北京爱迪(国际)学校八年级数学上册第四单元《整式的乘法与因式分解》检测题(包含答案解析)

一、选择题

1．将4个数a 、b 、c 、d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a c b d ，定义a c b d =ad －bc ．上述记号就叫做2阶行列式，若

11x x +- 11x x -+=12，则x=( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．6

2．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方

便．原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取

9x =，9y =，则各个因式的值是：0x y -=，18x y +=，22162x y +=，于是就可以

把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取30x =，20y =，用上述方

法产生的密码不可能是（ ）

A ．301050

B ．103020

C ．305010

D ．501030 3．若2x y +=，1xy =-，则()()1212x y --的值是（ ）

A ．7-

B ．3-

C ．1

D ．9

4．已知代数式2366x x -+的值为9，则代数式226x x -+的值为（ ） A ．18

B ．12

C ．9

D ．7 5．多项式2

91x 加上一个单项式后﹐使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是（ ）

A ．6x ±

B ．-1或4814x

C ．29x -

D ．6x ±或1-或29x - 6．已知A 为多项式，且2221241A x y x y =--+++，则A 有（ ）

A ．最大值23

B ．最小值23

C ．最大值23-

D ．最小值23- 7．计算2019202040.75

3???- ???的结果是（ ） A ．43 B ．43- C ．0.75 D ．-0.75

8．若|m ﹣3n ﹣2019|＝1，则（2020﹣m +3n ）2的值为（ ）

A ．1

B ．0

C ．1或2

D ．0或4 9．小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：-a b ，x y -，x y +，+a b ，22x y -，22a b -分别对应下列六个字：通、爱、我、昭、丽、美、现将()()222222x y a x y b ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）

A ．我爱美丽

B ．美丽昭通

C ．我爱昭通

D ．昭通美丽 10．下列运算中，正确的是（ ）

A ．()23294x y x y =

B ．3362x x x +=

C ．34

x x x ?=

D ．22(3)(3)3x y x y x y +-=-

11．已知()()22113(21)a b ab ++=-，则1b a a ??-

???的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．-2 D ．-1

12．下列各式计算正确的是（ ） A ．5210a a a = B ．()428=a a C ．()236a b a b = D ．358a a a +=

二、填空题

13．历史上数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示．例如，对于多项式()3

5f x mx nx =++，当3x =时，多项式的值为()32735f m n =++，若()36f =，则()3f -的值为__________．

14．下图中的四边形均为长方形，根据图形面积，写出一个正确的等式：______．

15．若2|1|0++-=a b ，则2020()a b +=_________．

16．已知x 2－3x －1＝0，则2x 3－3x 2－11x ＋1＝________．

17．若2211392781n n ++?÷=，则n =____．

18．若210a a +-=，则43222016a a a a +--+的值为______．

19．若代数式23y y +-的值为0，则代数式3242020y y ++的值为___________． 20．若方程22(1)8m x mx x --+=是关于x 的一元一次方程，则代数式2008|1|m m --的值为________．

三、解答题

21．因式分解：（1）382a a -

（2）()()24129x y x y +-+-

22．如图1是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a 、b 、c ，其中a 、b 是直角边，两个小正方形的边长分别是a 、b ．

（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图2）．用两种不同的方法列代数式表示图2中的大正方形面积：

方法一：________________；

方法二：________________；（直接把答案填写在答题卡的横线上）

（2）观察图2，试写出()2

a b +，2a ，2ab ，2b 这四个代数式之间的等量关系：________________．（直接把答案填写在答题卡的横线上）

（3）请利用（2）中等量关系解决问题：若图1中一个三角形面积是6，图2的大正方形面积是64，求22a b +的值．

23．图1是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于______；

（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．

①________________；

②__________________．

（3）观察图2你能写出2()m n +，2()m n -，mn 三个代数式之间的等量

_____________．

（4）运用你所得到的公式，计算若知8,7a b ab +==，求-a b 和22a b -的值．

（5）用完全平方公式和非负数的性质求代数式222431832x x y y ++-+的最小值．

24．观察下列各式：

2(1)(1)1x x x -+=-；()23(1)11x x x x -++=-；()

