直线方程几种形式的选择
例谈直线方程几种形式的选择
在求直线方程时，最后结果要用一般式表示。但在开始设直线方程时选用四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）中的哪一种好呢，则要根据题设和结论的关系进行选择。本文准备通过事例来说明。
1。已知斜率时，可设斜截式
例1求斜率为43，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线L 的方程。 解：设直线L 的方程为b x y +=
4
3
令x=0得y=b ；令y=0得b
x 34-=。 ∴|b|+12
||||3534=+-b b ，∴b=±4,∴直线L 的方程为44
3
±=x y 。
点评：在斜率已知的情况下，直线方程的斜截式有点类似于一次函数的形式，其中的b 表示直线在y 轴上的截距。
2。已知直线过一点时，可设点斜式 例2直线L 过点P （2，3），且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点。当|PA|?|PB|最小时，求直线L 的方程。
思路1：引进斜率，设L 方程为y-3=k(x-2) (k<0)，则A )0,2(3
k -，B （0,3-2k ）
。因此|PA|?|PB|=12)44)(9(2
92≥++k k ，所以当k= -1时|PA|?|PB|取最小值12，此时直线L 的方程为x+y-5=0。
思路2：设L 倾斜角为α（α为钝角），将其补角记为θ（θ为锐角）。则|PA|=θsin
3，|PB|=θcos
2
，∴|PA|?|PB|=12126≥=
，因此当θ=450，即斜率k= -1时|PA|?|PB|取最
小值12，此时直线L 的方程为x+y-5=0。
点评：设了点斜式后，常常需要求出直线在x 轴和y 轴上的截距，然后解题。 3。与截距相关问题，可设截距式 例3直线L 过点P （4，3），且在x 轴、y 轴上的截距之比为1：2，求直线L 的方程。
解：设直线L 方程为：12=+a y
a x ，
将点P （4，3）代入直线方程得，2
11=a ， ∴直线L 的方程为：2x+y-11=0。
点评：截距式与直线在x 轴和y 轴上的截距相关，结合不等式知识解题。像上面的例2也可以考虑利用设直线的截距式来解，请大家试试看。
4。适时应用“两点确定一条直线”
例4若2x 1-3y 1=4,2x 2-3y 2=4,则经过两点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)的直线方程为_____________。 分析：由条件知，点A 、B 都在直线2x-3y=4上，而两点确定一条直线，故可得直线AB 的方程即为2x-3y-4=0。本题可看作直线方程“两点式”的变式。
例5过点M （0，1）作直线L ，使它被两条已知直线L 1：x-3y+10=0和L 2:2x+y-8=0所截
得的线段AB 被点M 平分。求直线L 的方程。
解：设点A （a,b ）在L 1上，由题设知，点B （-a,2-b ）必在L 2上，
∴??
?=--+-=+-08)2(20103b a b a ∴???=-=2
4
b a 即A （-4，2）、B （4，0）
根据两点式可得，直线AB 方程为：x+4y-4=0。
点评：以上用设点法借助直线方程的两点式而获得了简解。 5。用直线方程几种形式，应注意弥补其缺陷
例6过点（3，-2）且在两坐标轴上截距相等的直线共有几条？
错解：设直线截距式方程为：1=+
a
y
a x
，将（3，-2）代入得a=1，
∴直线方程为：x+y-1=0。
剖析：以上错解忽略了截距式使用的条件——截距不为0，因而出现了少解。事实上，当直线过原点时，其在两轴上截距均为0，也相等，这时设直线方程为y=kx ，易得23-=k ，此时直线方程是3x+2y=0 。因此共有两条直线符合要求。
例7经过点P （1，2）作直线L ，使它到点A （-1，-1）的距离为2。求L 的方程。 错解：设L 的方程为y-2=k(x-1)，即 kx-y+(2-k)=0
利用点到直线距离公式解得k=125
，故L 的方程为5x-12y+19=0。
剖析：由作图可得有两条直线符合要求。为什么会少解呢？原来直线方程的“点斜式”只有在直线斜率存在时才适用，还有一条斜率不存在时的直线x=1它也符合条件：到A 点的距离为2。因此L 的方程有两解：5x-12y+19=0和x=1。
点评：在直线方程的几种形式中，点斜式和斜截式必须在斜率存在的情况下使用，截 距式必须在截距不为0且不与坐标轴平行时使用，两点式表示的直线必须不与坐标轴 平行。
(完整版)直线的一般式方程(附答案)
直线的一般式方程 [学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化. 知识点 直线的一般式方程 1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x ，y 的二元一次方程；任何关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线方程的一般式. 2.对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，其斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－C B ；当B ＝0时， 在x 轴上的截距为－C A ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－C B . 3.直线一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x ，y 的二元一次方程. (2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列. (3)x 的系数一般不为分数和负数. (4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 思考 (1)当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示什么？ (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？ 答 (1)当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面； 当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图象. 故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0时才代表直线. (2)不是.当一般式方程中的B ＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C ＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式. 题型一 直线的一般形式与其他形式的转化 例1 (1)下列直线中，斜率为－4 3，且不经过第一象限的是( ) A.3x ＋4y ＋7＝0 B.4x ＋3y ＋7＝0
直线参数方程t的几何意义44095
