有关曲线积分、曲面积分的对称性研究

北方民族大学学士学位论文

论文题目:有关曲线积分、曲面积分的对称性研究

院(部)名称: 数学与信息科学学院

学生姓名: 陈敏

专业: 数学与应用数学学号: 20110536

指导教师姓名: 杨莉

论文提交时间: 2015.5.18

论文答辩时间: 2015.5.24

学位授予时间:

北方民族大学教务处制

有关曲线积分、曲面积分的对称性研究

摘要

积分在微积分学中既是重点又是难点，尤其是在解决积分的计算问题上，方法比较灵活、多样.然而，在很多时候，只要认真地审视题目，就会发现积分区域或被积函数具有某种对称性.倘使我们能将对称性原理巧妙地应用到曲线积分、曲面积分的计算问题中去，不但节省了很多时间，还会起到事半功倍的效果.

本文着重讲述了，常见的有关对称性在曲线积分、曲面积分计算中的几个重要结论，并结合实例进一步验证了：利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性来简化计算曲线积分和曲面积分，进而说明对称性在计算曲线积分、曲面积分中的可行性与优越性.

关键词：曲线积分，曲面积分，积分区域，对称性，奇偶性

The study of symmetry related surface integral、curve integral

Abstract

Integral in the calculus is both emphasis and difficulty, especially to deal with the problem of integral calculation, the method is more flexible and diverse. However, in many cases, as long as you carefully look at the title, you will find the integral region have a certain symmetry or integrand. If we can apply symmetry principle of opportunely clever ground to the curvilinear integral and surface integral calculation problem, not only save a lot of time, will get twice the result with half the effort effect.

This paper tells the common about symmetry in curvilinear integral and surface integral calculation of several important conclusions, combined with the instance: further verified using the symmetry of integral area of and the parity of integrand to simplify the calculation of curvilinear integral and surface integral, and then explain symmetry in computational feasibility and superiority of curvilinear integral and surface integral.

Keywords: curvilinear integral and surface integral, integral area, symmetry, parity

目录

第一章绪论 (1)

1.1研究背景 (1)

1.2 研究意义 (1)

1.3 研究思路及结构安排 (1)

第二章曲线积分与曲面积分的概念 (3)

2.1 对弧长的曲线积分 (3)

2.2 对面积的曲面积分 (4)

2.3 对坐标的曲线积分 (5)

2.4 对坐标的曲面积分 (6)

2.4.1 双侧曲面与有向曲面 (6)

第三章曲线积分与曲面积分的对称性 (9)

3.1 曲线积分 (9)

3.1.1 第一类曲线积分的对称问题 (9)

3.2.1 第一类曲面积分的对称问题 (13)

第四章对称性解题总结 (17)

4.1 对称性解题的优势 (17)

4.2 对称性解题应注意的事项 (17)

结束语 (18)

致谢 (19)

参考文献 (20)

第一章绪论

1.1研究背景

我们都知道，对称在客观物质世界中是普遍存在的，能给人以美的享受.对称性作为人类了解客观物质世界的结晶，与人类的文明同样悠远.对称性几乎涉及到我们生活的方方面面，生活中的好多东西都是按照对称性来构造的.我们的祖先从认识自然界的形象对称开始到现在对称性的实体研究，无不应用到对称性.然而，所谓的对称性便是在某种变换下的不变性或组元的构形在其本身同构变换群下所拥有的不变特性.

实际上，对称的概念在众多学科中的应用是很广泛的.高中数学经常涉及到对称问题，既有几何中的轴对称、中心对称，还有代数中的方程和不等式的对称；不仅有物理上的镜面对称，而且有数学上的正弦曲线；不但有化学中的结构对称，还有数学中的方程对称.对称是数学美一种外在表现形式，更为重要的是对称也是一种思想方法，它不光是思考问题的出发点，还是探索解题策略的良好器具.灵活地运用对称性来解决相关数学类问题是当代大学生必须具备的数学素养.以后我们应多注重对称性在数学解题中的应用，在很多时候可以起到事半功倍的效果.

