创意平板折叠桌问题的模型设计与优化

创意平板折叠桌问题的模型设计与优化

一、摘要

本文在充分考虑实际设计需求的基础上，讨论了某公司生产的创意平板折叠桌的动态变化过程和一定条件下最优加工参数的设计问题。通过建立空间直角坐标系进行几何分析，构造非线性规划模型，并利用Matlab和Lingo软件编程求解，得出各种条件下的设计参数结果。

在问题一中，本文从桌子的稳固性出发，从物理学的角度，根据受力分析，寻找稳固性条件下的约束条件，构建非线性规划模型，并利用Lingo求得单侧

20根桌腿情况下的开槽长度、桌腿边缘线等参数，在此基础上描述了折叠桌折

叠运动的动态过程。

由于问题一采用了构建非线性规划的方法，因此在求解第二题的过程中，本文依然通过寻找约束条件和修改目标函数来优化模型，根据给出的桌面直径和桌子的高度，可以用Matlab求出各个需求的加工参数，所以此模型能够很好地满足设计者及生产者的需求。根据题目中给定的桌面高度70cm和桌面直径80cm

的条件，用Matlab编程求解得出从外侧第2根木条到第10根槽长分别为 cm， cm，cm， cm， cm， cm， cm，。

针对问题三，根据客户要求的折叠桌高度，桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，结合实际情况，发现现实生活中主要的桌面形状是分偶数边正多边形和椭圆形两种情况考虑，通过几何图形分析，分别建立非线性规划模型，根据题意寻找约束条件，优化模型，用Matlab编程求解。

关键词：非线性规划几何分析受力分析空间直角坐标系

·

二、问题重述

某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。

本文根据给定的各种数据研究以下几个问题：

1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽

2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。

2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。

3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

&

三、问题分析

针对问题一，题目给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，折叠后桌子的高度为53cm，在此问中为简便计算，我们暂不考

虑桌面平板的厚度和桌腿之间的缝隙，按照最大20根桌腿的情况进行计算。同时对桌腿进行受力分析得知当R b h b =+-1221)-60(时，桌子的稳固性最强，此时可以以n θ的补角的余弦值n

d h

2cos

最大为目标，建立非线性规划模型，在求解最外侧桌腿的参数的基础上，利用递推公式编程逐步得出20条桌腿的设计参数和折叠桌整体变化趋势。

针对问题二，我们从问题中的用材最省、稳固性高、加工方便三方面来考虑，建立非线性规划模型。首先，从用材最省的角度出发，我们以平板体积最小为目标函数，其次，要满足桌子的稳定性，由问题一的分析，我们可以知道，在折叠情况下，当最外侧桌腿桌脚到桌面直径的平面距离要和桌面半径的距离保持一致，此时桌子的稳固性最高。然后，我们从加工方便的角度考虑，开槽长度越短，加工就相对方便一点，开槽长度最短也是我们的目标。最后，综合上面三个角度的考虑，建立非线性规划的数学模型，任意给出，桌子的高度和桌面的直径，都能够求得理想的加工参数。

针对问题三，结合实际生活，我们只考虑桌面边缘形状为正多边形和椭圆形的两种情况，然后在问题二的基础上，对模型进行延伸和扩展，根据设计者的目的及要求，得到理想的桌子的加工参数。

四、模型假设

1.假设木条之间没有缝隙且木条表面足够光滑。

2.假设桌子折叠展开的时候受力均衡。

3.桌子一直处于水平状态。

/

五、符号说明

c b a ,,：分别为平板木块的长宽高

n d ：每条桌腿钢筋到相应桌腿顶点的距离

n θ：每条桌腿与圆形桌面下底面夹角（左侧）

n ：桌腿编号

R ：圆形桌面半径

n b ：各桌腿顶点处到过桌面中心垂直于桌腿的直径的距离

h ：折叠桌的高度

…

n f ：桌腿长度

n b a

-2

n E ：桌子平铺时各桌腿中钢筋到铰链的距离

n Q ：折叠后各桌腿中钢筋到铰链距离 d ：桌腿宽度

m ：桌腿条数（单侧）

k ：钢筋到相应桌腿的长度占整条桌腿的长度比例 i ：偶数正多边形条数 L ：偶数正多边形边长

"

n α：桌面圆心与第n 条桌腿所对应的铰链的连线与桌面半径的夹角

n s :第n 条桌腿的开槽长度

B A ,：分别为椭圆形桌面长半轴和短半轴长

六、模型的建立与求解

1.问题一

在第一题中，给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条

宽2.5 cm ，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm 。根据题意得一侧木条的最大数量为205