324(1)11x x x x x -+++=-； 请根据这一规律计算：

（1）()12(1)1n n n x x x x x ---+++???++；

（2）1514132222221+++???+++．

25．已知将32()(34)x mx n x x ++-+化简的结果不含3x 和2x 项．

（1）求m 、n 的值；

（2）当m 、n 取第（1）小题的值时，求22242m mn n -+的值．

26．把下列多项式因式分解：

（1）2()4a b ab -+；

（2）22()()a x y b y x -+-．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

解析：B

【分析】

根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x的值．【详解】

解：根据题意化简

11

11

x x

x x

+-

-+

=12，得（x+1）2-（x-1）2=12，

整理得：x2+2x+1-（1-2x+x2）-12=0，即4x=12，

解得：x=3，

故选：B．

【点睛】

此题考查了整式的混合运算，属于新定义的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键．

2．B

解析：B

【分析】

对多项式利用提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算即可确定出密码．

【详解】

x3?xy2＝x（x2?y2）＝x（x＋y）（x?y），

当x＝30，y＝20时，x＝30，x＋y＝50，x?y＝10，

组成密码的数字应包括30，50，10，

所以组成的密码不可能是103020．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，立意新颖，熟记公式结构是解题的关键．

3．A

解析：A

【分析】

利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值．

【详解】

解：∵x+y=2，xy=-1，

∴（1-2x）（1-2y）=1-2y-2x+4xy=1-2（x+y）+4xy=1-2×2-4=-7；

故选：A．

【点睛】

本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4．D

解析：D

【分析】

将x 2﹣2x 当成一个整体，在第一个代数式中可求得x 2﹣2x ＝1，将其代入后面的代数式即能求得结果．

【详解】

解：∵3x 2﹣6x +6＝9，即3（x 2﹣2x ）＝3，

∴x 2﹣2x ＝1，

∴x 2﹣2x +6＝1+6＝7．

故选：D ．

【点睛】

本题考查了代数式求值，解题的关键是将x 2﹣2x 当成一个整体来对待．

5．D

解析：D

【分析】

根据完全平方公式计算解答．

【详解】

解：添加的方法有4种，分别是：

添加6x ，得9x 2+1+6x=（3x+1）2；

添加﹣6x ，得9x 2+1﹣6x=（3x ﹣1）2；

添加﹣9x 2，得9x 2+1﹣9x 2=12；

添加﹣1，得9x 2+1﹣1=（3x ）2，

故选：D ．

【点睛】

此题考查添加一个整式得到完全平方式，熟记完全平方式的特点是解题的关键． 6．A

解析：A

【分析】

利用分组分解法，变为完全平方式解答即可．

【详解】

2221241A x y x y =--+++

=2221218441184x x y y -+--+-+++

=()()222694423x x y y --+--++

=()()22

23223x y ----+

∵()2230x --≤，()220y --≤，

∴()()22

23223x y ----+≤23， ∴多项式的最大值是23，

故选A ．

【点睛】

本题考查了因式分解的应用，熟练掌握a 2±2ab +b 2=(a ±b )2是解答本题的关键．

7．D

解析：D

【分析】

先将20200.75化为201934

34?，再用幂的乘方的逆运算计算，再计算乘法即可得到答案． 【详解】 2019202040.753???- ??? =20192019343434?????-? ? ?????

=201934()3434???????

?- =(31)4-?

=34

-, 故选：D ．

【点睛】

此题考查有理数数的乘法运算，掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键．

8．D

解析：D

【分析】

依据绝对值的性质，即可得到m ﹣3n ＝2020或2018，进而得出m ﹣3n 的值，再根据平方运算，即可得到（2020﹣m +3n ）2的值．

【详解】

∵|m ﹣3n ﹣2019|＝1，

∴m ﹣3n ﹣2019＝±1，

即m ﹣3n ＝2020或2018，

∴2020﹣m +3n ＝2020﹣（m ﹣3n ）＝0或2，

∴（2020﹣m +3n ）2的值为0或4，

故选：D ．

【点睛】

本题考查绝对值的性质和代数式求值，利用整体思想求出m ﹣3n 的值且注意去绝对值时的两种情况．

9．C

解析：C

【分析】

将式子先提取公因式再用平方差公式因式分解可得：（x 2-y 2）a 2-（x 2-y 2）b 2=（x 2-y 2）（a 2-b 2）=（x+y ）（x-y ）（a+b ）（a-b ），再结合已知即可求解．