1.2 研究意义

数学是一个奇幻的科学世界，对称性是数学美的一个重要特征，同时也为数学研究提供了一种很独特的思想方法，还是一个非常重要的艺术要素.在日常生活和科学研究中常会碰到的一类很特别的数学问题，即：对称性问题.它不仅存在于中学函数中，还存在于大学的微积分中，其应用十分广泛.

我们都知道，微积分是大学数学中相当重要的内容，而积分计算在其中既是重点又是难点，在此过程中，尤其是有关曲线积分、曲面积分的计算，稍不注意就会出错.不过，在很多时候，我们经常会遇见积分区域或者被积函数具备某种对称性的题目.而要解决此类问题，就必须仔细审题，看是否具有对称性.假如我们能在审题中察觉或者留意到问题的对称性，并灵活地应用到积分的计算过程当中去，不时能够简化计算过程，获得出乎意料的成效.所以，很有必要探究对称性在积分计算中的应用，特别是在曲线积分、曲面积分中的应用.

1.3 研究思路及结构安排

本文首先指出所要研究的方向，指出其研究意义.其次概括了曲线、曲面积分的背景、定义以及一些简单的性质，而后给出计算曲线、曲面积分的诸多结论，利用这些结论来简化计算曲线积分和曲面积分.最后对本文内容进行分析总结.

本文总共四章，其布局筹划如下:第一章绪论，主要讲述有关曲线积分和曲面

积分的研究背景、研究意义和研究的方法.第二章，简单介绍曲线曲面积分的背景来源定义以及性质.第三章则着重介绍：使用对称性原理计算曲线积分和曲面积分，先分别讲述与对称性有关定理、性质，继而例举实例加以考证.第四章，剖析对称性在处理积分计算问题上的优势，同时总结使用对称性解题时要注意哪些方面的问题.

第二章 曲线积分与曲面积分的概念

2.1 对弧长的曲线积分

设有一弧形型构件占xOy 面上的一段曲线L ，设构件的质量分布函数为),(y x ρ，设),(y x ρ定义在L 上且在L 上连续，求构件的质量：∑=→=n

i i i i S M 10

),(lim ?ηξρλ.

定义2.1 设L 为xOy 平面上的一条光滑的简单曲线弧，),(y x f 在L 上有界，在

L 上任意插入一点列1M ，2M ，…，1-n M 把L 分成n 个小弧段i i i M M L 1-=?的长度为i S ?，又),(i i ηξ是i L ?上的任一点，作乘积i i i S f ?ηξ),(，),,2,1(n i =，并求和

∑=n

i i

i

i

S

f 1

),(?ηξ，记}max{i S ?λ=，如果∑=→n

i i i i S f 1

),(lim ?ηξλ存在，且极限值与L 的分

法及),(i i ηξ在i L ?的取法无关，那么称极限值为),(y x f 在L 上对弧长的曲线积分，记为：?L

s y x f d ),(，即?L

s y x f d ),(∑=→=n

i i i i S f 1

),(lim ?ηξλ.

其中),(y x f 叫做被积函数，L 叫做积分曲线.

对弧长曲线积分的存在性：设),(y x f 在光滑曲线L 上连续，那么?L

s y x f d ),(一

定存在.

对弧长曲线积分的性质：

1、???±=±L

L

L

s y x g s y x f s y x g y x f d ),(d ),(d )],(),([,

2、??=L

L

s y x f k s k y x kf d ),(d ),(,

3、设21L L L +=，则???+=

2

1

d ),(d ),(d ),(L L L

s y x f s y x f s y x f .

这里规定：如果L 是封闭曲线，那么曲线积分记为?L

s y x f d ),(.

有了上述对弧长的曲线积分的定义，则上面的问题就能够用对弧长的曲线积分表示为：?=L

s y x f M d ),(.

2.2 对面积的曲面积分

设有一构件占空间曲面为∑，其质量分布密度函数为),,(z y x ρ，求构件的质量.处理问题的思想类似于分布在平面区域的质量问题：∑=→=n

i i i i i S M 10

),,(lim ?ζηξρλ.

