数学建模之住房的合理定价问题

住房的合理定价问题

摘要

房价的合理性已成为当今社会的热门话题。本文依照题中所给出的数据，对3个问题分别建立模型并求解。

针对问题1，首先利用Excel 建立图表，绘制出历年房价走势图。然后，对原始数据进行拟合，得出指数型及多项式型拟合方程，并在原图上绘制出趋势线。同时，求出确定性系数2R ，依据2R 是否接近于1判断拟合程度好坏，即检验拟合方程的有效性。计算得出的指数型及二阶多项式型拟合方程：

0.12811()678.81i x i e =、22()12.5950.274716.38x i i i =++，

由此预测出2010年房价分别为4080元/平米、3888元/平米。为了增加预测的可靠性，再结合二次指数平滑法对2010年房价进行预测。通过比较实际值与预测值的平均偏差值ME 的大小，选择出合适的α。预测出2010年的房价为3800元/平米。最后，建立三元线性回归模型，将上述三种方法对历年房价的预测值分别作为自变量1x 、2x 、3x 的原始数据，以实际房价()P i 作为因变量，用Matlab 软件拟合出多元线性方程：

1123()0.02020.1389() 1.1319()0.0084()f P i x i x i x i ∧

=--?+?+?。代入相关数据，求

出历年的最终房价预测值为3866元/平米。

针对问题2，通过Excel 绘制出历年平均房价与人均GDP 的关系走势图，且自动生成对原始数据进行拟合后的指数型和自变量为2阶、3阶、4阶的多项式型拟合方程及各自的确定性系数2R 。2R 的值分别为：0.8673；0.9929；0.9982；

0.9986。由此判断，因2阶多项式型拟合方程的2R 不仅十分接近于1，且相对

于3阶、4阶的多项式方程更为简便，故选择：

2()(706)[()]0.3236()177.06P i E G i G i ∧

=--?+?-为平均房价与人均GDP 的关系方

程。最后，在联系当下实际状况的基础上对建立的模型进行研究，分析出平均房价与人均GDP 的关系。

针对问题3，首先从政府、人民、房地产商三方面分析其各自对房价的要求。然后，利用Excel ，并依据前两个问题的解决方法求出最合理的历年人均GDP 和平均收入走势的拟合方程，分别为：2()135.36659.734486.8G i i i ∧

=-+；

2()57.978390.524715.8I i i i ∧

=++。由此预测出2010年的人均GDP 值为21781元、

平均年收入为21547元。利用Matlab 软件拟合出以历年人均GDP 和平均年收入的实际值作为自变量1x ，2x ；以历年平均房价的实际值作为因变量的二元线性回

归方程，将已经预测出的2010年人均GDP 和平均收入值代入拟合方程

3()48.45990.0492()0.1348()f P i G i I i ∧

=-++，得到2010年平均房价的预测值3928

元/平米。最后，再结合房价收入比等相关数据改善模型。

本文最大的特色在于采用多种方法解决问题并对其结果拟合得到最佳答案。同时结合国家政策，社会现状等实际因素改善模型，增强模型的实用性。

关键词：二次指数平滑、多项式、线性回归、房价收入比

1.问题的提出

电视剧《蜗居》的热播不是一个偶然。它的成功，正是在于其所反映的“房奴”问题激发了广大老百姓的共鸣。当今社会，房价的急速上涨让人们不知所措。房价太高，而需房者收入又太低，使得国内的房地产业面临前所未有的困境。如何遏制房价过快上涨势头，使百姓买得起房，房地产商有钱可赚，国家的支柱性产业得以健康地发展是放在我们面前的一大难题。

以上述背景为基础，根据某地区各年的平均房价、人均GDP、职工平均年收入等数据（见表1）解决关于住房的合理定价问题:

