《全等三角形》知识点归纳

*1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

*2.全等三角形：

（1）定义：

（2） ABC 全等于 DEF （）

（3）

全等三角形的对应角相等

**3.三角形全等的判定：

No.1 边边边 (SAS) :三边对应相等的两个三角形全等。

No.2 角边角（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

No.3 角边角（ASA ）：两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等。

角角边（AAS ）：两个角和其中的一个叫的对边对应相等的两个三角形全等。 No.4 斜边，直角边 (HL)：斜边和直角边对应相等的两个三角形全等。

**4.角的平分线的性质

1. 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

2. 角的平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平

编辑者：林金咏城南实验中学 209班 35号

全等三角形专题练习(解析版)

全等三角形专题练习（解析版）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在等边ABC ?中取点P 使得PA ，PB ，PC 的长分别为3， 4， 5，则APC APB S S ??+=_________．【答案】936 【解析】【分析】把线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60?得到线段AD ，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS 证得△ADB ≌△APC ，连接PD ，根据旋转的性质知△APD 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90?，由△ADB ≌△APC 得S △ADB ＝S △APC ，则有S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ，根据等边3S △ADP ＋S △BPD ＝332＋12×3×4＝936+．【详解】将线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60?得到线段AD ，连接PD ∴AD ＝AP ，∠DAP ＝60?，又∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC ＝60?，AB ＝AC ， ∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠PAC ＋∠BAP ， ∴∠DAB ＝∠PAC ，又AB=AC,AD=AP ∴△ADB ≌△APC ∵DA ＝PA ，∠DAP ＝60?， ∴△ADP 为等边三角形，在△PBD 中，PB ＝4，PD ＝3，BD ＝PC ＝5， ∵32＋42＝52，即PD 2＋PB 2＝BD 2， ∴△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90?， ∵△ADB ≌△APC ，

∴S△ADB＝S△APC， ∴S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD＝3 ×32＋ 1 2 ×3×4＝ 93 6+．故答案为： 93 6+．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解． 2．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______ 【答案】110°、125°、140° 【解析】【分析】先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则 ∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可. 【详解】解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°， ∴b﹣d=10°， ∴（60°﹣a）﹣d=10°， ∴a+d=50°，即∠DAO=50°，分三种情况讨论： ①AO=AD，则∠AOD=∠ADO， ∴190°﹣α=α﹣60°，

全等三角形基础测试题(供参考)

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 全等三角形基础测试题 ( 练习时间60分钟）班别姓名学号成绩（一）精心选一选6小题（每小题4分，共24分） 1、使两个直角三角形全等的条件是（）Ａ.一锐角对应相等Ｂ.两锐角对应相等Ｃ.一条边对应相等Ｄ.两条边对应相等 2、如图，AB 与CD 交于点O ，OA ＝OC ，OD ＝OB ，∠A=50°， ∠B ＝30°，则∠D 的度数为（）. A ．50° B ．30° C ．80° D ．100° 3、如图，在△ABC 和△DEF 中，给出以下六个条件中： ① AB=DE ；②BC=EF ；③AC=DF ；④∠A=∠D ； ⑤∠B=∠E ；⑥∠C=∠F 。以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC 和△DEF 全等的是（） A ．①⑤② B 、①②③ C 、④⑥① D 、②③④ 4、下列说法中不正确的是（） A.全等三角形一定能重合 B.全等三角形的面积相等 C.全等三角形的周长相等 D.周长相等的两个三角形全等 5、某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（） A ．带①去 B ．带②去 C ．带③去 D ．①②③都带去 6、如图，∠B=∠C=90，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ， ∠CMD=35°，∠MAB 的度数是（） A ．35° B ．45° C ．55° D ．65° （二）细心填一填6小题（每小题4分，共24分） 7、如图示，AC ，BD 相交于点O ，△AOB ≌△COD ，∠A=∠C ，则其它对应角分别为______________________，对应边分别为_____________________. 8、已知，如图，AD =AC ，BD =BC ，O 为AB 上一点，那么，图中共有对全等三角形． 9、△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝80°，O 则∠OAC ＝______，∠BOC ＝________． 10、将一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，其中 BC BD ，为折痕，则BCD ∠的度数为． O C B A 第8题 B C D （第10题）第7题图 O D A C B A B C E D F （第3题） D A B C M （第6题） O D C B A （第2题）

