专题02 数形结合思想(解析版)

专题02 数形结合思想

思想方法诠释

数形结合思想：是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维.

【典例讲解】

要点一利用数形结合思想研究函数的零点、方程的根、图象的交点问题

[解析](1)函数f(x)＝ln x－x－a的零点，即关于x的方程ln x－x－a＝0的实根，将方程ln x－x－a＝0化为方程ln x＝x＋a，令y1＝ln x，y2＝x＋a，由导数知识可知，直线y2＝x＋a与曲线y1＝ln x相切时有a＝－1，如图所示，若关于x的方程ln x－x－a＝0有两个不同的实根，则实数a的取值范围是(－∞，－1)．故选B.

(2)方程1x ＋2＝a |x |有三个不同的实数解等价于函数y ＝1

x ＋2与y ＝a |x |的图象有三个不同的交点．在同一

直角坐标系中作出函数y ＝1

x ＋2

与y ＝a |x |的图象，如图所示，由图易知，a >0.当－2

＝－ax 的图象与函数f (x )＝1x ＋2的图象相切于点(x 0

，y 0

)，因为f ′(x 0

)＝－1

(x 0

＋2)

2

，则有???

y 0＝－ax 0，

y 0

＝1x 0＋2，1

(x 0

＋2)2

＝a ，

解得a ＝1，所以实数a 的取值范围为(1，＋∞)，故选C.

[答案] (1)B (2)C

利用数形结合求方程解、函数零点问题的2个注意点

(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．

(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．

【训练】1．已知函数f (x )＝?????

|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，

其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．

[解析]作出f(x)的图象如图所示．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，

∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m20.又m>0，解得m>3.

[答案](3，＋∞)

【训练】2．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．

[解析]如图所示，由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1,0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1，1]．[答案][－1,1]

要点二 利用数形结合思想解决最值问题

[解析] (1)作出不等式组????

?

2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，

y ＋3≥0

对应的可行域，如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶

点A (0,1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，平移直线y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15，选择A.

(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝1

2

|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．

因为|OC |＝32＋42＝5，

所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6，故选B. [答案] (1)A (2)B

利用数形结合思想解决最值问题的3点思路

(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解． (2)对于求最大值、最小值问题，先分析所涉及知识，然后画出相应图象，数形结合求解．

(3)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．

【训练】3．在平面直角坐标系中，不等式组????

?

x ＋y ≤0，x －y ≤0，

x 2＋y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y

满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1

x ＋3

的最小值为( )

A ．－1

B ．－52＋17 C.13 D ．－7

5

[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意，知1

4πr 2＝π，解得r ＝2.z ＝

x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2

x ＋3，表示可行域内的点与点P (－3,2)连线的斜率加上1，由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆

相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|

k 2＋1

＝2，解得k ＝－12

5或k

＝0(舍去)，所以z min ＝1－

125＝－7

5

.故选D.

[答案] D

【训练】4．已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________．

[解析] 因为(－2)2<8×4，所以点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部， 如图，设抛物线的准线为l ，

过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ，由抛物线的定义可知△APF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PQ |＋|P A |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，

当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |. 因为A (－2,4)，

所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)， 代入x 2＝8y ，得y 0＝1

2

，

故使△APF 的周长最小的抛物线上的点P 的坐标为

????－2，12，故填?

???－2，12.

[答案] ?

???－2，12 要点三 利用数形结合思想解决不等式、参数问题

[解析] (1)曲线方程可转化为(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的下半圆，如图，依据数形结合，当直线y ＝x ＋b 与此半圆相切时，圆心(2,3)到直线y ＝x ＋b 的距离等于2，∴

|2－3＋b |

2＝2，解得b ＝1＋22或b ＝1－22，因为是下半圆，所以b ＝1－22；当直线过(0,3)时，可得b ＝3，所以1－22≤b ≤3.故选C.