1、直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ???+=+=α αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k = 的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，（规定向上的 方向为直线L 的正方向）过点P 作y 轴的平行线，过 P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P| 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 2)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P 同时改变符号 P 0P ＝－|P 0P| P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 仍成立 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即???+=+=α α sin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P|＝|t| ①当t>0时，点P 在点P 0的上方； x y ,) x
直线方程的一般形式
直线方程的一般形式 教师：前边，我们研究了直线方程的两点式、斜截式、点斜式和截距式，现在请同学们思考这样一个问题： ［投影显示问题1］ 问题1 已知点P 的坐标为（2，m ），点Q 的坐标为（n ，3）。试求直线PQ 的方程。 学生1：此题有误，因为当m ＝3，且n ＝2时，点P 和点Q 重合，所求的直线不确定。 教师：很好，那么我们考虑点P 和点Q 不重合时直线AB 的方程。 学生2：应用直线方程的两点式可知直线PQ 的方程为 2 23--=--n x m m y 。 学生3：（1）当m ≠3时，且n ≠2时，方程才是223--=--n x m m y ； ① （2）当m ＝3时，且n ≠2时，方程是y ＝3； ② （3）当n ＝2时，且m ≠3时，方程是x ＝2。 ③ 学生4：运用方程的两点式可知当n ≠2时，直线PQ 的方程为 )2(2 3---=-x n m m y ④ 教师：很好，我们将方程①和方程④作一比较，你会有何发现？ 学生5：方程④优于方程①，因为④比①的作用范围广；方程④实际上包括了方程①和方程②。 教师：从考虑①和④的联系与区别出发，你有何想法？ （留给学生少许思考时间后，个别学生已经有了想法，举手要求发言） 教师：我们能否将①、②、③予以综合，给出一个在点P 和点Q 不重合的条件下都成立的方程呢？ （此时，举手的学生更多了。） 学生6：可以，将方程①变为下列方程即可 （n －2）（y －m ）＝（3－m ）（x －2） ⑤ 教师：很好，在m ＝3和n ＝2不同时成立的条件下，表示直线的方程⑤属于哪种类型的方程呢？
（对于此问题学生有点茫然，不知从哪个角度给出方程的归属） 教师：大家可以从方程两边的代数式类型的角度出发。 学生7：是整式方程。 教师：几元几次？ 学生7：二元一次或一元一次方程。 教师：为什么？ 学生7：因为⑤等价于（m－3）x＋（n－2）y－mn＝0⑥ 而其中m、n为常数，当x－3、n－2都不为0时，⑥显然是关于x和y的二元一次方程；当x－3、n－2中仅有一个为0时，则⑥为关于x或y的一元一次方程。 教师：很好，为了统一起见，当m－3、n－2中仅有一个为0时，我们将⑥也可以看作关于x和y的二元一次方程，这就表明，直线PQ的方程是关于x、y 的二元一次方程。那么，是否任意一条直线L的方程都是二元一次方程呢？ 学生众：应该是的。 教师：为什么呢？……对于直线L我们如何确定它的方程呢？ 学生8：我们可在L的边上找出两个不同的点A和B。然后借助于A、B的坐标确定出该直线的方程，然后，考察这个方程是否为二元一次方程。 教师：哪位同学能将学生8的想法落到实处？ 学生9：若A、B两点的横坐标相同，高为a，则L的方程为x＝a，显然可以看作二元一次方程；当A、B的纵坐标相同时，设为b，则AB的方程为y＝b，这也可以看作二元一次方程；当A、B的横坐标和纵坐标均不相同时，设A、B 的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则…… 教师：能否将A、B的坐标简化一下呢？ （等学生沉默片刻后，教师将手指向投影中的问题1） 学生10：当A、B的横坐标和纵坐标均不相同时，必可在直线L上取点P（2，m），Q（n，3），则L的方程为⑥，显然是二元一次方程。 教师：还有没有其他的想法？ 学生11：可以从点斜式去考虑，由于直线L一定存在斜率…… 学生齐喊：不一定！
高中数学直线与方程知识点总结
直线与方程 1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 4、直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=- 2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b b kx y += 3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般 式方程：关于y x ,的二元一次 方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。
高中数学必修2示范教案(3.2.3 直线的一般式方程)
3.2.3 直线的一般式方程 整体设计 教学分析 直线是最基本、最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.直线方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式.掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化,渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数A、B、C的几何意义时,渗透数形结合的数学思想. 三维目标 1.掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系，培
养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 2.会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想. 3.通过教学，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练. 重点难点 教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化. 教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于x和y的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题. 思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形. (1)斜率是1，经过点A（1，8）；(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P1（－1，6）、P2（2，9）；(4)y轴上的截距是7，倾斜角是45°.