定义2.2 设∑为光滑曲面，函数),,(z y x f 在∑上有界，把∑任意地分成n 个小曲面i S ?),,2,1(n i =，在每个小曲面i S ?上任取一点),,(i i i ζηξ作乘积

i i i i S f ?ζηξ),,(，并求和

∑=n

i i

i

i

i

S

f 1

),,(?ζηξ，记i n

i S ?λ{m a x 1≤≤=的直径}，如果

∑=→n

i i i i i S f 1

),,(l i m ?ζηξλ存在，并且其极限值与∑的任意分法及),,(i i i ζηξ在i S ?上的取

法无关，那么称极限值为),,(z y x f 在∑上对面积的曲面积分，记为：??∑

S z y x f d ),,(，

即??∑

S z y x f d ),,(∑=→=n

i i i i i S f 1

),,(lim ?ζηξλ.

这里),,(z y x f 称为被积函数，∑称为积分曲面，S d 称为面积元素.对面积的曲面积分的存在性：如果∑为光滑曲面，),,(z y x f 在∑上连续，那么??∑

S z y x f d ),,(一

定存在.有了这个定义，分布在∑上的质量M 为：??=∑

S z y x f M d ),,(.当1

),,(=z y x f 时，∑∑

=??S d 的面积.当∑为xOy 平面上的区域D 时，??∑

S z y x f d ),,(即是D 上的二

重积分，??∑

S z y x f d ),,(??=D

y x y x f d d )0,,(.

性质 对面积的曲面积分是对二重积分的直接推广，因此二重积分的性质均可推广到对面积的曲面积分上去.

特别是21∑∑∑+=，则

??????+=2

1

d ),,(d ),,(d ),,(∑

∑∑S z y x f S z y x f S z y x f .

2.3 对坐标的曲线积分

变力沿曲线作功问题.

设一质点在xOy 平面内受到变力j y x Q i y x P F ),(),(+=作用从A 点沿光滑曲线

L 移动到B 点，求变力所作的功.∑=?≈n

i i i i W 1

),(?ηξ，

]),(),([lim 1

∑=→+=n

i i i i i i i y Q x P W ?ηξ?ηξλ.

定义2.3 设AB L =是xOy 平面上的一条光滑有向曲线弧，

),(y x P 、),(y x Q 在L 上有界，用L 上的点),(000y x M ，),(111y x M ，…，),(n n n y x M 把L 分成n 个小有向弧段i i i M M L 1-=?，设1--=i i i x x x ?，1--=i i i y y y ?，又),(i i ηξ是i L ?上的任一点，作乘积i i i x P ?ηξ),(，),,2,1(n i =，并求和∑=n

i i i i x P 1),(?ηξ，记|}{|max 1i n

i L ?λ≤≤=，如果

∑=→n

i i i i x P 1

),(lim ?ηξλ存在，且极限值与L 的分法及),(i i ηξ在i L ?的取法无关，那么称极

限值为),(y x P 在L 上对坐标x 的曲线积分，记为：?L

x y x P d ),(，

即?L

x y x P d ),(∑=→=n

i i i i x P 1

),(lim ?ηξλ. 同理定义?L

y y x Q d ),(∑=→=n

i i i i y Q 1

),(lim ?ηξλ为),(y x Q 在L 上对坐标y 的曲线积

分.),(y x P 、),(y x Q 称为被积函数，L 叫做积分曲线.

上述定义可推广到空间曲线的情形：

?Γ

x z y x P d ),,(∑=→=n

i i i i i x P 10

),,(lim ?ζηξλ，

?Γ

y z y x Q d ),,(∑=→=n

i i i i i y Q 1

),,(lim ?ζηξλ，

?Γ

z z y x R d ),,(∑=→=n

i i

i

i

i

z R 1

),,(lim ?ζηξλ. 应用中常遇到??+L

L

y y x Q x y x P d ),(d ),(，这时简记为?+L

y y x Q x y x P d ),(d ),(.

