第6讲 对数与对数函数(教师版)
六讲 对数与对数函数
1．对数的概念
如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则
如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M
N
＝log a M －log a N ；
③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；
④log am M n ＝n
m log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)．
(2)对数的性质 ①a
log a N
＝ N ；②log a a N ＝ N (a >0且a ≠1)．
(3)对数的重要公式
①换底公式：log b N ＝log a N
log a b (a ，b 均大于零且不等于1)；
②log a b ＝1
log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .
3．对数函数的图象与性质
a >1
0 图象 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R (3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0 (4)当x >1时，y >0 (5)当x >1时，y <0 当0 当0 (7)在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线 y ＝x 对称． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( × ) (3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 13 3x 都是对数函数．( × ) (4)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x 1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ ) (6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，????1 a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ ) 1．(2015·湖南)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数 答案 A 解析 易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ? ???? －1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0,1)上是增函数，故选A. 2．已知a ＝31 2 ，b ＝log 13 12，c ＝log 21 3 ，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．b >a >c 答案 A 解析 a ＝3>1,0 12＝log 32<1，c ＝log 21 3 ＝－log 23<0，故a >b >c ，故选A. 3．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是( ) 答案 B 解析 由函数f (x )＝lg(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R .又当x >1时，函数单调递增，所以只有选项B 正确． 4．(教材改编)若log a 3 4<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( ) A.??? ?0，34 B ．(1，＋∞) C.????0，3 4∪(1，＋∞) D.???? 34，1 答案 C 解析 当0 4 4 ∴实数a 的取值范围是????0，3 4∪(1，＋∞)． 5．(2015·浙江)若a ＝log 43，则2a ＋2－ a ＝ . 答案 4 3 3 解析 2a ＋2－a ＝24log 3 ＋2 4log 3 －＝2 log 3 2 3log ＝3＋ 33＝4 3 3. 题型一 对数式的运算 例1 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1 b ＝2，则m 等于( ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100 (2)lg 5＋lg 20的值是 ． 答案 (1)A (2)1 解析 (1)∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10. (2)原式＝lg 100＝lg 10＝1. 思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算． (1)计算： (1－log 63)2＋log 62·log 618 log 64 ＝ . (2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋ n ＝ . 答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式 ＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 66 3 ·log 6(6×3) log 64 ＝1－2log 63＋(log 63)2＋(1－log 63)(1＋log 63)log 64 ＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64 ＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1. (2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12. 题型二 对数函数的图象及应用 例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( ) (2)当0 2时，4x A.? ?? ?0， 22 B.?? ? ? 22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) 答案 (1)C (2)B 解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C. (2)方法一 构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0 ?0，1 2上的图象， 可知f ????12 即2 2，1. 方法二 ∵0 2，∴1<4x ≤2， ∴log a x >4x >1， ∴0 2， x ＝12，则有41 2＝2，log 12 1 2 ＝1， 显然4x 思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． (1)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与 函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( ) (2)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则() A．x1x2<0 B．x1x2＝1 C．x1x2>1 D．0 答案(1)B(2)D 解析(1)∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1， ∵g(x)＝－log b x的定义域是(0，＋∞)，故排除A. 若a>1，则0 此时f(x)＝a x是增函数，g(x)＝－log b x是增函数． 故选B. (2)构造函数y＝10x与y＝|lg(－x)|， 并作出它们的图象，如图所示． 因为x1，x2是10x＝|lg(－x)|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x2<－1，－1 题型三对数函数的性质及应用 命题点1比较对数值的大小 例3设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则() A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c 答案D 解析 由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c ，故选D. 