高等数学-积分对称性
二重积分的对称性:
??=D
d y x f I σ),(
⑴若D 关于y 轴)0(=x 对称, ①若),,(),(y x f y x f -=-则0=I , ②若),,(),(y x f y x f =-则??=1
),(2D d y x f I σ,1
D :0≥x
⑵若D 关于x 轴)0(=y 对称, ①若),,(),(y x f y x f -=-则0=I ,
②若),,(),(y x f y x f =-则??=2
),(2D d y x f I σ,2
D
:0≥y
三重积分的对称性:
???Ω
=dv z y x f I ),,(
⑴若Ω关于xoy 面)0(=z 对称,
①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I , ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则1
,),,(21
Ω=???Ωdv z y x f I :0≥z
⑵若Ω关于yoz 面)0(=x 对称,
①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I , ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则2
,),,(22
Ω
=???Ωdv z y x f I :0≥x
⑶若Ω关于xoz 面)0(=y 对称,
①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I , ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则3,),,(2
3
Ω
=???Ωdv z y x f I :
0≥y
轮换对称性: 设Ω关于z y x ,,具有轮换对称性(既若Ω∈),,(z y x ,则将
z y x ,,任意互换后的点也属于Ω),则被积函数中的自变量可以任意轮换
而不改变积分值:
???Ω
dv z y x f ),,(???Ω
=dv x z y f ),,(???Ω
=dv x y z f ),,(
特别:???Ω
dv x f )(???Ω
=dv y f )(???Ω
=dv z f )(
从而
3)]()()([=++???Ω
dv z f y f x f ???Ω
dv x f )(
第一型曲线积分的对称性:
ds y x f I L
?=),(
⑴若曲线L 关于0=x 对称,
①若),,(),(y x f y x f -=-则0=I , ②若),,(),(y x f y x f =-则1,),(21
L ds y x f I L ?
=:0≥x
⑵若曲线L 关于0=y 对称,
①若),,(),(y x f y x f -=-则0=I , ②若),,(),(y x f y x f =-则2,),(2
2
L ds y x f I L ?
=:0≥y
ds z y x f I L
?
=
),,(
⑴若曲线L 关于0=x 对称,
①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I , ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则1,),,(21
L ds z y x f I L ?
=:0≥x
⑵若曲线L 关于0=y 对称,
①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I ,
②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则2,),,(22
L ds z y x f I L ?
=:0≥y
⑶若曲线L 关于0=z 对称,
①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I , ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则3,),,(2
3
L ds z y x f I L ?
=:0≥z
第一型曲面积分的对称性: ??∑
=dS z y x f I ),,(
⑴若∑关于xoy 面)0(=z 对称,
①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I ,
②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则??∑=1
),,(dS z y x f I ,1∑
:
0≥z
⑵若∑关于yoz 面)0(=x 对称,
①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I , ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则??∑=1
),,(dS z y x f I ,2∑
:
0≥x
⑶若∑关于xoz 面)0(=y 对称,
①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I , ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则??∑=
1
),,(dS z y x f I ,3
∑
:0≥y
积分对称性定理
关于积分对称性定理 1、 定积分: 设)(x f 在[],a a -上连续,则 ()()()()-0 0,d 2d ,a a a f x x f x x f x x f x x ?? =???? ?为的奇函数,为的偶函数. 2、 二重积分: 若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续,则 (1)如果积分区域D 关于x 轴对称,),(y x f 为y 的奇(或偶)函数,即 ),(),(y x f y x f -=-(或),(),(y x f y x f =-),则二重积分 ()()()()1 0,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ?? =???????为的奇函数,为的偶函数. 其中:1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。 (2) 如果积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇(或偶)函数,即()(),,f x y f x y -=-(或()(),,f x y f x y -=),则二重积分
