高二8-1统计(随机抽样、直方图、茎叶图)知识点、经典例题及练习题带答案

环球雅思教育学科教师讲义

讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期：

【考纲说明】

1、理解随机抽样的必要性和重要性，了解分布、样本数据标准差的意义和作用，理解用样本估计总体的思想。

2、会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题

【趣味链接】

U2合唱团在17分钟内得赶到演唱会场，途中必需跨过一座桥，四个人从桥的同一端出发，你得帮助他们到达另一端，天色很暗，而他们只有一只手电筒。一次同时最多可以有两人一起过桥，而过桥的时候必须持有手电筒，所以就得有人把手电筒带来带去，来回桥两端。手电筒是不能用丢的方式来传递的。四个人的步行速度各不同，若两人同行则以较慢者的速度为准。BONO需花1分钟过桥,EDGE需花2分钟过桥,ADAM需花5分钟过桥,LARRY需花10分钟过桥,他们要如何在17分钟内过桥呢?

【知识梳理】

一、抽样方法与总体分布的估计

1、随机抽样

（1）总体：在统计学中, 把研究对象的全体叫做总体，把每个研究对象叫做个体，把总体中个体的总数叫做总体容量．总体与个体之间的关系类似于集合与元素的关系.

（2）样本：从总体中随机抽取一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目称为样本的容量，样本和总体之间

的关系类似于子集和集合之间的关系.

（3）简单随机抽样：一般地，从元素个数为N 的总体中不放回地抽取容量为的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体被抽到的可能性是相同的，那么这种抽样方法叫简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本. 常用的方法有抽签法和随机数表法.

（4）系统抽样：当总体中的个体比较多时，将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分中抽取一个个体，得到所需要的样本，这样的抽样方法称为系统抽样，也称作等距抽样.

（5）分层抽样：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，可将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样. 2、频率分布直方图与茎叶图

（1）频率分布：样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比就是该数据的频率，所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布表、频率分布折线图、茎叶图、频率分布直方图来表示. （2）频率折线图：如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起，就得到一条折线，称这条折线为本组数据的频率折线图。

（3）总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光华曲线，即总体密度曲线。

（4）制作茎叶图的方法是：将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出.

茎叶图对于分布在0~99的容量较小的数据比较合适，此时，茎叶图比直方图更详尽地表示原始数据的信息. 在茎叶图中，茎也可以放两位，后面位数多可以四舍五入后再制图. 3、样本的数字特征

（1）众数：出现次数最多的数叫做众数．

（2）中位数：如果将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据或中间两个数据的平均是叫做这组数据的中位数.

（3）平均数与加权平均数：如果有n 个数，，，，n x x x x ??321那么12n

x x x x n

++???+=

叫做这n 个数的平均数.

如果在n 个数中,1x 出现次1f 次, 2x 出现次2f 次,……，k x 出现次2f 次,（这里），n f f f k =+??++21那么

11221

()k k x x f x f x f n

=++???+叫做这n 个数的加权平均数，其中k f f f ??，，21叫做权.

（4）标准差与方差：设一组数据123n

x x x x ?，，，，的平均数为x ，则

n

x x x x x x s s n 2

22212

)()()(-++-+-=

= ，其中2s 表示方差，s 表示标准差.

【经典例题】

【例1】（2009山东）某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( ). A. 90 B.75 C. 60 D.45

【例2】（2009上海）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）

A. 甲地：总体均值为3，中位数为4

B. 乙地：总体均值为1，总体方差大于0

C. 丙地：中位数为2，众数为3

D. 丁地：总体均值为2，总体方差为3

【例3】（2009湖北）右图是样本容量为200的频率分布直方图。根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10]内的频数为 ，数据落在（2，10）内的概率约为 . 【例4】（2008广东）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[)45,55，

[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95由此得到频率分布直方图如图3，则这20

名工人中一天生产该产品数量在[)55,75的人数是 .

【例5】（2009福建）点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，

则劣弧AB 的长度小于1的概率为 .

【例6】（2013江苏）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下表， 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．

【例7】（2011广东）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；

（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．

【例8】（2009广东）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高

（单位:cm）,获得身高数据的茎叶图如图.