高中数学直线方程公式
直线方程公式 1.斜率公式 ①若直线的倾斜角为α（00≤α＜1800）, 则k=tan α (α2π≠ ) ②若直线过点111(,)P x y 和222(,)P x y 两点. 则2121y y k x x -=- 解题时，要从斜率存在与不存在两个方面分类讨论。点P 1（x 1,y 1），P 2（x 2,y 2）的中点P 0（x 0,y 0），则x 0=（x 1+ x 2）/2，y 0=（y 1+ y 2）/2。 2.方向向量坐标 ： ()()k y y x x x x p p x x ,1,11 1 212122112=---=- 3.两条直线的平行和垂直 【1】两直线平行的判断 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1∥l 2充要条件是k 1=k 2,且b 1≠b 2。 （2）若l 1：x=x 1， l 2：x=x 2，则l 1∥l 2充要条件是x 1≠x 2。 （3）不重合的两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1∥l 2充要条件是α1=α2。 （4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1∥l 2充要条件是A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0（或A 1C 2-A 2C 1≠0）。11112222 ||A B C l l A B C ?=≠。 【2】两直线垂直的判断 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1⊥l 2充要条件是k 1·k 2=-1。 （2）若l 1的斜率不存在，则l 1⊥l 2充要条件是l 2的斜率为零。 （3）两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1⊥l 2充要条件是21a -a =900。 （4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1⊥l 2充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。 【3】两直线相交的判断 （1）两直线方程组成的方程组有唯一解是两直线相交的充要条件。 （2）两直线斜率存在时，斜率不等是两直线相交的充要条件。 （3）两直线倾斜角不相等是两直线相交的充要条件。
直线方程--直线方程的几种形式
课 题：直线方程 教学目标： （1）知识与技能： 掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式，并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程王新敞 （2）过程方法与能力： 通过让学生经历直线方程的发现过程，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力王新敞 （3）情感态度与价值观： 在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。 教学重点：直线方程的点斜式、两点式、截距式的推导及运用 教学难点：直线与方程对应关系的说明以及运用各种形式的直线方程时，应考虑使用范围并进行分类讨论王新敞 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教 具：多媒体 教学过程： 一、复习： 1、直线的方程 2、直线的斜率与倾斜角。 二、新授 1. 直线的点斜式方程：已知直线的斜率及直线经过一已知点，求直线的方程 问题一：已知直线l 经过点111(,)P x y ，且斜率为k 则直线方程：11()y y k x x -=- 解：设直线上任意一点(),P x y ，则k x x y y =--1 1要把它变成方程)(11x x k y y -=-.因为前者表示的直线上缺少一个点1P ，而后者才是整条直线的方程. 直线的斜率0=k 时，直线方程为1y y =；当直线的斜率k 不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为1x x =. 注：斜率不存在，不能用点斜式方程。 2．直线的斜截式方程：已知直线l 经过点P （0,b ），并且它的斜率为k ，求直线l 的方程：b kx y += 注:⑴斜截式与点斜式存在什么关系？斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便. ⑵斜截式b kx y +=在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间有什么差别？只有当0≠k 时，斜截式方程才是一次函数的表达式. ⑶斜截式b kx y +=中，k ，b 的几何意义是什么？ 3. 直线方程的两点式：已知直线上两点),(11y x A ，B （),22y x )(21x x ≠，求直线方程. )(11 2121x x x x y y y y ---=-
直线参数方程-知识讲解
