分式及其运算(讲义)
分式及其运算（讲义）
? 课前预习
1. 小学阶段学习分数，主要从概念、运算两方面学习，请回顾相关知识，回答
下列问题：
（1）请举出几个分数的例子．
（2）分数有哪些性质？
（3）运用分数的性质计算：
24________35
?=； 54________815?=；
24________35
÷=； 54________33+=；
11________23
+=； 24________35
-=．
? 知识点睛
1. 分式的定义：分母中含有字母的式子叫做分式．
2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个
____________________，分式的值不变．
3.分式的符号：
y y y
x x x
-
-==
-
（符号调整时_________________
____________________）．
4.把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的
________________．对分式进行约分化简时，通常要使结果成为___________（即分子和分母已没有公因式）或者
__________．
5.分式的乘除运算
乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
6.分式的加减运算
同分母的分式相加减，分母__________，把________相加减；异分母的分式相加减，先_______，化成_________________，然后再加减．
?精讲精练
1.下列各式是分式的有_________________．（填写序号）
①1
π
；②
2
x
x
；③(3)(1)
x x
+÷-；④2
10xy-；⑤
24
2
x
x
-
-
；
⑥
10
9x
y
+．
2.当x取何值时，下列分式有意义？
（1）ax
x
；（2）
2
3
9
x
x
+
-
；
（3
（4）
2
x-
．
3. 若分式
2121
x x x -++的值为0，则x =__________． 4. 已知当2x =-时，分式x b x a
--无意义，当4x =时，该分式的值为0，则a b +=___________． 5. 下列变形正确的是________________．（填写序号） ①x y x y x x ----=；②x y x y x x
-++=-；③x x x y x y =---+； ④x x x y x y -=+-+；⑤x y x y y x x y -++=--；⑥y x x y x y x y
--=-++． 6. 下列变形正确的是（ ）
A ．1xy y x y +=+
B ．a y a b y b +=+
C ．21x y x xy y ++=
D ．2a b ab b a ab
++= 7. 把下列分式化为最简分式．
（1）23
2812a b ab c --； （2）2224+4
x x x x --；
（3）22233x x x x
---； （4）2324x x x x +-；
（5）22
a b a b ---； （6）2
32424xy y y x y
--．
（1）3523220163a b a b xy ??÷- ???； （2）4222
a b a a b a b ab a --?+-；
（3）2222242442x y y x x y xy x xy
-+÷+++；
（4）22266924422
x x x x x x x --+-÷?-+-．
9. 下列说法错误的是（ ）
A ．
2314a b 与2316a b c
的最简公分母是2312a b c B ．1m n +与1m n
-的最简公分母是22m n - C ．213x x -与229
x -的最简公分母是(3)(3)x x x -+ D ．1x y -与1y x -的最简公分母是()()x y y x --
（1）22
+a b a b a b
-+； （2）2933a a a
+--；
（3）
a b a b a b ++-； （4）2222x x x x -+-+-；
（5）
21211m m ---； （6）22433x x x x x ---+-；
（7）2
111m --； （8）2b a b a b
++-．
【参考答案】
? 课前预习
1. （1）15152323
--，，， （2）分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），
分数的大小不变；
（3）81156；；536
；；52615-； ? 知识点睛
2. 不等于零的整式
3. 把分子或分母当作一个整体
4. 约分；最简分式；整式
6. 不变；分子；通分；同分母分式
? 精讲精练
1. ②③④⑤⑥
2. （1）0x ≠；（2）3x ≠±；（3）3x >；（4）12x x ≠≥且．
3.
1 4.
2 5.