全等三角形知识点及应用题

一.三角形的基础知识全等三角形 1、全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形对应角的平分线相等。全等三角形对应边上的高线、中线对应相等。 2、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS”）。 3、有两多角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA”）。 4、有两角和其中一角的对边相等的两个三角形全等（简写成“AAS”）。 5、有三条边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS”）。 6、有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）。 7、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。8、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。等腰三角形 1、等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角． 2、等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形. （2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等. 3、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．等边三角形 1、等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形． 2、等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60° 3、等边三角形的判定方法（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．三角形中的边角不等关系（1）在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大.（简称为：大边对大角）

(完整版)全等三角形基础练习及答案

全等三角形判断一一、选择题 1. △ABC和△中，若AB＝，BC＝，AC＝.则（） A.△ABC≌△ B. △ABC≌△ C. △ABC≌△ D. △ABC≌△ 2. 如图，已知AB＝CD，AD＝BC，则下列结论中错误的是（） A.AB∥DC B.∠B＝∠D C.∠A＝∠C D.AB＝BC 3. 下列判断正确的是（） A.两个等边三角形全等 B.三个对应角相等的两个三角形全等 C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等 D.直角三角形与锐角三角形不全等 4. 如图，AB、CD、EF相交于O，且被O点平分，DF＝CE，BF＝AE，则图中全等三角形的对数共有（） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 5. 如图，将两根钢条，的中点O连在一起，使，可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△的理由是( ) A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边

6. 如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的是（） A.EC⊥AC B.EC＝AC C.ED ＋AB ＝DB D.DC ＝CB 二、填空题 7. 如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________. 8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，则图中全等三角形共有_____对. 9. 如图，在△ABC和△EFD中，AD＝FC，AB＝FE，当添加条件_______时，就可得△ABC≌△EFD（SSS） 10. 如图，AC＝AD，CB＝DB，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE＝_______. 11. 如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B ＝20°，则∠C ＝______．

全等三角形在初中数学中的应用论文资料解读

曲靖师范学院本科生毕业论文论文题目: 全等三角形的证明在初中数学中的应用作者、学号：李发蝌2011111233 学院、年级：数学与信息科学学院2011级学科、专业：数学数学与应用数学指导教师：罗红英完成日期：2015年5月20日曲靖师范学院教务处

全等三角形的证明在初中数学中的应用摘要 “全等三角形的证明”是在初中数学平面几何中占重要内容之一，是研究图形性质的基础，而且在近几年的中考中都有出现，新课标的要求是“探索并掌握两个三角形全等的条件”，因此掌握三角形全等的证明及运用方法对初中生来说至关重要。其证明方法繁多，技巧性强，有一定的通法，所以研究范围极广，难度极大．论文整理和归纳了全等三角形证明的步骤及其注意事项，分别列举了几种常用的全等三角形的证明方法，让每一种方法兼有理论与实践性．旨在使学生对全等三角形证明及其应用问题有一个较为深入的了解，进而在解决相关全等三角形问题时能融会贯通、举一反三，达到事半功倍的效果，同时为从事教育的工作者提供参考．关键词：全等三角形；初中数学；方法；应用