直线的参数方程 【学习目标】 1．能选择适当的参数写出直线的参数方程． 2. 会运用直线的参数方程解决有关问题。 【要点梳理】 要点一、直线的参数方程的标准形式 1. 直线参数方程的标准形式： 经过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为： 00cos sin x x t y y t αα=+??=+? （t 为参数）； 我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式。 2. 参数t 的几何意义： 参数t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正 负号，也即0||||M M t = ，||t 表示直线上任一点M 到定点0M 的距离。 当点M 在0M 上方时，0t >； 当点M 在0M 下方时，0t <； 当点M 与0M 重合时，0t =； 要点注释：若直线l 的倾角0α=时，直线l 的参数方程为? ??=+=00y y t x x . 要点二、直线的参数方程的一般形式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=a b 的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00(t 为参数) 在一般式中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义。若a 2+b 2=1,则为标准式，此时，｜t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t ｜. 要点三、化直线参数方程的一般式为标准式 一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，. ? ??+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数）， 斜率为a b tg k ==α (1) 当2 2b a +＝1时，则t 的几何意义是有向线段M M 0的数量. (2) 当22b a +≠1时，则t 不具有上述的几何意义 .
直线方程的几种建立方式及其适用范围
直线方程的几种建立方式及其适用范围 罗村高级中学 黄勉 确定在不同条件下的直线方程，是高考试题重点考查的内容之一。因此，需要熟练掌握直线方程的各种形式，以及各自的适用范围，以便在不同的情况下灵活地选用。 下面直线方程的几种建立方式及其适用范围列出，以供大家参考： 一、 点斜式 若直线l 过定点),(00y x P ，斜率为k ，则直线l 的方程为)(00x x k y y -=-； 它不适用平行于y 轴（包括y 轴）的直线，换句话说就是不适用于斜率不存在（即倾斜角为090）的直线。当斜率不存在时，直线l 的方程为：0x x =；特别地，当k ＝0时，其方程为0y y =。 例1、 已知直线l 过点A （1，2）,B(3,m )，求直线l 的方程。 分析：因为直线l 经过点B(3,m ),且m 是一个参数，因此需要对m 进行分情况讨论。 解：当m ＝1时，直线l 的倾斜角为090，其斜率是不存在的，故此直线l 的方程为1=x 。 当m ≠1时，直线l 的斜率为11-= m k ，又因为直线l 通过点A （1，2），所以直线l 的方程为：)1(1 12--=-x m y 。 例2、 已知直线l 经过点P （—3，4），且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的 方程。 分析：不难看出，直线l 在经过原点和斜率为—1的两种情况下在两坐标轴上的截距相等。因此，需要对这两种情况分类讨论。 解：若直线l 经过原点，则直线l 的斜率为3 4-=k ，从而直线l 的方程为：x y 3 4-=，即034=+y x 。 若直线l 不经过原点，由于它在两坐标轴上的截距相等，所以直线l 的斜率为1-=k ，从而直线l 的方程为：),3(4--=-x y 即01=-+y x 。 二、 斜截式 若直线l 的斜率为k 且在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为：b kx y +=； 它不适用于平行于y 轴（包括y 轴斜率）的直线，即不适用于斜率不存在（倾斜
高中数学-直线方程的几种形式练习
高中数学-直线方程的几种形式练习 5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.过点A(-2，1)且与x 轴垂直的直线的方程是( ) A.x=-2 B.y=1 C.x=1 D.y=-2 解析：过点(x 0,y 0)与x 轴垂直的直线的方程是x=x 0，所以所求直线的方程为x=-2. 答案：A 2.已知直线l 过点P(3,2),且斜率为5 4 - ,则下列点不在直线l 上的是( ) A.(8,-2) B.(4,-3) C.(-2,6) D.(-7,10) 解法一：由斜率公式k= 1 21 2x x y y --(x 1≠x 2)，知选项A 、C 及D 中的点与点P 确定的直线斜率 都为5 4- . 解法二：由点斜式方程，可得直线l 的方程为y-2=5 4 - (x-3),即4x+5y-22=0. 分别将A 、B 、C 、D 中的点代入方程,可知点(4,-3)不在直线上. 答案：B 3.过点P(3,2)和点Q(4,7)的直线方程为____________. 解：过两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线的两点式方程 1 21 121x x x x y y y y --=--，代入点P(3,2)和 点Q(4,7)，求得直线方程为 3 43 272--= --x y ，整理得5x-y-13=0. 答案：5x-y-13=0 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.在同一直角坐标系中，表示直线y=ax 与y=x+a 的图象正确的是( ) 图2-2-2 解析：结合四个图象,a 在两方程中分别表示斜率和纵截距,它们的符号应一致.逐一判断知A 、B 、D 均错,只有C 正确. 答案：C 2.下列命题中： ① x x y y --=k 表示过定点P(x 0,y 0)且斜率为k 的直线; ②直线y=kx+b 和y 轴交于B 点,O 是原点,那么b=|OB|; ③一条直线在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,那么该直线的方程为 b y a x +=1; ④方程(x 1-x 2)(y-y 1)+(y 2-y 1)(x-x 1)=0表示过P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)两点的直线.