【详解】

解：（x 2-y 2）a 2-（x 2-y 2）b 2

=（x 2-y 2）（a 2-b 2）

=（x+y ）（x-y ）（a+b ）（a-b ），

由已知可得：我爱昭通，

故选：C ．

【点睛】

本题考查了因式分解的应用；将已知式子进行因式分解，再由题意求解是解题的关键． 10．C

解析：C

【分析】

根据积的乘方与幂的乘方运算法则，合并同类项法则，同底数幂的乘法以及平方差公式分别计算各项，然后再进行判断即可．

【详解】

解：A. ()23264x y x y =，所以原选项计算错误，故不符合题意；

B.3332x x x +=，所以原选项计算错误，故不符合题意；

C.34x x x ?=，计算正确，符合题意；

D.22(3)(3)9x y x y x y +-=-，所以原选项计算错误，故不符合题意．

故选：C ．

【点睛】

此题主要考查了乘方与幂的乘方运算法则，合并同类项法则，同底数幂的乘法以及平方差公式，要熟练掌握．

11．D

解析：D

【分析】

先对()()22113(21)a b ab ++=-进行变形，可以解出a ，b 的关系，然后在对1b a a ??- ???进行因式分解即可．

【详解】

∵()()

22113(21)a b ab ++=-，

∴2222163a b a b ab +++=-，

22222440a b ab a b ab +-+-+=，

()()

2220a b ab -+-=， ∴a b =，2ab =， ∴1121b b a ab a a

??-=-=-=- ??? 故选：D ．

【点睛】

本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意符号变换，同时掌握正确的运算是解答本题的关键．

12．B

解析：B

【分析】

根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、合并同类项法则逐一计算即可判断．

【详解】

解：A 、a 5?a 2＝a 7，此选项计算错误，故不符合题意；

B 、（a 2）4＝a 8，此选项计算正确，符合题意；

C 、（a 3b ）2＝a 6b 2，此选项计算错误，故不符合题意；

D 、a 3与a 5不能合并，此选项计算错误，故不符合题意．

故选：B ．

【点睛】

本题主要考查幂的运算，合并同类项，解题的关键是熟练掌握同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方的运算法则．

二、填空题

13．4【分析】由得到整体代入求出结果【详解】解：∵∴即∴故答案是：4

【点睛】本题考查代数式求值解题的关键是掌握整体代入求值的思想 解析：4

【分析】

由()36f =得到2731m n +=，整体代入()32735f m n -=--+求出结果．

【详解】

解：∵()36f =，

∴27356m n ++=，即2731m n +=，

∴()()327352735154f m n m n -=--+=-++=-+=．

故答案是：4．

【点睛】

本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入求值的思想．

14．（等号两边交换位置也正确）【分析】根据三个小长方形的面积和等于大长方形的面积可列等式【详解】解：从左到右三个小长方形的面积分别为：mambmc 大长方形的面积为：m （a+b+c ）三个小长方形的面积和等

解析：()m a b c ma mb c ++=++（等号两边交换位置也正确）

【分析】

根据三个小长方形的面积和等于大长方形的面积可列等式．

【详解】

解：从左到右三个小长方形的面积分别为：ma 、mb 、mc ，

大长方形的面积为：m （a+b+c ），

三个小长方形的面积和等于大长方形的面积，m （a+b+c ）= ma+mb+mc ，

故答案为：()m a b c ma mb c ++=++．

【点睛】

本题考查了单项式乘以多项式的几何意义，分别表示出各个长方形的面积，找到等量关系是解题关键．

15．1【分析】根据算术平方根的非负性及绝对值的非负性求出a=-2b=1代入计算即可【详解】∵且∴a+2=0b-1=0∴a=-2b=1∴故答案为：1【点睛】此题考查代数式的求值正确掌握算术平方根的非负性及

