微专题——概率分布列解答题训练(正式版)

微专题——概率分布列解答题训练（一）

1．近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事，并且逐渐影响到国际电子商务行业.某商家为了准备2018年双十一的广告策略，随机调查1000名淘宝客户在2017年双十一前后10天内网购所花时间，并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图.由频率分布直方图可以认为，这10天网购所花

的时间近似服从，其中用样本平均值代替，

.

（Ⅰ）计算样本的平均值，并利用该

正态分布求

（Ⅱ）将这10小时内的人定义为目标客户，对目标客户发送广告提醒现若随机抽

10000名淘宝客户，记为这（i 人中目标客户的人数为何值的概率最大？

服从正态分布，则，

，，.

2中小学生，其中有7%学生在2017年享受了“国家精准扶贫政策，在享受“之比为将不再享受“难，特到2017年共5图所示

x 与y （万元）年至（Ⅰ）估计该市2018年人均可支配年收入；

（Ⅱ）求该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少？

附：①对于一组具有线性相关关系的数据()()()1122,,,,

,,n n u v u v u v ，其回归直线方程v u βα=+的

斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()

1

2

1

???,.n

i

i

i n

i

i u u v v v u u u β

αβ

==--==--∑∑ ②

3．2018年元旦期间，某运动服装专卖店举办了一次有奖促销活动，消费每超过400元均可参加1

次抽奖活动，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.

方案一：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘(如图），转盘停止转动时指针指向哪个扇形区域，

则顾客可直接获得该区域对应面额(单位：元）的现金优惠，且允许顾客转动3次.

方案二：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘（如图〕，转盘停止转动时指针若指向阴影部分，则未中奖，若指向白色区域，则顾客可直接获得40元现金，且允许顾客转动3次. （1）若两位顾客均获得1次抽奖机会，且都选择抽奖方案一，试求这两位顾客均获得180元现金优惠的概率； （2）若某顾客恰好获得1次抽奖机会. ①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得现金奖励的数学期望； ②从概率的角度比较①中该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 4．“2018年

（1）平均数x ； （2）①Z Z 落在②； ②． 5(1)

理，并

60.6mm 确到0.01）根，求

次品数Y 的分布列和数学期望. （参考数据：若()2,X N μσ-,则

()P 0.6826X μσμσ-<≤+=；()()P 220.9544;330.9974X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=.

微专题——概率分布列解答题训练（二）

6．某企业从某种型号的产品中抽取了N 件对该产品的某项指标E 的数值进行检测，将其整理成如图所示的频率分布直方图，已知数值在100~110的产品有2l 件.

（1）求N 和a 的值；（2）规定产品的级别如下表：

已知一件,,C B A 级产品的利润分别为10，20，40元,以频率估计概率，现质检部门从该批产品中随机抽取两件，两件产品的利润之和为X ，求X 的分布列和数学期望；

（3）为了了解该型号产品的销售状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图，由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场卢有率y （%）与月份代码x 之间的关系.求y 关于x 的线性回归方程，并预测2017年4月份(即7x =时)的市场占有率.

(参考公式：回归直线方程为???y

bx a =+，其中()()()

1

2

1

?n

i

i

i n

i

i x x y y b x x ==--=-∑∑，??a y bx

=- 7．2017年10月18日，习近平同志在党的十九大上向世界郑重宣示中国进入新时代，在这一新形势下，某地政府出台了进入新时代的5年具体规划，现对其中的一项公益项目进行民意调研，并根据调研结果决定后继工作，调查人员随机在各地对市民

进行问卷调查，其中调查结果均在[]50,100内.将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，并规定

①调查对象[)50,60内批立项实施.

（1认为可立项

（2）

人，

试估计恰有3（结果精确

（3老年人占13

，3人担()E ξ. ，

8．的经营而生.(Ⅰ)由折线图得，可用线性回归模型拟合月度与月份代码之间的关系关于并预测2017时） (Ⅱ)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不形同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表见上表. 经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是公司的负责人，以每．

辆单车产生利润的期望值．．．．．．．．．．．

为决策依据，你会选择采购哪款车型？ （参考公式：回归直线方程为

，其中

）

9．为了解A 市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高

三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；（精确到个位）

（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布()2~,X N u σ（0u u =，σ约为19.3）.

①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占46%，据此估计本次检测

成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）

②已知A 市理科考生约有1000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大

约是多少名？

（说明：()111x u P x x φσ-??>=- ???表示1x x >的概率，1x u φσ-??

???

用来将非标准正态分布化为标准正

态分布，即()~0,1X N ，从而利用标准正态分布表()0x φ，求1x x >时的概率()1P x x >，这里

（Ⅰ）因为

，

从而服从，因为

，从而

.

（Ⅱ）（i ）任抽1个淘宝客户，该客户是目标客户的概率为

.

现若随机抽取10000名淘宝客户，记为这10000人中目标客户的人数，从而服从

，所以

.

（ii ）服从，

.

若当时概率最大，

则有，即，解得，

故10000人中目标客户的人数为4772的概率最大.

2．试题解析：

（Ⅰ）因为()

1

131415161715

5

x=++++=，所以()()()

5

22222

1

211210

i

i

x x

=

-=-+-++=

∑.

由

2

log

k y

=得

212

log

k C C x

=+，

所以

5

2

x k

C0.8

=，所（Ⅱ人

所以万（1

.

