2021年新高考考点探究二函数的基本性质教师版
备战2021新高考考点探究二函数的基本性质
1. (2021汇编，10分)判断下列各函数在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明结论．
①f (x )＝2x －12x ； ②f (x )＝x
x 2＋1，x ∈(－1，0)．
解：①函数f (x )在R 上单调递增．(1分)
证明如下：易知函数f (x )的定义域为R .
任取x 1，x 2∈R ，设x 1 12x 1－2x 2＋1 2x 2＝2x 1－2x 2＋2x 1－2x 22x 12x 2＝(2x 1－2x 2)·2x 12x 2＋12x 12x 2 . ∵x 1＜x 2，∴2x 1＜2x 2，即2x 1－2x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴函数f (x )在R 上单调递增．②函数f (x )在(－1，0)上单调递增． 证明如下： 任取x 1，x 2∈(－1，0)，设x 1 ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝x 1x 22＋x 1（x 21＋1）（x 22＋1）－x 2x 21＋x 2 （x 21＋1）（x 22＋1）＝（x 1x 2－1）（x 2－x 1）（x 21＋1）（x 22＋1）<0，f (x 1) A ．f (x )＝4x 2＋1－2x B ．f (x )＝2x －1 x ＋2 C ．f (x )＝2x 2＋6 x D ．f (x )＝ 1 x ＋1 －ln(x ＋1) 解析：A 选项，f (x )＝ 4x 2＋1－2x ＝ （4x 2＋1－2x ）（4x 2＋1＋2x ）4x 2＋1＋2x ＝1 4x 2＋1＋2x . ∵在(0，＋∞)内，y ＝4x 2＋1为增函数，y ＝2x 为增函数，且两函数值均为正数，∴y ＝4x 2＋1＋2x 为(0，＋∞)上的增函数，且y >0，∴y ＝1 4x 2＋1＋2x 为(0，＋∞)上的减函数，∴f (x )＝4x 2＋1－2x 在(0，＋∞)上单调递减，故A 不符合题意； B 选项，f (x )＝2x －1x ＋2＝2x ＋4－5x ＋2＝2－5x ＋2，∴f (x )的图像是由反比例函数y ＝－5x 的图像向左平移2个单 位，再向上平移2个单位得到的 C 选项，f (x )＝2x 2＋6x ＝2x ＋6x .根据对勾函数y ＝ax ＋b x (a >0，b >0)的图像可知其单调增区间为(－∞，－ b a ]，[ b a ，＋∞)，单调减区间为[－b a ，0)，? ?? ? 0，b a ，∴可得函数f (x )＝2x ＋6x 在(0，3]上单调递减， 不符合题意； D 选项，由函数f (x )＝1x ＋1－ln(x ＋1)可知函数的定义域为(－1，＋∞)．∵y ＝1 x ＋1在(－1，＋∞)上为减 函数，y ＝ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，∴f (x )＝1 x ＋1 －ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故不符合题意． 3.(2017全国Ⅱ，5分)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8) 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞) 解析：令t ＝x 2－2x －8，则g (t )＝ln t ，∵y ＝ln t 为增函数，∴求函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间，只 需求得函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间即可．由x 2－2x －8>0得函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域为x ∈(－∞，－2)∪(4，＋∞)，由二次函数的性质可知，当x ∈(4，＋∞)时，函数t ＝x 2－2x －8单调递增，∴函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)． 4.(2021汇编，20分)①已知函数f (x )＝? ????（x ＋1）2＋a ，x ＞－1， 6a x －1，x ≤－1，其中a >0，且a ≠1，若对任意的实数x 1≠x 2， 都有x 1－x 2 f （x 1）－f （x 2）＞0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.??? ?1，3 2 B ．(1，2) C ．[2，＋∞) D ．[1，＋∞) ②若函数f (x )＝log 1 2(3x 2－ax ＋5)在区间(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－8，＋∞) B ．[－6，＋∞) C ．(－8，－6] D ．[－8，－6] ③若在区间(0，m )内任取实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，不等式(x 1ln x 2－x 2ln x 1)(x 1－x 2)＜0均成立，则实数m 的最大值是( ) A ．e B.1e C.12 D ．1 ④若函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，1] 解析：①因为对任意的实数x 1≠x 2，都有x 1－x 2f （x 1）－f （x 2）＞0，所以f （x 1）－f （x 2） x 1－x 2 ＞0，所以函数f (x ) 为单调递增函数，所以a ＞1，且a ≥6 a －1，解得a ≥2.故选C. ②因为函数f (x )＝log 1 2(3x 2－ax ＋5)在区间(－1，＋∞)上是减函数，所以函数y ＝3x 2－ax ＋5在区间 (－1，＋∞)上是增函数，且y ＞0，所以当x ＝－1时，y ＝8＋a ≥0，且a 6≤－1，解得－8≤a ≤－6.故选D. ③设x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0，所以x 1ln x 2－x 2ln x 1＞0.因为x 1，x 2＞0，所以在不等式x 1ln x 2－x 2ln x 1＞0两边同时除以x 1x 2并移项，得ln x 2x 2＞ln x 1x 1.令f (x )＝ln x x ，则函数f (x )在(0，m )上单调递增，所以在(0，m )上f ′(x ) ＝1－ln x x 2＞0，解得0 ④易知函数f (x )＝2|x －a |＋3的增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]．因为函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，所以a ＞1.故选B. 5. (2019山西晋中二模，5分)设f (x )在定义域(0，＋∞)上是单调函数，且f ? ???f （x ）－1 x ＝2，则f (3)的值为( ) A ．2 B ．3 C.3 2 D.43 解析：∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且f ????f （x ）－1x ＝2，∴f (x )－1x 是常数．设f (x )－1 x ＝c ，则 f (x )＝1x ＋c ，∴f (c )＝1c ＋c ＝2，解得c ＝1，∴f (x )＝1x ＋1，∴f (3)＝4 3 .故选D. 6.(2019湖北武汉部分示范高中月考，5分)已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为____． 解析：由题意可得???? ?a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3， 解得－33，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)． 7. (2021汇编，5分)下列函数中既不是奇函数，也不是偶函数的是____． ①f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)； ②f (x )＝1 x ＋1－x 2x 3； ③f (x )＝(x －1)1＋x 1－x ； ④f (x )＝lg 1＋x 1－x ； ⑤f (x )＝x 2－1＋1－x 2； ⑥f (x )＝|ln x |； ⑦f (x )＝x 2－x . 解析：①为奇函数，由f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)，得x ＋x 2＋1>0，∴函数f (x )的定义域为x ∈R ，关于原点对称． 又f (－x )＋f (x )＝log 2(－x ＋x 2＋1)＋log 2(x ＋x 2＋1)＝log 2(－x ＋x 2＋1)(x ＋x 2＋1)＝log 21＝0， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)为奇函数． ②为奇函数，由f (x )＝1 x ＋1－x 2x 3 ，得1－x 2≥0且x ≠0，∴函数f (x )的定义域为x ∈[－1，0)∪(0，1]，定 义域关于原点对称．易知y ＝ 1－x 2为偶函数，y ＝x 3为奇函数，∴y ＝ 1－x 2x 3为奇函数．又易知y ＝1 x 为奇函数，∴f (x )＝1 x ＋1－x 2x 3为奇函数． ③为非奇非偶函数，由f (x )＝(x －1) 1＋x 1－x ，得1＋x 1－x ≥0且x ≠1，∴函数f (x )的定义域为x ∈[－1，1)，定义域不关于原点对称，故函数f (x )为非奇非偶函数． ④为奇函数，由f (x )＝lg 1＋x 1－x ，得1＋x 1－x >0，∴函数f (x )的定义域为x ∈(－1，1)，关于原点对称， f (－x )＝l g 1－x 1＋x ＝lg ? ?? ??1＋x 1－x －1＝－lg 1＋x 1－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． ⑤由于函数f (x )＝x 2－1＋1－x 2的定义域为{x |x 2＝1}＝{1，－1}，且f (－x )＝f (x )，函数f (x )为偶函数． ⑥函数的定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，∴函数f (x )为非奇非偶函数． ⑦函数的定义域为R .