.250

=根，我们姑且不考虑缝隙，按最大根数计算。

由于整个桌子是对称的，可以以桌子侧视图的二分之一来考虑，如图1设桌腿与桌面底部的夹角（左侧 ）为θ，从外侧向内第n 根桌腿的夹角为n θ，桌腿钢筋到与桌面结合处的距离ED 为d ，外侧向内第n 根桌腿的该距离为n d 。

`

图 1

设桌子折叠开的高度为h （不包含木板的3cm 厚度），各桌腿与桌面结合处到圆形桌面直径的距离为10......3,2,1,=n b n ，圆形桌面的半径为R 。

实际上，只有四个最外侧桌腿接触到地面，为了保证桌子的稳固性，必须有约束条件：

R b h b ≥+-1221)-60(

同时，对折叠桌桌腿进行受力分析，根据受力分析，可知桌腿张力越大，则夹角

n θ越小，即n θ的补角的余弦值1-60cos b h 越大，也可表示为目标函数n

d h

2cos 的增大。

又根据题意和勾股定理，得约束条件6252

12=-b R 。

综上所述建立非线性规划模型如下：

1

60cos

max b h

- ~

????

?=-≥+--625

60..212

1221b R R

b h b t s ）（ 为了方便运算我们对桌腿进行编号，如图2，从最外侧的桌腿开始编号依次为1到10。

图 2

设桌腿长度为Z n n f n ∈≤≤,101,，根据题意有

?????--=-=)

11(5.2602

n R b b f n n

n 由此我们可以将n d ，用多项式表示出来， 第1条桌腿与桌面结合处到原面直径的距离：

;

2

2601

11f b d =-=

第2条桌腿与桌面结合处到原面直径的距离：

1112212122cos )(2)(θd b d d b d d --+-=

第3条桌腿与桌面结合处到原面直径的距离：

1113212133cos )(2)(θd b d d b d d --+-=

以此类推，第n 条桌腿与桌面结合处到原面直径的距离为

10.....3,2,1,cos )(2)(1112121=--+-=n d b d d b d d n n n θ

从而我们也可以将夹角n θ间接表示出来：

|

1

12arcsin

d h =θ

2

122

1

222

122)(2arccos

d b d d d b d --+-=）（θ 3

132

1

232

133)(2arccos

d b d d d b d --+-=）（θ 以此类推

n

n n n n d b d d d b d )(2arccos

12

1

2

2

1--+-=）（θ 根据以上分析建立方程组如下：

?

??????==

+=≥+-50

2-6025)2(11221

221h b d k R R

b h d ○1 利用Lingo 编程求解最外侧木条的参数，结果如表1：

·

变量 数值 h 50 1d

1b

*

R

然后我们根据所得结果，以与圆形桌面圆心相对应的地面点为原点，坐标系如图3所示。

图 3

另外，槽长等于2211n n n n n n f b b d b f b d +-+=??

?

??-+-。

?

根据递推公式编程（Matlab ）得出的结果如表2所示：

最后根据我们建立的空间直角坐标系，给出各个桌脚的坐标后，得出边缘线图像如图4和图5所示：

图 4 图 5

运用Matlab编程，用坐标表示折叠桌的动态变化趋势见图6。

图 6

2.问题二

设桌子的半径为R ，桌腿的宽度为d ，桌腿的条数为m （单侧桌腿数）,桌腿的编号为n 。现在将桌腿按照前面所述的规则，从外到内依次编号，由于桌子是对称的，所以我们只考虑单侧桌腿的二分之一的桌子情况。根据问题一的分析，我们分析出桌腿数量的确定如下：

\

????

??

????

????∈-=Z d R d R Z d R

R m 2,22,1d 2

根据问题的要求，首先考虑桌子的用材较少，以平板体积最小为目标函数，

即abc f =min ，题目中cm 3c =对体积的影响较小，且根据实际生活经验，桌子的厚度差别不大，为了计算方便，我们直接将c 设定为cm 3。

其次，当()d m b c h b 22a 12

2

1=+--???? ??-时，桌子的稳固性最高。 综上，建立模型如下：

()?

??

???????????

?

????

>===+--???? ?

?-??????????????∈-=???

? ??-==0

3222,22,122.min 12

21221d c md b d m b c h b a Z d R d R Z d

R d R m d m R b t s abc

f ○1 根据此模型，给出设计者想要的桌子半径和桌子高度，我们可以得到平板尺寸，然后考虑桌子加工要方便的角度，即开槽长度要最短。假设n E 为平铺时钢筋到铰链的长度，n Q 为折叠时钢筋到铰链的长度，n s 为开槽长度，k 为钢筋到桌脚的长度占整条桌腿长度的比例，出于安全和稳固性的考虑，开槽长度应该小于槽底到桌脚的长度，综上，建立模型如下：

()

()[]()()()?????

