.2())(35.02())(25.025.1(max x x x x x x S -++-+++-= 4000 7200700011478340008625010000129731260001053005 1048397261x x x x x x x x x x ?-+?-+?-++?-+? -整理后得到: ??? ??? ?=≥=-=-+=--++≤≤+≤+≤++≤+-+-++---+=)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1(,00;0;0;40007;7000114;400086; 100001297;6000105..2304.19256.15.03692.115.135.04474.0375.07816.075.0max 10987654321510483972611098765 4321j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x x S j 整数 LINDO 求解的程序见程序XT1-1-2。求解结果: 324,500,0,571,859,0,230,120010987654321==========x x x x x x x x x x 446.1155max =S 3.设自己生产甲、乙、丙的数量分别为312111,,x x x ,外协加工甲、乙、丙第数量分别为322212,,x x x （外协加工的铸造、机加工和装配的工时均不超过5000小时）,则

数学建模生产计划有关问题解析

201数学建模生产计划摘要本文主要研究足球生产计划的规划问题。对于问题一足球总成本包括生产成本与储存成本，又由于足球各月的生产成本、储存成本率及需求量已知，故各月足球的生产量对总成本起决定因素。在此建立总成本与足球生产量之间的关系，运用Matlab求出了总成本的最优解。对于问题二储存成本率的大小影响了储存成本的高低，要使总成本最低，在储存成本率变化的情况下必须不断调整足球各月生产量，我们在Matlab中运用散点法，取了501个点，进而对图形进行线性拟合，得出储存成本率减小时各月足球生产量的变化情况。对于问题三考虑到储存容量不能用储存成本率直接由函数表达，因此在Matlab 采用散点法结合表格分析法对501个点进行分析可得到储存成本率为0.39%时，储存容量达到最大。关键词：最优解散点法线性拟合表格分析法问题的重述皮革公司在6个月的规划中根据市场调查预计足球需求量分别是10,000、15,000、30,000、35,000、25,000和10,000，在满足需求量的情况下使总成本最低，其包括生产成本及库存成本。根据预测，今后六个月的足球的生产单位成本分别是$12.50、$12.55、$12.70、$12.80、$12.85和$12.95，而每一个足球在每个月中的持有成本是该月生产成本的5%。目前公司的存货是5,000，每个月足球最大产量为30,000，而公司在扣掉需求后，月底的库存量最多只能储存10,000个足球。问题一、建立数学模型，并求出按时满足需求量的条件下，使生产总成本和储存成本最小化的生产计划。问题二、如若储存成本率降低，生产计划会怎样变化？问题三、储存成本率是多少时？储存容量达到极限。问题的分析问题一要求在足球的需求量一定的情况下，使生产总成本和储存成本最小。又足球的生产成本和储存成本率已知，故只需要建立生产总成本和储存成本与各月足球的生产量之间的优化模型，运用Matlab即可求出足球生产总成本和储存成本的最优化组合。

数学建模实验报告第十一章最短路问答

实验名称：第十一章最短路问题一、实验内容与要求掌握Dijkstra算法和Floyd算法，并运用这两种算法求一些最短路径的问题。二、实验软件 MATLAB7.0 三、实验内容 1、在一个城市交通系统中取出一段如图所示，其入口为顶点v1，出口为顶点v8，每条弧段旁的数字表示通过该路段所需时间，每次转弯需要附加时间为3，求v1到v8的最短时间路径。 V1 1 V2 3 V3 1 V5 6 V6 V4 2 V7 4 V8

程序： function y=bijiaodaxiao(f1,f2,f3,f4) v12=1;v23=3;v24=2;v35=1;v47=2;v57=2;v56=6;v68=3;v78=4; turn=3; f1=v12+v23+v35+v56+turn+v68; f2=v12+v23+v35+turn+v57+turn+v78; f3=v12+turn+v24+turn+v47+v78; f4=v12+turn+v24+v47+turn+v57+turn+v56+turn+v68; min=f1; if f2

f4 实验结果： v1到v8的最短时间路径为15，路径为1-2-4-7-8. 2、求如图所示中每一结点到其他结点的最短路。V110 V3V59 V6

floy.m中的程序： function[D,R]=floyd(a) n=size(a,1); D=a for i=1:n for j=1:n R(i,j)=j; end end R for k=1:n for i=1:n for j=1:n if D(i,k)+D(k,j)