∵f (－x )＝(－x )2－(－x )＝x 2＋x ，∴f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )，∴函数f (x )为非奇非偶函数． 8. (2019河南信阳二模，5分)如果f (x )是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋f (x ) B ．y ＝xf (x ) C ．y ＝x 2＋f (x ) D ．y ＝x 2f (x ) 解析：设g (x )＝xf (x )，x ∈R .因为函数f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 所以g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝g (x )，所以函数y ＝xf (x )是偶函数．故选B. 9. (2021汇编，15分)①已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋1，a ≠0，若f (2020)＝－1，则f (－2020)的值为( ) A ．3 B ．－1 C ．1 D ．0 ②已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝e － x －x ，则f (ln2)＝( ) A ．2＋ln2 B ．2－ln2 C.1 2 －ln2 D ．－1 2 －ln2 ③已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝2x ＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－52 C ．3 D.52 答案：①A ②A ③D 解析：①设F (x )＝f (x )－1＝ax 3＋bx ，a ≠0，易知F (x )为奇函数，所以F (－2020)＝－F (2020)，即 f (－2020)－1＝－[f (2020)－1]，所以f (－2020)＝2－f (2020)＝2－(－1)＝3.故选A. ②因为f (x )为偶函数，所以f (ln2)＝f (－ln2)．又当x ＜0时，f (x )＝e － x －x ， 所以f (ln2)＝f (－ln2)＝e ln2－(－ln2)＝2＋ln2.故选A. ③由f (x )－g (x )＝2x ＋x 2＋1，得f (－1)－g (－1)＝12＋1＋1＝5 2.因为f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数 和奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝5 2 .故选D. 10.对于任意[ )3,x ∈+∞，不等式212ax x x a +<-+恒成立，实数a 的取值范围是______. 【解析】因为当[)3,x ∈+∞时, 不等式2 12ax x x a +<-+可化为221 1 x x a x --< -,所以对于任意[)3,x ∈+∞,2211x x a x --<-恒成立,令221 (),[3,)1x x f x x x --=∈+∞-,则min ()a f x <, 因为2221(1)22 ()(1)111 x x x f x x x x x ----===-- ---, 任设123x x >≥, 则12121222 ()()(1)(1)11f x f x x x x x -=-- --+--1212122(1)2(1)()(1)(1) x x x x x x ---=-+-- 1212122()()(1)(1) x x x x x x -=-+ --12122 ()(1)(1)(1)x x x x =-+--, 因为123x x >≥,所以120x x -> , 122 0(1)(1) x x >--,所以12()()f x f x >, 所以221 (),[3,)1 x x f x x x --=∈+∞-为增函数,所以3x =时,函数()f x 取得最小值,最小值为(3)1f =, 所以1a <. 11.(2021汇编，20分)①设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x <0时，f (x )＝( )(2019全国Ⅱ) A ．e － x －1 B ．e － x ＋1 C ．－e －x －1 D ．－e － x ＋1 ②已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－3x 2＋3x －1，则函数f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝???? ?－3x 2＋3x －1，x >0，0，x ＝0，3x 2－3x ＋1，x <0 B ．f (x )＝? ????－3x 2＋3x －1，x >0， 3x 2＋3x ＋1，x ≤0 C ．f (x )＝???? ?－3x 2＋3x －1，x >0，0，x ＝0，3x 2＋3x ＋1，x ＜0 D ．f (x )＝－3x 2＋3x －1 ③已知函数f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝1－x ，则函数f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝?????1＋x ，x <0，1－x ，x ≥0 B ．f (x )＝?????－1＋x ，x <0，1－x ，x ≥0 C ．f (x )＝?????2＋x ，x <0，1－x ，x ≥0 D ．f (x )＝? ????－1－x ，x <0，1－x ，x ≥0 ④若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e － x B.12(e x ＋e － x ) C.12 (e － x －e x ) D.12 (e x －e －x ) 答案：①D ②C ③A ④D 解析：①设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝e －x －1.f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－e － x ＋1.故选D. ②因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0.设x ＜0，则－x ＞0，所以 f (－x )＝－3(－x )2＋(－3x )－1＝－3x 2－3x －1.因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，所以 f (x )＝－f (－x )＝3x 2＋3x ＋1，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝???? ?－3x 2＋3x －1，x >0，0，x ＝0，3x 2＋3x ＋1，x ＜0.故选C. ③设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝1－(－x )＝1＋x . 因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝1＋x ， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝? ????1＋x ，x ＜0， 1－x ，x ≥0.故选A. ④由f (x )＋g (x )＝e x ，可得f (－x )＋g (－x )＝e －x .又f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，所以f (x )－g (x )＝e － x ，所以g (x )＝f （x ）＋g （x ）－[f （x ）－g （x ）]2＝12 (e x －e －x )．故选D. 12. (2021汇编，20分)①若函数f (x )＝x 2 2x －a ·2－x 是R 上的偶函数，则f (a －1)＝( ) A ．1 B ．－1 C ．－1617 D.1617 ②已知定义域为[a －4，2a －2]的奇函数f (x )＝2019x 3－sin x ＋b ＋2，则f (a )＋f (b )的值为( ) A ．0 B ．2 C ．－2 D ．不能确定 ③函数f (x )＝ax 2＋b x 是定义在(－∞，b －3]∪[b －1，＋∞)上的奇函数．若f (2)＝3，则a ＋b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 ④已知函数f (x )＝?????cos （x ＋α），x ≥0， sin （x ＋β），x ＜0为偶函数，则α，β可能是( ) A ．α＝π，β＝π 2 B ．α＝β＝π 3 C ．α＝π3，β＝π 6 D ．α＝π4，β＝3π 4 解析：①(法一)因为函数f (x )＝x 22x －a ·2－x 是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即（－x ）22－x －a ·2x ＝x 2 2x －a ·2－x ，整理得 (a ＋1)(2x －2－x )＝0.因为上述方程对任意x ∈R 均成立，所以a ＋1＝0，解得a ＝－1，所以f (x )＝x 2 2x ＋2－x ， 所以f (a －1)＝f (－2)＝（－2）22－2＋2 2＝16 17.故选D. 13. (2019全国Ⅲ，5分)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( ) A ．f ????log 314＞f (2－32)＞f (2－2 3) B ．f ????log 314＞f (2－23)＞f (2－3 2) C ．f (2－32)＞f (2－2 3 )＞f ????log 314 D ．f (2－23)＞f (2－3 2 )＞f ????log 314 解析：∵f (x )是定义域为R 的偶函数，∴f ??? ?log 31 4＝f (log 34)．