Prove congruent triangles used in in junior high school mathematics Abstract：“Entire and so on the triangle proofs” are account for one of important contents in the junior middle school mathematics plane geometry, is studies the graph nature the foundation, moreover tests in recent years all has the appearance, the new class sign request is “explores and grasps two triangles entire and so on the condition”, therefore the grasping triangle entire and so on the proof and said since birth using the method to the junior middle school very important.Its proof method is many, skillful, has certainly certainly passes the law, therefore the research scope is extremely broad, the difficulty is enormous. The paper reorganized and has induced entire and so on the triangle proof steps and the matters needing attention, has enumerated several kinds separately commonly used entire and so on the triangle proof methods, let each method have at the same time the theory and the practicality. Is for the purpose of making the student to entire and so on the triangles to prove and the application question has a more thorough understanding, then is connected entire when the solution and so on the triangle questions can achieve mastery through a comprehensive study of a subject, extrapolate, achieved the twice the result with half the effort effect, simultaneously for the worker who is engaged in the education provides the reference. Key word: Entire and so on triangles; Junior middle school mathematics; Method; Using

青岛版五年级数学上册第七单元绿色家园——折线统计图知识点

七绿色家园——折线统计图一、折线统计图 1.折线统计图的特点。 (1)折线统计图是用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少描出各点,然后把各点用线段顺次连接起来,以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化的统计图。 (2)优点:折线统计图不但可以表示出数量的多少,而且能够清楚地表示数量增减变化的情况。 2.条形统计图与折线统计图的区别。 (1)观察下面的条形统计图可以发现,条形统计图能够清楚直观地表示出数量的多少。 2006—2012年中国青少年机器人大赛参赛队伍统计图 (2)观察下面的折线统计图可以发现,折线统计图不仅能表示出数量的多少,通过折线的起伏还能清楚地表示出数量增减变化的情况。 2006—2012年中国青少年机器人大赛参赛队伍统计图条形统计图适合用来表示数据之间相互独立,不是同一项目的数据对比。折线统计图中的点表示数量,折线表示数量的增减变化情况。

3. 绘制折线统计图的方法和步骤。 (1)根据统计的数据,画出互相垂直的纵轴和横轴。①在横轴上等间隔地标注项目,并在横轴尾端标注项目名称。②在纵轴上标注数据刻度,使得最大刻度能表示最大数据,并在纵轴顶端标注单位。 (2)根据数量的多少找到对应的横轴和纵轴的交点,并标上数据,按照同样的方法根据数据大小描出其他各点。 (3)在各点旁注明数据,顺次连接相邻的两个点。 (4)写出折线统计图的名称、日期。如小丁上学期五次数学测验成绩统计表的绘制:

4.折线统计图与条形统计图的绘制区别。条形统计图是用直条的高低长短表示数据的大小,折线统计图是在每一项目的竖线上描点表示数据的大小,描完点后用线段把这些点顺次连接起来。 5.折线统计图的分析。分析折线统计图时,要重点注意分析数据在什么时间达到最多或最少;数据上升和下降的时间段及变化快慢情况;哪两个时间段的数据相比变化的趋势明显一些。根据折线走势看数据变化趋势的方法: ①折线图起始数据低,而终端数据较高,则数量呈上升趋势; ②如果起始数据、中间数据、终端数据变化不大,则数量平稳; ③起始数据高,终端数据较低,数量呈下降趋势。二、折线统计图的选择 (1)条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目,且方便两种数据的对比。如果数据之间相

小学统计图的基本知识点

小学统计图的知识点一、统计图的各类：（1）条图：又称直条图，表示独立指标在不同阶段的情况，有两维或多维，图例位于右上方。（2）百分条图和圆图：描述百分比（构成比）的大小，用颜色或各种图形将不同比例表达出来。（3）线图：用线条的升降表示事物的发展变化趋势，主要用于计量资料，描述两个变量间关系。（4）半对数线图：纵轴用对数尺度，描述一组连续性资料的变化速度及趋势。（5）直方图：描述计量资料的频数分布。（6）散点图：描述两种现象的相关关系。（7）统计地图：描述某种现象的地域分布。小学数学中三种常见统计图。扇形统计图、条形统计图、折线统计图可以从不同的角度反映一组数据信息的特点与规律，三种统计图有着各自特点，因此解决实际问题时要注意统计图的特点，学会收集、描述、分析数据，从而作出合理的决策。二、统计图的意义 * 用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。