数学建模与数学实验习题

数学建模与数学实验课程总结与练习内容总结第一章 1.简述数学建模的一般步骤。 2.简述数学建模的分类方法。 3.简述数学模型与建模过程的特点。第二章 4.抢渡长江模型的前3问。 5.补充的输油管道优化设计。 6.非线性方程（组）求近似根方法。第三章 7.层次结构模型的构造。 8.成对比较矩阵的一致性分析。第五章 9.曲线拟合法与最小二乘法。 10 分段插值法。第六章 11 指数模型及LOGISTIC模型的求解与性质。 12.VOLTERRA模型在相平面上求解及周期平均值。 13 差分方程（组）的平衡点及稳定性。 14 一阶差分方程求解。 15 养老保险模型。

16 金融公司支付基金的流动。 17 LESLLIE 模型。 18 泛函极值的欧拉方法。 19 最短路问题的邻接矩阵。 20 最优化问题的一般数学描述。 21 马尔科夫过程的平衡点。 22 零件的预防性更换。练习集锦 1. 在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是成对比较矩阵 31/52a b P c d e f ?? ??=?????? ，（1）确定矩阵P 的未知元素。（2）求 P 模最大特征值。（3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取0.58）。 2. 在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是三阶成对比较矩阵 322P ? ???=?????? ，（1）将矩阵P 元素补全。（2）求P 模最大特征值。（3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受。 3.考虑下表数据

(1)用曲改直的思想确定经验公式形式。（2）用最小二乘法确定经验公式系数。 4.. 考虑微分方程 (0.2)0.0001(0.4)0.00001dx x xy dt dy y xy dt εε?=--????=-++?? （1）在像平面上解此微分方程组。（2）计算0ε=时的周期平均值。（3）计算0.1ε=时，y 的周期平均值占总量的周期平均值的比例增加了多少？ 5考虑种群增长模型 '()(1/1000),(0)200x t kx x x =-= （1）求种群量增长最快的时刻。（2）根据下表数据估计参数k 值。 6. 布均匀，若环保部门及时发现并从某时刻起切断污染源，并更新湖水（此处更新指用新鲜水替换污染水），设湖水更新速率是 3 (m r s 单位：）。（1）试建立湖中污染物浓度随时间下降的数学模型？求出污染物浓度降为控制前的5%所需要的时间。 7. 假如保险公司请你帮他们设计一个险种:35岁起保,每月交费400元,60岁开始领取养老金,每月养老金标准为３６００元，请估算该保险费月利率为多少（保留到小数点后５位）？ 8. 某校共有学生40000人，平时均在学生食堂就餐。该校共有,,A B C 3 个学生食堂。经过近一年的统计观测发现：A 食堂分别有10%，25%的学生经常去B ，C 食堂就餐，B 食堂经常分别有15%，25%的同学去

数学建模常见评价模型简介

常见评价模型简介评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。层次分析模型层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤：步骤1 建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。步骤2构造成对比较阵对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵；步骤3计算权向量并作一致性检验由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。

步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验) 组合权向量可作为决策的定量依据通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。步骤1 建立系统的递阶层次结构将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。