③⑥ 6. A
7. （1）23ab c ；（2）2x x -；（3）1x x +；（4）12
x -；（5）a b -+；（6）22x y -+． 8. （1）22125xy ab -；（2）2ab a -；（3）(2)2x x y x y -+；（4）13
x --． 9. D
10. （1）a b -；（2）3a +；（3）22
22a b a b +-；（4）284
x x --； （5）231m m +-；（6）1
x x -；（7）221m m -；（8）2
a a
b -．
初二数学 分式经典讲义
第十七章 分式 §17.1 分式及其基本性质 一． 知识点： 1.分式的概念：形如 B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母（未知数），B ≠0)的式子，叫做分式(fraction ).其中A 叫做分式的分子(numerator ),B 叫做分式的分母（denominator ）.整式和分式统称有理式（rational expression ）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义。（分式有意义的条件） 2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分. 3.分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。 二．学习过程： 1．先由分数，整数，有理数的概念引入分式，有理式。（单项式和多项式统称为整式。代数式中的一种有理式.不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式） 再按教材的思路讲解，并归纳相关的知识点。 2. 和学生一起完成课后习题。 三．例题及习题： 教材中的题目。 典型例题 1.23m m 是一个分式么？ 答：是。虽然可以化成3m 的整式形式，但在化简的过程中正是运用了分式的基 本性质化简的，另外2 3m m 与3m 中的字母的取值也不同． 习题一 （1）．当x 取什么值时，下列分式有意义？(1)12+a a ;(2) 3252 -a a （2）. 要使分式)5)(32(23-+-x x x 有意义，则.（ ）
（A ）x ≠23- (B)x ≠5 (C)x ≠23-且x ≠5 (D)x ≠23 - 或x ≠5 （3）. 当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是.（ ） （A ）112++a a （B ）12+a a （C ）112++a a （D ）2 1 a a + （4）. 当x 是什么数时，分式25 2++x x 的值是零？ 解：由分子x+2=0得x=-2 而当x=-2时，分母2x-5≠0 所以，当x=-2时，分式的值是零 习题二 一、填空题 1.约简公式 = . 2.a 取整数 时，分式(1-114++a a )·a 1 的值为正整数. 3.如果x+x 1=3，则1x x x 2 42 ++的值为 . 4.已知x=1+a 2,y=1-a 1 .用x 的代数式表示y ，得y= ；用y 的代数式表 示x ，得x= . 5．要使代数式3a 2a 3 a 2 ---的值为零，只须 . 6.已知s=) y s (q 1yq x ≠--,用x 、y 、s 表示q 的式子是 . 7.两个容积相等的瓶子中装满了酒精和水的溶液，其中一个瓶子中酒精与水的容积之比是p ∶1，另一个瓶子中是q ∶1.若把这两瓶溶液混合在一起，混合液中酒精与水的容积之比为 .
分式培优讲义教学文案
讲义 ———分式 姓名： 分式 知识点一：分式的定义
一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（B ≠0） ②分式无意义：分母为0（B=0） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（A=0且B ≠0） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（或 ）
⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或 ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：，，其中 A、B、C是整式，C0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含 条件B0。 知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 知识点五：分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
分式及其运算教学提纲
分式及其运算
分式及其运算（讲义） 一、知识点睛 1.分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，B中含有字母且B不等于0，那么式 子A B 叫做分式． 2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个____________________， 分式的值不变． 3.分式的符号： y y y x x x - -== - （符号调整时注意不要______）． 4.把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的_________．对分式进行 约分化简时，通常要使结果成为___________（即分子和分母已没有公因式）或者________． 5.分式的乘除运算 乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 6.分式的加减运算 同分母的分式相加减，分母________，把________相加减；异分母的分式相加减，先_______，化成_________________，然后再加减． 7.在进行分式的运算前，要先把分式的分子和分母__________________．分式的乘除要 __________，加减要__________，最后的结果要化成______________． 二、精讲精练 1.下列各式是分式的有_________________．（填写序号） ①1 π；②2x x ；③(3)(1) x x +÷-；④2 10xy-；⑤ 24 2 x x - - ；⑥10 9x y +． 2.当x取何值时，下列分式有意义？ （1）ax x ；（2） 2 3 9 x x + - ； （3 （4．