?????

?

???

???

??????

?

?????=<-?

??

??? ??--=----+-=-=-=??

?

??????? ??+--=-=

∑=2...,3,2,12arcsin cos 121212.min 111

112

1212

22

1

m n kf

E Q b a c h f k b b b b f k Q kf f E b

a f d n m R

b t s E Q f n

n n i i

n n n n n

n n m

n

n n θθ ○2

根据此模型，结合模型○1，我们可以用Matlab 求解出开槽的位置以及开槽的长度，根据题意给出的数据，cm R cm h 40,70==，利用Matlab 求解的具体参数，求解4857.0=k ，开槽总长度为cm 8432.827，其它参数参见表3和表4，具体程序详见附录2

}

3.问题三

问题三在问题二模型的基础上，进行相应的改进和扩展，根据现实需要和实际情况，我们只考虑桌面边缘线形状为正多边形和椭圆形的情况，正多边形情况下只考虑桌面边缘形状中两条边与平板边界重合的正多边形。 (1)桌子边缘线形状数为多边形的情况

当桌面边缘线为偶数正多边形时，给定任意折叠高度h 、桌面边缘线的形状大小（即给定边长长度和边数），便可求出平板材料的形状尺寸大小和切实可行的最优设计加工参数同问题二的求解类似

·

假设正多边形的变数为i ，边长为L ，n α为桌面圆心与第n 条桌腿所对应的

铰链的连线与桌面半径的夹角，则桌腿数量m 的确定，由桌腿宽度d 和木板宽度决定，桌腿数量的确定如下：

??

??

??????

????∈=Z d b d b Z d b

d b m ,,

根据用材最少，桌子稳固性较高，建立模型如下：

()?????

???

????????

??

?>===+--???? ??-??????

????????∈===0

322,,2.min 1

2211

d c md b d

m b c h b a Z

d b d b Z d b d b m L b t s abc

f ○3 根据加工方便，建立模型如下：

()

()[]()()()?????

??????

?

????

???

??

?

?????????=<-?????

?

??--==

----+-=-=-=???????

??? ??+-=-=

∑=2...,3,2,12arcsin 2cos 1212tan 12.min 11111121212

1

m n kf E Q b a c h b L f b b k b b f k Q kf

f E b a f d n m b t s E Q f n n n n n n

n

n n

n

n n n m

n

n n θαθα○4 综上，结合模型○3和模型○4即为桌面边缘形状偶数正多边形的模型，给出相应的多边形的边长和桌子高度，即可得到优化模型后的桌子参数。 (2)桌子边缘线形状为椭圆形的情况

（

当桌面边缘线椭圆时，给定任意折叠高度h 、桌面边缘线的形状大小（即给

定短半轴、长半轴大小），便可求出平板材料的形状尺寸大小和切实可行的最优设计加工参数同问题二的求解类似。

设椭圆形桌面长半轴和短半轴长分别为B A ,,桌腿宽度为d ，桌腿条数为m ，

从最外侧桌腿到中间桌腿依次编号依次为2

...,3,2,

1m

那么三者有以下关系： ??????

??∈-=Z d 2B , ]2[d 2B

, 12d

B Z d B m

当

d

B

2为整数时，必定使折叠后的桌面上最外侧桌腿靠外的边与与椭圆相切，若是去掉桌腿，将桌腿在铰链处桌面下底面各突出的端点相连，便形成一个椭圆。当

d B 2不为整数时，对d B

2向下取整，即??

????d B 2，将桌腿在铰链处桌面下底面各突出的端点相连，也可以形成一个椭圆。

设圆形桌面最外侧桌腿铰链到椭圆桌面长轴的距离为1b ，用勾股定理可得：

221)2

(

d m

B A A b ??-=

， 设i b 为从外侧看过去对圆形桌面上桌腿铰链到圆形桌面直径的距离,每根桌

腿从最外侧开始依次编号为2

，，2，

1m

n =，可以求得： 2，，2，1， )12(22222

m n d n m B

A A b n =?+-?-=

￥

下面先从折叠桌的稳固性分析桌角的位置。由证明的模型定理可知，要使折

叠桌稳定性好，则桌子的四条支撑腿所构成的结构面成正方形，即方程

d m

b c h b a

2

)()2

（

1221=

+---，

可满足桌子的稳固性。

在稳固性最好的基础上再从用材最少，列出下列非线性规划模型求出平板尺寸和圆形桌面最外侧桌腿铰链到圆形桌面直径的距离1b 。

abc f =min

?????