（2）①若选择抽奖方案一，则每一次转盘指向60元对应区域的概率为

1

3

，每一次转盘指向20元

对应区域的概率为

2

3

.

设获得现金奖励金额为X元，则X可能的取值为60，100，140，180.

则()

3

3

28

60

327

P X C

??

===

?

??

；()

12

1

3

124

100

339

P X C

????

===

? ?

????

；

()2

2

3

122

140

339

P X C

????

===

? ?

????

；()

3

3

3

11

180

327

P X C

??

===

?

??

.

所以选择抽奖方案一，该顾客获得现金奖励金额的数学期望为

()8421

60100140180100279927

E X =?+?+?+?=（元）.

若选择抽奖方案二，设三次转动转盘的过程中，指针指向白色区域的次数为Y ，最终获得现金奖励

金额为Z 元，则13,3Y B ??

~ ???

，故()1313E Y =?=，

所以选择抽奖方案二，该顾客获得现金奖励金额的数学期望为()()4040E Z E Y ==（元）.

②由①知()()E X E Z >，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.

4．试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为：

50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =?+?+?+?+?=． （2）①∵Z 服从正态分布()2,N μσ，且26μ=，11.95σ≈，

∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=，

(1)()μ65σ 2.2μ3σ58.4μ3σ71.6733μσ==-=+=∈++∞，，，，，,

()()

158.471.610.9974

P 71.60.001322

P X X -<≤->=

=

=.

此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理. 由题意可知钢管直径满足：故该批钢管为合格品的概率约为0.95

60根钢管中，合格品57根，次品3根，任意挑选3根，则次品数Y 的可能取值为:0,1,2,3.

()()()()03122130357357357357

3333

60606060

P Y 0,1,2,3C C C C C C C C P Y P Y P Y C C C C ========.

得：()357357357357333360606060

E Y 01230.15C C C C C C C C

C C C C =?+?+?+?=.

6．试题解析：

（1）数值在100~110内的频率为()0.04+0.035=0.35?，所以21

600.35

N =

=. 又因为()5210.020.030.0420.055a ?=-++?+?，所以0.01a =.

（2）由频率分布直方图，可知抽取的一件产品为C ，B ，A 等级的概率分别为

14，35，3

20

，且X 的取值为20，30，40，50，60，80，则()111204416P X ==?=，()133

3024510

P X ==??=，

()339405525P X ==?=，()133********P X ==??=，()339

60252050

P X ==??=

，()339

80

P X ==?=

，

()()3

3

40.3810.380.136P C =-≈.

（3）因为评分低于60分的被调查者中，老年人占1

3

，所以这12人中，老年人有4人，非老年人

有8人，随机变量ξ的所有可能值为0，1，2，3

()034831214055C C P C ξ===，()218431228155C C P C ξ===

，()128431212255C C P C ξ===，()30483121

355

C C P C ξ===， ξ的分布列为：

ξ的数学期望()142812128243

012315555555555

E ξ++=?+?+?+?==.

8．(1)线性回归方程为，公司2017年5月份的市场占有率预计为23%(2)应该采购款

单车 【解析】试题分析：（1）根据折线图及平均数公式可求出与的值从而可得样本中心点的坐标，

从而求可得公式

中所需数据，求出

，再结合样本中心点的性质可得

，

进而可得关于的回归方程，将代入回归方程即可得结果；（2）根据表格中的数据，算出每

辆款车可使用

年的概率，从而可得每辆款车可产生的利润期望值，同理可得每辆款车可产生的利润期望值，比较两期望值的大小即可得出结论.

试题解析：(Ⅰ)计算可得

,

.

.

月度市场占有率与月份序号之间的线性回归方程为.

当时，.故公司2017年5月份的市场占有率预计为23%.

(Ⅱ)由频率估计概率，每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2、0.35、0.35

和0.1，每辆款车可产生的利润期望值为

（元）.

频率估计概率，每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1、0.3、0.4和0.2，

每辆款车可产生的利润期望值为：

（元），

应该采购款单车.

9．试题解析：

（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为： 1250.11350.051450.03103.2103?+?+?=≈.

（2）①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为1x ，

根据题意，()1011103110.4619.3x u x P x x φφσ--????

>=-=-= ? ?????

，

即11030.5419.3x φ-??

=??

.由()0.70540.54φ=，得11030.705419.3x -=， 解得1116.6117x =≈，所以本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分. ()()107103107110.207210.58320.416819.3P x φφ-??

>=-=-≈-= ???

②，

所以理科数学成绩为107分时，大约排在100000.41684168?=名．

10．解析：（1）样本包裹件数在101400~之间的天数为48，频率484

605

f ==，

故可估计概率为4

5

，

显然未来3天中，包裹件数在101400~之间的天数X 服从二项分布，

即

4

~3

5

X B

??

?

??

，，故所求概率为

2

2

3

4148

55125

C

??

??=

?

??

.

故样本中每件快递收取的费用的平均值为15

100

=（元），故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.

因9751000

<，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.

点睛：本题考查了频率和概率、平均值的实际应用，计算出频率来估计概率的取值，运用二项分布求出事件概率，在比较裁员与不裁员的情况下分别算出期望值，来比较利润的大小，从而为作出决

策提供依据。