变化率和导数(三个课时教案).

第一章导数及其应用

第一课时：变化率问题

教学目标：

1．理解平均变化率的概念；

2．了解平均变化率的几何意义；

3．会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

教学难点：平均变化率的概念．

教学过程：

一．创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;

二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值;

四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．

二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33

4)(r r V π=

? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(π

V V r =

分析:

3

43)(π

V V r =，

⑴当V 从0增加到1时,气球半径增加了

)(62.0)0()1(dm r r ≈-

气球的平均膨胀率为

)/(62.00

1)

0()1(L dm r r ≈-- ⑵当V 从1增加到2时,气球半径增加了

)(16.0)1()2(dm r r ≈-

气球的平均膨胀率为)/(16.01

2)1()2(L dm r r ≈--

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?

1

212)

()(V V V r V r -- h

t

o

问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速

v 度粗略地描述其运动状态?

思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.40

5.0)0()5.0(s m h h v =--=；

在21≤≤t 这段时间里，)/(2.81

2)1()2(s m h h v -=--=

探究：计算运动员在49

650≤≤t 这段时间里的平均速度，并

思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49

65(h h =，

所以)/(0049

65

)

0()4965

(

m s h h v =--=， 虽然运动员在49

650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但

实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:

1．上述问题中的变化率可用式子

1

212)()(x x x f x f --表示, 称

为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率 2．若设12x x x -=?,

)()(12x f x f y -=?

(这里x ?看作是对于x 1

的一个“增量”可用x 1+x ?代替x 2,同样)()(2

1

x f x f y 代替可用+?) 3． 则平均变化率为=

??x

y x

x f x x f x x x f x f ?-?+=

--)

()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象

平均变化率=??x

f

1

212)

()(x x x f x f --表示什么?

直线AB 的斜率 三．备选例题

44

.043.041.040.01.0,21)(12、、、、的值为（）时，，则在、已知函数例D C B A y x x x x f y ?=?=+==例2、已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ?+-?+-,则=??x

y ．

解：)1()1(22x x y ?+-+?+--=?+-，

∴x x

x x x y ?-=?-?+-+?+--=

??32

)1()1(2

四．课堂练习

1．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ?+中相应的平

x 1

x 2

O

y y =f (x )

f (x 1)

f (x 2)

△x = x 2-x 1

△y =f (x 2)-f (x 1) x

均速度为 ． 五．回顾总结 1．平均变化率的概念

2．函数在某点处附近的平均变化率 六．布置作业

上的平均变化率

在区间，变式训练，求函数、金榜时平均变化率

值变化率，并求当上的平均的在区间，求，例、金榜]2,2[1222

1,1],[12)(12120002x x y P x x x x x x x f y P ?++==?=?++==

第二课时 导数的概念

教学目标：

1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； 2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3．会求函数在某点的导数

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念． 教学过程： 一．创设情景 （一）平均变化率

（二）探究：计算运动员在49

650≤≤t 这段时间里的平均速

度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结

合图形可知，)0()49

65

(h h =， 所以)/(0049

65

)

0()4965

(

m s h h v =--=， 虽然运动员在49

650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然

h

t

o

运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运

动员的运动状态．

二．新课讲授

1．瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运

动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，

那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2

t=时的

瞬时速度是多少？考察2

t=附近的情况：

思考：当t?趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？

结论：当t?趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v都趋近于一

个确定的值13.1

-．

从物理的角度看，时间t?间隔无限变小时，平均速度v就

无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2

t=时的瞬

时速度是13.1/m s

-

为了表述方便，我们用0

(2)(2)lim 13.1t h t h t

?→+?-=-?

表示“当2t =，t ?趋近于0时，平均速度v 趋近于定值

13.1-”

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 2 导数的概念

从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:

000

0()()lim

lim x x f x x f x f

x x

?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0

x x =出的导数，记作

'0()

f x 或

0'|x x y =，即

0000

()()

()lim

x f x x f x f x x

?→+?-'=?

说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 （2）

x x x ?=-，当

x ?→时，

x x →，所以

0000

()()

()l i m

x f x f x f x x x ?→-'=

- 三．典例分析

例1．求函数y =3x 2在x =1处的导数.

例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2

()715(08)

f x x

x x =-+≤≤，计算第

2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的

意义．

解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'

(2)

f 和'

(6)f

根据导数定义，0(2)()

f x f x f

x x

+?-?=

?? 22(2)7(2)15(27215)3x x x x

+?-+?+--?+==?-?