∵log 34＞log 33＝1， 0＜2－32＜2－23＜20＝1，∴0＜2－32＜2－2 3 ＜log 34. ∵f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴f (2－32)＞f (2－2 3 )＞f ????log 314.故选C. 14.(2019湖北期末，5分)已知奇函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，a ＝－f (log 23)，b ＝f (log 23)，c ＝f (log 32)， 则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜b ＜a D ．b ＜c ＜a 解析：因为奇函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在R 上单调递减．又a ＝－f (log 23)＝f (－log 23)， 且－log 23＜0＜log 32＜1＜log 23，所以b ＜c ＜a .故选D. 15. (2021汇编，25分)①若函数f (x )＝2x －m 2x ＋1 ＋sin x 的定义域为[－1，1]，且是奇函数，则满足 f (2x －1)＋f (1－2m )＜0的实数x 的取值范围是( ) A ．[0，1) B ．(－1，0] C ．[－1，1) D ．(－2，－1] ②偶函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，且f (2)＝－1，则满足f (2x －4)＞－1的实数x 的取值范围是( ) A ．(1，2) B ．(－∞，3) C ．(1，3) D ．(－1，3) ③f (x )为定义在R 上的偶函数，g (x )＝f (x )＋x 2，且当x ∈(－∞，0]时，g (x )单调递增，则不等式 f (x ＋1)－f (x ＋2)＞2x ＋3的解集为( ) A.????32，＋∞ B.??? ?－3 2，＋∞ C ．(－∞，－3) D ．(－∞，3) ④已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )(2017全国Ⅰ) A ．[－2，2] B ．[－1，1] C ．[0，4] D ．[1，3] ⑤已知函数f (x )是定义在(－∞，－2)∪(2，＋∞)上的奇函数，当x ＞2时，f (x )＝log 2(x －2)，则 f (x －1)＜0的解集是( ) A ．(－∞，－2)∪(3，4) B ．(－∞，－3)∪(2，3) C ．(3，4) D ．(－∞，－2) 解析：①由奇函数的性质可知，f (0)＝1－m 2 ＝0，∴m ＝1. ∵y ＝2x －12x ＋1＝1－2 2x ＋1在[－1，1]上是增函数，y ＝sin x 在[－1，1]上是增函数，∴f (x )＝2x －12x ＋1＋sin x 在 [－1，1]上是增函数．∵函数f (x )为奇函数，f (2x －1)＋f (1－2m )<0，∴f (2x －1)<－f (1－2m )＝－f (－1)＝f (1)，∴－1≤2x －1＜1，解得0≤x ＜1.故选A. ②由f (2x －4)＞－1，且f (x )是偶函数，f (2)＝－1，得f (|2x －4|)＞f (2)．又f (x )在[0，＋∞)上是减函数，∴|2x －4|＜2，即－2＜2x －4＜2，解得1＜x ＜3.∴实数x 的取值范围是(1，3)．故选C. ③根据题意，g (x )＝f (x )＋x 2，则f (x ＋1)－f (x ＋2)＞2x ＋3等价于f (x ＋1)＋(x ＋1)2＞f (x ＋2)＋(x ＋2)2，即g (x ＋1)＞g (x ＋2)．∵f (x )为偶函数，∴g (－x )＝f (－x )＋(－x )2＝f (x )＋x 2＝g (x )．又易知g (x )的定义域为R ，∴函数g (x )为偶函数．又g (x )在(－∞，0]上单调递增，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴g (x ＋1)＞g (x ＋2)等价于|x ＋1|＜|x ＋2|，即(x ＋1)2＜(x ＋2)2，解得x ＞－3 2 ，即不等式的解集为 ??? ?－32，＋∞.故选B. ④∵函数f (x )为奇函数，f (1)＝－1，∴f (－1)＝1.又函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，－1≤f (x －2)≤1，∴f (1)≤f (x －2)≤f (－1)，∴－1≤x －2≤1，解得1≤x ≤3，∴x 的取值范围是[1，3]．故选D. ⑤∵当x ＞2时，f (x )＝log 2(x －2)，∴在区间(2，3)上，f (x )＜0；在区间(3，＋∞)上，f (x )＞0. 又f (x )为奇函数，∴在区间(－∞，－3)上，f (x )＜0；在区间(－3，－2)上，f (x )＞0. 综上可得，f (x )＜0的解集为(－∞，－3)∪(2，3)． 若f (x －1)＜0，则必有x －1＜－3或2＜x －1＜3，解得x ＜－2或3＜x ＜4，即f (x －1)＜0的解集为 (－∞，－2)∪(3，4)．故选A. 16. (2021改编，6分)已知函数f (x )＝2x －b 2x ＋1＋a 是R 上的奇函数，a ，b 是常数．若不等式f (k ·3x )＋f (3x －9x －2) ＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 答案：(－∞，22－1) 解：∵f (x )是R 上的奇函数，∴???? ?f （0）＝0，f （－1）＝－f （1）， 即 ?????1－b 2＋a ＝0，2－1 －b 1＋a ＝－2－b 4＋a ，解得?????a ＝2，b ＝1， ∴f (x )＝2x －1 2x ＋1 ＋2＝12－1 2x ＋1 ，∴易得函数f (x )为R 上的增函数．(2分) 根据题意可得f (k ·3x )＜－f (3x －9x －2)＝f (9x －3x ＋2)对任意x ∈R 恒成立，∴k ·3x ＜9x －3x ＋2， 即(3x )2－(k ＋1)·3x ＋2＞0对任意x ∈R 恒成立． 令t ＝3x (t ＞0)，则t 2－(k ＋1)t ＋2＞0对t ＞0恒成立．(3分) 令g (t )＝t 2－(k ＋1)t ＋2，t >0，则g (t )图像的对称轴为直线t ＝k ＋12. 当k ＋1 2 ≤0，即k ≤－1时，g (t )在(0，＋∞)上为增函数，∴g (t )＞g (0)＝2＞0成立； 当 k ＋1 2 ＞0，即k ＞－1时，Δ＝(k ＋1)2－8<0，解得－1＜k ＜22－1. 综上，实数k 的取值范围为(－∞，22－1)． 17. (2019河南南阳校级模拟，12分)已知定义在(－1，1)上的函数f (x )满足：对任意x ，y ∈(－1，1)都有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )． (Ⅰ)求证：函数f (x )是奇函数； (Ⅱ)当x ∈(－1，0)时，有f (x )＜0，试判断f (x )在(－1，1)上的单调性，并用定义证明； (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，解不等式f ????x －12＋f ??? ?1 4－2x ＜0. (Ⅰ)证明：由题可知，函数y ＝f (x )的定义域为(－1，1)，关于原点对称． 对于f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，令y ＝x ＝0，可得2f (0)＝f (0)，从而f (0)＝0； 令y ＝－x ，可得f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0，即f (－x )＝－f (x )， 所以函数f (x )为(－1，1)上的奇函数．(4分) (Ⅱ)函数f (x )在(－1，1)上单调递增．(5分) 证明如下： 设－1＜x 1＜x 2≤0，则－1＜x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在(－1，0]上单调递增．又由于函数f (x )为(－1，1)上的奇函数，所以函数f (x )在[0，1)上单调递增，故函数f (x )在(－1，1)上单调递 增．(Ⅲ)根据题意，由f ????x －12＋f ????14－2x ＜0，得f ????x －12＜f ????2x －14，则?????－1＜x －1 2 ＜1， －1＜2x －14＜1，x －12＜2x －14， 解得－14＜x ＜5 8 ，所以原不等式的解集是????－14，58. 18.(2021汇编)已知函数f (x )的定义域为R . ①当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋x ；当－e≤x ≤e 时，f (－x )＝－f (x )；当x >1时，f (x ＋2)＝f (x )，则f (8)＝( ) A ．ln2－2 B ．2－ln2 C ．0 D ．ln2 ②若f (x ＋4)＝－f (x )，且当x ∈[－4，0)时，f (x )＝3－ x ，则f (985)＝( ) A ．27 B ．－27 C ．9 D ．－9 ③若函数f (x )为奇函数，且满足f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(－2，0)时，f (x )＝3x －1，则f (9)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－2 3 D.23 ④若函数f (x )为奇函数，且满足f (x ＋2)＝f (2－x )，当－2≤x ＜0时，f (x )＝a x －1(a ＞0且a ≠1), f (2)＝－8，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)＝( ) A ．－10 B ．－12 C ．4 D ．12 ⑤若函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x －1)，且当x ∈[－2，0]时，f (x )＝3－ x ＋1，则f (2019)＝( ) A ．6 B ．4 C ．2 D ．