第6讲对数与对数函数练习题

A 级 课时对点练

(时间：40分钟 满分：60分)

一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分)

1．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是 ( )

A ．y ＝2|x |

B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)

C ．y ＝2x ＋2－x

D ．y ＝lg 1x ＋1

解析：依次根据函数奇偶性定义判断知，A ，C 选项对应函数为偶函数，B 选项对应函

数为奇函数，只有D 选项对应函数定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数． 答案：D

2．若log 2a ＜0，????12b ＞1，则

( ) A ．a ＞1，b ＞0

B ．a ＞1，b ＜0

C ．0＜a ＜1，b ＞0

D ．0＜a ＜1，b ＜0

解析：由log 2a ＜0?0＜a ＜1，由????12b ＞1?b ＜0. 答案：D

3．设f (x )＝lg(21－x

＋a )是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是 ( )

A ．(－1,0)

B ．(0,1)

C ．(－∞，0)

D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)

解析：∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1.

∴f (x )＝lg x ＋11－x ，由f (x )＜0得，0＜x ＋11－x ＜1，

∴－1＜x ＜0. 答案：A

4．设a ＝log 132，b ＝log 1213

，c ＝????120.3，则 ( )

A ．a ＜b ＜c

B ．a ＜c ＜b

C ．b ＜c ＜a

D ．b ＜a ＜c 解析：∵log 132 ＜log 13

1＝0，∴a ＜0；

∵log 1213＞log 1212＝1，∴b ＞1；

∵???120.3＜1，∴0＜c ＜1，综上知a ＜c ＜b . 答案：B

5．(2010·青岛模拟)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为

log a 2＋6，则a 的值为 ( ) A.12 B.14 C ．2 D ．4

解析：∵函数f (x )＝a x ＋log a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最值恰为两个端点的值，∴f (1)＋

f (2)＝a 1＋lo

g a 1＋a 2＋log a 2＝a ＋a 2＋log a 2＝6＋log a 2，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)，故应

选C. 答案：C

二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

6．计算：[(－4)3]13

＋log 525＝________.

解析：原式＝(－4)1＋log 552＝－4＋2＝－2. 答案：－2

7．(2010·东莞模拟)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ?B ，则实数a 的取值范

围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.

解析：∵log 2x ≤2，∴0＜x ≤4.又∵A ?B ，∴a ＞4，∴c ＝4. 答案：4

8．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________．

解析：令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u .

∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x ＞0的减区间是(－∞，0)，

∴y ＝log 3(x 2－2x )的减区间是(－∞，0)． 答案：(－∞，0)

三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)

9．求值：lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27

.

解：解法一：原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 341g 3－3lg 3

＝????1＋45＋910－12lg 3(4－3)lg 3＝115

. 解法二：原式＝lg (3×925×2712×35×3－12)lg 8127

＝lg 3115lg 3＝115. 10．若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值及相应

的x

的值．

解：y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2＞0，

解得x ＜1或x ＞3，∴M ＝{x |x ＜1，或x ＞3}，

f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.

令2x ＝t ，∵x ＜1或x ＞3，∴t ＞8或0＜t ＜2.

∴f (t )＝4t －3t 2＝－3????t －232＋43(t ＞8或0＜t ＜2)．

由二次函数性质可知：

当0＜t ＜2时，f (t )∈????0，43，

当t ＞8时，f (t )∈(－∞，－160)，

当2x ＝t ＝23，即x ＝log 2 23时，f (x )max ＝43. 综上可知：当x ＝log 2 23时，f (x )取到最大值为43

，无最小值． B 级 素能提升练

(时间：30分钟 满分：40分)

一、选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分)

1．(2010·湖北卷)已知函数f (x )＝?????

log 3x (x ＞0)2x (x ≤0)

则f ????f ????19＝( )

A ．4 B.14 C ．－4 D ．－14

解析：∵f ????19＝log 319＝－2，

∴f ????f ????19＝f (－2)＝2－2＝14. 答案：B

2 .(2010·株州模拟)已知偶函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程

f (x )＝lo

g 3|x |的根的个数是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．多于4

解析：本题注意函数的奇偶性及周期性的应用及数形结合的思想方法，关键是作图时

明确当x ＞3时，log 3x ＞f (x )恒成立，此时

两曲线没有交点，如图，易知两函数在(0，＋∞)上有两个不同的交点，又由于两函数

为偶函数，由对称性可知共有4个交点． 答案：C

二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)

3．设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 011)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 011)＝

________.

解析：∵f (x 1x 2…x 2 011)＝f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x 2 011)＝8，

∴f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 011)＝2[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x 2 011)]＝2×8＝16. 答案：16

4．已知函数f (x )＝?????

2x (x ≥2)，f (x ＋2) (x ＜2)，则f (log 23)＝________.

解析：∵1＜log 23＜2，

∴log 23＋2＞2

∴f (log 23)＝f (log 23＋2)＝f (log 212)

＝2log 212＝12. 答案：12

三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)

5．设a 、b ∈R ，且a ≠2，若奇函数f (x )＝lg 1＋ax 1＋2x

在区间(－b ，b )上有f (－x )＝－f (x )．

(1)求a 的值；

(2)求b 的取值范围；

(3)判断函数f (x )在区间(－b ，b )上的单调性． 解：(1)f (－x )＝－f (x )，即lg 1－ax 1－2x ＝－lg 1＋ax 1＋2x ，即1－ax 1－2x ＝1＋2x 1＋ax

，

整理得：1－a 2x 2＝1－4x 2，∴a ＝±2，又a ≠2，故a ＝－2.

(2)f (x )＝lg 1－2x 1＋2x 的定义域是????－12，12，∴0＜b ≤12.

(3)f (x )＝lg 1－2x 1＋2x ＝lg －(1＋2x )＋21＋2x ＝lg ????－1＋21＋2x . ∴函数在定义域内是单调递减的．

6．函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且对任意的x ∈R ，均有f (x ＋2)＝f (x )成立，当x ∈[0,1]

时，f (x )＝log a (2－x )(a ＞1)．

(1)当x ∈[－1，－1]时，求f (x )的表达式；

(2)若f (x )的最大值为12，解关于x ∈[－1,1]的不等式f (x )＞14.

解：(1)当x ∈[－1,0]时，

f (x )＝f (－x )＝lo

g a [2－(－x )]＝log a (2＋x )，

所以f (x )＝????? log a (2－x )， x ∈[0，1]log a (2＋x ). x ∈[－1，0].

(2)因为f (x )是以2为周期的周期函数，且为偶函数，所以f (x )的最大值就是当x ∈[0,1]

时，f (x )的最大值．

因为a ＞1，所以f (x )＝log a (2－x )在[0,1]上是减函数．

所以[f (x )]max ＝f (0)＝log a 2＝12，

所以a ＝4. 当x ∈[－1,1]时f (x )＞14

得 ????? －1≤x ＜0log 4(2＋x )＞14或????? 0≤x ≤1，log 4(2－x )＞14，

得2－2＜x ＜2－ 2.