（2）研究该地区人均GDP与房价的关系。

（3）试建立2010年该地区的合理房价模型使得百姓、房地产商、政府都比较满意。

2.基本假设

1．表1中所提供的1997至2009年的平均房价、人均GDP、平均收入值真实有效。

2．在2010年内，无地震、洪灾、瘟疫等重大自然灾害及战争、动乱等人为灾难发生。

3．在2010年内，国内经济以固有趋势稳步发展，无金融危机冲击，人均GDP保持稳定上涨趋势。

4. 针对第1个问题，假设政府没有出台任何有关住房的新政策。

3.符号说明

4.问题分析和模型的建立与求解

问题1：

1）问题分析

Step1:

利用Excel软件，作出1997至2009年的平均房价走势图，并添加指数型及二阶多项式型趋势线。经观察可知，添加的趋势线与原平均房价的走势线较为吻合。故使软件自动生成指数型及二阶多项式型拟合方程，和它们各自的确定性系

数2R。如下图：

图1添加指数型趋势线的该地区历年房价走势图

图2 添加二次多项式型趋势线的该地区历年房价走势图

因2R分别为0.9980和0.9989，十分接近于1，故两拟合方程的拟合程度均

很高。利用它们进行2010年，即第14年的平均房价预测具有可很高的参考性。Step2:

为了增加预测的可靠性，再利用二次平滑指数法对2010年平均房价进行预测。

首先，要确定α的值。选取不同的α进行计算，通过由不同α值得出的预测数据再进行实际值与偏差值的平均偏差大小ME 计算。选取ME 值较小的α作为参加计算的平滑系数。 Step3:

建立三元线性回归模型，将上述三种方法对历年房价的预测值分别作为自变量1x 、2x 、3x 的原始数据，以实际房价()P i 作为因变量，用Matlab 软件拟合出三元线性回归方程,使我们所需要的2010平均房价预测值更为精确。 2）模型的建立与求解 Step1：

指数型拟合方程：

0.12811()678.81i x i e =

其确定性性系数2R 0.998= 二阶多项式型拟合方程：

22()12.5950.274716.38x i i i =++

其确定性性系数2R 0.9989= 经计算可得：

1()x i ∈（772，877 ，997，1133，1288，1464，1664，1892，2150，2444，2778，3158，3589）；

2()x i ∈（779，867，981，1119，1283，1471，1685，1924，2189，2478，2793，3133，3489）；

i ∈（1，2，3…13）

利用以下公式进行误差检验：

()()i E P i x i =-

1

n

i

i E

ME n

==

∑

其中n=13;

可得10.5X ME =-；20.6X ME =

由此判断该拟合方程误差很小，预测数据具有有效性。 其中，1(14)4080x =；2(14)3888x =

即，用指数型及二阶多项式型拟合方程对2010年的房价预测值分别为4080元/平米；3888元/平米。 Step2:

指数平滑法的预测关系式为:

11()()(1)(1)P i P i P i αα∧

∧

=+--

利用上式进行两次平滑值的计算；

再将第一次平滑值和第二次平滑值代入以下公式：

112()(()())i a P i P i P i ∧∧∧

=+-

12(()())1i b P i P i αα

∧∧=--

确定待定系数,i i a b 的值；

最后将,i i a b 代入公式3()i i x i a b T =+?求出预测值。

当求出所有年份的预测值后，利用以下公式进行误差检验：

1()()i E P i x i =-

1

n

i

i E

ME n

==

∑

其中n=12。

比较ME 大小，选ME 较小的α值。

①α取值为0.5；1()P i ∧

的初始值为

767

178ME =

②α取值为0.3；1()P i ∧

的初始值为

767

2228ME =

因为12ME ME <，所以将α的取值定为0.5.

则3()x i ∈（767，895，1027，1173，1340，1538，1764，2107，2442，2902，3136，3405），i ∈（2，3，4，5…13）

其中3(14)3800x =

即，采用二次指数平滑法对2010年房价的预测值为3800元/平米。 Step3:

建立三元线性回归方程：

10112233()()()()f P i c c x i c x i c x i ∧

=+?+?+?

利用Matlab 软件解上式； 可得：

1123()0.02020.1389() 1.1319()0.0084()f P i x i x i x i ∧

=--?+?+?