电力生产问题数学模型

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电力生产问题数学模型摘要本文研究电力生产问题中的最优化电力资源配置，属于求解优化电力配置下的最小成本问题。由于电力生产有非线性、多变量等特点，所以我们基于在每一时间段非线性局部最优的前提下，建立整体的单目标多变量的非线性最优化模型。因此对于研究的课题，我们建立了一个有约束条件的目标函数的最优化模型来求解。在该模型的基础上我们建立起解决问题所需模型。解决问题(1)时，我们运用LINGO 工具求解所建立的数学模型，得到每个时段的台数和成本如下表：(详细数据见) 时段1 时段2 时段3 时段4 时段5 时段6 时段7 总成本/元型号1 0 2 0 2 0 1 0 0 1750 750 1750 1000 1300 750 … … … … … … … … 型号4 0 3 3 3 3 3 3 0 2166.6 1800 3500 1800 1800 解决问题(2)时，我们从节约能源和成本的前提出发，让在工作的每一台发电机保留出20%的发电能力，而不是让其发出多于需求电量的20%白白浪费，因此我们将“每个时段的电力需求”这个约束条件由问题（1）中的j ij j D P m ≤≤改为 8.0?≤≤j ij j D P m 。得到每个时段的台数和成本如下表：(详细数据见) 时段1 时段2 时段3 时段4 时段5 时段6 时段7 总成本/元型号1 0 5 0 8 1 5 0 0 1400 1400 1400 1400 1400 0 … … … … … … … … 型号4 3 3 3 3 3 3 3 1866.6 2466.6 2466.6 2400 2000 1800 1800 关键词：非线性整体最优化 LIGNO 软件时段型号时段型号

数学建模与数学实验课后习题答案

P59 4.学校共1002名学生，237人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生要组织一个10人的委员会，使用Q 值法分配各宿舍的委员数。解:设P 表示人数，N 表示要分配的总席位数。i 表示各个宿舍（分别取A,B,C ），i p 表示i 宿舍现有住宿人数，i n 表示i 宿舍分配到的委员席位。首先，我们先按比例分配委员席位。 A 宿舍为:A n = 365.21002 10237=? B 宿舍为:B n =323.31002 10333=? C 宿舍为:C n =311.4100210432=? 现已分完9人，剩1人用Q 值法分配。 5.93613 22372 =?=A Q 7.92404 33332 =?=B Q 2.93315 44322 =?=C Q 经比较可得，最后一席位应分给A 宿舍。所以，总的席位分配应为：A 宿舍3个席位，B 宿舍3个席位，C 宿舍4个席位。

商人们怎样安全过河

由上题可求：4个商人，4个随从安全过河的方案。解：用最多乘两人的船，无法安全过河。所以需要改乘最多三人乘坐的船。如图所示，图中实线表示为从开始的岸边到河对岸，虚线表示从河对岸回来。商人只需要按照图中的步骤走，即可安全渡河。总共需要9步。

P60 液体在水平等直径的管内流动，设两点的压强差ΔP 与下列变量有关：管径d,ρ,v,l,μ,管壁粗糙度Δ，试求ΔP 的表达式解：物理量之间的关系写为为()?=?,,,,,μρ?l v d p 。各个物理量的量纲分别为 []32-=?MT L p ，[]L d =，[]M L 3-=ρ，[]1-=LT v ，[]L l =，[]11--=MT L μ，Δ是一个无量纲量。 ???? ??????-----=?0310100011110010021113173A 其中0=Ay 解得 ()T y 00012111---=， ()T y 00101102--=， ()T y 01003103--=， ()T y 10000004= 所以 l v d 2111---=ρπ，μρπ112--=v ，p v ?=--313ρπ，?=4π 因为()0,,,,,,=??p l v d f μρ与()0,,,4321=ππππF 是等价的，所以ΔP 的表达式为： ()213,ππψρv p =?

数学建模简介

数学建模简介当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述，也就是建立数学模型，然后用通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。数学建模的广泛应用数学建模的应用逐渐变的广泛，数学建模大量用于一般工程技术领域，用于代替传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段；在高新科技领域，成为必不可少的工具，无论是在通信、航天、微电子、自动化都是创新工艺、开发新产品的必要手段；在新的科研领域在用数学方法研究其中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的步骤和这些学科发展和应用的基础。将计算机技术和数学建模进行紧密结合，使得原本抽象的数学模型生动具体的呈现在研究者面前，使得问题得到更好的解决。数学建模的分支——数据挖掘数据挖掘（Data Mining，DM）是目前人工智能和数据库领域研究的热点问题，所谓数据挖掘是指从数据库的大量数据中揭示出隐含的、先前未知的并有潜在价值的信息的非平凡过程。数据挖掘是一种决策支持过程，它主要基于人工智能、机器学习、模式识别、统计学、数据库、可视化技术等，高度自动化地分析企业的数据，做出归纳性的推理，从中挖掘出潜在的模式，帮助决策者调整市场策略，减少风险，做出正确的决策。数据挖掘是通过分析每个数据，从大量数据中寻找其规律的技术，主要有数据准备、规律寻找和规律表示3个步骤。数据准备是从相关的数据源中选取所需的数据并整合成用于数据挖掘的数据集；规律寻找是用某种方法将数据集所含的规律找出来；规律表示是尽可能以用户可理解的方式（如可视化）将找出的规律表示出来。数据挖掘的任务有关联分析、聚类分析、分类分析、异常分析、特异群组分析和演变分析，等等。