()()()()2 0,,,d d 2,d d , ,D D f x y x f x y x y f x y x y f x y x ?? =????? ??为的奇函数,为的偶函数. 其中:2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。 (3)如果积分区域D 关于原点对称,),(y x f 为y x ,的奇(或偶)函数,即 ),(),(y x f y x f -=--(或),(),(y x f y x f =--)则二重积分 ()()()()2 0,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ?? =???????为的奇函数,为的偶函数. 其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。 (4)如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分 ()()y x x y f y x y x f D D d d ,d d ,????=.(二重积分的轮换对称 性) (5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有 1 0,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-?? =?--=??????当时当时 利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特
二重积分对称性定理的证明及应用
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 前言 (1) 1.预备知识 (1) 2.二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用 (2) 2.1 积分区域D关于坐标轴对称 (2) 2.2 积分区域D关于坐标区域内任意直线对称 (5) 2.3 积分区域D关于坐标原点对称 (9) 2.4 积分区域D关于坐标区域内任意一点对称 (11) 2.5 积分区域D同时关于坐标轴和坐标原点对称 (12) 结束语 (12) 参考文献 (13) 二重积分对称性定理的证明及应用
摘 要:本文归纳利用对称性来计算二重积分的方法,给出了二重积分对称性定理的证明并举出了相应例题. 关键词:对称性;积分区城;被积函数 The Application of Symmetry in Double Integral Calculating Abstract :It is introduced in the thesis some ways of how to calculate double integral with the application of symmetry. It is also put forward in it how to simplify the calculating methods with symmetry. Keywords :Symmetry; Integral region; Integrated function 前言 利用对称性计算二重积分,不但可以使计算简化,有时还可以避免错误.在一般情况下,必须是积分区域D 具有对称性,而且被积函数对于区域D 也具有对称性,才能利用对称性来计算.在特殊情况下,虽然积分区域D 没有对称性,或者关于对称区域D 被积函数没有对称性,但经过技巧性的处理,化为能用对称性来简化计算的积分.这些都是很值得我们探讨的问题. 1 预备知识 对于二重积分(,)D f x y dxdy ??的计算,我们总是将其化为二次定积分来完成的,而在 定积分的计算中,若遇到对称区间,则有下面非常简洁的结论: 当()f x 在区间上为连续的奇函数时,()0a a f x dx -=?. 当()f x 在区间上为连续的偶函数时,0 ()2()a a a f x dx f x dx -=??. 这个结论,常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分. 在计算二重积分时,若积分区域具有某种对称性,是否也有相应的结论呢?回答是肯定的.下面,我们将此结论类似地推广到二重积分. 2 二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用 定理1[]1 若二重积分(,)D f x y dxdy ??满足
曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)
第十一章解题方法归纳 一、曲线积分与曲面积分的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下: (1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分. (2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时,常用到如下一些结论: (1)若积分曲线L 关于y 轴对称,则 1 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y ds f x ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数 对为奇函数 其中1L 是L 在右半平面部分. 若积分曲线L 关于x 轴对称,则 1 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y ds f y ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数 对为奇函数 1 0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数 对为偶函数 其中1L 是L 在上半平面部分.