完整分式讲义
分式 1． 分式的概念： 形如B A (A,B 是整式，且B 中含有字母)。要使分式有意义，作为分母的整式B 的值不能为0， 即B ≠0。要使分式的值为0，只能分子的值为0，同时保证分母的值不为0，即A=0，且B ≠0。 1、式子①x 2 ②5y x + ③a -21 ④1 -πx 中，是分式的有（ ） A ．①② B. ③④ C. ①③ D.①②③④ 2、分式1 3-+x a x 中，当a x -=时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零 B.分式无意义 C. 若31-≠a 时,分式的值为零 D. 若31 ≠a 时,分式的值为零 3. 若分式 1 -x x 无意义,则x 的值是( ) A. 0 B. 1 C. -1 D.1± 4.如果分式x 211 -的值为负数,则的x 取值范围是( ) A.21≤x B.21
3-2-2 (10年秋)分式的运算技巧.讲义学生版
内容 基本要求 略高要求 较高要求 分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件 能确定使分式的值为零的条件 分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单的变型 能用分式的性质进行通分和约分 分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则 会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题 一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质：a c ad bc b d =?=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=?? 交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c =?= ⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 二、基本运算 分式的乘法：a c a c b d b d ??=? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c ?÷=?=? 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=?=?个 个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数) 知识点睛 中考要求 分式的运算技巧
分式加减运算(讲义)(含答案)
分式加减运算（讲义） ? 课前预习 1. 观察下列分数加减运算的式子： 121235555++==， 121215555--==-， 1132325236666++=+==， 1132321236666--=-==． 猜一猜，______b c a a +=，______b c a a -=， _________b d bc a c ac +=+=，___________b d bc a c ac -=-=． ? 知识点睛 1. 分式的通分： 根据_______________，异分母的分式可以化为_______的分式，这一过程称为分式的通分． 对异分母分式进行通分时，需要注意两点： ①为了计算方便，通常取最简公分母（即各分母的所有因式的最高次幂的积）作为它们的共同分母． ②分子、分母是多项式时，通常先因式分解，再找最简公分母． 2. 分式的加减法法则： 同分母的分式相加减，_______不变，把_______相加减； 异分母的分式相加减，先_______，化成_________________，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算． 3. 分式混合运算顺序： 先算乘方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，先算括号里面的． 分式化简计算时，需要注意两点： ①在进行分式运算前，要先把分式的分子和分母_________，能约分的，通常先约分． ②分式的乘除要______，加减要______，最后的结果要化成______________． ? 精讲精练 1. 分式的加减运算：
（1）a b a b ab ab +-+； （2）22+a b a b a b -+； （3）3 45 +1+1+1x x x x x x +++-； （4）251222x x x x x x -+-----； （5）315 5a a a -+； （6）22142a a a ---； （7）211 393a a a a a -+---+； （8）222m n mn m n m n n m +++--；
分式及其运算-中考数学总复习讲义练习
第4讲分式及其运算 1．分式的概念 2.分式的基本性质 3.分式的运算
1．(2015·丽水)分式－1 1－x 可变形为( ) A ．－1x －1 B .11＋x C ．－11＋x D .1 x －1 2．(2016·台州)化简x 2－y 2 （y －x ）2 的结果是( ) A ．－1 B ．1 C .x ＋y y －x D .x ＋y x －y 3．(2017·湖州)要使分式1 x －2 有意义，x 的取值应满足 ______________________________． 4．(2017·舟山)若分式2x －4 x ＋1的值为0，则x 的值为____________________． 5．(2015·湖州)计算：a 2a －b －b 2 a －b .
