二次函数基础题(含答案)

二次函数基础练习

练习一二次函数

1、一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离5（米）与时间

1（秒）的数据如下表：

时间短秒）1234• • •

距离5（米）281832• • •

写出用1表示5的函数关系式.

2、下列函数：① g = \：'3x2 ；② y — x2 — x 1 + x ；③ y = x2 x2 -p x— 4 ；

④y = — + x；⑤y = x 1_x，其中是二次函数的是，其中a= ,

x 2

b =,

c =

3、当m时，函数y= m-2 x 2 + 3x—5 （m为常数）是关于x的二次函数

4、当m ______ 时，函数y = m2 + m x m厂2m-1是关于x的二次函数

5、当m ______ 时，函数y = m-4 x m 2-5 m+ 6 +3x是关于x的二次函数

6、若点A （2, m）在函数y = x 2 -1的图像上，则A点的坐标是_________ .

7、在圆的面积公式S二n「2中，5与r的关系是（）

人、一次函数关系8、正比例函数关系1反比例函数关系口、二次函数关系8、正方形铁片边长为15^^,在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分

做成一个无盖的盒子.

⑴求盒子的表面积5552）与小正方形边长x（cm）之间的函数关

系式；

⑵当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面机

9、如图，矩形的长是4^^,宽是3^^,如果将长和宽都增加x cm, 那么面积增加ycm2,

①求y与x之间的函数关系式.

②求当边长增加多少时，面积增加8cm2.

10、已知二次函数y = ax 2 + c（a丰0）,当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2,求该函数解析式.

11、富根老伯想利用一边长为2米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它

们的平面图是一排大小相等的长方形.

（1）如果设猪舍的宽人8为*米，则猪舍的总面积$（米2）与*有怎样的

函数关系？

（2）请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2,应该如何安排猪舍的长BC和宽人8的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？

练习二函数y = ax2的图象与性质

1、填空：（1）抛物线y = 1 x2的对称轴是（或），顶点坐标是，当

X 时，y随*的增大而增大，当x 时，y随*的增大而减小，当x=时，该

函数有最____ 值是_________ ；

（2）抛物线y = - 1 x 2的对称轴是（或）,顶点坐标是________________________________ ,当x 时，"随*的增大而增大，当x 时，"随*的增大而减小，当x=时，该函数有最值

是;

2、对于函数y = 2 x 2下列说法：①当*取任何实数时，y的值总是正的；②x的值增大，旷的值也增大；③"随*的增大而减小；④图象关于"轴对称.其中正确的是.

3、抛枷线V= -X2不具有的性质是（ ）

A 、开口向下

B 、对称轴是V 轴

C 、与V 轴不相交

D 、最高点是原点

4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程S 与下落时间t 满足S = 1 gt 2（g = 9.8）,则s 与t 的 2

5、函数y = ax 2 3与y = — ax + b 的图象可能是（ ）

6、已知函数y =mx m 2 ~m~ 4的图象是开口向下的抛物线，求m 的值.

7、二次函数y = mx m 2 -i 在其图象对称轴的左侧，"随*的增大而增大，求团的值.

3

••一

8、二次函数y = -- x 2，当x 1>x 2>0时，求匕与旷2的大小关系. 已知函数y & + 2^m 2 + m -4是关于*的二次函数，求:

团为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时*为何值时，"随*的增大而增大；

团为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当*为何值时，"随*的增大而减小?

9、

(1) 满足条件的m 的值;

(2)

(3)

10、如果抛物线y = ax2与直线y=x — 1交于点b,2，求这条抛物线所对应的二次函数的关系式.

练习三函数y=ax 2 +。的图象与性质

1、抛物线y=—2x2 —3的开口，对称轴是，顶点坐标是Bx 时,

旷随乂的增大而增大，当乂时,旷随乂的增大而减小.

2、将抛物线y = 3x2向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为,并分别写出这两个函数的顶点坐标、.

3、任给一些不同的实数心得到不同的抛物线y= X2+k，当k取0, 土1时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；

④都有最底点.其中判断正确的是.

4、将抛物线y= 2x2 -1向上平移4个单位后，所得的抛物线是,当乂=时，该抛物线有最—(填大或小)值，是.

5、已知函数y = mx2 + (m2-m)x + 2的图象关于y轴对称，则m二；

6、二次函数y=ax 2 +c (a丰0)中，若当*取小人(入孙2)时，函数值相等，则当*取入+与时，函数值等于.