（二）分类 1 条形统计图 - 用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按照一定的顺序排列起来。 - 优点：很容易看出各种数量的多少。 - 注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。 - 取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定； - 复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图例。制作条形统计图的一般步骤: （1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。（2）在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔。（3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。（4）按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。

全等三角形六种常见的实际应用

专训1六种常见的实际应用名师点金：利用三角形全等解决实际问题的步骤： (1)明确应用哪些知识来解决实际问题；(2)根据实际问题抽象出几何图形； (3)结合图形和题意分析已知条件；(4)找到已知与未知的联系，寻求恰当的解决途径，并表述清楚．利用三角形全等测量能到两端的距离 1．如图，为了测量出池塘两端A，B之间的距离，在地面上找到一点C ，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC 的延长线上确定点D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度就得到了A，B两点之间的距离．你能说明其中的道理吗 (第1题) 利用三角形全等求两端的距离 2．【中考·宜昌】杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，| 如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC ，BD相交于O，OD⊥CD垂足为D.已知AB＝20米．请根据上述信息求标语CD的长度． (第2题) 利用三角形全等测量物体的内径 3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，动手制作一个简单的工具，利用三角形全等的知识，求出x. (第3题) 利用三角形全等解决工程中的问题 4．如图，工人师傅要在墙壁的点O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚35 cm，点B与点O的垂直距离AB长20 cm，在点O 处作一直线平行于地面，再在直线上截取OC＝35 cm，过点C作OC的垂线，在垂线上截取CD＝20 cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出，这是什么道理 ` (第4题) 利用三角形全等解决面积问题 5．育新中学校园内有一块直角三角形(Rt△ABC，∠BAC＝90°)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ACD区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB＝20 m，AC＝10 m，求两种花草的种植面积各是多少． (第5题) 利用角平分线的判定和性质设计方案 6．如图，湖边的三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有多少处【导学号：】 (第6题) 答案 1．解：因为∠ACB＝90°，所以∠ACD＝180°－∠ACB＝90°. 在△ABC和△ADC中，、

全等三角形的专题

全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造两条边之间的相等，两个角之间的相等。 1、添加辅助线的方法和语言表述（1）作线段：连接……；（2）作平行线：过点……作……∥……；（3）作垂线（作高）：过点……作……⊥……，垂足为……；（4）作中线：取……中点……，连接……；（5）延长并截取线段：延长……使……等于……；（6）截取等长线段：在……上截取……，使……等于……；（7）作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……；（8）作一个角等于已知角：作角……等于……。 2、全等三角形中的基本图形的构造与运用（1）倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．（2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。 ①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； ②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段（3）角平分线：以角平分线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”。可以在角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。（4）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。 (5)角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法：）图形补全：有一个角为60°或120°的，把该角添线后构成等边三角形。

全等三角形在生活中的应用

全等三角形在生活中的应用在全等图形中，全等三角形是最基本，应用最广泛的一类图形，利用全等三角形的有关知识，不仅可以帮助我们进行决策，还可以帮助我们制作一些仪器，现举例说明这个问题，供同学们学习时参考．一、仪器我也会做例1 如图1是小亮做的一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线 AE ，AE 就是角平分线．你能说明其中的道理吗？分析：由已知条件易得△ABC 和△ADC 全等，由全等三角形的对应角相等，可知∠BAC=∠DAC ，即AE 是角平分线．解：已知AB=AD ，BC=DC ，又因为AC 是公共边，所以△ABC ≌△ADC ，所以∠BAC=∠DAC ．所以AE 是角平分线．评析：利用三角形全等的知识，常常可以说明两个角相等的问题．二、巧测内口直径例2 小红家有一个小口瓶（如图2所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了．她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根长木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB 的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少．你知道这是为什么吗？请说明理由．（木条的厚度不计）分析：只要量出AB 的长，就知道内径是多少？显然只需要说明AB 和CD 相等就行．解：连结AB ，CD ，因为AO=DO ，BO=CO ，图 1 图2