【问题】(1)从三个代数式：①a 2－2ab ＋b 2，②3a －3b ，③a 2－b 2中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a ＝6，b ＝3时该分式的值． (2)通过对(1)的解答，你能想到与分式相关的哪些信息． 【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理分式概念，以及分式相关的性质，探究分式化简方法． 类型一 分式的概念 例1 分式2x ＋6 x 2－9 . (1)若分式有意义，则x 的取值范围是________； (2)若分式的值为0，则x 的值为________； (3)把分式化为最简分式________． 【解后感悟】分式有意义，首先求出使分母等于0的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义；分式的值为0的条件是：首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值；化为最简分式是分母、分子因式分解，再约分． 1．已知分式x 2－4 x －2，若分式无意义，则x 的取值范围是____________________；若分式 的值为零，则x ＝____________________. 2．(2016·滨州)下列分式中，最简分式是( ) A .x 2－1x 2＋1 B .x ＋1x 2－1 C .x 2－2xy ＋y 2x 2－xy D .x 2－362x ＋12
分式的运算技巧讲义
内容 基本要求 略高要求 较高要求 分式的概念 了解分式的概念,能确定分式有意义 的条件 能确定使分式的值为零的条件 分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单 的变型 能用分式的性质进行通分和约分 分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则 会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题 一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质: a c ad bc b d =?=,比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性(交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）:a c b d b d a c =?= ⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?= (k 为任意实数) ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 二、基本运算 分式的乘法:a c a c b d b d ??=? 分式的除法:a c a d a d b d b c b c ?÷=?=? 乘方:()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=? =?个 个 n 个 ＝(n 为正整数） 整数指数幂运算性质: ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) 知识点睛 中考要求 分式的运算技巧
分式方程培优讲义
分式方程拔高讲练 一、含有参数方程 1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是 2．分式方程=1﹣的根为 3．若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为 二、方程无解 1．若关于x的方程﹣=﹣1无解，则m的值是 2．若=0无解，则m的值是 3．若关于x的分式方程﹣=无解，求a= ．
三、有增根 1、如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为 2、关于x的分式方程有增根，则增根为． 3、若关于x的方程有增根，则m的值是． 4、解关于x的方程+=产生增根，则常数a= 四、整体代入解方程 1．已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y 的整式方程是． 2、用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y= ． 3．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是． 四、实际问题 1．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（） A．﹣10= B．+10= C．﹣10= D．+10=
2．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（） A．= B．=C．= D．= 3．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 4．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5 天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（） A．﹣=5 B．﹣=5 C．+5= D．﹣=5 5．西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（） A．+=1 B．+= C．+= D．+=1 【同步训练】 1．如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程 +=3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣8 2．从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x 的不等式组无解，且使关于x的分式方程+=﹣1有非负 整数解，那么这一个数中所有满足条件的m的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若关于x的分式方程+3=无解，则实数m= ．
八年级数学分式及其运算讲义
八年级数学分式及其运算讲义 ? 课前预习 1. 小学阶段学习分数，主要从概念、运算两方面学习，请回顾相关知识，回答 下列问题： （1）请举出几个分数的例子． （2）分数有哪些性质？ （3）运用分数的性质计算： 24________35 ?=； 54________815 ?=； 24________35 ÷=； 54________33 +=； 11________23+=； 24________35 -=．
?知识点睛 1.分式的定义：分母中含有字母的式子叫做分式． 2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ____________________，分式的值不变． 3.分式的符号： y y y x x x - -== - （符号调整时_________________ ____________________）．