1 ⑥若函数f (x )满足f (x ＋1)＝1 f （x －1）和f (2－x )＝f (x ＋1)，且当x ∈????12，32时，f (x )＝2x ＋2，f (2022)＝( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．5 ⑦若f (x )满足f (x ＋1)＝－1 f （x ），且f (x )为奇函数，当x ∈(2，3)时，f (x )＝4x ，则f (2019.5)＝( ) A ．10 B ．0 C ．－10 D ．－20 解析：①∵当x >1时，f (x ＋2)＝f (x )，∴f (8)＝f (6)＝f (4)＝f (2)．∵当－e≤x ≤e 时， f (－x )＝－f (x )，∴f (2)＝－f (－2)．又当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋x ，∴f (－2)＝ln[－(－2)]＋(－2)＝ln2－2，∴f (8)＝f (2)＝－f (－2)＝2－ln2.故选B. ②∵f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋4)＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，∴函数f (x )为周期函数，且8是它的一个周期．∵当x ∈[－4，0)时，f (x )＝3－ x ，∴f (985)＝f (123×8＋1)＝f (1)＝－f (－3)＝－33＝－27.故选B. ③∵f (x －2)＝f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)，∴函数f (x )是周期函数，且4是它的一个周期，又f (x )是R 上的奇函数，当x ∈(－2，0)时，f (x )＝3x －1，∴f (9)＝f (1＋2×4)＝f (1)＝－f (－1)＝－????13－1＝23.故选D. ④∵f (x )是R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (2－x )，∴f (x ＋4)＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝f (x )，∴函数f (x )是周 期函数，且8是它的一个周期．∵f (2)＝－8，且当－2≤x ＜0时，f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)， ∴f (－2)＝a －2 －1＝8.又a ＞0，∴a ＝13 ，∴当－2≤x ＜0时，f (x )＝????13x －1. ∵f (3)＝f (1)＝－f (－1)＝－2, f (4)＝f (0)＝0, f (5)＝－f (1), f (6)＝－f (2), f (7)＝－f (3), f (8)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＋f (8)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋0－f (1)－f (2)－f (3)＋0＝0. ∵2020＝4＋252×8，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝－2－8－2＋0＝－12.故选B. ⑤由f (x ＋3)＝f (x －1)，得f (x ＋4)＝f (x )，∴函数f (x )是周期函数，且4是它的一个周期．又当x ∈[－2，0]时， f (x )＝3－ x ＋1，∴f (2019)＝f (4×505－1)＝f (－1)＝3＋1＝4.故选B. ⑥∵f (x ＋1)＝1f （x －1），∴f (x ＋2)＝1f （x ），∴f (x ＋4)＝1f （x ＋2）＝f (x )，即函数f (x )是周期函数，且4是它 的一个周期，∴f (2022)＝f (4×505＋2)＝f (2)． ∵f (2－x )＝f (x ＋1)，∴f (2)＝f (1＋1)＝f (2－1)＝f (1)．∵当x ∈???? 12，32时，f (x )＝2x ＋2， ∴f (1)＝2＋2＝4，∴f (2022)＝f (2)＝f (1)＝4.故选C. ⑦∵函数f (x )满足f (x ＋1)＝－1f （x ），∴f (x ＋2)＝－1f （x ＋1）＝f (x )，即函数f (x )是周期函数，且2为它的一 个周期，∴f (2019.5)＝f (2022－2.5)＝f (－2.5)．又f (x )为奇函数，∴f (－2.5)＝－f (2.5)＝－4×2.5＝－10，∴f (2019.5)＝－10.故选C. 19.(2019吉林模拟，5分)已知f (x )是定义在R 上，以3为周期的偶函数，若f (1)<1, f (5)＝2a －3 a ＋1，则实数a 的取值范围为____． 解析：∵f (x )是定义在R 上，以3为周期的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∴由f (1)<1, f (5)＝2a －3 a ＋1， 得f (5)＝2a －3a ＋1＜1，即2a －3a ＋1－1＝a －4 a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4.∴实数a 的取值范围为(－1，4)． 20. (2019江苏四市一模，5分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，当0＜x ≤1时， f (x )＝x 3－ax ＋1，则实数a 的值为____． 解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，∴f (1)＝f (－1＋2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0. ∵当0＜x ≤1时，f (x )＝x 3－ax ＋1，∴f (1)＝1－a ＋1＝0，得a ＝2, 故实数a 的值为2. 命题点素材与精选 1．（2020·全国高三（文））下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上递减的函数是（ ） A ．tan y x = B ．3y x -= C ．cos y x = D ．1()3 x y = 【答案】B 【解析】选项A ：tan y x =在（0,1）上是增函数，故排除； 选项B ：3y x -=的定义域为()(),00,-∞?+∞，且满足()()f x f x -=-，为奇函数，同时3 y x -=是幂函 数，在（0,1）上的减函数，所以符合题意，选项B 正确； 选项C ：根据奇偶性定义，可得到cos y x =是定义域上偶函数，故排除； 选项D ：根据奇偶性定义，可得到13x y ??= ??? 是定义域上偶函数，故排除. 2．（2020·全国高一课时练习）下列函数()f x 中，满足对任意()12,0,x x ∈+∞，当x 1 ()()12f x f x >的是( ) A ．()2 f x x = B ．()1 f x x = C ．()f x x = D ．()21f x x =+ 【解析】由12x x <时，()()12f x f x >，所以函数()f x 在()0,∞+上为减函数的函数.A 选项，2y x 在 ()0,∞+上为增函数， 不符合题意.B 选项，1 y x =在()0,∞+上为减函数，符合题意.C 选项，y x =在()0,∞+上为增函数，不符合题意.D 选项，()21f x x =+在()0,∞+上为增函数，不符合题意.故选B. 3．（2020·山东师范大学附中高三其他）已知定义在R 上的函数()2x f x x =?，3(lo g a f =， 31 (log )2 b f =-，(ln 3) c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．c a b >> 【解析】当0x >时，'()22()2ln 220x x x x f x x x f x x =?=??=+??>，函数()f x 在0x >时，是增函 数.因为()2 2()x x f x x x f x --=-?=-?=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有 33311 (log )(log )(log 2)22 b f f f =-=-=，因为33log lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时， 是增函数，所以c a b >>，故本题选D. 4．（2019·福建龙海二中高三月考（文））设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ） A ．13()()(1)32f f f << B ．31(1)()()23f f f << C ．13(1)()()32f f f << D ．31()(1)()23 f f f << 【解析】 ()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又 (2)()f x f x +=- 11f f ,f (1)f (1)33???? ∴=--=-- ? ????? ， 3112222f f f ???? ?? =-+=-- ? ? ??????? ， 又 11 11023 --<-<-≤，且函数在区间[1,0)-上是增函数， 11f (1)f f 023????∴-<-<-< ? ?????，11f (1)f f 23???? ∴-->-->-- ? ????? 31(1)23f f f ???? ∴>> ? ????? ，故选A. 5．（2020·贵州毕节?高三其他（理））若函数 ()1f x +为偶函数，对任意1x ，[)21,x ∈+∞且12x x ≠，都有 ()()()21120x x f x f x -->????，则有（ ） A ．132323f f f ?????? << ? ? ??????? B ．231323f f f ?????? << ? ? ??????? C ．213332f f f ?????? << ? ? ??????? D ．321233f f f ??????<< ? ? ??????? 【解析】因为函数 ()1f x +为偶函数，所以()f x 的对称轴为1x =； 又对任意1x ，[ )21,x ∈+∞且12x x ≠有()()()21120x x f x f x -->????