数学建模之电力的生产问题

数学建模之电力的生产问题 Prepared on 22 November 2020

电力生产最小成本摘要本文是需解决发电机厂每天在不同时间段用电需求量不同的情况下，根据给定不同型号不同数量的发电机，合理分配各台发电机在不同时间段的开启和关闭以及运行时的输出功率，既使得一天内总发电成本最小，又使发电机组在一天中各个时段的总输出功率达到用电需求的问题，为解决这个问题，采用了单目标非线性规划方法，建立了所求问题的最优化模型，借助Lingo软件对模型进行求解，得到每日最小发电总成本，以此制定发电机组的启停计划。问题一：为了使发电厂一天总的发电成本最低，同时还要考虑到不同时间段开机数量不同对启动成本的相互影响，将七个时间段的成本统一考虑，其中，启动成本与发电机开启数量有关，要让成本少，应在满足相应约束条件下尽量减少开机数量，尽量让上一阶段的发电机下一阶段依然工作，边际成本与开启发电机台数、输出功率、最小功率、时长有关，固定成本与开启发电机台数、时长有关，选取相应的约束条件对目标函数进行约束，从而给出优化模型，运用非线性规划的方法，利用Lingo编程求解，得到发电厂每天最小发电总成本为：1427179 元。具体的发电机使用方案见附录一中表一、表二。问题二：根据题目的要求，在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升，在建模时将每台发电机的实际输出功率降至80%，所以可以按照问题一建立的模型，将其约束条件中每个时间段的实际输出功率改为功率的80%但同时要满足用电量，同样利用Lingo编程求解，得到发电厂每天最小发电总成本为：1444670元。具体的发电机使用方案见附录一中表三、表四。在得到上述两个问题的结果后，对结果的正确性性进行检验，并且对所得结果进行分析，给出自己的评价，并且对所建模型的合理性进行判断，以及对模型做了适当的推广。关键词：单目标非线性规划发电机的合理搭配电力生产最优解

数学建模实验

数学建模课程实验报告专题实验7 班级数财系1班学号2011040123 丛文实验题目常微分方程数值解实验目的 1．掌握用MATLAB求微分方程初值问题数值解的方法； 2．通过实例学习微分方程模型解决简化的实际问题； 3．了解欧拉方法和龙格库塔方法的基本思想。实验容 (包括分析过程、方法、和代码，结果) 1. 用欧拉方法和龙格库塔方法求下列微分方程初值问题的数值解，画出解的图形，对结果进行分析比较解；M文件 function f=f(x,y) f=y+2*x; 程序； clc;clear; a=0;b=1; %求解区间 [x1,y_r]=ode45('f',[a b],1); %调用龙格库塔求解函数求解数值解； %% 以下利用Euler方法求解 y(1)=1;N=100;h=(b-a)/N; x=a:h:b;

for i=1:N y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i)); end figure(1) plot(x1,y_r,'r*',x,y,'b+',x,3*exp(x)-2*x-2,'k-');%数值解与真解图 title('数值解与真解图'); legend('RK4','Euler','真解'); xlabel('x');ylabel('y'); figure(2)

plot(x1,abs(y_r-(3*exp(x1)-2*x1-2)),'k-');%龙格库塔方法的误差 title('龙格库塔方法的误差') xlabel('x');ylabel('Error'); figure(3) plot(x,abs(y-(3*exp(x)-2*x-2)),'r-')%Euler方法的误差 title('Euler方法的误差') xlabel('x');ylabel('Error');