4.把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的 ________________．对分式进行约分化简时，通常要使结果成为___________（即分子和分母已没有公因式）或者 __________． 5.分式的乘除运算 乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．6.分式的加减运算 同分母的分式相加减，分母__________，把________相加减；异分母的分式相加减，先_______，化成_________________，然后再加减． ?精讲精练 1.下列各式是分式的有_________________．（填写序号） ①1 π ；②2x x ；③(3)(1) x x +÷-；④2 10xy-；⑤ 24 2 x x - - ； ⑥ 10 9x y +． 2.当x取何值时，下列分式有意义？
分式混合运算(讲义及答案)
分式混合运算（讲义） ? 知识点睛 1. 在进行分式的运算前，要先把分式的分子和分母__________． 分式的乘除要__________，加减要___________，最后的结果要化成______________． ? 精讲精练 1. 分式的混合运算： （1）242222x x x x x ??++÷ ?--?? ； （2）2111122x x x x ??-÷ ?-+-?? ； （3）24142 a a a ??+÷ ?--??；
（4）341132a a a a -????+- ???--???? ； （5）2344111x x x x x -+??+-÷ ?--?? ； （6） 11-+a a 221a a a -÷-+a 1．
2.化简求值： （1）先化简，再求值： 2 2 11 2111 x x x x x x x ?? -- +÷ ? -++- ?? ，其中x=3． （2）先化简，再求值： 222 2 211 b a ab b a a a b a a b ?? -+?? ÷++ ? ? -?? ?? ，其中 11 a b == ，．
（3）先化简分式221221 x x x x x x x x -??-÷ ?---+??，然后从13x -≤≤ 中选取一个你认为合适的整数x 代入求值． （4）先化简分式3423332a a a a a a a +-+??-÷? ?+++?? ，然后从不等式组 25<324 a a --???≤的解集中选取一个你认为符合题意的a 代入求值．
3. 化简：22 111a a ab a ab --÷?+，并选取一组你喜欢的整数a ，b 代入求值．小刚计算这一题的过程如下： 22(1)(1)1111(1)(1)1a a a ab a ab a a a b a a ab ab +--=÷ ?++-=??+-=解：原式①②③ 当a =1，b =1时，原式=1． ④ 以上过程有两处错误，第一次出错在第______步（填写序号），原因：_____________________________________________； 还有第_______步出错（填写序号），原因： ___________________________________________________． 请你写出此题的正确解答过程．
分式及其运算(讲义)
分式及其运算（讲义） ? 课前预习 1. 小学阶段学习分数，主要从概念、运算两方面学习，请回顾相关知识，回答 下列问题： （1）请举出几个分数的例子． （2）分数有哪些性质？ （3）运用分数的性质计算： 24________35 ?=； 54________815?=； 24________35 ÷=； 54________33+=； 11________23 +=； 24________35 -=． ? 知识点睛 1. 分式的定义：分母中含有字母的式子叫做分式．
2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ____________________，分式的值不变． 3.分式的符号： y y y x x x - -== - （符号调整时_________________ ____________________）． 4.把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的 ________________．对分式进行约分化简时，通常要使结果成为___________（即分子和分母已没有公因式）或者 __________． 5.分式的乘除运算 乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 6.分式的加减运算 同分母的分式相加减，分母__________，把________相加减；异分母的分式相加减，先_______，化成_________________，然后再加减． ?精讲精练 1.下列各式是分式的有_________________．（填写序号） ①1 π ；② 2 x x ；③(3)(1) x x +÷-；④2 10xy-；⑤ 24 2 x x - - ； ⑥ 10 9x y +． 2.当x取何值时，下列分式有意义？ （1）ax x ；（2） 2 3 9 x x + - ； （3 （4） 2 x- ．
八年级数学同步拔高第5讲《分式运算及其应用》讲义
第五讲 分式运算及其应用（讲义） 一、知识点睛1.分式混合运算首先要_______________，根据_____________能约分的先约分，然后评估工作量考虑通分或者分配律． 2.解分式方程的基本思路是根据____________________将分式方程转化为整式方程，________是必需环节． 对于结构复杂的分式方程可先采用约分、裂项、形似等手段对方程进行整理，然后再转化为整式方程进行计算．3.条件分式求值常用处理方法：1 整体代入：适用于已知与所求中含有相同的部分；2 拆分变形：适用于取整分析；3倒数法：适用于颠倒之后能够拆分，然后进行整体代入；④设参法：适用于已知条件为连比的形式． 二、精讲精练 1.计算： （1）211111a a ????-- ? ?-????；（2）222x x x x x x ??÷- ?--?? +；（3）532224a a a a -??--÷ ?--??；（4）21111a a a a --+--．
2.先化简224442x x x x x x ?? ??? -+÷--，然后从55x -<<的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值． 3.先化简，再求值：221122x y x y x x y x +??--+ ?+?? ，其中23x y ==，． 4.解分式方程： （1）221111x x +=-+；（2）241287 m m m -=--；（3）11x c x c +=+（c 为常数）；
（4）2344342334x x x x +-+=++-；（5）1110191011 x x x x ++=+++…()()()．5.若118x y +=，则2322x xy y x xy y -+++=_________．6.若0a b <<，且2260a b ab +-=，则a b a b +-的值为________．7.若m 为正实数，且1m m -=3，则221m m -=______________．8.若实数a ，b 满足：ab =1，则221111 a b +++的值为________．