对坐标曲线积分的存在性：设有向曲线L 光滑，),(y x P 、),(y x Q 在L 上连续，则

?L

x y x P d ),(、?L

y y x Q d ),(一定存在.

对坐标曲线积分的性质：

???+++=++2

1

2

1d ),(d ),(d ),(d ),(d ),(d ),(L L L L y y x Q x y x P y y x Q x y x P y y x Q x y x P ,

??-=-

L L x y x P x y x P d ),(d ),(,

??-=-

L

L y y x Q y y x Q d ),(d ),(.

2.4 对坐标的曲面积分

2.4.1 双侧曲面与有向曲面

能区分出曲面的侧的曲面叫做双侧曲面，通常碰到的曲面都是双侧曲面，譬如由方程),(y x z z =表示的曲面有上下侧之分，由方程),(z y x x =表示的曲面有前后侧之分，由方程),(x z y y =表示的曲面有左右侧之分，封闭曲面有内外侧之分.

一般地：在∑上任取一点，当该点在∑上连续运动而不经过边界而回到原来位置，其法向量也回到原来位置，这个曲面就叫双侧曲面.

对坐标的曲面积分需要对曲面规定方向，也叫做指定曲面的侧，而指定曲面的侧一般是规定曲面上法向量的指向.如),(y x z z =所表示的曲面，如果取它的法向量

指向向上，即n 与z 轴正向夹角2

0πθ≤≤，这时候就认定曲面取上侧，如果n

的指

向朝下，就认定曲面取下侧.这种规定了曲面上法向量指向，即选定曲面的侧的曲

面叫做有向曲面. 2.4.2 有向曲面的投影

设∑为有向曲面，在∑上取一小块有向曲面S ?，把S ?投影到xOy 平面得到一平面区域xy σ?，其面积为xy )(σ?，假设S ?上各点处的法向量与z 轴正向夹角γ的余弦γcos 保持确定的符号，即γcos 都为正或都为负，规定S ?在xOy 平面上的投影

xy S )(?为：???

??=<->=0

cos 0

0cos )(0cos )()(γγσ?γσ??xy

xy xy S .

S ?在xOy 面上的投影实质上就是S ?在xOy 面上的投影区域的面积xy )(σ?再附上

一定的符号.类似可定义S ?在yOz 、zOx 面上的投影. 2.4.3 流量与积分

设稳定流动不可压缩流体的速度场由:

j z y x Q i z y x P z y x V

),,(),,(),,(+=k z y x R ),,(+表示，∑为场中的一块有向曲面，函数R Q P 、、都是∑是的连续函数，求单位时间内流向∑指定一侧的流量Φ.

因区域不是平面区域而是曲面，流速不是常量，所以不能用初等方法，但是，上面引出各类积分概念一再使用过的方法可用来解决目前的问题:

分割：任取∑上的一小块有向曲面i S ?，

近似代替：S n V i

i i ?ζηξ ?),,(， 求和：∑

=?n i i i i S n V 1

),,(?ζηξ ， ∑=++=n

i i i i i i i i i i S R Q P 1

]cos ),,(cos ),,(cos ),,([?γζηξβζηξαζηξ，

取极限:

∑=→?n

i i i i S n V 1

),,(lim ?ζηξλ .

对坐标曲面积分的定义:设∑为光滑的有向曲面，函数),,(z y x R 在∑上有界，把∑任意地分成n 个小曲面i S ?),,2,1(n i =，i S ?在xOy 平面的投影为xy i S )(?，在每个小曲面i S ?上任取一点),,(i i i ζηξ作乘积xy i i i i S R ))(,,(?ζηξ，并求和

∑=n

i xy

i i

i

i

S R 1

)

)(,,(?ζηξ，记i n

i S ?λ{max 1≤≤=的直径}，如果∑=→n

i xy i i i i S R 1

))(,,(lim ?ζηξλ存在，并且其极限值与∑的任意分法及),,(i i i ζηξ在i S ?上的取法无关，那么称极限值为

),,(z y x R 在∑上对坐标y x ,的曲面积分，记为??∑

y x z y x R d d ),,(，

即??∑

y x z y x R d d ),,(∑=→=n

i xy i i i i S R 1

))(,,(lim ?ζηξλ.

