高三数学寒假作业六

莱州一中级高三数学寒假作业六

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。 1．集合那么},04|{},034|{2

2

<-<+-=x x x B x x x A “A a ∈”是“B a ∈”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角60°，则|a -3b |等于 （ ）

A ．7

B ．10

C ．13

D ．4 3．在下列各函数中，最小值等于2的函数是

（ ）

A ．1

y x x

=+

B ．1cos (0)cos 2y x x x π

=+<<

C ．22

2

y x =

+

D ．4

2x x y e e

=+-

4．在△ABC 中，若??+?+?=则,2CB CA BC BA AC AB AB ABC 是（ ）

A ．等边三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．直角三角形 5．若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：

x x f x x f x x x f sin )(,2sin 2)(,cos sin )(321=+=+=，则（ ）

A ．)(),(),(321x f x f x f 为“同形”函数

B ．)(),(21x f x f 为“同形”函数，且它们与)(3x f 不为“同形”函数

C ．)(),(31x f x f 为“同形”函数，且他们与)(2x f 不为“同形”函数

D ．)(),(32x f x f 为“同形”函数，且他们与)(1x f 不为“同形”函数

6．若方程031

)2

1(x x x

的解为=，则0x 属于以下区间

（ ）

A ．)3

1

,0(

B ．)2

1,31(

C ．)1,2

1(

D ．（1，2）

7．如图，由曲线x x x x y 和直2,0,12

==-=轴围成的封闭图形的面积是（ ）

A ．

dx x ?

-2

2)1( B ．|)1(|20

2dx x ?- C ．dx x ?-202|1| D ．??-+-2

1

2202)1()1(dx x dx x

8．直线l 与圆2

2y x +=1相切，并且在两坐标轴上的截距之和等于3，则直线l 与两坐标轴围成的三角

形的面积等于 （ ）

A ．

23 B ．

2

1 C ．1或3 D ．

21或2

3 9．将等差数列1，4，7，10，……中的各项，按如下方式分组（按原来的次序，每组中的项数成等比数列）：（1）（4，7），（10，13，16，19），（22，25，28，31，34，37，40，43），…，则2 005在第几组中？ （ ） A ．第9组 B ．第10组 C ．第11组 D ．第12组 10．设函数*)}()

(1

{

,12)()(N n n f x x f ax x x f m

∈+='+=则数列的导数的前n 项和为（ ） A ．

1

1-n B ．

n

n 1

+ C ．

1+n n D ．

1

2

++n n 11．函数||y x =与21y x =

+在同一坐标系的图象为

（ ）

12．定义在R 上的偶函数)(x f 满足(2)(),[3,2]

,()3x f x f x x f x +=∈--=当时，设

c b a f c f b f a ,,),22(),5(),2

3

(则===的大小关系是

（ ）

A ．c

B ．b

C ．c

D ．a

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。将答案填在题中的横线上。

13．若实数x 、y 满足??

?

??≥≥≤-+0

00

33y x y x ，则不等式组表示的区域面积为 ，12-+=x y z 的

取值范围是 。 14．长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两

个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示， 则长方体的体积为 。 15．已知数列}{n a 是公差为d 的等差数列，其前n

项和为S n ，则有.mnd S S S n m n m ++=+类似的， 对于公比为q 的等比数列}{n b 来说，设其前n

项积为T n ，则关于q T T T n m n m 及,,+的一个关系式为 。

16．如图,在平面斜坐标系xOy 中,∠xOy =60°,该平面上任一点P 在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：

若OP =xe 1+ye 2,(其中e 1、e 2分别为与x 轴、y 轴方向相同的单位向量)，则P 点的斜坐标为（x ,y ）.若P 点的斜坐标为（3，－4），则点P 到原点O 的距离|OP |=

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）若函数.sin 3sin cos cos sin )(2

33x x x x x x f ++=

（1）求函数)(x f 的单调递减区间；

（2）已知△ABC 的三边a 、b 、c 对应角为A 、B 、C ，且三角形的面积为S ，若

)(,2

3

A f S BC A

B 求=?的取值范围。 18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P —AB

C 中，AB ⊥BC ，AB=BC=kPA ，点O 、

D 分别是AC 、

PC 的中点，OP ⊥底面ABC 。 （1）求证：OD//平面PAB ； （2）当,2

1

时=

k 求直线PA 与平面PBC 所成 角的正弦值；

（3）当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影

恰好为△PBC 的重心？

19．（本题满分12分）定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ,y ∈R 都有f (x +y )=f (x )+f (y ). (Ⅰ)求证f (x )为奇函数；

(Ⅱ)若f (k ·3x )+f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围.

20．（本小题满分12分）已知函数值不恒为0的单调函数)()()(,,)(y f x f y x f R y x x f ?=+∈满足 同时数列*)()

2(1

)(),0(}{11N n a f a f f a a n n n ∈--==+满足

（1）求数列}{n a 的前n 项和S n ； （2）令n

n n n a a a b 22

1

1

11+

++

=++ ，求数列b n 的最小值。

21．（本小题满分12

分）已知可行域0,20,0,

y x y ≥??