解析：1

【分析】

根据算术平方根的非负性及绝对值的非负性求出a=-2，b=1，代入计算即可．

【详解】 ∵|1|0-=b

0,|1|0b -≥，

∴a+2=0，b-1=0，

∴a=-2，b=1，

∴202020201()(21)a b +-+==，

故答案为：1．

【点睛】

此题考查代数式的求值，正确掌握算术平方根的非负性及绝对值的非负性求出a=-2，b=1是解题的关键．

16．4【分析】根据x2－3x －1＝0可得x2－3x ＝1再将所求代数式适当变形后分两次整体代入即可求得值【详解】解：∵x2－3x －1＝0∴x2－3x ＝1∴==将x2－3x ＝1代入原式==将x2－3x ＝1代

解析：4

【分析】

根据x 2－3x －1＝0可得x 2－3x ＝1，再将所求代数式适当变形后分两次整体代入即可求得值．

【详解】

解：∵x 2－3x －1＝0，

∴x 2－3x ＝1，

∴3223111x x x --+

=223132611x x x x -+-+

=()22

233111x x x x x -+-+

将x 2－3x ＝1代入

原式=221113x x x +-+

=23)13(x x -+

将x 2－3x ＝1代入

原式=314+=，

故答案为：4．

【点睛】

本题考查代数式求值，因式分解法的应用．解决此题的关键是掌握“降次”思想和整体思想． 17．3【分析】根据幂的乘方把算式中的各底数变成同底数然后按同底数幂运算法则列方程即可【详解】解：故答案为：3【点睛】本题考查了同底数幂的乘除和幂的乘方根据题意把底数变成相同是解题关键

解析：3

【分析】

根据幂的乘方把算式中的各底数变成同底数，然后按同底数幂运算法则，列方程即可．

【详解】

解：2211392781n n ++?÷=

22213143(3)(3)3n n ++?÷=，

2423343333n n ++?÷=，

242(33)433n n ++-+=，

1433n +=，

14n +=，

3n =．

故答案为：3

【点睛】

本题考查了同底数幂的乘除和幂的乘方，根据题意，把底数变成相同是解题关键． 18．【分析】原式变形为由已知得到整体代入即可求解【详解】已知得：故答案为：【点睛】本题考查了代数式求值熟练掌握整体代入法是解题的关键 解析：2015

【分析】

原式变形为()

22222016a a a a a +--+，由已知得到21a a +=，整体代入即可求解．

【详解】

已知得：21a a +=，

43222016a a a a +--+

()

22222016a a a a a =+--+

2222016a a a =--+ ()

22016a a =-++ 12016=-+

2015=．

故答案为：2015．

【点睛】

本题考查了代数式求值，熟练掌握整体代入法是解题的关键．

19．2029【分析】由题意得将原式变形成整体代入得再一次整体代入即可求出结果【详解】解：∵∴原式故答案为：【点睛】本题考查代数式求值解题的关键是掌握整体代入的思想进行求解

解析：2029

【分析】

由题意得23y y +=，将原式变形成()22

32020y y y y +++，整体代入得2332020y y ++，再一次整体代入即可求出结果．

【详解】

解：∵23y y +-，

∴23y y +=，

原式()22

32020y y y y =+++ 2332020y y =++

()232020y y =++

92020=+

2029=．

故答案为：2029．

【点睛】

本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入的思想进行求解．

20．1【分析】根据一元一次方程的定义可求出m 的值在将m 代入代数式计算即可【详解】原方程可整理为根据题意可知且所以所以故答案为：1【点睛】本题考查一元一次方程的定义以及代数式求值利用一元一次方程的定义求出 解析：1

【分析】

根据一元一次方程的定义，可求出m 的值．在将m 代入代数式计算即可．

【详解】

原方程可整理为22(1)(1)80m x m x --++=．

根据题意可知210m -=且10m +≠，

所以1m =． 所以2008200811111m m --=--=．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查一元一次方程的定义以及代数式求值．利用一元一次方程的定义求出m 的值是解答本题的关键．