练习四函数y = a (x - h)2的图象与性质

1、抛物线y = -1 (x - 3)2,顶点坐标是_________ Jx 时,旷随乂的增大而减小，函数有

最值.

2、试写出抛物线y = 3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标.

2

(1)右移2个单位；(2)左移2个单位；(3)先左移1个单位，再右移4个单位.

3

3、请你写出函数y =(x +1)2和y = x 2 +1具有的共同性质(至少2个).

4、二次函数y = 〃(x - h)2的图象如图：已知a = 1 , OA=OC,试求

该抛物线的解析式.

5、抛物线y = 3(x-3)2与*轴交点为人，与旷轴交点为8,求人、8两点坐标及0人08的面积.

6、二次函数y = a (x-4)2，当自变量x由0增加到2时，函数值增加6.

(1)求出此函数关系式.

(2)说明函数值9随*值的变化情况.

7、已知抛物线y = x 2 - (k + 2)x + 9的顶点在坐标轴上，求卜的值.

练习五y = a (x - h )2+ k的图象与性质

1、请写出一个二次函数以(2, 3)为顶点，且开口向上. ___________________________ .

2、二次函数y = (x—1)2 + 2,当x= _________ 时，y有最小值.

3、函数V = 1 (x —1)2 + 3,当x _______ 时，函数值y随x的增大而增大.

2

4、函数旷=1仅+3)2-2的图象可由函数旷=」*2的图象向平移3个单位，再向平移2 2

2个单位得到.

5、已知抛物线的顶点坐标为2,1 ，且抛物线过点3,0，则抛物线的关系式是

6、如图所示，抛物线顶点坐标是P(1, 3),则函数"随自变量*的增大而减小的*的取值范围是( )

A、x>3

B、x<3

C、x>1

D、x<1

7、已知函数y = -3(x - 2 )2 + 9 .

(1)确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(2)当*=时，抛物线有最值，是

(3)当x 时，y随*的增大而增大；当* 时，"随*的增大而减小.

(4)求出该抛物线与*轴的交点坐标及两交点间距离；

(5)求出该抛物线与旷轴的交点坐标；

(6)该函数图象可由y = -3 x 2的图象经过怎样的平移得到的？

8、已知函数y =(x +1)2—4.

(1)指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(2)若图象与*轴的交点为A、B和与y轴的交点心求448吸面积；

(3) 指出该函数的最值和增减性；

(4) 若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式；

(5) 该抛物线经过怎样的平移能经过原点.

(6)画出该函数图象，并根据图象回答：当*取何值时，函数值大于0；当*取何值时，函数值小于0.

练习六y = ax2 + bx + c的图象和性质

1、抛物线y = x2 + 4x + 9的对称轴是__________ .

2、抛物线y = 2x 2 -12x + 25的开口方向是，顶点坐标是.

3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2,且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式.

4、将y = X2 —2x + 3 化成y = a (x —h)2 + k 的形式，则y= ___ .

___ — 1 一 5 一一^ .

5、把二次函数y= x2—3x —万的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平

移后的函数图象的关系式是

6、抛物线y = x 2 — 6x —16与x 轴交点的坐标为；

7、函数y = —2x

2 + x 有最—值，最值为；

8、二次函数y = x 2 + bx + c 的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到

的图象的函数解析式为y = x 2 — 2 x +1,则匕与©分别等于（ ）

A 、6，4

B 、－8，14

C 、－6，6

D 、－8，－14 9、二次函数y = x 2 — 2 x —1的图象在x 轴上截得的线段长为（ ）

A 、2.2

B 、3.2

C 、2c

D 、3v3

10、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

11、把抛物线y = —2x 2 + 4x +1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的 抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由. 12、求二次函数y = —x 2 — x + 6的图象与x 轴和y 轴的交点坐标

13、已知一次函数的图象过抛物线y =碇+ 2?+ 3的顶点和坐标原点

1）求一次函数的关系式；

2）判断点一2,5是否在这个一次函数的图象上

(1 ) y = —x 2 — 2x +1 ；

2 ；

(2 ) y = —3x 2 + 8x — 2 ； (3 ) y = — - x 2 + x — 4

4

14、某商场以每台2500元进口一批用电.如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为—个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利桐?最大利烟是多少元？

练习七y = ax2 +bx + c的性质

1、函数9 =戏+2？ + 4的图象是以3,2为顶点的一条抛枷线，这个二次函数的表达式为

2、二次函数y = mx 2+2x + m -4m 2的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是________________

ac

3、如果抛物线y=ax 2 + bx+c与y轴交于点A (0,2)，它的对称轴是x = -1，那么丁 = b

4、抛物线y = X2 + bx + c与x轴的正半轴交于点八、8两点，与y轴交于点心且线段人8的长为1, △ ABC的面积为1,则b的值为.