数学建模电力安排问题

电力生产问题摘要本文解决的是电力生产中发电机的安排问题，在满足每日各时间段电力需求的条件下，安排各型号发电机来供电，以期获得最小的成本。为解决此问题，我们建立了两个最优化模型。针对问题一：建立了非线性单目标最优化模型。从已知条件、目标函数、约束条件三方面进行综合分析可知，每天的总成本由总固定成本、总边际成本、总启动成本组成，确定总成本为目标函数，各时段各型号发电机工作数量及其总超出功率为主要变量，并列出相应约束条件。最后通过Lingo软件[2]求出最小成本为1540770元，并得出各时段各型号发电机的数量及其功率如下表（具体见表三）：针对问题二：建立了线性单目标最优化模型。引入非负变量，即为各时段新增开的各型号的发电机台数，通过此变量线性表示出启动成本。以总成本为目标函数，在模型一的基础上，只需改变一个约束条件，即发电机组在任意时间段内所能发出的最大总功率的80%要大于等于该时段的用电需求。最后通过lingo软件求出最小成本为1885420元，并得出各时段各型号发电机的数量及其功率。关键词：非线性最优化模型线性最优化模型最小生产成本

1 问题重述 1.1 问题背景在电力生产过程中，为满足每日的电力需求并且使生产成本达到最小，因不同发电性能的发电机成本不同，故可以选用不同型号的发电机组合使用。 1.2 题目信息题中给出了一天中七个时段的用电需求（见表一）及四种发电机的发电性能和相应成本（见表二）。其中，所有发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出功率不应低于其最小输出功率，且所有发电机均存在一个启动成本，以及工作于其最小功率状态时固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。问题（1）：在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总成本为多少？问题（2）：如果在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。那么每个时段又应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，此时最小总成本又为多少？ 2 模型假设假设1：不计发电机启动时所需时间；假设2：各发电机均在24时关闭，即不考虑循环过程；假设3：各发电机的输出功率在时段初调整好后，保持不变；假设4：题目所列出的成本以外的成本消耗不计。

数学建模运输问题

运输问题摘要本文主要研究的是货物运输的最短路径问题，利用图论中的Floyd算法、Kruskal算法，以及整数规划的方法建立相关问题的模型，通过matlab，lingo编程求解出最终结果。关于问题一，是一个两客户间最短路程的问题，因此本文利用Floyd算法对其进行分析。考虑到计算的方便性，首先，我们将两客户之间的距离输入到网络权矩阵中；然后，逐步分析出两客户间的最短距离；最后，利用Matlab软件对其进行编程求解，运行得到结果：2-3-8-9-10总路程为85公里。关于问题二，运输公司分别要对10个客户供货，必须访问每个客户，实际上是一个旅行商问题。首先，不考虑送货员返回提货点的情形，本文利用最小生成树问题中的Kruskal算法，结合题中所给的邻接矩阵，很快可以得到回路的最短路线： 1-5-7-6-3-4-8-9-10-2；然后利用问题一的Floyd算法编程，能求得从客户2到客户1（提货点）的最短路线是：2-1，路程为50公里。即最短路线为：1-5-7-6-3-4-8-9-10-2-1。但考虑到最小生成树法局限于顶点数较少的情形，不宜进一步推广，因此本文建立以路程最短为目标函数的整数规划模型；最后，利用LINGO软件对其进行编程求解，求解出的回路与Kruskal算法求出的回路一致。关于问题三，是在每个客户所需固定货物量的情况下，使得行程之和最短。这样只要找出两条尽可能短的回路，并保证每条线路客户总需求量在50个单位以内即可。因此我们在问题二模型的基础上进行改进，以货车容量为限定条件，建立相应的规划模型并设计一个简单的寻路算法，对于模型求解出来的结果，本文利用Kruskal算法结合题中所给的邻接矩阵进行优化。得到优化结果为：第一辆车：1-5-2-3-4-8-9-1，第二辆车：1-7-6-9-10-1，总路程为280公里。关于问题四，在问题一的基础上我们首先用Matlab软件编程确定提货点到每个客户点间的最短路线，然后结合一些限定条件建立一个目标模型，设计一个较好的解决方案进行求解可得到一种很理想的运输方案。根据matlab运行结果分析得出4条最优路线分别为：1-5-2，1-4-3-8，1-7-6，1-9-10。最短总路线为245公里，最小总费用为645。关键词： Floyd算法 Kruskal算法整数规划旅行商问题一、问题重述某运输公司为10个客户配送货物，假定提货点就在客户1所在的位置，从第i个客户到第j个客户的路线距离（单位公里）用下面矩阵中的(,) i j(,1,,10) i j=位置上的数表示（其中∞表示两个客户之间无直接的路线到达）。 1、运送员在给第二个客户卸货完成的时候，临时接到新的调度通知，让他先给客户10送货，已知送给客户10的货已在运送员的车上，请帮运送员设计一个到客户10的尽可能短的行使路线（假定上述矩阵中给出了所有可能的路线选择）。 2、现运输公司派了一辆大的货车为这10个客户配送货物，假定这辆货车一次能装满10个客户所需要的全部货物，请问货车从提货点出发给10个客户配送完货物后再回到提货点所行使的尽可能短的行使路线？对所设计的算法进行分析。 3、现因资源紧张，运输公司没有大货车可以使用，改用两辆小的货车配送货物。每辆小