命题点2 解对数不等式 例4 若log a (a 2＋1) 2 ) C ．(1 2，1) D ．(0,1)∪(1，＋∞) 答案 C 解析 由题意得a >0，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1) 2. 综上，a ∈(1 2 ，1)． 命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )． (1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围； (2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数， x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <3 2 . 又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪????1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数， ∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴????? 3－2a >0， log a (3－a )＝1，即??? a <3 2 ，a ＝32. 故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件． (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则 ( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b (2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞) (3)设函数f (x )＝????? log 2 x ，x >0，log 1 2(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 (1)D (2)A (3)C 解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2， ∴log 33 log 51 2 ，c >1，∴c >a >b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1] 上递减，则有????? g (1)>0，a ≥1，即????? 2－a >0，a ≥1， 解得1≤a <2，即a ∈[1,2)，故选A. (3)由题意可得? ???? a >0， log 2a >log 12a 或???? ? a <0， log 1 2 (－a )>log 2(－a )， 解得a >1或－1 2．比较指数式、对数式的大小 典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c D ．a (2)设a ＝log 2π，b ＝log 12 π，c ＝π－ 2，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >b D ．c >b >a (3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5 a b c ＝，＝，＝，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >b D ．c >a >b 思维点拨 (1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大小．(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c 比较．(3)化为同底的指数式． 解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b 根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b (2)∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π＝log 21π π 2<1，∴b (3)c ＝(15 )3log 0.3＝53log 0.3 －＝310 log 35. 方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示． 由图象知： log 23.4>log 310 3 >log 43.6. 方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且10 3<3.4， ∴log 310 3 ∵log 43.6 3>1， ∴log 43.6 3. ∴log 23.4>log 310 3>log 43.6. 由于y ＝5x 为增函数，∴5 2log 3.4 >3 10log 3 5 >5 4log 3.6 . 即5 2log 3.4 >3log 0.3 1() 5 >5 4log 3.6 ，故a >c >b . 答案 (1)C (2)C (3)C 温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也 可用数形结合的方法． (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1. [方法与技巧] 1．对数值取正、负值的规律 当a>1且b>1或0 当a>1且0 2．对数函数的定义域及单调性 在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝log a x的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0 分类讨论． 3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定． [失误与防范] 1．在运算性质log a Mα＝αlog a M中，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为log a Mα＝αlog a|M|(α∈N*，且α为偶数)． 2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围． A组专项基础训练 (时间：30分钟) 1．若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是() 答案 B 解析 由题图可知y ＝log a x 的图象过点(3,1)， ∴log a 3＝1，即a ＝3. A 项，y ＝3－x ＝(1 3)x 在R 上为减函数，错误； B 项，y ＝x 3符合； C 项，y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，错误； D 项，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误． 2．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 12 ，则( ) A ．x B ．z C ．z D ．y 答案 D 解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1. ∵y ＝log 52 2. ∵z ＝e －12＝1e >14＝12，∴1 2 综上可得，y 3．若函数f (x )＝????? ????12x (x ≥4)， f (x ＋1) (x <4)，则f (lo g 23)等于( ) A.1 6 B.112 C.124 D.13 答案 C 解析 ∵1 2 1 log 24 ＝ 124 . 4．设f (x )＝lg ??? ?2 1－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(－∞，0) D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 答案 A 解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg 1＋x 1－x ，定义域为(－1,1)． 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x <1，∴－1 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1 5，则f (log 220)等于( ) A ．