5、已知二次函数y = 〃x 2 + bx + c的图象如图所示,

则a—0, b—0, c—0, b2 -4ac 0；

6、二次函数y = ax2 + bx + c的图象如图，则直线y = ax + bc 的

图象不经过第一象限.

7、已知二次函数y = ax2 + bx + c ( a丰0 )的图象如图所示, 则下

列结论：

1 ) a, b同号；2)当x = 1和x = 3时，函数值相同；3)

4a + b = 0；4)当y = -2时，x的值只能为0；其中正确

的是_____________________

_ , 一 _

2m + 4

8、已知—次函数y = -4x2—2痛+加2与反比例函数）= ----------- 的图象在第二象限内的一个交

x

点的横坐标是-2,则m= 9、二次函数?/ = 72+Q/ + b 中，若。+匕=0,则它的图象必经过点（ ）

A -1,-1

B 1,-1

C 1,1

10、函数y = ax + b 与y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示,

则下列选项中正确的是（ ）

A 、ab > 0,c > 0

B 、ab < 0,c > 0

C 、ab > 0, c < 0

D 、ab < 0, c < 0

12、二次函数y ,ax 2 + bx + c 的图象如图，那么。61 2a+b 、a+b+c 、

a-b+c 这四个代数式中，值为正数的有（ ）

A.4个

B.3个 C2个 D.1个

13、抛物线y = + c 的图角如图，则下列结论:

①口白R ＞0；②"+七+ ”2 ；

2

③厘＞ 2 ；④右＜1.其中正确的结论是（）.

14、二次函数y = ax 2 +bx + c 的最大值是—3a ，且它的图象经过一1,—2 , 1,6两点，求a 、

15、试求抛物线y =。碇+质+ c 与x 轴两个交点间的距离（b 2 - 4ac 〉0 ）

（A ）①②（B ）②③（C ）②④（D ）③④

11、已知函数y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则函数y = ax + b 的图象是（ ）

练习八二次函数解析式

1、抛物线y=ax2+bx+c 经过A（-110）, B（3,0）,宽0,1）三点，则a=, b=, c=

2、把抛物线y=X2+2x-3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得的抛物线的解析式为.

3、二次函数有最小值为-1，当x =。时，y = 1,它的图象的对称轴为x = 1,则函数的关系

式

为_____________________

4、根据条件求二次函数的解析式

（1）抛物线过（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）三点

（2）抛物线的顶点坐标为（-1,-1）,且与旷轴交点的纵坐标为-3

（3）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点；

(4)抛物线在*轴上截得的线段长为4,且顶点坐标是(3,-2)；

5、已知二次函数的图象经过-1,1 . 2,1两点，且与x轴仅有一个交点，求二次函数的解析式

6、抛物线y=ax2+bx+c过点(0,-1)与点(3,2),顶点在直线y=3x-3上，a<0,求此二次函数的解析式.

7、已知二次函数的图象与*轴交于人(-2,0)、8(3,0)两点，且函数有最大值是2.

(1) 求二次函数的图象的解析式；

(2)设次二次函数的顶点为P,求△ ABP的面积.

8、以*为自变量的函数y=一x2+ (2 m + 1) x一(m 2 + 4m - 3)中，!T1为不小于零的整数，它的图

象与*轴交于点人和8,点人在原点左边，点8在原点右边.(1)求这个二次函数的解析式；(2)—次函数旷=卜*+匕的图象经过点人，与这个二次函数的图象交于点C且S A A^C=10求这个一次函数的解析式.

练习九二次函数与方程和不等式

1、已知二次函数y = kx 2—7x—7与x轴有交点，则卜的取值范围是 ____ .

2、关于x的一元二次方程x 2—x—n = 0没有实数根，则抛物线y = x 2 - x - n的顶点在第象限；

3、抛物线y = -x2+ 2kx + 2与x轴交点的个数为( )

A、0

B、1

C、2 口、以上都不对

4、二次函数y = 〃x 2 + bx + c对于x的任何值都恒为负值的条件是()

A、a > 0, A> 0

B、a > 0, A< 0

C、a < 0, A> 0

D、a < 0, A< 0

5、y = x 2 + kx +1与y = x 2 - x - k的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k%()

A、0

B、-1

C、2

D、-

4

6、若方程ax 2 + bx + c = 0的两个根是-3和1,那么二次函数y = ax 2 + bx + c的图象的对称轴是直线( )

A、x = -3

B、x = -2

C、x = - 1

D、x = 1

7、已知二次函数y=x2 + px + q的图象与x轴只有一个公共点，坐标为-1,0，求p,q的值

8、画出二次函数y = x 2 - 2x - 3的图象，并利用图象求方程x 2 - 2 x - 3 = 0的解，说明x在什么

范围时x 2 - 2 x - 3 < 0.