一、直线方程的五种形式
§1直线方程的点斜式和斜截式 一、选择题： 1．直线的点斜式方程00()y y k x x -=-（ ） A ．可以表示任何一条直线 B. 不能表示过原点的直线 C ．不能表示与y 轴垂直的直线 D. 不能表示与x 轴垂直的直线 2．经过点(2,1)P -，且在y 轴上的截距等于它在x 轴上的截距的2倍的直线l 的方程为（ ） A ．22x y += B. 24x y += C. 23x y += D. 23x y +=或20x y += 3．直线cos sin 10,(0, )2x y πααα++=∈的倾斜角是（ ） A ．α B. 2π α- C. πα- D. 2π α+ 4．等腰AOB ?中，||||=， 点),3,1(),0,0(A O 点B 在x 轴的正半轴上，则此直线AB 的方程为（ ） A ．)3(31-=-x y B ．)3(31--=-x y C ．)1(33-=-x y D ．)1(33--=-x y 5．若0,0,0A B C >><，则直线0Ax By C ++=必经过（ ） A ．一、二、三象限 B. 二、三、四象限 C ．一、三、四象限 D. 一、二、四象限 6．直线20x y b -+=与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是（ ） A ．[2,2]- B. (,2][2,)-∞-+∞ C ．[2,0)(0,2]- D. [2,)+∞ 二、填空题： 7．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成45°角的直线方程是 . 8．若y 轴绕点(0,2)M -顺时针方向旋转30°，所得直线的方程是 . 9．直线过点(3,2)P -，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，若AP ：PB = 2，则此直线方程是 . 三、解答题： 10．已知两点A （4，3）、B （2，1），直线l 过AB 的中点，且倾斜角是直线430x y -+= 的倾斜角的2 倍，求直线l 的方程.
【教材分析】直线方程的几种形式_数学_高中_孙健鹏_3707820001
教材分析 本节内容在教材中的地位和作用：“直线方程的几种形式”是人教版B版数学必修2的第二章第二节的内容。 课程分析:本节课是在学习了直线斜率和倾斜角基础上，对直线方程几种形式的探究。直线方程的几种形式是以后研究直线与圆、直线与圆锥曲线的基础，是今后学习整个解析几何的基础，因此，本节课必须重视基础知识、基本方法的学习和掌握，在激发学生学习兴趣、提高学生学习能力上下功夫。 教学重点：各种直线方程的推导，直线的点斜式方程是直线方程的重中之重； 教学难点：理解各式直线方程形式的局限性，求直线方程的灵活性，理解直线方程与二元一次方程的对应关系。 学情分析：通过前面内容的学习，学生已经对解析几何这一数学学科有了基本的了解，知道了解析几何是用代数方法研究几何问题。由于这一节学生基础不是很好，但学习积极性较高，思维活跃，所以教学中既要放手给学生，又要注意引导学生，让学生始终是课堂的主人。 设计理念：本节课的课型为“新授课”，采用“问题探究式”的教学方法。遵循“探索---研究---运用”的三个层次，提出问题，采用多角度、不同形式的探究过程，让学生积极参与到教学活动中来，并且始终处于积极的问题探究和辨析思考的学习气氛中，让学生动脑思、动口议、动手做，充分发挥学生的主体地位，而且教师要启发的恰到好处。采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率。 学习目标：掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程，并能根据条件熟练地求出直线的方程。通过由一点和斜率导出直线方程的方法的研究，体会数形结合思想，锻炼用代数方法解决几何问题的能力；通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创新的历程。发扬学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，增强学习数学的兴趣和信心。
直线的一般式方程Word版
3.2.3 直线的一般式方程 一、教学目标 1.掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 2.会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想. 3.通过教学，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练. 二、重点难点 教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化. 教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于x 和y 的一次方程的对应关系，关键是直线方程 各种形式的互化 三、教学过程 1、导入新课 前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题. 提出问题 ①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y 的二元一次方程? ②关于x,y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线? ③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化? ④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化? ⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A 、B 、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性? 讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α. 1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b. 2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零. 结论1°：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程. ②分析：a 当B≠0时，方程可化为y=-B A x-B C ，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-B A ，在y 轴上的截距为-B C 的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x=-A C ， 表示一条与y 轴平行或重合的直线. 结论2°：关于x,y 的一次方程都表示一条直线. 综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式. 注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式. 在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来. 师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.