1 B.4 5 C ．－1 D ．－45 答案 C 解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－ 4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝－(224 log 5＋1 5 )＝－1. 6．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为 ． 答案 －1 4 解析 显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝1 2log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝????log 2x ＋122－14≥－14.当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－1 4 . 7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f (1 2)log 2x ，则f (2)＝ . 答案 32 解析 由已知得f (12)＝1－f (12)·log 22，则f (12)＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝3 2 . 8．(2015·福建)若函数f (x )＝? ???? －x ＋6，x ≤2， 3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是 ． 答案 (1,2] 解析 由题意f (x )的图象如右图，则????? a ＞1， 3＋log a 2≥4， ∴1＜a ≤2. 9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间[0，3 2]上的最大值． 解 (1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)， ∴a ＝2. 由????? 1＋x >0，3－x >0， 得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x ) ＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数， 故函数f (x )在[0，3 2 ]上的最大值是f (1)＝log 24＝2. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟) 10．(2015·陕西)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ??? ?a ＋b 2，r ＝1 2(f (a )＋f (b ))，则下列 关系式中正确的是( ) A ．q ＝r ＜p B ．p ＝r 答案 B 解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ， 又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴f ? ?? ?? a ＋ b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝1 2(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ， 故p ＝r ＜q .选B. 11．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f (13) B ．f (12) ) C ．f (12) 3) D ．f (2) 答案 C 解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ， 所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大， ∵|2－1|>|13－1|>|1 2－1|， ∴f (12) 3 ) 12．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为 ． 答案 23 解析 由题意可知求b －a 的最小值即求区间[a ，b ]的长度的最小值，当f (x )＝0时x ＝1，当f (x )＝1时x ＝3或13，所以区间[a ，b ]的最短长度为1－13＝23，所以b －a 的最小值为2 3. 13．已知函数f (x )＝ln x 1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0 答案 ??? ?0，14 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0， 即ln ? ????a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝ －????a －122＋14， 又0 ∴0 ，故0<－????a －122＋14<1 4. 14．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－1 8， 求a 的值． 解 由题意知f (x )＝1 2(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18 . 第6讲对数与对数函数 一、选择题 1.(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的() A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0； 当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1. 答案 A 2.(2017·石家庄模拟)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是() A.a＝b 解析 由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝? ? ? ??13x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符.故选B. 答案 B 4.已知函数f (x )＝???log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0， 则f (f (1))＋f ? ????log 312的值是( ) A.5 B.3 C.－1 D.7 2 解析 由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2， f ? ? ? ??log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3， 所以f (f (1))＋f ? ? ? ??log 312＝5. 答案 A 5.(2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A.(a －1)(b －1)<0 B.(a －1)(a －b )>0 C.(b －1)(b －a )<0 D.(b －1)(b －a )>0 解析 ∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1. 《对数与对数函数》测试 12.21 一、选择题： 1．已知3a ＋5b = A ，且 a 1＋b 1 = 2，则A 的值是( )． (A)．15 (B)．15 (C)．±15 (D)．225 2．已知a ＞0，且10x = lg(10x)＋lg a 1 ，则x 的值是( )． (A)．－1 (B)．0 (C)．1 (D)．2 3．若x 1，x 2是方程lg 2x ＋(lg3＋lg2)＋lg3·lg2 = 0的两根，则x 1x 2的值 是( )． (A)．lg3·lg2 (B)．lg6 (C)．6 (D)． 6 1 4．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，那么a 的取值X 围是( )． (A)．(0，1) (B)．(0，21) (C)．(21 ，1) (D)．(1，＋∞) 5． 已知x = 31log 12 1 ＋ 31log 1 5 1 ，则x 的值属于区间( )． (A)．(－2，－1) (B)．(1，2) (C)．(－3，－2) (D)．(2，3) 6．