数学建模与数学实验报告

数学建模与数学实验报告指导教师__郑克龙___ 成绩____________ 组员1：班级______________ 姓名______________ 学号_____________ 组员2：班级______________ 姓名______________ 学号______________ 实验1.(1)绘制函数cos(tan())y x π=的图像，将其程序及图形粘贴在此。 >> x=-pi:0.01:pi; >> y=cos(tan(pi*x)); >> plot(x,y) -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8 1 （2）用surf,mesh 命令绘制曲面2 2 2z x y =+，将其程序及图形粘贴在此。（注：图形注意拖放，不要太大）（20分） >> [x,y]=meshgrid([-2:0.1:2]); >> z=2*x.^2+y.^2; >> surf(x,y,z)

-2 2 >> mesh(x,y,z) -2 2 实验2. 1、某校60名学生的一次考试成绩如下:

93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55 1)计算均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图；2)检验分布的正态性；3)若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数. （20分） 1） >> a=[93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55]; >> pjz=mean(a) pjz = 80.1000 >> bzhc=std(a) bzhc = 9.7106 >> jc=max(a)-min(a) jc = 44 >> bar(a)

数学建模的介绍

一、数学建模的意义数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包涵抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，试验和解释实际现象等内容。我们也可以这样直观地理解这个概念：数学建模是一个让纯粹数学家（指只懂数学不懂数学在实际中的应用的数学家）变成物理学家，生物学家，经济学家甚至心理学家等等的过程。数学模型一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之。为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次科技人才，数学建模已经在大学教育中逐步开展，国内外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛，将数学建模教学和竞赛作为高等院校的教学改革和培养高层次的科技人才的个重要方面，现在许多院校正在将数学建模与教学改革相结

数学建模练习试题

2011年数学建模集训小题目 1.求下列积分的数值解 ? +∞ +-?23 2 2 3x x x dx 2.已知)s i n ()()c o s (),(2h t h t h t e h t f h t ++++=+，dt h t f h g ?=10 ),()(，画出 ]10,10[-∈h 时，)(h g 的图形。 3.画出16)5(2 2=-+y x 绕x 轴一周所围成的图形，并求所产生的旋转体的体积。 4.画出下列曲面的图形（1）旋转单叶双曲面 14 92 22=-+z y x ；（2）马鞍面xy z =； 5.画出隐函数1cos sin =+y x 的图形。 6.（1）求函数x x y -+=12 ln 的三阶导数；法一：syms x y dy; >> y=log((x+2)/(1-x)); >> dy=diff(y,3) dy = (6/(1-x)^3+6*(x+2)/(1-x)^4)/(x+2)*(1-x)-2*(2/(1-x)^2+2*(x+2)/(1-x)^3)/(x+2)^2*(1-x)-2*(2/(1-x)^2+2*(x+2)/(1-x)^3)/(x+2)+2*(1/(1-x)+(x+2)/(1-x)^2)/(x+2)^3*(1-x)+2*(1/(1-x)+(x+2)/(1-x)^2)/(x+2)^2 （2）求向量]425.00[=a 的一阶向前差分。 7.求解非线性方程组（1）?????=-+=-+060622x y y x （2）???=+=++5 ln 10tan 10cos sin y x y e y x 8.求函数186)(2 3-++=x x x x f 的极值点，并画出函数的图形。 9.某单位需要加工制作100套钢架，每套用长为2.9m ，2.1m 和1m 的圆钢各一根。已知原料长6.9m ，问应如何下料，使用的原材料最省。 10. 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知：项目A ，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115％；项目B ，从第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125％，但规定最大投资额不超过4万元；