人教版八年级上册分式及其运算(讲义及答案)
分式及其运算（讲义） ? 课前预习 1. 小学阶段学习分数，主要从概念、运算两方面学习，请回顾相关知识，回答 下列问题： （1）请举出几个分数的例子． （2）分数有哪些性质？ （3）运用分数的性质计算： 24________35 ?=； 54________815 ?=； 24________35 ÷=； 54________33 +=； 11________23 +=； 24________35 -=．
?知识点睛 1.分式的定义：分母中含有字母的式子叫做分式． 2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ____________________，分式的值不变． 3.分式的符号： y y y x x x - -== - （符号调整时_________________ ____________________）． 4.把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的 ________________．对分式进行约分化简时，通常要使结果成为___________（即分子和分母已没有公因式）或者 __________． 5.分式的乘除运算 乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 6.分式的加减运算
同分母的分式相加减，分母__________，把________相加减；异分母的分式相加减，先_______，化成_________________，然后再加减． ? 精讲精练 1. 下列各式是分式的有_________________．（填写序号） ①1π；②2x x ；③(3)(1)x x +÷-；④210xy -；⑤242x x --； ⑥109x y + ． 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） ax x ； （2）239x x +-； （3 （4． 3. 若分式212 x x x ---的值为0，则x =__________． 4. 已知当2x =-时，分式 x b x a --无意义，当4x =时，该分式的值为0，则a b +=___________．
中考专题复习《分式及其运算》复习用讲义
考点1 分式的有关概念 1. （2019·衡阳）如果分式11 x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A. x ≠－ 1 B.x ＞－1 C. 全体实数 D. x ＝－1 【答案】A ． 2. (2019·聊城)如果分式 11x x -+的值为0,那么x 的值为 A.－1 B.1 C.－1或1 D.1或0 【答案】B 3. (2019·宁波)若分式 12x -有意义,则x 的取值范围是 A.x>2 B.x ≠2 C.x ≠0 D.x ≠－2 【答案】B 4. (2019·泰州)若分式 121x -有意义,则x 的取值范围是______. 【答案】x ≠12
考点2 分式的性质
1. （2019·陇南）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ） A ．A B ．B C ．C D ．D 【答案】B 题过程】2222 22()()()()()()()()x y x x y y x y x xy xy y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y +-+-++-=-==-+-+-+-+-，故第②步出现问题，故选：B ． 2. （2019·滨州）观察下列一组数： a 1＝31，a 2＝53，a 3＝96，a 4＝1710，a 5＝33 15，…， 它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n 个数a n ＝____________．（用含n 的式子表示） 答案：() ()1221n n n ++ 3. （2019·达州）a 是不为1的有理数，我们把 a -11称为a 的差倒数，如2的差倒数为1-2-11=，-1的差倒数为2 11--11=）（，已知51=a ，2a 是1a 差倒数，3a 是2a 差倒数，4a 是3a 差倒数，以此类推……，2019a 的值是（ ） A. 5 B. 41- C.34 D.5 4 【答案】D
完整分式讲义全
分式 1． 分式的概念： 形如 B A (A,B 是整式，且B 中含有字母)。要使分式有意义，作为分母的整式B 的值不能为0，即B ≠0。要使分式的值为0，只能分子的值为0，同时保证分母的值不为0，即A=0，且B ≠0。 1、式子① x 2 ②5y x + ③a -21 ④1 -πx 中，是分式的有（ ） A ．①② B. ③④ C. ①③ D.①②③④ 2、分式 1 3-+x a x 中，当a x -=时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零 B.分式无意义 C. 若3 1-≠a 时,分式的值为零 D. 若3 1 ≠a 时,分式的值为零 3. 若分式 1 -x x 无意义,则x 的值是( ) A. 0 B. 1 C. -1 D.1± 4.如果分式 x 211 -的值为负数,则的x 取值围是( ) A.21≤x B.21
八年级上册数学分式运算讲义(优质讲义)
分式的运算、整数指数幂 学生/课程年级学科 授课教师日期时段 核心内容分式的运算课型一对一 教学目标1.掌握分式的乘除、乘方、加减运算； 2.掌握整数指数幂运算公式。 重、难点1.分式的化简求值； 2.分式的综合应用。 知识导图
导学一：分式的乘除 知识点讲解 1: 分式的乘除法法则： 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母； 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相 乘．上述法则可以用式子表示为： 例 1. 计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 我爱展示 1. 计算： （1）（2） （3）（4）． 2. 小明在做一道化简求值题：他不小心把条件x的值抄丢了，只抄了y＝－5，你说他能算出这道题的正确结果吗？为什么？
导学二：分式的乘方 知识点讲解 1: 分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．表示为：（n为正整数）． 例 1. 计算的结果是（）． 我爱展示 1.[单选题] 下列各式中正确的是（）． A. B. C. D. 2.[单选题] 下列分式运算结果正确的是（）． A. B. C. D. 导学三：分式的加减 知识点讲解 1:分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加 减．上述法则可用式子表示为： 例 1. [单选题] 等于（）． A. B. C. D. 例 2. [单选题] 已知A. ）． C. D. B.