(2)对任意x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，即f (x )max ≤|k －1|. 因为f (x )的草图如图所示，

观察f (x )＝?????

－x 2＋x ，x ≤1，log 13 x ，x >1的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14，所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥5

4

.

[答案] (1)C ????－∞，34∪????5

4，＋∞

利用数形结合思想解不等式或求参数范围问题的技巧

求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．

【训练】5．使log 2(－x )

A ．(－1,0)

B ．[－1,0)

C ．(－2,0)

D ．[－2,0)

[解析] 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)．

[答案] A

【训练】6．已知函数f (x )＝?

????

x 2－4x ，x ≤0，

sinπx ，x >0，若f (x )－ax ≥－1，则实数a 的取值范围是________．

[解析] 依题意得f (x )≥ax －1.在同一平面直角坐标系中分别作出函数y ＝f (x )与y ＝ax －1(该直线过定点(0，－1)、斜率为a )的图象，如图所示．设直线y ＝ax －1与曲线y ＝x 2－4x (x ≤0)相切于点(x 0，y 0)，则有

?????

a ＝2x 0－4，x 0≤0，x 20－4x 0＝ax 0－1，

解得x 0＝－1，a ＝－6.结合图形可知，实数a 的取值范围是[－6,0]． [答案] [－6,0] 【思想方法总结】

运用数形结合思想分析解决问题的三原则 1．等价性原则

在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．

2．双向性原则

在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．

3．简单性原则

找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单．

【强化训练】 一、选择题

1．方程sinπx ＝x

4

的解的个数是( )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

[解析] 在同一平面直角坐标系中画出y 1＝sinπx 和y 2＝

x 4

的图象，如右图：

观察图象可知y 1＝sinπx 和y 2＝x

4的图象在第一象限有3个交点，根据对称性可知，在第三象限也有3

个交点，再加上原点，共7个交点，所以方程sinπx ＝x

4

有7个解，故选C.

[答案] C

2．若实数x ，y 满足等式x 2＋y 2＝1，那么y

x －2

的最大值为( )

A.12

B.33

C.3

2

D. 3

[解析] 设k ＝y x －2

，如图所示，

k PB ＝tan ∠OPB ＝

122－12＝3

3

，

k P A ＝－tan ∠OP A ＝－

33

， 且k P A ≤k ≤k PB ，∴k max ＝3

3

，故选B. [答案] B

3．若方程x ＋k ＝1－x 2有且只有一个解，则k 的取值范围是( )

A ．[－1,1)

B ．k ＝±2

C ．[－1,1]

D ．k ＝2或k ∈[－1,1)

[解析] 令y 1＝x ＋k ，y 2＝1－x 2，

则x 2＋y 2＝1(y ≥0)． 作出图象如图：

而y 1＝x ＋k 中，k 是直线的纵截距，由图知：方程有一个解?直线与上述半圆只有一个公共点?k ＝2或－1≤k <1，故选D.

[答案] D

4．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )

A.????0，12

B.????

12，1 C ．(1,2)

D ．(2，＋∞)

[解析] 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为1

2

，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为????12，1，故选B.

[答案] B

5．若方程x 2＋(1＋a )x ＋1＋a ＋b ＝0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则b

a

的取值范围是( )

A ．(－2，－1)

B ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) C.?

???－2，－1

2 D ．(－∞，－2)∪???

?－1

2，＋∞ [解析] 由题意可知，方程的一个根位于(0,1)之间，另一个根大于1.

设f (x )＝x 2＋(1＋a )x ＋1＋a ＋b ，则

????? f (0)>0，f (1)<0，即?

????

1＋a ＋b >0，

2a ＋b ＋3<0.

作出可行域如图中阴影部分所示．

b

a 可以看作可行域内的点(a ，

b )与原点O (0,0)连线的斜率，由?

????

2a ＋b ＋3＝0，a ＋b ＋1＝0可解得A (－2,1)，过点A 、O 作l 1，过点O 作平行于直线2a ＋b ＋3＝0的直线l 2，易知kl 2

故选C.