(2)若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称,则 ()()=??L L f x ds f y ds . (3)若积分曲面∑关于xOy 面对称,则 1 0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分. 若积分曲面∑关于yOz 面对称,则 1 0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分. 若积分曲面∑关于zOx 面对称,则 1 0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在zOx 面右方部分. (4)若曲线弧() :()()αβ=?≤≤?=? x x t L t y y t ,则 [ (,)(),()()β α αβ=?L f x y ds f x t y t 若曲线弧:()()θαθβ=≤≤L r r (极坐标),则 [ (,)()cos ,()sin β αθθθθθ=? ?L f x y ds f r r
对称性在积分计算中应用修订版
对称性在积分计算中应 用 Document number:PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
毕业设计(论文)题目:对称性在积分计算中应用 学院:数理学院 专业名称:信息与计算科学 学号: 02 学生姓名:鲍品 指导教师:张晓燕 2011年 5 月 20 日
对称性在积分计算中的应用 摘要 对称性的应用很广泛,尤其在数学,物理学,化学等方面都有体现[1]。本论文主要是探讨一下对称性在积分计算中的应用。 积分在微积分学中既是重点又是难点,特别是在解决积分计算问题上,方法比较灵活。常见的积分方法有换元法和分部积分法,这些方法在解决一般的问题上还是奏效的,但是对于复杂的微积分计算和证明问题就显得有些心有余而力不足。假如我们稍仔细地观察题目,很多时候我们会发现积分区域或被积函数具有某种对称性。如果我们将对称性巧妙地应用到解决这类问题中去,不仅简化了计算过程而且还节省计算时间。 利用对称性解题方法比较灵活也十分重要。接下来本论文将从定积分,重积分,曲线积分以及曲面积分四大方面入手,深入探讨对称性在积分计算中的应用。最后分析利用对称性解题的条件与优势,总结出应用相关性质解题时要注意哪些方面。 关键词 定积分,重积分,曲线积分,曲面积分,对称性,奇偶性
Abstract The application of symmetry is very widespread, particularly in mathematics, physics, chemistry and other aspects of embodied. This paper is to explore the symmetry in the integral calculation. Integral calculus is difficult in both the focus, especially in solving the problem of integral calculation, the method more flexible. The common integral method are the substitution of variables and the integration by parts. These methods are effective in the solution general question, but appear regarding the complex calculus computation and the proof question somewhat has more desire than energy. If we carefully observe the subject a little, usually we will find regional integration or product function has a symmetry. If we applied the symmetry skillfully to solve such problems, this not only simplifies the calculation process but also save computing time. More flexible use of problem-solving approach symmetry is also important, Then the paper will be integral, double integral, curve and surface integrals four points in a bid to further investigate the symmetry in the integral calculation. Finally, we solve problems by analyzing the symmetry of the conditions of use and advantages, summed up the nature of problem solving application related to the attention of what. Key words definite integral, heavy integral, curvilinear integral, surface integral, symmetry, parity
对称性在积分计算中应用
毕业设计(论文)题目:对称性在积分计算中应用 学院:数理学院 专业名称:信息与计算科学 学号:0741210102 学生姓名:鲍品 指导教师:张晓燕 2011年5 月20 日
对称性在积分计算中的应用 摘要 对称性的应用很广泛,尤其在数学,物理学,化学等方面都有体现[1]。本论文主要是探讨一下对称性在积分计算中的应用。 积分在微积分学中既是重点又是难点,特别是在解决积分计算问题上,方法比较灵活。常见的积分方法有换元法和分部积分法,这些方法在解决一般的问题上还是奏效的,但是对于复杂的微积分计算和证明问题就显得有些心有余而力不足。假如我们稍仔细地观察题目,很多时候我们会发现积分区域或被积函数具有某种对称性。如果我们将对称性巧妙地应用到解决这类问题中去,不仅简化了计算过程而且还节省计算时间。 利用对称性解题方法比较灵活也十分重要。接下来本论文将从定积分,重积分,曲线积分以及曲面积分四大方面入手,深入探讨对称性在积分计算中的应用。最后分析利用对称性解题的条件与优势,总结出应用相关性质解题时要注意哪些方面。 关键词 定积分,重积分,曲线积分,曲面积分,对称性,奇偶性