数学建模生产计划问题

第一题：生产计划安排 2）产品ABC的利润分别在什么范围内变动时，上述最优方案不变 3）如果劳动力数量不增，材料不足时可从市场购买，每单位元，问该厂要不要购进原材料扩大生产，以购多少为宜 4）如果生产一种新产品D，单件劳动力消耗8个单位，材料消耗2个单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产答： max3x1+x2+4x3! 利润最大值目标函数x1,x2,x3分别为甲乙丙的生产数量 st!限制条件 6x1+3x2+5x3<45! 劳动力的限制条件 3x1+4x2+5x3<30! 材料的限制条件 End！结束限制条件得到以下结果 1.生产产品甲5件，丙3件，可以得到最大利润，27元 2.甲利润在—元之间变动，最优生产计划不变 3. max3x1+x2+4x3 st 6x1+3x2+5x3<45 end 可得到生产产品乙9件时利润最大，最大利润为36元，应该购入原材料扩大生产，购入15个单位 4. max3x1+x2+4x3+3x4 st 6x1+3x2+5x3+8x4<45 3x1+4x2+5x3+2x4<30 end ginx1 ginx2 ginx3 ginx4 利润没有增加，不值得生产第二题：工程进度问题某城市在未来的五年内将启动四个城市住房改造工程，每项工程有不同的开始时间，工程周期也不一样，下表提供了这些项目的基本数据。

工程1和工程4必须在规定的周期内全部完成，必要时，其余的二项工程可以在预算的限制内完成部分。然而，每个工程在他的规定时间内必须至少完成25%。每年底，工程完成的部分立刻入住，并且实现一定比例的收入。例如，如果工程1在第一年完成40%，在第三年完成剩下的60%，在五年计划范围内的相应收入是*50（第二年）+*50（第三年）+（+）*50（第四年）+（+）*50（第五年）=（4*+2*）*50（单位：万元）。试为工程确定最优的时间进度表，使得五年内的总收入达到最大。答：假设某年某工程的完成量为Xij, i表示工程的代号，i=1,2,3，j表示年数，j=1,2,3，如第一年工程1完成X11，工程3完成X31，到第二年工程已完成X12，工程3完成X32。另有一个投入与完成的关系，即第一年的投入总费用的40%，该工程在年底就完成40%，工程1利润： 50*X11+50*(X11+X12)+50*(X11+X12+X13)+50*(X11+X12+X13) 工程2利润： 70*X22+70*(X22+X23)+70*(X22+X23+X24) 工程3利润： 20*X31+150*(X31+X32)+150*(X31+X32+X33)+150*(X31+X32+X33+X34) 工程4利润： 20*X43+20*（X43+X44） max(50*X11+50*(x11+x12)+50*(X11+X12+X13)+50*(X11+X12+X13))+(70*X22+70*(X22+X23) )+70*(X22+X23+X24)+(150*X31+150*(X31+X32)+150*(X31+X32+X33)+150*(X31+X32+X33+X34)) +(20*X43+20*(X43+X44)) st 5000*X11+15000*X31=3000 5000*X12+8000*X22+15000*X32=6000 5000*X13+8000*X23+15000*X33+1200*X43=7000 8000*X24+15000*X34+12000*X44=7000 8000*X25+15000*X35=7000 X11+X12+X13=1 X22+X23+X24+X25≥ X22+X23+X24+X25≤1 X31+X32+X33+X34+X35≥ X31+X32+X33+X34+X35≤1 X43+X44=1 全为大于零的数