又因为∠AOB=∠DOC，所以△ABO≌△DCO（SAS）．所以AB=CD，也就是AB的长等于内径CD的长．评析：利用三角形全等的知识，可以说明线段长相等的问题．三、距离相等的解释例3 如图3，从小丽家（C处）到学校A和菜市场B的夹角∠C是锐角，又知道从小丽家到学校、菜市场的距离相等，小丽说学校到路段BC的距离AD与菜市场到路段AC的距离BE相等，你认为她说的有道理吗？请说明理由．分析：只要能说明AD与BE相等，就说明她说的有道理．解：小丽说的有道理，理由如下：图3 已知AC=BC，因为∠ADC=∠BEC=90°，又因为∠C是公共角，所以△ACD≌△BCE，所以AD=BE．即学校到路段BC的距离与菜市场到路段AC的距离相等．你还知道全等三角形有哪些应用，说出来和同学们交流交流！应把握的两种模型利用三角形全等测距离，主要有以下两种模型：一、视线模型当需要测量距离的两个点中有一个点无法接近时，常采用这种方法. 视线法简便易行，但有一定的误差，一般在仅适应于目测的情况下使用. 如：例1如图1所示，在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为用炮火实施定点轰炸，需要测量我军阵地与敌军碉堡隔的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的

专题研究：全等三角形证明方法归纳及典型例题

全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法： (1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：

全等三角形的应用学案

全等三角形的应用复习学案班级姓名例1 电线杆MN 直立在水平的地面上，缆绳AB ，AC 将它加固（如图）。小民测得BN ＝CN 后，就说缆绳AB ，AC 的长一定相等。你能说明理由吗？例2 如图，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，你能帮他想个办法吗？例3已知线段a 及∠1， ①用尺规作△ABC ，使得AC=a,AB=2a, ∠A=∠1 ②作AC 边上的高线BD 。（例4 如何量河两岸相对两点A 、B 的距离？ A B B C N B A 1

例5 如图，太阳光线AC 与A ’C ’是平行的，同一时刻两根木杆在太阳光照射下的影子一样长就能说这两根木杆一样长吗？说说你的理由？例6 如图(12)：已知AB=AC,在什么条件下，AD ⊥BC ? 验证你的判断（只需验证一种情况即可）例7 如图(13)：已知AB ⊥BD, ED ⊥BD, AB=CD ,BC=DE , 请你判断AC 垂直于CE 吗？并说明理由。例8、如图(14)，已知AB=DC , DE=BF, ∠B=∠D ,试说明（1）DE ∥BF (2)AE=CF A B C (12) A B E C (13) F D C E

作业：一、填空 1、如图1，△ABC 沿BC 边折叠，A 与D 重合，则△ABC △DBC ，其中对应角为。对应边为。 2、如图2，已知△ABC ≌△EFC ，且CF=3cm ，∠EFC=52O ，则∠A= O ；BC= cm 。 3、如图3，已知OA=OB ，OC=OD ，AD 、BC 相交于E ，则图中全等三角形有对。 4、如图4，已知AB = AC ，AD = BD = BC ，那么，是等腰三角形的三角形有 5、如图5，AB ∥CD ，∠A=380 ，∠C=800，那么∠M= 。 6、如图6，补充条件，能够说明△ABD ≌△ADC 二、选择 1、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC BD ，为折痕，则 CBD ∠的度数为（） A ．60° B ．75° C ．90° D ．95° 2．根据下列已知条件，能惟一画出△ABC 的是（） A ．A B ＝3，B C ＝4，CA ＝8 B ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30° C ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4 D ．∠C ＝90°，AB ＝6 3．如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，且PD ＝PE ，则△APD 与△APE 全等的理由是（）．（A ）SAS （B ）AAS （C ）SSS （D ）HL 4．在下列条件中，不能说明△ABC ≌△A’B’C 的是（）．（A ）∠A ＝∠A ’，∠C ＝∠C ’，AC ＝A ’C ’ （B ）∠A ＝∠A ’，AB ＝A ’B ’，BC ＝B ’C ’ （C ）∠B ＝∠B ’，∠C ＝∠C ’，AB ＝A ’B ’ （D ）AB ＝A ’B ’， BC ＝B ’C ，AC ＝A ’C ’ 5．在下列说法中，准确的有（）． ①三角对应相等的两个三角形全等 ②三边对应相等的两个三角形全等 ③两角、一边对应相等的两个三角形全等 ④两边、一角对应相等的两个三角形全等图1B C A 图2F E B 图3D B B E A C A B C D 图4 D B C A M E 图5 图6 A B D B P D E