已知lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1 = 0的两个根，则(lg b a )2的值是( )． (A)．4 (B)．3 (C)．2 (D)．1 7．设a ，b ，c ∈R ，且3a = 4b = 6c ，则( )． (A)．c 1=a 1＋b 1 (B)．c 2=a 2＋b 1 (C)．c 1=a 2＋b 2 (D)．c 2=a 1＋b 2 8．已知函数y = log 5.0(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值X 围是( )． (A)．0≤a ≤1 (B)．0＜a ≤1 (C)．a ≥1 (D)．a ＞1 9．已知lg2≈0.3010，且a = 27×811×510的位数是M ，则M 为( )． 2. 2.1第一课时 对数的概念教案 【教学目标】 1.理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化 2.渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力【教学重难点】 重点：对数的概念 难点：对数概念的理解. 【教学过程】 一、预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 二、情景导入、展示目标。 （一）复习引入： 1庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？ 2假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？ 抽象出：1. ＝？，＝0.125x=? 2. =2x=? 也是已知底数和幂的值，求指数你能看得出来吗？怎样求呢？ （二）新授内容： 定义：一般地，如果 的b 次幂等于N, 就是 ，那么数 b 叫做 以 a 为底 N 的对数，记作 ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数 例如： ; ; 探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ） ⑵， ∵对任意 且 , 都有 ∴ 同样易知： ⑶对数恒等式 如果把 中的 b 写成 , 则有 421??? ??x ?? ? ??21?()x %81+?()1,0≠>a a a N a b =b N a =log 1642=?216log 4=100102 =?2100log 10=242 1=?2 12log 4= 01.0102 =-?201.0log 10-=01log =a 1log =a a 0>a 1≠a 10 =a 01log =a 1log =a a N a b =N a log N a N a =log 对数与对数函数 【考纲要求】 1. 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用 2.理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点．会画底数为2，10， 1 2 的对数函数的图象 3.体会对数函数是一类重要的函数模型； 4.了解指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数(0,1a a >≠)． 【基础再现】 1．对数的定义 如果______________，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，____叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a >0且a ≠1) ①a log a N ＝____； ②log a 1＝____； ③log a a N ＝____； ④log a a ＝____. (2)对数的重要公式 ①换底公式：log a N ＝________________(a ，c 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝________. (3)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝__________________； ②log a M N ＝____________； 3对数函数的定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数 4对数函数的图像及性质 5 指、对函数的关系 ③log a M n＝__________(n ∈R)； ④log am M n＝ n m log a M. 【例题选讲】 例1 ⑴27 log 9 ，⑵81 log 43 ，⑶()()3 2 log 3 2 - + ，⑷625 log 34 5 例2 ⑴ = ⑵2 5 log()a -= ⑶ 3 log1= = ⑷2 (lg5)lg2lg50 +?＝. ⑸()2 151515 log5log45log3 ?+ 例4 ⑴已知 3 log2a =，35 b=用a b ，表示log 第6讲 对数与对数函数 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．如果 ，那么x ，y,1的大小关系是________． 解析 ∵ 是(0，＋∞)上的减函数，∴x ＞y ＞1. 答案 1＜y ＜x 2．(2014·深圳调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝________. 解析 f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1. 答案 －1 3．函数y ＝log 12 (3x －a )的定义域是? ????23，＋∞，则a ＝______. 解析 要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a 3， ∴a 3＝23，∴a ＝2. 答案 2 4．已知f (x )＝??? 2a 2，x ＜2，log a (x 2－1)，x ≥2，且f (2)＝1，则f (1)＝________. 解析 ∵f (2)＝log a (22－1)＝log a 3＝1， ∴a ＝3，∴f (1)＝2×32＝18. 答案 18 5．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，a ≠1)的图象恒过一定点是________． 解析 当x ＝2时y ＝2. 答案 (2,2) 6．(2012·重庆卷改编)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析 a ＝log 23＋log 23＝log 233>log 22＝1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a >1，c ＝log 32 经典例题透析 类型一、指数式与对数式互化及其应用 1．将下列指数式与对数式互化： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 思路点拨：运用对数的定义进行互化. 解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6). 总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 举一反三： 【变式1】求下列各式中x的值： (1)(2)(3)lg100=x (4) 思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x. 解：(1)； (2)； (3)10x=100=102，于是x=2； (4)由. 类型二、利用对数恒等式化简求值 2．求值：解：. 总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三： 【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0) 思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算. 解：. 类型三、积、商、幂的对数 3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式. (1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a (3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b (5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a 举一反三： 【变式1】求值 (1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 解： (1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2. 