直线方程的几种形式
23 直线方程的几种形式 教材分析 这节内容介绍了直线方程的几种主要形式：点斜式、两点式和一般式，并简单介绍了斜截式和截距式．直线方程的点斜式是其他直线方程形式的基础，因此它是本节学习的重点．在推导直线方程的点斜式时，要使学生理解：（1）建立点斜式的主要依据是，经过直线上一个 定点与这条直线上任意一点的直线是唯一的，其斜率等于k．（2）在得出方程后，要把它变成方程y－y1＝k（x－x1）．因为前者表示的直线缺少一个点P1（x1，y1），而后者才是这条直线的方程．（3）当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为x＝x1．在学习了点斜式的基础上，进一步介绍直线方程的其他几种形式：斜截式、两点式、截距式和一般式，并探索它们的适用范围和相互联系与区别．通过研究直线方程的几种形式，指出它们都是关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方程，都可以写成关于x，y的一次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后继续学习“曲线和方程”打下基础．因为这部分内容较为抽象，所以它是本节学习的难点． 教学目标 1. 在“直线与方程”和直线的斜率基础上，引导学生探索由一个点和斜率推导出直线方程，初步体会直线方程建立的方法． 2. 理解和掌握直线方程的点斜式，并在此基础上研究直线方程的其他几种形式，掌握它们之间的联系与区别，并能根据条件熟练地求出直线方程． 3. 理解直线和二元一次方程的关系，并能用直线方程解决和研究有关问题． 4. 通过直线方程几种形式的学习，初步体会知识发生、发展和运用的过程，培养学生多向思维的能力． 任务分析 这节内容是在学习了直线方程的概念与直线的斜率基础上，具体地研究直线方程的几种形式，而这几种形式的关键是推导点斜式方程．因此，在推导点斜式方程时，要使学生理解：已知直线的斜率和直线上的一个点，这条直线就确定了，进而直线方程也就确定了．求直线方程就是把直线上任一点用斜率和直线上已知点来表示，这样由两点的斜率公式即可推出直线的点斜式方程．在直线的点斜式方程基础上，由学生推出直线方程的其他几种形式，并使学生明确直线方程各种形式的使用范围，以及它们之间的联系与区别．对于直线和方程的一一对应关系是本节课的难点，在论证直线和方程的关系时，一方面分斜率存在与斜率不存在两类，另一方面又分B≠0与B＝0两类．这种“两分法”的分类，科学严密，可培养学生全面系统和周密地讨论问题的能力．
直线的参数方程练习题有答案
直线的参数方程 1.设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5 6π，则直线l 的参数方程是____________． 解析：直线l 的参数方程为? ?? x ＝2＋t cos 5 6 π， y ＝－4＋t sin 5 6 π (t 为参数)， 即???x ＝2－32t y ＝－4＋1 2t ，(t 为参数)． 答案：???x ＝2－32t y ＝－4＋1 2t ，(t 为参数) 2.设直线l 过点(1，－1)，倾斜角为5π 6 ，则直线l 的参数方程为____________． 解析：直线l 的参数方程为??? x ＝1＋t cos 5π 6 y ＝－1＋t sin 5π 6，(t 为参数)， 即???x ＝1－32t y ＝－1＋1 2t ，(t 为参数) 答案：???x ＝1－32t y ＝－1＋1 2t ，(t 为参数) 3.已知直线l 经过点P (1，1)，倾斜角α＝π 6 . 写出直线l 的参数方程； 解：①直线l 的参数方程为?????x ＝1＋3 2t y ＝1＋12t ，(t 是参数)． 4.已知直线l 经过点P ????12，1，倾斜角α＝π 6 ， 写出直线l 的参数方程. [解] (1)直线l 的参数方程为???x ＝12＋t cos π 6 y ＝1＋t sin π6，(t 为参数)，即???x ＝12＋3 2 t y ＝1＋1 2t ，(t 为参 数).2分 5.已知直线l 的斜率k ＝－1，经过点M 0(2，－1)．点M 在直线上，则直线l 的参数方程为____________． 解析：∵直线的斜率为－1， ∴直线的倾斜角α＝135°. ∴cos α＝－ 22，sin α＝2 2 . ∴直线l 的参数方程为???x ＝2－22t y ＝－1＋2 2t ，(t 为参数)． 答案：???x ＝2－22t y ＝－1＋2 2 t ，(t 为参数) 6.已知直线l ：???x ＝－3＋32t y ＝2＋1 2t ，(t 为参数) , 求直线l 的倾斜角； 解：(1)由于直线l ：? ??x ＝－3＋t cos π 6 ， y ＝2＋t sin π 6 (t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率