所以0

(2)lim lim (3)3x x f

f x x

?→?→?'==?-=-?

同理可得:(6)5f '=

在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，

在第6h 附近，原油温度大约以5

/C h 的速率上升．

注：一般地，'

()f x 反映了原油温度在时刻0

x 附近的变化情况．

例3、质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为．

四．课堂练习

1．例2中，计算第3h 时原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义

2．求质点运动规律为22t s =，求质点在2t =的瞬时速度 五．回顾总结

1．瞬时速度、瞬时变化率的概念 2．导数的概念

六．布置作业、

课本P10 A 组 第2和第4题

)

(2141)4,1(3)(64435)(,333/22x f x

y y x P x x f y P x x x x f y P ）（）求：（），及附近一点（的图像上取一点、曲线，、金榜处的导数在求函数，例、金榜???+?++===+==

第三课时 导数的几何意义

教学目标：

1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 2．理解曲线的切线的概念；

3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；

教学难点：导数的几何意义． 教学过程： 一．创设情景

（一）平均变化率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数

我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数

0()f x '的几何意义是什么呢？

二．新课讲授

（一）曲线的切线及切线的斜率：如图 3.1-2，当

(,())(1,2,3,4

n n n P x f x n =

沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？

我们发现,当点n

P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n

PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称

为曲线在点P 处的切线.

问题：⑴割线n

PP 的斜率n

k 与切线PT 的斜率k 有什么关

系？

⑵切线PT 的斜率k 为多少？ 容易知道，割线n

PP 的斜率是00

()()

n n

n f x f x k

x x -=

-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n

k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即

0000

()()

lim

()x f x x f x k f x x

?→+?-'==?

说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

图3.1-2

②切线斜率的本质—函数在0

x x =处的导数.

（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义：

函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点0

(,())x f x 处的切

线的斜率， 即

0000

()()

()lim

x f x x f x f x k x

?→+?-'==?

说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;

②求出函数在点0

x 处的变化率000

()()

()lim

x f x x f x f x k x

?→+?-'==?

，

得到曲线在点0

(,())x f x 的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程. （二）导函数：

由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0

()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一

个函数,我们叫它为f (x )的导函数.简称导数，记作：()f x '或y '，

即:

()()

()lim

x f x x f x f x y x

?→+?-''==? 三．典例分析

例1．（课本例7）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

2() 4.9 6.510

h x x x =-++，根据图像，请描述、

比较曲线()h t 在0

t 、1

t 、2

t 附近的变化情况． 解：我们用曲线()h t 在0

t 、1t 、2

t 处的切线，

刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况．

（1） 当0

t t =时，曲线()h t 在0

t 处的切线

0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲

线比较平坦，几乎没有升降．

（2） 当1

t t =时，曲线()h t 在1

t 处的切线1

l 的斜率1

()0h t '<，

所以，在1

t t =附近曲线下降，即函数2

() 4.9 6.510

h x x

x =-++在1

t t =附近单调递减．

（3） 当2

t t =时，曲线()h t 在2

t 处的切线2l 的斜率2

()0h t '<，

所以，在2

t t =附近曲线下降，即函数2

() 4.9 6.510

h x x

x =-++在2

t t =附近单调递减．

从图3.1-3可以看出，直线1

l 的倾斜程度小于直线2

l 的

倾斜程度，这说明曲线在1

t 附近比在2

t 附近下降的缓慢．

例2:求曲线y =f (x )=x 2+1上的横坐标为1的点处的切线方程.

四．课堂练习

1．课本P10 A 组第5题 2.（备选练习）

2抛物线y=x 在点P 处的切线与直线4x-y+2=0平行，求点P 坐标和切线方程

五．回顾总结

1．曲线的切线及切线的斜率； 2．导数的几何意义 六．布置作业

220000

11

12

213

322

x 、（金榜P5，变式训练）求曲线y=在点（,2）处的切线斜率，并写出切线方程

、（金榜P7，课堂基础达标）求曲线y=2x-x 在点(1,1)处的切线方程

、（金榜P7，课堂基础达标）已知曲线y=x -2上一点P(1,-)，则过点的切线的倾斜角为（）

A 、30

B 、45

C 、135

D 、165