【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值. 解：由3a=c得： 同理可得 . 【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：. 证明： . 【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：. 证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb 即. 类型四、换底公式的运用 4．(1)已知log x y=a，用a表示； (2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x. 对数与对数函数 一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 1．方程lg x ＋lg(x ＋3)＝1的解x 为 ( ) A ．1 B ．2 C ．10 D ．5 解析 B ∵lg x ＋lg(x ＋3)＝lg 10，∴x (x ＋3)＝10.∴x 2＋3x －10＝0. 解得x ＝2或－5(舍去)． 2．“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的 ( ) A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 C 显然函数f (x )＝lg(x ＋1)，g (x )＝lg(2x ＋1)在(0，＋∞)上均单调递增，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件． 则a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．a 1)的值域是 ( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，＋∞) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞) 解析 A ∵x ＋ 1x －1＋1＝x －1＋1 x －1 ＋2≥2(x －1)·1 x －1 ＋2＝4，∴y ≤－2. 5．函数f (x )＝2|log2x |的图象大致是 ( ) 解析 C f (x )＝2|log2x |＝???? ? x ，x ≥1，1 x ，0 对数与对数函数同步练习 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、4 1 B 、4 C 、1 D 、4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2m n - 4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=g 的两根是,αβ，则αβg 的值是（ ） A 、lg5lg 7g B 、lg35 C 、35 D 、35 1 5、已知732log [log (log )]0x =，那么1 2 x -等于（ ） A 、1 3 B C D 6、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于（ ） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称 7、函数(21)log x y -= ） A 、()2,11,3??+∞ ???U B 、()1,11,2?? +∞ ???U C 、2,3??+∞ ??? D 、1,2??+∞ ??? 8、函数212 log (617)y x x =-+的值域是（ ） A 、R B 、[)8,+∞ C 、(),3-∞- D 、[)3,+∞ 9、若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ） A 、 1 m n >> B 、1n m >> C 、01n m <<< D 、01m n <<< 一、 教学目标： 1．理解对数的概念，掌握对数的运算性质； 2．掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题． 二、教学重、难点： 运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题 三、命题规律： 主要考察指数式b a N =与对数式log a N b =的互化，对数函数的图像和性质或由对数函数复合成的函数，主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等，主要以填空为主。 四、教学内容： 【知识回顾】 1.对数的概念 如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。 即指数式与对数式的互化：log b a a N b N =?= 2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。 自然对数：通常将以无理数 2.71828e =???为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。 3.对数的性质及对数恒等式、换底公式 （1）对数恒等式：①log N a a = (01,0)a a N >≠>且②log N a a = (01,0)a a N >≠>且 （2）换底公式：log a N =log log b b N a （3）对数的性质：①负数和零没有对数 ② 1的对数是零，即log 10a = ③底的对数等于1，即log 1a a = ④log log log a b c b c d ??=log a d 4.对数的运算性质 如果01,0,0a a M N >≠>>且，那么 （1）log ()a MN = ； （2）log a M N = ； （3）log n a M = ； （4）log n a m M = 。 （5）log log a b b a ?= ； （6）log a b =1log b a 5.对数函数 函数log (01)a y x a a =>≠且做对数函数，其定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).、 6.对数函数图像与性质 注：对数函数1log log (01)a a y x y x a a ==>≠与且的图像关于x 轴对称。 7.同真数的对数值大小关系如图 在第一象限内，图像从左到右相应的底逐渐增大， 即01c d a b <<<<< 8.对数式、对数函数的理解 ① 应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数”问题的关键。 ② 在理解对数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像2log 2,log 2,3ln x y y x y x ===等函数均不符合形式log (01)a y x a a =>≠且，因此，它们都不是对数函数 ③ 画对数函数log a y x =的图像，应抓住三个关键点1(,1),(1.0),(,1)a a - 第6节 对数与对数函数 最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，1 2的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重 要的函数模型；4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数. 知 识 梳 理 1.对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； ④log a m M n ＝n m log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0). (3)换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a >1 0 (对数与对数函数)含有答案-人教版 命题人：张立洪 第 2 页 共 10 页 高一数学基础训练（六） 对数部分： 一、选择题： 1.