将1(14)4080x =，2(14)3888x =，3(14)3800x =代入上式；

得1(14)3866f P ∧

=；

即，2010年平均房价的最终预测值是3866元/平米。

图3 对三元线性回归模型的误差分析图

从图中可看出确定性系数2R 0.998791=，拟合程度相当高。 因此根据此式得出的2010年平均房价预测值具有很大的参考价值。

问题2：

1）问题分析及模型的建立 建立如下图表：

图4 添加指数型趋势线的房价与人均GDP关系走势图

图5 添加二次多项式型趋势线的房价与人均GDP关系走势图

图6 添加三次多项式型趋势线的房价与人均GDP 关系走势图

图7 添加四次多项式型趋势线的房价与人均GDP 关系走势图

由图4—图7可看出，指数型和自变量为2阶、3阶、4阶的多项式型拟合

方程及各自的确定性系数2R 。2R 的值分别为：0.8673；0.9929；0.9982；0.9986。

因为二次多项式的2R 值既比指数型拟合方程的2R 更接近于1，且其方程形式比三次，四次多项式的拟合方程更为简便。故用它反应历年人均GDP 与平均房

价的关系。如下式：

22()706[()]0.3236()177.06f P i E G i G i ∧

=--+-

2）模型的求解

根据建立的模型，即上式，研究分析该地区平均房价与人均GDP的关系。

因为该式的二次项系数小于1，则此方程的图形为开口向下的抛物线，必有一个最高点。因而，随着人均GDP的不断增长，平均房价也在不断增长（如当下的情况），当人均GDP继续增长到某一值时，平均房价达到最高点，且此后随着人均GDP的不断增长，房价呈下降趋势。

最近，国家出台了一系列新的政策，如：

在商品价格过高、上涨过快、供应紧张的地区，商业银行可根据风险状况，暂停发放购买第三套及以上住房贷款；

对不能提供1年以上当地纳税证明或社会保险缴纳证明的非本地居民暂停发放购买住房贷款；

二套房首付款不得低于50%，贷款利率不得低于基准利率的1.1倍（工商银行已于2010年4月16日率先实行此政策）。

而当这些政府调控楼市的政策出台之后不久，深圳、上海纷纷出现楼市投资者抛盘的情况，更有浙江投资者将上亿元的在京楼市投资抛售而出。

由此分析得出，这一系列的新政策极大地影响了人们在房产上的消费倾向，在一定程度上削弱了住房的购买量，从而使房地产商会以减少楼市的投资或以降低房价的手段促进楼盘的买卖。

综上所述，以理论模型结合实际情况进行分析可得出以下结论：

就当前我国的经济发展状况来看，我国人均GDP会继续保持增长趋势，平均房价也会随之增长。但是，由于国家政策的干预，平均房价的增长速度可能会逐渐减慢甚至呈负增长状态，不过，这将是政策被实际且广泛实行一段时间后才可能出现的结果，在短期内房价不会大幅度下降。

问题3：

1）问题分析

要想建立一个合理的房价模型使房地产商、人民、国家都满意，就必须同时从三方面着手考虑。

①企业的根本目的是利润的最大化。因而，就房地产商而言，高房价与高销售量成就的高销售额是他们所追求的终极目标。然而，房价可由房地产商决定，但他们却决定不了销售量。销售量无法提高，赢取利润便是空谈。因此，确定合理的房价对于房地产来说十分必要。因为，房价在很大程度上决定了销售量的多少。

②对于普通老百姓而言，房价当然是尽可能越低越好。（不考虑靠“炒房”谋生的人群）。当下，房价的居高不下令许多买房者望而生畏，整个社会中降低房价的呼声越来越高。

③针对政府来看，房价高，房地产业兴盛必然会带动多产业的发展与壮大，从而促进整个国家的经济发展。但是，过高的房价又必定会引起百姓的怨言。所以，怎样确定一个既能保持房产业的繁荣又能满足百姓的住房需求的合理房价是政府不得不考虑的问题。

综上所述，合理房价的确定不仅要参考历年平均房价的走势，也要将以上三个因素考虑在内。

因此，首先，根据该地区历年人均GDP和平均收入值的数据，分别拟合出一个二次多项式方程，通过该方程得到该地区2010年人均GDP和平均收入的预测

值。然后再将该地区历年人均GDP()