（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;

（2）计算甲班的样本方差

（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为

176cm的同学被抽中的概率.

【例9】（2009山东）一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表（单位:辆）:

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.

（1）求z的值.

（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;

（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

【例10】（2011北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

（1）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望。

（注：方差()()

()

222

2

121n s x x x x x x n ?

?=-+-+

+-?

???

，其中x 为1x ，2x ，…… n x 的平均数）

【课堂练习】

1、（2008山东）右图是根据《山东统计年整2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（ ） A. 304.6 B. 303.6 C. 302.6 D. 301.6

2、（2009四川）设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足b ∶a ＝

618.02

1

5≈-，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形，黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本： 甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620

根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是（ ） A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近 C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定

3、（2009福建）一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表，则样本数据落在(10,40)上的频率为（ ）

A. 0.13

B. 0.39

C. 0.52

D. 0.64

4、（2010湖北）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数一次为

A ．26, 16, 8,

B ．25，17，8

C ．25，16，9

D ．24，17，9

5、（2009浙江）某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4,5) 上的数据的频数．．

为 ．

6、（2008广东）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. （1）求x 的值；

（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ （3）已知y ≥245,z ≥245,求初三年级中女生比男生多的概率.

【课后作业】

1、（2011湖北）已知随机变量ξ服从正态分布(

)2

2N ，a ，且Ｐ（ξ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜ξ＜2）＝（ ）.

A ．0.6

B ．0.4

C ．0.3

D ．0.2

2.（2010重庆）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职

工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）. A ．7 B ．15 C ．25 D ．35

3、某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统 计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11 时至12时的销售额为（ ）.

A. 6万元

B. 8万元

C. 10万元

D. 12万元

4、（2010山东）在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90、89、

90、

95、93、94、93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）. A ．92 , 2 B ．92 , 2.8 C. 93 , 2 D ．93 , 2.8

5、 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞 赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是 83，则x+y 的值为（ ）.

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

6、某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：

（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体, 从中任取2人, 求至少有1人的学历为研究生的概率；

（2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为5

39

，求x 、y 的值.

7、某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩

（满分100分，

成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，

[]100,90后得到如图的频率分布直方图．

甲乙789

61 1 y 1 1 6

8 95 x 06 2

（1）求图中实数a 的值；

（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成 绩不低于60分的人数；

（3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两 名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

8、（2009全国）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。 （1）求从甲、乙两组各抽取的人数；

（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率； （3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。.

9、（2009天津）为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A ，B,C 三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A,B ，C 区中分别有18，27，18个工厂 （1）求从A,B,C 区中分别抽取的工厂个数；

（2）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率。

【课后反馈】

本次______________同学课堂状态：_________________________________________________________________ 本次课后作业：___________________________________________________________________________________ 需要家长协助：____________________________________________________________________________________ 家长意见：________________________________________________________________________________________

【参考答案】

【经典例题】

1、A

2、D

3、64,0.4

4、13

5、

2

3

6、2

7、7；0.4

8、（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179:之间，而乙班身高集中于170180: 之间。因此乙班平均身高高于甲班;

（2） 158162163168168170171179179182

17010

x +++++++++==

甲班的样本方差为()()()()22222

1[(158170)16217016317016817016817010

-+-+-+-+-

()(

)()()()2

2

2

22

170170171170

179170

179170182170]+-+-+-+-+-＝

57 （3）设身高为176cm 的同学被抽中的事件为A ；

从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有：（181，173） （181，176） （181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173） (178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件；

9、400；

73

;104

10、35;411

.16

P （Y=17）=.81162=

同理可得;41)18(==Y P ;41)19(==Y P .8

1

)21(;41)20(====Y P Y P

所以随机变量Y 的分布列为：

17(17)18(18)19(19)20(20)EY P Y P Y P Y P Y =?=+?=+?=+?=21(21)P Y +?=

=11111171819202184448

?+?+?+?+?=19. 【课堂练习】

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1-4、BACB 5、30 6、380x =；12；5()11

P A = 【课后作业】 1-5、CBCBB 6、

7

10；

40, 5x y == 7、0.03a =；544；()715

P M =

8、2；158

)(2

10

1614==C C C A P ；3175 9、2，3，2； 21

11