2.2.2直线方程的几种形式
2.2.2直线方程的几种形式 伽利略铁球的轨迹 伽利略是伟大的意大利物理学家和天文学家，科学革命的先驱! 历史上他首先在科学实验的基础上融会贯通了数学、物理学和天文学三门知识，扩大、加深并改变了人类对物质运动和宇宙的认识。为了证实和传播哥白尼的“日心说”，伽利略献出了毕生精力. 由此，他晚年受到教会迫害，并被终身监禁。他以系统的实验和观察推翻了以亚里士多德为代表的、纯属思辨的传统的自然观，开创了以实验事实为根据并具有严密逻辑体系的近代科学. 因此，他被称为“ 近代科学之父”。他的工作，为牛顿的理论体系的建立奠定了基础. 据说科学家伽利略为向亚里士多德宣战，曾手拿一大一小两个铁球，站在高高的比萨斜塔上，将一大一小两个铁球同时扔下，结果人们发现，两个铁球同时落地，于是亚里士多德的那个“物体下落速度与其重量成正比”的论断立刻被推翻了. 一个铁球可以看作是一个质点，那么铁球运动所形成的轨迹可以看做是满足某种运动规律的点的集合。我们将之推广在平面直角坐标系中，这样的点的集合被称为直线，直线的位置既可以由两个点来惟一确定，也可以由一个点和一个方向来确定. 课程学习目标 ［课程目标］ 目标重点：各种直线方程的推导，点斜式是直线方程的重中之重；根据所给条件灵活选取适当的形式和方法，熟练地求出直线的方程. 目标难点：清楚各种直线方程的局限性；把握求直线方程的灵活性；运用数形结合、分类讨论等数学方法和特殊———一般———特殊的思维方式理解直线与二元一次方程的对应关系. ［学法关键］ 1．直线是点的集合，求直线方程实际上是求直线上点的坐标 之间满足的一个等量关系； 2．求直线方程的过程中，既要说明直线上的点的坐标满足方 程，也要说明以方程的解为坐标的点在直线上，只有满足了这 两点，我们才可以说这个方程是直线的方程或直线是这个方程 的直线； 3．通过二元一次方程与直线关系的认识和理解，培养数形结 合、数形转化的能力，能正确运用直线方程的各种形式解决问 题。 研习点1．直线的点斜式方程 1．点斜式方程 设直线l过点P0(x0，y0)，且斜率为k，则直线的方程为y－y0=k(x －x0)， 由于此方程是由直线上一点P0(x0，y0)和斜率k所确定的直线 方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程. 注意：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与 否. （1）当直线l的倾斜角α=90°时，斜率k不存在，不能用点 斜式方程表示，但这时直线l恰与y轴平行或重合，这时直线l上
直线的一般式方程(附答案)
, 直线的一般式方程 [学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、 B 不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax ＋By ＋ C ＝0的形式.3.会进行直线方程 不同形式的转化. 知识点 直线的一般式方程 1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x ，y 的二元一次方程；任何关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线方程的一般式. 2.对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，其斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－ C B ；当B ＝0时，在x 轴上的截距为－C A ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－C B . 3.直线一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x ，y 的二元一次方程. ? (2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列. (3)x 的系数一般不为分数和负数. (4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 思考 (1)当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示什么 (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗 答 (1)当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面； 当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.