，则 ()f x 在[)1,+∞上为单调递减函数.因为1152333f f f ??????=-= ? ? ???????， 2242333f f f ?????? =-= ? ? ??????? ， 435 1323< <<，所以435323f f f ??????>> ? ? ???????，即132323f f f ?????? << ? ? ??????? .故选:A. 6．（2020·青海西宁高三一模）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( ) A ．cos 2y x =，x ∈R B ．2log y x =，x ∈R 且x≠0 C ．2 x x e e y --=,x ∈R D ．3+1y x =，x ∈R 【解析】首先判断奇偶性：A,B 为偶函数，C 为奇函数，D 既不是奇函数也不是偶函数,所以排除C 、D ， 对于 先减后增，排除A ，故选B. 7．（2020·全国高三二模（理））定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，[)20,x ∈+∞，有 ()()()21210f x f x x x -- A ．( )()()1 0.3 2 0.3 2log 0.2f f f --<< B ．()( )()0.3 1 2log 0.220.3f f f --<< C ．()( )()1 0.3 2log 0.20.3 2f f f --<< D ．( )()()1 0.32 0.3 log 0.22f f f --<< 【解析】因为对任意的1x ，[)20,x ∈+∞，有()()()21210f x f x x x -- 因为()f x 是偶函数，所以()()222log 0.2(log 0.2)log 5f f f =-=. 因为1 0.3022210 0.33,0221,2log 4log 5log 833 --= ><<==<<=， 函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，所以有( )()()1 0.3 2 0.3 log 52f f f --<<成立，即 ()()()10.320.3log 0.22f f f --<<成立.故选：D 8．（2020·北京密云?高三月考）已知函数()f x 的定义域为 R ，且满足下列三个条件： ①对任意的[]12,4,8x x ∈ ，且 12x x ≠，都有() 1212 ()0f x f x x x ->- ；②(8)()f x f x += ； ③(4)y f x =+ 是偶函数； 若(7),(11)a f b f =-=，(2020)c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c b a << 【解析】由①知，()f x 在[]4,8上单调递增；由②知，()f x 的周期为8； 由③知，()f x 的对称轴为4x =；则()()()717a f f f =-==， ()()()()1183835b f f f f =-==-=，()()202025284c f f =-?=， 因为457<<，由函数的单调性可知，c b a <<.故选:D. 9．（2019·岳麓湖南师大附中高三月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数 a b 、都有 ()()()1f a b f a f b +=+-,且当0x >时()1f x >.若(4)5f =,则不等式2(32)3f x x --<的解集为 ______. 【解析】设12x x >,则120x x ->,12()1f x x ->. 所以12122212()()[()]()()10f x f x f x x x f x f x x -=-+-=-->,即12()()f x f x >,所以()f x 是增函数. 因为(4)5f =,即(2)(2)15f f +-=,所以(2)3f =. 所以原不等式化为2 2 2 4 (32)(2)32234013 f x x f x x x x x -- -. 10．（2020·全国高三课时练习（理））已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数且f （1）＝2，当x 1、x 2∈[－1， 1]，且x 1＋x 2≠0时，有 1212()() f x f x x x +>+，若()225f x m am ≥--对所有[]1,1x ∈-、[]1,1a ∈-恒成立， 则实数m 的取值范围是____________. 【答案】[]1,1- ． 【解析】∵f (x )是定义在[]1,1-上的奇函数， ∴当x 1、x 2∈[]1,1-且120x x ≠＋时， 1212()() f x f x x x +>+等价于 1212()()0 () f x f x x x -->--， ∴f (x )在[]1,1-上单调递增． ∵f （1）＝2，∴f (x )min ＝f (－1)＝－f （1）＝－2.要使()2 25f x m am ≥--对所有[]1,1x ∈-、[]1,1a ∈-恒 成立，即2225m am -≥--对所有a ∈[－1，1]恒成立， ∴m 2－2am －3≤0，设g (a )＝m 2－2am －3， 则()2 2 (1)230? 1230g m m g m m ?-+-≤??--≤?? ＝＝ ， 即3113m m -≤≤??-≤≤?， ∴11m -≤≤ .∴实数m 的取值范围是[]1,1-． 《函数的基本性质》专题复习 （一）函数的单调性与最值 ★知识梳理 一、函数的单调性 1、定义： 设函数的定义域为，区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是 ，称为的 。 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是 ，称为的 。 2、单调性的简单性质： ①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内： 增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。 3、判断函数单调性的方法步骤： 利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○ 1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 函数的基本性质--综合训练B 组 一、选择题 1．下列判断正确的是（ ） A ．函数22)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =- C ．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．( -∞C ．(-∞3．函数A ．(∞-C ．[,24 则实数a A ．a ≤ 5． )x 是增函数； (2)23x --的 A ．0 6. 在下图中是（ ） 二、填空题 1．函数x x x f -=2 )(的单调递减区间是____________________。 2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2 -+=x x x f ，那么0x <时， ()f x = . 3．若函数2()1 x a f x x bx += ++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________. 4．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则 2(6)(3)f f -+-=__________。 5．若函数2()(32)f x k k x b =-++在R 上是减函数，则k 的取值范围为__________。 1][]2,6 2()f b ，且当 0x >时，()y f x =是 奇函数。 3．设函数,且 ()(f x g + 4．设a 为实数，函数1||)(2 +-+=a x x x f ，R x ∈（1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值。 【新教材】3.2.2 奇偶性（人教A 版） 《奇偶性》内容选自人教版A 版第一册第三章第三节第二课时;函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此奇偶性成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后指对函数、幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用. 课程目标 1、理解函数的奇偶性及其几何意义； 2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3、学会判断函数的奇偶性． 数学学科素养 1.数学抽象：用数学语言表示函数奇偶性； 2.逻辑推理：证明函数奇偶性； 3.数学运算：运用函数奇偶性求参数； 4.数据分析：利用图像求奇偶函数； 5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用奇偶性解决实际问题。 重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断； 难点：函数奇偶性概念的探究与理解． 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 一、 情景导入 前面我们用符号语言准确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质.下面继续研究函数的其他性质. 画出并观察函数21()()2||()()= f x x g x x f x x g x x ==-=和、和的图像，你能发现这两个函数图像 ()()()()0f x f x f x f x -=?--=()()()()0 f x f x f x f x -=-?+-= 有什么共同特征码？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、 预习课本，引入新课 阅读课本82-84页，思考并完成以下问题 1.