9、如图：

(1 )求垓抛物线的解析式;

(2)根据图象回答：当x为何范围时，垓函数值大于0.

10、二次函数y = 奴2+法 + c的图象过A(-3,0),B(1,0),C(0⑶,点D在函数图象上，点C、D是二次

函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B、D,求(1)—次函数和二次函数的解析式，(2) 写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.

11、已知抛物线V—X'2 _ mx _p m — 2 .

(1 )求证此抛物线与/轴有两个不同的交点;

(2)若加是整数，抛物线4二期—/9+6―2与/轴交于整数点，求加的值;

(3)在(2)的条件下，设抛物线顶点为A,抛物线与2轴的两个交点中右恻交点为B. 若M为坐标轴上

一点，且MA=MB,求点M的坐标.

练习十 二次函数解决实际问题 1、某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年种 蔬菜的销售价格进行了预明，预明情况如图，图中的抛枷线表示这种蔬 菜销售价与月份之间的关系.观察图像，你能得到关于这种蔬菜销售 情况的哪些信息？（至少写出四条） 3.5

2、某企业投资100万元引进一条农产品生产线，预计投产后每年可创收3 后，从第

一年到第x 年维修、保养费累计为"（万元），且y = ax 2 + bx,2＜第一 千克销售价

（元）

・ ・ 费为2万元，第二年的为4万元.求：y 的解析式. ,设生产线投产 !维修、保养

月份

3、校运会上，小明参加铅球比赛,若某次试掷，铅球飞行的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的

函数关系式为y — 士x 2 + 2x + 5，求小明这次试掷的成绩及铅球的出手时的高度. 12 3 3

4、用6m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为 多

少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？

5、商场销售一批衬松，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬超每降价1元，每天可多售出2件.

①设每件降价x元，每天盈利V元，列出V与x之间的函数关系武；

②若商场每天要盈利1200元，每件应降价多少元？

③每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？

6、有一个抛枷线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m, ^度为10m,如图所示，把它的图形放在直角坐标系中.

①求这条抛枷线所对应的函数关系式.

②如图，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是多少？

7、有一座抛枷线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m,

拱顶距离水面4m.

(1 )在如图所示的直角坐标系中，求出垓抛枷线的解析式.

(2)在正常水位的基础上，当水位上升h(m州九桥下水面的

宽度为d(m),试求出用d表示h的函数关系武；(3)设正常水

位时桥下的水深为2m,为保证过往船只顺

利航行，桥下水面的宽度不得小于18m,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行?

8、某一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求 行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5团，若行车道总宽度AB 为6m,请计算车辆经过隧道时的限制高度是多少米？（精确到0.1团）.

参考答案 1：1、s = 212 ； 2、⑤,-1, 1, 0； 3、，2, 3, 1； 6、（2, 3）； 7、D ； 8、

S = -4x 2 + 225（0 < x < 一）,189； 9、y = x 2 + 7x , 1； 10、y = x 2 - 2 ； 11、S =-4x 2 +

24x , 2

当 a<8 时，无解，8 V a < 16 时，AB=4,BC=8,当 a > 16 时，AB=4,BC=8 或 AB=2,BC=16.

参考答案 2：1、（1）x=0,y 轴，（0, 0）,>0,,<0, 0,小,0; （2）x=0,y 轴，（0, 0）,<,>, 0,大，

0;2、④；3、C ； 4、A ； 5、B ； 6、-2； 7、- <3 ； 8、 y=0、x>0,（3）m=-3, y=0, x>0；

10、 参考答案 3：1、下，x=0,（0,-3）, <0, >0； 2、y = 3x 2 -2 , y = 3x 2 +1 ,（0,-2）,（0, 1）； 3、

①②③；4、y = 2x 2 + 3 , 0,小，3；5、1； 6、c.

y

1 < y

2 < 0

；9

、（

1）2

或-3，（2）作2

2

y = —x 2

9

S m

2

参考答案 4： 1、(3, 0), >3,大，旷=0;2、y = 3( x — 2)2 , y = 3( x — 3)2, y = 3( x —

3)2;3、略； 4、y = 1(x — 2)2 ； 5、( 3,0 ), ( 0, 27 ), 40.5； 6、y = - 1(x -4)2，当 x<4 时，y 随 x 的

增大 而增大，当x>4时，"随*的增大而减小；7、-8,-2, 4.