其中),,(z y x R 称为被积函数，∑称为积分曲面. 同理可定义

??∑

z y z y x P d d ),,(∑=→=n

i yz

i i

i

i

S P 10

))(,,(lim ?ζηξλ, ??∑

z x z y x Q d d ),,(∑=→=n

i xz

i i

i

i

S Q 1

))(,,(lim ?ζηξλ.

应用上出现较多的是：??∑

z y z y x P d d ),,(??+∑z x z y x Q d d ),,(??+∑

y x z y x R d d ),,(的情

形，一般上式简记为：??++∑

y x z y x R z x z y x Q z y z y x P d d ),,(d d ),,(d d ),,(.

如果∑是封闭曲面，那么在∑上对坐标的曲面积分记为：

??++∑

y x z y x R z x z y x Q z y z y x P d d ),,(d d ),,(d d ),,(

对坐标的曲面积分的存在性：如果L 光滑，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在∑上连续，那么),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在∑上对坐标的曲面积分都存在.

性质 与对坐标的曲线积分类似.

1)若21∑∑∑+=,则??++∑

y

x z y x R z x z y x Q z y z y x P d d ),,(d d ),,(d d ),,(

????+++++=2

1

d d d d d d d d d d d d ∑∑y x R z x Q z y P y x R z x Q z y P .

2)设∑的反侧曲面记为-∑，则：????-=-

∑

∑z y z y x P z y z y x P d d ),,(d d ),,(.

上面的性质表明：对坐标的曲面积分不单与被积函数有关，与积分曲面有关，还与曲面的方向有关.

第三章 曲线积分与曲面积分的对称性

3.1 曲线积分

3.1.1 第一类曲线积分的对称问题

定义3.1 设函数),(y x f 定义在二维光滑曲线上，

（1）如果),(y x f 满足关系式),(y x f -=),(y x f 或),(y x f -=),(y x f ，那么称

),(y x f 为关于x 的偶函数或关于y 的偶函数；

（2）如果),(y x f 满足关系式),(y x f -=-),(y x f 或),(y x f -=-),(y x f ，那么称

),(y x f 为关于x 的奇函数或关于y 的奇函数.

定义3.2 设函数),,(z y x f 定义在三维光滑曲线上，

（1）如果),,(z y x f 满足关系式),,(z y x f -=),,(z y x f 或),,(z y x f -=),,(z y x f 或

),,(z y x f -=),,(z y x f ，那么称),,(z y x f 为关于x 的或y 的或z 的偶函数；

（2）如果),,(z y x f 满足关系式),,(z y x f -=-),,(z y x f 或),,(z y x f -=-),,(z y x f 或),,(z y x f -=-),,(z y x f ，那么称),,(z y x f 为关于x 的或y 的或z 的奇函数.

定理3.1 设函数),(y x f 定义在二维光滑（或分段光滑）曲线L 上，且曲线L 关于ox （或oy ）对称，则

（1）当偶函数时，?L

ds y x f ),(=2?1

),(L ds y x f （其中1L 是L 位于对称轴一侧的

部分）；

（2）当),(y x f 是y （或x ）的奇函数时，?L

ds y x f ),(=0.

证 设光滑曲线21L L L +=（其中1L 、2L 分别是曲线L 位于ox 轴上、下两侧的部分）关于ox 轴对称；则?L

ds y x f ),(=ds y x f L L ),()(2

1

??+用曲线L 上关于ox 轴对

称的点系分割L ，在1L 上的小弧段中任取一点（i ξ，i η），在2L 上关于i S ?对称于ox 轴的小弧段中任取一点（i ξ，-i η），构造和式：∑i

i i f ),(ηξi S ?+∑-i

i i f ),(ηξi S ?，

令：这些小弧段中最长一段为λ，由于),(y x f 在L 上可积且i S ?=i S '?,于是 （1）当),(y x f 是关于y 的偶函数，即),(i i f ηξ-=),(i i f ηξ时，