偶函数、奇函数的概念是什么？ 2.奇偶函数各自的特点是？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、 新知探究 1．奇函数、偶函数 （1）偶函数（even function ） 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）奇函数（odd function ） 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 2、奇偶函数的特点 （1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点 不对称，就不具有奇偶性．因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件。 （2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对 称，那么，这个函数是奇函数． （3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以 得到另一半定义域上的图象和性质． （4）偶函数： , 第一章集合与函数概念 §1.1集合 1.1.1 集合的含义与表示（一） 1．体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程，了解集合的含义以及集合中元素的特性，培养自己的抽象、概括能力． 2．掌握“属于”关系的意义，知道常用数集及其记法，初步体会集合语言和符号语言表示数学内容的简洁性和准确性． 1．元素与集合的概念 (1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母表示． (2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母表示． 2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性． 3．集合相等：只有构成两个集合的元素是一样的，才说这两个集合是相等的． 4．元素与集合的关系 (1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A. 5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示． 对点讲练 集合的概念 【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合： (1)著名的数学家；(2)某校2007年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解； (5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体． 解(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合． 规律方法判断指定的对象能不能形成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 变式迁移1 下列给出的对象中，能构成集合的是() A．高个子的人B．很大的数C．聪明的人D．小于3的实数 答案 D （高中数学必修1）函数的基本性质 [B 组] 一、选择题 1．下列判断正确的是（ ） A ．函数2 2)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =- C ．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2 ()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞ 3 ．函数y = ） A ．( ]2,∞- B ．(]2,0 C ．[ )+∞,2 D ．[)+∞,0 4．已知函数()()2 212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数， 则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 5．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数； (2)若函数2 ()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >；(3) 2 23y x x =--的 递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+ 和y = 表示相等函数。 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ） 二、填空题 1．函数x x x f -=2 )(的单调递减区间是____________________。 2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2 -+=x x x f ， 那么0x <时，()f x = . 3．若函数2 ()1 x a f x x bx += ++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________. 4．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8， 最小值为1-，则2(6)(3)f f -+-=__________。 5．若函数2 ()(32)f x k k x b =-++在R 上是减函数，则k 的取值范围为__________。 三、解答题 1．判断下列函数的奇偶性 （1）()f x = （2）[][]()0,6,22,6f x x =∈-- 2．已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立，证明：（1）函数()y f x =是R 上的减函数； （2）函数()y f x =是奇函数。 3．设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且1 ()()1 f x g x x +=-,求()f x 和()g x 的解析式. 4．设a 为实数，函数1||)(2 +-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值。 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 高中数学第一章集合与函数概念知识点 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，N表示自然数集，N*或N + R表示实数集. （3）集合与元素间的关系 ?，两者必居其一. ∈，或者a M 对象a与集合M的关系是a M （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有 21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. （8）交集、并集、补集 【1.1.3】集合的基本运算 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法 （2）一元二次不等式的解法 0) 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足 ,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域 数学试卷 考试围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 学校：___________：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 第1卷 1、设,,其中,如果,数的取值围. 2、集合,。 1.若,数的取值围。 2.当时,没有元素使与同时成立,数的取值围。 3、已知函数是奇函数,且当时,,求函数的解析式. 4、设函数在定义域上总有,且当时,. 1.当时,求函数的解析式; 2.判断函数在上的单调性,并予以证明. 5、已知函数. 1.判断函数的奇偶性; 2.若在区间上是增函数,数的取值围。 6、设是上的函数,且满足,并且对任意的实数都有,求的表达式。 7、定义在上的函数 ,满足 ,且当时, 1.求的值 2.求证: 3.求证: 在上是增函数 4.若 ,解不等式 8、已知函数 1.数的取值围,使是区间上的单调函数 2.求的值,使在区间上的最小值为。 9、已知是奇函数 1.求的值 2.求的单调区间,并加以证明 10、已知是定义在实数集上的偶函数,且在区间上是增函数,并且 ,数的取值围。 11、已知集合。 1.当时,求 2.求使的实数的取值围 12、知二次函数。 1.若函数在区间上存在零点,数的取值围。 2.问是否存在常数 ,当时, 的值域为区间 ,且区间的长度为 (视区间的长度为 ) 13、二次函数满足 ,且。 1.求的解析式 2.求在上的值域。 3.若函数为偶函数,求的值 4.求在上的最小值。 14、定义在上的函数满足对任意、恒有且不恒为。 1.求和的值; 2.试判断的奇偶性,并加以证明 3.若时为增函数,求满足不等式的的取值集合 15、设是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 ,恒有。当时,。 1.求证:函数恒有成立 2.当时,求的解析式 3.计算。 16、已知定义在上的函数对任意实数,恒有,且当时,,又. 1.求证:为奇函数; 高中数学复习讲义 第一课时函数概念及其性质 第1课 函数的概念 【基础练习】 1． 设有函数组：①y x = ，y = y x = ，y = ；③y ，y = ；④1(0),1 (0), x y x >?=?- (3) ()1f x x =+，(1,2]x ∈． 值域是(2,3]． 【范例解析】 例 1.设有函数组：①21 ()1 x f x x -=-，()1g x x =+； ②()f x = ， ()g x = ③()f x =()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个函数的有 ． 例2.