三、解答题

21．（1）()()22121a a a +-；（2）()2

332x y -+ 【分析】

（1）首先提取公因式2a ，再利用平方差公式分解因式得出答案；

（2）原式利用完全平方公式分解即可．

【详解】

解：（1）8a 3-2ab 2=2a （4a 2-1）=2a （2a+1）（2a-1），

（2）原式=[3（x-y ）+2]2=（3x-3y+2）2．

【点睛】

本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

22．（1）()2a b +；222a b ab ++；（2）()2222a b a b ab +=++；（3）40

【分析】

（1）利用两种方法表示出大正方形面积即可；

（2）写出四个代数式之间的等量关系即可；

（3）由直角三角形的面积是6，得到ab ＝12，大正方形②的面积是（a +b ）2＝64，把（2）变形后，整体代入可直接求值；

【详解】

解：（1）方法一：()2a b +；

方法二：222a b ab ++；

故答案为：（a +b ）2；a 2+2ab +b 2；

（2）()2222a b a b ab +=++；

（3）∵162

ab =，()264a b +=， ∴224ab =， ∴()222240a b a b ab +=+-=．

【点睛】

此题考查了完全平方公式的几何背景，代数式求值，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

23．（1）m-n ；（2）①（m-n ）2；②（m+n ）2-4mn ；（3）（m-n ）2=（m+n ）2-4mn ；（4）6a b -=±，22a b -=±48；（5）3

【分析】

（1）根据阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽解答；

（2）从整体与局部两个思路考虑解答；

（3）根据大正方形的面积减去阴影部分小正方形的面积等于四个长方形的面积解答； （4）根据()()22

4a b a b ab -=+-，可得a-b 的值，再根据22a b -=()()a b a b +-求出22a b -的值；

（5）利用完全平方公式将原式变形为()()22

21333x y ++-+，再根据非负数的性质可求出最小值为3．

【详解】

解：（1）由图可知，阴影部分小正方形的边长为：m-n ；

（2）根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为（m-n ）2，

还可以表示为（m+n ）2-4mn ；

（3）根据阴影部分的面积相等，（m-n ）2=（m+n ）2-4mn ；

（4）∵8,7a b ab +==，

∴()()224a b a b ab -=+-=2847-?=36， ∴6a b -=±，

若6a b -=，则22a b -=()()a b a b +-=86?=48，

若6a b -=-，则22a b -=()()a b a b +-=()86?-=-48；

（5）222431832x x y y ++-+

=22242318273x x y y +++-++

=()()22

21333x y ++-+

∵()2210x +≥，()2330y -≥， ∴()()22

21333x y ++-+≥3，即最小值为3． 【点睛】

本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键．

24．（1）11n x +-；（2）1621-．

【分析】

（1）观察题中所给的三个等式，可知等式右边第一项的次数等于左边第二个括号内最高次项的次数加1，等式右边第二项均为1，据此可解；

（2）根据（1）中所得的规律，可将原式左边乘以（2-1），再按照（1）中规律计算即可．

【详解】

（1）()12(1)1n n n x x x x x ---+++???++

11n x +=-；

（2）1514132222221+++???+++

1514132(21)(222221)=-+++???+++

1621=-．

【点睛】

本题考查了平方差公式和多项式乘法公式在计算中的应用，熟练掌握相关计算法则是解题的关键．

25．（1）m=-4，n=-12；（2）128

【分析】

（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含x 2和x 3项即可得到m 与n 的值；

（2）根据题意，将（1）中所求m 、n 的值代入计算即可．

【详解】

解：（1）32()(34)x mx n x x ++-+

54323(4)(3)(43)4x x m x n m x m n x n =-+++-+-+；

∵化简的结果不含3x 和2x 项，

∴40m +=，30n m -=，

∴4m =-，12n =-；

（2）22222422()2(412)264128m mn n m n -+=-=?-+=?=；

【点睛】

此题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

26．（1）2()a b +；（2）()()()a b a b x y +--

【分析】

（1）根据完全平方公式展开，合并，再根据完全平方公式即可分解；

（2）先提取公因式(x y -)，再根据平方差公式继续分解即可．

【详解】

解：（1）原式2224a ab b ab =-++

222a ab b =++

2()a b =+；

（2）原式22()()a x y b x y =---

()22()a b x y =--

()()()a b a b x y =+--．

【点睛】

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．