?L

ds y x f ),(=0lim →x [∑

i i i f ),(ηξi S ?+∑-i

i i f ),(ηξi S '?] =0lim →x 2∑

i

i i f ),(ηξi S ? =2?1

),(L ds y x f

（2）当),(y x f 是关于y 的奇函数，即),(i i f ηξ-=-),(i i f ηξ时，

?L

ds y x f ),(=0lim →x [∑

i i i f ),(ηξi S ?+∑-i

i i f ),(ηξi S '?] =0lim →x {∑i i i f ),(ηξi S ?+

∑-i

i i f )],([ηξi S '?} =0lim →x ∑i

0i

S ?=0 （证毕）.

定理3.2 设函数),,(z y x f 在三维光滑或（分段光滑）曲线Γ上可积，且曲线Γ对称于)(zox yoz xoy 或或坐标面，则

（1）当),,(z y x f 为关于)(y x z 或或的偶函数时，则有?Γ

ds z y x f ),,(=2?Γ1

),,(ds

z y x f （其中1Γ是Γ位于对称坐标面一侧的部分）；

（2）当),,(z y x f 为关于)(y x z 或或奇函数时，则有?Γ

ds z y x f ),,(0=.

推论 设函数),(y x f 定义在二维光滑（或分段光滑）曲线L 上，L 对称于ox 和oy 轴，则

（1）当),(y x f 是关于x 和y 的偶函数时，有?L

ds y x f ),(=4?1

),(L ds y x f （这里1L 是L

在第Ⅰ象限中的部分）；

（2）当),(y x f 是关于x 和y 中至少某一变量的奇函数时，有?L

ds y x f ),(=0.

例3.1 计算

ds y

x x

y x ?

=++1

解 因为积分曲线既对称于ox 轴又对称于oy 轴，且被积函数),(y x f =

y

x x

+是

x 的奇函数，故原式=

ds y

x x

y x ?

=++1

=?=+1

1y x ds x

=0. 注 此处除运用对称性之外，还涉及到用积分曲线方程化简被积函数的技巧. 例 3.2 计算ds x L

?2，其中L 为球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 所截得的圆

周.

解 注意到L 关于z y x ,,的对称性，则有

ds x L

?2=ds y L

?2=ds z L

?2

. 因此 ds x L

?2=ds z y x L

)(222++?

=?L ds a 32=33

2

a π.

对称性和几何意义是化简积分计算的常用技巧，读者应多多留意并且灵活运用. 3.1.2 第二类曲线积分的对称问题

定理3.3 若L 为xoy 平面上关于x 轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程是一双值函数，设为)(x y y ±=，（b x a ≤≤）.记1L ,2L 分别为L 位于x 轴的上半部分与下半部分，1L ,2L 在x 轴上的投影的方向相反，函数),(y x P 在L 上连续，那么

（1）当),(y x P 关于y 为偶函数时，则

?L

dx y x P ),(=0；

（2）当),(y x P 关于y 为奇函数时，则

?L

dx y x P ),(=2?

1

),(L dx y x P .

证明 依定理条件不妨设

1L ：)(x y y =，x 自点a 变到点b ；2L ：)(x y y -=，x 自点b 变到点a .而后由对坐

标的曲线积分的计算方法以及性质有?L

dx y x P ),(=?1

),(L dx y x P +?1

2),(L dx

y x P

=?b a

dx x y x P )](,[+?-b a

dx x y x P )](,[=?--b

a

dx x y x P x y x P )]}(,[)](,[{.故（1）当),(y x P 关于y

为偶函数时，有?L

dx y x P ),(=?-b

a

dx x y x P x y x P )]}(,[)](,[{=?b

a

dx 0=0；（2）当),(y x P 关

于y 为奇函数时，有?L

dx y x P ),(=?+b

a

dx x y x P x y x P )]}(,[)](,[{=2?b

a

dx x y x P )](,[

=2?1

),(L dx y x P .

注 对于?L

dy y x Q ),(有类似定理1的结论.

例3.3 ?=L

xydx I 计算，这里L 为抛物线x y =2

自点A （1，-1）到点B （1，1）的

一段弧.