参考答案 5： 1、略；2、1； 3、＞1；4、左、下；5、y =-x 2 + 4x -3 ； 6、C ； 7、（1）下，x=2, （2,9）,（2）2、大、9,（3）＜2、＞2,（4）（ 2 r 3,0）、（ 2 +x 3,0）、2V 3 ,（5）（0,-3）；（6） 向右平移2个单位，再向上平移9个单位；8、（1）上、x=-1、（-1,-4）；（2）（-3,0）、（1,0）、 （0,-3）、6,（3）-4,当x ＞-1时，y 随x 的增大而增大；当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小,（4）

y = （x -1）2 ；（5）向右平移1个单位，再向上平移4个单位或向上平移3个单位或向左平移1个

单位；（6）x ＞1 或 x ＜-3、-3＜x ＜1

参考答案 6：1、x=-2； 2、上、（3,7）；3、略；4、（x -1" + 2 ； 5、y = - 1（x -1）2 + 5 ； 6、

2

8、C ； 9、A ；10、（1）y = 1（x -2）2-1、上、x=2、（2,-1）,

10

4 4 10 1

、下、x = 3、（ ）,（3）

y = -4（ x - 2）2 - 3、下、x=2、（2,-3）；11、有、y=6；12、（2,

0）（-3, 0）（0, 6）； 13,〈=-2*、否；1。定价为3000元时，可获最大利润125000元

参考答案 7：1、y = x 2 -6x +11 ； 2、（-4, -4 ）； 3、1；4、-3； 5、＞、＜、＞、＞； 6、二；7、②③;

8、-7； 9、C ；10、D ；11、B ； 12、C ； 13、B ；14、y =-2x 2 + 4x +

4

12

—-、一、1；2、y = x 2 + 8x +10 ；3、y = 2x 2 - 4x +1 ；4、(1

3、3 、 、

(-2,0)(8,0)；7、大、

bb 2 - 4ac

15、 ---------

a

参考答案8：1 、⑺ 尸—2

x 2-4x -3

、⑺y =4x 2-2x - 15、

(4) y

=

4 41

y = _ x 2

— — x + _ ； 6、 y =—x 2

+ 4 x — 1

—x

2

2 8 5

-3 x +

~ ； 5、

48 (1 ) y = — — x 2

+ — x

+ —、5 ； 8、

25 25 25、；、

y = - x2+ 2 x + 3、y=-x-1 或y=5x+5

7

参考答案9：1、左 >--且k * 0 ；2、一；3、C；4、D；5、C；6、C；7、2,1；8、x 1 = -1,x2 = 3,-1 < x< 3 ；

9、( 1 ) y = X2 —2X、x<0 或x>2；10、y=-x+1, y = - X2 —2x + 3 ,x<-2 或x>1;11、

( 1 )略，⑵m=2,⑶(1,

0)或(0,1)

参考答案10： 1、①2月份每千克3.5元②7月份每千克0.5克③7月份的售价最低④2~

5 . 3 3

7月份售价下跌；2、"=*2 + *；3、成绩10米，出手高度—米；4、S = --(x-1)2 + —,当x = 1

3 2 2

3

时，透光面积最大为一m2； 5、( 1 )y=(40 -x) (20 + 2x)=- 2x2 + 60x + 800, ( 2 ) 1200 =- 2x2 + 60x

2

+ 800, x1 = 20, x2=10 :要扩大销售・.・x 取20 元，(3)y=-2 (x2 - 30x) + 800 =- 2 (x- 15)2

+ 1250 1.•・当每件降价15元时，盈利最大为1250元；6、(1)设y = a (x-5)2 + 4,0 = a (-5)2

. 4 4 4 . 一 ,一 (1)

+ 4,a=- 一，,y=-——(x-5)2 + 4,(2)为x = 6 时,y=- —+4 = 3.4(m)；7、( 1 )y= --x2 ,

25 25 25 25 ，(2) d = 10 4-hh , ( 3 )当水深超过2.76m 时；8、y = -4 x 2 + 6(-4 < x < 6) , x = 3 ,

, 9

y = 6 -彳=3.75m , 3.75 —0.5 = 3.25 «3.2m，货车限高为3.2m.