故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2 ≠0时才代表直线. - (2)不是.当一般式方程中的B ＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C ＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式. 题型一 直线的一般形式与其他形式的转化 例1 (1)下列直线中，斜率为－4 3，且不经过第一象限的是( ) ＋4y ＋7＝0 ＋3y ＋7＝0 ＋3y －42＝0 ＋4y －42＝0 (2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) B.－5 D.－33 ] 答案 (1)B (2)D 解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－4 3的有：B 、C 两项. 又y ＝－4 3x ＋14过点(0,14)即直线过第一象限， 所以只有B 项正确. (2)令y ＝0则x ＝－3 3. 跟踪训练1 一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程. 解 设所求直线方程为x a ＋y b ＝1，
直线的参数方程
直线的参数方程 广东信宜中学 杨凡军 一、知识的引入： 我们前面已经学习了直线的普通方程，还有直线的极坐标方程，现在大家来考虑直线是否还有其他形式的方程吗？ 二、练习 三、探究： (1)曲线的弦M 1M 2的长是多少？ (2)线段M 1M 2的中点M 对应的参数t 的值是多少？ 四、例题讲解： 例1、已知直线l :x + y -1=0与抛物线y = x 2 交于A, B 两点,求线段AB 的长和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积 思考：①例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？②把“中点”改为“三等分点” 直线 l 的方程怎样求？③n 等分点呢 五、课堂训练： ① 已知直线l 过点P(3,2),且与x 轴和y 轴的正半 轴分别交于A,B 两点,求│PA │·│PB │的值 为最小时的直线l 的方程 ? ,0的几何意义吗参数你能得到由e t M M =t =的距离 到定点点对应的 表示参数即0M M t t 义 . ,,M ) ()(sin cos 2 1210 0t t ，M x f y t t y y t x x 对应的参数分别为两点交于与曲线为参数直线=???α+=α+=2 121t t M M -=22 1t t t += .,,,1416(2,1).22 2的方程求直线的中点为线段恰好 如果点两点于交椭圆作直线经过点例l AB M B A y x l M =+),MB 2AM ：(=例如
解:设过点M 的参数方程为: 所以直线的普通方程为:x+y-5=0 ② 直线l 过P （2，1），倾斜角为θ，它和曲线C ：4x 2＋9y 2＝36，交于A,B 两点，θ为何值时，|PA||PB|有最大值和最小 值？并求出相应的最值 六、直线参数方程（标准形式）： （常解决问题类型） (1)利用参数求弦长 (2)利用参数求直线方程(即求斜率) 直线参数方程（一般形式）： 一般形式与标准形式的互化： 七、例题与练习： 例3、当前台风中心P 在某海滨城市O 向东300km 处生成,并以40km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 已知距台风中心250km 以内的地方都属于台风侵袭的范围, 那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?受到侵袭的时间有多久? 八、小结 九、作业布置 十、优点，不足及建议 这是卢耀才老师成功的一节课，虽然学生对直线的参数方程的知识感到有点难度，但是经过卢老师的详细分析，讲解细仔，让难点和重点突出，层层加深，突破难点，讲得通俗易懂，作到化难为易，非常成功。从教案的布置，知识点之间的联系和课堂气氛来看，都非常好，再加上学生的知识底子较好，达到因材施教，黑板书写条理清晰，把重点一一列出，难点反复练习，加深理解，对于容易出错的地方，肯定地提出并要学生记写和让学生做相应的一些练习。 参数方程是一个重点，直线的参数方程又是一大难点，它为我们学习过程中提供了另外的一种方法，在许多的情况下，使用参数方程去解决实际问题显得更加容易，所以让学生认真学习好参数方程。 { ) (sin 2cos 3为参数t t y t x α+=α+=)t (2 2 2223为参数??? ? ?+=-=t y t x 9 11 24110时有最小值 ＝，时有最大值＝当πθθ)(sin cos 0 0是参数t t y y t x x ?? ?α +=α +=)(t 0 为参数? ??+=+=bt y y at x x |||,|.,,,(y x (2 10212 10 00 00P P P P t t t P P P t bt y y at x x P 求，数值为分别为参是直线上的点，对应的是参数））的直线参数方程为，过???+=+=||||2 20 t b a P P +=||||2 12 221t t b a P P -+={ .41035.式化为参数方程的标准形把直线的参数方程 练习：t y t x -=+=)(5 410)53(5为参数t t y t x '?????'+=' -+=