例 3. [单选题] 下列各式中错误的是（）． A. B. C. D. 例 4. 计算： 我爱展示 1.计算： （1）；（2） 导学四：分式的混合运算 知识点讲解 1： 1、与数的混合运算一样，先乘方，再乘除，然后加减； 2、有括号时，按照小括号、中括号、大括号的顺序，先做括号内的运算，再做括号外的运算； 3、分子、分母是多项式时，先分解因式便于约分． 例 1. 计算： （1）；（2）． 我爱展示 1. 已知A＝． （1）化简A； （2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．
分式混合运算(讲义及答案)
分式混合运算（讲义） ? 知识点睛 1. 在进行分式的运算前，要先把分式的分子和分母__________． 分式的乘除要__________，加减要___________，最后的结果要化成______________． ? 精讲精练 1. 分式的混合运算： （1）2 42 222x x x x x ?? ++÷ ?--??； （2）21 11122x x x x ?? -÷ ?-+-??； （3）24142a a a ?? +÷ ?--??；
（4）341132a a a a -????+- ???--???? ； （5）2344111x x x x x -+??+-÷ ?--?? ； （6） 11-+a a 221a a a -÷-+a 1． 2. 化简求值：
（1）先化简，再求值： 2 2 11 2111 x x x x x x x ?? -- +÷ ? -++- ?? ，其中x=3． （2）先化简，再求值： 222 2 211 b a ab b a a a b a a b ?? -+?? ÷++ ? ? -?? ?? ，其中 11 a b == ，． （3）先化简分式 2 2 1221 x x x x x x x x - ?? -÷ ? ---+ ?? ，然后从13 x -≤≤ 中选取一个你认为合适的整数x代入求值．
（4）先化简分式3423332a a a a a a a +-+??-÷? ?+++? ?，然后从不等式组 25<324a a --??? ≤的解集中选取一个你认为符合题意的a 代入求值． 3. 化简：22 111a a ab a ab --÷?+，并选取一组你喜欢的整数a ，b 代入求值．小刚计算这一题的过程如下：
分式及其运算
分式及其运算（讲义） 一、知识点睛 1.分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，B中含有字母且B不等于0，那么式 子A B 叫做分式． 2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个____________________， 分式的值不变． 3.分式的符号： y y y x x x - -== - （符号调整时注意不要______）． 4.把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的_________．对分式进行约 分化简时，通常要使结果成为___________（即分子和分母已没有公因式）或者________．5.分式的乘除运算 乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 6.分式的加减运算 同分母的分式相加减，分母________，把________相加减；异分母的分式相加减，先_______，化成_________________，然后再加减． 7.在进行分式的运算前，要先把分式的分子和分母__________________．分式的乘除要 __________，加减要__________，最后的结果要化成______________． 二、精讲精练 1.下列各式是分式的有_________________．（填写序号） ①1 π；②2x x ；③(3)(1) x x +÷-；④2 10xy-；⑤ 24 2 x x - - ；⑥10 9x y +． 2.当x取何值时，下列分式有意义？ （1）ax x ；（2） 2 3 9 x x + - ； （3 （4） 2 x- ．
初中分式讲义
分式的概念、运算及分式方程 一、知识框架 ： 二、知识概念： 1.分式：形如 A B ，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件：分母不等于0. 3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变. 4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分. 5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分. 6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 7.分式的四则运算： ⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c ±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分 式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd ±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分 母相乘的积作为积的分母.用字母表示为： a c ac b d bd ?= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与 被除式相乘.用字母表示为： a c a d ad b d b c bc ÷=?= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b ?? = ??? 8.整数指数幂： ⑴m n m n a a a +?=（m n 、是正整数） ⑵() n m mn a a =（m n 、是正整数） ⑶()n n n ab a b =（n 是正整数） ⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸n n n a a b b ?? = ???（n 是正整数） ⑹1n n a a -=（0a ≠，n 是正整数）