[答案] C

6．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →

|的取值范围是( )

A ．[4,6]

B ．[19－1，19＋1]

C ．[23，27]

D ．[7－1，7＋1]

[解析] 设D (x ，y )，则由|CD →

|＝1，C (3,0)，得(x －3)2＋y 2＝1. 又∵OA →＋OB →＋OD →

＝(x －1，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OD →| ＝(x －1)2＋(y ＋3)2.

∴|OA →＋OB →＋OD →

|的几何意义是点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离(如图)，由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →

|的最大值是1＋7，最小值是7－1，故选D.

[答案] D 二、填空题

7．已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________．

[解析] 作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)． [答案] (－1,0)∪(0,1)

8．已知函数f (x )＝?????

????12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0

若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．

[解析] 画出函数f (x )的图象如图．

要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，由图象易知k ∈????

34，1.

[答案] ????

34，1

9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________．

[解析] 由题意可得???

4a 1＋4×3

2

d ≥10，5a 1

＋5×4

2

d ≤15，即?????

2a 1＋3d ≥5，

a 1

＋2d ≤3.又a 4＝a 1＋3d ，故此题可转化为线性规划问题．画出可行域如图所示．

作出直线a 1＋3d ＝0，经平移可知当直线a 4＝a 1＋3d 过可行域内点A (1,1)时，截距最大，此时a 4取最大值4.

[答案] 4 三、解答题

10．设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实数α、β.

(1)求实数a 的取值范围； (2)求α＋β的值．

[解] (1)原方程可化为sin ????θ＋π3＝－a

2， 作出函数y ＝sin ???

?x ＋π

3(x ∈(0,2π))的图象． 由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是???

－1<－a

2<1，

－a 2≠3

2，

即－2

(2)由图知：当－3

2时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin ????x ＋π3的图象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为7π

6，所以α＋β2＝7π6

，

所以α＋β＝7π

3

.

当－2

2，1时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin ????x ＋π3的图象有两交点A 、B ， 由对称性知，α＋β2＝π6，所以α＋β＝π

3，

综上所述，α＋β＝π3或7π

3

.

11．已知圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，求PE →·PF →

的最小值．

[解] 由题意，可知圆心M 的坐标为(2＋5cos θ，5sin θ)，由此可知圆心M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝25， 如图，经分析可知，只有当P 在线段MC 上时，才能够使PE →·PF →

最小，此时PC ＝4，又Rt △PEC 中，EC ＝2，则PE ＝23，∠EPC ＝30°，∴PF ＝PE ＝23，∠EPF ＝2∠EPC ＝2×30°＝60°，故(PE →·PF →)min ＝(23)2×cos60°＝6.

12.右面的图形无限向内延续，最外面的正方形的边长是2，从外到内，第n 个正方形与其内切圆之间的深色图形面积记为S n (n ∈N *)．

(1)证明：S n ＝2S n ＋1(n ∈N *)； (2)证明：S 1＋S 2＋…＋S n <8－2π.

[证明] (1)设第n (n ∈N *)个正方形的边长为a n ，则其内切圆半径为a n 2，第n ＋1个正方形的边长为2

2a n ，

其内切圆半径为

24

a n ，所以S n ＝a 2n －π????a n 22＝a 2n ????1－π4 (n ∈N *)， S n ＋1＝??

??22a n 2－π???

?24a n 2＝a 2n ????12－π8＝12S n (n ∈N *)．所以S n ＝2S n ＋1(n ∈N *)．

(2)由(1)可知，S 1＝22×????1－π4＝4－π，S 2＝2－π

2，…，S n ＝(4－π)????12n －1，

所以T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ＝(4－π)×???

?1＋12＋122＋…＋12n －1＝(4－π)×1－????12n

1－12

＝(8－2π)????1－1

2n <8－2π.