全等三角形专题培优[带答案]

全等三角形专题培优考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟卷I（选择题）一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则 A. B. C. D. 2.下列定理中逆定理不存在的是（） A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C.同位角相等，两直线平行 D.全等三角形的对应角相等 3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（） A.与互为余角 B. C. D. 4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（） A. B. C. D. 5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B. C. D. 6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；②；③；④．正确的有（） A.个 B.个 C.个 D.个 7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（） A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 8.如图，是的角平分线，则等于（） A. B. C. D. 9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（） A. B. C. D. 10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（） A.都是锐角 B.有一个是直角 C.有一个是钝角 D.不能确定卷II（非选择题）二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 11.问题情境：在中，，，点为边上一点（不与点，重合），交直线于点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得

全等三角形性质及其应用

第2章三角形 2.5.1 全等三角形专题一全等三角形的性质及应用 1.如图,△ABC ≌△EBD ,问∠1与∠2相等吗?若相等请证明, 若不相等说出为什么? 解析:由三角形全等,得到对应角相等,然后再沟通∠1和∠2之间的关系. 2.如图,已知△EAB ≌△DCE ,AB 、EC 分别是两个三角形的最长边，∠A =∠C =35°， ∠CDE =100°，∠DEB =10°，求∠AEC 的度数. 专题二全等三角形的探究题 3.全等三角形又叫合同三角形，?平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形．假设△ABC 和△A 1B 1C 1是全等（合同）三角形，且点A 与A 1对应，点B 与B 1对应，点C ?与点C 1对应，当沿周界A →B →C →A 及A 1→B 1→C 1→A 1环绕时,若运动方向相同,则称它们是真正合同三角形，如图1；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形，如图2． C 1B 1A 1C B A C 1B 1A 1C B A (1) (2) 两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻折180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（）． D C B A 4.如图所示，A ，D ，E 三点在同一直线上，且△BAD ≌△ACE ．（1）试说明BD =DE +CE ；（2）△ABD 满足什么条件时，BD ∥CE ？ B A E 2 1F C D O

5.如图所示，△ABC 绕着点B 旋转（顺时针）90°到△DBE ，且∠ABC ＝90°. ⑴△ABC 和△DBE 是否全等？指出对应边和对应角; ⑵直线AC 、直线DE 有怎样的位置关系？【知识要点】 1.能够完全重合的两个图形叫全等形,能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 2.全等三角形的对应边相等,对应角相等. 【温馨提示】 1.利用全等三角形的性质解决问题时,一定要找准对应元素. 2.全等三角形的对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等,但周长、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形. 【方法技巧】 1.全等三角形是指能够完全重合的两个三角形,准确的找出两个全等三角形的对应元素是解决全等三角形问题的关键.在表示两个三角形全等时,对应的顶点要写在对应的位置上. 2.全等三角形的对应边相等,对应角相等,利用这两个性质可以说明线段或角相等,以及线段的平行或垂直等. 3.一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置发生了变化,但形状和大小都没有改变,即经过平移、翻折、旋转前后的图形全等.像这样只改变图形的位置而不改变图形的形状和大小的变换叫全等变换,常见的有平移变换,翻折变换,旋转变换.