求下列函数的定义域：① 12y x =+- ② ()f x = 例3.求下列函数的值域： （1）242y x x =-+-，[0,3)x ∈； （2）2 2 1 x y x =+()x R ∈； （3 ）y x =- 【反馈演练】 1．函数f (x )＝x 21-的定义域是___________． 2．函数) 34(log 1 )(2 2-+-= x x x f 的定义域为_________________． 3. 函数2 1 ()1y x R x = ∈+的值域为________________． 4. 函数23y x =-+_____________． 5．函数)34(log 25.0x x y -= 的定义域为_____________________． 6.记函数f (x )=1 3 2++- x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． (1) 求A ； (2) 若B ?A ，求实数a 的取值范围． 函数的基本性质练习题 、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内。 1. (2010 浙江理)设函数的集合 P = < f (x) =log 2(x+a)+b a =- 丄0 1 1； y = _10l ］，则在同一直角坐标系中， P 中函数f(x)的图象恰好 经过 Q 中两个点的函数的个数是 A.关于原点对称 B. 关于直线y=x 对称 C.关于x 轴对称 D.关于y 轴对称 3. (2010广东理)3 .若函数f (x ) =3x +3-x 与g (x ) =3x -3-x 的定义域均为 R ,则 (4)设f(x)为定义在R 上的奇函数，当 x > 0时，f(x)= 2x +2x+b(b 为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 1 5. (2010湖南理)8.用min ：a,bf 表示a, b 两数中的最小值。若函数f x = min x x ? t 的图像关于直线x=- 2 对称，则t 的值为 A. -2 B . 2 C . -1 D . 1 6??若f(x)是R 上周期为5的奇函数，且满足 f(1)=1 , f(2)=2，则f(3)-f(4)= (A ) -1 (B) 1 (C) -2 (D) 2 7. (2009全国卷I 理)函数 f (x)的定义域为R ,若f(x ，1)与f(X-1)都是奇函数，则( ) A. f (x)是偶函数 Y-(X 2 -x j ：： f (X 2) -f (xj ：： ：(X 2 -x j ，下列结论正确的是 (A) 若 f(x) M ：1,g(xr M -2,则f(x) g(x) M ：2 1 1 2,0Rb7U ， 平面上点的集合 Q=g(x, y) (A ) 4 (B ) 6 (C ) 8 (D ) 10 2. (2010重庆理) 4x 1 2x 的图象 A. f (x)与g(x)与均为偶函数 B. f (x)为奇函数，g(x)为偶函数 C. f (x)与g(x)与均为奇函数 D. f (x)为偶函数，g(x)为奇函数 4. (2010山东理) B. f (x)是奇函数 C. f (x^f (x ■ 2) D. f (x ■ 3)是奇函数 8.对于正实数〉，记 M :.为满足下述条件的函数f ( x )构成的集合 一 X 1, x 2 ? R 且 X 2 > X 1 ,有 第四讲函数的概念与表示 一．知识归纳： 1．映射 （ 1）映射：设 A 、 B 是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合 A 中的任一个 元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及 A到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f ： A→B。 （ 2）象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么集合 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象， a 叫做 b 的原象。 注意：（ 1）对映射定义的理解。（ 2）判断一个对应是映射的方法。 2．函数 （ 1）函数的定义 ①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是 x 的函数， x 叫作自变量。 ②近代定义：设 A 、 B 都是非空的数的集合，f： x→y是从 A 到 B 的一个对应法则，那么从 A 到 B 的映射 f ： A→B就叫做函数，记作y=f(x) ，其中 x∈ A,y ∈ B，原象集合 A 叫做函数的定义域，象集合 C 叫做函数的值域。 注意：①C B; ② A,B,C 均非空 （ 2）构成函数概念的三要素：①定义域②对应法则③值域 3．函数的表示方法：①解析法②列表法③图象法 注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。 二．例题讲解： 【例 1】下列各组函数中，表示相同函数的是（） (A) f(x)=lnx 2,g(x)=2lnx (B)f(x)= a log a x (a>0 且 a≠1),g(x)=x (C) f(x)= 1 x 2 , g(x)=1 - |x| (x ∈[ - 1,1]) (D) f(x)= log a a x (a>0 且 a≠1),g(x)= 3 x3 解答：选D 点评：判断两个函数是否相同主要是从定义域、对应法则两个方面加以分析。 变式：下列各对函数中，相同的是（ D ） (A) f(x)= x 2, g(x)=x (B)f(x)=lgx 2 ,g(x)=2lgx (C)f(x)= lg x 1 , g(x)=lg(x - 1)- lg(x+1) (D) f(x)= 1 u 1 v 1 , g(x)= v x 1 u 1 【例 2】（ 1）集合 A={3,4},B={5,6,7} ，那么可以建立从 A 到 B 的映射的个数是；从B 到 A 的映射的个数是。 （ 2）设集合 A 和 B 都是自然数集合N，映射 f：A→B把集合 A 中的元素 n 映射到集 合 B 中的元素2n+n，则在映射 f 下，像20 的原象是。 解答：（ 1）从 A 到 B 可分两步进行，第一步 A 中的元素 3 可有 3 种对应方法（ 5 或 6 精选 集合与函数概念 一.课标要求： 本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交 流的能力. 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型 来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展 学生对变量数学的认识. 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号. 2.理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述 不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集,培养学生从 具体到抽象的思维能力. 6.理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 8.学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成 的三要素，了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对 应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表 示法. 9.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法)，并能在实际情境中，恰当 地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象. 10.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 11.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，了解奇偶 性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 函数的基本性质 【巩固练习】 1．下列判断正确的是（ ） A ．函数22)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =-数 C ．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞ 3 ．函数y = ） A ．(]2,∞- B ．(]2,0 C ． [)+∞,2 D ．[)+∞,0 4．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 5．下列四个命题： (1)函数f x ()的定义域(,0)(0,)-∞+∞，在0x <时是增函数，0x >也是增函数，则)(x f 在定义域上是增函数； (2)若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >； (3) 223y x x =--的递增区间为[)1,+∞； (4) 1y x =+ 和y =表示相同函数。 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ） 7.函数x x x f -=2)(的单调递减区间是____________________。 心智家三优教育高一特训营数学教学进度表 ¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、 集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. ¤知识要点： 1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性. 2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ???，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集. 3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ???表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或 N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R . 4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、?表示，例如3N ∈， 2N -?. ¤例题精讲： 【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B . 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2 y x =的自变量的值组成的集合. *【例4】已知集合2{| 1}2 x a A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ． 1.3函数的基本性质练习题（2） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的 代号填在题后的括号内。 1．（2010浙江理）设函数的集合21 1()log (),0,,1;1,0,12 2 P f x x a b a b ? ? ==++=-=-??? ? ， 平面上点的集合11(,),0,,1;1,0,122 Q x y x y ? ? ==-=-??? ? ，则在同一直角坐标系中，P 中函数() f x 的图象恰好．． 经过Q 中两个点的函数的个数是 （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10 2. （2010重庆理）(5) 函数()41 2 x x f x +=的图象 A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x 对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称 3. （2010广东理）3．若函数f （x ）=3x +3-x 与g （x ）=3x -3-x 的定义域均为R ，则 A. )(x f 与)(x g 与均为偶函数 B.)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数 C. )(x f 与)(x g 与均为奇函数 D.)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数 4. （2010山东理）（4）设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x+b(b 为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 5. （2010湖南理）8.用{}min ,a b 表示a ，b 两数中的最小值。若函数(){}min ||,||f x x x t =+的图像关于直线x=1 2 -对称，则t 的值为 A ．-2 B ．2 C ．-1 D ．1 6. .若f(x)是R 上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2，则f(3)-f(4)= （A ）-1 (B) 1 (C) -2 (D) 2 7. （2009全国卷Ⅰ理）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( ) A.()f x 是偶函数 B.()f x 是奇函数 C.()(2)f x f x =+ D.(3)f x +是奇函数 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合得含义: 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成得总体叫做集合(简称为集)。 2、集合得中元素得三个特性: (1)元素得确定性:对于一个给定得集合,集合中得元素就是确定得,任何一个对象或者就是或者不就是这个给定得集合得元素。 (2)元素得互异性:任何一个给定得集合中,任何两个元素都就是不同得对象,相同得对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)元素得无序性:集合中得元素就是平等得,没有先后顺序,因此判定两个集合就是否一样,仅需比较它们得元素就是否一样,不需考查排列顺序就是否一样。 3、元素与集合得关系:2hf7sHC。51kBEbP。 (1)如果 a 就是集合 A 得元素,就说 a 属于A,记作: (2)如果 a 不就是集合 A 得元素,就说 a 不属于A,记作: 4、集合得表示: *用拉丁字母表示集合:A={我校得篮球队员},B={1,2,3,4,5} *常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R (1)列举法:把集合中得元素一一列举出来,写在大括号内。如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2} aypYuMZ。0DeBxzM。 (2) 图示法:Venn图 (3) 描述法(数学式子描述与语言描述):把集合中得元素得公共属性描述出来,写在大括号{}内。具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素得一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有得共同特征。 如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{直角三角形}90qy1aJ。2fZxY1j。 5、集合得分类: (1)有限集含有有限个元素得集合 (2)无限集含有无限个元素得集合 (3)空集不含任何元素得集合例:{x|x2=-5｝ 二、集合间得基本关系 1、包含关系 (1)子集:真子集或相等 (2)真子集 2、相等关系:元素相同 两个结论:任何一个集合就是它本身得子集,即A A 对于集合A,B,C,如果 A B, B C ,那么 A C 3、空集 结论:空集就是任何集合得子集,就是任何非空集合得真子集 *集合子集公式:含n个元素得集合子集有2?个,真子集有2?-1个 三、集合得基本运算 1、并集 2、交集 *性质:A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∩B=A, A∩B=B AUA=A, AUΦ=A,AUB=BUA ,AUB包含A, AUB包含B 3、全集与补集 *性质:CU(CUA)=A,(CUA)∩A=Φ,(CUA)∪A=U,(CuA)∩(CuB)= Cu(AUB),(CuA) U (CuB)= Cu(A∩B)al5t6aw。eN17HuK。 选择补充:集合中元素得个数: 四、函数有关概念 《函数的基本性质》培优训练题 1．（2016?义乌市模拟）已知a为实数，函数f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（） A．[1，8]B．[3，8]C．[1，3]D．[﹣1，8] 【解答】解：令函数g（x）=x2﹣ax﹣2，由于g（x）的判别式△=a2+8＞0，故函数g（x）一定有两个零点， 设为x1和x2，且 x1＜x2． ∵函数f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|=，故当x∈（﹣∞，x1）、（x2，+∞）时， 函数f（x）的图象是位于同一条直线上的两条射线， 当x∈（x1，x2）时，函数f（x）的图象是抛物线y=2x2﹣ax﹣2下凹的一部分，且各段连在一起． 由于f（x）在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，∴a＞0且函数g（x）较小的零点x1=≥﹣1，即a+2≥，平方得a2+4a+4≥ａ2+8，得a≥1，同时由y=2x2﹣ax﹣2的对称轴为x=，若且﹣1≤≤2，可得﹣ 4≤a≤8． 综上可得，1≤a≤8，故实a的取值范围为[1，8]，故选：A． 2．（2016?江西校级模拟）已知定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，且y=f（x+2）为偶函数，则关 于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0的解集为（） A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）B．（﹣，2）C．（﹣∞，）∪（2，+∞）D．（，2） 【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，且y=f（x+2）为偶函数， ∴y=f（x+2）关于x=0对称，即函数f（x+2）在（0，+∞）上为减函数，由f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得f（2x﹣1）＞f（x+1），即f（2x﹣3+2）＞f（x﹣1+2），即|2x﹣3|＜|x﹣1|，平方整理得3x2﹣10x+8＜0， 即＜x＜2，即不等式的解集为（，2），故选：D 3．（2016?四川模拟）设f（x）满足：①任意x∈R，有f（x）+f（2﹣x）=0；②当x≥１时，f（x）=|x﹣a|﹣1，（a ＞0），若x∈R，恒有f（x）＞f（x﹣m），则m的取值范围是（） A．（0，+∞）B．（4，+∞）C．（3，+∞）D．（5，+∞） 【解答】解：∵任意x∈R，有f（x）+f（2﹣x）=0，∴f（2﹣x）=﹣f（x），则函数关于（1，0）点对称， 当x=1时，f（1）+f（2﹣1）=0，即2f（1）=0，则f（1）=0，∵当x≥１时，f（x）=|x﹣a|﹣1，∴f（1）=|1﹣a|﹣1=0， 则|a﹣1|=1，则a﹣1=1或a﹣1=﹣1，则a=2或a=0，∵a＞0，∴a=2，即当x≥１时，f（x）=|x﹣2|﹣1(完整版)函数的基本性质详细知识点及题型分类(含课后作业)
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