Abstract The application of symmetry is very widespread, particularly in mathematics, physics, chemistry and other aspects of embodied. This paper is to explore the symmetry in the integral calculation. Integral calculus is difficult in both the focus, especially in solving the problem of integral calculation, the method more flexible. The common integral method are the substitution of variables and the integration by parts. These methods are effective in the solution general question, but appear regarding the complex calculus computation and the proof question somewhat has more desire than energy. If we carefully observe the subject a little, usually we will find regional integration or product function has a symmetry. If we applied the symmetry skillfully to solve such problems, this not only simplifies the calculation process but also save computing time. More flexible use of problem-solving approach symmetry is also important, Then the paper will be integral, double integral, curve and surface integrals four points in a bid to further investigate the symmetry in the integral calculation. Finally, we solve problems by analyzing the symmetry of the conditions of use and advantages, summed up the nature of problem solving application related to the attention of what. Key words definite integral, heavy integral, curvilinear integral, surface integral, symmetry, parity
关于曲面积分对称性的研究
题目:关于曲面积分对称性的研究专业:数学与应用数学 系班:数学与信息科学系 毕业年份: 姓名: 学号: 指导教师: 职称:
关 摘 要:在直角坐标系中定义了曲面关于坐标平面的概念,研究了在积分曲面是对称的情况下,曲面积分的若干性质。利用这些性质,可以简化曲面积分的计算,给出相应的计算公式,并利用对称性计算曲面积分,这种积分方法使曲面积分更为简捷。 关键词:曲面积分;对称性;奇函数;偶函数 1 预备知识 大学课本上,我们学习了第一型曲面积分和第二型曲面积分,并且学习了他们的一些性质,但是这些性质在一些问题中应用麻烦, 比如一些关于曲面积分计算的问题,我们常会因符号处理不当而导致的积分错误。在这里,我们研究了曲面积分的另外一些性质及定理,为我们在以后的计算提供了方便 以下所讨论的各种情况均假设被积函数在积分区域上连续,积分曲面是分片光滑的 ] 2[。 定义]5[1:设函数),,(),,(z y x f z y x f -=,则称),,(z y x f 关于x 为偶函数;若定义),,(),,(z y x f z y x f --=,则称),,(z y x f 关于x 为奇函数;类似可以定义函数),,(z y x f 关于z y ,变量的奇函数,偶函数。 定义]7[2:设空间曲面11:(,)z z x y ∑=与22:(,)z z x y ∑=,若1∑与2∑在xoy 面具有相同的投影区域D ,且D y x ∈?),(有),(),(21y x z y x z -=,1∑与2∑异侧,则称曲面1∑与2∑关于xoy 面对称。类似可以定义曲面1∑与2∑关于yoz 面对称;曲面1∑与2∑关于zox 面对称。 命题]6][4[1: 若曲面1∑与2∑关于xoy 面对称,则: 1 2 (,,)(,,)f x y z ds f x y z ds ∑∑=-???? (1) 1 2 (,,)(,,)f x y z dxdy f x y z dxdy ∑∑=--???? (2)
积分中的对称性
积分中的对称性 作者:刘建康 【摘要】介绍几种常见对称性在重积分、曲线积分及曲面积分的计算过程中的几个结论。【关键词】积分;轮换对称性;奇对称;偶对称 在积分的计算过程中,当积分区域具有某种对称性时,如果被积函数具有某种特性,这时可以利用对称性简化积分的计算。这里所讨论的对称性主要包括两个方面:积分区域关于坐标轴(或坐标面)的对称性和积分区域的轮换对称性。设Dn为一积分区域,所谓积分区域的轮换对称性是指当任一点P(x1,x2,…,xn)∈Dn时,有Pi(xi, xi+1, … , xn,x1,x2,…,xi-1)∈Dn, i=1,2,…,n。 在一元函数积分学中,我们有下面所熟悉结论: 若f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则有 ∫a-af(x)dx= 0, f(-x)=-f(x) 2〖JF(Z〗a0f(x)dx〖JF)〗,f(-x)=f(x) 利用这一性质,可以简化较复杂的定积分的计算。对重积分、曲线积分及曲面积分也有类似的结论。下面我们根据积分范围的不同来介绍对称性在各类积分计算中的几点应用。 1 对称性在重积分计算中的应用 对称性在计算二重积分Df(x,y)dσ方面的应用。 结论1 若f(x,y)在区域D内可积,且区域D关于y轴(或x轴)对称,则有 ①Df(x,y)dσ=0, f(x)为关于x(或y)的奇函数 ②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ,f(x,y)为关于x(或y)的偶函数。 其中D1为区域D被y轴(或x轴)所分割的两个对称区域之一。 结论2 若f(x,y)在区域D内可积,且区域D关于原点成中心对称,则有: ①Df(x,y)dσ=0,f(-x,-y)=-f(x,y),即f(x,y)关于原点成奇对称; ②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ=2D2f(x,y)dσ,f(-x,-y)=f(x,y),即f(x,y)关于原点成偶对称,其中D1、D2关于原点对称,且D1+D2=0。