在生活中应用全等三角形测距离

在生活中应用全等三角形测距离在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决。下面，我们举例谈谈怎样构造全等三角形，测量两地的距离，看看在实际生活中的应用。例1：有一池塘，要测池塘两端A、B间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA，连结BC并延长到E，使CE=CB，连结DE，量出DE的长，这个长就是A、B之间的距离。（1）按题中要求画图。（2）说明DE=AB的理由，并试着把说明的过程写出来。解：（1）如图1。（2）因为在△ABC和△DEC中， CA CD ACB DCE CB CE 所以△ABC≌△DEC 所以DE=AB 例2、如图2，某同学把一块三角形的玻璃摔成了三块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以（） A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去。析解：怎样做一个三角形与已知三角形全等，可以依据全等三角形的判定方法进行具体分析，题目中的一块三角形的玻璃被摔成三块，其中①仅留一个角，仅凭一个角无法做出全等三角形；而②没边没角；③存在两角和夹边，

于是根据“ASA”不难做出与原三角形全等的三角形。故应选C。例3、如图3、小红和小亮两家分别位于A、B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案。分析：本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，使一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，就可求出两家的距离。方案：如图3，在点B所在的河岸上取点C，连结BC并延长到D，使CD=CB，利用测角仪器使得∠B=∠D，A、C、E三点在同一直线上。测量出DE的长，就是AB的长。因为∠B=∠D，CD=CB，∠ACB=∠ECD，所以△ACB≌△ECD 所以AB=DE。例4、如图4，点C是路段AB的中点，两人从C点同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到过D、E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E到路段AB 的距离相等吗？为什么？分析：因为两人是以相同的速度从点C同时出发，且同时到达D、E两点，所以CD=CE。要说明DA与EB是否相等，则只需说明△ADC和△BEC全等。解：D、E到路段AB的距离相等。

全等三角形的判定与性质专题训练

全等三角形判定与性质专题训练一、全等三角形实际应用问题 1如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（） A. SAS B. ASA C. SSS D .AAS 2.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（） A．PO B．PQ C．MO D．MQ

3、如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A、SSS B、SAS C、ASA D、HL 4、如图：工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（） A、SSS B、SAS C、ASA D、HL

5、如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度 DF相等，则这两个滑梯与地面的夹角∠ABC+∠DFE= 度 6、如图,小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是：( ) A、带①去， B、带②去 C、带③去 D、①②③都带去

二、证两次全等相关问题 1：如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足,求证: CF＝DF

全等三角形的判定及应用

全等三角形的判定及应用深圳市育才二中雷树养(2005.8) 一.全等三角形的判定方法： 1.有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写为”SAS”) 2.有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写为”ASA”) 3.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简写为”AAS”) 4.三边对应相等的两个三角形全等(简写为”SSS”) 特别地:斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写为”HL”) 二.判定两个三角形全等的基本思路: 1.有两边对应相等时,找夹角或第三边对应相等. 2.有一边和一角对应相等时,找另一角相等或夹等角的另一边相等. 3.有两个角相等时,找一对对应边相等. 三.判定两个三角形全等的注意事项: 熟练判定方法,要善于寻找图形中的公共边、公共角、对顶角等隐含条件，如果不能直接找到条件，就要考虑加辅助线，构造全等三角形。四.三角形全等的主要应用于: 1.证明两线段相等; 2.证明两角相等

五.典型例题：例1.如图,已知AC=DB,要使得⊿ABC ≌⊿DCB,只需要增加一个条件是＿＿＿＿＿＿＿． (2001年安徽省中考题) 分析：因为BC 是公共边,又已知AC=BD,要使⊿ABC ≌⊿DCB,可利用SSS 或SAS 来说明. 解:AB=DC 或∠ACB=∠DBC 例2.如图,已知AC 、BD 交于点O,AC=BD. 求证:OA=OD 分析:要证明两线相等,可通过证明两三角形全等或证明等腰三角形来解决.本题直接证明,条件不足.所以考虑作助线. 证明:连结AD,在⊿ABD 和⊿DCA 中, ∵AB=DC,BD=CA,AD=DA ∴⊿ABD ≌⊿DCA(SSS) ∴∠B=∠C 在⊿AOB 和⊿DOC 中, ∵∠AOB=∠DOC,∠B=∠C,AB=DC ∴⊿AOB ≌⊿DOC(AAS) A B C D O