若3 12=x ，则x 等于 (B ) A log 23 B log 2 3 1 C log 2 13 1 D log 3 12 2.已知log a 8=2 3，则a 等于 ( D ) A 41 B 2 1 C 2 D 4 3.下列选项中，结论正确的是 (C ) A 若log 2x =10，则2x=10 B 若2x =3，则log 32=x C 0log )(log 3 22= D 23 3 2log = 4.以下四个命题：(1)若log x 3=3，则x=9；(2)若log 4x =21 ， 则x=2； (3)若log 3 x=0，则x=3；(4)若log 5 1 x=-3， 则x=125，其中真命题的个数是（B ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 5.下列各式中，能成立的是 (D ) A log 3(6-4)=log 36-log 34 B log3(6-4)=4 log 6 log 3 3 C log 35-log 36=5 log 5log 3 3 D log 23+log 210=log 25+log 26 6.下列各式中，正确的是 (D ) A lg4-lg7=lg(4-7) B 4lg3=lg3?4 C lg3+lg7=lg(3+7) D ln N e N = 7.如果()N a a =--3log 1 ，那么a 的取值范围是（D ） 命题人：张立洪第 3 页共 10 页 命题人：张立洪 第 4 页 共 10 页 A. 3 B. 8 C. 4 D. log 4 8 二、填空题： 1.把下列指数形式写成对数形式： (1) 4 5=625 5log 6254= （2）6 2-=641 2 log 1 64 =-6 (3）a 3=27 3 log 27=a (4) m ）（3 1 =5.73 13 log 5.73m = 2.把下列对数式写成指数式 (1) 3log 9＝2 2 3＝9 （2）5 log 125＝3 3 5＝125 （3）2log 41＝－2 22-＝14 （4）3 log 811＝－4 4 3-＝1 81 3.利用对数的定义或性质求值： (1) log 3 131 =1； (2)log 111=0；(3) log 232=5；(4)log 9 131=2； 4.当底是9时，3的对数等于14 第13讲：对数函数 一、课程标准 1、通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，理解对数函数的概念。 2、体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象。 3、探索并了解对数函数的单调性与特殊点。 4、知道指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a＞0，a≠1)。 二、基础知识回顾 1、对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象与性质 2、反函数 指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数的图象与底数大小的比较 3、如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 三、自主热身、归纳总结 1、函数f(x)＝log 2(－x 2＋22)的值域为(B ) A . ????－∞，32 B . ?? ??－∞，32 C . ????32，＋∞ D . ????32，＋∞ 2、若log a 2＜log b 2＜0，则下列结论正确的是(B ) A . 0＜a ＜b ＜1 B . 0＜b ＜a ＜1 C . a ＞b ＞1 D . b ＞a ＞1 3、函数2 2()log (34)f x x x =--的单调减区间为（ ） A ．(,1)-∞- B ．3(,)2 -∞- C ．3(,)2 +∞ D ．(4,)+∞ 4、（2019秋?菏泽期末）已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0a g x x a =->，1)a ≠，则( ) A ．函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- B ．函数()()f x g x +的图象关于y 轴对称 C ．函数()()f x g x +在定义域上有最小值0 D ．函数()()f x g x -在区间(0,1)上是减函数 5、(2018苏州期末）已知4a ＝2，log a x ＝2a ，则正实数x 的值为________． 6、(2018盐城三模）．函数()ln(1f x =的定义域为 ▲ ． 四、例题选讲 考点一对数函数的性质及其应用 例1、（1）函数的定义域为（ ） A ． B ． C ． D ． 第6讲 对数与对数函数 1．对数 指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( ) (3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 13 3x 都是对数函数．( ) (4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (5)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)且过点(a ，1)，????1 a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1) C ．(0，1] D ．[0，1] 解析：选B .因为y ＝x ln(1－x )，所以? ????x ≥0， 1－x >0，解得0≤x <1. 函数f (x )＝log 12 (x 2－4)的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2) 解析：选D.设t ＝x 2－4，因为y ＝log 12 t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)． lg 5 2 ＋2lg 2－????12－1＝________． 解析：lg 52＋2lg 2－????12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2 ＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 答案：－1 (教材习题改编)函数y ＝log a (4－x )＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点________． 解析：当4－x ＝1即x ＝3时，y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3，1)． 答案：(3，1) 对数式的化简与求值 [典例引领] 计算下列各式： 第二章 函数的概念与基本初等函数I 第五讲 对数与对数函数 1.[2021江苏省镇江中学质检]若函数f (x )=a x -2 ,g (x )=log a |x |(a >0,且a ≠1),且 f (2)·g (2)<0,则函数f (x ),g (x )在同一平面直角坐标系中的大致图象是( ) A B C D 2.[2021河北省张家口市宣化区模拟]若函数f (x )=lo g 13 (x 2 +2a -1)的值域为R,则a 的取值范围 为( ) A.(-∞,1 2] B.(-∞,1 2 ) C.[1 2 ,+∞) D.(1 2 ,+∞) 3.[2021湖北省四地七校联考]设a =lo g 12 3,b =(1 2 )3 ,c =312 ,则( ) A .a ab B.a +b p D ．p ＝r ＞q
第6讲 对数与对数函数
高一对数及对数函数练习题及答案
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2015高考数学(理)一轮题组训练：2-6对数与对数函数
带答案对数与对数函数经典例题.
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对数函数讲义(可直接使用).
2020版高考数学新设计大一轮复习-第6节对数与对数函数习题理(含解析)新人教A版
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第13讲 对数函数(原卷版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
6 第6讲 对数与对数函数
20222高三数学(理科)(全国版)一轮复习试题：第2章第5讲 对数与对数函数 2