解 经分析可知，此处的曲线积分合乎定理3.3，因而有

2=I ?1L xydx =2?1

0dx x x =54

这里，1L ：x y =，x 自点0变到点1.

关于曲线积分?

L

dx y x P ),(还有另一个对称性的结论是:

定理 3.4 设L 为xoy 平面上关于y 轴对称的一条有向光滑曲线弧，奇方程为

)(x y y =，（a x a ≤≤-），记1L ，2L 分别为L 处于y 轴的右半部分与左半部分，1L ，2L 在x 轴上的投影方向相同，函数),(y x P 在L 上连续，那么

（1）当),(y x P 关于x 为奇函数时，则?L

dx y x P ),(=0

（2）当),(y x P 关于x 为偶函数时，则?L

dx y x P ),(=2?1

),(L dx y x P .

证明 依定理条件不妨设

1L ：)(x y y =，x 自点0变到点a ； 2L ：)(x y y -=，x 自点-a 变到点0

而后由对坐标曲线积分的计算方法以及性质有

?L

dx y x P ),(=?

1

),(L dx y x P +

?

1

2),(L dx y x P +

=?--0

)](,[a

dx x y x P 对右端第

2个积分，令

t x -=，有?--0)](,[a

dx x y x P =?

-a

dt t y t P 0

)](,[,因此有

?L

dx y x P ),(=?a

dx x y x P 0

)](,[+?-a dx x y x P 0

)](,[=?-+a

dx x y x P x y x P 0

)]}(,[)](,[{

故（1）当),(y x P 在L 上关于x 为奇函数时，有?L

dx y x P ),(=?-a

dx

x y x P x y x P 0

)]}(,[)](,[{

=?a

dx 0

0=0.

（2）当),(y x P 在L 上关于x 为偶函数时，有?L

dx y x P ),(=?+a

dx x y x P x y x P 0

)]}(,[)](,[{

=2?a

dx x y x P 0

)](,[=2?1

),(L dx y x P .

注 对于?L

dy y x Q ),(有类似定理3.4的结论.

例3.4 计算I =?+-+L

dy y y x dx y x )sin ()(222，其中L 为2

22a y x =+（a ＞0）按逆

时针方向自点A （a ，0）到点B （-a ，0）的上半圆周.

解 将原等式拆分为3个曲线积分的和的形式，即 I =?+L

dx y x )(22-2?L

xydx -?+L

dy

y y x )sin (22

据题目条件分析可知，等式右端三个曲线积分合乎定理3.4，故有

I =?+L

dx y x )(22=2?+1)(2

2L dx y x =2?-+0

222)(a

dx x a x =-23

a .

3.2 曲面积分

3.2.1 第一类曲面积分的对称问题

定理3.5 设函数),,(z y x f 在光滑（或分片光滑）曲面∑上有定义，且对称于xoy （或yoz 或zox ）坐标面，则

（1）当),,(z y x f 是关于z y x 和,的偶函数时，??∑

ds z y x f ),,(8=??∑1

),,(ds z y x f （这里

1∑是∑位于对称坐标面一侧的部分）.

（2）当),,(z y x f 是关于z y x 和,的奇函数时，??∑

ds z y x f ),,(=0 .

推论 设函数),,(z y x f 定义在光滑（或分片光滑）曲面∑上，且∑关于zox

yoz xoy ,,坐标面均对称，则 （1）当),,(z y x f 是关于z y x 和,的偶函数时，??∑

ds z y x f ),,(=8??∑1

),,(ds z y x f （这里1

∑是∑在第Ⅰ卦限的部分）.

（2）当),,(z y x f 是关于z y x 和,中至少某一变量的奇函数时，??∑

ds z y x f ),,(=0.

例3.5 计算积分??

∑

++ds z

y x y

2

22，这里∑：表示平面0=z ，与H z =之间的圆柱面222R y x =+.

解 由于积分曲面关于zox 坐标面对称，且被积函数),,(z y x f =

2

22z

y x y

++是关于y 的奇函数，所以??