I i作为自变量，历年平均房

G i和平均收入()

价()

P i作为因变量拟合出二元线性回归方程。即，在人均GDP及平均收入的影响下，对2010房价进行预测的模型。人均GDP在一定程度上反应出整个国家的经济发展状况，而平均收入也在一定程度上映射出该地区老百姓的购买能力。

最后，结合国家政策和社会状况对该模型进一步改善，使其具有实效性。2）模型的建立与求解

Step1:

图8 添加二次多项式型趋势线的历年人均GDP走势图

图9 添加二次多项式型趋势线的历年平均年收入走势图

以上两图是通过Excel 软件绘制的该地区历年人均GDP 和平均收入的走势图，并自动生成二次多项式拟合方程合确定性系数2R 。

人均GDP 的拟合方程为：

2()135.36659.734486.8G i i i ∧

=-+

20.9957R =

平均收入的拟合方程为：

2()57.978390.524715.8I i i i ∧

=++

20.9898R =

通过对2R 与1的接近程度判断可知，两拟合方程的拟合程度均很高。 代入数据可得：(14)21781G ∧

=；(14)21547I ∧

=。

所以2010年的人均GDP 和平均收入的预测值分别为21781元，21547元。 Step2:

以()G i 、()I i 作为自变量，()P i 作为因变量建立二元线性回归模型。其中，

i ∈（1，2，3…13）。利用Matlab 软件求解，得到拟合方程：

3()48.45990.0492()0.1348()f P i G i I i ∧

=-++

代入(14)21781G ∧

=和(14)21547I ∧

=，得到3(14)3928f P ∧

=

即，在人均GDP 与平均收入的影响下所预测的2010年房价为3928元/平米。

图10 对二元线性回归模型的误差分析图

由上图可知此二元线性回归方程的确定性系数为0.986066。因此判断该方程的拟合程度很高，误差较小。但是，3928元/平米的2010年房价预测值并非最终所求的合理房价值。还要经过以下步骤的修改后才可最终确定。

Step3:

以上的房价定制模型只是单纯的基于人均GDP和平均收入因素。通过网上收集信息及向峨眉规划设计院咨询，可从以下两个方面对确定2010年该地区合理房价的模型进行修改。

①通过“房价收入比”确定合理房价。

所谓“房价收入比”是指住房价格与城市居民家庭年收入之比。国际上通用的房价收入比的计算方式，是以住宅套价的中值，除以家庭年收入的中值。

通过网上查得的数据，截至2009年，全国城镇人均住房面积为27平方米，以每一个家庭有三人（父母及儿女）计算，一个家庭的平均住房面积为81平方米，即一套住房的面积平均为81平方米。以预测的2010年房价3928元/平米计算，一套房屋的平均价格为31.8168万元。而这个家庭的年收入以预测的2010年平均年收入2.1547万元乘以2计算（夫妻共同年收入），为4.3094万元。用房屋套价31.8168万元除以家庭平均年收入4.3094万元，其比值约为7.4。而合理的房价收入比应在4~6之间。7.4 > 6，可知该地区2010年房价偏高。

若分别以房价收入比为4和6确定房价，经计算，房价分别为2168元/平米和3192元/平米。

所以，以“房价收入比”确定合理的房价，则该地区2010年的平均房价应介于2168~3192元/平米。

②经过向峨眉设计院相关人员咨询，得知普通居民住宅的每平米基本造价约为房屋实际每平米销售价格的25%。

由此可知，房地产商能得到相当于投资金额3倍的利润。以预测的2010年房价3928元/平米计算，房地产商每平米的实际总投资为982元。若按“房价收入比”确定的2168~3192元/平米的房价作为最终销售价格，房地产商可获得相当于其总投资1.2~2.3倍的利润，房地产商依然能够获取十分丰厚的利润。

综上所述，在得到的二元线性拟合方程：

3()48.45990.0492()0.1348()f P i G i I i ∧

=-++的基础上，通过判断由房价收入比为

4~6，所确定的平均房价是否能满足房地产商的盈利需求确立最终房价。