+≥?+-≤的外接圆C 与x 轴交于点A 1、A 2，椭圆C 1以

线段A 1A 2

为长轴，离心率2

e =

． （1）求圆C 及椭圆C 1的方程；

（2）设椭圆C 1的右焦点为F ，点P 为圆C 上异于A 1、A 2的动点，过原点O 作直线PF

的垂线交直线

x =于点Q ，判断直线PQ 与圆C 的位置关系，并给出证明．

22．（本小题满分14分）设函数.0),1ln()1()(>++-=a x a ax x f 其中 （1）)(x f 的单调区间；

（2）当x>0时，证明不等式;)1ln(1

x x x x

<+<+ （3）设)(x f 的最小值为0)(1

:),(<<-a g a

a g 证明不等式

莱州一中级高三数学寒假作业六答案

1—12 AADDB BCABC AA

13．),1[]2,(,2

3+∞--∞ 14．48 15．mn

m n m n T T T q +=?? 16．13.

17．解：（1）函数)(x f 的单调减区间为)](12

11,125[Z k k k ∈++π

πππ

（2）.3)(0<

18．解：（1）PA 与平面PBC 所成角的正弦值为

.30

210

（3）由（2）知，OF ⊥平面PBC ， ∴F 是O 在平面PBC 内的射影

∵D 是PC 的中点，若F 是△PBC 的重心，则B 、F 、D 三点共线直线OB 在平面PBC 内的射影为直线BD ， ∵OB ⊥PC ， ∴PC ⊥BD

∴PB=BC ，即k=1，反之，当k=1时，三棱锥O —PBC 为正三棱锥，此时，O 在平面PBC 内的射影为△PBC 的重心。（12分）

19．[解析] （1）f (x +y )=f (x )+f (y )(x ,y ∈R) ①

令x =y =0,代入①式，得f (0+0)=f (0)+f (0),即f (0)=0.

令y =－x ,代入①式，得f (x －x )=f (x )+f (－x ),又f (0)=0,则有0=f (x )+f (－x ). 即f (－x )=－f (x )对任意x ∈R 成立，所以f (x )是奇函数.

(2)f (3)=log 23>0,即f (3)>f (0), 又f (x )在R 上是单调函数, 所以f (x )在R 上是增函数, 又由(1)知f (x )是奇函数.

f (k ·3x )< －f (3x －9x －2)=f (－3x +9x +2), k ·3x <－3x +9x +2, 对任意x ∈R 成立. 分离参数得k <3x +

x

32

－1. 令u =3x +x 32－1≥22－1，即u 的最小值为22－1，要使对x ∈R 不等式k <3x +x 3

2

－1恒成立，只要使

k <22－1.

20．解：（1）.)

(1

)(x f x f -=

∴;12-=n a n 从而2

n S n =

（2）∵,111,1112

232122

1

+++++++++=+

++

=

n n n n n n n n a a a b a a a b 则 ∴1

21

3411411111

2

1

21+-+++=

-

+

=

-++++n n n a a a b b n n n n n }{,0)

12)(34)(14(1

n b n m n 故>+++=

是递增数列。

当1≥n 时，.3

1

1)(21min ==

=a b b n 21．（1）所求椭圆C 1的方程是22

142

x y +=．

（2）直线PQ 与圆C 相切．

设000(,)(2)P x y x ≠±，则22

004y x =-．

当0x 1),0,22(),2,2(-=?±PQ OP k k Q P ，∴OP PQ ⊥；

当0x ≠

0002

,2

y x k x y k OQ PF --

=∴-=

∴直线OQ

的方程为00

x y x y =-

．

因此，点Q 的坐标为)4

22,22(0

0x y x --

．

∵,)

22()22()

22(422224

20

0000002

00

00y x x y x x x y y x x y y x k PQ -

=--=

-+-=

----

=

∴当00x =时，0PQ k =，OP PQ ⊥； 当00x ≠时候，0

OP y k x =

，∴1,PQ OP k k OP PQ =-⊥． 综上，当02x ≠±时候，OP PQ ⊥，故直线PQ 始终与圆C 相切．

22．解：（1）由已知得函数),1()(+∞-的定义域为x f ，且).0(1

1

)(>+-=

'a x ax x f 当,01

,0)(>->'ax x f 即

时

又∵;1,01a

x x >

>+解得 当,11,0)(a

x x f <

<-<'解得时 ∴函数)(),1,1()(x f a

x f 函数的单调递减区间是-的单调递增区间是),1(+∞a

（2）设),0[,1

)1ln()(+∞∈+-+=x x x

x x ?, 则2

2)

1(1)1(111)(x x x x +=+-+=

'? 当,0)(,0>'>x x ?时 又),0[)(+∞在x ? 上连续，

),0[)(+∞∴在x ?内是增函数。

,01

)1ln(,0)0()(>+-+=>∴x x

x x 即?? ,)1ln().1ln(1x x x x x

<++<+∴

同理可证 .)1ln(1

x x x x <+<+∴ （3）方法一由（1）知，设),11

ln(

)1(1)1()()(++-==a

a a

f a

g x f 的最小值为 将,1)11ln(11,)1ln(11a

a a x x x x a x <+<+<+<+=

得代入 即.1

1)11ln()1(1a

a a +<++<

.0)(1

,0)11ln()1(11<<-<++-<-∴a g a

a a a 即

),0()(+∞∴在x ?内是增函数。