∑

++ds z y x y

2

22=0 .

例3.6 计算??∑

--ds y x a x

2226

，其中∑：2222a z y x =++.

解 令1∑：2222a z y x =++，a x ≤≤0，a y ≤≤0，a z ≤≤0，则1D ：2

2y

x +≤2

a ,a x ≤≤0,a y ≤≤0,ds =dxdy z z y

x

221++=

dxdy y

x a a 2

2

2

--.因为∑对称

于三个坐标面，况被积函数),,(z y x f =

222z

y x y

++是关于x ,y ,z 的偶函数，由对称性??∑

--ds y x a x

2226

=8??∑--1

2226

ds y x a x

=8a ??1

6D dxdy x =8a ??1

67cos D drd r θ

=8a ??a dr r 0

7

2

6

cos π

θ=

9

32

5a π.

3.2.2 第二类曲面积分的对称问题

定理3.6 设∑是关于xoy 平面对称的有向光滑曲面，其方程为一双直函数，设为),(y x z z ±=，),(y x ∈xy D （这里xy D 是∑在xoy 平面的投影区域），记1∑，2∑分别位于xoy 平面的上半部分与下半部分，1∑与2∑的侧关于xoy 平面相反，函数

),,(z y x R 在∑上连续，那么

（1）如果),,(z y x R 关于z 为偶函数时，那么dxdy z y x R ??∑

),,(=0；

（2）如果),,(z y x R 关于z 为奇函数时，那么dxdy z y x R ??∑

),,(=2dxdy z y x R ??∑1

),,(.

证明 依定理条件不妨设1∑：),(y x z z =，),(y x ∈xy D ，1∑取上侧；

2∑：),(y x z z -=，),(y x ∈xy D ，2∑取下侧.因此由对坐标的曲面积分的性质及计

算方法有dxdy z y x R ??∑

),,(=

dxdy z y x R ??∑1

),,(+dxdy z y x R ??∑2

),,(

=

dxdy y x z y x R xy

D ??)],(,,[-dxdy

y x z y x R xy

D ??-)],(,,[

=

dxdy y x z y x R dxdy y x z y x R xy

D })],(,,[)],(,,[{??--.故

（1）当),,(z y x R 关于z 为偶函数时，有

dxdy z y x R ??∑

),,(=dxdy y x z y x R dxdy y x z y x R xy

D })],(,,[)],(,,[{??-=dxdy xy

D ??0=0；

（2）当),,(z y x R 关于z 为奇函数时，有

dxdy z y x R ??∑

),,(=dxdy

y x z y x R dxdy y x z y x R xy

D })],(,,[)],(,,[{??+

2=dxdy y x z y x R xy

D ??)],(,,[2=dxdy z y x R ??∑1

),,(.

注 对于dydz z y x P ??∑

),,(，dzdx z y x Q ??∑

),,(有类似定理3.6的结论.

例3.7 计算=I ??∑

xyzdxdy ，式中∑为球面12

22=++z y x 的外侧位于x ≥0，y ≥0的部分.

解 据题目条件分析知，此曲面积分合乎定理3.6，因此有

=I 2??∑1

xyzdxdy =2??--xy

D dxdy y x xy 2

21=??-201

2

312sin π

θθdr r r d =

15

2 此处1∑：z =221y x --，),(y x ∈xy D ={),(y x ∣2

2y x +≤1，x ≥0，y ≥0}. 例3.8 =I ??∑

+-+-zdxdy dzdx zx y dydz yz x 2)()(2

2.这里∑为锥面z=1-22y x +被

平面0=z 所截得的取上侧的部分.

解 可将原式改写为三个曲面积分之和，即

=I ??∑

-dydz yz x )(2+??∑

-dzdx zx y )(2

+2??∑

zdxdy

据题目条件可知右端的第一、第二类曲面积分均合乎定理3.3的结论，所以有

=I 2??∑

zdxdy =2

??+-X Y D dxdy y x )1(2

2

=2??-1

20)1(rdr r d πθ=π32

.

其中：xy D ={),(y x ︱2

2y x +≤1}.