???

????????

???=>==+---??????????????∈-=-=3

02)()2（2 ，2 2 ,12)2(..1

22122

1c d md b d

m b c h b a Z d B d B Z d B

d B m d m B A A b t s ○5 根据上述非线性规划模型，任意给定折叠桌高度和桌面长半轴和短半轴长长度，用Matlab 编程便可计算出平板尺寸和椭圆桌面最外侧桌腿铰链到椭圆直长半轴的距离1b ，桌腿宽度为d 及桌腿条数为m 。当给定折叠桌高度为cm 80和桌面长半轴和短半轴长长度cm 60和cm 40，用Matlab 算出此时的平板尺寸、椭圆桌面最外侧桌腿铰链到的椭圆直长半轴距离1b ，桌腿宽度为d 及桌腿条数为m （程序见附录3，计算出相应参数结果如表5：

表5 平板尺寸参数表

加工方便程度主要受到开槽长度大小的影响，在稳固性最好、材料最省的基础上再以开槽长度最小为为目标，满足一定约束下列出非线性规划模型，求出开槽长度和钢筋位置。为计算方便，我们令椭圆的外切圆的半径R 近似等于桌面圆心与相对应铰链的长度，非线性规划模型如下：

()

()[]()()?????

?????

?

???

???

??????

?

?????=<-?

??

??? ??--=--+-=-=-=?

????????? ?

?+--=-=

∑=2...,3,2,12arcsin cos 11212.min 111

112222

1

m n kf

E Q b a c h f k b b f k Q kf f E b

m f d n m R b t s E Q f n

n n n n n n n n n

n n m

n

n n θθ ○6 根据上述非线性规划模型，在稳固性最好、材料最省的基础上，任意给定折叠桌高度和圆形桌面直径，便可先求出相应的最优的平板尺寸、圆形桌面最外侧桌腿铰链到圆形桌面直径的距离1b ，桌腿宽度为d 及桌腿条数为m ，对于当给定折叠桌高度为70cm 和桌面长半轴和短半轴长长度45cm 和30cm,用MATLAB 编程（程序见附录3）求解，求得48.0=k ，即最外侧钢筋位置距该桌腿端点距离占该条桌腿总长的比例为。此时各条桌腿中开槽长度下表6：

]

表6 各条桌腿开槽长度

在折叠桌高度由0cm 变化到70cm 时，取高度分别为3cm 、12cm 、22cm 、31cm 、41cm 、50cm 、60cm 、70cm ，用MATLAB 编程即可分别画出给定高度的桌子状态图如图7和图8所示：

图7

图8

七、模型分析与评价

1.优点

、

(1)本文模型建立具有坚实可靠的数学理论基础，易于证明其合理性。

(2)模型方程通俗易懂，简单易行，易于推广到实际生活中。

2.缺点

(1)模型一建立的非线性规划模型没有考虑缝隙对折叠动态变化的影响。

(2)模型三只考虑了偶数正多边形和椭圆形状两种情形，没有完全考虑实际生活中所有设计者的需求。

(3)模型的实用性有待加强。

八、参考文献

[1]杨文茂，李全英，空间解析几何，武汉：武汉大学出版社，2006.

、

[2]胡良剑，孙晓君，MATLAB数学实验，北京：高等教育出版社，2006.

九、附录

附录1：

Lingo程序

min=@cos(H/L);

@sqrt((L^2 - H^2) + a >=r;

a + L = 60; !平板长度为60;

r = @sqrt(25^2 + a^2);

&

H = 50; !桌面高度;

求解加工参数

function [zhuozi ] = jgcs( a1,n,h )

%n为木块的总数，d1为桌腿钢筋到桌面木块顶点的距离

%angel1为第一根桌腿与桌面形成的夹角

%求桌子各技术参数的值

l1=60-a1;

—

angle1=asin((h/l1));

d1=30-a1/2;

zhuozi(1).d=d1;

zhuozi(1).a=a1;

zhuozi(1).angle=acos((h/l1))+pi/2;

zhuozi(1).l=l1;

zhuozi(1).t=l1*cos(angle1);

zhuozi(1).caochang=0;

、

zhuozi(1).h=0;

r=(sqrt(625+a1^2));

x=0;

for i=2:n

zhuozi(i).a=real(sqrt(r^2-*(11-i))^2));%求桌面木块最外侧顶点到直径的距离

zhuozi(i).l=60-zhuozi(i).a;%每条桌腿长度